Proses Hirarki Analitik (PHA) merupakan suatu metode yang pertama kali dikembangkan oleh Thomas L. Saaty, ahli matematika dari Universitas of Pitsburgh, Amerika Serikat pada awal tahun 1970-an. Saaty dalam Fewidarto (1996) berpendapat bahwa pada dekade belakangan ini penerapan pendekatan
sistem untuk ilmu sosial dan ilmu perilaku nampaknya lebih cocok dan berkembang jika dibandingkan dengan penerapannya pada ilmu eksata.
Menurut Saaty dalam Fewidarto (1996), metode ini digunakan untuk memodelkan problema-problema tak terstruktur, baik dalam bidang ekonomi, sosial, maupun ilmu manajemen. Selain itu baik pula digunakan dalam memodelkan problema-problema dan pendapat-pendapat sedemikian rupa, dimana permsalahan yang ada telah benar-benar dinyatakan secara jelas, diveluasi, diperbincangkan dan diprioritaskan untuk dikaji. Menurut Saaty (1991) ada tiga prinsip dasar dalam metode PHA, yaitu :
1. Menggambarkan dan menguraikan secara hirarki, yaitu menyusun secara hirarkis memecah-mecah persoalan menjadi unsur-unsur yang terpisah- pisah.
2. Pembedaan prioritas dan sintesis yang disebut penetapan prioritas, yaitu menentukan peringkat elemen-elemen menurut relatif pentingnya.
3. Konsistensi logis, yaitu menjamin bahwa semua elemen dikelompokan secara logis dan diperingkat secara konsistensi sesuai dengan suatu kriteria yang logis.
Menurut Saaty (1991), tahapan menyelesaikan masalah dengan metode AHP, yaitu :
1. Identifikasi Sistem. Tahap ini permasalahan diidentifikasi secara mendalam, karena yang menjadi perhatian adalah pemilihan tujuan, kriteria dan elemen-elemen yang menyusun struktur hierarki.
2. Penyusunan Struktur. Hirarki merupakan abstraksi struktur suatu sistem yang mempelajari fungsi interaksi antar komponen dan dampaknya terhadap sistem.
3. Membuat matriks perbandingan komparasi berpasangan. Matriks perbandingan berpasangan dimulai dari puncak hierarki, yang merupakan dasar untuk melakukan perbandingan berpasangan antar elemen yang terkait yang ada di bawahnya. Perbandingan berpasangan pertama dilakukan pada elemen tingkat kedua terhadap fokus yang ada di puncak hierarki. Menurut perjanjian, suatu elemen yang ada di sebelah kiri
diperiksa perihal dominasi atas yang ada di sebelah kanan suatu elemen di puncak matriks.
4. Tahap perbandingan dan penilaian. Semua pertimbangan dikumpulkan guna melakukan perbandingan berpasangan antar elemen pada langkah ketiga. Setelah matriks perbandingan berpasangan antara elemen dibuat, dilakukan perbandingan berpasangan antar setiap elemen pada kolom ke-i dengan setiap elemen pada baris ke-j. Pengisian matriks banding berpasangan, digunakan skala banding yang tertera pada Tabel 3. Angka- angka yang tertera menggambarkan relatif pentingnya suatu elemen dibanding elemen lainnya sehubungan dengan sifat atau kriteria tertentu.
Tabel 3. Nilai skala banding berpasangan Intensitas
Pentingnya
Definisi Penjelasan
1 Kedua elemen sama pentingnya Dua elemen menyumbang sama besar pada sifat itu 2 Elemen yang satu sedikit lebih penting daripada
elemen yang lainnya
Pengalaman dan pertimbangan dengan kuat menyokong satu elemen atas elemen yang lainnya 5 Elemen yang satu sangat penitng daripada elemen
yang lainnya
Pengalaman dan pertimbangan dengan kuat menyokong satu elemen atas elemen yang lainnya 7 Satu elemen jelas lebih penting daripada elemen
yang lainnya
Satu elemen dengan kuat disokong dan dominannya telah terlihat dalam praktek 9 Satu elemen mutlak lebih penting daripada
elemen yang lainnya
Bukti yang menyokong elemen yang satu atas yang lainnya memiliki tingkat penegasan yang tertinggi yang mungkin menguatkan. 2,4,6,8 Nilai-nilai di antara dua pertimbangan yang
berdekatan
Kompromi diperhatikan di antara dua pertimbangan Kebalikan Jika untuk aktivitas i mendapat satu angka bila dibandingkan dengan aktifitas j,
maka j memiliki kebalikannya bila dibandingkan dengan i Sumber : Saaty (1991)
5. Mensintesis prioritas untuk melakukan pembobotan vektor-vektor prioritas. Menggunakan komposisi secara hierarki untuk membobotkan vektor-vektor prioritas itu dengan bobot kriteria-kriteria dan menjumlahkan semua nilai prioritas terbobot yang bersangkutan dengan nilai prioritas dan tingkat bawah berikutnya dan seterusnya. Dalam proses ini terdapat dua tahap pengolahan, yaitu pengolahan horizontal dan vertikal.
a. Pengolahan Horizontal, terdiri dari tiga bagian, yaitu penentuan Vektor Prioritas (Vektor Eigen), uji konsistensi dan revisi Matriks Pendapat Individu (MPI), dan Matriks Pendapat Gabungan (MPG) yang memiliki Rasio Inkosistensi tinggi.
Penentuan Vektor Prioritas (Vektor Eigen)
Vektor Prioritas dapat dicari dengan metode berikut :
1) Jumlahkan setiap elemen dalam masing-masing kolom Matriks Pembandingan Berpasangan (MPB) yang telah terisi, dan dapatkan vektor baris Cj, dengan
Cj = [cj] dan Cj = ∑aij………(1)
Dimana cj = elemen vektor baris Cj pada kolom j; aij = elemen MPB
yang diolah pada baris ke-i dan kolom ke-j. Ilustrasi Pengolahan MPB pada langkah pertama dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4. Ilustrasi pengolahan MPB pada langkah pertama
G A1 A2 … An A1 a11 a12 … a1n A2 a21 a22 … a2n … … … … … An an1 an2 .. ann C1 c1 c2 … cn
Sumber : Saaty dalam Kurniaty (2007)
MPB yang ada dinormalisasikan dengan cara membagi setiap elemen matriks pada setiap kolom dengan elemen vektor baris Cj pada kolom
tersebut yang telah didapat dari pengolahan pada langkah sebelumnya. Diperoleh matriks normalisasi dij dengan , dimana dij =
elemen MPB setelah dinormalisasikan pada baris ke-I kolom ke-j. ilustrasi pengolahan MPB yang telah dinormalisasikan dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5. Ilustrasi pengolahan MPB yang telah dinormalisasi
G A1 A2 … An
A1 d11 d12 … a1n
A2 d21 d22 … a2n
… … … … …
An dn1 dn2 .. dnn
2) Elemen-elemen matriks normalisasi yang berada dalam satu baris dijumlahkan dan didapat vektor kolom Ei dengan ei sebagai
elemennya, dengan ei = elemen vektor kolom Ei pada baris ke-i.
3) Membagi masing-masing elemen pada vektor kolom Ei dengan jumlah baris MPB atau jumlah kolomnya, untuk mendapatkan vektor Eigen bagi setiap komponen yang diperbandingkan dalam MPB, dengan , dengan Fi = (fi), dimana Fi = vektor prioritas dalam bentuk vektor kolom dengan fi sebagai elemen vektor pada baris ke-1; ei = elemen baris ke-i dari vektor kolom ei; n = jumlah baris atau kolom
MPB.
4) Pengolahan MPB hingga langkah ini memberikan hasil bahwa prioritas bagi An adalah fn. Untuk lebih jelas maka dapat dilihat ilustrasinya
pada Tabel 6.
Tabel 6. Ilustrasi pengolahan matriks normalisasi pada langkah berikutnya G A1 A2 … An Ei Fi A1 d11 d12 … d1n ei fi A2 d21 d22 … d2n e2 f2 … … … … … … … An dn1 dn2 … dnm en fn
Sumber : Saaty dalam Kurniaty (2007)
Rasio Inkonsistensi dari suatu MPB dapat dicari terlebih dahulu dengan mencari nilai Eigen, serta menentukan indeks rasio konsistensinya. Nilai Eigen ditentukan dengan cara :
a) Lihat kembali MPB dengan aji sebagai elemen-elemenya dan vektor
kolom Fi (vektor prioritas) dengan fi sebagai elemen-elemen pada
setiap barisnya. Lakukan perkalian antara dua elemen vektor-vektor kolom Fi pada baris tertentu dengan elemen-elemen MPB pada kolom tertentu yang nomor kolomnya sama dengan nomor baris fi (j pada aij
harus sama dengan i pada fi). Hasil yang didapat gij sebagai elemen
dari suatu matriks baru Gij, dengan gij = fj.aij, dimana gij = elemen baris
ke-i dan kolom ke-j dari matriks baru; aij = elemen baris ke-i dan
kolom ke-j dari MPB awal; fi = elemen vektor pada baris ke-i. Ilustrasi
penentuan nilai Eigen pada dua langkah pertama dapat dilihat pada Tabel 7.
Tabel 7. Ilustrasi penentuan nilai Eigen pada dua langkah pertama G A1 A2 … An Hi A1 g11 g12 … g1n hi A2 g21 g22 … g2n H2 … … … … … … An gn1 gn2 … gnm hn
Sumber : Saaty dalam Kurniaty (2007)
b) Elemen-elemen tersebut dijumlahkan dalam matriks Eigen pada baris yang sama, kemudian diperoleh vektor kolom Hi dengan hi sebagai elemen-elemen pada baris ke-i, dengan hi = ∑gij, dimana hi = elemen
baris ke-i vektor kolom Hi.
c) Membagi elemen baris ke-i dari vektor kolom Hi dengan elemen ke-i dari vektor prioritas (vector Eigen) Fi, dan diperoleh vektor kolom Ii,
dengan , dimana ii = elemen pada baris ke-i vektor kolom Ii.
d) Menjumlahkan semua elemen vektor kolom Ii dan mencari rata-ratanya
kemudian didapat nilaiEigen. Rumusan nilai Eigen adalah ……….(2) dimana, λ, max = Eigen Value n = jumlah elemen matriks kolom Ii. Nilai Eigen telah didapatkan, maka rumus formulasi Indeks Konsistensi
(CI) adalah ………..………(3)
Ket : CI = Indeks Konstanta Λmax = nilai Eigen
N = jumlah baris atau kolom dari MPB
Arti dari indeks ini adalah rata-rata konsistensi dari suatu matriks pembandingan acak berukuran n (n = ordo matriks) yang didapatkan dari suatu eksperiman oleh Oak Ridge National Laboratory dan dilanjutkan oleh Wharton School. Eksperimen tersebut menghasilkan bahwa semakin besar ordo matriks pembandingan maka semakin tinggi pula tingkat inkonsistensinya yang ditunjukkan oleh nilai RI yang semakin besar. Daftar RI dapat dilihat pada Tabel 8.
Tabel 8. Daftar nilai indeks random
Ordo Matriks (n) Indeks Random (R1)
1 0 2 0 3 0,58 4 0,90 5 1,12 6 1,24 7 1,32 8 1,41 9 1,45 10 1,19 11 1,51 12 1,48 13 1,56 14 1,57 15 1,59
Sumber : Oak Ridge Laboratory, 1993 dalam Fewidarto (1996)
b. Pengolahan Vertikal, bertujuan untuk mendapatkan suatu prioritas pengaruh setiap elemen pada level tertentu dalam suatu hirraki terhadap fokus atau tujuan utamanya. Hasil akhirnya mendapatkan suatu bobot prioritasnya setiap elemen pada level terakhir dalam suatu hirarki terhadap sasarannya. Hasil prioritas yang diperoleh dalam pengolahan horizontal sebelumnya disebut Prioritas Lokal. Prioritas lokal hanya berkenaan dengan sebuah kriteria pembanding yang merupakkan anggota elemen-elemen level di atasnya. Apabilan Xij
merupakan nilai prioritas pengaruh elemen ke-j pada level ke-i dari suatu hirarki keputusan terhadap fokusnya, maka diformulasikan sebagai berikut :
Xij = ∑{Yij(t.i -1).Zt(i-1)………..(4) Keterangan : 1) i = 1,2,…n.
2) j = 1,2,…s.
3) Yij = nilai prioritas pengaruh elemen ke-j pada level ke-i berkenaaan dengan elemen ke-t pada level di atasnya (i-
1) yang menjadi sifat pembanding (sama dengan prioritas lokal elemen ke-j pada level ke-i).
4) Zt = nilai prioritas pengaruh elemen ke-t pada level ke (i-1) terhadap sasarn utama (fokus), didapat dari hasil pengolahan vertikal.
5) P = jumlah level keputusan dalam hirarki. 6) R = jumlah elemen pada level ke-i. 7) S = jumlah elemen pada level ke (i-1).
5) Evaluasi inkonsistensi untuk seluruh hirarki. Tujuannya agar mengalikan setiap indeks inkonsistensi dengan prioritas-prioritas kinerja yang bersangkutan dan menjumlahkan hasil kalinya. Selanjutnya hasil ini dibagi dengan pernyataan sejenis yang menggunakan inkonsistensi acak, yang sesuai dengan dimensi masing-masing matriks.