Penerapan pada Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invarian dan Sistem Produksi Sederhana

Pada subbab 1.2 telah diintrodusir mengenai model sistem produksi sederhana, seperti pada persamaan (1.2.3). Dari ilustrasi dan contoh-contoh pada Bab 1. Pendahuluan nampak bahwa sistem-sistem yang dibahas merupakan Sistem Kejadian Diskrit (SKD) yang mempunyai waktu aktifitas dan barisan kejadian yang deterministik. Matriks dalam persamaan sistemnya merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter k, sehingga sistemnya merupakan sistem waktu-invariant. Sistem seperti dalam contoh di atas merupakan suatu contoh sistem linear max-plus waktu-invariant seperti yang diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 3.2.1 (Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant (SLMI), Schutter, 1996) Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant adalah SKD yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:

x(k+1) = A  x(k)  B  u(k+1)

(3.2.1) y(k) = C  x(k)

untuk k = 1, 2, 3, ... , dengan kondisi awal x(0) = 𝒙₀, A R^n_maxⁿ, B R^n_max^m , C R^l_maxⁿ .

Vektor x(k) Rⁿ_max menyatakan keadaan (state), u(k) R^m_maxadalah vektor input, dan y(k) R^l_maxadalah vektor output sistem saat waktu ke-k.

SLMI seperti dalam definisi di atas secara singkat akan dituliskan dengan SLMI (A, B, C) dan dituliskan dengan SLMI (A, B, C, 𝒙₀) jika kondisi awal x(0) =

𝒙₀diberikan. SLMI dengan satu input dan satu output akan disebut SLMI satu input satu output (SISO). Sedangkan SLMI dengan lebih dari satu input dan lebih dari satu output akan disebut SLMI multi input multi output (MIMO).

Dalam buku ini, SLMI yang dibahas dibatasi pada SLMI SISO. Secara khusus SLMI SISO mempunyai persamaan berikut:

x(k+1) = A  x(k)  B  u(k + 1) (3.2.2) y(k) = C  x(k) untuk k = 1, 2, 3, ... , kondisi awal x(0) = 𝒙₀, A R^n_maxⁿ , B Rⁿ_max, C R¹_max^ⁿ . Vektor x(k) Rⁿ_max menyatakan keadaan, skalar u(k)  R_max menyatakan input, skalar y(k)  R_max menyatakan output sistem untuk saat waktu ke-k. Selanjutnya SLMI yang dimaksud adalah SLMI SISO dan kadang-kadang hanya disebut

“sistem” apabila konteksnya sudah jelas. Sistem Produksi Sederhana dalam subbab 1.2 merupakan contoh SLMI SISO.

Dalam situasi tertentu ada suatu SLMI yang keadaannya tidak dipengaruhi kedatangan input, yang disebut SLMI autonomous, seperti diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 3.2.2 (SLMI Autonomous)

SLMI autonomous adalah SLMI yang mempunyai persamaan berikut:

x(k+1) = A  x(k) (3.2.3) y(k) = C  x(k) untuk k = 1, 2, 3, ... , dengan kondisi awal x(0) = 𝒙₀



, A R^n_maxⁿ , B Rⁿ_max, C R¹_max^ⁿ .

Secara singkat SLMI autonomous seperti dalam definisi di atas dituliskan dengan SLMI (A, C, 𝒙₀) dengan 𝒙₀ 



. Interpertasi SLMI autonomous dalam sistem produksi sederhana adalah bahwa keadaan awal sistem, buffer input dan beberapa buffer internal tidak kosong (𝒙₀ 



), kemudian bahan baku dimasukkan pada sistem dengan laju tertentu sedemikan hingga buffer input tidak pernah kosong. Jadi mesin-mesin sudah bekerja pada kondisi awal, dan untuk berikutnya tidak perlu menunggu kedatangan input, karena input sudah selalu tersedia.

Selanjutnya dibahas analisis dan beberapa masalah input-output SLMI. Jika kondisi awal dan suatu barisan input diberikan untuk suatu SLMI (A, B, C, 𝒙₀), maka secara rekursif dapat ditentukan suatu barisan vektor keadaan sistem dan barisan output sistem.

Contoh 3.2.3

Diperhatikan sistem produksi sederhana dalam subbab 1.2. Misalkan kondisi awal sistem x(0) = [0, 1, ]^T , yang berarti unit pemrosesan P1 dan P2 berturut-turut memulai aktifitasnya saat waktu 0 dan 1 sementara unit pemrosesan P3 masih kosong dan harus menunggu datangnya input dari P1 dan P2 . Bahan mentah dimasukkan sistem saat waktu 0, 9, 12, 24 dan seterusnya, yang berarti diberikan barisan input u(1) = 0, u(2) = 9, u(3) = 12, u(4) = 24, dan seterusnya, dengan u(k)  u(k+1) untuk setiap k = 1, 2, 3, ... . Secara rekursif dapat ditentukan barisan vektor keadaan berikut

x(1) = A  x(0)  B  u(1) =

x(4) = A  x(3)  B  u(4) =

Kemudian diperoleh barisan output sistem sebagai berikut:

y(1) = 16, y(2) = 22, y(3) = 28, y(4) = 35, dan seterusnya, yang berarti produk akan meninggalkan sistem saat waktu 16, 22, 28, 35 dan seterusnya..

Untuk SLMI autonomous (A, C, 𝒙₀) dengan 𝒙₀ 



, jika kondisi awal diberikan, maka secara rekursif juga dapat ditentukan barisan keadaan sistem dan barisan output sistem yang bersesuaian dengan kondisi awal tersebut.

Secara umum sifat input-output SLMI (A, B, C, 𝒙₀ ) diberikan dalam

induksi matematik akan dibuktikan berlaku x(k) = (A^^k  x(0) )  (



Jadi (3.2.4) benar untuk k = 1.

Akibatnya diperoleh

y(k) = (C  A^^k  x(0))  (



atau dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai



Dalam sistem produksi, Teorema 3.2.5 berarti bahwa jika diketahui kondisi awal sistem dan barisan waktu saat bahan mentah dimasukkan ke sistem, maka dapat ditentukan barisan waktu saat produk selesai diproses dan meninggalkan sistem.

Diperhatikan bahwa

y = K  x(0)  H  u =

Hal ini berarti bahwa jika kondisi awal x(0) = [0, 1, ]^T dan bahan baku dimasukkan ke dalam sistem pada saat waktu u(1) = 0, u(2) = 9, u(3) = 12, u(4) = 15, maka

produk selesai dan akan meninggalkan sistem pada saat waktu y(1) = 16, y(2) = 22, y(3) = 28, y(4) = 34. Hasil pada contoh ini sesuai dengan Contoh 3.2.3 di atas.

Secara khusus untuk SLMI (A, B, C,



) diperoleh sifat input-otputnya dalam akibat berikut.

Akibat 3.2.7 (Input-Output SLMI (A, B, C,



))

Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Jika vektor output y = [y(1), y(2), ... , y(p)]^T dan vektor input u = [u(1), u(2), ... , u(p)]^T pada SLMI (A, B, C,



) , maka sistem, semua penyangga dalam keadaan kosong dan tidak ada unit pemrosesan yang memuat bahan mentah atau produk setengah-jadi.

Contoh 3.2.8

Diperhatikan sistem produksi sederhana dalam subbab 1.2. Didefinisikan y = [y(1), y(2), y(3), y(4)]^T. Jika diberikan x(0) =



, dan u = [0, 9, 12, 15 ]^T, maka

Diperhatikan bahwa y = H  u =

Hal ini berarti bahwa jika keadaan awal sistem semua penyangga dalam keadaan kosong dan tidak ada unit pemrosesan yang memuat bahan mentah atau produk setengah-jadi dan bahan baku dimasukkan ke dalam sistem pada saat waktu u(1) = 0, u(2) = 9, u(3) = 12, u(4) = 15, maka produk selesai dan akan meninggalkan sistem pada saat waktu y(1) = 11, y(2) = 20, y(3) = 25, y(4) = 30.

Teorema 3.2.9 (Input-Output SLMI Autonomous)

Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Jika vektor output y = [y(1), y(2), ... ,













) ( (2) (1)

p y

y y

 =















A p

C A C

A C



 x(0) untuk suatu bilangan bulat positip p. ■

Diperhatikan dua barisan input u₁ =



u1(k)



^_k_0 dan u = ₂



u2(k)



^_k_0 . Misalkan y = ₁



y1(k)



^_k_1 adalah barisan output yang bersesuaian dengan barisan input u (dengan kondisi awal ₁ x_1,₀) dan y = ₂



y₂(k)



^_k_1 adalah barisan output yang bersesuaian dengan barisan input u (dengan kondisi awal ₂ x_2,₀) serta ,  R_max. Dengan menggunakan persamaan (3.2.3) dan sifat-sifat pada Teorema 2.2.4, maka dengan barisan input   u ₁   u = ₂



 u₁(k) u₂(k)



^_k_₀ (dengan kondisi awal x₀ =   x_1,₀   x_2,₀) untuk SLMI (A, B, C, x₀)) diperoleh K  (  x_1,₀    x_2,₀)  H  (  u    ₁ u ) ₂

= (K   x_1,₀)  (K  x_2,₀)  (H    u )  (H   ₁ u ) ₂

= (K    x_1,₀  H    u )  (K   ₁ x_2,₀  H   u ) ₂

=  (K  x_1,₀ H  u )   (K ₁ x_2,₀ H  u ) ₂

=  y   ₁ y . ₂

Jadi jika barisan input u dan ₁ u berturut-turut akan memberikan barisan output ₂ y ₁

dany , maka barisan input ₂  u ₁   u₂ akan memberikan barisan output

  y ₁   y . Hal ini merupakan suatu alasan bahwa sistem (3.2.1) disebut ₂ sistem linear max-plus.

Berikut dibahas masalah input paling lambat pada SLMI (A, B, C,x₀ ).

Masalah input paling lambat pada SLMI (A, B, C,x₀ ) adalah sebagai berikut:

Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Diketahui vektor output y = [y(1), y(2), ... , y(p)]^T. Misalkan vektor u = [u(1), u(2), ... , u(p)]^T adalah

vektor input. Permasalahannya adalah menentukan vektor input u terbesar

(waktu paling lambat) sehingga memenuhi K  x₀  H  u



_m y, dengan K dan H seperti dalam Teorema 3.2.9.

Dalam sistem produksi, masalah ini mempunyai interpretasi sebagai berikut. Misalkan diketahui vektor y adalah vektor waktu paling lambat agar produk harus meninggalkan sistem. Permasalahannya adalah menentukan vektor u yaitu vektor waktu paling lambat saat bahan baku harus dimasukkan ke dalam sistem.

Terlebih dahulu diperhatikan untuk SLMI (A, B, C,



). Penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI (A, B, C,



) dengan C  B   diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 3.2.10

Penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI (A, B, C,



) dengan C  B   diberikan oleh uˆ = [uˆ(1),uˆ(2),,uˆ(p)]^T dengan uˆ(k) =

) )

( ( max

1 i,k

i y i H



 , untuk k = 1, 2, ..., p.

Bukti: Karena K 



, maka K 



 H  u = H  u . Akibatnya masalah input paling lambat pada SLMI (A, B, C,



) menjadi masalah menentukan vektor input u terbesar (waktu paling lambat) yang memenuhi H  u



_m y. Masalah ini merupakan masalah menentukan subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus H  u = y. Karena C  B 



, maka komponen setiap kolom matriks H tidak semuanya sama dengan



. Menurut Teorema 3.1.4 subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus H  u = y diberikan oleh vektor uˆ =

)]T

( , (2), (1),

[uˆ uˆ  uˆ p dengan uˆ(k) = max( () )

1 i,k

i y i H



 , k = 1, 2, ...., p. ■ Contoh 3.2.11

Diperhatikan sistem produksi sederhana dalam subbab 1.2 Misalkan diinginkan penyelesaian produk sebelum saat y(1) = 17, y(2) = 19, y(3) = 24, y(4) = 27, dengan

waktu pemasukkan bahan baku ke dalam sistem yang selambat mungkin. Misalkan y = [y(1), y(2), y(3), y(4)]^T dan u = [u(1), u(2), u(3), u(4)]^T. Masalah ini diselesaikan

dengan cara menentukan subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus

Terlebih dulu diperhatikan bahwa

uˆ = H ^T  ( y) =

Jadi subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus H  u = y di atas adalah vektor uˆ = [0, 6, 11, 16]^T. Hal ini berarti bahwa bahan baku harus penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI (A, B, C, x₀) diberikan oleh

uˆ = [uˆ(1),uˆ(2),,uˆ(p)]^T dengan uˆ(k) = max( ( ) )

Berikut dibahas masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C,x₀). Masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, x₀) adalah sebagai berikut.

Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Diketahui vektor output y = [y(1), y(2), ... , y(p)]^T. Misalkan vektor u = [u(1), u(2), ... , u(p)]^T adalah

vektor input. Permasalahannya adalah menentukan vektor input u sehingga

i i

K ))

( (

max y x₀ u minimal dengan K dan H seperti dalam Teorema 3.2.5.

Interpretasi masalah ini dalam sistem produksi adalah sebagai berikut.

Misalkan dimiliki bahan-bahan mentah yang tidak tahan lama. Kemudian diinginkan meminimalkan simpangan maksimal antara waktu penyelesaian yang diinginkan dengan waktu penyelesaian yang sesungguhnya.

Terlebih dahulu diperhatikan untuk SLMI (A, B, C,



). Penyelesaian masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C,



) dengan C  B   diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 3.2.13

Penyelesaian masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI(A, B, C,



) dengan C  B   diberikan oleh vektor u~ = uˆ 

δ , dengan

uˆ subpenyelesaian terbesar sistem H  u = y dan  = _i

H ˆ) (

max y u .

Bukti: Karena K 



, maka K 



 H  u = H  u. Akibatnya masalah minimisasi simpangan maksimum output ini menjadi menentukan vektor input u

sedemikian hingga _i

i ( H )

max y u minimal. Masalah ini merupakan masalah optimisasi yang berkaitan dengan sistem persamaan linear max-plus H  u = y, seperti pada pembahasan subbab 3.1 di atas. Karena C  B   , maka komponen setiap kolom matriks H tidak semuanya sama dengan .. Menurut Teorema 3.1.11

suatu penyelesaian u~ untuk masalah di atas diberikan oleh u~ = uˆ  2

δ , dengan

 = _i

H ˆ) (

max y u dan uˆ merupakan subpenyelesaian terbesar sistem H  u = y. ■

Contoh 3.2.14

Diperhatikan sistem produksi sederhana dalam subbab 1.2. Misalkan diinginkan penyelesaian produk saat y(1) = 17, y(2) = 19, y(3) = 24, y(4) = 27 dengan meminimalkan simpangan maksimum antara waktu yang diberikan dengan waktu sesungguhnya. Misalkan y = [y(1), y(2), y(3), y(4)]^T dan u = [u(1), u(2), u(3), u(4)]^T Dari Contoh 3.2.11 diperoleh bahwa uˆ = [0, 6, 11, 16]^T dengan yˆ = H  uˆ = [11, 17, 22, 27]^T . Diperhatikan bahwa simpangan terbesar antara waktu output y yang diberikan dengan waktu output sesungguhnyaˆ adalah y

 = y ˆy _= _i _i

u H

y )

( max

4 1

ˆ

 

 = max(6, 2, 2, 0) = 6.

Kemudian waktu input yang meminimalkan simpangan maksimum antara waktu output yang diinginkan dengan waktu output sesungguhnya yˆ adalah

~ = uˆ  u 2

δ = uˆ  3 = [0, 6, 11, 16]^T 3 = [3, 9, 14, 19]^T.

Untuk wakatu input u~ ini diperoleh waktu output berikut:

~ = H  uy ~ = [14, 20, 25, 30]^T.

Simpangan terbesar antara waktu penyelesaian (waktu output) yang diinginkan dan waktu penyelesaian sesungguhnya ( y~ ) adalah

i i i

u H

y )

(

max  ~ = max (3, 1, 1, 3) = 3 = 2 6 =

2 δ .

Pembahasan penyelesaian masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C,



) di atas juga dapat sedikit diperluas untuk SLMI(A, B, C, x₀) denganx₀ 



, seperti diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 3.2.15

Diberikan SLMI (A, B, C, x₀) dengan C  B   . Jika K x₀



_m y maka penyelesaian masalah minimisasi simpangan output pada SLMI (A, B, C,x₀) diberikan oleh u~ = uˆ 

 2_{, dengan}_u_ˆ merupakan subpenyelesaian terbesar

sistem H  u = y dan  = _i

H ˆ) (

max y u .

Bukti: Karena K  x₀



_m y, maka K x₀  H  u = y  H  u = y. Selanjutnya bukti seperti pada bukti Teorema 3.2.13 di atas. ■

Untuk memudahkan perhitungan dalam perhitungan dalam sistem di atas, berikut diberikan list program MATLAB untuk perhitungan masalah-masalah di atas.

% Program Matlab Menghitung INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: A = matriks max-plus Anxn

% B = matriks nx1

% C = matriks 1xn

% x0 = kondisi awal

% u = barisan input

% output: x(k) = barisan keadaan sistem

% y(k) = barisan output sistem function io_SLMI = maxio

% Memasukkan input

disp(' ')

disp(' INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) ') disp(' ---') disp(' ')

A = input(' Masukkan matriks A(nxn) = ');

disp(' ')

B = input(' Masukkan matriks B(nx1) = ');

disp(' ')

C = input(' Masukkan matriks C(1xn) = ');

disp(' ')

x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0(nx1) = ');

disp(' ')

u = input(' Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = ');

disp(' ') q = length(u);

[a1, a2] = size(A);

L = zeros(a1,q);

M = zeros(1,q);

L(:,1)= x0;

% Menghitung x(1) = Ax(0) + Bu(1) [x01, x02] = size(x0);

for i = 1 : a1 for j = 1 : x02

Ax0(i, j) = -Inf;

for p = 1: a2

Ax0(i, j) = max(Ax0(i, j) , A(i, p) + x0(p, j));

end;

x = max(Ax0, B+u(1));

% Menghitung y(1) = Cx(1) [c1, c2] = size(C);

[x1, x2] = size(x);

for i = 1 : c1 for j = 1 : x2

Cx(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

Cx(i, j) = max(Cx(i, j) , C(i, p) + x(p, j));

end;

L(:,2)= x;

M(1,1)= Cx;

% Menghitung x(k+1) = Ax(k) + Bu(k+1) dan Menghitung y(k) = Cx(k) utk k=1,2,...,p

% Menghitung x(k+1) = Ax(k) + Bu(k+1) [a1, a2] = size(A);

[x1, x2] = size(x);

for r = 1 : q-1;

for i = 1 : a1 for j = 1 : x2

Ax(i, j) = -Inf;

for p = 1: a2

Ax(i, j) = max(Ax(i, j) , A(i, p) + x(p, j));

end;

x = max(Ax, B+u(r+1));

% Menghitung y(k) = Cx(k) [c1, c2] = size(C);

[x1, x2] = size(x);

for i = 1 : c1 for j = 1 : x2

Cx(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

Cx(i, j) = max(Cx(i, j) , C(i, p) + x(p, j));

end;

L(:,r+2)= x;

M(1,r+1)= Cx;

end;

% Menampilkan hasil perhitungan disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '),disp(A) disp(' Matriks B = '),disp(B) disp(' Matriks C = '),disp(C)

disp(' Kondisi awal x0 = '),disp(x0) disp(' Barisan input u = '),disp(u')

disp(' Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... : '), disp(L)

disp(' Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : '), disp(M)

Gambar 3.2.1 List Program MATLAB Input-Output SLMI

% Program Matlab Menghitung INPUT-OUTPUT SLMI(A, C, x0) AUTONOMOUS

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: A = matriks max-plus Anxn

% C = matriks max-plus C1xn

% x0 = kondisi awal

% k = hitung sampai k

% Output: Barisan keadaan sampai kejadian ke-k

% Barisan output sistem sampai kejadian ke-k function io_SLMI_autonomous = maxioauto

% Memasukkan input program

disp(' ')

disp(' INPUT-OUTPUT SLMI (A, C, x0) AUTONOMOUS') disp(' ---') disp(' ')

A = input(' Masukkan matriks A(nxn) = ');

disp(' ')

C = input(' Masukkan matriks C(1xn) = ');

disp(' ')

x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0(nx1) = ');

disp(' ')

q = input(' Hitung sampai kejadian ke = ');

disp(' ') [a1, a2] = size(A);

L = zeros(a1,q);

L(:,1)= x0;

% Menghitung x(k+1) = Ax(k) x1=x0;

[x01, x02] = size(x0);

for r = 1 : q;

for i = 1 : a1 for j = 1 : x02

Ax0(i, j) = -Inf;

for p = 1: a2

Ax0(i, j) = max(Ax0(i, j) , A(i, p) + x1(p, j));

end;

L(:,r+1)= Ax0;

x1=Ax0;

end;

% Menghitung output y = C*x(k) [c1, c2]= size(C);

[l1, l2]=size(L);

for i = 1:c1 for j = 1: l2

y(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

y(i, j) = max(y(i, j) , C(i, p) + L(p, j));

end;

% Menampilkan output program

disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '),disp(A)

disp(' Matriks C = '),disp(C)

disp(' Kondisi awal x0 = '),disp(x0)

disp(' Barisan vektor keadaan sistem utk k = 0, 1, 2, ... : '), disp(L)

disp(' Barisan output sistem utk k = 1, 2, ... : '), disp(y) Gambar 3.2.2 List Program MATLAB Input-Output SLMI Autonomous

% Program Matlab Menghitung BARISAN KEADAAN x(k) SLMI AUTONOMOUS tanpa output

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: A = matriks max-plus Anxn

% x0 = kondisi awal

% k = hitung sampai k

% Output: Barisan keadaan sampai kejadian ke-k function keadaan_SLMI_autonomous = maxauto

% Memasukkan input program

disp(' ')

disp(' BARISAN KEADAAN x(k) SLMI AUTONOMOUS tanpa output')

disp(' ---')

disp(' ')

A = input(' Masukkan matriks A(nxn) = ');

disp(' ')

x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0(nx1) = ');

disp(' ')

q = input(' Hitung sampai kejadian ke = ');

disp(' ') [a1, a2] = size(A);

L = zeros(a1,q);

L(:,1)= x0;

% Menghitung x(k+1) = Ax(k) x1=x0;

[x01, x02] = size(x0);

for r = 1 : q;

for i = 1 : a1 for j = 1 : x02

Ax0(i, j) = -Inf;

for p = 1: a2

Ax0(i, j) = max(Ax0(i, j) , A(i, p) + x1(p, j));

end;

L(:,r+1)= Ax0;

x1=Ax0;

end;

% Menampilkan output program

disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '),disp(A)

disp(' Kondisi awal x0 = '),disp(x0)

disp(' Barisan vektor keadaan sistem utk k= 0, 1, 2, ... : '), disp(L)

Gambar 3.2.3 List Program MATLAB Input-Output SLMIA Tanpa Output

% Program Matlab Menghitung OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: A = matriks max-plus Anxn

% B = matriks nx1

% C = matriks 1xn

% x0 = kondisi awal

% y = barisan output

% output:u_topi = barisan input paling lambat

% y_topi = barisan outpout untuk u_topi

% u_tilde = barisan input minimum simpangan

% y_tilde = barisan output untuk u_tilde function opt_input_output = optio

% Memasukkan input

disp(' ')

disp(' OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant')

disp(' ---')

disp(' ')

A = input(' Masukkan matriks A = ');

disp(' ')

B = input(' Masukkan matriks B = ');

disp(' ')

C = input(' Masukkan matriks C = ');

disp(' ')

x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0 = ');

disp(' ')

y = input(' Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y = ');

disp(' ') q = length(y);

% Menghitung C*B = CB [c1, c2] = size(C);

[b1, b2] = size(B);

for i = 1 : c1 for j = 1 : b2

CB(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

CB(i, j) = max(CB(i, j) , C(i, p) + B(p, j));

end;

% Menghitung C*A = CA [c1, c2] = size(C);

[a1, a2] = size(A);

for i = 1:c1 for j = 1: a2

CA(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

CA(i, j) = max(CA(i, j) , C(i, p) + A(p, j));

end;

L = zeros(q,a2);

L(1,:)= CA;

% Menghitung (C*A)*B [ca1, ca2] = size(CA);

[b1, b2] = size(B);

for i = 1:ca1 for j = 1: b2

CAB(i, j) = -Inf;

for p = 1: ca2

CAB(i, j) = max(CAB(i, j) , CA(i, p) + B(p, j));

end;

% Menghitung A^k = Ak [a1, a2]= size(A);

D = A;

for r = 1 : q-1 r+1;

for i = 1 : a1 for j = 1 : a2

Ak(i, j) = -Inf;

for p = 1: a2

Ak(i, j) = max(Ak(i, j) , A(i, p) + D(p, j));

end;

% Menghitung C*A^k = CAk [c1, c2] = size(C);

[ak1, ak2] = size(Ak);

for i = 1 : c1 for j = 1: ak2

CAk(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

CAk(i, j) = max(CAk(i, j) , C(i, p) + Ak(p, j));

end;

L(r+1,:)=CAk;

% Menghitung CAkB

[cak1, cak2] = size(CAk);

[b1, b2] = size(B);

for i = 1:cak1 for j = 1: b2

CAkB(i, j) = -Inf;

for p = 1: cak2

CAkB(i, j) = max(CAkB(i, j) , CAk(i, p) + B(p, j));

end;

% Menyusun matriks H for i = 1 : q

for j = 1 : q if i < j

H(i,j) = -Inf;

end;

if i == j

H(i,j) = CB;

end;

if (i-j) ==1 H(i,j)= CAB;

end;

if (i-j) == r+1 H(i,j)= CAkB;

end;

if (i-j) > q H(i,j)=[];

end;

D = Ak;

end;

% Menghitung K*x0 [l1, l2] = size(L);

[x01, x02] = size(x0);

for i = 1 : l1 for j = 1 : x02

Kx0(i, j) = -Inf;

for p = 1: l2

Kx0(i, j) = max(Kx0(i, j) , L(i, p) + x0(p, j));

end;

if max(Kx0 - y)<=0

% Menghitung input paling lambat u1 (H*(-y)) Ht=H';

my = -y;

[ht1, ht2] = size(Ht);

[my1, my2] = size(my);

for i = 1 : ht1 for j = 1 : my2

Htmy(i, j) = -Inf;

for p = 1: ht2

Htmy(i, j) = max(Htmy(i, j) , Ht(i, p) + my(p, j));

end;

u_topi = -Htmy;

% Mengitung H*u_topi [h1, h2] = size(H);

[utp1, utp2] = size(u_topi);

for i = 1 : h1 for j = 1 : utp2

Hutp(i, j) = -Inf;

for p = 1: h2

Hutp(i, j) = max(Hutp(i, j) , H(i, p) + u_topi(p, j));

end;

Hutp;

% Menghitung barisan output y untuk u_topi y_topi = max(Kx0, Hutp);

% Menghitung input minimum simpangan delta = max(abs(y - y_topi));

u_tilde = u_topi + delta/2;

% Mengitung H*u_tilde [h1, h2] = size(H);

[utd1, utd2] = size(u_tilde);

for i = 1 : h1 for j = 1 : utd2

Hutd(i, j) = -Inf;

for p = 1: h2

Hutd(i, j) = max(Hutd(i, j) , H(i, p) + u_tilde(p, j));

end;

Hutd;

% Menampilkan hasil perhitungan disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp('Matriks A = '),disp(A) disp('Matriks B = '),disp(B) disp('Matriks C = '),disp(C)

disp('Kondisi awal x0 = '),disp(x0) disp('Barisan output y = '),disp(y)

disp('Barisan input paling lambat u_topi = '), disp((u_topi)') disp('Barisan output y untuk u_topi = '), disp((y_topi)') disp('Barisan input minimum simpangan u_tilde = '),

disp((u_tilde)')

disp('Barisan output y untuk u_tilde = '), disp((Hutd)') else

disp('Input Minimum Simpangan tidak dapat dikerjakan (Kx0 >

y)') end;

Gambar 3.2.4 List Program MATLAB Optimisasi Input-Output SLMI 3.3 Eksistensi dan Ketunggalan SPLIO Max-Plus

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai sub-penyelesaian terbesar dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃. Pada bagian ini akan dibahas mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃.

Diberikan matriks A R^m_maxⁿ dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan 𝜀 dan b R . Sub-penyelesaian terbesar merupakan ^m calon penyelesaian sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 yakni vektor 𝒙^∗ dengan

−𝒙^∗ = [

−𝑥^∗₁

−𝑥^∗₂

⋮

−𝑥^∗_𝑛 ] =

[

max𝑖 (−𝑏_𝑖+ 𝑎_𝑖1) max𝑖 (−𝑏_𝑖+ 𝑎_𝑖2)

⋮

max𝑖 (−𝑏_𝑖 + 𝑎_𝑖𝑛)]

= [

max𝑖 (𝑎_𝑖1− 𝑏_𝑖) max𝑖 (𝑎_𝑖2− 𝑏_𝑖)

⋮

max𝑖 (𝑎_𝑖𝑛− 𝑏_𝑖)]

= [

max{𝑎₁₁− 𝑏₁, 𝑎₂₁− 𝑏₂, … , 𝑎_𝑚1− 𝑏_𝑚} max{𝑎₁₂− 𝑏₁, 𝑎₂₂− 𝑏₂, … , 𝑎_𝑚2− 𝑏_𝑚}

⋮

max{𝑎_1𝑛− 𝑏₁, 𝑎_2𝑛− 𝑏₂, … , 𝑎_𝑚𝑛− 𝑏_𝑚} ]

Selanjutnya didefinisikan matriks ‘discrepancy’ dinotasikan dengan 𝐷_𝐴,𝑏 di mana

𝐷_𝐴,𝑏 = [

Catatan bahwa setiap −𝑥^∗_𝑗 dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum dari setiap kolom 𝐷_𝐴,𝑏.

Untuk memprediksi banyaknya penyelesaian persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃, maka selanjutnya didefinisikan matriks 𝑅_𝐴,𝑏 yang merupakan reduksi matriks 𝐷_𝐴,𝑏 sebagai berikut

𝑅_𝐴,𝑏 = [𝑟_𝑖𝑗] di mana 𝑟_𝑖𝑗 = {1 jika 𝑑_𝑖𝑗 = maksimum kolom 𝑗 0 untuk yang lainnya . Di bawah ini akan diberikan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃.

Contoh 3.3.1

Akan ditentukan penyelesaian sistem 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 , dengan

𝐴 = [

Berdasarkan matriks 𝐴 dan vektor 𝒃 diperoleh matriks

𝐷_𝐴,𝑏 = [

Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks 𝑅_𝐴,𝑏. Karena pada tiap kolom matriks 𝑅_𝐴,𝑏 pasti terdapat elemen bernilai 1, maka sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 pada contoh ini hanya memiliki satu penyelesaian. Elemen-elemen dari vektor penyelesaian dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum dari tiap kolom 𝐷_𝐴,𝑏, yakni:

−𝑥′₁ = max{−11, −1,0, −3} = 0

−𝑥′₂ = max{−6, −4, −9, −8} = −4

−𝑥′₃ = max{−1, −3, −8, −1} = −1

Dengan demikian, 𝒙^∗ = [0, 4, 1]^𝑇 merupakan calon penyelesaian sekaligus menjadi satu-satunya penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut

𝐴 ⨂ 𝒙^∗ = [

Akan ditentukan penyelesaian sistem 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 , dengan 𝐴 = [

Berdasarkan matriks 𝐴 dan vektor 𝒃 diperoleh matriks 𝐷_𝐴,𝑏 = [

Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks 𝑅_𝐴,𝑏. Hal ini berarti bahwa sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 pada contoh ini juga hanya memiliki satu penyelesaian yakni 𝒙^∗= [0, 4, 1]^𝑇. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut

𝐴 ⨂ 𝒙^∗ = [ 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 yang memiliki penyelesaian tunggal baik untuk kasus 𝑚 > 𝑛 maupun 𝑚 = 𝑛. Berikut ini akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 yang tidak memiliki penyelesaian baik untuk kasus 𝑚 > 𝑛, 𝑚 = 𝑛 maupun kasus 𝑚 < 𝑛.

Contoh 3.3.3

Berdasarkan matriks 𝐴 dan vektor 𝒃 diperoleh matriks

𝐷_𝐴,𝑏 = [ maksimum yakni baris pertama atau dengan kata lain semua elemen dalam baris pertama bernilai 0. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 tidak memiliki penyelesaian. Hal ini diperkuat melalui perhitungan berikut:

𝐴 ⨂ 𝒙^∗ = [ merupakan penyelesaian sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃.

Contoh 3.3.4

Akan ditentukan penyelesaian sistem 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃, dengan 𝐴 = [

Berdasarkan matriks 𝐴 dan vektor 𝒃 diperoleh matriks 𝐷_𝐴,𝑏 = [

Berdasarkan matriks 𝐷_𝐴,𝑏 diperoleh 𝒙^∗ = [1, 5, −3]^𝑇. Namun demikian, dari matriks 𝑅_𝐴,𝑏 di atas terlihat bahwa semua elemen dalam baris pertama bernilai 0.

Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 dalam contoh ini tidak memiliki penyelesaian. Hal ini juga diperkuat melalui perhitungan berikut:

𝐴 ⨂ 𝒙^∗ = [

2 1 3

0 𝜀 6

4 0 2

] ⨂ [ 1 5

−3 ] = [

max{3,6,0}

max{1, 𝜀, 3}

max{5,5, −1}

] = [ 6 3 5

] ≤ [ 8 3 5

] = 𝒃 .

Dengan demikian, 𝒙^∗ hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan merupakan penyelesaian sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃.

Contoh 3.3.5

Akan ditentukan penyelesaian sistem 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃, dengan 𝐴 = [1 0 3

𝜀 4 2], 𝒙 = [ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃

], dan 𝒃 = [1 6] . Berdasarkan matriks 𝐴 dan vektor 𝒃 diperoleh matriks

𝐷_𝐴,𝑏 = [0 −1 2

𝜀 −2 −4] dan 𝑅_𝐴,𝑏 = [1 1 1 0 0 0] .

Berdasarkan matriks 𝐷_𝐴,𝑏 diperoleh 𝒙^∗ = [0, 1, −2]^𝑇. Serupa dengan dua contoh sebelumnya, sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 dalam contoh ini juga tidak memiliki penyelesaian karena semua elemen pada baris kedua matriks 𝑅_𝐴,𝑏-nya bernilai 0.

Hal ini ditunjukkan juga melalui perhitungan berikut:

𝐴 ⨂ 𝒙^∗ = [1 0 3 𝜀 4 2] ⨂ [

0 1

−2

] = [max{1,1,1}

max{𝜀, 5,0}] = [1 5] ≤ [1

6] = 𝒃

Jadi, sistem persamaan linear tersebut hanya memiliki sub-penyelesaian terbesar namun tidak mempunyai penyelesaian.

Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 yang memiliki takhingga banyak penyelesaian baik untuk kasus 𝑚 > 𝑛, 𝑚 = 𝑛 maupun kasus 𝑚 < 𝑛.

Contoh 3.3.6

Akan ditentukan penyelesaian sistem 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 dengan

𝐴 = [

Berdasarkan matriks 𝐴 dan vektor 𝒃 diperoleh matriks

𝐷_𝐴,𝑏 = [ kedua dan ketiga matriks 𝑅_𝐴,𝑏 terdapat lebih dari satu nilai maksimum atau dengan kata lain terdapat lebih dari satu elemen bernilai 1 pada kedua baris tersebut. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 memiliki takhingga banyak penyelesaian. Selain itu, berdasarkan Teorema 3.1.4 diperoleh bahwa elemen-elemen dari 𝒙^∗ merupakan batas atas. Karena itu, elemen-elemen vektor penyelesaian 𝒙 dalam contoh ini harus mememenuhi 𝑥₁ ≤ −5, 𝑥₂ ≤ 4 dan 𝑥₃ ≤ 3.

Pada baris pertama dan keempat matriks 𝑅_𝐴,𝑏 nampak bahwa nilai maksimum terdapat pada kolom ke-3 karena itu 𝑥₃ = 3. Pada baris kedua nilai maksimum terdapat pada kolom ke-2 dan ke-3 maka terdapat dua kemungkinan yakni 𝑥₂ = 4 atau 𝑥₃ = 3. Bila nilai 𝑥₃ diubah maka akan mempengaruhi persamaan baris pertama dan keempat. Karena itu, selama 𝑥₂ ≤ 4 maka persamaan pertama dan keempat akan selalu terpenuhi. Demikian halnya dengan memilih 𝑥₁ ≤ −5 maka persamaan baris akan selalu terpenuhi. Jadi, semua vektor 𝒙 yang berbentuk 𝒙 = [𝑎, 𝑏, 3]^𝑇 dengan 𝑎 ≤ −5 dan 𝑏 ≤ 4 juga memenuhi sistem persamaan.

Jadi, sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 dalam contoh ini memiliki takhingga banyak penyelesaian.

Contoh 3.3.7

Akan ditentukan penyelesaian sistem 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 , dengan 𝐴 = [

2 −1 3

0 𝜀 6

4 0 4

], 𝒙 = [ 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃], dan 𝒃 = [ 4 3 5

Berdasarkan matriks 𝐴 dan vektor 𝒃 diperoleh matriks 𝐷_𝐴,𝑏 = [

−2 −5 −1

−3 𝜀 3

−1 −5 −1

] dan 𝑅_𝐴,𝑏 = [

0 1 0

0 0 1

1 1 0

] .

Berdasarkan matriks 𝐷_𝐴,𝑏 diperoleh 𝒙^∗ = [1, 5, −3]^𝑇. Selanjutnya diperoleh 𝐴 ⨂ 𝒙^∗ = [

2 −1 3

0 𝜀 6

4 0 4

] ⨂ [ 1 5

−3 ] = [

max{3,4,0}

max{1, 𝜀, 3}

max{5,5,1}

] = [ 4 3 5

] = 𝒃 .

Nampak bahwa 𝒙^∗ merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 . Akan tetapi, dapat diperiksa bahwa semua 𝒙 yang memenuhi bentuk 𝒙 = [𝑎, 5, −3]^𝑇 dengan 𝑎 ≤ 1 juga memenuhi sistem persamaan di atas.

Jadi, sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 dalam contoh ini memiliki takhingga banyak penyelesaian.

Contoh 3.3.8

Akan ditentukan penyelesaian sistem 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 , dengan 𝐴 = [2 2 1

4 7 8], 𝒙 = [ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃

], dan 𝒃 = [4 6] . Berdasarkan matriks 𝐴 dan vektor 𝒃 diperoleh matriks

𝐷_𝐴,𝑏 = [−2 −2 −3

−2 1 2 ] dan 𝑅_𝐴,𝑏 = [1 0 0 1 1 1] .

Berdasarkan matriks 𝐷_𝐴,𝑏 diperoleh 𝒙^∗ = [2, −1, −2]^𝑇. Selanjutnya ditunjukkan bahwa 𝒙^∗ juga merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 yakni:

𝐴 ⨂ 𝒙^∗ = [2 0 1 4 2 3] ⨂ [

−1

−2

] = [max{4, −1, −1}

max{6,1,1} ] = [4 6] = 𝒃.

Namun demikian, dapat diperiksa bahwa semua 𝒙 yang berbentuk 𝒙 = [2, 𝑎, 𝑏]^𝑇 dengan 𝑎 ≤ −1 dan 𝑏 ≤ −2 juga memenuhi sistem persamaan di atas.

Jadi, sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 pada contoh ini juga memiliki takhingga banyak penyelesaian.

Matriks 𝐷_𝐴,𝑏 dan 𝑅_𝐴,𝑏 berperan dalam menentukan perilaku sistem persamaan ⨂ 𝒙 = 𝒃 . Berikut ini diberikan teorema mengenai ada atau tidak adanya (eksistensi) penyelesaian 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃.

Teorema 3.3.9

Diberikan sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 di mana A R^m_maxⁿ dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan 𝜀 dan b R . ^m

1. Jika terdapat baris nol pada matriks 𝑅_𝐴,𝑏 maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.

2. Jika terdapat paling tidak satu elemen 1 pada tiap baris 𝑅_𝐴,𝑏, maka 𝒙^∗ adalah penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃.

Bukti:

1. Misalkan baris nol pada matriks 𝑅_𝐴,𝑏 adalah baris ke 𝑘 dan andaikan 𝒙^∗ merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃, maka

−𝑥^∗_𝑗 ≥ max

𝑖 (−𝑏_𝑖+ 𝑎_𝑖𝑗) > −𝑏_𝑘+ 𝑎_𝑘𝑗 Akibatnya,

−𝑥^∗_𝑗 > −𝑏_𝑘+ 𝑎_𝑘𝑗 ⇔ 𝑎_𝑘𝑗+ 𝑥^∗_𝑗 < 𝑏_𝑘 , ∀𝑗.

Dengan demikian, 𝒙^∗ tidak memenuhi persamaan ke- 𝑘. Hal ini bertentangan dengan 𝒙^∗ adalah penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃. Jadi, 𝒙^∗ bukan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 atau sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 tidak mempunyai penyelesaian.

2. Akan dibuktikan kontraposisinya. Andaikan 𝒙^∗ bukan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃. BerdasarkanTeorema 3.1.4 diperoleh

−𝑥^∗_𝑗 ≥ −𝑏_𝑘+ 𝑎_𝑘𝑗 , ∀𝑘, 𝑗 Akibatnya,

max𝑗 (𝑎_𝑘𝑗+ 𝑥^∗_𝑗) ≤ 𝑏_𝑘

Jika 𝒙^∗ bukan merupakan penyelesaian dari 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃, maka terdapat 𝑘 sedemikian sehingga

max𝑗 (𝑎_𝑘𝑗+ 𝑥^∗_𝑗) < 𝑏_𝑘 Hal ini ekuivalen dengan

−𝑥^∗_𝑗 > −𝑏_𝑘+ 𝑎_𝑘𝑗 , ∀𝑗

Karena −𝑥^∗_𝑗 = max(−𝑏_𝑙+ 𝑎_𝑙𝑗) untuk beberapa 𝑙, maka tidak ada elemen dalam baris 𝑘 dari 𝑅_𝐴,𝑏 yang bernilai 1. ∎

Teorema 3.3.9 di atas digunakan untuk menentukan eksistensi penyelesaian sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃. Namun demikian, eksistensi ini belum menjelaskan kapan penyelesaiannya tunggal dan kapan penyelesaiannya taktunggal. Karena itu, untuk menentukan ketunggalan sistem persamaan 𝐴 ⨂ 𝒙 = 𝒃 diberikan definisi berikut.

Definisi 3.3.10

Elemen bernilai 1 pada suatu baris 𝑅_𝐴,𝑏 dinamakan elemen peubah tetap jika 1. Elemen tersebut merupakan satu-satunya elemen bernilai 1 pada baris

tersebut (lone-one), atau

Dalam dokumen ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito (Halaman 43-72)