Matriks atas Aljabar Max-Plus - ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito

Operasi  dan  pada R_max di atas dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks dalam R^m_maxⁿ seperti dalam definisi berikut.

Definisi 2.2.1

Diberikan R^m_maxⁿ : = { A = (A_ij)A_ij  R_max , i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n }. i) Diketahui   R_max , A, B R^m_maxⁿ . Didefinisikan

  A adalah matriks yang unsur ke-ij-nya:

( A)_ij =  A_ij untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n dan

A  B adalah matriks yang unsur ke-ij-nya:

(A  B)_ij= A_ij  B_ij untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.

ii) Diketahui A R^m_max^p, B R_max^pⁿ. Didefinisikan A  B adalah matriks yang unsur ke-ij-nya:

(A B)_ij= _ik _kj

   

Operasi  dan  untuk matriks di atas mempunyai sifat-sifat berikut:

Teorema 2.2.4

Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar  dan  , dan sebarang matriks A , B dan C asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.

i) (A  B)  C = A  (B  C) mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi padaR_max.

iii): Diambil sebarang matriks A R^m_max^p, B R_max^p^r, C R^r_maxⁿ .

Karena



Berikut diperhatikan dua buah matriks khusus.

Didefinisikan matriks E R^n_maxⁿ dengan (E)_ij : = matriks



dan elemen satuan adalah matriks E.

Matriks E di atas disebut juga matriks identitas max-plus, sedangkan matriks



disebut matriks nol max-plus. (R^n_maxⁿ , , ) bukan semiring komutatif, karena terdapat matriks A = 



Pangkat k N  {0} dengan N adalah himpunan semua bilangan asli, dari matriks A  R^nxn_max dalam aljabar max-plus didefinisikan dengan:

0

Untuk sebarang A  R^nxn_max didefinisikan trace(A) : = _ii

Untuk memudahkan perhitungan dalam perhitungan matriks, terutama perkalian dan perpangkatan matriks atas aljabar max-plus, berikut diberikan list program MATLAB untuk menghitung dua operasi matriks tersebut.

% Program Matlab Perkalian Max-plus Matriks A dan B

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: A = matriks max-plus Amxn

% B = matriks nxp

% output: Hasil kali max-plus A dan B function hasilkali = maxkali

disp(' ')

% Memasukkan matriks yang dikalikan

A = input(' Masukkan matriks A(mxn) = ');

AB(i, j) = max(AB(i, j) , A(i, p) + B(p, j));

end;

% Menampilkan hasil kali

disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '),disp(A) disp(' Matriks B = '),disp(B)

disp(' Hasil kali max-plus matriks A dan B adalah'),disp(AB)

% Peringatan tidak dapat dikalikan else

disp(' Ordo tidak sesuai, matriks tidak dapat dikalikan ');

end;

Gambar 2.2.1 List Program MATLAB Perkalian Matriks Max-Plus

Berikut diberikan contoh entri matriks dan hasil eksekusi programnya.

Contoh 2.2.7

» maxkali

Masukkan matriks A(mxn) = [1 0 -2 -Inf 3 4 12 -Inf -1 0;

-Inf 2 3 0 -Inf 5 -6 11 20 -7;-3 1 -Inf 1 2 -3 0 0 1 0;

2 7 -1 -2 0 1 1 -Inf 0 4;-Inf 0 -Inf 6 6 7 10 -11 -5 1;

-1 0 1 -Inf -Inf 0 0 -Inf 0 7;4 4 -2 -2 -Inf 9 -6 -8 0 0;

-Inf -Inf 0 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf]

Masukkan matriks B(nxp) = [-Inf 0 -Inf 1 -4 0 -Inf;

4 -1 -Inf 2 4 -Inf 0;1 0 -Inf 0 -7 8 10;-Inf 11 -Inf 13 -Inf -Inf 1;

-2 1 -Inf 1 6 -2 -3;-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -1;

0 -1 -Inf 1 -2 2 0;0 0 -Inf 20 16 -2 1;1 0 -Inf -2 2 -Inf 3;

-Inf -Inf -Inf -Inf 7 4 1]

HASIL PERHITUNGAN : ===================

Matriks A =

1 0 -2 -Inf 3 4 12 -Inf -1 0 -Inf 2 3 0 -Inf 5 -6 11 20 -7 -3 1 -Inf 1 2 -3 0 0 1 0 2 7 -1 -2 0 1 1 -Inf 0 4 -Inf 0 -Inf 6 6 7 10 -11 -5 1 -1 0 1 -Inf -Inf 0 0 -Inf 0 7 4 4 -2 -2 -Inf 9 -6 -8 0 0 -Inf -Inf 0 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

Matriks B =

-Inf 0 -Inf 1 -4 0 -Inf 4 -1 -Inf 2 4 -Inf 0 1 0 -Inf 0 -7 8 10 -Inf 11 -Inf 13 -Inf -Inf 1

-2 1 -Inf 1 6 -2 -3 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -1 0 -1 -Inf 1 -2 2 0 0 0 -Inf 20 16 -2 1 1 0 -Inf -2 2 -Inf 3 -Inf -Inf -Inf -Inf 7 4 1 Hasil kali max-plus matriks A dan B adalah 12 11 -Inf 13 10 14 12 21 20 -Inf 31 27 11 23 5 12 -Inf 20 16 4 4 11 9 -Inf 11 11 8 9 10 17 -Inf 19 12 12 10 4 1 -Inf 2 14 11 11 8 9 -Inf 12 8 6 8 1 0 -Inf 0 -7 8 10

% Program Matlab Menghitung PANGKAT MAX-PLUS Matriks

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: A = matriks max-plus Anxn

% k = pangkat tertinggi

% output A pangkat max-plus 1 s/d k function kuadrat = pkmax

% Memasukkan matriks dan pangkat tertinggi disp(' ')

disp(' PANGKAT MAX-PLUS MATRIKS') disp(' ---') disp(' ')

A = input(' Masukkan matriks A = ');

disp(' ')

k = input(' Hitung sampai pangkat ke- ');

disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '), disp(A) [m, n]= size(A);

if m==n D = A;

for r = 1 : k-1 r+1;

for i = 1: m for j = 1: n

C(i, j) = -Inf;

for p = 1: n

C(i, j) = max(C(i, j) , A(i, p) + D(p, j));

end;

D = C;

% Menampilkan hasil perhitungan

disp(' Matriks A pangkat max-plus'), disp(r+1), disp(C) end;

else

% Peringatan kalau matriksnya tidak bujur sangkar

disp(' Matriks A tidak bujur sangkar, pangkat tidak didefinisikan' )

end;

Gambar 2.2.2 List Program MATLAB Perpangkatan Matriks Max-Plus Berikut diberikan contoh entri matriks dan hasil eksekusi programnya.

Contoh 2.2.8

» maxpk PANGKAT MAX-PLUS MATRIKS ---

Masukkan matriks A = [1 0 -2 -Inf 3 -Inf -1 0;

-Inf 2 3 0 -Inf 5 -6 -7;-3 1 -Inf 1 2 0 1 0; -1 -2 0 1 1 -Inf 0 4;

-Inf 0 -Inf 7 10 -11 -5 1;-1 0 1 0 0 -Inf 0 7;4 4 -2 -2 -Inf 9 0 0;

-Inf -Inf 0 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf ]

Hitung sampai pangkat ke- 4 HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =

1 0 -2 -Inf 3 -Inf -1 0 -Inf 2 3 0 -Inf 5 -6 -7 -3 1 -Inf 1 2 0 1 0 -1 -2 0 1 1 -Inf 0 4 -Inf 0 -Inf 7 10 -11 -5 1 -1 0 1 0 0 -Inf 0 7 4 4 -2 -2 -Inf 9 0 0 -Inf -Inf 0 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf Matriks A pangkat max-plus

3 3 3 10 13 8 0 4 4 5 6 5 5 7 5 12 5 5 4 9 12 10 1 7 4 4 4 8 11 9 1 5 6 10 7 17 20 5 7 11 4 4 7 7 10 9 2 4 8 9 10 9 9 9 9 16 -3 1 -Inf 1 2 0 1 0 Matriks A pangkat max-plus

9 13 10 20 23 9 10 15 9 9 12 12 15 14 7 14 9 12 11 19 22 10 10 17 8 11 10 18 21 10 9 16 16 20 17 27 30 16 17 21

8 10 10 17 20 11 9 16 13 13 16 16 19 18 11 16 5 5 4 9 12 10 1 7 Matriks A pangkat max-plus

19 23 20 30 33 19 20 24 13 15 15 22 25 16 14 21 18 22 19 29 32 19 19 23 17 21 18 28 31 18 18 22 26 30 27 37 40 26 27 31 16 20 17 27 30 18 17 21 17 19 19 26 29 20 18 25 9 12 11 19 22 10 10 17

2.3 Semimodul atas Aljabar Max-Plus

Bagian ini akan membahas struktur aljabar yang melandasi pembahasan konsep vektor dalam aljabar max-plus. Di samping itu juga akan dibahas konsep urutan dalam vektor di mana di dalamnya dibahas konsep lebih besar dan lebih kecil.

Definisi 2.3.1

Diberikan semiring komutatif (S, +, ) dengan elemen netral 0 dan elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif (M, + ) bersama operasi perkalian skalar  : S  M  M , yang dituliskan dengan ( , x)    x, yang memenuhi aksioma berikut:

 ,   S dan  x, y  M berlaku:

i)   (x + y) =   x +   y, ii) ( +  )  x =   x +   x, iii)   (  x) = (  )  x, iv) 1  x = x,

v) 0  x = 0 .

Elemen dalam semimodul disebut vektor.

Contoh 2.3.2

Diberikan Rⁿ_max:= { x = [x₁, x₂, ... , x ]_n ^T | x  _i R_max , i = 1, 2, ... , n}.

Untuk setiap x, y Rⁿ_max dan untuk setiap   R_max didefinisikan operasi  dengan

x  y = [x₁y₁, x₂y₂, ... , x_ny ]_n ^T dan operasi perkalian skalar  dengan

  x =   x = [  x₁,  x₂, ... ,   x ]_n ^T.

Perhatikan bahwa Rⁿ_max dapat dipandang sebagai R_maxⁿ^¹ . Dengan memperhatikan Teorema 2.2.4 i) dan ii) terlihat bahwa (Rⁿ_max,  ) merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral



= [, , ...,  ]^T. Kemudian dengan memperhatikan Teorema 2.2.4 x), ix), dan vii), Rⁿ_max merupakan semimodul atas R_max.

Diberikan vektor-vektor x₁, x₂, ..., x di dalam semimodul M dan skalar-_n skalar ₁, ₂ , ..., _n di dalam semiring komutatif S. Didefinisikan kombinasi linear dari vektor-vektor x₁, x₂, ..., x_n adalah suatu bentuk aljabar   ₁ x₁ +

  2 x₂ + ... + _n x . _n

Definisi 2.3.3 (Wohlgemuth, 1990)

Relasi “” pada himpunan P disebut urutan parsial pada P jika untuk semua x, y, z  P berlaku:

i) Sifat refleksif, yaitu: x  x .

ii) Sifat antisimetris, yaitu: jika x  y dan y  x, maka x = y . iii) Sifat transitif, yaitu: jika x  y dan y  z, maka x  z .

Elemen x dan y dikatakan komparabel (comparable) jika x  y atau y  x . Jika x  y akan dituliskan juga dengan y  x. Jika x  y dan x  y akan dituliskan juga dengan x  y.

Definisi 2.3.4 (Wohlgemuth, 1990)

Urutan parsial “” pada himpunan P disebut urutan total pada P jika setiap dua elemen dalam P komparabel.

Teorema 2.3.5

Jika (S, + ) semigrup komutatif idempoten maka relasi “” yang didefinisikan pada S dengan x  y  x + y = y merupakan urutan parsial pada S.

Bukti: Diambil sebarang x, y, z  S.

i) Karena berlaku sifat idempoten maka x + x = x  x  x .

ii) Jika x  y dan y  x maka x + y = y dan y + x = x. Karena berlaku sifat komutatif maka x = y.

iii) Jika x  y dan y  z maka x + y = y dan y + z = z. Dari sini karena berlaku sifat asosiatif maka x + z = x + (y + z) = (x + y) + z = y + z = z. Dengan demikian x  z. ■

Akibat 2.3.6

Relasi “_m” yang didefinisikan pada R_max dengan x _m y  x  y = y

merupakan urutan parsial pada R_max. Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada R_max.

Bukti: Karena (R , _  ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut Teorema 2.3.5 relasi “_m” yang didefinisikan pada R_maxdi atas merupakan urutan parsial pada R_max. Selanjutnya diambil x , y  R_max maka berlaku

x  y = max (x, y) = x atau x  y = max (x, y) = y. ■

Akibat 2.3.7

Relasi “



_m” yang didefinisikan pada R^m_maxⁿ dengan



_mB  A  B = B  A_ijB_ij = B_ij  A_ij _m B_ij untuk setiap i dan j, merupakan urutan parsial pada R^m_maxⁿ.

Bukti: Dengan menggunakan Teorema 2.2.4 i), ii) dan xi) nampak (R^m_maxⁿ,  ) merupakan semigrup komutatif idempoten, sehingga menurut Teorema 2.3.5 relasi “



_m” yang didefinisikan pada R^m_maxⁿ di atas merupakan urutan parsial. ■

Akibat 2.3.8

Relasi “



_m” yang didefinisikan pada Rⁿ_max dengan



_m y  x  y = y  x_i _m y _i untuk setiap i , merupakan relasi urutan parsial pada Rⁿ_max.

Bukti: Karena (Rⁿ_max,  ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka relasi

“



_m” yang didefinisikan pada Rⁿ_maxmerupakan urutan parsial pada Rⁿ_max. ■

Relasi “



_m” yang didefinisikan pada R^m_maxⁿ di atas bukan merupakan urutan total, karena terdapat matriks A = 



 



 2 1

0 dan B = 



 



 0 1

2 dengan

A  B = 



 



 2 1

0  



 



 0 1

2 = 



 



 2 2

2 , sehingga A  B  B dan A  B  A.

Demikian juga relasi “



_m” yang didefinisikan pada Rⁿ_max di atas bukan merupakan urutan total, karena terdapat vektor x = [1, 2, 3]^T dan y = [2, 0, -1]^T dengan x  y = [1, 2, 3]^T  [2, 0, -1]^T = [2, 2, 3]^T . Dengan demikian x  y  y dan x  y  x.

Teorema 2.3.9

Diberikan matriks A  R^m_maxⁿ. Jika x, y  Rⁿ_max dengan x



_m y, maka (A  x)



_m (A  y).

Bukti: Diambil sebarang x, y  Rⁿ_max dengan x



_m y, maka x  y = y  A  (x  y) = A  y

 (A  x)  (A  y) = A  y  (A  x)



_m (A  y). ■

Hasil pada Teorema 2.3.9 di atas akan digunakan dalam pembahasan penyelesaian sistem persamaan linear max-plus melalui subpenyelesaian terbesarnya.

Dalam bab ini dibahas sistem persamaan linear (SPL) max-plus yang merupakan salah satu alat untuk pemodelan masalah real dengan pendekatan aljabar max-plus. Secara umum ada dua bentuk SPL max-plus, yaitu SPL max-plus input-output dan SPL max-plus iteratif. Akan dibahas eksistensi dan ketunggalan penyelesaian SPL max-plus dan juga beberapa contoh penerapannya.

Dalam dokumen ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito (Halaman 21-34)