KATA PENGANTAR. Penyusun berharap modul ini dapat bermanfaat bagi penyusun sendiri khususnya, dan bagi para pembaca yang budiman umumnya

(1)

(2)

(3)

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan rahmat dan karunia-Nya,sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini dengan lancar, serta dapat menyelesaikan modul tepat pada waktu yang telah di tentukan.

Penyusun menyadari bahwa terlaksananya ini berkat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu Dian selaku dosen mata kuliah bahan ajar matematika yang telah membantu dan membimbing kami dalam pembuatan modul ini dan teman teman yang telah mendorong kami untuk menyelesaikan modul ini.

Penyusun sangat memahami bahwa apa yang telah di dapatkan selama pembuatan modul belumlah seberapa. Penyusun menyadari sepenuhnya bahwa modul ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat penyusun harapkan demi kesempurnaan modul ini.

Penyusun berharap modul ini dapat bermanfaat bagi penyusun sendiri khususnya, dan bagi para pembaca yang budiman umumnya

Tulungagung, Desember 2015

(4)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR iii

DAFTAR ISI iv

PM 1 BILANGAN BULAT 2

Pendahuluan 2

Kegiatan Belajar 1 Menemukan Konsep Bilangan 4

Tes Formatif 6

Kunci Jawaban Tes Formatif 6

Rangkuman 7

Latihan 7

Kegiatan Belajar 2 Operasi Bilangan Bulat 9

Tes Formatif 17

Rangkuman 18

Latihan 19

Kegiatan Belajar 3 FPB Dan KPK 20

Tes Formatif 27

Rangkuman 28

Latihan 28

Kegiatan Belajar 4 Perpangkatan Bilangan Bulat 29

Tes Formatif 33

Rangkuman 34

Latihan 35

Kegiatan Belajar 5 Pola Bilangan Bulat 36

(5)

Rangkuman 45

Latihan 45

Kegiatan Belajar 6 Menemukan konsep bilangan Pecahan 46

Tes Formatif 50

Rangkuman 51

Latihan 51

Kegiatan Belajar 7 Bilangan Rasional 52

Tes Formatif 53

Rangkuman 54

Latihan 54

SOAL EVALUASI MPM 1 55

MPM 2 BENTUK ALJABAR 58

Pendahuluan 58

Kegiatan Belajar 1 Mengenal Bentuk Aljabar 60

Tes Formatif 62

Rangkuman 63

Latihan 63

Kegiatan Belajar 2 Mengenal Suku Pada Bentuk Aljabar 64

Tes Formatif 65

Rangkuman 66

Latihan 66

Kegiatan Belajar 3 Operasi Hitung Pada Aljabar 67

(6)

Rangkuman 69

Latihan 70

Kegiatan Belajar 4 Perkalian Bentuk Aljabar 71

Tes Formatif 75

Rangkuman 77

Latihan 78

Kegiatan Belajar 5 Pembagian Bentuk Aljabar 79

Tes Formatif 80

Rangkuman 82

Latihan 82

Kegiatan Belajar 6 Memahami Cara Menyederhanakan Aljabar 83

Tes Formatif 86

Rangkuman 88

Latihan 89

SOAL EVALUASI MPM 2 90

MPM 3 SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU

VARIABEL 93

Pendahuluan 93

Kegiatan Belajar 1 Bentuk Aljabar 95

Tes Formatif 97

Rangkuman 98

Latihan 98

Kegiatan Belajar 2 Operasi Bentuk Aljabar 100

(7)

Rangkuman 104

Latihan 104

Kegiatan Belajar 3 Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel 106

Tes Formatif 108

Rangkuman 110

Latihan 110

Kegiatan Belajar 4 Menyelesaikan Persamaan Linear satu Variabel 112

Tes Formatif 114

Rangkuman 115

Latihan 116

Kegiatan Belajar 5 Masalah Nyata Yang Berkaitan Dengan Persamaan Linear

Satu Variabel 117

Tes Formatif 118

Rangkuman 120

Latihan 120

Kegiatan Belajar 6 Masalah Nyata Yang Berkaitan Dengan Pertidaksamaan

Linear Satu Variabel 122

Tes Formatif 123

Rangkuman 124

Latihan 124

SOAL EVALUASI MPM 3 126

MPM 4 SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA

VARIABEL 129

(8)

Tes Formatif 132

Rangkuman 132

Latihan 133

Kegiatan Belajar 2 Menentukan Penyelesaian SPLDV 134

Tes Formatif 138

Rangkuman 142

Latihan 142

Kegiatan Belajar 3 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 144

Tes Formatif 148

Rangkuman 149

Latihan 149

Kegiatan Belajar 4 Mencari Daerah Penyelesaian Dari SPLDV 150

Tes Formatif 151

Rangkuman 153

Latihan 153

MPM 5 HIMPUNAN 156

Pendahuluan 156

Kegiatan Belajar 1 Konsep Himpunan Dan Notasinya 158

Tes Formatif 159

Rangkuman 164

Latihan 165

(9)

Tes Formatif 169

Rangkuman 172

Latihan 172

Kegiatan Belajar 3 Himpunan Kosong, Himpunan Nol, Himpunan Semesta 174

Tes Formatif 176

Rangkuman 177

Latihan 178

Kegiatan Belajar 4 Diagram Venn 179

Tes Formatif 182

Rangkuman 187

Latihan 187

Kegiatan Belajar 5 Himpunan Bagian 189

Tes Formatif 193

Rangkuman 195

Latihan 195

Kegiatan Belajar 6 Himpunan Antar Himpunan 196

Tes Formatif 198

Rangkuman 199

Latihan 199

Kegiatan Belajar 7 Operasi Himpunan 201

Tes Formatif 211

Rangkuman 212

(10)

Kegiatan Belajar 8 Menyelesaikan Masalah Menggunakan Konsep Himpunan 215

Tes Formatif 216

Rangkuman 217

Latihan 217

MPM 6 ARITMATIKA 224

Pendahuluan 224

Kegiatan Belajar 1 Harga, Laba, Dan Rugi 226

Tes Formatif 227

Rangkuman 228

Latihan 228

Kegiatan Belajar 2 Rabat, Pajak, Bruto, Tara, Dan Netto 230

Tes Formatif 233

Rangkuman 235

Latihan 236

SOAL EVALUASI MPMP 6 237

MPM 7 PERBANDINGAN 240

Pendahuluan 240

Kegiatan Belajar 1 Menentukan Perbandingan 242

Tes Formatif 244

Rangkuman 246

Latihan 247

(11)

Tes Formatif 254

Rangkuman 256

Latihan 256

Kegiatan Belajar 3 Skala 258

Tes Formatif 260

Rangkuman 263

Latihan 263

MPM 8 PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR 271

Pendahuluan 271

Kegiatan Belajar 1 Bilangan Berpangkat 273

Tes Formatif 274

Rangkuman 275

Latihan 276

Kegiatan Belajar 2 Perkalian Pada Perpangkatan 277

Tes Formatif 279

Rangkuman 280

Latihan 280

Kegiatan Belajar 3 Membagi Dua Bentuk Perpangkatan 282

Tes Formatif 283

Rangkuman 283

Latihan 284

(12)

Tes Formatif 286

Rangkuman 287

Latihan 287

Kegiatan Belajar 5 Notasi Ilmiah 288

Tes Formatif 289

Rangkuman 290

Latihan 290

Kegiatan Belajar 6 Perpangkatan Bilangan Pecahan 291

Tes Formatif 294

Rangkuman 295

Latihan 295

SOAL EVALUASI MPMP 8 296

MPM 9 RELASI FUNGSI 299

Pendahuluan 299

Kegiatan Belajar 1 Pengertian Dan Penyajian Fungsi 301

Tes Formatif 304

Rangkuman 307

Latihan 307

Kegiatan Belajar 2 Mencari Ciri-Ciri Fungsi 308

Tes Formatif 310

Rangkuman 312

Latihan 312

(13)

Tes Formatif 316

Rangkuman 317

Latihan 318

KUNCI JAWAN SOAL EVALUASI 321

(14)

(15)

Materi yang dibahas dalam modul pembelajaran matematika ini adalah tentang bilangan bulat dan operasinya serta pengajarannya pada siswa.

Selanjutnya uraian materi yang akan dibahas dalam modul pembelajaran matematika ini adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, pola bilangan bulat, menentukan konsep bilangan pecahan (penjumlahan dan pengurangan pecahan, perkalian dan pembagian pecahan) dan bilangan rasional.

Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu :

1. Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten, dan teliti,

bertanggung jawab, responsi, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah.

2. Menunjukkan prilaku ini tahu dalam melakukan aktifitas di rumah,

sekolah dan masyarakat sebagai wujud implementasi penyelidikan operasi bilangan bulat.

3. Membandingkan dan mengurutkan berbagai jenis bilangan serta

menerapkan operasi hitung bilangan bulat dan bilangan pecahan dengan mamanfaatkan berbagai sifat operasi.

4. Menggunakan pola dan generalisasi untuk menyelesaikan masalah.

5. Memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan

dengan perpangkatan bilangan bulat.

6. Memahami dan mengetahui jenis-jenispola bilangan bulat serta mampu

menyelesaikan pola bilangan bulat.

7. Memahami konsep dan mampu menyelesaiakan permasalahan tentang

bilangan pecahan juga yang berkaitan dengan operasi hitungnya.

(16)

Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini.

1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami

secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini!

2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar

untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan.

3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam

penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan.

4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas

dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini.

5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu

konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor.

6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan

pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.

(17)

*Kegiatan Belajar 1

Pengertian Bilangan Bulat

Kamu masih ingat dengan bilangan bulat bukan? Pada salah satu acara TV seorang pembawa acara mengajak kita untuk mengetahui suhu di beberapa kota. Alat yang biasa digunakan untuk mengukur suhu udara adalah thermometer.Bilangan-bilangan yang terdapat pada thermometer terdiri atas bilangan bulat negative, nol, dan bilangan bulat positif. Suhu kota Surabaya 30˚C, suhu kota Tokyo yang sedang mengelami musin dingin memiliki suhu menyntuh 0˚C, sedangkan di kota Alaska yang mengalami musim dingin dengan cuaca yang ekstrim memiliki temperature dingin mencapi 25˚C dibawah titik beku.

Dari uraian data di atas dapat kita nyatakan sebagai berikut: Suhu kota Surabaya adalah 30˚C

Suhu kota Tokya adalah 0˚C Suhu kota Alaska adalah -25˚C

Pada ketinggian 15 m dari permukaan laut, burung burung elang mengintai mangsanya (ikan) pada kedalaman 2 m dari permukaan air laut.Pada saat ikan berada dikedalaman 1 m , elang laut itumelakukan gerak meluncur menyambar ikan menggunakan cakarnya. Dalam peristiwa tersebut ikan bergerak dari kedalaman 2 m ke 1 m , sedangka elang bergerak dari ketinggian 15 m ke kedalaman 1 m. Berapa meter turunya elang laut? Berapa m naiknya ikan?Jawaban dari pertanyaan-pertanyaan itu dapat diperoleh dengan melakukan pengerjaan hitung bilangan bulat, seperti berikut ini.

Bilangan bulat merupakan kumpulan dari bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negative

Bilangan asli : 1, 2, 3, 4,…

Bilangan nol : 0

Bilangan negatif : …, -3, -2, -1

Bilangan bulat dinotasikan dengan “Z”, Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Bilangan lain yang ada dalam bilangan bulat adalah:

(18)

1. Bilangan ganjil: J = {1, 3, 5, …}

2. Bilangan genap: g = {2, 4, 6, …}

3. Bilangan prima: {2, 3, 5, 7, …}

Himpunan bilang bulat ditulis:

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Pada garis bilangan

| | | | | | | | |

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Keterangan:

1. Bilangan bulat negatif merupakan kelompok bilangan yang terletak

disebelah kiri nol.

2. Pada garis bilangan mendatar, jika bilangan a terletak disebelah kiri b

maka a kurang dari b, ditulis a < b atau b> a(dibaca b lebih besar dari a)

3. Untuk a < b maka: perubahan dari a ke b disebut perubahan naik

sedangkan perubahan dari b ke a disebut turun.

Membandingkan Dua Bilangan Bulat

Dengan menggunakan garis bilangankita dapat membandingkan dua bilangan bulat

. . . . . . . . . .

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Garis bilangan menunjukkan:

-5 < -3 -1 < 0 2 > 1 -1 > -3

Contoh 1.1.1

Jika permukaan air laut dinyatakan dengan 0 meter, tulislah letak suatu tempat yang ditentukan sebagai berikut:

a. 175 m di atas permukaan air laut

b. 60 m di bawah permukaan air laut

Semakin Besar Semakin Kecil

(19)

Penyelesaian :

a. 175 m di atas permukaan air laut = 0 + 175 = 175 m

b. 60 m di bawah permukaan air laut = 0 – 60 = – 60 m

1. Jika menabung dinyatakan bilangan positif, maka mengambil tabungan

dinyatakan bilangan negatif. Rudi menebung uang sebasar Rp. 10.000,00, pada suatu hari Rudi ingin membeli buku tulis seharga Rp.3.000,00. Berapa sisa tabungan Rudi?

2. Bagaimana menyatakan?

a. Suhu 8˚C di atas 0˚C

b. Suhu 2˚C di bawah 0˚C

3. Bagaimana menyatakan?

a. Ketinggian 1500 m di atas permukan laut.

b. Kedalaman 750 m di bawah permukaan laut.

4. Berilah tanda “<”, “>” atau “=” dari bilangan berikut:

a. -3 . . . .-2 c. -28 . . . .28

b. -4 . . . .0 d. -15 . . . .-19

Kunci Jawaban Tes Formatif

1. Menabung Rp10.000,00 = 10.000

Mengambil Rp 3.000 = -3.000

Sisa tabungan Rudi = 10.000 – 3.000 = 7.000 Jadi sisa tabungan Rudi adalah Rp 7.000,00

2. a. Suhu 8˚C di atas 0˚C = 0 + 8 = 8˚C

b. Suhu 2˚C di bawah 0˚C = 0 – 2 = -2˚C

(20)

4. a. -3 < -2 b. -4 < 0 c. -28 < 28 d. -15 > -1

1. Tulislah letak suatu posisi benda-benda berikut dengan bilangan bulat.

a. Kapal selam berada 25 m di bawah permukaan air laut. Permukaan

air laut sebagai titik 0.

b. Pesawat terbang berada pada ketinggian 3.000 m di atas permukaan

air laut. Permukaan air laut sebagai titik 0.

2. Jika nilai siswa lebih dari 60, maka lulus ujian. Berapakah banyak siswa

yang lulus dan tidak lulus ujian dari nilai 15 siswa berikut: 70, 65, 50, 40, 75, 80, 70, 75, 65, 55, 45, 50, 60, 55, 85.

3. Urutkan bilangan-bilangan di bawah ini dari yang terkecil.

a. -5, 4, -2, 1, 6

b. 20, -21, -41, 11, -15

c. 59, -72, -60, 85, 91

d. -103, 141, -111, 124, -132

4. Lengkapilah dengan lambang < atau > sehingga menjadi pernyataan

yang benar

a. -100 ____ 99

b. -1.010 ____ -1.001

Bilangan bulat merupakan kumpulan dari bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negative.Bilangan asli lebih besar dari bilangan nol, bilangan nol lebih besar dari bilangan negatif, dan bilangan positif lebih besar dari bilangan negatif.

(21)

c. 99 ____ 95

d. 243____ -43

5. Misal letak benda di permukaan laut dinyatakan 0 m dan suhunya 0˚C.

nyatakan pernyataan berikutdalam (x, y) dengan x = letak benda dalam meter dan y = suhu dalam ˚C.

a. Suhu air laut pada kedalaman 100 m adalah 15˚C.

(22)

*Kegiatan Belajar 2

Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat

Penerapan operasi tambah dan kurang banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masaalah dalam kehidupan sehari-hari.Pola bilangan sering memudahkan kita dalam menentukan hasil penjumlahan banyak bilangan, sebagai ilustrasi bagaimana Gauss menggunakan pola bilangan untuk mendapatkan jumlah 99 bilangan asli yang pertama.

Perhatikan pola berpikir Gauss

Tentukan nilai dari: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+98+99

Penyelesaian: ketika Gauss mendapatkan masalah penjumlahan seperti di atas,

sementara teman-temannya berpikir menjumlahkan berurutan dia

menggunakan pola pikir menjumlahkan 1 dan 99 didapat nilai 100,menjumlahkan 2 dan 98 didapat nilai 100 dan seterusnya sehingga dia mendapatkan 49 pasang bilangan berjumlah 100 dan tersisa satu bilangan 50. Jadi 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+98+99 = 49 x 100 +50 = 4950

1. Penjumlahan dan sifat-sifatnya

a. Beberapa cara menjumlahkan

1) Penjumlahan dengan mistar sederhana

Misal :

2) Penjumlahan dengan bola bermuatan

Bayangkan beberapa partikel listrik bermuatan positif dan negatif, positif merupakan lawan negatif, hal ini berarti satu muatan positif dan satu muatan negatif jika dicampur akan memperoleh bola tidak bermuatan atau nol (0)

(23)

Misal :

Bagaimana menjumlahkan -2 dengan 1 atau -2 + 1= …?

1. Wadah berisi 2 buah bola

2. Masukkan 1 bola

3. Bola tersebut bercampur denagan

salah satu bola akan saling

meniadakan (hilang tak bernilai)

4. Sisa 1 bola jadi -2 + 1 = -1

b. Penjumlahan dengan garis bilangan

Jika menggunakan garis bilangan, maka:

1) Bilangan positif sebagai pergeseran ke kaanan

2) Bilangan negatif sebagai pergeseran ke kiri

Misal : 3 + 6 = …? . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 + -4 = …? . . . . . . . . . . -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 6 + -4 = 2 6 -4 6 + -4 = 2 3 6 3 + 6 = 9

(24)

c. Invers jumlah atau lawan suatu bilangan

Lawan (invers jumlah) dan bilangan a adalah (-a) Lawan (invers jumlah) dan bilangan (-a) adalah a Misal :

2 lawannya -2 -8 lawannya 8

d. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat

1) Sifat tertutup

Artinya sembarang bilangan bulat jika dijumlahkan menghasilkan bilangan bulat juga.

Misal :

8 (bilangan bulat) + (-2) (bil.bulat) = 6 (bilangan bulat)

2) Sifat komutatif

Artinya untuk sembarang bilangan bulat a dan b jika dijumlahkan hasilnya sama dengan penjumlahan bilangan bulat b dan a

a + b = b + a Misal :

(-5) + 10 = 10 + (-5)

3) Sifat asosiatif

Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku: (a + b) + c = a + (b + c)

Misal :

(4 + 5) + 7 = 4 + (5 + 7) 9 + 7 = 4 + 12 16 = 16

4) Penjumlahan dengan nol

Nol (0) disebut unsure identitas penjumlahan, artinya untuk sembarang bilangan bulat a selalu berlaku:

a + 0 = 0 + a = a Misal :

(25)

Bilangan kedua 2. Pengurangan dan sifat-sifatnya

a. Pengurangan dengan mistar sederhana

Bagaiman mengurangkan 5 dengan 3 atau 5 – 3 = …?

Bagian atas digeser hingga angka 3 dibagian atas sejajar (berimpit) dengan angka 5 dibagian bawah (bagian diam). Angka dibagian bawah yang sejajar dengan nol di bagian atas merupakan hasilnya, aitu 2

b. Pengurangan dengan bola bermuatan

Bagaimana mengurangkan bilangan bulat menggunakan bola bermuatan positif dan negatif?

Misal : -3 – 2 = ?

Bayangkan di dalam kotak terdapat 3 bola dan 2 pasang bola (bermuatan nol) kemudian ambil 2 boah bola hasilnya 5 bola .

c. Pengurangan dengan garis bilangan

Bagaimana mengurangkan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan? Misal : 2 – 6 = ? . . . . . . . . . . -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Geser ke kanan 2 satuan mulai dari nol, kemudian 6 satuan ke kiri mulai dari ujung pergeseran tadi.

2 -6

(26)

d. Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat

1) Mengurangi p dengan q sama artinya dengan menambah p

dengan lawan dari q.p – q = p + (-q) Misal :

1 – 2 = 1 + (-2) = -1 2 – 1 = 2 + (-1) = 1 1 – 3 = 1 + (-3) = -2

Contoh 1.2.1

Harga 1 kg rambutan di pasar Ngemplak 2 bulan yang lalu Rp. 8.000,00, karena musim buah rambutan pada saat ini maka harga 1 kg buah rambutan sekarang Rp. 3.000,00. Berapa penurunan harga, hitung dengan konsep operasi pada bilangan bulat!

Penyelesaian :

Harga 1 kg rambutan mula-mula Rp. 8.000,00 Harga 1 kg rambutan sekarang Rp. 3.000,00

Misal x penurunan harga 1 kg rambutan maka diperoleh persamaan: 8000 + x = 3000, maka didapat x = 3000 – 8000, maka x = -5000 Jadi penurunan harga rambutan per kg adalah Rp. 5.000,00

Contoh 1.2.2

Sebuah kapal selam mula-mula berada pada kedalaman 105 meter di bwah permukaan laut. Karena suatu sebab kapal selam bergerak ke dalam sejauh 85 meter. Coba tentukan posisi kapal selam dari permukaan laut dengan penjumlahan bilangan bulat!

Penyelesaian :

Posisi mula-mula kapal selam 105 m di bawah permukaan laut Bergerak ke dalam 85 m. missal posisi akhir kapal selam adalah h. Kita dapat persamaan: -105 + (-85) = h, maka h = -190

(27)

Perkalian Dan Pembagian Bilangan Bulat 1. Perkalian dan sifat-sifatnya

a. Arti perkalian

3 x 6 = 6 + 6 + 6 = 18

5 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 3 x (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = (-12) Bagaimana dengan -3 x -4 = …?

Untuk bentuk perkalian di atas gunakan sifat-sifat berikut:

1) Positif x positif = + x + = + (positif)

2) Negatif x negatif = – x – = + (positif)

3) Positif x negatif = + x – = – (negatif)

4) Negatif x positif = – x + = – (negatif)

5) Bilangan bulat x 0 = 0

b. Sifat-sifat perkalian

1) Sifat tertutup

Jika a dan b bilangan bulat, maka a x b = bilangan bulat juga

2) Jika a adalah bilangan cacah, maka a x 0 = 0

3) 1 meerupakan unsur identitas perkalian

Jika a adalah bilangan cacah, maka a x 1 = a (bilangan itu sendiri)

4) Sifat komutatif (pertukaran)

Jika a dan b adalah bilangan cacah, maka a x b = b x a

5) Sifat asosiatif (pengelompokan)

Jika a, b, dan c adalah bilangan cacah, maka berlaku sifat: (a x b) x c = a x (b x c)

6) Sifat distributif (penyebaran)

a x (b ± c) = (a x b) ± (a x c) (a ± b) x c = (a x c) ± (b x c)

(28)

2. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian

a. Arti pembagian

Misal:

3 x a = 27, berapakah nilai a ?

Untuk menentukan nilai a, ada dua cara yaitu:

1) Dengan perkalian

3 x a = 27, berarti bilangan berapa yang harus dikalikan dengan 3 menghasilkan 27? Bilangan itu adalah 9

2) Dengan pembagian

3 x a = 27, sama artinya dengan 27 dibagi berapa sama dengan 3 ?atau 27 dibagi 3 sama dengan berapa? Jawabannya 9

Hal di atas menunjukkan bahwa pembagian merupakan kebalikan dari perkalian

Untuk sembarang bilangan asli a, b, dan c selalu berlaku:

a : b = c ↔ a = b x c

Contoh 1.2.3

Tentukan nilai p, jika 9 x p = 63 Penyelesaian : 9 x p = 63 p = 63 : 9 p = 7 Contoh 1.2.4 Selesikan : Penyelesaian : (sifat distributif)

(29)

(sifat komutatif)

Contoh 1.2.5

Jika * berarti “kalikan bilangan pertama dengan 60, kemudian hasilnya dibagi dengan bilangan ke dua”, hitunglah nilai dari:

a. 4 * 24

b. 24 * 4

Penyelesaian :

a. 4 * 24

b. 24 * 4

Tentunya 4 * 24 = 24 * 4, hal ini menunjukkan bahwa pada operasi * tidak berlaku sifat komutatif

b. Pembagian dengan nol

Untuk sembarng bilangan cacah a, selalu berlaku

1) a : 0 = ~ (tak terdefinisi)

2) 0 : a = 0, dengan a ≠ 0

Pada pembagian berlaku aturan: 1) = + : – = = negatif (–) 2) = – : + = = negatif (–) 3) = + : + = = positif (+)

Contoh 1.2.6

Jalan yang panjangnya 70 m akan ditanami pohon dengan jarak antar pohon 5 m. Berapa banyak pohon yang dibutuhkan?

Penyelesaian :

Banyak pohon yang dibutuhkan = 70 : 5 = 14 Jadi banyak pohon 14 batang.

(30)

1. Hari pertama Bu Wilda berdagang di pasar rugi Rp. 75.000,00. Hari kedua masih merugi Rp. 65.750,00. Pada hari ketiga rugi lagi Rp. 75.500,00. Tetapi ia mendapatkan uang di jalanan Rp. 350.000,00. Hasil penjualan hari keempat mendapat untung Rp. 32.750,00. Berapa jumlah untung atau ruginya Bu Wilda selama 4 hari?

2. Ganti nilai s dengan bilangan yang tepat!

a. 9 x (-s) = -54

b. -20 : s = -5

c. s : 14 =-3

3. Tentukan nilai p dengan menggunakan sifat-sifat operasi pada bilangan

bulat!

a. p x 6 = 89 x (-18 +18)

b. (-4 x 62) x p = (-4 x 62)

1. Kerugian diibaratkan bilangan negatif dan keuntungan diibaratkan

sebagai bilangan positif, maka

= (-17.500 – 65.750 – 75.500) + (350.000 + 32.750) = -158.750 + 382.750

= 224.000

Jadi untung bu Wilda selama berdagang 4 hari adalah Rp.224.000,00

2. a. 9 x (-s) = -54 b. -20 : s = -5 c. s : 14 = -3 (-s) = -54 : 9 s = -5 x (-20) s = -3 x 14 -s = -6 s = 100 s = -42 s = 6 3. a. p : 6 = 89 x (-18 +18) b. (-4 x 62) x p = (-4 x 62) p : 6 = 89 x 0 -248 x p = -248 p = 0 p = -248 : -248 p = 1

(31)

1. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat

a. Sifat tertutup

b. Sifat komutatif

c. Sifat asosiatif

d. Penjumlahan dengan nol

2. Sifat-sifat pengurangan

a. p – q = p + (-q)

3. Aturan perkalian

a. Positif x positif = + x + = + (positif)

b. Negatif x negatif = – x – = + (positif)

c. Positif x negatif = + x – = – (negatif)

d. Negatif x positif = – x + = – (negatif)

e. Bilangan bulat x 0 = 0

4. Sifat-sifat perkalian

a. Sifat tertutup

b. a x 0 = 0

c. unsur identitas perkalian, a x 1 = a

d. Sifat komutatif (pertukaran)

e. Sifat asosiatif (pengelompokan)

f. Sifat distributif (penyebaran)

5. Aturan pembagian

a. = + : – = = negatif (–) b. = – : + = = negatif (–) c. = + : + = = positif (+)

(32)

1. Hitunglah pengerjaan hitung berikut ini: a. 14 + (-7) b. -25 - (-35) c. -135 + 351 d. 217 – (-127) 2. 113 + (-321) – x = - 121 + 97 – (- 101).

Berapakah nilai x yang memenuhi?

3. Hitunglah :

a. -24 x (-11) – (-24) x 21

b. (28(-17)) x 15

4. Diketahui -345 : 5 = m dan 207 : 9 = n tentukan nilai m + n!

5. Hitunglah nilai (320 : 4) : (150 : 15) !

6. Pak Ahmad mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang

dengan panjang 62 m dan lebar 26 m. berapa kira-kira luas tanah pak Ahmad?

(33)

*Kegiatan Belajar 3

Menentukan Konsep Bilangan Bulat Habis Dibagi Bilangan Bulat

Misal 20 : 2 = 10

Dari pembagian bilangan bulat ini kita dapat menyebut:

20 adalah bilangan yang dibagi, sedangkan 2 adalah bilangan pembagi, dan 10 adalah bilangan hasil pembagian. Dapat dikatakan 2 habis membagi 20 atau 20 hadis dibagi 2.

Berdasarkan pembagian diatas ini, kita temukan definisi sebagai berikut:

Contoh 1.3.1

Tentukanlah bilangan bulat yang habis membagi 8! Penyelesaian :

Bilangan-bilangan bulat yang habis membagi 8 adalah:

 1, karena ada bilangan bulat 8 sehingga berlaku 8 = 8 x 1.

Maka bilangan bulat yang habis membagi 8 adalah 1, 2, 4, dan 8.

Misalkan a dan b bilangan bulat! Bilangan a dikatakan habis dibagi b dengan b ≠ 0 jika ada bilangan bulat k sehingga berlaku a = k x b atau a merupakan kelipatan dari b

(34)

Menentukan Konsep Faktor-Faktor Bilangan Bulat

Perhatikan perkalian bilangan bulat berikut!

12 = 3 x 4, dari perkalian bilangan bulat ini kita dapat menyebut:

3 adalah bilangan yang dikalikan, 4 adalah bilangan pengali, sedangkan 3 dan 4 faktor dari 12.

Berdasarkan kedua contoh perkalian ini , kita temukan definisi berikut.

Contoh 1.3.2

Tentukanlah bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10! Penyelesaian :

Bilangan-bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10 adalah:

 1, karena 1 merupakan faktor dari 10.

Maka bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10 adalah bilangan 1, 2, 5, dan 10.

Menemukan Konsep Bilangan Prima

Misal: 2, 3, 5, 7, 11, …

Misalkan a dan b bilangan bulat!

Bilangan b dikatakan faktor dari a jika dan hanya jika a habis dibagi b

Definisi

Bilangan prima adalah bilangan positif yang tepat memiliki 2 faktor bilangan 1 dan bilangan itu sendiri.

(35)

Faktor Prima Dan Faktorisasi Prima Dari Bilangan Bulat

Perhatikan hal berikut!

Bilangan-bilangan bulat yang merupakan factor dari bilangan 10 adalah bilangan 1, 2, 5, dan 10.

Faktor dari bilangan 10 yang merupakan bilangan prima, yaitu bilangan 2 dan 5, dapat dinyatakan sebagai berikut.

 2 merupakan faktor dari 10 dan 2 adalah bilangan prima, sehingga

dikatakan bahwa 2 adalah faktor prima dari 10.

 1 merupakan faktor dari 10 dan 1 bukan bilangan prima, sehingga

dikatakan bahwa 1bukan faktor prima dari 10.

 Himpunan yang anggotanya faktor prima dari 10 adalah {2, 5}.

Bilangan-bilangan bulat yang merupakan faktor dari 12 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Faktor dari bilangan 12 yangmerupakan anggota himpunan bilangan prima, yaitu bilangan 2 dan 3, dapat dinyatakan sebagai berikut:

 Himpunan yang anggotanya faktor prima dari 12 adalah {2, 3}.

Misal:

6 = 2 x 3 (2 dan 3 adalah bilangan prima) 8 = 2 x 2 x 2 (2 adalaah bilangan prima) 15 = 3 x 5 (3 dan 5 adalah bilangan prima)

Untuk a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Bilangan b disebut faktor prima dari a, dan b merupakan bilangan prima

Bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dari faktor-faktor prima bilangan tersebut.

(36)

Proses menyatakan suatu bilangan bulat kedalam perkalian faktor-faktor prima bilangan disebut faktorisasi prima.

Misal:

faktorisasi prima 42 adalah 2 x 3 x 7

faktorisasi prima 80 adalah 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24_{x 5}

faktorisasi prima 140 adalah 2 x 2 x 5 x 7 = 22_{x 5 x 7}

Kelipatan Bilangan Bulat

kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, … kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, …

kelipatan persekutuan 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, …

Faktor Persekutuan Dan Kelipatan Persekutuan Bilangan Bulat

Faktor-faktor suatu bilangan diberikan sebagai berikut.

 Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8.

Dari faktor-faktor bilangan di atas ditemukan:

 Faktor bilangan 8 yang sama dengan faktor bilangan 10 yaitu 1 dan 2.

 Faktor bilangan 8 yang sama dengan faktor bilangan 15 yaitu 1.

 Faktor bilangan 10 yang sama dengan faktor bilangan 15 yaitu 1 dan 5.

Faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih sering disebut dengan faktor persekutuan bilangan,berdasarkan faktor-faktor bilangan 8, 10, dan 15 di atas kita sebut:

 Faktor persekutuan bilangan 8 dan 10 yaitu 1 dan 2.

 Faktor persekutuan bilangan 8 dan 15 yaitu 1.

(37)

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Untuk menentukan sebanyak-banyaknya kelompok yang dapat dibentuk dengan syarat anggotakelompok adalah campuran dari siswa kelas 7, 8 dan 9, serta setiap kelompok memiliki banyak anggotayang sama, kita terlebih dahulu menentukan faktor dari bilangan 32, 36, dan 42

Faktor dari 32 adalah bilangan 1, 2, 4, 8, 16, 32

Faktor dari 36 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Faktor dari 42 adalah bilangan 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 21, 42

Kita perhatikan ketiga bilangan memiliki faktor yang sama, yaitu 1, 2. Jadi sebanyak-banyaknya kelompokyang dapat dibentuk adalah 2 kelompok sebab bilangan 2 adalah faktor bersama terbesar yang dimiliki oleh bilangan 32, 36 dan 42.

Sehingga dapat ditetapkan bahwa:

Contoh 1.3.3

Tentukan FPB dari bilangan 72, 48, dan 40. Penyelesaian :

Cara I

Menentukan FPB melalui penentuan seluruh faktor dari bilangan 72, 48 dan 40. Faktor dari 72 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

Faktor dari 48 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48. Faktor dari 40 adalah bilangan 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Faktor Persekutuan dari 72, 48 dan 40 adalah 1, 2, 4, 8

Berarti Faktor Persekutuan Terbesar dari 72, 48, dan 40 adalah 8 Cara II

Menentukan FPB melalui penentuan faktor-faktor prima dari bilangan 72, 48 dan 40 atau dengan

menggambarkan pohon faktor dari bilangan 72, 48 dan 40.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat atau

lebih adalah bilangan terbesardi antara faktor-faktor

persekutuannya. Definisi

(38)

Berdasarkan pohon faktor di atas, bilangan 72, 48 dan 40 dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor primanya

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²

48 = 2 × 3 × 2 × 2 × 2 = 3 × 24

40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5

Perhatikan berapa banyak faktor prima yang sama dan dimiliki oleh kedua bilangan itu. Ternyata factor prima yang sama adalah bilangan 2 sebanyak 3.

Sehingga FPB dari 72, 48 dan 40 adalah 23_{= 8}

Cara III

Menentukan FPB melalui pembagian bilangan 72, 48 dan 40 dengan bilangan-bilangan prima.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Setiap bilangan cacah memiliki kelipatan.Kelipatan dapat diartikan sebagai perkalian.Suatu bilanganuntuk mendapatkan bilangan tertentu dari bilangan yang diberikan.Permasalahannya adalah berapa kalilipat suatu bilangan mendapatkan bilangan tertentu, yaitu bilangan-bilangan yang dapat membagi habisbilangan tersebut.Untuk lebih memahami kita mencoba memecahkan permasalahan berikut.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dua bilangan bulat positif atau lebih adalah bilangan terkecil di antara kelipatan persekutuannya. Definisi

(39)

Contoh 1.3.4

Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12 ! Penyelesaian :

Cara I

Kelipatan 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ... Kelipatan 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72,...

Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 adalah 24, 48, ...

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 8 dan 12 adalah 24. Cara II

Menentukan KPK sebagai hasil kali faktor-faktor prima dari bilangan 8 dan 12 melalui pohon faktor.

8 = 2 × 2 × 2 = 23

12 = 2 × 2 × 3 = 22_{× 3}

KPK dari 8 dan 12 adalah23_{× 3 = 24}

Cara III

Melakukan pembagian terhadap bilangan prima dengan bilangan-bilangan prima. Perhatikan

langkah-langkah berikut.

KPK dari 8 dan 12 adalah 24

23_{× 3 = 24}

Faktor Persekutuan Terbesar Dan Kelipatan Persekutuan Terkecil

Untuk menentukan FPB dan KPK dua bilangan bulat atau lebih dapat dilakukan dengan menyatakan masing-masing bilangan dalam faktorisasi prima.

(40)

Penyelesaian :

Faktorisasi prima 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23_{x 3}

Faktorisasi prima 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5

FPB dari 24 dan 60 adalah 22 x 3 = 4 x 3 = 12

KPK dari 24 dan 60 adalah 23_{x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120}

1. Tentukan faktorisasi prima dari 45!

2. Tentukan faktor dari 12!

3. Tentukan FPB dan KPK dari 12 dan 10!

1. Faktorisasi prima dari 45 adalah 3 x 3 x 5

2. Faktor dari 12 adalah:

1 , karena 1 merupakan faktor dari 12 2, karena 2 merupakan faktor dari 12 3, karena 3 merupakan faktor dari 12 4, karena 4 merupakan faktor dari 12 6, karena 6 merupakan faktor dari 12 12, karena 2 merupakan faktor dari 12

Maka factor dari 12 adalah 1,2, 3,4, 6, dan 12

3. Faktorisasi prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 22_{x 3}

Faktorisasi prima dari 10 = 2 x 5 = 2 x 5

Maka FPB dari 12 dan 10 = 22_{x 3 x 5 = 60}

(41)

1. Tentukan FPB dan KPK dari 30, 45, dan 70!

2. Ayah membeli 12 pensil dan 30 buah buku tulis. Pensil dan buku tulis itu

akan dibagikan kepada beberapa anak. Tiap anak harus menerima pensil dan buku tulis dengan jumlah yang sama.

a. Maksimal berapa anak yang menerima alat tulis itu?

b. Berapa masing-masing pensil dan buku tulis yang diterima tiap anak?

3. Nanda, Burhan, dan Putri les matematika di “Bimbel Cerdas”. Nanda les

setiap 3 hari sekali, Burhan les setiap 2 hari sekali, dan Putri les setiap 4 hari sekali. Ketiga anak les bersama-sama pada hari Sabtu tanggal 4 Agustus 2015. Kapan ketiga anak tersebut bisa les bersama-sama lagi? Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat atau lebih adalah bilangan terbesar di antara faktor-faktor persekutuannya.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dua bilangan bulat positif atau lebih adalah bilangan terkecil di antara kelipatan persekutuannya.

(42)

*Kegiatan Belajar 4

Berpangkatan Bilangan Bulat

Misal :

Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Kemudian lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi dua bidang kertas menjadi dua bagian yang sama. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk dengan syarat garis lipatan harus membagi bidang kertas menjadi dua bagian yang sama. Alternatif penyelesaian

Buat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Temukan model matematika yang menyatakan hubungan banyak lipatan kertas dan banyak bidang kertas yang terbentuk. Selanjutnya diskusikan.

Pada lipatan kertas pertama diperoleh 2 bidang kertas pada lipatan kedua diperoleh 4 lipatan, untuk selanjutnya dapat dituliskan:

= 2 Dibaca dua pangkat satu

= 4 Dibaca dua pangkat dua

= 8 Dibaca dua pangkat tiga

= 16 Dibaca pangkat empat

Banyak lipatan Banyak bidang

kertas Pola perkalian

1 2 2 = 2 2 4 4 = 2 x 2 3 8 8 = 2 x 2 x 2 4 ... ... 5 ... ... Dan seterusnya ... ...

(43)

= 32 Dibaca pangkat lima

= 64 Dibaca pangkat enam

Dari pola di atas diperoleh bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan yang berulang.

1. Pangkat Bulat Negatif

a. Sifat-1: Jika adalah bilangan real dan ≠0, madalah bilangan bulat

positif maka ₌ Bukti: ₌ Sebanyak m factor = Sebanyak m factor =

Misalkan a bilanagn real dan n bilangan positif, disebut bilangan

berpangkat jika dan hanya jika =

n faktor

Dengan sebagai bilanagn pokok (basis) dan n adalah pangkat.

Definisi

Misalkan adalah biangan real dan 0, m adalah bilangan bulat

positif`

₌

(44)

Contoh 4.1

Jika nilai x= -2 dan y= 2 tentukan nilai _=...

Penyelesaian : ₌ ₌ = 2. Pangkat Nol

Untuk lebih memahami definisi 8, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0.

= 8 = 27

= 4 = 9

= 2 = 3

= 1 = 1

Perhatikan hasil permangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasilnya pemangkatannya adalah 1.

3. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

a. Sifat ke-1

Jika adalah bilangan real, m dan n adalah bilangan bulat positif,

maka ₌

Bukti :

x =

m faktor n faktor

b. Sifat ke-2 Jika a bilangan real dan ≠0, m dan n adalah bilangan

bulat positif, maka =

Bukti: = (sesuai definisi)

Pada persyaratan sifat-2, Apa arti ≠0 ?

Misalkan a adalah bilangan real dan 0, = 1

(45)

Bagaimana jika = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian

Pada sifat-2 di atas, terkait bilangan bulat positif m dan n, ada 3 (tiga) kemungkinan kasus, yaitu (a) m> n, (b) m= n, dan (c) m< n.

 Kasus (a) m> n

Jika m dan n bilangan bulat positif dan m> n maka m– n > 0. Dengan demikian = = ( ) (m-n) faktor = ( ) (m-n) faktor =

Jadi = _{, dengan m, nbilangan bulat positif dan m>}

n (terbukti)

 Kasus (b) jika m= n, maka = 1. Untuk pembuktiannya

perhatikan sifat-3 berikut.

 Kasus (c) jika m< n. Coba kamu buktikan sendiri.

c. Sifat ke-3: Jika bilangan real dan ≠0, m dan n adalah bilangan

bulat positif dengan m= n, maka = 1.

Bukti : = , sebab m = n = = 1 (terbukti)

d. Sifat ke-4: Jika abilangan real dan ≠0, mdan nadalah bilangan bulat

positif, maka n =

(46)

n₌

n factor

=( )( )

m faktor m factor

) ) m faktor m faktor n faktor

m x n fatkor

= n = _(terbukti)

e. Sifat ke-5 : Jika abilangan real dan ≠0, madalah bilangan bulat

positif, maka adalah bilangan real positif dan m =

Bukti:

Karena mbilangan bulat positif, maka 0 , karena m dan > 0,

maka berdasarkan sifat 5 berlaku m = = =

Ubah ke bentuk sederhana / bentuk perpangkatan:

1. _. = 2. . = 3. = 4. = 5. =

(47)

1. Ada 2 cara dalam penyelesaiannya:

a. ₌ b. . = _{= x} 2. ₌ 3. = 1 4. = _{.9 =} 5. ₌ ₌

1. bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan yang berulang,

contoh :

= sebanyak n kali.

2. Berikut sifat – sifat pada bilangan bulat:

a. ₌

b. = 1

c. x =

d. =

e. = 1, jika a bilangan real dan a 0, m dan n bilangan bulat

positif juga m = n

f. =

(48)

Kerjakan soal berikut: 6. _. = 7. . = 8. = 9. = 10. =

(49)

*Kegiatan Belajar 5

Siapkan satu lembar kertas! Dan lakukan hal-hal dibawah ini!

1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegipanjang) sehingga

menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas?

2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup.

Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? Catatlah banyaknya potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah.

3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali.

Setelah siswa melakukan kegiatan secara kelompok hasil kerjanya secara lengkap banyaknya lipatan dan banyaknya potongan kertas adalah sebagai berikut.

Banyak lipatan kertas Banyak potongan kertas

yang terjadi 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64

Diskusikan dengan temanmu untuk menjawab pertanyaan berikut ini!

1. Apakah banyaknya lembaran kertas yang terjadi mempunyai

keteraturan? Jika ya, jelaskan keteraturannya!

2. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika

dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas? Berapakah banyaknya lembar kertas itu?

(50)

Alternatif Penyelesaian :

1. Ya, alternatif jawaban untuk pertanyaan bagian a adalah :

Banyak lipatan kertas Banyak potongan kertas

yang terjadi 1 ₂1_{= 2} 2 ₂2_{= 4} 3 ₂3_{= 8} 4 ₂4_{= 16} 5 ₂5_{= 32} 6 26= 64

Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas

membentuk pola. 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., merupakan salah satu contoh

pola bilangan.atau Banyaknya lembaran kertas berikutnya diperoleh dari dua kali banyaknya kertas sebelumnya. Jawaban tidak harus sama dengan ini kamu bisa membuat kalimat sendiri.

2. Jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas, banyaknya lembar kertas

adalah 28= 256 lembar

*Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek.

(51)

1. Rangkaian keempat dan kelima dari gambar di atas adalah :

2. Pada rangkaian keempat 13 buah dan pada rangkaian kelima 17 buah.

Alternatif jawaban siswa menghitung banyaknya persegi pada rangkaian keenam diantaranya adalah :

Rangkaian 1, jumlah persegi = (4 x 1) – 3 = 1 Rangkaian 2, jumlah persegi = (4 x 2) – 3 = 5 Rangkaian 3, jumlah persegi = (4 x 3) – 3 = 9 Rangkaian 4, jumlah persegi = (4 x 4) – 3 = 13 Rangkaian 5, jumlah persegi = (4 x 5) – 3 = 17 Rangkaian 6, jumlah persegi = (4 x 6) – 3 = 21 Maka :

Pola bilangan yang terbentuk dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, 13, 17, 21, ...

1. Bilangan 1 merupakan suku pertama,5 merupakan suku kedua, 9

merupakan suku ketiga, dan seterusnya.

Untuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu aturanyang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya.

2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8, . . .

Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya! Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya?

(52)

3. Untuk mencari ketiga suku berikutnya pada soal berikut dicari dengan cara berikut.

2 ,4 , 6 , 8 , ____, ____ , ____

+2 +2

2 , 4 , 6 , 8 , 10, 12 , 14,

Jadi tiga suku berikutnya adalah 10, 12, dan 14.

Aturannya adalah dimulai dengan bilangan 2 dan suku-suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2

4. Pola bilangan 1, 3, 9, 27, . . .

Bilangan pada ketiga suku berikutnya adalah 81, 243, 729 Alternatif jawaban :

Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 3.

Pola Bilangan Segitiga

Pernahkah kamu menjumpai “pemandu sorak (cheerleader)” melakukan atraksinya dalam suatu pertandingan olahraga (misalnya basket)? Seringkali dalam atraksinya mereka membentuk piramida manusia, yaitu saling berdiri di antara pemain-pemainnya, sehingga pada puncaknya hanya berdiri seorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggap bahwa piramida manusia tersebut belum mencapai puncak. Dan sama dengan segitiga yang disusun seperti pada gambar:

Bilangan juga dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga sebagai berikut:

V V V

V

V V

(53)

a. mewakili bilangan 1 b. mewakili bilangan 3

c. mewakili bilangan 6

1. Apakah piramida manusia itu berbentuk limas? Sebutkan bentukyang

tepat untuk menjelaskannya!

2. Berapa banyak orang bila tingginya 2 tingkat dan 3 tingkat?

3. Misalkan satu orang dalam piramida tersebut digambarkan dengan tanda

“ “pada suatu piramida. Gambarlah pola banyaknya orang dalam piramida manusia itu.

Banyaknya tanda “ “ pada suatu piramida menunjuk pada ilangan 1, 3, 5, ... . Karena bentuknya seperti segitiga, maka pola ilangan itu dinamakan Pola bilangan segitiga.

4. Buatlah tabel untuk menunjukkan banyaknya tingkat dan banyaknya

orang dalam piramida itu. (Selesaikan tabel ini dengan mengisi bagian...). Tingkat 1 2 3 4 5 6 7 Banyaknya orang 1 3 6 .... .... .... .... Alternatif jawaban : Tingkat 1 2 3 4 5 6 7 Banyaknya orang 1 3 6 10 15 21 28

5. Perhatikan polanya. Bagaimanakah hubungan banyaknya orang

dalam piramida manusia itu dengan banyaknya tingkat? Alternatif Penyelesaian:

Banyaknya orang pada tingkat berikutnya diperoleh dari banyaknya ingkat yang dimaksud ditambah dengan banyaknya orang sebelumnya.

v v v v v v v v v v v v v v_v v v v v v v v v

(54)

Atau banyak orang sebelumnya ditambah dengan tingkat yang mau dibuat.

6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bila tingkatnya 9?

Banyaknya adalah 45. Coba kamu diskusikan kenapa bisa dapat 45. Karena bentuk susunan orang adalah berbentuk segitiga maka banyaknya orang pada tingkat

berikutnya diperoleh dari luas segitiga, yaitu ½ n (n+1), dengan n bilangan asli.

Pola Bilangan Persegi

Setiap tahun suatu perusahan penerbangan mengadakan pertunjukan dirgantara.

Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?Untuk menjawabnya lakukan kegiatan berikut.

Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup ketiga, kemudian sesudah penerbangan keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?

Grup ke Banyaknya

pesawat baru Jumlah pesawat diangkasa

1 1 1

2 3 4

3 5 9

4 7 16

1. Jika pola penerbangan diatas di lanjutkan berapa banyak pesawat yang

diterbangkan pada penerbangan grup ke-5 dan ke-6? Jawab : 9 pesawat dan 11 pesawat

(55)

2. Berapakah jumlah pesawat yang ada di angkasa setelah penerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila

pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat? Jawab : 25 pesawat dan 36 pesawat.

3. Jelaskan dan diskusikan hubungan antara grup pesawat dan jumlah

pesawat yang ada di angkasa? Alternatif

Jawaban : grup pesawat dipangkatkan dua akan sama dengan jumlah pesawat diangkasa.

4. Bilangan-bilangan pada kolom jumlahpesawat diangkasa pada tabel di

atas merupakan bilangan kuadrat.

5. Perhatikan model dari bilangan kuadrat berikut. Apakah membentuk pola

bilangan kuadrat?

Karena bilangan-bilangan 1, 4, 9 dan 16 berhubungan dengan

bentuk persegi, maka pola bilangan itu dinamakan juga pola

bilangan persegi

Pola Bilangan Persegi Panjang

Di kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makin berkurang atau bahkan tidak ada lagi. Sehingga untuk berkebun atau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentuk persegi dari kayu-kayu yang diisi dengan tanah. Berikut rangkaian pot-pot tersebut.

1 x 1 1 + 3 = 2 x 2 = 4 1+ 3+ 5 = 3 x 3 = 9 1+3+5+7 = 4 x 4 = 16

(56)

Rangkain 1 R. 2 R. 3 R. 4

Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatu pola? Tuliskan pola itu. Ya, karena bilangan 2, 6, 8, 12, dan 20 berhubungan dengan bentuk persegi panjang, maka pola bilangan ini disebut atau dinamakan pola bilangan persegi panjang.

Pola Bilangan Segitiga Pascal

Dinamakan pola segetiga pascal karena ditemukan oleh Blaise Pascal.

Bilanga dari baris ke 2 adalah hasil penjumlahan dari dua bilanagn pada baris ke 1.

1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan 36

2. Pada pola bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...bilangan yang ke-50 adalah

v

1 2 3 4

(57)

3. Bilangan yang ke-30 dari pola bilangan persegi adalah

1. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,..54, 64, 75, 87..

+2 +3 +4 dan seterusnya+9 +10 +11 dan sterusnya

2. 1 = 2 x 1 -1

3 = 2 x 2 – 1 5 = 2 x 3 – 1

Dari pola diatas maka bilangan yang ke-50 = 2 x 50 -1 =99

3. 1 = 1 x 1

4 = 2 x 2 9 = 3 x 3 16 = 4 x 4

(58)

1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan 36

2. Pada pola bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...bilangan yang ke-50 adalah

3. Bilangan yang ke-30 dari pola bilangan persegi adalah

4. Tentukan banyaknya lingkaran pada pola yang ke-25 pada pola persegi

panjang

Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek pada bilangan bulat.berikut beberapa pola pada bilangan bulat:

1. Pola segitiga

Berbentuk segitiga, dan memiliki pola bilangan bulat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,....

2. Pola persegi

Bilangan yang membentuk pola persegi 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ....

3. Pola persegi panjang

Bilangan yang membentuk pola persegi panjang 2, 6, 12, 20,...

4. Pola segitiga pascal

Bilangan yang membentuk pola segitiga pascal yaitu bilangan-bilangan pada segitiga pascal

(59)

*Kegiatan Belajar 6

Penjumlahan Pecahan

Misalkan a, b, c, dan d bilangan bulat dengan b ≠ 0 dan d ≠0. Jika a_b dan _dc adalah pecahan maka a_b +c_d = ad_bdbc

Contoh 1.6.1 3 6 + 4 5 = ... Penyelesaian : 3 6 + 4 5 = 15 24 30 = 39 30 Pengurangan Pecahan Contoh 1.6.2 1- 4₅ =... Penyelesaian :

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinya takan dalam

bentuk , a dan b bilangan bulat, b≠ 0 dan b bukan faktor dari a.

(60)

1- 4₅ = 5₅ - 4₅ = 1₅

Perkalian Bilangan Pecahan Contoh 1.6.3 9 x 2₃ = ... Penyelesaian : 2 3+ 2 3 2 3 + 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3+ 2 3 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 = 9x₃2 = 18₃ = 6

1. Perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa dan sebaliknya.

Untuk lebih mudah memahami bagaimana cara mengalikan bilangan asli dengan sebuah pecahan atau perkalian sebuah pecahan dengan bilangan asli, perhatikan masalah-masalah berikut.

Terdapat enam buah gelas yang akan diisi air sampai penuh. Ternyata

setiap gelas hanya dapat memuat ₁₀1liter air. Berapa liter air yang

dibutuhkan untuk mengisi keenam gelas tersebut?

Banyak air yang dibutuhkan adalah = 6 × ₁₀1

= ₁₀1 + ₁₀1 + ₁₀1 + ₁₀1 + ₁₀1 + ₁₀1 = 1 1 1₁₀1 1 1

= 6₁₀x1 = ₁₀6

(61)

Contoh 1.6.4

3 x 3₄ = ... Penyelesaian :

perhatikan gambar berikut:

3 4 3 4 3 4 21₄

Berdasarkan gambar diatas 3 x 3₄ = 3₄ + 3₄ + ₄3 = 3 3₄ 3 = 9₄ = 21₄

2. Bilangan asli dengan bilangan campuran

Sifat

Untuk a, b, dan c bilangan asli, berlaku: a. a x = ax_cb

b. x a = bx_ca c. 1 x = x 1 =

3. Perkalian Pecahan Biasa dengan Pecahan Biasa

Contoh 1.6.5 2 3 x 1 4 =... Penyelesaian : 2 3 x 1 4 = 1x2 3x4 = 2 12

(62)

Pembagian Pecahan

Bu Vera memiliki 5 potong roti. Roti tersebut akan dibagikan pada 3 orang anaknya dan tiap anak mendapat bagian yang sama. Berapa potong yang diperoleh tiap anak ?

Alternatif Penyelesaian

Banyak roti yang dimiliki Bu Vera adalah 5 potongBanyak anak Bu Vera adalah 3 orangKarena tiap anak mendapat bagian yang sama, maka banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 5 : 3 = …. ?

Perhatikan gambar berikut

Berdasarkan gambar di atas, banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 1 3 + 1 3+ 1 3 + 1 3 + 1 3 = 1 1 1 1 1 3 = 5 3 = 1 2 3 Cara memperoleh: 5 : 3 = ( 3 + 2 ) : 3 = ( 3 : 3 ) + ( 2 : 3 ) = 1 + 2₃= 12₃

Beberapa sifat yang perlu dicermati

1. Setiap pecahan dibagi 1 hasilnya pecahan itu sendiri

2. Setiap pecahan memilii kebalikan

3. Setiap pecahan dikalikan dengan kebalikannya hasilnya 1

4. Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah pecahan, maka hasilnya adalah

(63)

Kerjakan Soal berikut : 1. + = 2. + 3 = 3. - = 4. - = 5. 2 : =

1. = 2. = 3. = 4. =-

(64)

Kerjakan Soal berikut : 1. + = 2. + 3 = 3. - = 4. - = 5. 2 : =

1. Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinya takan dalam

bentuk , a dan b bilangan bulat, b≠ 0 dan b bukan faktor dari a.

2. Berikut beberapa konsep pada operasi bilangan pecahan:

a. + = b. a x =

c. x a =

(65)

*Kegiatan Belajar 7

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a_b , a

dan b bilangan bulat dan b 0.

Perhatikan difinisi diatas,untuk a dan b bilangan bulat serta b 0, bilangan apa

yang dihasilkan a_b jika:

1. a = 0

2. a = b

3. a > b, a dan b memiliki faktor prima

4. a < b, a dan b memiliki faktor prima

5. a > b, a kelipatan dari b

6. a < b, a faktor dari b

Penyelesaian

1. Jika a = 0,

Jika a = 0 ( tentu b 0 )

Maka_ba = 0_b, kita ambil sembarang nilai b, maka perhatikan

0 1 = 0, 0 5 = 0; 0 20 = 0; 0 200 = 0;

Maka a_b selalu menghasilkan bilangan 0

2. a = b

silahkan coba sendiri dan simpulkan

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam

bentuk a_b , a dan b bilangan bulat dan b 0.

(66)

3. a > b, a dan b memiliki faktor prima perhatikan : 2 3 , 3 7, 7 11

Maka a_b selau menghasilkan bilangan pecahan biasa

4. a < b, a dan b memiliki faktor prima

silahkan coba sendiri dan simpulkan

5. a > b, a kelipatan dari b 4 2 = 2, 99 33 = 3, 10 2 = 5

Maka selalu menhailkan bilangan bulat

6. a < b, a faktor dari b

silahkan di coba sendiri dan simpulkan

bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a_b, dengan a dan b

bilangan bulat dan b≠ 0. Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan

dalam bentuka_b, dengan a, b bilangan bulat dan b≠ 0. Seperti bilangan √3,√5

,√7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan irasional.

1. Ubah dalam bentuk pecahan 0,125

2. Ubahlah bentuk desimal dari

3. Ubah dalam bentuk desimal

4. 0,3333333 ubah dalam bentukpecahan

1. 0,125 = =

2. 3 : 2 = 0,666666

(67)

4. 0,333 = 1 angka yang di ulang berarti x = 0,333 10x = 3,333

-9x = -3

X=

Nyatakan dalam bentuk pecahan!

1. 32

2. 120

3. 22,5

4. 90

Nyatakan dalam bentuk desimal 1.

2. 2

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam

bentuk , a dan b bilangan bulat dan b 0.bilangan-bilangan yang dapat

dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat dan b≠ 0.

Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ,

dengan a, b bilangan bulat dan b≠ 0. Seperti bilangan √3,√5 ,√7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan irasional.

(68)

SOAL EVALUASI MPM 1

1. Hsil dari 45 + (-35) + 30 – 125 = … a. 80 b. -85 c.85 d. 75 2. 144 : 12 + 25 x 12 = … a. 300 b. 310 c. 312 d. 324 3. (720 – 330) : (4 + 6) = … a. 39 b. 49 c. 59 d. 60 4. 35 – 6 x (7 +13) = n. nilai n adalah … a. 80 b. -85 c. 85 d. 75

5. Supaya kalimat menjadi benar harga n pada kalimat n + 65 + 87 + (-21)

= 184

a. 50 b. 53 c.60 d. 63

6. Faktor prima dari 252 adalah…

a. 2, 3, 5 b. 2, 3, 7 c. 3, 5, 7 d. 2, 3, 5, 7

7. Hasil dari (-146) + 35 + (-65) = …

a.-176 b. 176 c. 157 d. -157

8. FPB dari 40 dan 60 adalah …

a. 8 b. 10 c. 12 d. 20

9. FPB dan KPK dari 25 dan 50 adalah …

a. 25 dan 50 b. 50 dan 25 c. 20 dan 60 d. 25 dan 55

10.KPK dari 28, 24, dan 30 adalah …

a. 840 b. 740 c. 420 d. 500

11.Faktor prima dari 880 adalah …

12.FPB dan KPK dari 44 dan 68 dalah …

13.(-25) + 13 x (-9) = …

14.Pada pukul 10.00 lampu A dan B menyala bersama-sama. Jika lampu A

menyala setiap 8 menit dan lampu B setiap 12 menit, kedua lampu menyala bersama-sama pada pukul …

(69)

15.Momon akan membagikan 40 buah buku gambar dan 50 bolpoin. Ia ingin membagikan buku gambar dan bolpoin secara adil, maka jumlah anak yang akan menerima maksimal …

16.Tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi: 60, 196, atau

225?

17.Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola

persegi sebagai berikut:

berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5?

18.Tentukan nilai dari:

a. 32+33=... b. 54 : 53= ... c. 23 3 = ...

19.Nyatakan 0,45 dalam bentuk pecahan

20.Misal kamu mempunyai 28 liter minyak. Kamu diminta mengisikan semua

minyak itu pada 8 kaleng. Jika setiap kaleng harus sama berapa liter harus diisikan pada tiap kaleng?

(70)

(71)

Modul ini berisi teori tentang Bentuk Aljabar dan menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional pada masalah yang berbentuk simbolik dan verbal.

Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan operasi bilangan bulat.

Setelah Anda mempelajari modul pembelajaran matematika ini diharapkan Anda mampu :

1. Mengenal bentuk aljabar.

2. Menjelaskan pengertian suku bentuk aljabar.

3. Mengetahui macam-macam suku pada bentuk aljabar.

4. Membedakan antara suku tunggal, suku banyak dan suku-suku sejenis.

5. Memahami operasi hitung pada bentuk aljabar.

6. Menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar.

7. Mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun

pengurangan.

8. Siswa dapat menentukan hasil perkalian pada bentuk aljabar.

9. Siswa dapat mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

maupun pengurangan pada bentuk aljabar.

10.Siswa mampu menyelesaikan perkalian suatu bilangan dengan suku dua

bentuk aljabar

11.Siswa dapat menyelesaikan perkalian suku dua dengan suku dua.

(72)

14.Siswa dapat menyederhakan bentuk pecahan aljabar.

Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini.

1. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan

teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.

2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar

untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan.

3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam

penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan.

4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas

dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini.

5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu

konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor.

6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan

pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.