Medan Galois

STRUKTUR MEDAN GALOIS

3.3. Medan Galois

Sudah diketahui bahwa Zp adalah medan berhingga berorder p jika dan hanya jika

p prima. Ini berarti Z4 bukanlah medan. Tetapi terdapat medan berorder 4, tentu saja medan ini bukan Z4 melainkan perluasan dari medan Z2. Medan perluasan dari Z2 ini adalah Z₂[x] (p(x)) di mana p(x) adalah polinomial taktereduksi berderajat 2 atas Z2. Akan ditunjukkan sekarang, bahwa karena 0 dan 1 dalam Z2 (demi kepraktisan, tanda kurung siku dihilangkan) bukan akar-akar dari polinomial p(x) = x² + x + 1 ∈ Z2[x], maka p(x) taktereduksi atas Z2 (Teorema 2.6.8). Telah ditunjukkan bahwa Z₂[x] (p(x)) medan perluasan dari Z2 dan memuat semua akar dari p(x). Misalkan α∈ Z₂[x] (p(x)) akar dari p(x), maka menurut Proposisi 3.1.4, Z₂[x] (p(x)) isomorfis dengan medan

(Proposisi 3.1.5). Jadi Z2(α) = {0, 1, α, 1 + α} medan berhingga berorder 4. Tampak bahwa Z2(α) ⊃ Z2. Karena α adalah akar dari p(x) = x²+ x+ 1 yaitu α2 + α+ 1 = 0, maka α2 = −1 + (−α) = 1 + α (elemen dalam Z2(α) berbentuk polinomial dalam α

dengan koefisien-koefisien dalam Z₂), sehingga (1 +α)²+ (1 +α) + 1 = 1 + 2α+α2+ 1

+α+ 1 = 1 + 2α+ 1 +α+ 1 +α+ 1 = (1 + 1) + (1 + 1) + 2α+ 2α= 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Jadi α dan 1 + α adalah akar-akar dari x²+ x+ 1 ∈Z2[x]. Di bawah ini tabel lengkap penjumlahan dan perkalian setiap elemen dalam Z2(α). Penghitungan seperti di atas.

Tabel 3.1. Tabel Cayley penjumlahan dan perkalian untuk medan Z2(α)

+ 0 1 α 1 +α ⋅ 0 1 α 1 +α

0 0 1 α 1 +α 0 0 0 0 0

1 1 0 1 +α α 1 0 1 α 1 +α

α α 1 +α 0 1 α 0 α 1 +α 1

1 +α 1 +α α 1 0 1 +α 0 1 +α 1 α

Dengan cara yang sama, medan berorder 2³= 8 dapat dikonstruksi dari Z2, dengan polinomial taktereduksi berderajat 3 yaitu x³+x+ 1 ∈Z2[x]. Semua elemennya adalah 0, 1, α, 1 + α, α2

, 1 + α2

, α+ α2

, 1 + α+ α2

. Dan akar-akar dari x³ + x+ 1 ∈ Z2[x] adalah α, α2

, α + α2

. Polinomial x²+ 1 taktereduksi atas Z3, maka dapat dikonstruksi medan perluasan dari Z3 berorder 3²= 9 dan memuat semua akar dari x²+ 1 ∈Z3[x]. Medan berorder 9 tersebut adalah {0, 1, 2, α, 2α, 1 + α, 1 + 2α, 2 + α, 2 + 2α} dan akar-akar dari x² + 1 ∈ Z3[x] adalah α dan 2α. Kemudian polinomial x³ + x² + x+ 1 taktereduksi dalam Z3[x], maka dapat dikonstruksi medan berorder 3³= 27. Demikian seterusnya.

ditemukan polinomial taktereduksi berderajat positif n atas medan Zp.

Sekarang, polinomial-polinomial x dan x− 1 taktereduksi atas Z2, maka Z₂[x] (x) dan Z₂[x] (x−1) semuanya adalah medan berorder 2. Tetapi Z₂[x] (x) ≅ Z2(0) = Z2 dan Z₂[x] (x−1) ≅ Z2(1) = Z2, sehingga Z₂[x] (x) ≅ Z₂[x] (x−1). Jadi Z₂[x] (x) dan Z₂[x] (x−1) merupakan medan Z2. Di atas ditunjukkan bahwa [ ] ( 3 1)

2 x x +x+ Z

medan berorder 8. Di sini [ ] ( 3 2 1)

2 x x +x +

Z juga medan berorder 8 sebab x³+ x²+ 1 taktereduksi atas Z2. Misalkan ω ∈ [ ] ( 3 2 1)

2 x x +x +

Z adalah akar dari x³ + x² + 1, maka [ ] ( 3 2 1) 2 x x +x + Z = {0, 1, ω, 1 + ω, ω2 , 1 + ω2 , ω+ ω2 , 1 + ω+ ω2 }. Dengan membuat tabel-tabel Cayley penjumlahan dan perkalian untuk Z₂[x] (x³+x+1) dan

) 1 ( ] [ ^{3 2} 2 x x +x +

Z di mana penghitungan dilakukan dengan mendefinisikan α3= 1 +α

dan ω3= 1 +ω2

, tampak bahwa Z₂[x] (x³+x+1) ≅ Z₂[x] (x³+x²+1). Hal ini sedikit menggambarkan bahwa setiap dua medan yang berorder pⁿ saling isomorfis untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n. Lema berikut gambaran lebih lanjut.

Lema 3.3.1.

Jika F medan berhingga berorder q, maka setiap elemen dalam F adalah akar dari polinomial x^q−x.

BUKTI.

F^#=F − {0} adalah grup multiplikatif berorder q− 1. Dengan Akibat 2.2.12, a^q−1= 1F untuk ∀a∈ F^#. Ini berarti a^q= a, sehingga a^q−a = 0. Dengan demikian setiap a ∈F^#

adalah akar dari x^q−x. Tetapi 0 juga akar dari x^q−x. Jadi setiap elemen dalam F adalah

akar dari x^q−x. ■

Setiap medan berhingga F harus berkarakteristik prima p sebab tidak mungkin F

berkarakteristik 0 (memuat submedan prima yang isomorfis dengan Q). Jadi F memuat submedan Zp. Lema 3.3.1 di atas menunjukkan bahwa jika F berorder pⁿ, maka F adalah medan pembelah dari x^pn− x∈Zp[x]. Sebelumnya sudah dijelaskan bahwa setiap dua medan pembelah dari x^pn −x∈Zp[x] saling isomorfis untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n, sehingga Lema 3.3.1 memberikan gambaran ketunggalan medan berorder pⁿ. Medan berorder pⁿ ini disebut medan Galois, dinotasikan dengan GF(pⁿ), di mana dikonstruksi dari Z_p dengan polinomial taktereduksi berderajat positif n

atas Zp. Ketunggalan medan Galois berorder pⁿ untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n, tetap dapat dibuktikan walaupun ketunggalan medan pembelah dari suatu polinomial tidak dibuktikan di sini. Di bawah ini akan dibuktikan bahwa tidak ada medan berhingga lainnya selain medan Galois.

Teorema 3.3.2.

Jika F medan berhingga, maka F =pⁿ untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n.

BUKTI.

Jika F medan berhingga, maka F memuat submedan Zp untuk suatu bilangan prima p. Ini berarti F adalah ruang vektor atas Z_p. Jelas F berdimensi berhingga, sehingga dari

adalah dimensi dari F atas Zp. Misalkan basis dari F atas Zp adalah {v1, v2, …, vn} dengan vi ∈ F adalah vektor-vektor. Maka setiap vektor v ∈ F dapat diekspresikan dengan tunggal dalam bentuk v=b1v1+b2v2+ … +bnvn sebab v1, v2, …, vn bebas linear (Teorema 3.2.1) dengan bi ∈Zp. Maka total semua kombinasi linear dari v1, v2, …, vn

adalah pⁿ. Jadi medan berhingga F berorder pⁿ. ■

Akan dibuktikan pernyataan Galois bahwa ada medan berorder pⁿ untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n. Diawali lema-lema pendukung.

Lema 3.3.3.

Jika F adalah medan berkarakteristik prima p, maka (a+b)pⁿ = apⁿ + bpⁿ untuk setiap

a, b∈F dan setiap bilangan bulat positif n.

BUKTI.

Ambil sembarang a, b∈F. Dibuktikan dengan Induksi Matematis. Pangkal Untuk n= 1, maka menurut Teorema Binomial,

(a +b)^p=a^p+ _      1 p a^p−1b + _      2 p a^p−2b²+ … +b^p, p!i!(p i)! i p − =       dengan

1 ≤ i≤ p− 1. Karena i! dan (p −i)! kedua-duanya tidak dibagi oleh p tetapi hanya p! yang dibagi oleh p, maka p membagi bilangan bulat positif 

     i p .

    i p m = )! ( ! )! 1 ( )! ( ! ! i p i p p m i p i p − − = − ^{m = (sp)m = s(pm) = s0 = 0. Dengan} demikian (a+b)^p=a^p+b^p.

Langkah Diasumsikan teorema benar untuk n=k, yaitu p^k p^k p^k

b a b

a )

( + = + .

Akan dibuktikan teorema benar untuk n=k+1.

1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( + pk⁺ = + pk p = pk + pk p= pk p+ pk p = pk⁺ + pk⁺ b a b a b a b a b a . Terbukti (a+b)^pn = a^pn + b^pn untuk ∀n≥ 1. ■ Lema 3.3.4.

Misalkan E medan berkarakteristik prima p dan n adalah bilangan bulat positif. Maka

g(x) =x^q−x dengan q=pⁿ tidak mempunyai akar berulang > 1 dalam E.

BUKTI.

Jelas 0 akar berulang 1 dari g(x) = x^q− x= x (x^q−1− 1). Misalkan a ≠ 0 akar dari g(x) dalam E, maka g(x) = (x− a) h(x). Akan ditunjukkan a bukan akar dari h(x) sehingga

g(x) tidak mempunyai akar berulang > 1. Perhatikan bahwa g(x−a) = (x−a)^q− (x−a). Karakteristik dari E adalah p, maka dari Lema 3.3.3, g(x − a) = x^q + (−a)^q − x + a. Karena a^q=a dengan q=pⁿ, maka (−a)^q+a= 0 untuk setiap p (sebab (−a)^q+a=a^q+a =a +a= 2a= 0 untuk p= 2, dan (−a)^q+a=−a^q+a=−a +a= 0 untuk p> 2). Dengan demikian g(x) =g(x−a) = (x−a)^q− (x−a) = (x−a) ((x−a)^q−1− 1) dan di sini a bukan akar dari (x−a)^q−1− 1 =h(x).

Untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n, terdapat medan berorder pⁿ.

BUKTI.

Jika g(x) = x^q−x∈Zp[x] dengan q=pⁿ, maka menurut Teorema 3.1.2, terdapat medan

E yang memuat Zp dan semua akar dari g(x). Jadi dalam E[x], g(x) = (x−a1) (x−a2) … (x− aq). Karena E medan berkarakteristik p, maka menurut Lema 3.3.4, a1, a2, …, aq saling berbeda. Misalkan K= {a ∈E : g(a) = 0}, maka K =q=pⁿ. Selanjutnya tinggal ditunjukkan bahwa K adalah submedan dari E. Ambil sembarang a, b ∈K, maka a^q=a

dan b^q = b. Menurut Lema 3.3.3, (a + b)^q= a^q + b^q = a + b, sehingga g(a + b) = 0. Kemudian, (ab)^q= a^qb^q=ab, sehingga g(ab) = 0. Dan g(−a) = (−a)^q− (−a) = 0 sebab (−a)^q− (−a) =a^q+a=a+a= 2a= 0 jika p= 2, dan (−a)^q− (−a) =−a^q+a=−a+a= 0 jika p > 2. Berarti a + b, ab, −a ∈ K. Karena 1E ∈ K, maka K adalah subgelanggang komutatif dari E dengan elemen satuan. Dan akhirnya, g(a⁻¹) = (a⁻¹)^q−a⁻¹ = (a^q)⁻¹−a⁻¹ =a⁻¹−a⁻¹= 0, yaitu a⁻¹ ∈K.

Terbukti K medan berorder pⁿ. ■

Di atas sudah dibuktikan terdapat medan berorder q jika dan hanya jika q adalah pangkat bilangan prima. Sebelum membuktikan ketunggalan medan berorder q = pⁿ

untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n, ditunjukkan terlebih dahulu bahwa grup multiplikatif dari setiap medan berhingga adalah grup siklik. Untuk hal tersebut, akan digunakan suatu konsep dalam teori bilangan.

Didefinisikan fungsi Euler φ(n) dengan φ(1) = 1 dan untuk n > 1, maka φ(n) =

banyaknya bilangan bulat positif kurang dari n dan relatif prima terhadap n. Sebagai contoh, φ(18) = 6 sebab bilangan-bilangan bulat positif yang kurang dari 18 dan relatif prima terhadap 18 adalah 1, 5, 7, 11, 13, 17.

Teorema 3.3.6.

Jika m dan n adalah bilangan-bilangan bulat positif, maka

∑

mn φ(m) =n. BUKTI.

Misalkan G= {eG, a, a², …, aⁿ⁻¹}, yaitu G grup siklik berorder n yang dibangun oleh a. Pernyataan-pernyataan berikut ini adalah aplikasi dari Teorema 2.2.6. Jika mn, maka G

mempunyai tepat satu subgrup (dan siklik) H berorder m. Karena elemen berorder m

membangun subgrup berorder m, maka elemen-elemen berorder m dalam G semuanya di dalam H. Misalkan H dibangun oleh a^b =h. Maka h^k berorder m jika k relatif prima terhadap m dengan 1 ≤ k< m. Berarti banyaknya elemen berorder m adalah φ(m). Dan karena order setiap elemen dalam G membagi n (Akibat 2.2.12), maka jelas jumlahan dari φ(m) sama dengan n untuk setiap m yang membagi n, yaitu

∑

mn φ(m) =n. ■

Contoh 3.3.1.

Bilangan-bilangan bulat positif yang membagi 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18. Jadi φ(1) = 1,

φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(6) = 2, φ(9) = 6, φ(18) = 6. Dan φ(1) +φ(2) +φ(3) +φ(6) +φ(9) + φ(18) = 18.

Subgrup berhingga G dari grup multiplikatif dari medan F adalah siklik.

BUKTI.

Jika F medan, maka F^# = F − {0} adalah grup multiplikatif dari F. Misalkan G ≤ F^#

berorder n. Akan ditunjukkan bahwa G memuat elemen berorder n sehingga G siklik. Misalkan bilangan bulat taknegatif ψ(m) adalah banyaknya elemen berorder m dalam G. Dibuktikan dahulu pernyataan-pernyataan berikut benar

(i) ψ(m) ≤φ(m) untuk setiap m yang membagi n, (ii)

∑

mn ψ(m) =n,

(iii)

∑

mn φ(m) =n.

Jika ada elemen h berorder m dalam G, maka h membangun subgrup siklik H berorder

m dalam G. Jadi setiap elemen dalam H adalah penyelesaian dari persamaan x^m = 1F. Karena G memuat paling banyak m akar dari polinomial x^m − 1F, maka G memuat paling banyak m penyelesaian dari persamaan x^m = 1_F. Ini berarti H memuat setiap penyelesaian dari persamaan x^m= 1F. Dengan perkataan lain, elemen-elemen berorder m

dalam G semuanya di dalam H. Dari bukti Teorema 3.3.6, H memuat tepat φ(m) elemen berorder m, sehingga ψ(m) = φ(m). Jika tidak ada elemen berorder m, maka ψ(m) = 0. Jadi ψ(m) ≤φ(m) untuk setiap m yang membagi n. Maka (i) benar. Karena order setiap elemen dalam G membagi n, maka (ii) benar. Dan Teorema 3.3.6 membuktikan (iii). Dari (i), (ii), (iii) menunjukkan bahwa ψ(m) = φ(m) untuk setiap m yang membagi n. Berarti ψ(n) =φ(n) ≥ 1, yaitu G memuat elemen berorder n. Jadi G siklik. ■

Teorema 3.3.8.

Jika F medan berhingga, maka grup multiplikatif dari F adalah grup siklik.

BUKTI.

Teorema 3.3.7 sudah membuktikan bahwa setiap subgrup berhingga dari F^#=F − {0} adalah siklik. Karena F^# adalah subgrup berhingga dari F^#, maka F^# siklik. ■

Contoh 3.3.2.

Z3^# = {1, 2} adalah grup siklik yang dihasilkan oleh 2. Grup K^#= {1, α, 1 + α} dari medan K berorder 4 adalah grup siklik yang dihasilkan oleh α dan 1 + α, di mana polinomial taktereduksi berderajat 2 atas Z2 yaitu x²+x+ 1.

Akibat 3.3.9.

Jika F medan berhingga, maka F=Zp(a) untuk suatu bilangan prima p dan a∈F.

BUKTI.

Jika F medan berhingga, maka F adalah perluasan dari Zp untuk suatu bilangan prima p. Kemudian dari Teorema 3.3.8, F^# adalah grup siklik yang dihasilkan oleh a∈F. Karena

Zp(a) adalah medan yang dihasilkan dari Zp dan a, maka haruslah F=Zp(a). ■

Teorema 3.3.10.

Jika K dan L medan-medan berorder pⁿ untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat n> 0, maka K dan L isomorfis.

Jika K, L berorder pⁿ untuk suatu bilangan prima p dan bilangan bulat n > 0, maka K, L

perluasan berhingga dari Zp. Dari Akibat 3.3.9, maka K = Zp(α) untuk suatu α ∈ K, sehingga α adalah elemen aljabar atas Zp (Teorema 3.2.4). Menurut Proposisi 3.1.4, terdapat polinomial taktereduksi g(x) dalam Z_p[x] yang mempunyai α sebagai akar sedemikian sehingga Zp(α) = K ≅ Z_p[x] (g(x)). Perhatikan bahwa g(x) berderajat n

sebab [K :Zp] = n dan [Zp(α) :Zp] = der(g(x)) (Teorema 3.2.3). Karena α adalah akar dari x^q−x∈Zp[x] dengan q =pⁿ (Lema 3.3.1), dan g(x) polinomial taktereduksi untuk

α atas Zp, maka g(x) harus membagi x^q − x (Proposisi 3.1.4). Di lain pihak, akar-akar dari x^q−x semuanya adalah elemen dari L. Maka dalam L[x], x^q−x= (x−β1) (x−β2) … (x−βq) di mana βi ∈L. Dalam L[x], tidak semua (x−βi) relatif prima terhadap g(x) karena jika semua (x−βi) relatif prima terhadap g(x), maka (x−β1) (x−β2) … (x−βq)

=x^q−x relatif prima terhadap g(x). Kontradiksi dengan g(x) membagi x^q−x. Ini berarti (x− βi) dan g(x) mempunyai faktor persekutuan berderajat 1 untuk suatu βi ∈L. Maka haruslah di sini (x−βi) membagi g(x), yaitu g(x) = (x−βi) h(x) untuk suatu h(x) ∈L[x], sehingga βi adalah akar dari g(x). Karena g(x) taktereduksi atas Zp, maka dari Proposisi 3.1.4, Zp(βi) ≅ Z_p[x] (g(x)). Dan menurut Teorema 3.2.3, [Zp(βi) :Zp] = der(g(x)) =n. Karena [L : Zp] = n dan homomorfisma evaluasi

i

β

θ : Zp[x] →L menunjukkan bahwa

Z_p(βi) ⊆L, maka haruslah L=Z_p(βi). Jadi K≅ Z_p[x] (g(x)) ≅L. ■

Sudah dibuktikan di atas bahwa hanya ada satu medan berorder pⁿ untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat n > 0. Berikut ini akan dibuktikan sifat lain

dari medan Galois GF(pⁿ), yaitu grup aditif dari GF(pⁿ) untuk suatu bilangan prima p

dan suatu bilangan bulat n > 0, isomorfis dengan n-tupel grup aditif Zp ×Zp × … ×Zp (dapat juga ditulis dengan Zp ⊕Zp ⊕ … ⊕Zp, dan disebut jumlahan langsung).

Akibat 3.3.11.

Grup aditif dari GF(pⁿ) isomorfis dengan n p

Z =Zp ×Zp × … ×Zp untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat n> 0.

BUKTI.

Menurut Teorema 3.3.10, jika medan-medan K dan L berorder pⁿ untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat n > 0, maka K dan L isomorfis. Jadi (K, +) dan (L, +)

isomorfis sebagai ruang vektor atasZp. Karena n p

Z adalah ruang vektor atas Zp di mana

n p

Z =pⁿ, maka (K, +) isomorfis dengan Zⁿ_p =Zp ×Zp × … ×Zp. ■

Meskipun bukti eksistensi medan Galois dalam Teorema 3.3.5 tidak menunjukkan konstruksi langsung dari polinomial taktereduksi atas Zp seperti dinyatakan oleh Galois, teorema berikut menunjukkan bahwa polinomial taktereduksi berderajat positif n atas Zp selalu ada. Maka medan Galois selalu dapat dikonstruksi. Tetapi tidak ada rumus umum untuk menghasilkan polinomial taktereduksi berderajat n atas Zp.

Teorema 3.3.12.

Untuk setiap bilangan bulat n > 0 dan setiap bilangan prima p, terdapat polinomial taktereduksi berderajat n atas Zp.

Teorema 3.3.5 membuktikan terdapat medan berorder pⁿ. Dalam bukti Teorema 3.3.10 telah ditunjukkan terdapat polinomial taktereduksi g(x) berderajat n atas Zp. ■

Teorema berikut ini generalisasi dari Teorema 3.3.12 untuk setiap medan berhingga.

Teorema 3.3.13.

Untuk setiap bilangan bulat n > 0, terdapat polinomial taktereduksi berderajat n atas medan berhingga F.

BUKTI.

Misalkan F =p^m. Maka setiap elemen dalam F adalah akar dari x^pm−x (Lema 3.3.1). Kemudian untuk setiap n > 0, terdapat medan E berorder p^mn (Teorema 3.3.5). Berarti setiap elemen dalam E adalah akar dari xp^mn−x. Ditunjukkan dahulu bahwa jika a∈F, maka a adalah akar dari p^mn

x − x, yaitu p^mn

a = a untuk ∀n. Ambil sembarang a ∈ F. Dibuktikan dengan Induksi Matematis.

Pangkal Untuk n= 1, maka p^m1

a =a sebab a adalah akar dari p^m x −x. Langkah Diasumsikan benar untuk n=k, yaitu a^pmk=a.

Akan dibuktikan benar untuk n=k+ 1.

a a a a ap^m(k+¹⁾ = p^mkp^m = ( p^mk)p^m = p^m = .

Jadi jika a ∈F, maka a adalah akar dari x^pmn− x untuk ∀n. Jadi F submedan dari E. Karena E =p^mn= (p^m)ⁿ, maka E adalah perluasan berderajat n atas F, yaitu [E :F] =n

(tetapi E adalah perluasan berderajat mn atas Zp). Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema 3.3.10, maka terdapat polinomial taktereduksi berderajat n atas F. ■

Contoh 3.3.3.

Polinomial q(x) = x² + x+ 1 taktereduksi atas Z2. Maka dapat dikonstruksi perluasan dari Z2, yaitu K={0, 1, α, 1 +α}. Terdapat polinomial taktereduksi berderajat 2 atas K, yaitu r(x) = x² + x + α (sebab semua elemen dalam K bukan akar dari r(x), di mana penghitungan dapat dilakukan dengan mendefinisikan α2= 1 +α).

Akhirnya, akan dibuktikan sifat utama medan Galois, yaitu banyaknya submedan dari medan Galois GF(pⁿ) adalah banyaknya bilangan bulat positif yang membagi n. Dibuktikan dahulu teorema penting berikut ini.

Teorema 3.3.14.

Misalkan m, n adalah bilangan-bilangan bulat positif dan p adalah bilangan prima. Maka

p^m− 1 membagi pⁿ− 1 jika dan hanya jika m membagi n.

BUKTI.

Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga n=mq+r dengan 0 ≤ r<m.

Perhatikan bahwa pⁿ=pⁿ+ (p^n−m+p^n−2m+ … +p^n−m(q−1)+p^n−mq) − (p^n−m+p^n−2m+ … + p^n−m(q−1) +p^n−mq) =pⁿ+ (p^n−m+ p^n−2m+ … + p^n−m(q−1)) − (p^n−m+ p^n−2m+ … +p^n−m(q−1)+ p^n−mq) +p^n−mq= (p^m− 1) (p^n−m+p^n−2m+p^n−3m+ … +p^n−mq) +p^n−mq.

+p^n−2m+p^n−3m+ … +p^n−mq). Jadi p^m− 1 membagi pⁿ− 1 jika dan hanya jika p^r− 1 = 0 jika dan hanya jika r= 0 jika dan hanya jika m membagi n. ■

Teorema 3.3.15.

Misalkan m, n adalah bilangan-bilangan bulat positif dan p, q adalah bilangan-bilangan prima. Maka GF(q^m) submedan dari GF(pⁿ) jika dan hanya jika p =q dan m membagi n.

BUKTI.

( ⇒ ) Jika GF(q^m) submedan dari GF(pⁿ), maka menurut Teorema Lagrange, order grup aditif dari GF(q^m) harus membagi order grup aditif dari GF(pⁿ). Jadi q^m

membagi pⁿ. Karena p, q adalah bilangan-bilangan prima, maka haruslah p = q. Order grup multiplikatif dari GF(p^m) harus membagi order grup multiplikatif dari GF(pⁿ), sehingga p^m− 1 membagi pⁿ− 1. Menurut Teorema 3.3.14, haruslah

m membagi n.

( ⇐ ) Dari Teorema 3.3.5, terdapat medan GF(p^m) dan GF(pⁿ) untuk setiap bilangan bulat positif m, n dan setiap prima p. Kemudian jika mn, maka n = mk untuk suatu bilangan bulat k> 0. Dari bukti Teorema 3.3.13, maka GF(p^m) submedan

dari GF(p^mk) = GF(pⁿ). ■

Contoh 3.3.4.

Bilangan-bilangan bulat positif yang membagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12. Maka GF(2¹²) mempunyai tepat 6 submedan, yaitu GF(2) = Z2, GF(2²), GF(2³), GF(2⁴), GF(2⁶), dan

GF(2¹²). Ketunggalan setiap submedan dijamin Teorema 3.3.10. Submedan-submedan dari GF(2⁶) adalah Z2, GF(2²), GF(2³), dan GF(2⁶). Submedan-submedan dari GF(2⁴) adalah Z2, GF(2²), dan GF(2⁴). Submedan-submedan dari GF(2³) adalah Z2 dan GF(2³). Submedan-submedan dari GF(2²) adalah Z2 dan GF(2²). Jadi GF(2²) bukan submedan dari GF(2³). Juga GF(2³) bukan submedan dari GF(2⁴), dan GF(2⁴) bukan submedan dari GF(2⁶). Teorema 3.3.15 juga menjamin bahwa Z2 bukan submedan dari Z3, Z5, Z7,

Z₁₁, Z₁₃, dan sebagainya. Ini juga berarti bahwa GF(2²) bukan submedan dari GF(3⁴), GF(7⁶), GF(13¹²).

PENUTUP

Dari uraian sebelumnya, maka akan diberikan beberapa poin penting yang menjadi dasar dan berkaitan dengan struktur medan Galois.

1. Setiap medan mempunyai perluasan dan setiap polinomial takkonstan mempunyai akar dalam suatu medan.

2. Medan pembelah selalu ada untuk setiap polinomial. Setiap dua medan pembelah dari suatu polinomial saling isomorfis.

3. Medan berorder pⁿ selalu dapat dikonstruksi dari medan Zp jika dapat ditemukan polinomial taktereduksi berderajat positif n atas Zp. Pada kenyataannya, selalu ada polinomial taktereduksi berderajat n atas Zp. Maka medan berorder pⁿ selalu ada untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat positif n.

4. Setiap medan berhingga harus berorder pⁿ untuk suatu bilangan prima p dan suatu bilangan bulat positif n.

5. Untuk setiap bilangan bulat positif n, terdapat polinomial taktereduksi berderajat n

atas setiap medan berhingga. 6. Polinomial pn+ 1

x merupakan polinomial tereduksi atas Zp. 7. Setiap dua medan berhingga yang berorder sama saling isomorfis.

8. Setiap elemen dalam medan Galois GF(pⁿ) berbentuk polinomial berderajat < n

dengan koefisien-koefisien dalam Zp. Dan seluruh operasi bekerja pada modulo

p(x) di mana p(x) adalah polinomial (monik) taktereduksi berderajat n atas Zp. 9. Setiap elemen dalam GF(pⁿ) adalah akar dari polinomial xpⁿ− x.

10. Grup multiplikatif dari GF(pⁿ) adalah grup siklik berorder pⁿ− 1.

11. Grup aditif dari GF(pⁿ) isomorfis dengan grup aditif Zp ×Zp × … ×Zp (n-tupel). 12. Banyaknya submedan dari GF(pⁿ) adalah banyaknya bilangan bulat positif yang

membagi n.

Inti dari Teorema Fundamental Galois sendiri adalah suatu eksplorasi hubungan antara grup semua automorfisma dari medan pembelah E dengan struktur submedan F

dari E. Yang menjadi tema sentral dari Teorema Fundamental Galois adalah terdapat suatu cara umum dalam menentukan penyelesaian dari persamaan polinomial f(x) = 0 yang tidak dapat diselesaikan dengan penarikan akar-akar (by radicals) untuk f(x) yang berderajat ≥ 5. Meskipun dalam waktu yang relatif singkat, abstraksi dan hasil kerja dari Galois dianggap sebagai perintis usaha pengembangan aljabar ke dalam satu aktivitas matematika yang lebih spesifik yaitu aljabar abstrak.

Cameron, P.J. (1998). Introduction to Algebra. New York: Oxford University Press. Durbin, J.R. (1985). Modern Algebra. 2^nd Edition. New York: John Wiley & Sons. Fraleigh, J.B. (1996). A First Course in Abstract Algebra. 4^th Edition. Reading:

Addison-Wesley.

Herstein, I.N. (1996). Abstract Algebra. 3^rd Edition. Upper Saddle River: Prentice-Hall. McCoy, N.H. (1987). Introduction to Modern Algebra. 4^th Edition. Boston: Allyn and

Bacon.

Rotman, J.J. (1998). Galois Theory. Universitext (UTX). 2^nd Edition. New York: Springer-Verlag.