LEMBAR KERJA PROYEK Satuan Pendidikan : SMA
5. Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan real dan c dan L adalah bilangan real, fungsi f mendekati L pada saat x mendekati c dapat dituliskan
dengan: limx →cf(x)=L
Materi Prinsip:
1. Misal f sebuah fungsi f: R→R dan misalkan L dan c bilangan real. lim
x →c f(x)=L jika dan hanya jika f(x) mendekati L untuk semua x mendekati c
2. Cara menentukan nilai limit fungsi:
a. Substitusi nilai x = c ke fungsi sehingga diperoleh f(c) = L
b. Jika L merupakan bntuk tak tentu, seperti 00 , ∞∞ , ~ - ~ , maka strategi yang dipilih: mencari beberapa titik pendekatan (numerik), memfaktor, dan perkalian sekawan. Materi Prosedur:
Membuat model matematika dari maslah nyata berkaitan dengan limit E. Pendekatan/Model/Metode Pembelajaran
Model : Pembelajaran koperatif (cooperative learning) menggunakan kelompok diskusi yang berbasis masalah (problem-based learning) Metode : Diskusi ,Tanya jawab, Tugas
F. Media, Alat, dan Sumber Bahan 1. Media: Lembar kerja kelompok 2. Alat/Bahan: Laptop dan LCD 3. Sumber Belajar:
Buku siswa Internet
G. Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Deskripsi Kegiatan AlokasiWaktu
Pendahuluan 1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami limit dan memberikan gambaran tentang aplikasi limit dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam hal ini, guru memberikan bayangan permasalahan yang terkait dengan limit mulai dari hal yang sederhana hingga yang lebih kompleks. Keterkaitan materi sebelumnya terutama masalah fungsi dan komposisi fungsi, kemudian peranan limit nantinya sebagai yang melandasi konsep turunan dan integral, serta manfaatnya dalam persoalan kehidupan
2. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, siswa diajak melihat fakta di lingkungan yang terkait dengan limit, seperti:
1) Menyajikan foto jembatan layang
Minta anak untuk mengomentari secara bebas gambar ini.
2) Bercerita tentang pembuatan jembatan layang yang berhubungan dengan konsep limit
3) Mengaitkan dengan konsep bilangan real yang berhubungan dengan limit
10 menit
Inti 1. Guru membagi siswa dalam beberpa kelompok.
2. Siswa diminta membaca mengenai pengertian limit fungsi aljabar melalui penerapan dalam konteks nyata dan membuat pertanyaan mengenai pengertian limit fungsi aljabar.
3. Guru memberikan tantangan persoalan kepada setiap kelompok, seperti:
a. Seekor lalat diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada suatu saat, lalat tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan parabola selama 1 menit, lalat itu telah mencapai ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5 meter selama 1 menit. Pada menit berikutnya, lalat itu terbang menungkik lurus sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga.
Selanjutnya:
Coba kamu (siswa):
Kegiatan Deskripsi Kegiatan AlokasiWaktu 1) Modelkan fungsi lintasan lalat tersebut
Petunjuk:
- Model umum kurva parabola,
f(t)=a t2+bt+c , dengan a , b , c bilangan real
- Model umum kurva linear,
f(t)=mt+n , dengan m ,n bilangan real
2) Amati model yang kamu peroleh. Tunjukkan pola lintasan terbang lalat itu dan periksa ketinggian lebah mendekati menit ke-1 dan ke-2
Petunjuk:
Pilihlah strategi numerik untuk menujukkan pendekatan, kemudian bandingkan jawaban kamu dengan strategi lain 3) Guru mengarahkan siswa membangun konsep limit fungsi berdasarkan kegiatan di atas. Siswa diminta menentukan unsur-unsur yang terdapat pada limit, menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada limit fungsi aljabar, kemudian menghubungkan unsur-unsur yang sudah dikategorikan sehingga dapat dibuat kesimpulan mengenai pengertian limit fungsi aljabar
4) Guru memberikan kontra contoh untuk menguatkan konsep limit fungsi, seperti periksa yang berikut, adakah niliai limitnya, jika tidak mengapa.
a. lim
x →2
4
x−2b .limx →6√x−6
Penutup 1. Siswa diminta menyimpulkan tentang definisi limit suatu fungsi
2. Dengan bantuan presentasi komputer, guru menayangkan apa yang telah dipelajari dan disimpulkan mengenai limit fungsi.
3. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai penerapan limit fungsi
4. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan untuk tetap belajar.
10 menit
H. Penilaian Hasil Belajar
Bentuk Instrumen dan Teknik Penilaian : a. Bentuk Instrumen berupa Tes:
Tes tertulis bentuk uraian
b. Bentuk Instrumen berupa Non Tes: Observasi sikap dan keterampilan
Banjarmasin, 13 Juli 2013 Mengetahui
Drs. Mundofir Mukhlisah Zulfa Nadiya, S. Pd NIP. 19560607 197903 1 011
Contoh Instrumen Penilaian Hasil belajar Tes Uraian (tugas kelompok)
1. Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada suatu saat, lalat tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan parabola selama 1 menit, lalat itu telah mencapai ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 4 meter selama 1 menit. Pada menit berikutnya, lalat itu terbang menungkik lurus sampai mendarat kembali pada akhir menit keempat. Selanjutnya:
Coba kamu (siswa):
1) Modelkan fungsi lintasan lalat tersebut Petunjuk:
- Model umum kurva parabola, f(t)=a t2+bt+c , dengan a , b , c bilangan real
- Model umum kurva linear, f(t)=mt+n , dengan m ,n bilangan real
2) Amati model yang kamu peroleh. Tunjukkan pola lintasan terbang lalat itu dan periksa ketinggian lebah mendekati menit ke-1 dan ke-2
Petunjuk:
Pilihlah strategi numerik untuk menujukkan pendekatan, kemudian bandingkan jawaban kamu dengan strategi lain
2. Berdasarkan definisi limit, periksalah nilai limit fungsi-fungsi berikut, jika tidak ada ajukan alasannya
a. lim x →2(7x−5) d. lim x →2
(
4x3 −8x x+4)
1 3 b. lim x→−1(2x 5 −4) e. lim x →3 6 x−3 c. limx →2√3x−6 f. lim x →1 2 2x2 −xKunci dan Penskoran 1. Alternatif penyelesaian: Skor 2 f(t)=¿ Skor 2 4 0 1 2 4 A(1, 4) B(2, 4) C(4, 0) O(0, 0) f(t)=mt+n , saat 2≤t ≤4 4, saat 1≤t ≤2 a t2 +bt+c, saat 0≤ t ≤1
Dengan a , b , c , m, n bilangan real Dari data di atas:
Pada t = 0, ketinggian lebah 0, titik awal (0, 0)
Pada t = 1 sampai t = 2, ketinggian lebah 4, di titik A (1, 4) dan B (2, 4) Pada t = 4, ketinggian lebah 0, di titik C (4, 0)
Skor 2 Selanjutnya diolah:
1) Subtitusikan O(0, 0) pada f(t)=a t2+bt+c, maka c=0
Skor 1 2) Subtitusikan A(1, 4) pada f(t)=a t2+bt+c, maka a+b+c=4
Karena c=0, maka a+b=4
Skor 1 3) Sebab parabol mencapai maksimum saat t=1, berarti −2ab=1,ataub=−2a
Skor 1 4) Padukan a+b=4 dan b=−2a, maka:
a+(−2a)=4
−a=4,atau a=−4 dan b=−2(−4)=8
Skor 1 5) Pada saat 0≤ t ≤1, fungsi parabolanya adalah f(t)=−4t2+8t
Skor 1 6) Pada saat 1≤t ≤2,lebah terbang konstan di ketinggian 4 meter, fungsinya f(t)=4
Skor 1 7) Subtitusikan titik B (2, 4) ke fungsi f(t)=mt+n , diperoleh4=2m+n
Skor 1 8) Subtitusikan titik C (4, 0) ke fungsi f(t)=mt+n , diperoleh0=4m+n ,
diperoleh n=−4m Skor 1 9) Substitusikan n=−4m pada 4=2m+n ; maka 4=2m+(−4m) 4=−2m, didapat m=−2 dan n=−4m=−4.−2=8 Skor 2 10) Pada saat 2≤t ≤4, fungsi linear yang dimaksud, f(t)=−2t+8.
Skor 2 Dengan demikian model fungsi lintasan tersebut adalah:
f(t)=¿
Skor 2 4, saat 1≤t ≤2
−2t+8, saat 2≤t ≤4 −4t2+8t, saat 0≤ t ≤1
Selanjutnya nilai fungsi pada saat t mendekati 1 dan t mendekati 2 atau limit fungsi pada t = 1 dan t = 2, dapat dicermati pada tabel berikut:
Tabel 1. Pendekatan f(t) pada saat t mendekati 1
t 0.9 0.99 0.999 1 1.1 1.2 1.3
f(t) 3.96 3.9996 4 4 4 4 4
Skor 2 Tabel 2. Pendekatan f(t) pada saat t mendekati 2
t 1.8 1.9 1.99 2 2.01 2.03 2.04 f(t) 4 4 4 4 3.98 3.94 3.92 Skor 2 Sub total = 24 2. Alternatif Penyelesaian Bagia n Pembahasan Skor a. limx →2(7x−5)=7.2−5=14−5=9 1 b. x→lim −1 (2x5−4)=2(−1)5−4=2.(−1)−4=−2−4=−6 1 c. lim
x →2√3x−6tidak ada limitnya karena bila x mendekati 2
dengan sedikit lebih kecil dari 2 akan terjadi akar negatif, tidak ada akar bilangan negatif dalam bilangan real
1 d. lim x →2
(
4x3 −8x x+4)
1 3 =(
4 .2 3 +8.2 2+4)
1 3 =(8) 1 3 =2 1 e. lim x →3 6x−3tidak ada limitnya sebab bila x sedikit lebih kecil
dari 3 harganya negatif sedangkan jika x sedikit lebih besar dari 3 nilainya positif, limit kanan kiri dan kanan tidak sama, tidak semua nilai mendekati 3 nilainya mendekati bilangan yang sama 1 f. limx →1 2x22 −x= 2 2. 12−1=1 1 Sub total = 6 Nilai Akhir Skor Maksimal ¿(24+6)×10030 =100
Catatan:
Penyekoran bersifat holistik dan komprehensif, tidak saja memberi skor untuk jawaban akhir, tetapi juga proses pemecahan yang terutama meliputi pemahaman, komunikasi matematis (ketepatan penggunaan simbol dan istilah), penalaran (logis), serta ketepatan strategi memecahkan masalah.
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
Satuan Pendidikan : SMAN 7 Banjarmasin Kelas/Semester : X/2
Mata Pelajaran : Matematika-Wajib Topik : Limit Fungsi Aljabar Waktu : 4 x 45 menit (2 pertemuan) A. Kompetensi Inti SMA kelas X
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual,