1. Penarikan Kesimpulan
Diketahui premis-premis berikut:
(1) Saya bermain atau say a tidak gagal dalam uji an.
(2) Saya gagal dalam ujian.
Kesimpulan yang s ah dari premis-premis tersebut adal ah ...
A. Saya tidak bermain dan saya gagal dalam ujian.
B. Jika saya bermain maka saya ti dak gagal dalam ujian.
C. Saya bermain.
D. Saya belajar.
E. Saya tidak bermain.
Pembahasan
Mengerjakan soal logika matematika tidak boleh menggunakan perasaan atau penalaran di luar kepal a, tetapi harus dianalisis secara matematis. Ok, kita misalkan terlebih dahulu bagian-bagi an dari kedua premis tersebut.
p : Saya bermain.
q : Say a gagal dalam uji an.
Sekarang kita analisis masing-masing premis.
Premis 1 : Saya bermain atau say a tidak gagal dalam ujian.
≡ p ∨ ~q
Premis 2 : Saya gagal dalam ujian.
≡ q
Premis 1 berbentuk disjungsi. Agar bisa ditarik kesimpulan, bentuknya harus diubah menjadi implikasi. Kesetaraan antara disjungsi dan implikasi adal ah
p ∨ q ≡ ~p ⇒ q
Berdasarkan kesetaraan di atas, diperoleh p ∨ ~q ≡ ~p ⇒ ~q
Setelah premis 1 sudah dalam bentuk implikasi, kita dapat menarik kesimpulan dari premis 1 dan 2 dengan menggunakan modus Tollens.
~p ⇒ ~q q
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
∴ p (Say a bermai n)
Jadi, kesimpulan yang s ah dari dua premis tersebut adal ah 'Saya bermain' (C).
2. Ekuivalensi
Pernyataan yang s etara dengan perny ataan "Jika semua siswa kelas XII Ujian Nasional maka semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah" adalah ...
A. Semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah dan siswa kelas XII Ujian Nasional.
B. Beberapa siswa kel as XII Uji an Nasional atau beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.
C. Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau semua siswa kelas X dan XI bel ajar di rumah.
D. Semua siswa kelas XII Ujian Nasional dan beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.
E. Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.
Pembahasan
Misal:
p : Siswa kelas XII Ujian Nasional.
q : Siswa kelas X dan XI belajar di rumah.
Pernyataan "Jika semua siswa kelas XII Uji an Nasional maka semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah" dapat dinotasikan menjadi
∀p ⇒ ∀q
Pernyataan y ang setara atau ekuival en dengan implikasi tersebut adalah
∀p ⇒ ∀q ≡ ∃~q ⇒ ∃~p (kontraposisi)
∀p ⇒ ∀q ≡ ∃~p ∨ ∀q (negasi dua kali) Berdasarkan ekuivalensi ters ebut, perny ataan yang setara dengan pernyataan di atas adalah
Jika beberapa siswa kelas X dan XI tidak belajar di rumah maka beberapa siswa kelas XII ti dak Ujian Nasional.
Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau semua siswa kelas X dan XI bel ajar di rumah.
Jadi, perny ataan y ang tepat adal ah opsi (C).
3. Perpangkatan
Bentuk sederhana dari 4𝑥52 𝑦−73 𝑧−34
2𝑥−32 𝑦23 𝑧54
2
adal ah ....
A. 2𝑥4
Langkah pertama adal ah mengubah pangkat negatif menjadi pangkat positif. Cara dengan mengubah letak, bila bilangan yang berpangkat negatif letaknya pada posisi pembilang maka dengan mengubah letak ke posisi penyebut pangkatnya akan menjadi positif.
Demikian juga sebaliknya. Langkah berikutnya tinggal menjumlah pangkat masing-masing.
4𝑥52 𝑦−73 𝑧−34
Jadi, bentuk sederhana dari perpangkatan tersebut adal ah opsi (E).
Perhatikan pembilangnya! Pembilangnya berbentuk (a + b) (a − b) sehingga dapat disederhanakan menjadi
(a + b)(a − b) = a2 − b2 5 + 3 5 − 3 = 5 − 3
= 2
Untuk sementara bentuk sederhana dari bentuk akar tersebut adalah
5 + 3 5 − 3
3 + 2 = 2
3 + 2
Bentuk ini dapat disederhanakan lagi dengan cara mengalikan bilangan sekawan dari penyebutnya.
2 menyederhanakan bentuk di atas.
3
6. Akar Persamaan Kuadrat Baru
Persamaan kuadrat 𝑥2+ 6𝑥 − 5 = 0 akar-akarny a α dan β. Pers amaan kuadrat y ang akar-akarnya (α + 2) dan (β +2) adalah ....𝑥2+ 2𝑥 − 13 = 0
A. 𝑥2+ 2𝑥 − 13 = 0 B. 𝑥2+ 2𝑥 + 13 = 0 C. 𝑥2− 2𝑥 − 13 = 0 D. 𝑥2+ 2𝑥 − 21 = 0 E. 𝑥2− 2𝑥 − 21 = 0
Pembahasan
Cara 1
Persamaan kuadrat 𝑥2+ 6𝑥 − 5 = 0 akar-akarny a α dan β, diperoleh
α + β = −𝑏
𝑎 = −6 α . β = 𝑐
𝑎 = −5
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarny a (α + 2) dan (β +2) adalah
𝑥2−𝑝𝑥 +𝑞= 0
dengan p = (α + 2) + (β +2) dan q = (α + 2) . (β +2) Mari kita tentukan nilai 𝑝 dan 𝑞.
p = (α + 2) + (β +2) = (α + β) + 4 = −6 + 4 = −2
q = (α + 2) . (β +2) = αβ + 2α + 2β + 4 = αβ + 2(α + β) + 4 = −5 + 2.(−6) + 4 = −13
Dengan demikian, pers amaan kuadrat baru tersebut adal ah:
𝑥2−𝑝𝑥 +𝑞= 0 𝑥2+ 2𝑥 − 13 = 0
Cara 2
Akar persamaan kuadrat lama : α dan β
Akar persamaan kuadrat baru : (α + 2) dan (β + 2) Misal 𝑥 = α + 2
maka α = 𝑥 − 2
Persamaan kuadrat lama : 𝑥2+ 6𝑥 − 5 = 0 Persamaan kuadrat baru : 𝛼2+ 6𝛼 − 5 = 0
Subs titusi α = 𝑥 − 2 pada persamaan kuadrat baru:
α2 + 6α − 5 = 0 (𝑥 − 2)2 + 6(𝑥 − 2) − 5 = 0 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 6𝑥 − 12 − 5 = 0 𝑥2 + 2𝑥 − 13 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru dari pers amaan kuadrat ters ebut adalah 𝑥2+ 2𝑥 − 13 = 0 (A).
7. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Agar persamaan kuadrat 𝑚 − 5 𝑥2− 4𝑚𝑥 + 𝑚 − 2 = 0 mempunyai dua akar real, batas-batas nilai 𝑚 yang memenuhi adalah ....
A. m > 10
3 atau m < 1 B. m ≥ 10
3 atau m ≤ −1 C. m ≥ 1 atau m ≤ −10
3
D. m > 10
3 atau m < −1 E. m > 1 atau m < −10
3
Pembahasan
Dari pers amaan kuadrat (m − 5)x2 − 4mx + m − 2 = 0 diperoleh data:
a = m − 5, b = −4m, c = m − 2.
Syarat agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar real adalah
D ≥ 0 b2 − 4ac ≥ 0 (−4m)2 − 4(m − 5)(m − 2) ≥ 0 16m2 − 4(m2 − 7m + 10) ≥ 0 12m2 + 28m − 40) ≥ 0
3m2 + 7m − 10) ≥ 0 (3m + 10) (m − 1) ≥ 0
Sekarang tinggal membuat garis bilanganny a.
Berdasarkan garis bilangan pertidaks amaan tersebut diperoleh
m ≥ 1 atau m ≤ −10/3
Jadi, batas-batas nilai m agar pers amaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real adalah opsi (C).
8. Persamaan Linear
Di sebuah toko buah, Malik, Aziz, Sulasmini, dan Ani berbelanja. Malik membeli 2 kg jeruk, 1,5 kg mangga,
dan 1 kg jambu s eharga Rp72.000,00. Aziz membeli 3 kg jeruk, 1/2 kg mangga, dan 1/2 kg jambu seharga Rp61.000,00. Sul asmini membeli 1 kg jeruk, 2 kg mangga, dan 2 kg jambu s eharga Rp79.000,00.
Jika Ani membeli 1/2 kg jeruk, 1,5 kg mangga, dan 1 kg jambu maka i a harus membay ar sebesar ....
A. Rp49. 500,00 B. Rp47. 500,00 C. Rp35. 000,00 D. Rp32. 500,00 E. Rp29. 500,00
Pembahasan
Kita misalkan terlebih dahulu.
x : jeruk y : mangga z : jambu
Selanjutnya kita buat pers amaan matematikanya.
Malik : 2𝑥 + 1,5y + z = 72.000 ... (1) Aziz : 3𝑥 + 0,5y + 0, 5z = 61. 000 ... (2) Sulasmini : 𝑥 + 2y + 2z = 79.000 ... (3) Ani : 0,5𝑥 + 1,5y + z = ?
Perhatikan persamaan (2) dan (3). Koefisien y dan z pada kedua persamaan tersebut mempunyai perbandingan yang sama. Jadi dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, dua variabel akan langsung tereliminasi.
Mari kita eliminasi. Pers amaan (2) kita kalikan 4 sedangkan persamaan (3) kita biarkan apa adanya.
12𝑥 + 2y + 2z = 244. 000 𝑥 + 2y + 2z = 79.000
11𝑥 = 165. 000
𝑥 = 15.000
Sekarang perhatikan pers amaan matematika dari Malik dan Ani. Kedua persamaan tersebut mempunyai koefisien y dan z yang sama bukan?
Berarti kita cukup melakukan substi tusi 𝑥 = 15.000 ke persamaan (1).
2𝑥 + 1,5y + z = 72.000 2 × 15. 000 + 1,5y + z = 72.000 1,5y + z = 42.000
Sekarang kita sudah dapat menentukan harga yang harus dibay ar oleh Ani.
Ani = 0,5𝑥 + 1,5y + z
= 0,5 × 15.000 + 42.000
= 7.500 + 42.000
= 49.500
Jadi, Ani harus membay ar buah-buahan yang dibelinya sebesar Rp49.500,00 (A).
9. Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpus at di titik (−1, 2) dan menyinggung garis 𝑥 + 𝑦 + 7 = 0 adalah ....
A. 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 + 4𝑦 − 27 = 0 B. 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 − 4𝑦 − 27 = 0 C. 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 − 4𝑦 − 32 = 0 D. 𝑥2+ 𝑦2− 4𝑥 − 2𝑦 − 32 = 0 E. 𝑥2+ 𝑦2− 4𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
Pembahasan
Perhatikan gambar di bawah ini!
Jarak titik pusat ke garis tersebut merupakan jari-jari lingkaran. Rumus jarak titik ke garis adalah
𝑟 = 𝑎𝑥1+ 𝑏𝑦1+ 𝑐 𝑎2+ 𝑏2
= 1 ∙ −1 + 1 ∙ 2 + 7 12+ 12
= 1 ∙ −1 + 1 ∙ 2 + 7 12+ 12
= 8 2
= 4 2
Persamaan lingkaran tersebut adalah (𝑥 − 𝑥1)2 + (y − y1)2 = r2
(𝑥 + 1)2 + (y − 2)2 = (4 2)2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + y2 − 4y + 4 = 32
𝑥2 + y2 + 2𝑥 − 4y − 27 = 0
Jadi, persamaan lingkaran ters ebut adalah opsi (B).
10. Garis Singgung Lingkaran
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 − 6𝑦 − 10 = 0 yang tegak lurus garis 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 adalah ....
A. 𝑦 = 2𝑥 − 14 B. 𝑦 = 2𝑥 − 11 C. 𝑦 = 2𝑥 + 5 D. 𝑦 = 2𝑥 + 9 E. 𝑦 = 2𝑥 + 15
Pembahasan
Persamaan lingkaran 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 − 6𝑦 − 10 = 0 mempunyai bentuk umum
𝑥2+ 𝑦2+ 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Berdasarkan bentuk umum tersebut diperoleh 2A = 2
A = 1 2B = −6 B = −3 C = −10
Pusat dan jari-jari lingkaran tersebut adal ah pusat (−A, −B)
pusat (−1, 3) → (h, k) 𝑟 = 𝐴2+ 𝐵2− 𝐶
= 12+ −3 2− −10
= 20
Misal gradi en garis 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 adal ah m1, maka m1 = −𝑎
𝑏
= −1
2
Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis tersebut sehingga perkalian gradi en garis (m1) dengan gradien garis singgung lingkaran ( m2) sama dengan −1.
m1 . m2 = −1
−1
2 . m2 = −1 m2 = 2
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpus at (h, k), jari-jari r, dan gradien m2 adalah
𝑦 − 𝑘 = 𝑚2 𝑥 − ± 𝑟 𝑚2 + 1 𝑦 − 3 = 2 𝑥 + 1 ± 2 5 22+ 1 𝑦 − 3 = 2𝑥 + 2 ± 10
𝑦 = 2𝑥 + 5 ± 10
Bentuk terakhi r tinggal kita jabarkan menjadi:
𝑦 = 2𝑥 + 5 + 10
= 2𝑥 + 15 dan
𝑦 = 2𝑥 + 5 − 10
= 2𝑥 − 5
Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah 𝑦 = 2𝑥 + 15 (E).
11. Suku Banyak (Teorema Sisa)
Suku bany ak 𝑓 𝑥 = 2𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 − 5 dibagi oleh 𝑥2− 𝑥 − 2 bersisa 3𝑥 + 2. Nilai 𝑎 + 𝑏 adal ah ....
A. 6 B. 3 C. −3 D. −6 E. −12
Pembahasan
Faktor dari pembagi suku banyak tersebut adalah 𝑥2− 𝑥 − 2 = 𝑥 − 2 𝑥 + 1
Jika suku banyak 𝑓 𝑥 dibagi oleh 𝑥 − 2 𝑥 + 1 bersisa 3𝑥 + 2 maka untuk 𝑥 = 2 dan 𝑥 = −1 nilai suku banyak ters ebut adalah 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2.
𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑓 2 = 3 × 2 + 2
= 8
𝑓 −1 = 3 × −1 + 2
= −1
Nah, sekarang ti nggal terapkan 𝑓 2 = 8 dan 𝑓 −1 = −1 pada suku bany ak tersebut.
𝑓 𝑥 = 2𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 − 5 f(2) = 8 2.23 + a.22 + b.2 − 5 = 8 16 + 4a + 2b − 5 = 8
4a + 2b = −3 ... (1) f(−1) = −1
2.(−1)3 + a.(−1)2 + b.(−1) − 5 = −1
−2 + a − b − 5 = −1
a − b = 6 ... (2)
Subs titusi persamaan (1) dan (2) untuk mendapatkan nilai a dan b. Persamaan (2) terlebih dahulu kita kalikan 2.
4a + 2b = −3 2a − 2b = 12 + 6a = 9 a = 9
6
= 3
2
Subs titusi a = 3
2 ke persamaan (2).
a − b = 6
3
2 − b = 6 − b = 6 – 3
2
= 9
2
b = −9
2
Dengan demikian.
a + b = 3
2 – 9
2
= −6
2
= −3
Jadi, nilai dari a + b adalah 3 (C).
12. Suka Banyak (Teorema Faktor)
Salah satu faktor dari suku banyak 2𝑥3+ 2𝑚 − 1 𝑥2− 13𝑥 + 6 adalah 𝑥 − 2. Faktor linear lain dari suku banyak ters ebut salah satunya adalah ....
A. 𝑥 + 2 B. 𝑥 − 3 C. 𝑥 + 3 D. 2𝑥 + 1
E. 2𝑥 − 3
Pembahasan
Soal di atas biasanya diselesaikan dengan pembagi an skematik atau cara Horner.
Berdasarkan skema di atas diperol eh 6 + 8m − 14 = 0
8m = 8
m = 1
Kemudian ki ta substitusikan m = 1 pada hasil bagi (yang berwarna biru).
2 2m + 3 4m − 7 2 5 −3
Ini artinya hasil baginya adalah 2𝑥2+ 5𝑥 − 3.
Faktor hasil bagi juga merupakan faktor dari suku banyak.
2𝑥2+ 5𝑥 − 3 = 2𝑥 − 1 𝑥 + 3
Jadi, salah satu faktor linear lain dari suku banyak tersebut adalah 𝑥 + 3 (C).
13. Fungsi Komposisi
Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥2− 4𝑥 + 6 dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3.
Fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = ....
A. 2𝑥2− 8𝑥 + 12 B. 2𝑥2− 8𝑥 + 15 C. 4𝑥2+ 4𝑥 + 3
D. 4𝑥2+ 4𝑥 + 15 E. 4𝑥2+ 4𝑥 + 27
Pembahasan
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 artinya fungsi 𝑓 dalam 𝑔 𝑥 yang juga dinotasikan 𝑓 𝑔(𝑥) sehingga yang menjadi acuan adal ah 𝑓(𝑥).
𝑓 𝑥 =𝑥2− 4𝑥+ 6
𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) 2− 4𝑔(𝑥)+ 6
Perhatikan pers amaan di atas! Dengan berpedoman pada 𝑓(𝑥), kita dapat memperoleh 𝑓 𝑔(𝑥) dengan menggantikan x dengan 𝑔(𝑥).
Selanjutnya kita substitusikan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 pada 𝑓 𝑔(𝑥) .
𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) 2− 4𝑔(𝑥) + 6
= 2𝑥 + 3 2− 4 2𝑥 + 3 + 6
= 4𝑥2+ 12𝑥 + 9 − 8𝑥 − 12 + 6
= 4𝑥2+ 4𝑥 + 3
Jadi, fungsi komposisi tersebut adalah 4𝑥2+ 4𝑥 + 3 (C).
14. Program Linear
Seorang pengusaha perumahan memiliki lahan tanah seluas 10.000 m2 y ang akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk membangun rumah tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan rumah tipe B seluas 75 m2. Jumlah rumah y ang dibangun ti dak lebih dari 125 unit. Jika pengusaha tersebut menjual dengan keuntungan rumah tipe A adalah Rp8.000.000,00 dan rumah tipe adalah Rp6.000.000,00 serta semua rumah terjual habis maka keuntungan maksimum yang diperoleh pengus aha tersebut adalah ....
A. Rp750.000.000,00 B. Rp800.000.000,00 C. Rp850.000.000,00 D. Rp900.000.000,00 E. Rp950.000.000,00
Pembahasan
Kita gunakan tabel bantuan untuk soal ters ebut.
Tipe A(x) Tipe B(y) 125 Luas Tanah 100
4
75 3
10.000 400 Keuntungan 8.000.00
0
6.000.00
0 ?
Berdasarkan tabel tersebut di peroleh persamaan:
𝑥 + y = 125 | × 4 | 4𝑥 + 4y = 500 4𝑥 + 3y = 400 | × 1 | 4𝑥 + 3y = 400 − y = 100
Subs titusi 𝑦 = 100 pada persamaan yang pertama diperoleh:
𝑥 + 𝑦 = 125 𝑥 + 100 = 125 𝑥 = 25
Fungsi objektif atau fungsi sasarannya adalah z = 8.000.000x + 6.000.000y
= 8.000.000 × 25 + 6.000.000 × 100 = 800. 000. 000
Jadi, keuntungan maksimum yang diperol eh oleh pengus aha tersebut adalah Rp800.000.000,00 (B).
15. Matriks
Diketahui matriks 𝐴 = −2 𝑥
6 3 , 𝐵 = −5 14
𝑦 −2 , 𝐶 = 𝑧 −1 1 5 Jika A − B = C maka 𝑥 + y + z = ....
A. 15 B. 21 C. 22 D. 27 E. 29
Pembahasan
Kita operasikan pengurangan matriks sebagaimana yang diketahui pada soal.
𝐴 − 𝐵 = 𝐶 −2 𝑥
6 3 − −5 14
𝑦 −2 = 𝑧 −1 1 5 3 𝑥 − 14
6 − 𝑦 5 = 𝑧 −1
1 5 Dari kesamaan matriks di atas di peroleh
z = 3 𝑥 − 14 = −1 𝑥 = 13
6 − y = 1
−y = −5 y = 5 Dengan demikian,
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 13 + 5 + 3
= 21
Jadi, nilai dari adalah 21 (B).
16. Sifat Vektor
Diketahui vektor-vektor 𝑎 = 4𝑖 + 2𝑗 − 5𝑘 , 𝑏 = 𝑖 + 3𝑗 + 𝑥𝑘 , dan 𝑐 = 6𝑖 + 5𝑗 + 2𝑘 . Jika vektor 𝑎 tegak lurus terhadap vektor 𝑏 , hasil 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐 = ....
A. 5𝑖 + 8𝑗 + 6𝑘 B. 5𝑖 + 8𝑗 − 6𝑘 C. 5𝑖 − 8𝑗 + 6𝑘 D. 6𝑖 + 5𝑗 − 8𝑘 E. 6𝑖 − 5𝑗 + 6𝑘
Pembahasan
Notasi vektor dalam bentuk kombinasi linear 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 , terkesan lebih sulit. Karena itu ubahlah ke bentuk kolom atau baris.
𝑎 = (4, 2, −5) 𝑏 = (1, 3, 𝑥) 𝑐 = (6, 5, 2)
Bentuk di atas tampak lebih ramah. Meski ti dak memengaruhi kecepatan mengerjakan, setidaknya dapat menambah semangat dan energi. Ok, lanjut!
Jika dua vektor saling tegak lurus maka perkalian dot-nya sama dengan nol.
𝑎 ∙ 𝑏 = 0 4 . 1 + 2 . 3 + (−5) . 𝑥 = 0 10 − 5𝑥 = 0
5𝑥 = 10 𝑥 = 2
Subs titusikan 𝑥 = 2 pada vektor 𝑏 sehingga diperoleh 𝑏 = (1, 3, 2). Selanjutny a tinggal menyeles aikan tahap akhi r.
2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐
= 2 4 2
−5 + 3
1 3 2
− 6 5 2
= 5 8
−6
Jadi, hasil dari 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐 adalah 5𝑖 + 8𝑗 − 6𝑘 (B).
17. Sudut antara Dua Vektor
Diketahui vektor 𝑎 dan 𝑏 dengan 𝑎 = 4, 𝑏 = 3, dan 𝑎 + 𝑏 = 5. Jika θ adalah sudut antara vektor 𝑎 dan 𝑏 , nilai cos 2θ adalah ....
A. 1 B. 4
5
C. 0 D. −1
2
E. −1
Pembahasan
Modal utama untuk menyelesaikan soal ini adalah mengetahui bahwa berlaku rumus
|𝑎 + 𝑏 |2 = |𝑎 |2 + |𝑏 |2 + 2 𝑎 ∙ 𝑏 cos θ 25 = 16 + 9 + 2 𝑎 ∙ 𝑏 cos θ
2 𝑎 ∙ 𝑏 cos θ = 0 cos θ = 0 θ = 90°
cos 2θ = cos 180°
= −1
Jadi, nilai dari cos 2θ = −1 (E).
18. Proyeksi Vektor
Diketahui vektor 𝑎 = 2𝑖 − 𝑝𝑗 + 3𝑘 dan 𝑏 = 𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘 . Jika 𝑐 adalah panjang proyeksi vektor 𝑎 pada 𝑏 dan 𝑐 = 4 maka nilai 𝑝 adalah ....
A. −4 B. −2 C. 2 D. 4 E. 8
Pembahasan
Untuk menyeles aikan soal proy eksi skalar, kita perlu menentukan perkalian vektor 𝑎 dan 𝑏 serta menentukan panjang vektor 𝑏 .
𝑎 = (2, −p, 3) 𝑏 = (1, −2, 2) 𝑎 ∙ 𝑏 = 2 + 2p + 6 = 8 + 2p
𝑏 = 12+ −2 2+ 22
= 9 = 3
Proyeksi skalar vektor 𝑎 terhadap 𝑏 dirumuskan 𝑐 =𝑎 ∙ 𝑏
𝑏 4 =8 + 2𝑝
3 12 = 8 + 2𝑝 2𝑝 = 4
𝑝 = 2
Jadi, nilai p adalah 2 (C).
19. Transformasi Geometri
Diketahui T1 adalah transformasi pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 dan transformasi T2 adalah rotasi dengan pus at O(0, 0) sebesar 90° dengan arah putar berlawanan dengan putaran jarum jam.
Persamaan bayangan garis 2𝑥 − 5𝑦 + 3 = 0 oleh transformasi T1 dilanjutkan T2 adalah ....
A. 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 B. 2𝑥 − 5𝑦 − 3 = 0 C. 2𝑥 + 5𝑦 + 3 = 0 D. 5𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 E. 5𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
Pembahasan
T1 adalah transformasi pencermi nan terhadap garis 𝑦 = 𝑥.
T1 : P(𝑥, 𝑦) P'(𝑦, 𝑥) 𝑇1= 0 1
1 0
T2 adal ah rotasi dengan pusat O(0, 0) sebesar 90°
dengan arah putar berlawanan dengan putaran jarum jam.
𝑇2= cos 90° − sin 90°
sin 90° cos 90°
= 0 −1 1 0
T adalah transformasi T1 dilanjutkan T2. 𝑇 = 𝑇2∘ 𝑇1
= 0 −1 1 0 0 1
1 0
= −1 0 0 1
Berdasarkan matriks komposisi tersebut diperoleh 𝑥′= −𝑥 𝑥 = −𝑥′
𝑦′ = 𝑦 𝑦 = 𝑦′
Dengan demikian bayangan garis 2𝑥 − 5𝑦 + 3 = 0 adal ah
2𝑥 − 5𝑦 + 3 = 0 2 −𝑥′ − 5𝑦′ + 3 = 0
−2𝑥′ − 5𝑦′ + 3 = 0 2𝑥′+ 5𝑦′− 3 = 0
Jadi, persamaan bay angan garis tersebut adalah 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 (A).
20. Pertidaksamaan Logaritma
Penyelesaian pertidaks amaan
3log (3𝑥2 + 𝑥) < 3log (8 − 𝑥) adal ah ....
A. 4
3 < 𝑥 < 8 atau 𝑥 < −2 B. 0 < 𝑥 < 8 atau 𝑥 < −2 C. 0 < 𝑥 < 8 atau −2 < 𝑥 < −1
3
D. 𝑥 > 8 atau 𝑥 < −2 E. 𝑥 > 8 atau −2 < 𝑥 < −1/3
Pembahasan
Yang perlu diperhatikan pertama kali saat mengerjakan soal pertidaksamaan logaritma adalah syarat yang berlaku bagi fungsi logaritma tersebut.
Syarat ini sebaiknya dikerjakan terlebih dahulu agar tidak kelupaan.
Bilangan atau fungsi yang di-log syaratny a harus bernilai positif.
3𝑥2 + 𝑥 > 0 𝑥(3𝑥 + 1) > 0
8 − 𝑥 > 0
−𝑥 > −8 𝑥 < 8
Hal kedua yang perlu diperhatikan adalah bilangan pokok logari tma. Karena bilangan pokoknya 3 (lebih dari 1), peny elesaiannya tidak merubah tanda pertidaksamaan.
3log (3𝑥2 + 𝑥) < 3log (8 − 𝑥) 3𝑥2 + 𝑥 < 8 − 𝑥 3𝑥2 + 2𝑥 − 8 < 0
(3𝑥 − 4)(𝑥 + 2) < 0
Gabungan dari ketiga garis bilangan tersebut merupakan penyelesaian akhir pertidaks amaan logari tma di atas.
Jadi, penyelesai an pertidaksamaan tersebut adalah
0 < 𝑥 < 4
3 atau −2 < 𝑥 < −1
3 (tidak ada opsi jawaban yang ses uai).
21. Grafik Fungsi Logaritma
Persamaan grafik fungsi berikut ini adalah ....
A. 𝑦 = 3log 𝑥 B. 𝑦 = 3𝑥log 𝑥− 3
C. 𝑦 = log1
𝑥 3
D. 𝑦 = 3𝑥log 3− 1 E. 𝑦 = log1
3
3 𝑥 − 1
Pembahasan
Berdasarkan grafik tersebut diperoleh data:
𝑥 1 3 𝑦 0 1
Artiny a, untuk 𝑥 = 1 dihasilkan 𝑦 = 0 dan untuk 𝑥 = 3 dihasilkan 𝑦 = 1.
Cara sederhana untuk mendapatkan nilai tersebut adal ah trial and erro r, yaitu diujicobakan pada seti ap opsi jawaban.
Opsi A: 𝑦 = 3log 𝑥
𝑥 = 1 → 𝑦 = 3log 1 = 0 (benar) 𝑥 = 3 → 𝑦 = 3log 3 = 1 (benar) Bisa dipastikan opsi yang lain sal ah.
Jadi, persamaan grafik fungsi ters ebut adalah y = 3log x (A).
22. Barisan dan Deret Aritmetika
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 2 dan −13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ...
A. −580 B. −490 C. −440 D. −410 E. −380
Pembahasan
Barisan aritmetika dengan suku ke-3 = 2 dan suku ke-8 = −13.
U3 = a + 2b = 2 U8 = a + 7b = −13 − −5b = 15 b = −3
Subs titusi b = −3 ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.
a + 2b = 2 a − 6 = 2 a = 8
Jumlah 20 suku pertama.
Sn = 1
2n[2a + (n − 1)b]
S20 = 10[16 + 19(−3)]
= 10 (−41) = −410
Jadi, jumlah 20 suku pertama deret ters ebut adalah
−410 (D).
23. Deret Geometri Tak Hingga
Sebuah bola dijatuhkan dari keti nggian 9 meter.
Setiap memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah ....
A. 36 meter B. 38 meter C. 45 meter D. 47 meter E. 51 meter
Pembahasan
Perhatikan ilustrasi berikut ini!
Lintas an bola dal am kotak bergaris merah terdiri dari 2 jenis lintas an, yaitu lintasan naik dan lintas an turun . Kedua jenis lintasan ters ebut panjangnya sama dan membentuk deret geometri tak hingga dengan suku awal t2 dan rasio 2
3.
a = t2 = 2
3 t1
= 2
3 9 = 6
Dengan demikian, panjang seluruh lintasan (L) adal ah panjang t1 di tambah 2 kali jumlah deret tak hingga.
𝐿 = 𝑡1+ 2𝑆∞
= 𝑡1+ 2 𝑎
1−𝑟
= 9 + 2 × 6
1−2 3
= 9 + 2 × 18
= 45
Jadi, panjang lintasan bola sampai berhenti adalah 45 meter (C).
24. Dimensi Tiga (Jarak Titik ke Garis)
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan ....
A. 4
5 30 cm B. 2
3 30 cm C. 2 5 cm D. 2 3 cm E. 2 2 cm
Pembahasan
Perhatikan gambar kubus yang dimaksud berikut ini!
Panjang EM = M C.
EM = AM2+ AE2
= 22+ 42
= 2 12+ 2
= 2 5
Panjang EC merupakan di agonal ruang.
EC = 𝑎 3
= 4 3
QM adalah tinggi segitiga EM C dengan alas EC.
QM = EM2− EQ2
= 2 5 2− 2 3 2
= 2 5 2− 3 2
= 2 2
Nah, mari kita perhatikan segitiga EMC dengan tinggi QM dan alas EC. Luas segiti ga tersebut adalah
𝐿 =1
2∙ EC ∙ QM
=1
2× 4 3 × 2 2
= 4 6
Sekarang mari kita perhatikan lagi segitiga EMC. Kali ini dengan alas MC dan tinggi EP (y ang ditanyakan).
𝐿 =1
2∙ MC ∙ EP 4 6 =1
2× 2 5 × EP 𝐸𝑃 = 4 6
5
=4
5 30
Jadi, Jarak ti tik E ke garis CM adalah 4
5 30 cm (A).
25. Dimensi Tiga (Sudut antarbidang)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.
Tangen sudut antara bidang DEG dengan bi dang BEG adal ah ....
A. 1
3
B. 1
3 3 C. 1
2 3 D. 2
3 2 E. 2 2
Pembahasan
Perhatikan gambar kubus yang dimaksud berikut ini!
Bidang D EG dan BEG bertemu pada garis EG. Dari pertengahan garis EG ditarik garis ke B dan G sehingga terbentuk segiti ga BD P. Sudut P pada
segitiga BD P merupakan sudut y ang dibentuk oleh bidang DEG dan BEG.
Panjang BP = DP.
BP = BF2+ FP2
= 82+ 4 2 2
= 4 22+ 2 2
= 4 6
Panjang BD merupakan diagonal bidang.
BD = 𝑎 2
= 8 2
Untuk menentukan sudut α, kita gunakan aturan kosinus segitiga. Perhatikan segitiga BDP.
cos 𝛼 =BP2+ DP2− BD2 2 ∙ BP ∙ DP
= 4 6 2+ 4 6 2− 8 2 2 2 × 4 6 × 4 6
=96 + 96 − 128 2 × 96
= 64 192
=1 3
Untuk mendapatkan nilai tan α dari cos α, kita gunakan perbandingan segi tiga berikut ini.
Jadi, nilai tangen sudut antara bidang DEG dan BEG adal ah 2 2 (E).
26. Aturan Sinus dan Kosinus
Perhatikan gambar!
Panjang AD adalah ....
A. 3 7 cm B. 4 7 cm C. 2 17 cm D. 2 19 cm E. 4 17 cm
Pembahasan
Perhatikan segi tiga ABC!
Pada segitiga ters ebut diketahui dua sudut dan satu sisi sehingga berlaku aturan sinus.
𝑎
sin A= 𝑏 sin B 6 2
sin 30° = AC sin 45°
6 2
1 2
= AC
1 2 2 AC = 12
Sekarang perhatikan segitiga ACD!
Karena panjang AC sudah kita tentukan maka pada segitiga tersebut mempuny ai dua sisi dan satu sudut yang diketahui sehingga berlaku aturan kosinus.
c2 = a2 + d2 − 2 ad cos C AD2 = 42 + 122 − 2 . 4 . 12 cos 60°
= 16 + 144 − 96 . 0,5 = 112
AD = 4 7
Jadi, panjang AD pada gambar tersebut adalah 4 7 cm (B).
27. Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian pers amaan cos 2𝑥 + 3 cos 𝑥 − 1 = 0 pada 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah ....
A. {60°, 120°}
B. {60°, 240°}
C. {60°, 300°}
D. {120°, 240°}
E. {120°, 300°}
Pembahasan
Persamaan ters ebut harus diubah menjadi satu variabel terlebih dahulu. Bentuk cos 2𝑥 diubah ke dalam bentuk cos 𝑥.
cos 2𝑥 = 2 cos2𝑥 − 1
Dengan demikian persamaan ters ebut menjadi 2 cos2 𝑥 − 1 + 3 cos 𝑥 − 1 = 0
2 cos2 𝑥 + 3 cos 𝑥 − 2 = 0 (2 cos 𝑥 − 1)(cos 𝑥 + 2) = 0
cos 𝑥 = 1
2 atau cos 𝑥 = −2 Penyelesaiannya adalah s ebagai berikut:
cos 𝑥 = 1
2
nilai cos 𝑥 positif berada pada kuadran I dan IV kuadran I : cos 𝑥 = cos 60°
𝑥 = 60°
kuadran IV : cos 𝑥 = cos (360° − 60°) 𝑥 = 300°
cos 𝑥 = −2
tidak memenuhi karena nilai cos x terletak pada interval −1 < cos 𝑥 < 1.
Jadi, himpunan penyelesai an pers amaan trigonometri ters ebut adalah {60°, 300°} atau opsi (C).
28. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Diketahui cos A + B =3
5 dan cos A ∙ cos B =2
3, A dan B sudut lancip. Nilai tan A ∙ tan B adal ah ....
A. − 3
10
B. −1
5
C. −2
15
D. 1
10
E. 3
10
Pembahasan
Kita gunakan rumus jumlah dua sudut pada kosinus.
cos (A + B) = cos A . cos B − sin A . sin B 3
5 = 2
3 − sin A . sin B sin A . sin B = 2
3 – 3
5
= 1
15
Tangen adalah perbandi ngan nilai sinus dan kosinus, diperoleh:
tan A tan B = sin A sin B cos A cos B
=
1 15 2 3
= 1
15×3
2
= 1
10
Jadi, nilai tan A . tan B adalah 1
10 (D).
29. Limit Fungsi Aljabar
Nilai dari
𝑥 →∞lim 9𝑥2− 6𝑥 − 1 − 3𝑥 + 1 adal ah ....
A. −4 B. −3 C. −2 D. 0
E. 1
Pembahasan
Bentuk umum limit di atas adalah
𝑥 →∞lim 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑎𝑥2+ 𝑑𝑥 + 𝑒 =𝑏 − 𝑑 2 𝑎 Mari kita ubah limit tersebut ke bentuk umumnya.
𝑥 →∞lim 9𝑥2− 6𝑥 − 1 − 3𝑥 + 1
= lim
𝑥→∞ 9𝑥2− 6𝑥 − 1 − 3𝑥 + 1 2
= lim
𝑥→∞ 9𝑥2− 6𝑥 − 1 − 9𝑥2+ 6𝑥 + 1 Berdasarkan bentuk umum di atas, kita peroleh:
a = 9 b = −6 d = 6
Dengan demikian, hasil dari limit ters ebut adalah
𝑏 − 𝑑
2 𝑎 =−6 − 6 2 9
=−12 6
= −2
Jadi, nilai dari limit fungsi al jabar ters ebut adal ah −2 (C).
30. Limit Fungsi Trigonometri
Nilai dari lim𝑥 →0
𝑥 tan 𝑥 cos2𝑥 − 1 adal ah ....
A. 1 B. 0 C. −1
2
D. −1 E. −2
Pembahasan
Prinsip limit trigonometri dengan 𝑥 → 0 adal ah 𝑥 = sin 𝑥 = tan 𝑥
Berpegangan pada prinsip tersebut, bentuk kosinus harus diubah ke dal am bentuk sinus atau tangen.
cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 cos2 𝑥 − 1 = sin2 𝑥
Sehi ngga limit ters ebut akan menjadi:
lim𝑥 →0
𝑥 tan 𝑥
cos2𝑥 − 1= lim
𝑥→0
𝑥 tan 𝑥 sin2𝑥
Subs titusi tan 𝑥 = 𝑥 dan sin 𝑥 = 𝑥 diperoleh:
lim𝑥 →0
𝑥 tan 𝑥 sin2𝑥 =𝑥 ∙ 𝑥
𝑥2
= 1
Jadi, nilai dari limit fungsi tri gonometri tersebut adal ah 1 (A).
31. Aplikasi Turunan
Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm3/detik.
Jika laju pertambahan jari -jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah ... cm.
A. 1
𝜋 cm B. 1
2𝜋 cm C. 1
2 𝜋 cm D. 2
3 𝜋 cm E. 𝜋 cm
Pembahasan
Laju pertambahan volume udara 40 cm3/detik (kata 'laju' berarti turunan terhadap waktu)
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 40
Laju pertambahan jari-jari bol a 20 cm/detik 𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 40 Rumus volume bola
𝑉 =4 3𝜋𝑟3
Dengan mendeferensialkan masing-masing ruas, diperoleh
𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝑡 40 = 4𝜋𝑟2∙ 20
𝑟2 = 1 2𝜋 𝑟 = 1 2𝜋
Jadi, jari-jari bola setelah ditiup adalah 1
2𝜋 cm (B).
32. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Hasil dari 4𝑥 4𝑥2− 3 4𝑑𝑥 adalah ....
A. 1
10 4𝑥2− 3 5+ C B. 1
5 4𝑥2− 3 5+ C C. 2
5 4𝑥2− 3 5+ C D. 4𝑥2− 3 5+ C
E. 2 4𝑥2− 3 5+ C
Pembahasan
Bentuk integral di atas adalah integral substitusi karena pangkat tertinggi di luar dan di dalam kurung berselisih satu.
4𝑥 4𝑥2− 3 4𝑑𝑥
= 4𝑥 4𝑥2− 3 4 𝑑 4𝑥2− 3 8𝑥
=1
2 4𝑥2− 3 4 𝑑 4𝑥2− 3
=1
2∙1
5 4𝑥2− 3 4+ C
= 1
10 4𝑥2− 3 4+ C
Jadi, hasil dari integral substitusi tersebut adalah opsi (A).
33. Integral Tentu Fungsi Aljabar
Nilai dari 3 𝑥 − 1
𝑥 4
1 𝑑𝑥 adalah ....
A. 20 B. 12 C. 8 D. 4 E. 2
Pembahasan
Kita ubah bentuk akar pada integral tersebut menjadi bentuk pangkat.
3 𝑥 − 1 𝑥
4
1
𝑑𝑥
= 3𝑥1 2− 𝑥−1 2
4
1
𝑑𝑥
= 3 ∙2
3𝑥3 2− 2𝑥1 2
1 4
= 2𝑥 𝑥 − 2 𝑥 14
= 2 ∙ 4 4 − 2 4 − 2 ∙ 1 1 − 2 1
= (16 − 4) − (2 − 2)
= 12
Jadi, nilai dari integral ters ebut adalah 12 (B).
34. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
Rumus perkalian sinus dan kosinus.
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A − B) Berdasarkan rumus ters ebut maka
∫ 4 sin 4𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
Jadi, hasil dari integral fungsi trigonometri tersebut adal ah opsi (B).
35. Integral Tentu Fungsi Trigonometri
Nilai dari cos 2𝑥 − sin 2𝑥
Integral seperti ini langsung bisa diintegral, yang perlu diubah adalah batas integrasinya. π/4 sebaiknya diubah menjadi 45° karena otak kita lebih familiar dengan derajat dari pada radi an.
cos 2𝑥 − sin 2𝑥
Jadi, nilai dari integral trigonometri tersebut adalah 0 (C).
36. Aplikasi Integral untuk Menentukan Luas Daerah
Berdasarkan pembuat nol tersebut, grafik kurva tersebut adalah
=24 −8
3
=16
3
= 51
3
𝐿II= 𝑥3− 𝑥2− 6𝑥
3
0
𝑑𝑥
= 1
4𝑥4−1
3𝑥3− 3𝑥2
0 3
=1
4 81 − 0 −1
3 27 − 0 − 3 9 − 0
=81
4− 9 − 27
=81
4− 36
=81−144
4
= −63
4
= −153
4
(luas 𝐿II berharga negatif karena terletak di bawah sumbu 𝑥)
Dengan demikian, luas daerah yang dimaksud merupakan jumlah dari kedua daerah tersebut.
𝐿 = 𝐿I+ 𝐿II
= 51
3+ 153
4
= 20 +1
3+3
4
= 20 +4 +9
12
= 20 + 1 1
12
= 21 1
12
Jadi, luas daerah antara kurv a dan sumbu 𝑥 tersebut adal ah 21 1
12 satuan luas (E).
37. Aplikasi Integral untuk Menentukan Volume Benda Putar
Volume benda putar y ang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 dan sumbu 𝑥 diputar mengelilingi sumbu 𝑥 adalah ... satuan volume.
A. 3 1
15𝜋 B. 2 4
15𝜋 C. 1 1
15𝜋 D. 6
15𝜋 E. 4
15𝜋
Pembahasan
Pembuat nol kurva ters ebut pada sumbu 𝑥 adalah:
𝑦 = 0 2𝑥 − 𝑥2 = 0 𝑥(2 − 𝑥) = 0 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2
Pembuat nol tersebut akan menjadi batas integrasi.
Selanjutnya, mari kita tentukan volume benda putar tersebut.
𝑉 = 𝜋 2𝑥 − 𝑥2 2
2
0
𝑑𝑥
= 𝜋 4𝑥2− 4𝑥3+ 𝑥4
2
0
𝑑𝑥
= 𝜋 4
3𝑥3− 𝑥4+1
5𝑥5
0 2
= 𝜋 32
3− 16 +32
5
= 11
15𝜋
Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah opsi (C).
38. Statistika
Histogram berikut menunjukkan data umur penghuni rumah kontrakan milik Pak Achmad.
Modus data tersebut adalah ....
A. 29,5 B. 32,5 C. 33,5 D. 34,5 E. 35,5
Pembahasan
Perhatikan histogram di bawah ini!
Daerah yang paling ti nggi dan di arsir berwarna biru adal ah kel as modus. Data yang berkaitan dengan kelas modus adalah
i : lebar kelas i = 10 − 0 = 10
𝑡𝑏 : tepi bawah kelas modus 𝑡𝑏 = 30 − 0, 5
= 29,5
𝑑1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
𝑑1 = 12 − 9
= 3
𝑑2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
𝑑2 = 12 − 5
= 7
Nah, sekarang ki ta tinggal memasukkan data-data tersebut pada rumus modus.
𝑀𝑜 = 𝑡𝑏 + 𝑑1 𝑑1+ 𝑑2𝑖
= 29,5 + 3 3 + 7× 10
= 29,5 + 3
= 32,5
Jadi, modus untuk data y ang disajikan dalam histogram tersebut adal ah 32,5 (B).
39. Kaidah Pencacahan
Suatu organisasi mo tor c ross ingin menentukan pengurus sehi ngga ketua, sekretaris, dan bendahara dari 20 anggota. Banyak susunan pengurus yang mungkin adalah ....
A. 2.280 B. 6.840 C. 12.400 D. 13.400 E. 13.680
Pembahasan
Karena ketua, sekretaris, dan bendahara kedudukanny a bertingkat maka soal tersebut harus diselesaikan dengan permutasi.
𝑃3
20 = 20!
20 − 3 !
= 20 × 19 × 18
= 6.840
Jadi, banyakny a susunan pengurus yang mungkin adal ah 6.840 susunan (B).
40. Teori Peluang
Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang 3/5.
Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti ters ebut adalah ....
A. 180
625
B. 612
625
C. 216
625
D. 228
625
E. 230
625
Pembahasan
Dalam 5 kali tendangan, penjaga gawang tersebut mampu menahan tendangan sebanyak 3 kali, dapat dinotasikan dengan kombinasi.
𝐶3
5 = 5!
5 − 3 ! 3!
= 10
3 kali tendangan dapat ditahan dengan peluang 3/5
3 5
3
= 27
125
2 kali tendangan gagal ditahan dengan peluang 1 – 3
5
= 2
5 2 5
2
= 4
25
Dengan demikian, peluang penjaga gawang tersebut adal ah
𝐶3
5 ∙ 3
5 3
∙ 2
5 2
= 10 × 27
125× 4
25
=216
625
Jadi, peluang penjaga gawang tersebut mampu menahan 3 kali tendangan penalti adalah 216
625 (C).
ooo0ooo