1. Sepuluh tahun yang lalu usia ayah Ika adalah empat kali usia Ika. Enam tahun yang akan datang usia ayah Ika adalah dua kali usia Ika. Berapa usia Ika dan ayahnya sekarang?
Nyatakan permasalahan tersebut dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terlebih dahulu.
2. Satu tahun yang lalu umur Budi 2 kali umur Andri, sementara 2 tahun yang akan datang umur Andri adalah umur Budi. Umur Andri sekarang adalah....
3. Harga 4 ekor ayam dan 5 ekor bebek adalah Rp 530.000,00, sedangkan harga 3 ekor bebek dan 2 ekor ayam adalah Rp 300.000,00. Berapa harga seekor bebek?
4. Himpunan penyelesaian dari adalah...
5. Himpunan penyelesaian dari adalah...
6. Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya.
7. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini.
a. 2x + 3y ≥ 12 b. 2x – 5y > 20
c. 4x – 3y < 12 d. 5x + 3y ≤ 15
Modul ini berisi rangkuman materi mengenai Himpunan. Materi himpunan sebenarnya adalah materi baru pada tingkat pendidikan SMP/ MTs yang pada tingkat sebelumnya belum diajarkan, sehingga materi sebelumnya yang menjadi syarat sebenarnya juga sangat sedikit. Adapun materi prasyarat tersebut adalah operasi bilangan bulat, bentuk aljabar.
Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu :
1. Memahami konsep himpunan
2. Memahami cara menyajikan himpunan
3. menemukan himpunan kosong, himpunan nol dan himpunan semesta 4. Menyajikan suatu himpunan atau lebih menggunakan diagram venn 5. Memahami tentang himpunan bagian
6. Siswa dapat memahami hubungan antar himpunan
7. Siswa dapat, melakukan operasi irisan, gabungan, selisih, dan komplemen pada himpunan
8. Siswa dapat menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini.
1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini!
2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan.
3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan.
4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini.
5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor.
6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
*Kegiatan Belajar 1
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas.
Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah adalah dapat ditentukan dengan jelas adalah dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu benda (obyek) termasuk dalam suatu kelompok yang ditentukan atau tidak. Benda-benda (obyek) yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu.
Misal :
1. Kumpulan hewan berkaki dua, merupakan himpunan karena hewan berkaki dua terdefinisi dengan jelas. Anggotanya adalah ayam, bebek, burung, dll
2. Kumpulan lukisan indah, bukan merupakan suatu himpunan karena lukisan indah tidak terdefinisi dengan jelas (bersifat relatif)
Notasi Himpunan dan Anggota Himpunan 1. Notasi Himpunan
Suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, seperti A, B, C, ..., Y,Z. Adapun benda atau obyek yang termasuk dalam himpunan itu ditulis didalam kurung kurawal yang terpisah dengan koma {..., ..., ...}. Contoh 5.1.1
a. A adalah himpunan warna lampu lalu lintas.
Warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, dan hijau. Jadi, himpunan di atas ditulis A = {merah, kuning, hijau}. b. B adalah himpunan lima bilangan cacah yang pertama.
Lima bingan cacah yang pertama adalah 0, 1, 2, 3, dan 4. Jadi, himpunan di atas di tulis B ={0, 1, 2, 3, 4}
Setiap benda atau obyek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan . Adapun suatu benda atau obyek yang tidak berada dalam suatu himpunan itu disebut bukan anggota himpunan, dinotasikan dengan . Contoh 5.1.2
Diketahui B = {0, 1, 2, 3, 4}
Bilangan 0, 1, 2, 3, 4 merupakan anggota himpunan B, ditulis 0 B, 1 2 B, 3 B, dan 4 B
Karena bilangan 5, 6, dan 7 tidak terdapat dalam himpunan B, maka bilang itu bukan anggota himpunan B, maka bilang itu bukan anggota himpunan B, dan ditulis 5 B, 6 B, dan 7 B.
3. Banyaknya Anggota Suatu Himpunan
Banyaknya anggota himpunan A dinotasikan oleh n(A) Contoh 5.1.1
Diketahui: A={1, 3, 5, 7, 9, 11}
Banyaknya anggota himpunan A adalah 6, ditulis n(A) = 6
1. Diantara kumpulan berikut, manakah yang merupakan himpunan atau bukan himpunandan beri alasannya!
a. Kumpulan bunga-bunga yang indah
b. Kumpulan siswa kelas 1 SMP yang berulang tahun pada tanggal 1 Juli
c. Kumpulan guru-guru SMP yang bijaksana d. Kumpulan bilangan genap antara 1 dan 10 e. Kumpulan bilangan genap kurang dari 20 f. Kumpulan guru-guru yang cantik
g. Kumpulan siswa kelas 1 SMP yang pandai h. Kumpulan walimurid yang sabar
j. Kumpulan orang-orang yang rajin belajar 2. Diketahui P = {bilangan pembagi dari 24}
Periksalah apakah pernyataan ini benar atau salah. a. 1 P b. 5 P c. 10 P d. 2 P e. 6 P f. 12 P g. 3 P h. 8 P i. 20 P j. 4 P
3. Diketahui P = {nama-nama bulan berhuruf awal J dalam kalender} Periksalah benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Januari P b. April P c. Juli P d. Oktober P e. Februari P f. Mei P g. Agustus P h. November P i. Maret P j. Juni P k. September P l. Desember P
4. Diketahui A={nama bulan yang berumur 31 hari dalam kalender} B={nama hari dalam satu minggu yang diawali dengan huruf S}
C={warna dalam lampu lalu lintas}
Dengan menggunakan tanda atau , lengkapilah pernyataan berikut a. Februari....A b. Juni...A c. Agustus...A d. Oktober...A e. November...A f. Rabu...B g. Sabtu...B h. Jum’at...B i. Senin...B j. Ungu...C k. Merah...C l. Kuning...C m. Hijau...C n. Maret...A o. Jingga...C p. Kamis...B
5. Diketahui M = Himpunan semua propinsi di Indonesia.
Periksalah dan tentukan apakah pernyataan ini benar atau salah a. Jakarta M b. Kalimantan Timur M c. Jawa Timur M d. Banjarmasin M e. Timor timur M f. Ujung Pandang M g. D.I. Yogyakarta M h. Bali M i. Jayapura M
j. Palembang M k. Banda Aceh M l. Maluku M
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Bukan himpunan b. himpunan c. himpunan d. Bukan himpunan e. himpunan f. himpunan g. Bukan himpunan h. Bukan himpunan i. himpunan j. Bukan himpunan 2. P = {1,2,3,4,6,8,12,24} a. Benar b. Benar c. Benar d. Benar e. Benar f. Benar g. Salah h. Benar i. Salah j. Benar
3. P = {januari, juni, juli} a. Benar
c. Benar d. Benar e. Benar f. Benar g. Benar h. Salah i. Benar j. Benar k. Benar l. Benar
4. A = { Januari, Maret, Mei, Juli, Agustus, Oktober, Desember} B = { Senin, Selasa, Sabtu }
C = {merah, hijau, kuning} a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p.
5. a. Benar b. benar c. benar d. salah e. benar f. benar g. salah h. benar i. salah j. salah k. salah l. benar
1. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas.
2. Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital.
3. Anggota atau elemen himpunan dinotasikan dengan , sedangkan yang bukan anggota atau elemen himpunan dinotasikan dengan 4. Banyaknya anggota himpunan dinotasikan oleh n (A)
1. Diketahui: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 8,12, ...96} P = {s, a, k, i, t} Q = {k, u, c, i, n, g}
Salin dan isilah dengan lambang atau pada titik-titik berikut sehingga menjadi kalimat yang benar
a. 3 A b. 0 A c. 72 B d. 54 B e. a P f. u Q g. t Q h. n P
2. Nyatakan benar atau salah setiap kalimat berikut: a. 2 {0,1,2,3,4}
b. 4 {1,4,9,16}
c. 8 {bilangan genap} d. km {satuan panjang} e. 2 {252}
3. Tentukan banyaknya anggota setiap himpunan berikut a. A = {warna bendera Indonesia}
b. B = {propinsi di Indonesia}
c. C = {nama hari dalam seminggu}
d. D = {huruf pembentuk kata MATEMATIKA}
4. Di antara kelompok atau kumpulan berikut, tentukan yang termasuk himpunan dan bukan himpunan, beri alasan yang mendukung
a. Kumpulan kendaraan bermotor
b. Kumpulan negara-negara di Asia Tenggara c. Kelompok binatang serangga
d. Kelompok binatang buas e. Kumpulan bilangan kecil
5. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan kurung kurawal a. Nama-nama bulan dalam setahun
b. M adalah binatang mamalia
c. N adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20 d. Y adalah himpunan planet-planet dalam tata surya e. L adalah bilangan prima ganjil
*Kegiatan Belajar 2
Menyatakan Suatu Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu: 1. Dengan Kata-kata
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan kata-kata, yaitu dengan menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
Misal : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 30
Himpunan P dapat ditulis P ={bilangan prima antara 10 dan 30}. 2. Dengan Mendaftar Anggota-Anggotanya
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebut nama anggotanya, yaitu dengan menulis anggota-anggotanya dalam kurung kurawal yang dipishkan dengan tanda koma.
Misal : {P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 30} ditulis P = {11, 13, 17, 19, 23, 29}
3. Dengan Notasi Pembentukan Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu dengan menyebutkan semua syarat keanggotaanya yang dinyatakan dengan variabel.
Contoh:a. P = { bilangan prima antara 10 dan 30}
Jika ditulis dengan notasi pembentukan sebagai berikut: P = {x| 10
b. C adalah himpunan lima bilangan cacah yang pertama. Jika ditulis dengan notasi pembentukan sebagai berikut: C = {y|y adalah lima bilangan cacah yang pertama}
Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga
Diberikan A adalah himpunan bilangan asali dari 10 sampai dengan 30. Jika himpunan A dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya, maka A ={10,11, ..., 28, 29, 30}dan n(A)=21. Oleh karena itu, himpunan A dikatakan sehingga himpunan berhingga.
Diberikan B adalah himpunan bilangan bulat, jika himounan B dinyakan dengan mendaftar anggota-anggotanya, maka B ={...,–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} dan n(B)= tidak berhingga. Oleh karena itu, himpunan B dikatan himpunan tak berhingga.
Dari uraian dapat disimpulkan bahwa:
1. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga, disebut himpunan berhingga
2. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga, disebut himpunan tak berhingga
Contoh 5.2.1
diberikan himpunan-himpunan berikut
1. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang atau sama dengan 9 2. C {y|y adalah bilangan bulat genap}
Penyelesaian :
1. Maka A={1, 2,3,4,5,6,7,8,9} dan n(A)= 9 Jadi, himpunan A adalah berhingga
2. Maka D = {..., –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, ...}dan n(D) adalah tak berhingga Jadi, himpunan D adalah himpunan tak berhingga
1. Diketahui P = {1,2,3,4,5,8,11,12,13,15,18,21}. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya!
a. A = himpunan anggota P yang kurang dari 10 b. B = himpunan anggota P antara 4 dan 14 c. C = himpunan anggota P yang lebih dari 9 d. D = himpunan anggota P yang ganjil e. E = himpunan anggota P yang genap 2. Nyatakan bilangan berikut dengan kata-kata
a. K = {0,1,2,3,4} b. L = {7,9,11,13,15}
c. M = {x | x 12, x adalah bilangan ganjil} d. Q = {y | 3 y 10, y bilangan genap}
3. Nyatakan bilangan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya a. D = {m | m 7, m adalah bilangan prima}
b. E = {x | –4 x 4, x adalah bilangan bulat} c. F = {bilangan prima yang kurang dari 3} d. G = {bilangan komposit antara 0 dan 20}
4. Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan a. A = {bilangan asli yang kurang dari 7}
b. B = {bilangan cacah yang lebih dari 4 dan kurang dari 17} c. C = {bilangan prima antara 25 dan 40}
d. D = {bilangan bulat antara –5 sampai dengan 3} e. E = {8,10,12,14}
f. F = { 0, 1, 2, 3, 4, ...} g. G = {x, :,+,-}
5. Lengkapilah tabel berikut ini! Dinyatakan dengan
kata-kata Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan
Dinyatakan dengan mendaftar
anggotanya A P={bilangan ganjil
kurang dari 16 dan habis dibagi 3} B Q={ x | x 10, x C} C adalah himpunan bilangan cacah C T = {11,13,17,19} D R={y|-2 y 4, y B} B adalah himpunan bilangan bulat E K={2,4,8,16,32}
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 8}
b. B = {5, 8, 11, 12, 13} c. C = {11, 12, 13}
d. D = {1, 3, 5, 11, 13, 15, 21} e. E = {2, 4, 8, 12, 18}
2. a. Himpunan bilangan cacah kurang dari 5 b. himpunan bilangan ganjil antara 5 dan 17 3. himpunan bilangan asli kurang dari 12 4. himpunan bilangan genap antara 3 dan 9 3. a. D = {7, 9, 11, 13, 17, 19, 23 ...}
b. E = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} c. F = {2}
4. a. A = {k | k < 7, k adalah bilangan asli} b. B = { n | 4 < n < 17, n bilangan cacah} c. C = { y | 25 < y < 40, y bilangan prima} d. D = { m | -5 < m 3, m bilangan bulat} e. E = { n | 8 n 14, n bilangan genap} f. F = { y | y ≥ o, y bilangan cacah}
g. G = { k | k operasi hitung matematika sederhana}
5.
Dinyatakan dengan
kata-kata Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan
Dinyatakan dengan mendaftar
anggotanya A P={bilangan ganjil
kurang dari 16 dan habis dibagi 3}
P={ x | x < 16, x K } K adalah bilangan ganjil dan habis dibagi 3
P = {3, 6, 9, 12, 15}
B Q={bilangan cacah kurang dari sama dengan 10} Q={ x | x 10, x C} C adalah himpunan bilangan cacah Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} C T={bilangan prima
antara 10 dan 20} T={y | 11 y 19, y } P adalah bilangan prima T = {11,13,17,19} D R={bilangan R={y|-2 y 4, y B} B adalah himpunan bilangan bulat R = {-2,-1,0,1,2,3,4} E K = {bilangan genap 2x sebelumnya antara 1 dan 35} K = {x | 2x sebelumnya, x Q } Q adalah bilangan genap K={2,4,8,16,32}
1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-angotanya.
a. P adalah himpunan huruf pembentuk kata MAHASISWA b. L adalah himpunan nama bulan yang berumur 30 hari c. R adalah bilangan genap kurang dari 10
d. S adalah himpunan lima huruf pertama dalam abjad
2. Seledilkilah himpunan-himpunan berikut berhingga atau tak berhingga, berilah alasannya
a. B adalah bilangan asli yang habis dibagi 3 b. C adalah bilangan cacah yang kurang dari 1001 c. M adalah bilangan bulat kurang dari -4
1. Himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:
a. Dengan kata-kata: dengan menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
b. Dengan mendaftar anggota-anggotanya:dengan menulis anggota-anggotanya dengan kurung kurawal yang dipisahkan dengan tanda koma.
c. Dengan notasi pembentuk himpunan:dengan menyebutkan semua syarat keanggotaanya yang dinyatakan dengan variabel. 2. Himpunan berhingga : himpunan yang memiliki banyak anggota
berhingga
3. himpunan tak berhingga : himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga
d. K adalah himpunan bangun datar dalam matematika
3. Salin dan isilah titik-titik ada kalimat berikut sehingga menjadi kalimat yang benar
a. A = {bilangan prima kurang dari 25} maka n(A)
b. B = {huruf pembentuk kata TULUNGAGUNG} maka n(B) c. C = {faktor dari 20} maka n(C)
*Kegiatan Belajar 3
Himpunan Kosong
Jika K adalah himpunan persegi panjang yang dibentuk oleh 3 sisi. Maka anggota himpunan K tidak ada, karena persegi panjang mempunyai empat sisi, bukan tiga sisi, sehingga himpunan K dikatakan himpunan kosong.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Notasi himpunan kosong adalah {} atau .
Banyaknya anggota himpunan kosong adalah n{ } = 0.
Himpunan Nol
Jika N = {x | x , x adalah bilangan cacah}, maka N ={0} dan n(N)=1, sehingga himpunan N disebut himpunan nol, yaitu himpunan yang anggotanya angka nol. Jadi, himpunan N = {0} bukan himpunan kosong.
Himpunan nol adalah himpunan yang anggotanya angka nol.
Himpunan nol ditulis dengan N ={0} dan banyaknya anggotanya satu atau n(N) = 1
Catatan: {0}
Contoh 5.3.1
Diberikan himpunan-himpunan berikut P = { x | x adalah anggota prima genap }
Q = { y | y adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2} Penyelesaian :
P = {2}. Jadi, P bukan himpunan kosong
Q = { karena bilangan ganjil tidak ada yang habis dibagi 2, sehingga disebut himpunan kosong
Himpunan Semesta
Perhatikan gambar di atas !
Gambar di atas menunjukkan kelompok buah-buahan yang terdiri atas jeruk, pisang, apel, dan anggur. Jika ditulis dalam bentuk mendaftar maka A = {jeruk, pisang, apel, anggur}.
Apa yang dibicarakan pada himpunan A ? karena anggota himpunan dari A merupakan jenis buah-buahan, maka semesta pembicaraan dari himpunan A adalah himpunan buah-buahan, dan ditulis S ={buah-buahan}. Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari A, dan himpunan S memuat semua anggota A.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan dengan S.
Contoh 5.3.2
Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari a. D= {1,3,5,7,9}
b. K={ayam,itik,burung} Penyelesaian :
a. Himpunan semesta yang mungkin adalah: S={bilangan asli} atau S={bilangan cacah} b. Himpunan semesta yang mungkin adalah:
S={ayam,itik,burung} atau S={hewan berkaki dua} atau S={hewan unggas}
1. Diantara himpunan-himpunan berikut, manakah yang merupakan himpunan kosong?
a. {y | y bilangan cacah yang kurang dari 1} b. {bilangan ganjil yang habis dibagi 2} c. {Bilangan prima antara 8 dan 10} d. {bilangan asli antar 3 dan 4}
e. {bilangan genap yang habis dibagi 5 dan hasilna bilangan genap} f. {bilangan cacah yang jika dikalkan 7 mengasilkan 7}
g. { x | x bilangan cacah jika ditambah 9 menghasilkan 9} 2. Tentukan sebuah himpunan semesta untuk himpunan berikut
a. A = {a,b,c,d,e} b. B = {2,4,6,8,10} c. C = {3,5,7,11}
3. Tentukan dua himpunan semesta untuk himpunan berikut a. P = {3,5,7,11}
b. Q = {a,i,u}
c. K = {kubus, balok, prisma, limas}
4. Tentukan tiga himpunan semesta untuk himpunan berikut a. {0,2,3,6}
b. {11,13,15,17,19} c. {2,3,5,7,11,13} d. {3,6,9,12,15} e. {21,24,27}
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Bukan himpunan kosong
c. himpunan kosong d. himpunan kosong
e. bukan himpunan kosong f. bukan himpunan kosong g. bukan himpunan kosong 2. a. Huruf-huruf abjad
b. bilangan genap positif c. bilangan prima
3. a. Bilangan prima, bilangan ganjil b. huruf-huruf abjad, huruf vokal
c. bangun 3 dimensi, bangun yang mempunyai ruang 4. a. Bilangan, Bilangan cacah, {0,2,3,6}
b. bilangan ganjil, bilangan yang tidak habis dibagi 2, {11,13,15,17,19} c. bilangan prima, bilangan asli yang faktornya ada 2, {2,3,5,7,11,13} d. bilangan kelipatan 3, bilangan yang habis di bagi 3, {3,6,9,12,15}
e. bilangan kelipatan 3 antara 20 dan 28, bilangan yang habis dibagi 3, {21,24,27}
1. Himpunan kosong : suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota 2. Himpunan nol : himpunan yang anggotanya angka nol
3. Himpunan semesta : himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau terkait
1. Diantara himpunan berikut mana yang termasuk himpunan kosong a. Himpunan siswa SMP yang berumur kurang dari 10 tahun b. Himpunan kuda yang berkaki tiga
c. Himpunan kubus yang mempunyai 12 sisi
d. Himpunan bilangan prima genap yang habis dibagi 2 e. Himpunan nama bulan yang berumur kurang dari 30 hari f. Himpunan bilangan asli anatara 10 dan 11
g. Himpunan penyelesaian untuk 2x = 3, x bilangan cacah h. L = { x x + 4 = 0, x bilangan asli}
2. Tentukan sebuah himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan-himpunan berikut
a. A = {1,4,9,16,25} b. B = {1,3,5,7,9,11} c. E = {m, dm, cm, mm}
d. F = {persegi, persegi panjang, segitiga, trapesium}
3. Sebutkan paling sedikit 2 buah himpunan semesta yang mungkin dari tiap himpunan berikut.
a. G = { x x = 2n, n bilangan cacah } b. H = { x x = 2n – 1, n bilangan cacah } c. P = {honda, yamaha, suzuki}
d. Q = {merpati,dara, puyuh}
4. Tentukan sebuah himpunan semesta untuk himpunan berikut a. { kucing, anjing}
b. { besi, nikel, tembaga, perak} c. {bensin, pertamak, pertalite} d. {bumi, venus, merkurius}
*Kegiatan Belajar 4
Membuat Diagram Venn
Himpunan dapat dinyatakan dengan gambar himpunan yang disebut diagram venn. Diagram Venn pertama kali diperkenalkan oleh pakar matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn (1834-1923).
Dalam membuat diagram venn perlu diperhatikan ketentuan sebagai berikut: 1. Himpunan semesta (S) digambarkan dengan sebuah persegi panjang,
dan di pojok kiri atas di tulis huruf S.
2. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.
3. Setiap anggota himpunan digambarkan dengan sebuah noktah, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya. Jadi, setiap noktah mewakili satu anggota.
4. Untuk himpunan tak berhingga, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.
Misal :
2. DiketahuiS={1,2,3,4,5,6,7,8} dan A={2,3,5,7}.Jika digambarkan dalam diagram Venn, maka:
3. Diketahui S = {bilangan asli}={1,2,3,4,...} A = {bilangan ganjil}={1,3,5,7,...} B = {bilangan genap}={2,4,6,8,...}
Karena tidak ada anggota persekutuan antara A dan B, maka diagram venn dari himpunan di atas adalah sebagai berikut.
4. Diketahui S={1,2,3,...,9,10}, P={1,3,5,7,9}, dan Q={2,4,5,9}.
Karena ada anggota persekutuan antara P dan Q yaitu 5 dan 9, maka diagram venn dari himpunan di atas adalah sebagai berikut.
D = {bilangan asli genap antara 1 dan 7}={2,4,6}
E = {bilangan asli kelipatan 2 yang kurang dari 7}={2,4,6}
Karena anggota-anggota D dan E adalah sama, maka diagram venn untuk D dan E adalah sebagai berikut
Membaca Diagram Venn
Berikut ini akan dibahas cara menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya dari diagram venn yang diketahui
Contoh 5.4.1
dari diagram venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut ini dengan mendaftar anggota-anggotanya
1. Himpunan S 2. Himpunan P 3. Himpunan Q
4. Himpunan S yang anggotanya menjadi P dan Q
5. Himpunan S yang anggotanya menjadi anggota P atau Q
Penyelesaian :
1. Semua noktah yang ada dalam persegi panjang anggota S Jadi, S ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,20}
2. Semua noktah yang ada di dalam kurva P adalah anggota P Jadi, P ={1,3,6,9,12,15,18}
3. Semua noktah yang ada di dalam kurva Q adalah anggota Q Jadi, Q ={3,4,5,6,7,8,9}
4. Semua noktah yang ada di dalam kurva P dan sekaligus di dalam kurva Q adalah anggota P dan Q
Jadi, himpunannya;{3, 6, 9}
5. Semua noktah yang ada di dalam kurva P maupun di dalam kurva Q adalah anggota P atau Q.
Jadi, himpunannya:{1,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18}
6. Semua noktah di luar kurva P dan Q tidak menjadi anggota P mauoun Q. Jadi, himpunannya: {2,10,11,13,14,16,17,19,20}
1. Buatlah diagram Venn-nya
a. S = {0,1,2,3,4,5} dan A = {1,3,5} b. S = {huruf vocal} dan B = {a,i,u}
c. S = {bilangan cacah antara 0 dan 10} dan C = {bilangan cacah genap antara 1 dan 10}
d. S = {1,2,3,4,5,6}, P = {1,2} dan Q = {4,5} e. S = {a,b,c,d,e,f}, F = {a,b,c,d} dan G = {a,d,e} 2. Diketahui
S = { x | x 15, x bilangan asli} A = { y | y 10, y bilangan asli ganjil}
C = { c | c 10, c bilangan prima} D = {faktor dari 6}
E = {empat bilangan prima yang pertama}
Nyatakan himpunan-himpunan tersebut dengan mendaftar anggotanya, kemudian buatlah diangram venn untuk masing-masing himpunan berikut, dengan S sebagai himpunan semestanya
a. S, A dan B b. S, A dan C c. S, B dan C d. S, C dan D
3. Buatlah diagram Venn untuk himpunan S = {semua siswa dikelasmu}
A = {siswa di kelasmu yang berkacamata} B = {siswa di kelasmu yang kidal}
4. Perhatikan diagram Venn berikut.
Misalkan S = Himpunan siswa di kelasmu
M = Himpunan siswa yang menyukai matematika B = Himpunan siswa yang menyukai bahasa Inggris K = Himpunan siswa yang menyukai kesenian
Jika setiap siswa diwakili oleh sebuah titik, maka tentukan: a. berapa orang siswa yang menyukai matematika?
b. berapa orang siswa yang menyukai matematika dan kesenian?
c. berapa orang yang menyukai bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian?
d. berapa orang siswa yang menyukai ketiga-tiganya? e. berapa orang yang hanya menyukai kesenian saja?
f. berapa orang yang menyukai matematika dan bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian?
g. berapa orang yang tidak menyukai ketiga-tiganya?
h. berapa orang yang hanya menyukai salah satu dari ketiga pelajaran tersebut?
Kunci Jawaban Tes Formatif
1. a. b. c. d. e. 2. a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} A = {1, 3, 5, 7, 9} B = { 2, 4, 6, 8, 10}
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} A = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 3, 5, 7} c. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {2, 3, 5, 7} d. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} C = {2, 3, 5, 7} D = {1,2,3,6}
3. 4. a. 7 orang b. 10 orang c. 5 orang d. 1 orang e. 3 orang f. 8 orang g. 8 orang h. 8 orang
1. Diketahui himpunan-himpunan berikut S = {bilangan cacah kurang dari 15}
A = {lima bilangan cacah ganjil yang yang yang pertama} B = {lima bilangan cacah genap yang yang yang pertama} C = {faktor dari 8}
D = {tiga bilangan kuadrat yang pertama}
Nyatakan himpunan tersebut dengan mendaftar anggotanya, kemudian buatlah diagram venn untuk masing-masing himpunan berikut, dengan S sebagai himpunan semestanya.
a. Himpunan S, A, B b. Himpunan S, A, C c. Himpunan S, B, D d. Himpunan S, A, C, D e. Himpunan S, B, C, D
2. Perhatikan diagram venn dibawah!
1. Diagram venn : cara menyatakan himpunan dengan gambar himpunan.
2. Cara membuat diagram venn sebagai berikut:
a. Menggambar persegi panjang dan menulis S di pojok kiri dengan S himpunan semestanya
b. Setiap anggota himpunan digambarkan dengan sebuah noktah, dan nama anggotanya berdekatan dengan noktahnya
