Dyah Ratri Aryuna
Program Studi Pendidikan Matematika PMIPA FKIP UNS Jl. Ir Sutami 36A Surakarta, e-mail : ratriaryuna@gmail.com
Abstrak
Dalam silabus mata kuliah kalkulus, konsep turunan dibangun melalui konsep limit - dimulai dengan meninjau kemiringan garis singgung sebagai limit dari kemiringan tali busur kemudian dilanjutkan dengan memberikan definisi turunan dari suatu fungsi f sebagai fungsi
'
f yang nilainya di sebarang titik x sama dengan
h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 . Ide geometris
secara visual digunakan untuk membangun konsep turunan. Tetapi data empiris menunjukkan ide visual yang dianggap intuitif bagi matematikwan bisa jadi tidak intuitif bagi mahasiswa.
Perkembangan pembelajaran kalkulus belakangan ini menyarankan pembelajaran diawali dengan eksplorasi terhadap perbesaran grafik untuk mengenalkan konsep kemiringan kurva dan kemudian perubahan kemiringan kurva dapat disajikan secara numerik disertai dengan ilustrasi grafik sehingga diharapkan dibangun konsep turunan sebagai suatu fungsi. Visualisasi grafik memungkinkan jangkauan yang lebih luas tentang contoh dan non contoh untuk ditinjau, sehingga mahasiswa tidak hanya belajar bagaimana menghitung turunan tetapi juga memberi arti untuk fungsi yang dapat diturunkan atau tidak dapat diturunkan. Dalam tulisan ini visualisasi grafik dilakukan dengan menggunakan piranti lunak interaktif Maple 13.0
Kata kunci : intuisi visual,kalkulus, turunan
PENDAHULUAN
Dalam silabus mata kuliah kalkulus ide turunan diperkenalkan melalui ide geometris secara visual . Dapat diturunkan di suatu titik c dilihat sebagai adanya limit dari kemiringan tali busur- tali busur di dekat titik c tersebut. Selanjutnya diberikan defisini untuk turunan, yakni turunan dari suatu fungsi f adalah fungsi lain, yang dinotasikan dengan f
'
, yang nilainya disebarangtitik x diberikan sama dengan
h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 ( Purcell, 2004 ).
Silabus kalkulus secara tradisional yang mencoba mengenalkan pengertian limit sebelum membicarakan kemiringan kurva menimbulkan masalah dalam pelaksanaannya ( Tall 1985 ). Kesulitan tersebut antara lain disebabkan adanya pertentangan antara ide intuisi siswa tentang laju perubahan, kemiringan garis singgung dengan definisi formal turunan ( Barnes 1995 ). Penelitian empiris menunjukkan bahwa siswa memiliki sejumlah kesulitan dengan cara ini. Tall ( 1991 ), mencontohkan suatu hasil penelitian Orton ( 1977 )
Gambar 1
Dilaporkan bahwa dari 110 responden, ketika ditanyakan apa yang terjadi dengan talibusur- talibusur
PQ
pada sketsa kurva, jika titikQ
mendekati P, 43 siswa tidak mampu melihat bahwa proses itu akan menuju pada garis singgung kurva. Terdapat kebingungan yang perlu untuk diperhatikan bahwa tali busur diabaikan oleh siswa, mereka lebih memperhatikan busur PQ. Tipikal jawaban yang tidak memuaskan tersebut diantaranya : garisnya semakin pendek, tali busur menjadi titik, luas daerah semakin kecil.Penelitian Tall ( 1986 ) sendiri juga menunjukkan hal yang hampir serupa. Diberikan pertanyaan berikut pada 160 siswa yang mulai mengikuti kalkulus di Inggris, 96 diantaranya telah mempelajari kalkulus sebelumnya
Gambar 2
Hanya 16 anak ( 10% ) yang menemukan nilai gradien AB adalah k
1
dan nilai gradien AT adalah 2 dan 44 anak ( 27.5 % ) menjawab1 1 2 k k
dan 2. Setelah mengikuti kuliah kalkulus
selama 2 bulan , jumlah tersebut tidak banyak berubah, masing-masing menjadi 17 ( 11% ) dan
P 1 Q 3 Q 2 Q A k 2 k B Pada grafik 2 x y , titik A adalah ( 1,1), titik B adalah ( , 2) k
k dan T adalah suatu titik pada garis yang menyinggung grafik pada A
(i) Tentukan gradien AB (ii) Tentukan gradien AT
Jelaskan bagaimana anda mencari gradien AT dengan menggunakan gradien AB
T
38 anak ( 24% ). Dari yang menjawab demikian, hanya satu anak pada pretest ( telah pernah belajar kalkulus ) dan satu anak pada posttest yang melihat jika k mendekati 1, maka k
1
menuju 2. Pada wawancara dengan siswa lainnya tidak terlihat sama sekali ide limit muncul. Ketika pertanyaan yang sama diajukan pada mahasiswa peserta mata kuliah Kalkulus 1 di Program Studi Pendidikan Matematika UNS diperoleh hasil yang tidak jauh berbeda dengan hasil penelitian Orton dan Tall . Untuk pertanyaan pertama, dari 38 responden 52 % menjawab tali busur akan semakin pendek dan 15 % menjawab titik Q mendekati P hingga berimpit. Sisanya memberikan jawaban yang beragam antara lain : kemiringan garis akan semakin landai, gradien garis akan semakin kecil, panjang tali busur berbanding lurus dengan dengan panjang busur PQ, tali busur memiliki kemiringan yang bernilai sama pada masing-masing titik, tali busur mendekati titik singgung dan lainnya yang bahkan tidak ada kaitannya dengan pertanyaan. Untuk pertanyaan kedua , 38% anak bisa menjawab bahwa kemiringan segmen garisAB adalah k
1
tetapi tidak ada satupun responden yang melihat bahwa jika B mendekati A maka tali busur-tali busur AB akan mendekati garis singgung dan memiliki kemiringan k1
dengan k mendekati 1 sehingga kemiringan garis singgung dapat diduga adalah 2.
Data empiris menunjukkan bahwa membelajarkan konsep turunan melalui konsep limit dengan berusaha membuatnya intuitif secara geometri dengan cara seperti yang telah dikemukakan di atas terlihat tidak memuaskan. Sesuatu yang dianggap intuitif oleh para matematikawan atau dosen, belum tentu intuitif menurut mahasiswa.
Belakangan ini telah terjadi gerakan pada banyak bagian dunia untuk mereformasi pembelajaran Kalkulus. Di Inggris, David Tall mengenalkan suatu pendekatan inovatif menggunakan grafik komputer. Idenya telah diadopsi dan diakui dalam banyak proyek kurikulum. Di Amerika Serikat, pendanaan yang besar telah dibuat selama tahun 1980 untuk reformasi kalkulus, dan banyak proyek besar dirancang. Kebanyakan berkaitan dengan pembelajaran pada tingkat perguruan tinggi, tapi sebagian juga terkait dengan sekolah menengah. Di Australia , pada tahun 1988 Department of Employement Education and Training telah mendanai Introductory Calculus Project. Tujuan proyek tersebut adalah untuk meningkatkan minat dan partisipasi siswa pada Kalkulus ( Mary Barnes, 1995 )
Berbagai pendekatan digunakan untuk meningkatkan pemahaman siswa tentang Kalkulus. Proyek investigasi atau diskusi dan interaksi dalam kelompok kecil, bertujuan untuk mengikat minat siswa dan melibatkan mereka dalam pembelajaran yang aktif dan penuh makna, tetapi aspek kunci hampir pada semua proyek reformasi itu adalah digunakannya grafik kalkulator atau komputer untuk membangun pemahaman intuisi yang lebih baik.
PEMBAHASAN
Proses penyempurnaan yang berlangsung selama berabad-abad menghasilkan pendekatan logika pada pembelajaran kalkulus. Misalnya kemiringan garis singgung dipandang sebagai
limit dari tali busur dan ide turunan didefinisikan sebagai limit, sehingga dengan pendekatan logika pengertian limit dikenalkan sebelum mempelajari turunan. Tetapi Tall ( 1985 ), mengemukakan suatu kritik yang dilontarkan oleh Richard Skemp dalam pendahuluan Psychology of Learning Mathematics ( 1971 ) berkaitan dengan pendekatan logika tersebut : It gives only the end-product of mathematical discovery („This is it: all you have to do is learn it‟), and fails to bring about in the learner those processes by which mathematical discoveries are made. It teaches mathematical thought, not mathematical thinking. Pendekatan logika menyebabkan siswa hanya melihat produk akhir dari penemuan secara matematika bukan bagaimana temuan matematika tersebut diperoleh, yang diajarkan adalah pemikiran matematika bukan berpikir matematika.
Pembelajaran yang lebih memperhatikan perkembangan kognitif siswa, dianggap lebih mampu membangun pengetahuan dan pemahaman yang lebih baik. Tall ( 2004 ) mengemukakan bahwa sebenarnya terdapat tiga tipe perkembangan kognitif yang berbeda, yang mendiami tiga “dunia” matematika yang berbeda tapi saling terkait dalam perkembangannya. Dua yang pertama mendominasi matematika elementer sedangkan yang ketiga membangun berpikir matematika tingkat tinggi. Ketiga dunia tersebut adalah :
(i) “ conceptual-embodied“yang berkembang berdasarkan persepsi dan refleksi terhadap sifat- sifat yang dimiliki objek
(ii) “ proceptual-symbolic “yang tumbuh dari “ embodied world ” melalui kegiatan ( seperti menghitung ) dan simbolisasi ke dalam konsep yang dapat dipikirkan ( seperti bilangan ), membangun simbol sebagai fungsi dari proses mengerjakan dan konsep berpikir tentang sesuatu ( disebut procepts )
(iii) “ axiomatic formal “ yang berdasarkan pada definisi formal dan bukti, barisan konstruksi pengertian dari konsep yang telah diketahui menuju konsep formal berdasarkan himpunan definisi teoritik.
Lebih jauh menurut Tall ( 2008 ) Kombinasi dari ketiga dunia tersebut mungkin saja terjadi , seperti “symbolic-embodied” dimana simbol di persepsi dan direfleksi, “ embodied formal ” menterjemahkan ide ke dalam struktur formal dan “ symbolic formal ” dimana ide simbolik di terjemahkan ke dalam bahasa formal. Pada Gambar 3, disajikan skema perkembangan kognitif menurut David Tall.
Jika memperhatikan tipe perkembangan kognitif dalam belajar yang dikemukakan oleh David Tall, maka seharusnya pembelajaran matematika dikembangkan dengan bertitik tolak dari dunia “conceptual-embodied“. Dunia “ conceptual-embodied“ merujuk pada ide yang spesifik, yakni menggabungkan atau mengorganisir ide melalui percobaan berdasarkan persepsi dan refleksi pada sifat-sifat objek. Dalam hal ini biasanya digunakan gambar geometri.
Gambar 3. Skema perkembangan kognitif menurut David Tall
Menurut Bruner (1977), intuisi adalah tindakan seseorang menggapai makna atau struktur suatu masalah, yang tidak menggantungkan secara eksplisit pada analisis dalam bidang keahliannya. Sedangkan membuat dugaan dengan cepat, menghasilkan gagasan yang menarik sebelum disadari manfaatnya, dan mendapatkan akal dalam pembuktian, merupakan contoh- contoh tindakan intuitif. Intuisi dekat dengan suasana permainan, yang dapat menerima kesalahan sebagai sesuatu yang wajar. Intuisi merupakan kegiatan yang lebih menghargai proses belajar, yang tidak hanya menekankan pentingnya jawaban benar saja.
Dalam essainya “Towards a disciplined intuition” , Bruner mengelompokkan dua pendekatan dalam menyelesaikan masalah, yakni pendekatan intuisi dan analitik . Lebih lanjut mengenai intuisi, Bruner mengemukakan : ... in general intuition is less rigorous with respect to proof, more oriented to the whole problem than to particular parts, less verbalized with respect to justification, and based upon a confidence to operate with insufficient data Secara umum intuisi tidak seketat bukti, berorientasi pada masalah secara keseluruhan bukan pada bagian yang khusus, tidak severbal justifikasi dan berdasarkan pada keyakinan meski dengan data yang mugkin kurang lengkap. Adanya perbedaan dalam model berpikir, menyebabkan adanya perbedaan antara proses berpikir intuisi dan berpikir menggunakan logika matematika yang formal. Intuisi melibatkan pemrosesan yang sangat berbeda dalam langkah demi langkahnya dibandingkan pemrosesan yang membutuhkan deduksi yang ketat. ( Tall, 1991 ).
Dalam penelitian matematika, bukti adalah penting tapi itu adalah akhir dari suatu proses. Sebelum dapat dibuktikan, mesti ada ide dari teorema yang berharga untuk digunakan dalam pembuktian. Tahap penyelidikan dalam berpikir matematika membangun semua gambaran
hubungan dan gambaran hubungan tersebut dapat diperoleh dari visualisasi. Menolak visualisasi berarti menolak akar dari banyak ide matematika. Dalam tahap awal penemuan teori fungsi, limit, kontinu dan lainnya, terbukti bahwa visualisasi adalah sumber dari ide-ide. Menjauhkan visualisasi dari siswa adalah seperti memotong akar sejarah dari teori-teori tersebut. Ide yang diperoleh dari visualisasi dapat mengantarkan pada intuisi yang sangat kuat untuk nantinya dapat digunakan dalam pembuktian matematika yang ketat.
Namun demikian, pengembangan intuisi melalui visualisasi dalam pembelajaran perlu dirancang dengan cermat. Ide visual yang dianggap intuitif bagi matematikawan bisa jadi tidak intuitif bagi siswa. Intuisi adalah resonansi global di dalam otak dan bergantung pada struktur kognitif individu yang bergantung pada pengalaman sebelumnya dari individu. Tidak ada alasan untuk berharap bahwa pemula akan memiliki intuisi yang sama dengan ahli, bahkan jika ditinjau pada pemahaman visual yang sederhana sekalipun. Penelitian pada bidang pendidikan matematika menunjukkan bahwa ide siswa yang muncul pada banyak konsep tidak seperti yang diharapkan ( Tall, 1991 )
Pembelajaran konsep turunan dapat diawali dengan eksplorasi terhadap perbesaran grafik untuk mengenalkan konsep kemiringan kurva dan kemudian perubahan kemiringan grafik secara numerik disajikan dan diilustrasikan dengan grafik, sehingga dapat membangun konsep turunan sebagai suatu fungsi. Visualisasi grafik memungkinkan jangkauan yang lebih luas tentang contoh dan non contoh untuk ditinjau, sehingga siswa tidak hanya belajar bagaimana menghitung turunan tetapi juga memberi arti untuk fungsi yang dapat diturunkan atau tidak dapat diturunkan. Ide limit muncul secara implisit dalam eksplorasi, tetapi implementasi penuh ide limit dan turunan secara formal dapat diundur pada tingkat yang lebih lanjut ( Tall, 1985 ). Keberadaan perangkat lunak visual interaktif memungkinkan pendekatan eksplorasi yang dapat membuat pengguna mendapatkan pemahaman konsep melalui intuisi dan menghasilkan dasar kognitif dimana teori matematika yang bermakna dapat dibangun ( Tall, 1986). Barnes ( 1995 ), mengemukakan ide visual yang digunakan untuk mengembangkan intuisi dalam memahami konsep turunan bisa ditampilkan dengan menggunakan berbagai piranti lunak interaktif yang memungkinkan mahasiswa melakukan eksperimen untuk melihat banyak contoh, mengamati pola dan membuat dugaan dengan menggunakan grafik, antara lain mahasiswa dapat :
- menginvestigasi apakah suatu grafik fungsi secara lokal lurus ( locally straight ) dengan melakukan perbesaran grafik berkali-kali pada suatu titik.
- menggambar fungsi kemiringan grafik dan menggunakan tebak dan periksa untuk mendapatkan aturan pencarian turunan
- membuat kaitan antara data numerik, grafik dan representasi simbolik dari fungsi
Berikut akan dikemukakan beberapa hal yang dapat diupayakan untuk mengembangkan intuisi melalui visualisasi grafik untuk membangun pemahaman konsep turunan. Visualisasi dilakukan dengan menggunakan piranti lunak interaktif Maple 13.0
Tall ( 1986 ), mengemukakan bahwa untuk membangun konsep turunan, kita tidak harus memulai dengan kemiringan garis singgung atau tali busur yang mendekati posisi garis singgung, tapi secara lebih sederhana kemiringan grafik itu sendiri ( the gradient of the graph itself ). Walaupun grafik berupa kurva, dengan perbesaran grafik bagian kecil dari kurva terlihat hampir lurus. Dalam cara ini kita dapat bicara tentang kemiringan kurva sebagai kemiringan dari bagian perbesaran grafik yang mendekati lurus ( aproximately straight )
Sebagai contoh, bagian dari grafik y x2 didekat x
1
diperbesar. Dengan memberikan sedikit waktu untuk bereksperimen, mahasiswa dapat membuat dugaan bahwa semakin grafik diperbesar maka semakin kecil bagian kurva yang diperoleh dan sampai pada suatu perbesaran yang cukup tinggi kurva akan terlihat seperti segmen garis. Dengan menggunakan Maple 13.0 hal tersebut dapat ditampilkan seperti Gambar 4 berikut ini :Gambar 4
Selanjutnya dapat diperkirakan kemiringan segmen garis
2
. Jadi kemiringan grafik di x1
Gambar 5
Dengan cara ini kemiringan grafik dapat diselidiki secara eksperimental sebelum pengertian limit secara formal diberikan.
Menurut Tall ( 1986 ) , jika dalam kuliah tradisional perilaku fungsi yang tidak dapat diturunkan di suatu titik dipelajari belakangan, dengan menggunakan bahasa kemiringan kurva yang telah dikemukakan di atas kita dapat mengenalkannya lebih awal. Jika dipandang bahwa fungsi dapat diturunkan di suatu titik jika fungsi tersebut secara lokal lurus ( locally straight ), maka yang tidak dapat diturunkan secara sederhana dapat kita pandang sebagai tidak dapat secara lokal lurus ( not locally straight ).
Meminta mahasiswa untuk langsung memberikan contoh fungsi not locally straight mungkin akan menyulitkan, oleh sebab itu sebelumnya mahasiswa dapat bereksperimen dengan grafik-grafik y x, y sinx , y x2x
untuk melihat bahwa mereka punya sudut ( corner ) yang jika diperbesar menunjukkan dua segmen garis yang gradiennya berbeda bertemu di suatu titik .
Pada Gambar 6 dapat dilihat bahwa perbesaran grafik grafik y
sin
x di sekitar x , memberikan dua segmen garis yang gradiennya berbeda bertemu di titik x. Jadi y
sin
x not locally straight di sekitar x
, sehingga fungsi f(x) sinx tidak dapat diturunkan di
x
Juga menarik untuk meninjau fungsi seperti
x x x
f( ) sin 1 atau bahkan
x x x x
g( ) ( )sin 1 . Pada Gambar 7, dapat dilihat grafik dari kedua fungsi tersebut yang
Gambar 6
Perbesaran di sekitar titik asal, akan menunjukkan bahwa grafik f berosilasi secara liar di sekitar titik asal dan g meskipun locally straight di satu sisi tetapi berosilasi di sisi lain, sehingga fungsi f dan gnot locally straight disekitar x
0
. Jadi f dan gtidak dapat diturunkan di x0
Karena kemiringan grafik di suatu titik dipandang sebagai kemiringan dari bagian perbesaran grafik yang mendekati lurus disekitar titik tersebut, maka kemiringan kurva di
sebarang titik x bisa di pandang sebagai
c x f c x f( ) ( )
untuk suatu c yang kecil. Adalah
suatu hal yang mudah untuk menghitung ekspresi
c x f c x f( ) ( )
untuk suatu nilai c yang
kecil dengan x yang bervariasi dengan menggunakan komputer. Secara numerik dapat ditunjukkan kaitan antara x dengan nilai-nilai kemiringan grafik di x adalah suatu fungsi dan sekaligus diperoleh titik-titik yang menjadi “outline” dari grafik fungsi kemiringan dan mengenalinya sebagai turunan dari f ( Tall, 1986 ).
Sebagai contoh, dengan menggunakan Maple 13.0 , dapat ditampilkan secara numerik
nilai-nilai x dan 05 , 0 ) cos( ) 05 , 0 cos(x x
dengan x yang bervariasi dan dari titik-titik tersebut
diperoleh “outline” dari grafik fungsi kemiringannya ( Lihat Tabel 1 dan Gambar 8 )
n x 05 , 0 cos ) 05 , 0 cos(x x Tabel 1
Jika diperhatikan kaitan antara x dan kemiringan grafik di x seperti yang terlihat pada tabel di atas dan dari plot titik-titik tersebut pada bidang-xy, maka tampak bahwa kemiringan adalah fungsi dari x . Lebih jauh dengan menggunakan Maple 13.0 dapat ditampilkan grafik
x y
cos
dan 05 , 0 cos ) 05 , 0 cos(x xy dalam sistem koordinat yang sama seperti Gambar 9 berikut : Gambar 9 x ycos 05 , 0 ) cos( ) 05 , 0 cos(x x y
Hingga tahap ini, diharapkan mahasiswa telah mendapatkan pemahaman konsep dapat diturunkan di suatu titik dan konsep turunan secara intuisi melalui visualisasi grafik dan diharapkan dapat menghasilkan dasar kognitif dimana teori formal yang bermakna dapat dibangun selanjutnya.
Selain apa yang telah dikemukan, melalui visualisasi grafik mahasiswa juga bisa mendapatkan intuisi untuk kemudian membuat dugaan ( conjecture ) untuk beberapa hal, yang kelak pada tahap formal dapat ditunjukkan sebagai sebuah teorema atau rumus ( formula ) . Misalnya, melalui pengalaman memplot berbagai titik x dan kemiringannya mahasiswa dapat membuat dugaan bagaimana perilaku kemiringan grafik di suatu interval mempengaruhi perilaku grafiknya. Mahasiswa juga dapat mengeksplorasi berbagai grafik fungsi dan grafik fungsi kemiringannya untuk kemudian membuat dugaan tentang rumus fungsi turunan untuk fungsi-fungsi sederhana seperti fungsi pangkat, fungsi polinomial dan fungsi trigonometri ( Tall, 1985 )
Sebagai contoh, mahasiswa terlebih dahulu meninjau grafik fungsi dan grafik fungsi kemiringannya untuk x2dan x3. Dengan menggunakan Maple 13.0 , dapat ditampilkan seperti Gambar 10 berikut :
Gambar 10
Mahasiswa dapat melihat bahwa turunan dari 2
) (x x
f adalah 2 dan turunan dari x
3
) (x x
f adalah 2
3x dan mencoba membuat dugaan bahwa rumus untuk turunan dari
n
x x
f( ) adalah n1
nx . Selanjutnya mahasiswa dapat melakukan investigasi dengan mengeksplorasi grafik n
x
y dan grafik fungsi kemiringannya dan membandingkannya dengan grafik n1
nx
y , untuk berbagai n. Pada tahap formal nanti dapat dibuktikan bahwa jika
n x x f( ) maka 1 ) ( ' n nx x f 2 x y 05 , 0 ) 05 , 0 (x 2 x2 y 3 x y 05 , 0 ) 05 , 0 ( 3 3 x x y
KESIMPULAN DAN SARAN
Dalam mengembangkan intuisi melalui visualisasi grafik untuk membangun pemahaman konsep turunan dapat diupayakan hal-hal berikut :
1. Mengenal kemiringan kurva sebagai kemiringan dari perbesaran bagian kecil dari grafik yang terlihat mendekati lurus.
2. Mengeksplorasi fungsi-fungsi yang secara lokal lurus ( locally straight ) atau tidak dapat secara lokal lurus ( not locally straight ) pada suatu titik dan mengenal konsep dapat diturunkan pada suatu titik secara intuisi terkait dengan sifat locally straight dan not locally straight
3. Bereksplorasi dengan menghitung ekspresi
c x f c x f( ) ( )
untuk suatu nilai c yang kecil
dengan x yang bervariasi dan memplot titik-titik
c ) ( ) ( , f x c f x x untuk beragam
fungsi fpada bidang-xy. Mengamati data dan plot titik-titik data untuk melihat kaitan antara x dengan nilai-nilai kemiringan grafik di x sebagai suatu fungsi dan mengenal konsep turunan secara intuisi.
4. Melakukan eksperimen dan kemudian membuat dugaan tentang berbagai hal yang berkaitan dengan pencarian turunan dan penggunaan turunan , misalnya dugaan tentang rumus fungsi turunan untuk fungsi-fungsi sederhana seperti fungsi pangkat, fungsi polinomial dan fungsi trigonometri dan kaitan antara kemiringan kurva dengan perilaku grafik.
Dalam eksplorasi, investigasi atau eksperimen yang dilakukan untuk menampilkan grafik dan
perbesarannya disekitar suatu titik, menghitung ekspresi
c x f c x f( ) ( )
dan memplot titik-
titik c ) ( ) ( , f x c f x
x dapat dilakukan dengan menggunakan Maple 13.0
Selanjutnya dari terkait dengan tulisan ini, dikemukakan saran-saran berikut :
1. Dapat dilakukan penelitian lebih lanjut untuk melihat keefektifan visualisasi grafik dalam mengembangkan intuisi mahasiswa dalam membangun pemahaman konsep turunan dan melihat pengaruhnya terhadap kemampuan mahasiswa dalam mempelajari konsep turunan dalam tahap formal.
2. Jika ditemui keterbatasan ketersediaan komputer, sekalipun hanya dengan satu komputer di depan kelas dengan panduan dosen hal-hal yang dikemukakan di atas ini masih dapat dilakukan. Jika memungkinkan setiap mahasiswa menggunakan komputer, penggunaan Maple 13.0 dapat dikembangkan lebih jauh atau dicari piranti lunak interaktif lain yang bersifat tutorial agar lebih mudah dan langsung bisa digunakan mahasiswa. .
DAFTAR PUSTAKA
Bruner, J.S. 1977 „Bruner on the learning of mathematics – A “process” orientation. Dalam Aichele, D.B., Readings in Secondary School Mathematics. Boston : Prindle, Weber, & Schmidt.
Barnes, Mary. An Intutive Aproach to Calculus. Diakses pada 11/20/2012 : 3:22 PM dari http://hsc.ssu.edu.au/maths/teacher_resources/2384/barnes.htm
Tall, D.O. 1985 The Gradient of a Graph. Mathematics Teaching , 111, 48–52.
Tall, D.O. 1986. Graphic Insigth into Mathematical Concept.The Influence of Computers and Informatic on Mathematics and Teaching ( ed Howson G & Kahane J-P ), C.U.P
Tall, D. O ( 1991) Intuition and Rigour : the role of visualization in the Calculus. Visualization in Mathematics (ed. Zimmermann & Cunningham), M.A.A., Notes No. 19, 105–119
Tall, D. O. (2004). Introducing The three worlds of mathematics. For the Learning of Mathematics, 23 (3). 29–33.
Tall, D. O. (2008). The Transition to Formal Thinking in Mathematics. Mathematics Education Research Journal, 20 (2), 5-24.
Varberg, Dale.,Purcell.Edwin J., Rigdon. Steven.E. 2004. Kalkulus Edisi 8 ( alih bahasa I. Nyoman Susila ) . Jakarta : Erlangga