Segitiga Siku-siku

Jika Anda jeli, segitiga ABH adalah segiti ga siku-siku di A.

Dengan demikian, nilai sin α adalah:

sin 𝛼 =AB HB

= 16 16 3

= 1 3

=¹

3 3

Jadi, nilai sinus sudut antara garis AH dengan bi dang BDHF adalah ¹₃ 3 (B).

24. Transformasi Geometri

Persamaan bayang kurva 𝑦 = 3𝑥²+ 2𝑥 − 1 oleh pencermi nan terhadap sumbu x y ang dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah ....

A. 𝑦 = −3𝑥²− 2𝑥 − 1 B. 𝑦 = −3𝑥²− 2𝑥 + 1 C. 𝑦 = −3𝑥²+ 2𝑥 − 1 D. 𝑦 = 3𝑥²+ 2𝑥 + 1 E. 𝑦 = 3𝑥²− 2𝑥 + 1

Pembahasan

Mencerminkan terhadap sumbu 𝑥 dilanjutkan dengan mencerminkan terhadap sumbu 𝑦 sama saja dengan mencerminkan terhadap pangkal koordinat atau memutar 180°. Sehingga bayangan dan benda akan s aling bertolak belakang. Secara matematis dapat dinotasikan:

(𝑥, y)  (−𝑥, −y) Sehi ngga diperoleh:

𝑥' = −𝑥 atau 𝑥 = −𝑥' ... (1) 𝑦' = −𝑦 atau 𝑦 = −𝑦' ... (2)

Persamaan bayangan kurva y diperoleh dengan cara substitusi persamaan (1) dan (2) pada kurva y.

kurva : 𝑦 = 3𝑥²+ 2𝑥 − 1 bayangan: −𝑦' = 3(−𝑥')² + 2(−𝑥') − 1 = 3(𝑥')² − 2𝑥' − 1 𝑦' = −3(𝑥')² + 2𝑥' + 1

Jadi, persamaan bayangan kurva tersebut adalah 𝑦 = −3𝑥²+ 2𝑥 − 1 (C).

25. Lingkaran

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 − 4𝑦 − 15 = 0 yang s ejajar dengan garis 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 adalah ....

A. 2𝑥 + 𝑦 + 10 = 0 B. 2𝑥 + 𝑦 + 6 = 0

C. 2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0 D. 2𝑥 + 𝑦 − 6 = 0

E. 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus suatu garis dirumuskan sebagai:

𝑦 − 𝑘 = 𝑚(𝑥 − 𝑕) ± 𝑟 𝑚²+ 1

dengan (h, k) adalah pusat lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran, dan m adalah gradien garis singgung.

16 16 3 16 2

𝛼

A B

H

𝑥 = 6 𝑟 = 3 𝑦

𝛼 cos 𝛼 =𝑥

𝑟 = 6 3

Kita tentukan dulu pus at dan jari-jari lingkaran dengan cara membandingkan dengan bentuk umumny a.

𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 − 4𝑦 − 15 = 0

Dengan membandingkan bentuk umumnya diperoleh:

A = 2 B = −4 C = −15

Adapun pusat dan jari-jari lingkaran dirumuskan:

pusat: (−¹

2A, −¹

2B) (−¹

2×2, −¹

2×(−4)) (−1, 2)

jari-jari : 𝑟 = ¹

4 𝐴²+ 𝐵² − 𝐶

= ¹

4 2²+ −4 ² − −15

= ¹

4 4 + 16 + 15

= 20

= 2 5

Garis singgung lingkaran sejajar dengan garis 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0, berarti gradien garis singgung sama dengan gradien garis tersebut.

Gradien garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 dirumuskan:

𝑚 = −𝑎 𝑏

Sehi ngga gradi en garis 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 adalah:

𝑚 = −2 1

= −2

Dengan demikian, pers amaan garis singgung lingkaran tersebut adalah:

𝑦 − 𝑘 = 𝑚(𝑥 − 𝑕) ± 𝑟 𝑚²+ 1 𝑦 − 2 = −2(𝑥 + 1) ± 2 5 −2 ²+ 1 𝑦 − 2 = −2𝑥 − 2 ± 10

𝑦 = −2𝑥 ± 10

Sekarang tinggal menguraikan nilai plus dan minus pada persamaan tersebut

𝑦 = −2𝑥 + 10 2𝑥 + 𝑦 − 10 = 0 dan

𝑦 = −2𝑥 − 10 2𝑥 + 𝑦 + 10 = 0

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran adal ah 2𝑥 + 𝑦 + 10 = 0 (A).

26. Limit Fungsi Aljabar

Nilai dari

𝑥 →∞lim 4𝑥²+ 4𝑥 − 3 − 2𝑥 − 5 adal ah ....

A. −6 B. −4 C. −1 D. 4

E. 6

Pembahasan

Bentuk umum dari limit tersebut adalah:

𝑥 →∞lim 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑎𝑥²+ 𝑑𝑥 + 𝑒 =𝑏 − 𝑑 2 𝑎 Limit fungsi pada soal di atas harus diupay akan agar mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk umum. Caranya dengan mengubah (2 𝑥 − 5) menjadi bentuk akar.

2𝑥 − 5 = 2𝑥 − 5 ²

= 4𝑥²− 20𝑥 + 25

Dengan demikian bentuk limit fungsi tersebut menjadi:

𝑥 →∞lim 4𝑥²+ 4𝑥 − 3 − 4𝑥²− 20𝑥 + 25 Berdasarkan bentuk umum ini diperoleh:

a = 4 b = 4 c = −3 d = −20 e = 25

Sehi ngga hasil dari limit ters ebut adalah:

𝑏 − 𝑑

2 𝑎 =4 − −20 2 4

=24 4

= 6

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut adalah 6 (E).

27. Limit Fungsi Trigonometri

Nilai dari lim 1 − cos 𝑥

tan²2𝑥

adal ah ....

A. ¹

8

B. ¹

4

C. ¹

2

D. 1 E. 2

Pembahasan

Prinsip utama menyelesaikan limit fungsi trigonometri adalah menerapkan bahwa:

sin 𝑥 = tan 𝑥 = 𝑥

Dengan prinsip tersebut, bentuk kosinus harus diubah menjadi bentuk sinus. Perhatikan rumus cos 2𝑥 berikut ini.

cos 2𝑥 = 1 − 2 sin²𝑥

Analogi bentuk tersebut diperoleh:

cos 𝑥 = 1 − 2 sin^{2 1}

2𝑥 Sehi ngga diperoleh:

1 − cos 𝑥 = 2 sin^{2 1}

2𝑥

Dengan demikian, limit fungsi trigonometri di atas dapat diubah menjadi :

lim𝑥 →0

1 − cos 𝑥 tan²2𝑥 = lim

𝑥 →0

2 sin^{2 1}₂𝑥 tan²2𝑥

Sekarang bentukny a sudah dal am sinus dan tangens.

Kita tinggal menggantinya dengan 𝑥 saja.

sin^{2 1}

2𝑥 = ¹

2𝑥 ² tan² 2𝑥 = 2𝑥 ² Sehi ngga diperoleh:

lim𝑥 →0

2 sin^{2 1}₂𝑥 tan²2𝑥 = lim

𝑥 →0

2 ¹₂𝑥 ² 2𝑥 ²

=2 ×¹₄ 4

=1 8

Jadi, nilai dari limit fungsi tri gonometri tersebut adal ah 1/8 (A).

28. Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan pertama dari fungsi 𝑓 𝑥 = cos⁵ 𝜋 − 2𝑥 adal ah ...

A. 𝑓′ 𝑥 = 5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 sin 2𝜋 − 4𝑥 B. 𝑓′ 𝑥 = 5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 sin 𝜋 − 2𝑥 C. 𝑓′ 𝑥 = 5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 cos 2𝜋 − 4𝑥

D. 𝑓′ 𝑥 = −5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 sin 2𝜋 − 4𝑥 E. 𝑓′ 𝑥 = −5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 sin 𝜋 − 2𝑥

Pembahasan

Soal di atas adalah turunan berantai. Hal ini karena di dalam fungsi f(x) terdapat 3 fungsi, yaitu fungsi (π

− 2x), fungsi kosinus, dan fungsi pangkat 5.

Keti ga fungsi tersebut harus diturunkan satu per satu kemudi an di rangkai jadi satu.

 turunan 𝜋 − 2𝑥 = −2

 turunan kosinus = −sin 𝜋 − 2𝑥

 turunan pangkat 5 = 5 cos⁴ 𝜋 − 2𝑥 Sehi ngga turunan fungsi 𝑓 𝑥 adalah:

𝑓′ 𝑥 = −2 − sin 𝜋 − 2𝑥 5 cos⁴ 𝜋 − 2𝑥

= 2 sin 𝜋 − 2𝑥 ∙ 5 cos⁴ 𝜋 − 2𝑥

Terny ata pada opsi jawaban tidak ada fungsi kosinus pangkat 4. Rupanya kita diarahkan untuk memecah fungsi kosinus pangkat 4 menjadi pangkat 3 dan pangkat 1. Kemudi an fungsi kosinus yang pangkat satu dipadukan dengan fungsi sinus s esuai dengan rumus :

2 sin A cos A = sin 2A

Dengan demikian, turunan fungsi f(x) tersebut dapat dilanjutkan menjadi:

𝑓′ 𝑥 = 2 sin ( 𝜋 − 2𝑥 5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 cos 𝜋 − 2𝑥 = 5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 2 sin 𝜋 − 2𝑥 cos 𝜋 − 2𝑥 = 5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 sin 2 𝜋 − 2𝑥

= 5 cos³ 𝜋 − 2𝑥 sin 2𝜋 − 4𝑥

Jadi, turunan pertama dari fungsi trigonometri tersebut adalah opsi (A).

29. Aplikasi Turunan Fungsi

Persamaan garis singgung kurv a 𝑦 = 2𝑥²− 3𝑥 + 5 melalui titik berabsis 2 pada kurva tersebut adalah ....

A. 𝑦 = 5𝑥 + 5 B. 𝑦 = 5𝑥 − 3 C. 𝑦 = 5𝑥 − 17 D. 𝑦 = 4𝑥 + 3

E. 𝑦 = 4𝑥 − 3

Pembahasan

Persamaan umum garis singgung adalah:

𝑦 − 𝑦₁= 𝑚 𝑥 − 𝑥₁

dengan 𝑥₁ dan 𝑦₁ berturut-turut adalah absis dan ordinat titik singgung. Pada soal diketahui absis 𝑥₁= 2. Ordinatnya dapat dicari dengan subs titusi absis pada kurva 𝑦.

𝑦 = 2𝑥²− 3𝑥 + 5 𝑦₁= 2 × 2²− 3 × 2 + 5

= 8 − 6 + 5

= 7

Sedangkan 𝑚 adalah gradien garis singgung. Gradien garis singgung merupakan turunan fungsi 𝑦. Nilai 𝑚 dapat ditentukan dengan substitusi absis 𝑥 = 2.

𝑦 = 2𝑥²− 3𝑥 + 5 𝑚 = 𝑦^′

= 4𝑥 − 3

= 4 × 2 − 3

= 8 − 3

= 5

Dengan demikian, pers amaan garis singgung kurv a y adal ah:

𝑦 − 𝑦1= 𝑚 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 7 = 5 𝑥 − 2 𝑦 − 7 = 5𝑥 − 10

𝑦 = 5𝑥 − 3

Jadi, pers amaan garis singgung kurv a tersebut adal ah 𝑦 = 5𝑥 − 3 (B).

30. Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem

Sebi dang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar.

Batas tanah yang dibatasi pagar adal ah y ang ti dak bertembok. Kawat y ang tersedia 800 meter.

Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?

A. 80.000 m². B. 40.000 m². C. 20.000 m². D. 5.000 m².

E. 2.500 m².

Pembahasan

Kawat berduri 800 meter di gunakan sebagai pagar.

Sesuai gambar, pagar kawat tersebut terdi ri dari 4 lapis. Sehingga keliling pagar tersebut adalah:

K = 800 m : 4 = 200 m

Sekarang perhatikan gambar berikut i ni!

Area tanah y ang dipagar hanya 3 sisi, yaitu panjang dan 2 kali lebar tanah. Sehingga keliling pagar tersebut adalah:

K = p + 2l 200 = p + 2l

p = 200 − 2l .... (1)

Sementara itu, luas tanah yang di pagar adalah:

L = p . l

Subs titusi persamaan (1) ke luas tanah di peroleh:

L = (200 − 2l) . l = 200l − 2l²

Luas tanah akan maksimum saat L' = 0.

L' = 0 200 − 4l = 0 4l = 200 l = 50

Subs titusi l = 50 ke persamaan (1) diperoleh:

p = 200 − 2l = 200 − 2×50 = 100

Dengan demikian, luas maksimum tercapai jika p = 100 m dan l = 50 m.

L = p . l = 100 × 50 = 5.000

Jadi, luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedi a adalah 5.000 m² (D).

31. Integral Parsial

Hasil dari 𝑥 3𝑥 − 5 ⁴𝑑𝑥 = ....

A. − ¹

54 1 + 3𝑥 3𝑥 − 5 ⁵+ C B. − ¹

108 1 + 3𝑥 3𝑥 − 5 ⁵+ C C. − ¹

270 1 + 3𝑥 3𝑥 − 5 ⁵+ C D. ¹

108 1 + 3𝑥 3𝑥 − 5 ⁵+ C E. ¹

54 1 + 3𝑥 3𝑥 − 5 ⁵+ C 𝑝

𝑙 𝑙

Pembahasan

Jenis integral pada soal di atas adalah integral parsial. Ciriny a, pangkat x di luar dan di dalam kurung adalah sama (untuk integral fungsi aljabar).

Metode penyelesai an integral parsial yang paling mudah adalah metode Tanzalin. Pertama, ki ta pisahkan menjadi 2 fungsi. Fungsi yang sederhana kita turunkan sedangkan fungsi yang lebih rumit kita integralkan. Perhatikan bagan berikut!

𝑥 3𝑥 − 5 ⁴𝑑𝑥

Hasil dari integral tersebut adal ah perkalian miring sebagaimana yang di tunjukkan oleh garis biru.

Perkalian pertama dikalikan positif sedangkan yang kedua dikalikan negatif. Diperoleh:

1

15𝑥 3𝑥 − 5 ⁵− ¹

270 3𝑥 − 5 ⁶+ C

Sampai di sini hasil integral parsial di atas sudah selesai. Namun hasil tersebut tidak ada pada opsi jawaban. Berarti dibutuhkan kemampuan aljabar untuk menguraikan hasil tersebut agar sesuai dengan bentuk yang tersedi a pada pilihan jawaban.

Coba perhatikan hasil integral di atas. Suku pertama mengandung 3𝑥 − 5 ⁵ dan suku kedua 3𝑥 − 5 ⁶.

32. Integral Tentu

Nilai dari 2𝑥₋₁^{1 2}− 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 = .... diberi batas sehingga hasilnya adalah angka tertentu (tidak mengandung vari abel dan konstanta integrasi C). Oleh karena i tu, integral tersebut sering disebut integral batas atau integral tentu.

Proses i ntegralny a sangat mudah, tetapi harus hati-hati dan teliti saat memasukkan batas. Apalagi jika melibatkan batas -batas negatif. Berikut ini langkah-langkahny a. batas-batasnya. Kak Ajaz lebih suka memasukkan batas-batas per suku. Artiny a, setiap suku langsung

Jadi, hasil dari integral tentu tersebut adalah ²²

3 (A).

33. Integral Substitusi Trigonometri

Hasil dari sin²2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ....

Pembahasan

Integral pada soal di atas termasuk integral substitusi. Cara cukup mudah.

Integral di atas terdiri dari 2 fungsi, yaitu fungsi sinus dan kosinus. Yang mempunyai pangkat lebih tinggi adalah fungsi sinus, maka gantilah 𝑑𝑥 dengan 𝑑 sin 2𝑥 [tanpa pangkat]. Kemudian bagilah dengan turunan dari sin 2𝑥.

sin²2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

= sin²2𝑥 cos 2𝑥^{𝑑 sin 2𝑥}

2 cos 2𝑥

=¹

2 sin²2𝑥 𝑑 sin 2𝑥

=¹

2∙¹

3sin³2𝑥 + C

=¹

6sin³2𝑥 + C

Jadi, hasil dari integral fungsi trigonometri tersebut adal ah opsi (D).

34. Integral Substitusi Aljabar

Hasil dari 6𝑥 − 9 𝑥²− 3𝑥 − 5𝑑𝑥 adal ah ....

A. 2 𝑥²− 3𝑥 − 5 + C B. 3 𝑥²− 3𝑥 − 5 + C C. 6 𝑥²− 3𝑥 − 5 + C D. 9 𝑥²− 3𝑥 − 5 + C E. 18 𝑥²− 3𝑥 − 5 + C

Pembahasan

Integral di atas juga termasuk integral substi tusi.

Cirinya, pangkat 𝑥 tertinggi dari kedua fungsi bers elisih 1.

Carany a juga mudah. Pertama, ubah dulu fungsi akar menjadi fungsi pangkat.

6𝑥 − 9 𝑥²− 3𝑥 − 5𝑑𝑥

= 6𝑥 − 9 𝑥²− 3𝑥 − 5 ⁻¹²𝑑𝑥

Kedua, ubah 𝑑𝑥 menjadi 𝑑 𝑥²− 3𝑥 − 5 [tanpa pangkat] kemudian bagi dengan turunannya.

Jadi, hasil dari integral substi tusi fungsi aljabar tersebut adalah opsi (C).

35. Aplikasi Integral (luas daerah)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥², 𝑦 = 𝑥²− 6𝑥, garis 𝑥 = 0, dan 𝑥 = 4 adalah ....

A. 27²

3 satuan luas B. 32¹

3 satuan luas C. 37¹

3 satuan luas D. 39²

3 satuan luas E. 41¹

3 satuan luas

Pembahasan

Misalkan kurva yang pertama adalah 𝑦₁ = 4𝑥 − 𝑥². Kurv a 𝑦₁ adalah parabol a terbuka ke baw ah (koefisien 𝑥²-nya negatif) dan memotong sumbu 𝑥 di 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 4 (cari dengan rumus 𝑦₁ = 0).

Sedangkan kurva kedua, 𝑦₂ = 𝑥²− 6𝑥, adalah kurva parabola terbuka ke atas serta memotong sumbu 𝑥 di 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 6.

Perhatikan gambar daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut serta garis 𝑥 = 0, dan 𝑥 = 4.

Berdasarkan grafik di atas, luas daerah yang di arsir dibatasi oleh garis 𝑥 = 0, dan 𝑥 = 4. Posisi 𝑦₁ lebih atas daripada 𝑦₂. Sehingga luas daerah tersebut dirumuskan:

0 4 6 𝑥

𝑦 𝑥 = 4

𝑦₂= 𝑥²− 6𝑥

𝑦₁= 4𝑥 − 𝑥²

𝐿 = 𝑦₁− 𝑦₂

Hasil dari integral tersebut adal ah:

𝐿 = 5𝑥²−²

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 37⅓ satuan luas (C).

36. Peluang Kejadian

Di sebuah toko tersedi a 1 lusin lampu, 2 di antarany a rusak. Ada 3 orang akan membeli masing-masing 1 l ampu. Peluang pembeli keti ga mendapatkan lampu rusak adalah ....

A. ¹ mendapatkan lampu rusak bergantung pada pembeli pertama dan kedua. Ada 3 kemungkinan pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak.

P1 : Pembeli I mendapatkan lampu baik, pembeli II mendapatkan lampu baik, dan pembeli III mendapatkan lampu rusak.

𝑃1=¹⁰ 10. Ketika pembeli II membeli, jumlah lampu tinggal 11 dan yang baik tinggal 9. Ketika pembeli keti ga membeli, jumlah lampu tinggal 9 dan yang rusak masih 2 karena pembeli I dan II mendapatkan lampu baik.

Ok, lanjut!

P2 : Pembeli I mendapatkan lampu baik, pembeli II mendapatkan lampu rusak, dan pembeli III mendapatkan lampu rusak.

𝑃₂=¹⁰

P3 : Pembeli I mendapatkan lampu rusak, pembeli II mendapatkan lampu baik, dan pembeli III mendapatkan lampu rusak.

𝑃3= ²

Dengan demikian, peluang pembeli keti ga mendapatkan lampu rusak adalah peluang P1, P2,

Jadi, peluang pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adal ah 1/6 (D).

37. Statistika (ukuran pemusatan)

Modus dari data yang disajikan dalam histogram

Pembahasan

Untuk menentukan modus digunakan rumus:

𝑀_𝑜 = 𝑡_𝑏 + 𝑑₁ 𝑑₁+ 𝑑₂𝑖

Perhatikan penentuan bes aran-bes aran modus berikut ini!

Bagian yang diarsir biru adal ah kelas modus.

Berdasarkan histogram di atas, diperol eh:

tb = 44,5 d1 = 12 − 8 = 4 d2 = 12 − 6 = 6

i = 34,5 − 29,5 = 5

Dengan demikian, modus data ters ebut adalah:

𝑀_𝑜 = 𝑡_𝑏 + 𝑑₁ 𝑑₁+ 𝑑₂𝑖

= 44,5 + 4 4 + 6× 5

= 44,5 + 2

= 46,5

Jadi, modus dari data yang disajikan dalam histogram di atas adalah 46,5 (B).

38. Statistika (Ukuran Letak)

Perhatikan data pada tabel berikut!

Nilai Frekuensi

31 – 40 3

41 – 50 5

51 – 60 10 61 – 70 11

71 – 80 8

81 – 90 3

Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah ....

A. 48,5 B. 51,5 C. 52,5 D. 54,5 E. 58,5

Pembahasan

Kuartil bawah atau disebut juga Q1 di rumuskan sebagai:

𝑄₁= 𝑡_𝑏+

1 4𝑁 − 𝑓_𝑘

𝑓 𝑖

Perhatikan penentuan besaran-besaran kuartil bawah berikut ini!

Kuartil bawah terletak pada data ke ¼N (data yang berarsir biru). Berdasarkan tabel di atas diperoleh:

tb = 51 − 0,5 = 50,5 f = 10 fk = 3 + 5 = 8 i = 41 − 31 = 10

Dengan demikian, kuartil bawah data tersebut adal ah:

𝑄1= 𝑡𝑏+

1 4𝑁 − 𝑓_𝑘

𝑓 𝑖

= 50,5 +

1

4× 40 − 8 10 × 10

= 50,5 + 2

= 52,5

Jadi, kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adal ah 52,5 (C).

39. Kaidah Pencacahan dan Permutasi

Dari angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka yang berbeda. Banyak bilangan yang lebih dari 4.000 adal ah ....

A. 120 B. 180 C. 240

Nilai Frekuensi 31 – 40 3 41 – 50 5 51 – 60 10 61 – 70 11 71 – 80 8 81 – 90 3

N = 40

𝑓𝑘

𝑓 𝑡_𝑏

𝑖 𝑑₂

𝑑₁

𝑡_𝑏 𝑖

D. 360 E. 720

Pembahasan

Cara I: Permutasi

Bilangan 4 angka yang disusun dari 6 angka adalah:

𝑃₄

6 = 6!

6 − 4 !

=6 × 5 × 4 × 3 × 2!

2!

= 6 × 5 × 4 × 3

= 360

Bilangan 4 angka yang lebih dari 4.000 tentu saja bilangan yang berkepala 4, 5, 6, dan 7 (ada 4 angka).

Sedangkan seluruh angka yang disusun terdi ri dari 6 angka. Sehingga banyak bilangan yang lebih dari 4.000 adalah:

4

6× ₆𝑃₄=⁴

6× 360

= 240

Cara II: Kaidah Pencacahan

Perhatikan susunan bilangan 4 angka berikut i ni!

ribuan:

Karena harus lebi h dari 4.000 maka angka yang harus mengisi posisinya adalah 4, 5, 6, dan 7 (ada 4 angka)

ratusan:

Semua angka boleh mengisi posisi ini, tetapi karena 1 angka telah menempati posisi ribuan maka ba nyak angka yang menempati posisi ratusan ada 5 angka (6

− 1).

puluhan:

Semua angka boleh mengisi posisi ini, tetapi karena 2 angka telah menempati posisi ribuan dan ratus an maka banyak angka yang menempati posisi puluhan ada 4 angka (6 − 2).

satuan:

Semua angka boleh mengisi posisi ini, tetapi karena 3 angka telah menempati posisi ribuan, ratusan, dan puluhan maka banyak angka yang menempati posisi satuan ada 3 angka (6 − 3).

Dengan demikian, banyak bilangan 4 angka tersebut adal ah:

4 × 5 × 4 × 3 = 240

Jadi, banyak bilangan yang l ebih dari 4.000 adalah 240 (C).

40. Kombinasi

Dalam sebuah ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Peserta uji an wajib mengerjakan soal nomor 1, 3, dan 5 serta harus mengerjakan 8 dari 10 soal. Banyak cara peserta ujian memilih soal yang dikerjakan adalah ....

A. 21 B. 28 C. 45 D. 48 E. 56

Pembahasan

Dari 10 soal wajib dikerjakan 8 soal. 3 soal sudah pasti dikerjakan (nomor 1, 3, dan 5). Sehingga sisa soal tinggal 7 dan soal yang harus dikerjakan tinggal 5.

Banyak cara memilih soal adalah:

𝐶₈₋₃

10−3 = ₇𝐶₅

= 7!

5! 7 − 5 !

=7 × 6 × 5!

5! 2!

=42 2

= 21

Jadi, banyak cara pes erta ujian memilih soal yang dikerjakan adalah 21 cara (A).

ooo0ooo

ribuan ratusan puluhan satuan