PEMBAHASAN MATEMATIKA IPA UN 2016

1. Perpangkatan

Nilai dari

125 ²³− 25 ¹² 81 ¹⁴+ 27

1 3

adal ah ....

A. ⁸

3

B. ¹⁰

3

C. ¹⁴

3

D. ¹⁶

3

E. ²⁰

3

Pembahasan

Kita kerjakan per s uku saja supaya agak santai.

(125)^2/3 = (5³)^2/3 = 5² = 25 (25)^1/2 = (5²)^1/2 = 5¹ = 5 (81)^1/4 = (3⁴)^1/4 = 3¹ = 3 (27)^1/3 = (3³)^1/3 = 3¹ = 3

Dengan demikian, bentuk bilangan berpangkat tersebut dapat disederhanakan menjadi

125 ²³− 25 ¹² 81 ¹⁴+ 27

1 3

=25 − 5 3 + 3

=20 6

=10 3

Jadi, nilai dari perpangkatan tersebut adalah 10/3 (B).

2. Bentuk Akar

Bentuk sederhana dari

3 5 2 + 6

adal ah ....

A. ³

4 30 + 10 B. ³

4 30 +³

4 10 C. ³

4 30 −³

4 10 D. ³

4 10 −³

4 30 E. −³

4 10 −³

4 30

Pembahasan

Langkah pertama adal ah mengalikan pembilang dan peny ebut bentuk akar tersebut bilangan sekawan dari peny ebut, yaitu 2 − 6.

3 5

2 + 6× 2 − 6 2 − 6

Pada perkalian di atas, bagian pembilang langsung bisa dikalikan, sedangkan bagi an penyebut harus mengingat rumus:

(a + b)(a − b) = a² − b² sehingga diperoleh:

3 5

2 + 6× ^{2 − 6}

2 − 6

=3 10 − 3 30 2 − 6

=3 10 − 3 30

−4

= −³

4 10 +³

4 10

=³

4 10 −³

4 30

Jadi, bentuk sederhana dari bentuk akar tersebut adal ah ³

4 10 −³

4 30 (D).

3. Logaritma

Nilai dari log 2 ∙

3 ⁴log 27 + ³log81 log 8 −

2 ²log 4

2

adal ah ....

A. ¹²¹

4

B. ⁸¹

Sehi ngga bentuk logaritma tersebut menjadi:

log 2 ∙

3 ²²log3³+ ³log 3⁴ log 2³−

2 ²log2²

2

Selanjutnya ki ta gunakan rumus-rumus logaritma berikut ini untuk meny elesaikannya.

log 𝑥^𝑛

𝑎 = 𝑛 log𝑥^𝑎 log 𝑥^𝑛

𝑎^𝑚 =^𝑚

𝑛 ^𝑎log𝑥 Dengan demikian, diperoleh:

3

Jadi, nilai dari bentuk logaritma tersebut adalah ¹²¹

4

(A).

4. Pertidaksamaan Logaritma

Nilai 𝑥 yang memenuhi

Langkah pertama adalah mengubah bilangan 0 menjadi bentuk logaritma (0 = log 1).

log 𝑥 + 3 log𝑎𝑏 untuk menyederhanakan bentuk.

log 𝑥 + 3 𝑥 − 3

1

3 > log1

1 3

Selanjutnya kita s ederhanakan lagi dengan memanfaatkan rumus 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎²− 𝑏² .

Nah, kalau bentuk sudah s eperti di atas, kita tinggal coret saja logari tmanya. Tapi ingat, karena bilangan pokoknya ¹

Penyelesaian akhirnya, kita buat garis bilangan dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3).

Jadi, nilai x dari pertidaksamaan logaritma tersebut adal ah 3 < 𝑥 < 2 (C).

5. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat 𝑥²− 𝑝 + 3 𝑥 + 12 = 0 mempunyai akar-akar α dan β. Jika α = 3β, nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ....

−2 − 3 3 2

A. 5 dan −11 B. −5 dan 11 C. 5 dan 11 D. −5 dan 6 E. 5 atau 6

Pembahasan

Berdasarkan pertidaks amaan di atas diketahui:

a = 1 b = −(p + 3) c = 12

Kita gunakan rumus penjuml ahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat.

α.β = ^𝑐

𝑎

3β.β = 12 β² = 4 β = ±2 α + β = −^𝑏

𝑎

3β + β = p + 3 4β = p + 3 p = 4β − 3

Subs titusi β = ±2 diperoleh:

p = 4 × 2 − 3 = 8 − 3 = 5

p = 4 × (−2) − 3 = −8 − 3 = −11

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 5 dan −11 (A).

6. Fungsi Kuadrat

Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎 + 1 𝑥²− 2𝑎𝑥 + (𝑎 − 2) definit negatif. Nilai a yang memenuhi adal ah ....

A. a < 2 B. a > −2 C. a < −1 D. a < −2 E. a > 1

Pembahasan

Fungsi 𝑓 𝑥 dikatakan defi nit negatif apabila 𝑓 𝑥 selalu bernilai negatif untuk semua nilai 𝑥. Hal ini terjadi apabila kurva 𝑓 𝑥 berada di bawah sumbu 𝑥.

Syarat agar fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 definit negatif adal ah kurv a parabola terbuka ke bawah dan ti dak memotong ataupun menyinggung sumbu 𝑥.

Kurv a parabola akan terbuka ke bawah apabila koefisien kuadratnya bernilai negatif.

a + 1 < 0

a < −1 ... (1)

Sedangkan syarat agar kurva parabola ti dak memotong maupun menyinggung sumbu 𝑥 adalah diskriminan fungsi 𝑓 𝑥 harus bernilai negatif.

D < 0 b² − 4ac < 0 (−2a)² − 4(a + 1)(a − 2) < 0 4a² − 4(a² − a − 2) < 0 4a² − 4a² + 4a + 8 < 0 4a + 8 < 0 4a < −8 a < −2 ... (2)

Selanjutnya kita buat garis bilangan untuk pertidaksamaan (1) dan (2).

Berdasarkan garis bilangan ters ebut, nilai a yang memenuhi adal ah:

a < −2

Jadi, agar 𝑓(𝑥) definit positif maka rentang nilai a adal ah a < −2 (D).

7. Sistem Persamaan Linear

Ibu Abdaya berbelanja di swalayan membeli 5 kg bakso rasa daging sapi dan 4 kg bakso rasa ikan dengan harga Rp550.000,00. Secara bersamaan di swalayan tersebut Ibu Rita Zahara membeli 4 kg bakso rasa daging sapi dan 5 kg bakso rasa ikan dengan harga Rp530.000,00. Di swalay an yang sama Ibu Emi membeli 2 kg bakso ras a daging sapi dan 3 kg bakso ras a ikan. Uang yang harus dibayar Ibu Emi adal ah ....

A. Rp240.000,00 B. Rp280.000,00

C. Rp285.000,00 D. Rp290.000,00 E. Rp310.000,00

Pembahasan

Misalkan:

𝑥 : bakso rasa daging s api 𝑦 : bakso rasa ikan

Model matematika untuk soal di atas adalah:

Abdaya : 5𝑥 + 4𝑦 = 550.000 ...(1) Rita : 4𝑥 + 5𝑦 = 530.000 ...(2) Emi : 2𝑥 + 3𝑦 = ?

−1

−2

Mari kita eliminasi persamaan (1) dan (2).

Persamaan (1) kita kalikan 5 sedangkan pers amaan (2) kita kalikan 4 untuk mendapatkan koefisien y yang sama.

25𝑥 + 20𝑦 = 2.750.000 16𝑥 + 20𝑦 = 2.120.000

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − 9𝑥 = 630. 000 𝑥 = 70.000

Selanjutnya kita substi tusikan x = 70.000 ke pers amaan (1).

5𝑥 + 4𝑦 = 550. 000 5×70.000 + 4𝑦 = 550. 000 350.000 + 4𝑦 = 550. 000

4𝑦 = 550. 000 − 350.000 = 200. 000

𝑦 = 50.000

Dengan demikian, harga 2 kg bakso rasa dagi ng sapi dan 3 kg bakso rasa ikan adalah:

2𝑥 + 3𝑦 = 2×70.000 + 3×50.000 = 140. 000 + 150.000 = 290. 000

Jadi, uang yang harus dibay ar Ibu Emi sebes ar Rp290.000,00 (D).

8. Program Linear

Seorang penjahi t memiliki persediaan 20 m kain polos dan 20 m lain bergaris untuk membuat 2 jenis pakai an. Pakaian model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris. Pakaian model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kai n bergaris.

Pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong dan pakai an model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahi t tersebut adalah ....

A. Rp1.400.000,00 B. Rp1.600.000,00 C. Rp1.800.000,00 D. Rp1.900.000,00 E. Rp2.000.000,00

Pembahasan

Tabel bantuan untuk soal di atas adalah:

Model I (𝑥) Model II (𝑦)

Kain polos 1 2 20

Kain bergaris 3 1 20

Harga jual 150.000 100.000

Model matematika berdas arkan tabel bantuan di atas adalah:

𝑥 + 2𝑦 = 20 ... (1) 3𝑥 + 𝑦 = 20 ... (2)

𝑧 = 150. 000𝑥 + 100.000𝑦

Eliminasi persamaan (2) dan (1). Pers amaan (2) dikalikan 2 terlebih dahulu.

6𝑥 + 2𝑦 = 40 𝑥 + 2𝑦 = 20

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − 5𝑥 = 20 𝑥 = 4

Subs titusi x = 4 ke persamaan (1) diperoleh:

𝑥 + 2𝑦 = 20 4 + 2𝑦 = 20 2𝑦 = 16 𝑦 = 8

Dengan demikian nilai z adalah:

𝑧 = 150. 000𝑥 + 100.000𝑦 = 150. 000 × 4 + 100. 000 × 8 = 600. 000 + 800.000 = 1.400.000

Jadi, penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit ters ebut adalah Rp1.400.000,00 (A).

9. Fungsi Komposisi

Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥²+ 2𝑥 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3.

Fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 adalah ....

A. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑥²− 4𝑥 + 6 B. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑥²− 4𝑥 + 3 C. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑥²+ 2𝑥 + 6 D. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑥²+ 2𝑥 − 6 E. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑥²+ 3𝑥 − 3

Pembahasan

Jika fungsi 𝑓(𝑥) diartikan sebagai fungsi 𝑓 yang dinyatakan dalam 𝑥 maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 berarti fungsi 𝑓 yang dinyatakan dalam 𝑔 𝑥 . 𝑥 − 3 ²+ 2(𝑥 − 3)

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 2𝑥 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑔²(𝑥) + 2𝑔(𝑥 = 𝑥 − 3 ²+ 2(𝑥 − 3) = 𝑥²− 6𝑥 + 9 + 2𝑥 − 6 = 𝑥²− 4𝑥 + 3

Jadi, fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 adalah 𝑥²− 4𝑥 + 3 (B).

10. Invers Fungsi

Diketahui f : R → R dan g : R → R didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 =^{3𝑥 +1}

𝑥 −5 , 𝑥 ≠ 5 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Invers dari 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 adal ah ....

A. 𝑓 ∘ 𝑔 ⁻¹ 𝑥 =^−8𝑥+8_{𝑥 −3} , 𝑥 ≠ 3 B. 𝑓 ∘ 𝑔 ⁻¹ 𝑥 =^−3𝑥+8_{𝑥 +8} , 𝑥 ≠ −8 C. 𝑓 ∘ 𝑔 ⁻¹ 𝑥 =^3𝑥−8_{𝑥 −8}, 𝑥 ≠ 8 D. 𝑓 ∘ 𝑔 ⁻¹ 𝑥 =^8𝑥−8_{𝑥 −3}, 𝑥 ≠ 3 E. 𝑓 ∘ 𝑔 ⁻¹ 𝑥 =^8𝑥+8_{𝑥 +3}, 𝑥 ≠ −3

Pembahasan

Kita tentukan dulu fungsi komposisi (f ∘ g)(x).

𝑓 𝑥 =^{3𝑥 +1}

𝑥 −5 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =^{3𝑔 (𝑥)+1}

𝑔 (𝑥 )−5

=^{3(𝑥 −3)+1}

(𝑥 −3)−5

=^{3𝑥 −8}

𝑥 −8

Untuk menentukan invers dari fungsi komposisi tersebut, perhatikan konsep berikut ini!

Jika 𝑓 𝑥 =^{𝑎𝑥 +𝑏}

𝑐𝑥 +𝑑 maka 𝑓⁻¹ 𝑥 =^{−𝑑𝑥 +𝑏}

𝑐𝑥 −𝑎

Berdasarkan kons ep di atas maka:

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =^{3𝑥 −8}

𝑥 −8 𝑓 ∘ 𝑔 ⁻¹ 𝑥 =^{8𝑥 −8}

𝑥 −3

Jadi, invers dari 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 adal ah opsi (D).

11. Pembagian Suku Banyak

Suku banyak 𝑓 𝑥 = 2𝑥³− 5𝑥²+ 𝑎𝑥 + 18 habis dibagi oleh 𝑥 − 3 . Hasil bagi 𝑓 𝑥 oleh 𝑥 + 1 adal ah ....

A. 2𝑥²− 7𝑥 + 2 B. 2𝑥²+ 7𝑥 − 2 C. 2𝑥²− 7𝑥 − 2 D. 2𝑥²− 6𝑥 − 3 E. 2𝑥²− 6𝑥 + 3

Pembahasan

Suku banyak 𝑓 𝑥 = 2𝑥³− 5𝑥²+ 𝑎𝑥 + 18 habis dibagi oleh 𝑥 − 3 , berarti sisanya 0 atau 𝑓 3 = 0.

Gunakan cara Horner untuk pembagian tersebut.

Perhatikan kolom terakhir. Kita dapat mendapatkan nilai a dari kolom ters ebut.

18 + 3a + 9 = 0 3a = −27 a = −9

Sehi ngga suku banyak tersebut menjadi:

𝑓 𝑥 = 2𝑥³− 5𝑥²− 9𝑥 + 18

Suku banyak 𝑓 𝑥 ini kemudian dibagi 𝑥 + 1 .

Hasil bagi pembagian suku bany ak tersebut adalah:

2 −7 −2

⇔ 2𝑥²− 7𝑥 − 2

Jadi, hasil bagi suku banyak 𝑓 𝑥 oleh 𝑥 + 1 adal ah 2𝑥²− 7𝑥 − 2 (C).

12. Akar-akar Suku Banyak

Diketahui 𝑥 − 2 dan 𝑥 + 1 adalah faktor-faktor pers amaan suku bany ak 𝑥³+ 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 10 =. Jika 𝑥₁, 𝑥₂, dan 𝑥₃ adalah akar-akar pers amaan tersebut dengan 𝑥₁< 𝑥₂< 𝑥₃, nilai 2𝑥₁− 𝑥₂+ 𝑥₃ adalah ....

A. −2 B. 1

C. 2 D. 5 E. 9

Pembahasan

𝑥 − 2 dan 𝑥 + 1 adalah faktor-faktor dari suku banyak 𝑥³+ 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 10 =. Ini berarti suku banyak tersebut habis dibagi oleh 𝑥 − 2 dan 𝑥 + 1 . Kita gunakan cara Horner untuk pembagian tersebut.

Kita gunakan cara Horner bersusun s eperti di atas karena semua sisa pembagian sama dengan nol. Jika sisa pembagian tidak sama dengan nol maka harus

1 a b 10

0

1

1

1 a1

a+1

a+b+1

ab1 2 +

1

2 a+1

2a+2

0 +

2 5 9 18

20

1

2

2

7

7

2

2 +

hasil bagi sisa

2 5 a 18

0 3

2

6 1

3 a+3

3a+9

3 3 3

+

melakukan cara Horner satu per s atu seperti pembahasan soal nomor 11.

Sekarang perhatikan kolom terakhir yang atas maupun yang bawah. D ari kedua kolom tersebut ki ta akan mendapatkan nilai a.

10 + a − b − 1 = 0

a − b = − 9 ... (1)

−a + b + 1 + 2a + 2 = 0

a + b = −3 ... (2)

Selanjutnya ki ta eliminasikan pers amaan (1) dan (2).

a − b = − 9 a + b = −3

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 2a = −12 a = −6

Nah, sekarang perhatikan baris terakhir skematik Horner di atas yang berwarna hijau. Itu adalah hasil bagi y ang merupakan faktor lain dari suku banyak tersebut. Substitusikan a = −6 pada baris tersebut.

1 a + 1

= 1 −6 + 1

= 1 −5

⇔ x − 5

Sehi ngga diperoleh:

faktor : 𝑥 + 1 , 𝑥 − 2 , 𝑥 − 5 akar : 𝑥₁= −1, 𝑥₂= 2, 𝑥₃= 5 Dengan demikian,

2𝑥₁− 𝑥₂+ 𝑥₃= 2 × −1 − 2 + 5

= −2 − 2 + 5

= 1

Jadi, nilai dari 2𝑥₁− 𝑥₂+ 𝑥₃ adalah 1 (B).

13. Operasi Matriks

Diketahui persamaan matriks:

2 𝑥 6

1 12 + 1 1

0 3 = 1 2

4 3 −1 3 2 𝑦 Nilai 2𝑥 − 3𝑦 = ....

A. −19 B. −17 C. −13 D. −7

E. −4

Pembahasan

Modal mengerjakan soal di atas adalah mengingat kembali operasi penjuml ahan dan perkalian matriks.

2 𝑥 6

1 12 + 1 1

0 3 = 1 2

4 3 −1 3 2 𝑦 2𝑥 + 1 13

2 27 = 3 3 + 2𝑦 2 12 + 3𝑦 Dari kesamaan matriks di atas di peroleh:

Komponen ki ri atas:

2𝑥 + 1 = 3 2𝑥 = 2 𝑥 = 1

Komponen kanan atas:

13 = 3 + 2𝑦 2𝑦 = 10 𝑦 = 5 Dengan demikian,

2𝑥 − 3𝑦 = 2×1 − 3×5 = 2 − 15 = −13

Jadi, nilai dari 2𝑥 − 3𝑦 adalah −13 (C).

14. Determinan Matriks

Diketahui persamaan matriks X 3 2

7 5 = 5 1 2 3

dengan matriks X berordo 2 × 2. Determinan matriks X adalah ....

A. 13 B. 28 C. 37 D. 53 E. 71

Pembahasan

Untuk menyel esaikan soal di atas, pahami kons ep berikut ini!

Untuk A, B, dan C adalah matriks, AB = C

A = C.B⁻¹

det A = (det C)/(det B)

Berdasarkan kons ep di atas, diperol eh:

X 3 2

7 5 = 5 1 2 3 X = 5 1

2 3 3 2

7 5

−1

det X = 5 1

2 3 3 2 7 5

=^{5×3 − 1×2}

3×5 − 2×7

= ^{15 − 2}

15 − 14

= 13

Jadi, determinan matriks X adalah 13 (A).

15. Barisan Aritmetika

Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua adal ah 8, suku keempat adalah 14, dan suku terakhir 23. Jumlah s emua suku barisan tersebut adalah ....

A. 56 B. 77 C. 98 D. 105

E. 112

Pembahasan

Diketahui:

U2 = 8 U4 = 14 Un = 23

Dengan memanfaatkan rumus suku ke-n diperol eh:

Un = a + (n − 1)b U2 = a + b = 8 ... (1) U4 = a + 3b = 14 ... (2)

Eliminasi persamaan (2) dan (1) diperoleh:

a + 3b = 14 a + b = 8 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − 2b = 6 b = 3

Subs titusi b = 3 ke persamaan (1) diperoleh:

a + b = 8 a + 3 = 8 a = 5

Sekarang kita tentukan banyakny a suku pada barisan aritmetika tersebut.

Un = 23 a + (n − 1)b = 23 5 + (n − 1)3 = 23 5 + 3n − 3 = 23 3n = 21 n = 7

Dengan demikian, jumlah ke-7 suku deret aritmetika tersebut adalah:

Sn = ½n(a + Un) S7 = ½ × 7(5 + 23) = ½ × 7 × 28 = 98

Jadi, jumlah semua suku barisan tersebut adalah 98 (C).

16. Penerapan Barisan Aritmetika

Aturan main:

Dalam kotak tersedia 10 bendera dan harus dipindahkan ke dalam botol yang ters edia satu demi satu (tidak sekaligus). Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol no. 10 untuk mengambil bendera dalam kotak. Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah ....

A. 164 meter B. 880 meter C. 920 meter D. 1.000 meter

E. 1.840 meter

Pembahasan

Untuk mempermudah analisis, kita hitung jarak tempuh dari kotak bendera. Misalkan Un adalah jarak tempuh dari kotak bendera ke botol n.

U1 = 10 U2 = 10 + 8 U3 = 10 + 2×8 U4 = 10 + 3×8

⋮

U10 = 10 + 9×8 = 82

Jarak tempuh ters ebut membentuk barisan aritmetika dengan:

a = 10 b = 8 n = 10

Jumlah U1 + U2 + U3 + ...+ U10, dalam deret aritmetika dikenal dengan Sn yang dirumuskan:

Sn = ¹

2 n (a + Un) S10 = ¹

2 ×10 (U1 + U10) = 5 (10 + 82) = 5 × 92 = 460

Sementara itu, peserta lomba menempuh jarak dari kotak bendera ke botol 1 kemudi an kembali ke kotak bendera (2×U1), selanjutnya menuju botol 2 dan kembali lagi ke kotak bendera (2× U2), dan seterusny a hingga botol 10.

Saat sampai di botol 10, pes erta tidak kembali ke kotak bendera lagi. Tetapi ingat, awal start dimulai dari botol 10 ke kotak bendera (2×U10).

Dengan demikian, jarak seluruh lintasan pes erta lomba adalah 2 kali S10.

jarak tempuh = 2 × S10 = 2 × 460 = 920

Jadi, jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah 920 meter (C).

17. Deret Geometri

Seorang pedagang pada bulan pertama menabung sebesar Rp20.000,00. Ternyata usahany a sukses sehingga tiap bul an ia menabung 1½ kali tabungan bulan sebelumnya. Besar uang yang ditabung pedagang ters ebut pada bulan keempat adalah ....

A. Rp151.875,00 B. Rp160.000,00 C. Rp162.500,00 D. Rp180.000,00 E. Rp196.000,00

Pembahasan

Soal di atas adal ah penerapan deret geometri dengan:

a = 20.000 r = 1¹

2 = ³

2

n = 4

Jumlah uang yang ditabung selama 4 bul an (S4) adal ah:

𝑆_𝑛=𝑎 𝑟^𝑛− 1 𝑟 − 1 𝑆₄=

20.000 ³₂ ⁴− 1

3 2− 1

=20.000 ⁸¹₁₆− 1

1 2

= 40.000 ×⁶⁵

16

= 162.500

Jadi, bes ar uang yang ditabung pedagang tersebut pada bul an keempat adalah Rp162.500,00 (C).

18. Persamaan Trigonometri

Himpunan penyel esaian dari pers amaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0° < x < 360°

adal ah ....

A. {60°, 120°, 150°}

B. {60°, 150°, 300°}

C. {90°, 210°, 300°}

D. {90°, 210°, 330°}

E. {120°, 250°, 330°}

Pembahasan

Langkah pertama adalah mengubah bentuk cos 2𝑥 menjadi:

cos 2𝑥 = 1 − 2 sin² 𝑥

Sehi ngga persamaan tri gonometri tersebut menjadi:

cos 2𝑥 + sin 𝑥 = 0

⇔ 1 − 2 sin² 𝑥 + sin 𝑥 = 0

⇔ 2 sin² 𝑥 − sin 𝑥 − 1 = 0

Persamaan trigonometri di atas berbentuk pers amaan kuadrat sehi ngga dapat difaktorkan menjadi:

(2 sin 𝑥 + 1)(sin 𝑥 − 1) = 0 sin 𝑥 = −¹

2 atau sin 𝑥 = 1

Sin 𝑥 yang bernilai negatif terjadi pada kuadran III dan kuadran IV.

sin 𝑥 = −¹

2

K.III 𝑥 = 180° + 30°

= 210°

K.IV 𝑥 = 360° − 30°

= 330°

(angka 30° diperol eh dari sin x = ½)

Sedangkan sin 𝑥 = 1 hanya terjadi sekali dalam interval 0° < 𝑥 < 360°.

sin 𝑥 = 1 𝑥 = 90°

Dengan demikian, himpunan penyelesai an pers amaan tri gonometri tersebut adalah:

{90°, 210°, 330°}

Jadi, himpunan penyelesai an dari pers amaan trigonometri tersebut adalah opsi (D).

19. Grafik Fungsi Trigonometri

Persamaan grafik fungsi tri gonometri berikut adalah ....

A. y = cos (2𝑥 − 30°) B. y = sin (2𝑥 + 30°) C. y = −cos (2𝑥 − 30°) D. y = −sin (2𝑥 − 30°)

E. y = −cos (2𝑥 + 30°)

Pembahasan

Grafik trigonometri pada soal di atas bisa merupakan grafik sinus maupun kosinus, tergantung fase awalnya. Perhatikan grafik berikut ini!

Pertama yang dapat kita ketahui dari grafik tersebut adal ah amplitudo (A) dan periode (T).

A = ±1 T = 180° = π

Periode dapat digunakan untuk menentukan bilangan gelombang (k).

k = ^2𝜋

𝑇

= ^2𝜋

𝜋

= 2

Anggap s aja grafik ters ebut adalah grafik sinus, maka fase awalny a θ0 = 30° dan amplitudonya adal ah A = 1. Persamaan grafik adalah:

y = A sin k(𝑥 – θ0) = 1 sin 2(𝑥 − 30°) = sin (2𝑥 − 60°)

Terny ata persamaan ini tidak ada pada pilihan jawaban. Berarti persamaan trigonometri yang dimaksud adalah pers amaan kosinus.

Fase awal pers amaan kosinus pada grafik di atas adal ah θ0 = −15° atau θ0 = 75°. Untuk fase awal 75°

sepertiny a tidak mungkin karena tidak ada opsi jawaban yang menunjukkan fase awal 75° atau kelipatannya. Jadi, sudah dapat dipas tikan fase awalny a adalah −15°.

Pada fase awal −15°, grafikny a dimulai dari bawah kemudi an bergerak ke atas. Hal ini berarti grafik kosinusnya adalah negatif atau amplitudonya A = −1.

y = A cos k(𝑥 − θo) = −1 cos 2(𝑥 − (−15°)) = −cos (2𝑥 + 30°)

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri berikut adal ah opsi (E).

20. Perbandingan Trigonometri

Nilai dari

sin 100° + sin 20°

cos 250° + cos 190°

adal ah ....

A. −1 B. −¹

3 3 C. ¹

3 3 D. 2

E. 3

Pembahasan

Untuk menyeles aikan soal di atas harus hafal dua rumus berikut ini.

sin A + sin B = 2 sin ½(A + B) cos ½(A − B) cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A − B) Berdasarkan rumus di atas, diperol eh:

sin 100° + sin 20° = 2 sin 60° cos 40°

cos 250° + cos 190° = 2 cos 220° cos 30°

Sehi ngga soal di atas menjadi:

sin 100° + sin 20°

cos 250° + cos 190° = 2 sin 60° cos 40°

2 cos 220° cos 30°

= cos 40°

cos 220°

Sudut 220° berada di kuadran III sehingga dapat disederhanakan menjadi:

cos 220° = cos (180° + 40°) = −cos 40°

Dengan demikian diperoleh:

cos 40°

cos 220° = cos 40°

− cos 40°

= −1

Jadi, nilai perbandingan tri gonometri tersebut adal ah −1 (A).

21. Aturan Sinus dan Kosinus

Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah 030° dan tiba di pelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan 150° dan tiba di pel abuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam.

Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adal ah ....

A. 200 2 mil B. 200 3 mil C. 200 6 mil D. 200 7 mil

E. 600 mil

Pembahasan

Diketahui:

tAB = 4 jam

tBC = 20.00 − 12.00 = 8 jam

v = 50 mil/jam

Jarak tempuh dari pelabuhan A ke pelabuhan B adal ah:

sAB = v . tAB

= 50 mil/jam × 4 jam = 200 mil

Sedangkan jarak tempuh dari pelabuhan B ke pelabuhan C adalah:

sBC = v . tBC

= 50 mil/jam × 8 jam = 400 mil

Perhatikan perjalanan kapal berikut i ni!

Berdasarkan gambar di atas, jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pel abuhan A (sAC) dapat ditentukan dengan aturan kosinus segitiga.

sAC2 = sAB2 + sBC2 − 2 . sAB . sBC . cos B = 200² + 400² − 2 × 200 × 400 cos 60°

= 40.000 + 160. 000 − 80.000 = 120. 000

sAC = 120.000 = 40.000 × 3 = 200 3

Jadi, jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah 200 3 mil (B).

22. Dimensi Tiga (jarak titik ke garis)

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak dari titik E ke garis BD adal ah ...

A. 8 6 cm B. 8 3 cm C. 8 2 cm D. 4 6 cm E. 4 3 cm

Pembahasan

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini!

A

B

C 30

30

150

120

60 180

s

AB

s

BC

s

AC

AC adalah diagonal bidang, sedangkan AO adalah setengah diagonal AC.

AC = 𝑎 2 = 8 2

AO = ¹

2 AC = ¹

2× 8 2 = 4 2

Jarak ti tik E ke garis BD adalah garis EO. Pandanglah segitiga AOE.

EO = AE²+ AO²

= 8²+ 4 2 ²

= 4 2²+ 2 ²

= 4 4 + 2

= 4 6

Jadi, jarak dari titik E ke garis BD adalah 4 6 cm (D).

23. Dimensi Tiga (sudut antara garis dan bidang)

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan AB = 16 cm.

Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bi dang BDHF adalah ....

A. ¹

2

B. ¹

3 3 C. ¹

2 2 D. ¹

2 3 E. ¹

3 6

Pembahasan

Perhatikan terbentuknya sudut antara garis AH dan bidang BDHF berikut ini!

Garis AH dan bidang BDHF bertemu di titik H. Dari titik H ini ditarik garis pertolongan hingga terbentuk sudut α.

Garis AH adal ah diagonal bidang.

AH = 𝑎 2 = 16 2

Sedangkan garis HB adalah di agonal ruang.

HB = 𝑎 3 = 16 3