Pada bahasan ini akan dipelajari tentang penggunaan perkalian istimewa (x + a) (x + b) yang khusus, yaitu jika a + b = 10, sehingga hasil perkalian dari (x + a)(x + b) dapat dinyatakan sebagai berikut .
(x + a) (x + b ) = x2 + (a + b)x + ab , a + b = 10 = x2 + 10x + ab
= x(x + 10) + ab
Kita gunakan hasil perkalian di atas juga untuk menyelesaikan perkalian berikut.
Dengan menggunakan cara di atas, maka hasil perkalian dua bilangan yang angka puluhannya sama dan angka samanya berjumlah 10 dapat diperoleh dengan cara yang lebih mudah.
Contoh 2.4.4
Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Halim mempunyai kebun semangka berbentuk persegipanjang. Ukuran panjang kebun semangka Pak Halim 10 m lebihnya dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Sedangkan lebarnya, 3 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketauhi luas kebun Pak Halim adalah 450 m2, Tentukan luas kebun apel Pak Idris.
Untuk memecahkan persoalan tersebut bisa dengan memisalkan panjang sisi kebun apel Pak Idris dengan suatu variabel, misal variabel x. Panjang kebun semangka Pak Halim 10 meter lebih panjang dari panjang sisi kebun apel, bisa ditulis x + 10. Sedangkan lebarnya 3 meter lebihnya dari panjang sisi kebun apel Pak Idris, bisa ditulis x + 3. Seperti yang kita ketahui bahwa luas persegi panjang adalah panjang × lebar. Namun dalam permasalahan menentukan panjang sisi kebun tersebut kita sedikit mengalami kesulitan karena yang dikalikan adalah bentuk aljabar. Dalam permasalah tersebut luas kebun Pak Halim adalah hasil kali dari x + 10 dengan x + 3.
Luas kebun Pak Halim dapat ditulis dalam bentuk aljabar Luas = panjang × lebar = (x + 10) × (x + 3) = x2 + 3x + 10x + 30 = x2 + 13x + 30 satuan luas
Selain dengan cara tersebut, kita bisa menentukan luas kebun Pak Halim dengan cara perkalian bersusun seperti berikut.
Jadi, luas kebun Pak Halim adalah x2 + 13x + 30 satuan luas. Dari kedua cara tersebut, silakan menggunakan cara yang menurut kalian paling mudah.
Untuk lebih jelasnya bagaimana mengalikan bentuk aljabar tersebut mari amati ilustrasi berikut.
1. Jabarkanlah bentuk-bentuk berikut ! a. x (3x + 5)
2. Tentukan hasil perkalian berikut dengan menggunakan hukum distributif! (3x + 4) (x – 2)
3. Sebuah lahan berbentuk persegi panjang dengan panjang (2x - 3) meter, dan lebar (x + 6) meter. Sekeliling lahan tersebut dibuat selebar 2 meter. Hitunglah luas lahan yang tersisa !
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Penjabaran : a. x (3x + 5) = x (3x) + x (5) = 3x2 + 5x b. x (3x + y + 5) = x (3x) + x(y) + x (5) = 3x2 + xy + 5x 2.
3. Ukuran lahan yang tersisa adalah : Panjang = (2x -3) – 2 . 2 = (2x - 3) – 4 = (2x - 7) meter Lebar = (x + 6) – 2 . 2 = (x + 6) – 4 = (x + 2) meter
Jadi luas lahan yang tersisa adalah
= panjang sisa lahan x lebarnya = (2x - 7) (x + 2)
= x2 + 4x – 7x – 14 = (2x2 – 3x - 14) m2
1. Untuk memudahkan dalam perhitungan perkalian suku dua dan suku banyak, yang perlu diingat adalah :
a. x(x + k) = x(x) + x(k) = x2 + xk b. x (x + y + k) = x(x) + x(y) + x(k) = x2 + xy + xk c. (x + p)(x + q) = x(x) + x(q) + p(x) + p(q) = x2 + (p+q)x + pq d. (x + p)(x + q + r) = x(x) + x(q) + x(r) + p(x) + p(q) + p(r) = x2 + xq + xr + px + pq + pr
2. Operasi penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar memiliki beberapa sifat, antara lain
a. Sifat Komutatif a + b = b + a a × b = b × a b. Sifat Asosiatif a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
c. Sifat Distributif (perkalian terhadap penjumlahan) a × (b + c) = a × b + a × c atau
1. Hasil dari penjabaran bentuk perkalian (x + 4) (x + 15) adalah.... 2. Hasil dari perkalian a(3a + 8b) adalah...
3. Jabarkan perkalian disamping menggunakan skema (a + 3) (a + 5).... 4. Hasil dari (5x - 4) (3x + 2) adalah....
*Kegiatan Belajar 5
Operasi Pembagian Bentuk Aljabar
Operasi pembagian bentuk aljabar adalah lawan dari operasi perkalian bentuk aljabar. Jika dua bentuk aljabar memiliki factor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama.
Misal bentuk aljabar 8a dan 2a memiliki faktor yang sama yaitu 2a. Sehingga hasil pembagian 8a dengan 2a dapat disederhanakan yaitu
8a : 2a = 4. Demikian halnya dengan 6xy dan 3y yang memiliki faktor yang sama yaitu 3y, sehingga 6xy : 3y = 2x.
Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagiannya merupakan suku dua, maka hasil pembagiannya dapat ditentukan dengan cara bagi kurung seperti pembagian pada bilangan bulat positif.
Contoh 2.5.1
diketahui suau persegi panjang mempunyai luas = x2 + 13x + 30 satuan luas, dan panjangnya = x + 10 satuan panjang, kalian diminta untuk menentuk bentuk aljabar dari lebarnya. Bagaimana langkah kalian untuk menentukan lebarnya?
Penyelesaian :
Luas = panjang × lebar. Dapat kita tulis: Lebar = panjangluas
Lebar tanah Pak Halim dapat ditentukan dengan membagi bentuk aljabar dari luas tanah dengan bentuk aljabar dari panjang.
Lebar =
Pada kegiatan tersebut, kita telah menentukan hasil bagi x2+ 13x + 30 oleh x + 10 adalah x + 3.
1. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ! a. 2x2 + 3x - 4 oleh x + 3.
b. x3 + 2x2 – 11x + 12 oleh x – 4
2. tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ! a. 28 a5b3 : (-7 a4)
b. 42 x7y8z : 6x3y2
3. Diketahui (x + 3) adalah salah satu faktor dari x2+ 5x + 6. Tentukan faktor yang lainnya.
Kunci jawaban Tes Formatif 1. a. 2x - 3 . 2x2 + 6x -3x – 4 9x - 9 5
Jadi, (2x2 + 3x – 4) : (x + 3) adalah ( 2x – 3) sisa 5 b. x2 + 2x - 3 . x3 - 4x2 2x2 – 11x + 12 2x2 – 8x -3x + 12 -3x + 12 0 Jadi, (x3 + 2x2 – 11x +4) : (x – 4) adalah (x2 + 2x – 3)
a. 28 a5b3 : (-7 a4) = = ( ) ( ) ( ) = -4 (a) (b3) = -4ab3 b. 42 x7y8z : 6x3y2 = = ( ) ( ) ( ) ( ) = 7 (x4) (y6) (z) = 7x4y6z
3. Diketahui (x + 3) adalah salah satu faktor dari x2+ 5x + 6. Tentukan faktor yang lainnya.
. x + 2 . x2 + 3x 2x + 6 2x + 6 0
1. Hasil dari operasi aljabar disamping adalah (x2 + 9x + 18) : (x + 6).... 2. Tentukan hasil operasi disamping 27a5b : 9a4b...
3. Hasil dari -72x8y9z7 : (-12x2y3z) adalah... 4. Hasil dari (2x2 - 10x + 12) : (2x - 4) adalah.... 5. Hasil dari (8 p6q4 : 4p4q3)3 adalah...
1. Operasi pembagian bentuk aljabar adalah lawan dari operasi perkalian bentuk aljabar.
2. Jika dua bentuk aljabar memiliki factor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama.
3. Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagiannya merupakan suku dua, maka hasil pembagiannya dapat ditentukan dengan cara bagi kurung seperti pembagian pada bilangan bulat positif
*Kegiatan Belajar 6
Menyederhanakan Pecahan Aljabar
jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan bilangan yang sama kecuali nol, maka diperoleh pecahan baru yang senilai, tetapi menjadi lebih sederhana. Misalnya:
18
24 = 3 x 64 x 6 = 34
Dengan demikian, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang sama, maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini berarti, bahwa untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar harus didingat kembali tentang ciri-ciri bentuk aljabar yang dapat difaktorkan beserta aturan faktorisasinya.
Contoh 2.6.1
Sederhanakanlah pecahan-pecahan aljabar berikut! 1. 2. 3 Penyelesaian :
1. = = pembilang dan penyebut dibagi 4 2. =
= 3. = =
Pada contoh 2, x ≠ -4 dan juga x ≠ 4, sebab jika x = -4 atau x = 4, maka penyebut pecahan tersebut menjadi nol. Hal ini menyalahi konsep dalam pecahan yaitu:
1. Penyebut suatu pecahan tidak boleh nol
2. Suatu pecahan tidak boleh disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak didefinisikan.
Untuk selanjutnya, yang dibicarakan pada pembahasan ini adalah pecahan aljabar yang penyebutnya bukan nol.
Dalam menyederhanakan pecahan bentuk aljabar, kadang-kadang dalam proses pengerjaannya harus kita gunakan lawan dari suatu bentuk aljabar, yaitu –(a - b) = b – a sehingga pecahan aljabar tersebut dapat disederhanakan.
Penjumlahan Dan Pengurangan Pecahan Aljabar
Pada pembahasan tentang operasi bilangan pecahan, telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan yang mempunyai penyebut sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnya, yaitu:
+ = atau - = dengan b ≠ 0
Aturan tersebut dapat digunakan untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar. Contoh 2.6.2 1. + 2. - 3. + 4. - Penyelesaian : 1. + = = 2. - = = 3. + = = 4. - = =
Jika pecahan-pecahan memiliki penyebut yang berbeda, maka penyebut-penyebut tersebut harus disamakan lebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari enyebut-penyebut tersebut. Kemudian masing-maasing pecahan diubah menjadi pecahan lain yang senilai, dan penyebutnya merupakan KPK yang sudah di cari.
Perkalian Dan Pembagian Pecahan Aljabar
Pada pembahasan tentang perkalian bilangan pecahan, telah dipelajari bahwa hasil perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut. Yaitu:
× = dengan b, d ≠ 0
Dengan demikian, hasil perkalian dalam bentuk aljabar dapat diperoleh dengan menggunakan aturan diatas.
Contoh 2.6.3 ×
Penyelesaian :
× = = pembilang dan penyebut dibagi dendang b
Untuk pembagian dua pecahan, telah dibahas bahwa membagi dengan suatu pecahan sama dengan mengalikan pecahan tersebut dengan pecahan kebalikannya, yaitu; : = × dengan b, c, d ≠ 0 Contoh 2.6.4 : Penyelesaian : : = ×
= pembilang dan penyebut dibagi dengan a =
1. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a. b. 2. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut!
a. - b. + 3. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut!
a. × b. :
Kunci Jawaban Tes Formatif
1. a. = b. = = = = = = - = - 2. a. - = - = - = = = b. + = + = =
= 3. a. × = ×
= pembilang dan penyebut dibagi dengan x(x + 3)
= = x -3
b. : = : = ×
= pembilang dan penyebut
dibagi dengan (x - 2) dan x
= =
1. Penyederhanaan pecahan aljabar
Pecahan yang pembilangnya, atau penyabutnya, atau kedua-duanya berbentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebutnya.
= =
2. Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar
Menjumlahkan atau mengurangkann pecahan bentuk aljabar dilakukan dilakukan dengan menyamakan penyebut-penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnya.
Untuk menyamakan penyebut-penyebutnya, tentukan KPK dari penyebut pecahan tersebut.
+ = =
- = - =
3. Perkalian dan pembagian pecahan aljabar
a. Perkalian pecahan aljabar dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
× = dengan b, d ≠ 0
b. Pembagian pecahan aljabar dilakukan dengan mengalikan pecahan tersebut terhadap kebalikannya.
1. Hasil dari adalah... 2. - =...
3. × =... 4. : =... 5. - =...