BAB II LANDASAN TEORI
E. Perkalian Bilangan Asli
Menurut Ved Dudeja dan V. Madhavi (2013: 1), bilangan adalah sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas (banyak, sedikit) dan ukuran (berat, ringan, panjang, pendek) suatu objek. Sedangkan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang terdiri atas 1,2,3, … dimana bilangan ini digunakan untuk berhitung (Singgih S. Wibowo, 2010: 2). Bilangan asli disebut juga sebagai bilangan hitung yang umumnya dinyatakan dengan simbol ℕ. Contoh himpunan semua bilangan asli dapat dinotasikan sebagai berikut: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … }.
Terdapat 4 golongan bilangan asli (Negoro, 2014: 34) yaitu:
a) Bilangan genap (2, 4, 6, 8, … ), adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua;
b) Bilangan ganjil (1, 3, 5, 7, … ) adalah suatu bilangan yang jika dibagi dua maka bersisa 1;
c) Bilangan prima (2, 3, 5, 7,11, … ) adalah semua bilangan yang hanya dapat dibagi dengan bilangan satu dan bilangan itu sendiri; dan d) Bilangan komposit (4, 6, 8, 9, 10, … ) adalah bilangan asli yang lebih
besar dari 1 dan bukan bilangan prima.
Bilangan asli digunakan baik secara langsung (dengan lambang bilangan) atau secara tidak langsung (dengan menggunakan istilah atau kata-kata). Contoh bilangan asli secara tidak langsung dalam kehidupan sehari-hari seperti maju 3 langkah dapat ditulis 3, menang 5 poin dapat ditulis 5, serta untung 5000 rupiah dapat ditulis 5000 dan sebagainya. 2. Operasi Hitung Bilangan Asli
Operasi hitung pada bilangan asli terdiri dari operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada penelitian ini memfokuskan pada perkalian bilangan asli yang dimulai dari konsep operasi penjumlahan.
a) Operasi Penjumlahan.
Misalkan Anita datang ke toko ternama untuk membeli buku tulis selama 3 hari berturut-turut. Hari pertama Anita membeli 4 buku tulis. Kemudian, hari kedua Anita kembali ke toko tersebut untuk membeli 3 buku tulis. Karena merasa belum cukup, Anita kembali ke toko tersebut untuk membeli 1 buku tulis lagi. Hitunglah berapa banyak buku tulis yang telah dibeli oleh Anita selama 3 hari berturt-turut?.
Diketahui dari permasalahan tersebut bahwa Anita membeli buku tulis selama 3 hari berturut-turut dengan banyaknya masing-masing buku tulis tersebut yaitu 4 buku tulis, 3 buku tulis dan 1 buku tulis. Ditanya: banyak buku tulis yang telah dibeli oleh Anita selama 3 hari berturt-turut?.
Jawab: Permasalahan tersebut menanyakan tentang banyaknya buku tulis yang dibeli oleh Anita selama 3 hari berturut-turut. Jika diartikan maka banyaknya buku tulis/hari yang dimiliki Anita digabungkan menjadi satu. Sehingga model matematika dari permasalahan tersebut yaitu 4 + 3 + 1.
Selanjutnya, jumlahkan bilangan-bilangan tersebut seperti berikut:
4 + 3 + 1 = 8. Jadi, banyaknya buku tulis yang telah dibeli Anita selama 3 hari berturut-turut berjumlah 8 buah.
Dari permasalahan dan pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa operasi hitung penjumlahan bilangan asli adalah gabungan antara jumlah kuantitas dari suatu objek dengan objek lainnya.
b) Operasi Perkalian
Perhatikan aturan pakai yang ada di botol. Kalian dapat menjumpai tulisan seperti berikut
3 × 1 tabel/kapsul atau
3 × 2 sendok teh
Bagaimana cara meminum obat yang benar?
Jadi, kalian meminum obat masing-masing 2 sendok teh sebanyak 3
kali sehari. Contoh lainnya:
Misalnya terdapat 3 piring. Setiap piring berisi 2 apel. Jumlah semua apel diperoleh dnegan cara menjumlahkan semua apel di setiap piring seperti berikut 2 + 2 + 2 = 6
Bentuk diatas adalah penjumlahan bilangan 2 sebanyak 3 kali. 2 + 2 + 2 dapat ditulis sebagai perkalian 3 × 2 = 6.
Hasil perkalian bisa ditentukan dengan pernjumlahan berulang. Contoh lain:
Bella dan Roni adalah sahabat. Rumah mereka satu kompleks. Suatu hari Bella pergi ke rumah Roni untuk menjenguknya yang sedang sakit. Sebelum ke rumah Roni, terlebih dahulu Bella membeli makanan di sebuah warung dengan bejalan kaki. Jarak dari rumah Bella menuju warung tersebut sejauh 5 meter. Setelah membeli makanan untuk Roni kemudian Bella berjalan kembali dengan jarak yang sama dari warung menuju ke rumah Roni. Berapakah jarak yang ditempuh Bella dari rumahnya menuju ke rumah Roni?. Penyelesaian:
Diketahui bahwa jarak dari rumah Bella menuju ke warung sama dengan jarak warung menuju ke rumah Roni yaitu berjarak 5 meter. Karena jarak yang ditempuh sama, dan Bella berjalan dari rumahnya ke warung kemudian dari warung ke rumah Roni maka pernyataan
tersebut dapat diasumsikan bahwa bella melakukan hal yang sama secara berulang sebanyak 2 kali. Sehingga jika dituliskan dalam bentuk matematikanya yaitu 2 × 5 (2 menunjukkan banyaknya titik yang dikunjungi dan 5 menunjukkan jarak yang ditempuh). Hal tersebut sama artinya dengan jarak tempuh bella dari rumah ke warung dan dari warung kerumah Roni yaitu 5 + 5. Dengan demikian 2 × 5 = 5 + 5 = 10. Jadi jarak tempuh yang dilalui Bella dari rumahnya menuju ke rumah Roni adalah 10 meter.
Dari kedua permasalahan tersebut maka dapat dinyatakan bahwa operasi perkalian bilangan asli adalah penjumlahan berulang (Marsigit, 2009: 12). Selain itu, perkalian bilangan asli adalah proses aritmatika dasar dimana satu bilangan dilipatgandakan sesuai dengan bilangan pengalinya. Secara umum konsep perkalian dapat dituliskan seperti berikut:
Operasi hitung perkalian bilangan asli memiliki 5 sifat seperti berikut, yaitu:
1. Sifat Tertutup Terhadap Perkalian
Sifat ini menyatakan bahwa hasil dari perkalian dua bilangan asli juga merupakan bilangan asli.
Untuk sembarang bilangan asli 𝒂 dan 𝒃 selalu berlaku 𝑎 × 𝑏
adalah selalu bilangan asli. Contoh:
𝑚 × 𝑛 = 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 𝑛+. . . +𝑛
2 × 2 = 4; 4 adalah bilangan asli. 2. Sifat Komutatif
Untuk sembarang bilangan asli 𝒂 dan 𝒃 selalu berlaku:
𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
Sifat ini disebut dengan sifat komutatif (pertukaran) pada perkalian.
Contoh: 2 × 1 = 1 × 2 = 2 3. Sifat Asosiatif
Untuk sembarang bilangan asli 𝒂, 𝒃, dan 𝒄 selalu berlaku:
(𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)
Sifat ini disebut dengan sifat asosiatif (pengelompokkan) pada perkalian.
Contoh:
(2 × 1) × 3 = 2 × (1 × 3) = 6 4. Sifat Distributif
Untuk sembarang bilangan asli 𝒂, 𝒃, dan 𝒄 selalu berlaku:
(𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐) = 𝑎 × (𝑏 + 𝑐)
Sifat ini disebut dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Contoh:
(2 × 1) + (2 × 3) = 2 × (1 + 3) = 2 × 4 = 8
Untuk sembarang bilangan asli 𝒂, 𝒃, dan 𝒄 selalu berlaku:
Sifat ini disebut dengan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.
Contoh:
(2 × 3) − (2 × 1) = 2 × (3 − 1) = 2 × 2 = 2 5. Memiliki Unsur Identitas
Misalkan:
1 × 2 = 2 1 × 3 = 3 2 × 1 = 2 3 × 1 = 3
Dengan demikian 1 × 𝑎 = 𝑎 × 1 = 𝑎, untuk sembarang bilangan asli 𝒂.
Dari contoh tersebut, ternyata jika 1 dikali dengan suatu bilangan asli atau suatu bilangan asli dikali dengan 1, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. 1 disebut unsur identitas pada perkalian.