Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus - Jika suatu jaringan proyek dengan waktu aktifitas tegas

Teorema 3.7.3 Jika suatu jaringan proyek dengan waktu aktifitas tegas mempunyai n titik, maka vektor saat-penyelesaian paling lambat untuk semua kegiatan yang

4.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus

Terlebih dulu akan dibahas kembali konsep aljabar max-plus dan graf, terutama yang terkait dengan pembahasan nilai eigen dan vektor eigen max-plus.

Berikut didefinisikan suatu matriks yang graf bobotnya terhubung kuat.

Definisi 4.1.1 (Irredusibilitas, Schutter,1996)

Suatu matriks A  R^nxn_max dikatakan irredusibel jika graf bobotnya terhubung kuat.

Teorema berikut memberikan syarat perlu dan cukup matriks irredusibel.

Teorema 4.1.2

Matriks A  R^nxn_max irredusibel jika dan hanya jika (A  A^²  ...  A^ⁿ^¹)_ij   untuk setiap i, j dengan i  j.

Bukti: () Jika A irredusibel maka G(A) = (V, A) dengan V = {1, 2, , ... , n}

terhubung kuat, yaitu untuk setiap i, j  V , i  j , terdapat suatu lintasan dari i ke j . Hal ini berarti untuk setiap i, j  V, i  j terdapat k dengan 1  k  n1 sehingga (A^^k )_ij . Akibatnya (A  A^²  ...  A^ⁿ^¹)_ij   untuk setiap i, j dengan i  j.

() Jika (A  A^²  ...  A^ⁿ^¹)_ij   untuk setiap i, j dengan i  j, maka terdapat k dengan 1  k  n1 sehingga (A^^k )_ij  . Hal ini berarti dalam graf bobot G(A) = (V, A) dengan V = {1, 2, , ... , n}, untuk setiap i, j  V , i  j

terdapat suatu lintasan dari i ke j. Akibatnya G(A) terhubung kuat, yang berarti bahwa A irredusibel. ■

Contoh 4.1.3

Diperhatikan matriks A dalam Contoh 3.5.7. Matriks A tersebut irredusibel, karena

A  A^² =

Sedangkan matriks A dalam Contoh 3.5.4 tidak irredusibel, karena A  A^² =

Dalam graf pada Gambar 3.5.2 terlihat bahwa dalam G(A)-nya tidak ada lintasan dari titik 1 ke titik 2.

Berikut dibahas konsep nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks dalam aljabar max-plus.

Definisi 4.1.4 (Nilai eigen dan vektor eigen max-plus, Schutter,1996)

Diberikan A R^n_maxⁿ . Skalar   Rmax disebut nilai eigen max-plus matriks A jika terdapat suatu vektor v Rⁿ_max dengan v  ε sehingga A _n_₁  v =   v.

Vektor v tersebut disebut vektor eigen max-plus matriks A yang bersesuaian dengan .

Berikut diberikan teorema yang memberikan eksistensi nilai eigen aljabar max-plus untuk setiap A R^n_maxⁿ .

Teorema 4.1.5

Diberikan A R^n_maxⁿ. Skalar max(A), yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A), merupakan suatu nilai eigen max-plus matriks A.

⁽^^_max⁽^A⁾⁾^^_max⁽^A⁾⁾



⁼



 n

k 1(0) = 0.

Akibatnya G(B) tidak mempunyai sirkuit dengan bobot positif. Menurut Teorema 3.5.8 dapat diperoleh B^* = E  B  ...  B^ⁿ^¹ dan B^= B  B^²...  B^ⁿ. Karena max(B) = 0, maka terdapat k  N (= himpunan semua bilangan asli) , k  n dan suatu s  {1, 2, ..., n} sehingga (B^^k ) = 0. Akibatnya komponen ke-s dari _ss



B_.s ( kolom ke-s matriks B^ ) adalah (B^^k ) = 0 yang berarti bahwa _ss B_.^_s



n1. Di sisi lain menurut Definisi 3.5.9 B^= B B^* dan B^*= E  B^. Karena (E)ss = 0, maka B_.^_s = B . Akibatnya _.s^* B_.^_s= B B = _.s^* B atau ( _.s^* max(A)  A) 

B = .s B atau A _.s^* B = _.s^* max(A) B . Jadi _.s^* max(A) merupakan suatu nilai eigen aljabar max-plus matriks A dan B merupakan vektor eigen aljabar max-_.s^* plus matriks A yang bersesuaian dengan max(A). ■

Karena definisi matriks B = max(A)  A, maka sirkuit kritis ₀ dalam G(A) juga merupakan sirkuit kritis dalam G(B). Dari bukti Teorema 4.1.5 di atas, jika titik i menyusun busur dalam sirkuit kritis ₀ , maka kolom ke-i matriks B^* merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen max(A). Kolom ke-i

matriks B di atas, yang merupakan vektor-vektor eigen max-plus matriks A yang ^* bersesuaian dengan nilai eigen max(A), disebut vektor eigen max-plus fundamental yang bersesuaian dengan nilai eigen max-plus max(A). Dapat ditunjukkan bahwa kombinasi linear max-plus vektor-vektor eigen max-plus fundamental matriks A juga merupakan vektor eigen max-plus yang bersesuaian dengan max(A).

1  2  1 merupakan sirkuit kritis dalam G(A) maka kolom pertama dan kedua matriks B merupakan vektor eigen yang bersesuian dengan nilai eigen ^*

Berikut diberikan suatu teorema yang memberikan syarat perlu nilai eigen aljabar max-plus suatu matriks.

Teorema 4.1.7

Diberikan A R^n_maxⁿ . Jika skalar   R, merupakan nilai eigen aljabar max-plus matriks A, maka  merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam G(A).

Bukti: Misalkan  adalah nilai eigen max-plus matriks A maka untuk setiap sedemikian hingga

3 operasi “” dalam Rmax bersifat komutatif, maka diperoleh

(Ail_,il1  . . .  diberikan lemma yang menyatakan bahwa untuk matriks irredusibel semua komponen vektor eigen max-plusnya berupa bilangan real. Lemma 4.1.8 berikut juga akan digunakan untuk membuktikan Teorema 4.1.9.

Lemma 4.1.8

Jika matriks irredusibel A R^n_maxⁿ mempunyai nilai eigen aljabar max-plus  dengan x vektor eigen aljabar max-plus yang bersesuaian dengan , maka x   _i untuk setiap i  {1, 2, ..., n}.

Bukti: Misalkan terdapat dengan tunggal s  {1, 2, ..., n} sehingga xs =  . Akibatnya (A  x) =  _s x =  atau _s A_s_,_i x_i =  untuk setiap i  {1, 2, ..., n}.

Karena x   untuk setiap i _i  s, maka A_s_,_i=  . Hal ini berarti tidak ada busur dari setiap titik i  s ke titik s. Akibatnya G(A) tidak terhubung kuat atau A tidak irredusibel. Jika terdapat lebih dari satu komponen yang sama dengan  , bukti seperti di atas sehingga akan diperoleh kesimpulan A tidak irredusibel. ■

Matriks irredusibel mempunyai nilai eigen aljabar max-plus tunggal seperti diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 4.1.9

Jika matriks A R^n_maxⁿ irredusibel, maka A mempunyai nilai eigen aljabar max-plus tunggal.

Bukti:. Eksistensi nilai eigen aljabar max-plus matriks A telah diberikan dalam Teorema 4.1.5 Misalkan  adalah sebarang nilai eigen aljabar max-plus matriks A dengan x adalah vektor eigen aljabar max-plus yang bersesuaian dengan .

Karena A irredusibel maka menurut Lemma 4.1.8, x   untuk setiap i  {1, 2, _i ..., n}. Diambil sebarang sirkuit , misalkan sirkuit  adalah (i₁,i₂), (i₂ , i ) , ... , ₃ (i ,_p i₁) dalam G(A). Karena  adalah nilai eigen aljabar max-plus matriks A, maka

2 1

2 i i i

i x λ x

A _,    , 

p p

p i i i

i x λ x

A _, _₁  _₁   , A_i₁_, _i_p x_i_p  λx_i₁.

Dari bukti Teorema 4.1.7, didapat bahwa  lebih besar atau sama dengan rata-rata bobot  , untuk setiap sirkuit  dalam G(A). Jadi  = max(A), yang berarti nilai eigen aljabar max-plus matriks A tunggal. ■

Berikut diberikan list program MATLAB untuk menghitung nilai eigen dan vektor eigen max-plus.

% Program Matlab Menghitung NILAI EIGEN MAX-PLUS Maksimum dan VEKTOR EIGEN

% yang bersesuaian untuk suatu Matriks max-plus A

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: matriks max-plus Anxn

% output: irredusibel/ tak irredusibel matriks A

% nilai eigen max-plus maximum

% vektor eigen yang bersesuaian function hasilkali = eigmax

disp(' ')

disp(' NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS') disp(' ---') disp(' ')

A = input(' Matriks yang dihitung A = ');

disp(' ') disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '), disp(A)

% Menghitung A pangkat , trace/pangkat dan nilai eigen maksimum [m, n]= size(A);

if m==n if n==2

for i = 1: n for j=1: n if i==j

A(i,j) = 0;

end;

A0 = min(A);

A00 = min(A0);

if A00 == -Inf

disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else

disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end;

end;

trace = max(diag(A));

D=A;

for r=1:n-1 r+1;

for i = 1: m for j = 1: n

C(i, j) = -Inf;

for p = 1: n

C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p, j) );

end;

A_plus = max(D, C);

D=C;

trace_perpk(r) = max(diag(D)./(r+1));

lambmax = max(trace_perpk);

end;

lambmaxmat = max(trace, lambmax);

for r=1:n-2 r+1;

for i = 1: m for j = 1: n

C(i, j) = -Inf;

for p = 1: n

C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p, j) );

end;

A_plus1 = max(D, C);

D=C;

end;

if n>2

for i = 1 : n for j = 1 : n if i==j

A_plus1(i,j) = 0;

end;

A0_plus1 = min(A_plus1);

A00_plus1 = min(A0_plus1);

if A00_plus1 == -Inf

disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else

disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end;

end;

disp('NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A

=’),disp(lambmaxmat)

% Menghitung matriks normal B, B pangkat dan B+

B = A-lambmaxmat;

disp(' ') G=B;

for s=1:n-1 s+1;

for i = 1: m for j = 1: n

F(i, j) = -Inf;

for p = 1: n

F(i, j) = max( F(i, j) , B(i, p) + G(p, j) );

end;

B_plus = max(G, F);

G = F;

end;

% Menghitung matriks E dan B*

for i = 1 : n for j = 1 : n if i ~= j

E(i,j) = -Inf;

end;

B_star= max(E, B_plus);

% Menentukan vektor eigen yang bersesuaian

disp(' VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian =') x= diag(B_plus);

for t = 1 : n if x(t)>=0

VE = B_star(:,t); disp(VE) end;

end;

% Perhatian jika yang diinputkan bukan matriks nxn else

disp(' ') disp(' P E R H A T I A N ! ! !') disp('BUKAN matriks bujursangkar, nilai eigen tidak didefinisikan')

end;

Gambar 4.1.1 List Program MATLAB untuk nilai dan vektor eigen max-plus.

Dengan menggunakan program di atas dapat ditentukan nilai eigen maksimum dan vektor eigen yang bersesuaian untuk matriks seperti dalam contoh berikut.

Contoh 4.1.10

Untuk matriks A =



















1 2

1 1

1 3 2



 dapat diperoleh bahwa vektor eigen

maksimumnya max(A) = 2 dengan vektor-vektor eigen max-plus fundamentalnya adalah v₁ = [0, 1, 1]^T dan v₂ = [1, 0, 0]^T .

Dalam dokumen ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito (Halaman 117-125)