Pangkat Bulat Negatif

a. Sifat-1: Jika adalah bilangan real dan ≠0, madalah bilangan bulat positif maka = Bukti: = Sebanyak m factor = Sebanyak m factor =

Misalkan a bilanagn real dan n bilangan positif, disebut bilangan berpangkat jika dan hanya jika =

n faktor

Dengan sebagai bilanagn pokok (basis) dan n adalah pangkat.

Definisi

Misalkan adalah biangan real dan 0, m adalah bilangan bulat positif`

=

Contoh 4.1

Jika nilai x= -2 dan y= 2 tentukan nilai =... Penyelesaian :

= = = 2. Pangkat Nol

Untuk lebih memahami definisi 8, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0.

= 8 = 27

= 4 = 9

= 2 = 3

= 1 = 1

Perhatikan hasil permangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasilnya pemangkatannya adalah 1.

3. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif a. Sifat ke-1

Jika adalah bilangan real, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka =

Bukti :

x = m faktor n faktor

b. Sifat ke-2 Jika a bilangan real dan ≠0, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka =

Bukti: = (sesuai definisi)

Pada persyaratan sifat-2, Apa arti ≠0 ?

Misalkan a adalah bilangan real dan 0, = 1

Bagaimana jika = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian

Pada sifat-2 di atas, terkait bilangan bulat positif m dan n, ada 3 (tiga) kemungkinan kasus, yaitu (a) m> n, (b) m= n, dan (c) m< n.

 Kasus (a) m> n

Jika m dan n bilangan bulat positif dan m> n maka m– n > 0. Dengan demikian = = ( ) (m-n) faktor = ( ) (m-n) faktor =

Jadi = , dengan m, nbilangan bulat positif dan m> n (terbukti)

 Kasus (b) jika m= n, maka = 1. Untuk pembuktiannya perhatikan sifat-3 berikut.

 Kasus (c) jika m< n. Coba kamu buktikan sendiri.

c. Sifat ke-3: Jika bilangan real dan ≠0, m dan n adalah bilangan bulat positif dengan m= n, maka = 1.

Bukti : = , sebab m = n = = 1 (terbukti)

d. Sifat ke-4: Jika abilangan real dan ≠0, mdan nadalah bilangan bulat positif, maka ⁿ =

n =

n factor

=( )( ) m faktor m factor

) ) m faktor m faktor n faktor

m x n fatkor = n = (terbukti)

e. Sifat ke-5 : Jika abilangan real dan ≠0, madalah bilangan bulat positif, maka adalah bilangan real positif dan ^m =

Bukti:

Karena mbilangan bulat positif, maka 0 , karena m dan > 0, maka berdasarkan sifat 5 berlaku m = = =

Ubah ke bentuk sederhana / bentuk perpangkatan: 1. . =

2. . =

3. = 4. = 5. =

Kunci Jawaban Tes Formatif

1. Ada 2 cara dalam penyelesaiannya: a. = b. . = = x 2. = 3. = 1 4. = .9 = 5. = =

1. bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan yang berulang, contoh :

= sebanyak n kali. 2. Berikut sifat – sifat pada bilangan bulat:

a. = b. = 1

c. x = d. =

e. = 1, jika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat positif juga m = n

f. = g. =

Kerjakan soal berikut: 6. . = 7. . = 8. = 9. = 10. =

*Kegiatan Belajar 5

Siapkan satu lembar kertas! Dan lakukan hal-hal dibawah ini!

1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegipanjang) sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas?

2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? Catatlah banyaknya potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah.

3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali.

Setelah siswa melakukan kegiatan secara kelompok hasil kerjanya secara lengkap banyaknya lipatan dan banyaknya potongan kertas adalah sebagai berikut.

Banyak lipatan kertas Banyak potongan kertas yang terjadi 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64

Diskusikan dengan temanmu untuk menjawab pertanyaan berikut ini!

1. Apakah banyaknya lembaran kertas yang terjadi mempunyai keteraturan? Jika ya, jelaskan keteraturannya!

2. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas? Berapakah banyaknya lembar kertas itu?

Alternatif Penyelesaian :

1. Ya, alternatif jawaban untuk pertanyaan bagian a adalah :

Banyak lipatan kertas Banyak potongan kertas yang terjadi 1 2¹= 2 2 2²= 4 3 2³= 8 4 2⁴= 16 5 2⁵= 32 6 2⁶= 64

Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas membentuk pola. 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., merupakan salah satu contoh pola bilangan.atau Banyaknya lembaran kertas berikutnya diperoleh dari dua kali banyaknya kertas sebelumnya. Jawaban tidak harus sama dengan ini kamu bisa membuat kalimat sendiri.

2. Jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas, banyaknya lembar kertas adalah 2⁸= 256 lembar

*Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek.

1. Rangkaian keempat dan kelima dari gambar di atas adalah :

2. Pada rangkaian keempat 13 buah dan pada rangkaian kelima 17 buah. Alternatif jawaban siswa menghitung banyaknya persegi pada rangkaian keenam diantaranya adalah :

Rangkaian 1, jumlah persegi = (4 x 1) – 3 = 1 Rangkaian 2, jumlah persegi = (4 x 2) – 3 = 5 Rangkaian 3, jumlah persegi = (4 x 3) – 3 = 9 Rangkaian 4, jumlah persegi = (4 x 4) – 3 = 13 Rangkaian 5, jumlah persegi = (4 x 5) – 3 = 17 Rangkaian 6, jumlah persegi = (4 x 6) – 3 = 21 Maka :

Pola bilangan yang terbentuk dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... 1. Bilangan 1 merupakan suku pertama,5 merupakan suku kedua, 9

merupakan suku ketiga, dan seterusnya.

Untuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu aturanyang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya.

2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8, . . .

Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya! Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya?

3. Untuk mencari ketiga suku berikutnya pada soal berikut dicari dengan cara berikut.

2 ,4 , 6 , 8 , ____, ____ , ____

+2 +2

2 , 4 , 6 , 8 , 10, 12 , 14,

Jadi tiga suku berikutnya adalah 10, 12, dan 14.

Aturannya adalah dimulai dengan bilangan 2 dan suku-suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2

4. Pola bilangan 1, 3, 9, 27, . . .

Bilangan pada ketiga suku berikutnya adalah 81, 243, 729 Alternatif jawaban :

Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 3.

Pola Bilangan Segitiga

Pernahkah kamu menjumpai “pemandu sorak (cheerleader)” melakukan atraksinya dalam suatu pertandingan olahraga (misalnya basket)? Seringkali dalam atraksinya mereka membentuk piramida manusia, yaitu saling berdiri di antara pemain-pemainnya, sehingga pada puncaknya hanya berdiri seorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggap bahwa piramida manusia tersebut belum mencapai puncak. Dan sama dengan segitiga yang disusun seperti pada gambar:

Bilangan juga dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga sebagai berikut:

V V V

V

V V

a. mewakili bilangan 1 b. mewakili bilangan 3

c. mewakili bilangan 6

1. Apakah piramida manusia itu berbentuk limas? Sebutkan bentukyang tepat untuk menjelaskannya!

2. Berapa banyak orang bila tingginya 2 tingkat dan 3 tingkat?

3. Misalkan satu orang dalam piramida tersebut digambarkan dengan tanda “ “pada suatu piramida. Gambarlah pola banyaknya orang dalam piramida manusia itu.

Banyaknya tanda “ “ pada suatu piramida menunjuk pada ilangan 1, 3, 5, ... . Karena bentuknya seperti segitiga, maka pola ilangan itu dinamakan Pola bilangan segitiga.

4. Buatlah tabel untuk menunjukkan banyaknya tingkat dan banyaknya orang dalam piramida itu. (Selesaikan tabel ini dengan mengisi bagian...). Tingkat 1 2 3 4 5 6 7 Banyaknya orang 1 3 6 .... .... .... .... Alternatif jawaban : Tingkat 1 2 3 4 5 6 7 Banyaknya orang 1 3 6 10 15 21 28

5. Perhatikan polanya. Bagaimanakah hubungan banyaknya orang dalam piramida manusia itu dengan banyaknya tingkat?

Alternatif Penyelesaian:

Banyaknya orang pada tingkat berikutnya diperoleh dari banyaknya ingkat yang dimaksud ditambah dengan banyaknya orang sebelumnya.

v v v v v v v v v v v v v ^v_v v v v v v v v v

Atau banyak orang sebelumnya ditambah dengan tingkat yang mau dibuat.

6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bila tingkatnya 9? Banyaknya adalah 45. Coba kamu diskusikan kenapa bisa dapat 45. Karena bentuk susunan orang adalah berbentuk segitiga maka banyaknya orang pada tingkat

berikutnya diperoleh dari luas segitiga, yaitu ½ n (n+1), dengan n bilangan asli.

Pola Bilangan Persegi

Setiap tahun suatu perusahan penerbangan mengadakan pertunjukan dirgantara.

Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?Untuk menjawabnya lakukan kegiatan berikut.

Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup ketiga, kemudian sesudah penerbangan keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?

Grup ke Banyaknya

pesawat baru ^{Jumlah pesawat} diangkasa

1 1 1

2 3 4

3 5 9

4 7 16

1. Jika pola penerbangan diatas di lanjutkan berapa banyak pesawat yang diterbangkan pada penerbangan grup ke-5 dan ke-6?

2. Berapakah jumlah pesawat yang ada di angkasa setelah penerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila

pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat? Jawab : 25 pesawat dan 36 pesawat.

3. Jelaskan dan diskusikan hubungan antara grup pesawat dan jumlah pesawat yang ada di angkasa?

Alternatif

Jawaban : grup pesawat dipangkatkan dua akan sama dengan jumlah pesawat diangkasa.

4. Bilangan-bilangan pada kolom jumlahpesawat diangkasa pada tabel di atas merupakan bilangan kuadrat.

5. Perhatikan model dari bilangan kuadrat berikut. Apakah membentuk pola bilangan kuadrat?

Karena bilangan-bilangan 1, 4, 9 dan 16 berhubungan dengan bentuk persegi, maka pola bilangan itu dinamakan juga pola bilangan persegi

Pola Bilangan Persegi Panjang

Di kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makin berkurang atau bahkan tidak ada lagi. Sehingga untuk berkebun atau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentuk persegi dari kayu-kayu yang diisi dengan tanah. Berikut rangkaian pot-pot tersebut.

1 x 1 1 + 3 = 2 x 2 = 4 1+ 3+ 5 = 3 x 3 = 9 1+3+5+7 = 4 x 4 = 16

Rangkain 1 R. 2 R. 3 R. 4

Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatu pola? Tuliskan pola itu. Ya, karena bilangan 2, 6, 8, 12, dan 20 berhubungan dengan bentuk persegi panjang, maka pola bilangan ini disebut atau dinamakan pola bilangan persegi panjang.

Pola Bilangan Segitiga Pascal

Dinamakan pola segetiga pascal karena ditemukan oleh Blaise Pascal.

Bilanga dari baris ke 2 adalah hasil penjumlahan dari dua bilanagn pada baris ke 1.

1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan 36

2. Pada pola bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...bilangan yang ke-50 adalah v

1 2 3 4

3. Bilangan yang ke-30 dari pola bilangan persegi adalah

Kunci Jawaban Tes Formatif

1. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,..54, 64, 75, 87..

+2 +3 +4 dan seterusnya+9 +10 +11 dan sterusnya 2. 1 = 2 x 1 -1

3 = 2 x 2 – 1 5 = 2 x 3 – 1

Dari pola diatas maka bilangan yang ke-50 = 2 x 50 -1 =99 3. 1 = 1 x 1

4 = 2 x 2 9 = 3 x 3 16 = 4 x 4

1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan 36

2. Pada pola bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...bilangan yang ke-50 adalah 3. Bilangan yang ke-30 dari pola bilangan persegi adalah

4. Tentukan banyaknya lingkaran pada pola yang ke-25 pada pola persegi panjang

Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek pada bilangan bulat.berikut beberapa pola pada bilangan bulat:

1. Pola segitiga

Berbentuk segitiga, dan memiliki pola bilangan bulat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,....

2. Pola persegi

Bilangan yang membentuk pola persegi 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ....

3. Pola persegi panjang

Bilangan yang membentuk pola persegi panjang 2, 6, 12, 20,... 4. Pola segitiga pascal

Bilangan yang membentuk pola segitiga pascal yaitu bilangan-bilangan pada segitiga pascal

*Kegiatan Belajar 6

Penjumlahan Pecahan

Misalkan a, b, c, dan d bilangan bulat dengan b ≠ 0 dan d ≠0. Jika ^a_b dan _d^c adalah pecahan maka ^a_b +^c_d = ^{ad bc}_bd

Contoh 1.6.1 3 6 + ⁴₅ = ... Penyelesaian : 3 6 + ⁴₅ = ¹⁵₃₀²⁴ = ³⁹₃₀ Pengurangan Pecahan Contoh 1.6.2 1- ⁴₅ =... Penyelesaian :

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinya takan dalam bentuk , a dan b bilangan bulat, b≠ 0 dan b bukan faktor dari a.

1- ⁴₅ = ⁵₅ - ⁴₅ = ¹₅

Perkalian Bilangan Pecahan Contoh 1.6.3 9 x ²₃ = ... Penyelesaian : 2 3+²₃ ²₃ +²₃ ²₃ ²₃ ²₃ ²₃+ ²₃ = ^{2 2 2 2} ₃^{2 2 2 2 2} = ^{9 x 2}₃ = ¹⁸₃ = 6

1. Perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa dan sebaliknya.

Untuk lebih mudah memahami bagaimana cara mengalikan bilangan asli dengan sebuah pecahan atau perkalian sebuah pecahan dengan bilangan asli, perhatikan masalah-masalah berikut.

Terdapat enam buah gelas yang akan diisi air sampai penuh. Ternyata setiap gelas hanya dapat memuat ₁₀¹liter air. Berapa liter air yang dibutuhkan untuk mengisi keenam gelas tersebut?

Banyak air yang dibutuhkan adalah = 6 × ₁₀¹

= ₁₀¹ + ₁₀¹ + ₁₀¹ + ₁₀¹ + ₁₀¹ + ₁₀¹ = ^{1 1 1}₁₀^{1 1 1}

= ^{6 x 1}₁₀ = ₁₀⁶

Contoh 1.6.4 3 x ³₄ = ... Penyelesaian :

perhatikan gambar berikut:

3 4 3 4 3 4 2¹₄

Berdasarkan gambar diatas 3 x ³₄ = ³₄ + ³₄ + ₄³ = ^{3 3}₄ ³ = ⁹₄ = 2¹₄ 2. Bilangan asli dengan bilangan campuran

Sifat

Untuk a, b, dan c bilangan asli, berlaku: a. a x = ^{a x b}_c

b. x a = ^{b x a}_c c. 1 x = x 1 =

3. Perkalian Pecahan Biasa dengan Pecahan Biasa Contoh 1.6.5 2 3 x ¹₄ =... Penyelesaian : 2 3 x ¹₄ = ^{1 x 2}_{3 x 4} = ₁₂²

Pembagian Pecahan

Bu Vera memiliki 5 potong roti. Roti tersebut akan dibagikan pada 3 orang anaknya dan tiap anak mendapat bagian yang sama. Berapa potong yang diperoleh tiap anak ?

Alternatif Penyelesaian

Banyak roti yang dimiliki Bu Vera adalah 5 potongBanyak anak Bu Vera adalah 3 orangKarena tiap anak mendapat bagian yang sama, maka banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 5 : 3 = …. ?

Perhatikan gambar berikut

Berdasarkan gambar di atas, banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 1 3 + ¹₃+¹₃ + ¹₃ + ¹₃ = ^{1 1 1}₃ ^{1 1} = ⁵₃ = 1²₃ Cara memperoleh: 5 : 3 = ( 3 + 2 ) : 3 = ( 3 : 3 ) + ( 2 : 3 ) = 1 + ²₃= 1²₃

Beberapa sifat yang perlu dicermati

1. Setiap pecahan dibagi 1 hasilnya pecahan itu sendiri 2. Setiap pecahan memilii kebalikan

3. Setiap pecahan dikalikan dengan kebalikannya hasilnya 1

4. Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah pecahan, maka hasilnya adalah kebaliakan pecahan itu.

Kerjakan Soal berikut : 1. + = 2. + 3 = 3. - = 4. - = 5. 2 : =

Kunci Jawaban Tes Formatif 1. =

2. = 3. = 4. =-

Kerjakan Soal berikut : 1. + = 2. + 3 = 3. - = 4. - = 5. 2 : =

1. Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinya takan dalam bentuk , a dan b bilangan bulat, b≠ 0 dan b bukan faktor dari a. 2. Berikut beberapa konsep pada operasi bilangan pecahan:

a. + = b. a x = c. x a = d. = x 1 =

*Kegiatan Belajar 7

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk ^a_b , a dan b bilangan bulat dan b 0.

Perhatikan difinisi diatas,untuk a dan b bilangan bulat serta b 0, bilangan apa yang dihasilkan ^a_b jika:

1. a = 0 2. a = b

3. a > b, a dan b memiliki faktor prima 4. a < b, a dan b memiliki faktor prima 5. a > b, a kelipatan dari b

6. a < b, a faktor dari b Penyelesaian

1. Jika a = 0,

Jika a = 0 ( tentu b 0 )

Maka_b^a = ⁰_b, kita ambil sembarang nilai b, maka perhatikan

0

1 = 0, ⁰₅ = 0; ₂₀⁰ = 0; ₂₀₀⁰ = 0;

Maka ^a_b selalu menghasilkan bilangan 0 2. a = b

silahkan coba sendiri dan simpulkan

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk ^a_b , a dan b bilangan bulat dan b 0.

3. a > b, a dan b memiliki faktor prima perhatikan :

2

3 , ³₇, ₁₁⁷

Maka ^a_b selau menghasilkan bilangan pecahan biasa 4. a < b, a dan b memiliki faktor prima

silahkan coba sendiri dan simpulkan 5. a > b, a kelipatan dari b

4

2 = 2, ⁹⁹₃₃ = 3,¹⁰₂ = 5

Maka selalu menhailkan bilangan bulat 6. a < b, a faktor dari b

silahkan di coba sendiri dan simpulkan

bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a_b, dengan a dan b bilangan bulat dan b≠ 0. Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk^a_b, dengan a, b bilangan bulat dan b≠ 0. Seperti bilangan √3,√5 ,√7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan irasional.

1. Ubah dalam bentuk pecahan 0,125 2. Ubahlah bentuk desimal dari

3. Ubah dalam bentuk desimal

4. 0,3333333 ubah dalam bentukpecahan

Kunci Jawaban Tes Formatif 1. 0,125 = =

2. 3 : 2 = 0,666666

4. 0,333 = 1 angka yang di ulang berarti x = 0,333 10x = 3,333

-9x = -3

X=

Nyatakan dalam bentuk pecahan! 1. 32

2. 120 3. 22,5 4. 90

Nyatakan dalam bentuk desimal 1.

2. 2

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk , a dan b bilangan bulat dan b 0.bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat dan b≠ 0. Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a, b bilangan bulat dan b≠ 0. Seperti bilangan √3,√5 ,√7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan irasional.

SOAL EVALUASI MPM 1

1. Hsil dari 45 + (-35) + 30 – 125 = … a. 80 b. -85 c.85 d. 75 2. 144 : 12 + 25 x 12 = … a. 300 b. 310 c. 312 d. 324 3. (720 – 330) : (4 + 6) = … a. 39 b. 49 c. 59 d. 60 4. 35 – 6 x (7 +13) = n. nilai n adalah … a. 80 b. -85 c. 85 d. 75

5. Supaya kalimat menjadi benar harga n pada kalimat n + 65 + 87 + (-21) = 184

a. 50 b. 53 c.60 d. 63

6. Faktor prima dari 252 adalah…

a. 2, 3, 5 b. 2, 3, 7 c. 3, 5, 7 d. 2, 3, 5, 7 7. Hasil dari (-146) + 35 + (-65) = …

a.-176 b. 176 c. 157 d. -157 8. FPB dari 40 dan 60 adalah …

a. 8 b. 10 c. 12 d. 20

9. FPB dan KPK dari 25 dan 50 adalah …

a. 25 dan 50 b. 50 dan 25 c. 20 dan 60 d. 25 dan 55 10. KPK dari 28, 24, dan 30 adalah …

a. 840 b. 740 c. 420 d. 500

11. Faktor prima dari 880 adalah … 12. FPB dan KPK dari 44 dan 68 dalah … 13. (-25) + 13 x (-9) = …

14. Pada pukul 10.00 lampu A dan B menyala bersama-sama. Jika lampu A menyala setiap 8 menit dan lampu B setiap 12 menit, kedua lampu menyala bersama-sama pada pukul …

15. Momon akan membagikan 40 buah buku gambar dan 50 bolpoin. Ia ingin membagikan buku gambar dan bolpoin secara adil, maka jumlah anak yang akan menerima maksimal …

16. Tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi: 60, 196, atau 225?

17. Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola persegi sebagai berikut:

berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5?

18. Tentukan nilai dari: a. 3²+3³=...

b. 5⁴ : 5³= ... c. 2^{3 3} = ...

19. Nyatakan 0,45 dalam bentuk pecahan

20. Misal kamu mempunyai 28 liter minyak. Kamu diminta mengisikan semua minyak itu pada 8 kaleng. Jika setiap kaleng harus sama berapa liter harus diisikan pada tiap kaleng?

Modul ini berisi teori tentang Bentuk Aljabar dan menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional pada masalah yang berbentuk simbolik dan verbal.

Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan operasi bilangan bulat.

Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu :

1. Mengenal bentuk aljabar.

2. Menjelaskan pengertian suku bentuk aljabar.

3. Mengetahui macam-macam suku pada bentuk aljabar.

4. Membedakan antara suku tunggal, suku banyak dan suku-suku sejenis. 5. Memahami operasi hitung pada bentuk aljabar.

6. Menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar. 7. Mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun

pengurangan.

8. Siswa dapat menentukan hasil perkalian pada bentuk aljabar.

9. Siswa dapat mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar.

10. Siswa mampu menyelesaikan perkalian suatu bilangan dengan suku dua bentuk aljabar

11. Siswa dapat menyelesaikan perkalian suku dua dengan suku dua. 12. Siswa dapat memahami operasi pembagian pada bentuk aljabar.

14. Siswa dapat menyederhakan bentuk pecahan aljabar.

Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini.

1. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.

2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan.

3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan.

4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini.

5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor.

6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.

*Kegiatan Belajar 1

Aljabar bukan hanya membahas permasalahan yang berkaitan dengan operasi hitung bilangan, tetapi juga memiliki cakupan bahasan yang lebih luas lagi, yaitu mengenai hubungan antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam pengerjaan dengan aljabar, sebuah bilangan yang tidak diketahui, atau belum diketahui, dapat diwakili dengan menggunakan simbol berupa huruf, misalnya x dan y, yang disebut dengan variabel. Dengan demikian, variabel-variabel tersebut dapat memiliki berbagai variasi nilai. x

Pada Gambar di atas , dus (kotak) pertama berisi wafer, dan kotak kedua berisi buah yang dikemas sendiri. Berat kotak wafer tertera pada kotak kemasan yaitu 8kg, sedangkan berat kotak buah belum diketahui. Jika berat kotak buah kita nyatakan dengan x kg, dan jumlah berat seluruh kotak kita nyatakan dengan y kg, maka diperoleh :

Berat kotak seluruhnya adalah (8+x) atau y=8+x.

Uraian di atas menunjukkan bahwa situasi dalam kehidupan sehari-hari dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar. Suatu bentuk aljabar dapat terdiri dari bilangan, variabel, atau gabungan dari bilangan dan variabel yang terkait dengan operasi hitung.

Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar berasal dari kata al-jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat yang diambil dari buku karangan Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi (780-850 M), yaitu kitab al-jabr wal-muqabalah yang membahas tentang cara menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar atau "Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan” yang ditulis pada tahun 820 Masehi. Buku pertama Al-Khawarizmi yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dikenal sebagai Liber algebrae et almucabala oleh Robert dari Chester (Segovia, 1145)

yang besar di bidang aljabar, Al Khawarizmi dijuluki sebagai Bapak Aljabar. Namun, julukan itu diberikan pula pada Diophantus, seorang ilmuwan dari Yunani kuno. Pemakaian nama aljabar sebagai penghormatan kepada Al-Khawarizmi atas jasa-jasanya dalam mengembangkan aljabar melalui karya-karya tulisanya. Al-Khawarizmi adalah ahli matematika dan ahli astronomi termasyhur yang tinggal di Baghdad (Irak) pada permulaan abad ke-9. Al-Khawarizmi diperkirakan meninggal sekitar 850 Masehi. Namun, karya-karya besarnya masih terus berkembang dan banyak dipelajari hingga saat ini.

Contoh 2.1.1

Suatu ketika terjadi percakapan antara Pak Agus dan Pak Budi. Mereka berdua baru saja membeli buku di suatu toko grosir.

Pak Agus : “Pak Budi, kelihatannya beli buku tulis banyak sekali.”

Pak Budi : “Iya Pak. Ini pesanan dari sekolah saya. Saya beli dua kardus dan 3 buku. Pak Agus beli apa saja?”

Pak Agus : “Saya hanya beli 5 buku saja Pak, untuk anak saya yang kelas VIII SMP.”

Dalam percakapan tersebut terlihat dua orang yang yang menyatakan banyak buku dengan satuan yang berbeda. Pak Agus menyatakan jumlah buku dalam satuan kardus, sedangkan Pak Budi langsung menyebutkan banyak buku yang ia beli dalam satuan buku.

Penyelesaian :

Alternatif pemecahan masalah disajikan dalam tabel berikut.

Simbol x bisa mewakili sebarang bilangan.

Jika x = 10, maka 2x + 3 = 2 × 10 + 3 = 20 + 3 = 23 Jika x = 15, maka 2x + 3 = 2 × 15 + 3 = 30 + 3 = 33

Jika x = 20, maka 2x + 3 = 2 × 20 + 3 = 40 + 3 = 43 Jika x = 40, maka 2x + 3 = 2 × 40 + 3 = 80 + 3 = 83 Jika x = 50, maka 2x + 3 = 2 × 50 + 3 = 100 + 3 = 103

Nilai bentuk aljabar di atas bergantung pada nilai x. Dalam konteks di atas x menyatakan banyak buku dalam satu kardus.

Bentuk aljabar dalam diatas x menyatakan banyak buku yang ada dalam kardus

1. Pak Tohir memiliki dua jenis hewan ternak, yaitu sapi dan ayam. Banyaknya sapi dan ayam yang dimiliki Pak Tohir secara berturut-turut adalah 27 sapi dan 1.500 ayam. Seluruh sapi dan ayam tersebut akan dijual kepada seorang pedagang ternak. Jika harga satu sapi dinyatakan dengan x rupiah dan harga satu ayam dinyatakan dengan y rupiah, tuliskan bentuk aljabar harga hewan ternak Pak Tohir?

2. Arman mempunyai 5 buah robot dan 8 buah mobil-mobilan. Jika Arman diberi 2 buah robot oleh ibu dan 3 mobil-mobilannya ia berikan kepada Anto, berapa sisa robot dan mobil Arman. Nyatakan dalam bentuk aljabar?

Kunci Jawaban Tes Formatif

1. x adalah jenis hewan ternak sapi y adalah jenis hewan ternak ayam bentuk aljabar = 27x + 1.500y 2. x menyatakan robot

y menyatakan mobil-mobilan 5x + 8y + 2x – 3y = 7x + 5y

1. Suatu ketika Pak Veri membeli dua karung beras untuk kebutuhan hajatan di rumahnya. Setelah dibawa pulang, istri Pak Veri merasa beras yang dibeli kurang. Kemudian Pak Veri membeli lagi sebanyak 5 kg. Nyatakan bentuk aljabar dari beras yang dibeli Pak Veri.

2. Pak Deni membeli tiga gelondong kain untuk keperluan menjahit baju seragam pesanan sekolah SMP Semangat 45. Setelah semua seragam berhasil dijahit, ternyata kain masih tersisa 4 meter. Nyatakan bentuk aljabar kain yang digunakan untuk menjahit.

3. Bu Niluh seorang pengusaha kue. Suatu ketika Bu Niluh mendapat pesanan untuk membuat berbagai macam kue dalam jumlah yang banyak. Bahan yang harus dibeli Bu Niluh adalah dua karung tepung, sekarung kelapa, dan lima krat telur. Nyatakan bentuk aljabar harga semua bahan yang dibeli oleh Bu Niluh .