Permasalahan Knapsack untuk bidang investasi yaitu di mana seorang investor akan menginvestasikan uangnya kepada berbagai perusahaan untuk mendapatkan keuntungan maksimum, dari hasil keuntungan tersebut di mana investor akan menentukan perusahaan mana yang lebih memberikan untung yang besar kepadanya (dipilih) dibandingkan dengan perusahaan lain (tidak dipilih).
3.3.1 Kasus
Seorang investor ingin menginvestasikan uangnya kebeberapa perusahaan. Dengan modal Rp 190.000.000,00 dia memiliki 4 kesempatan berinvestasi (take it or leave it). Jika memasukan uangnya Rp 67.000.000,00 ke perusahaan A keuntungan yang didapat investor Rp 80.000.000,00. Kemudian memasukan Rp 100.000.000,00 ke perusahaan B mendapatkan keuntungan Rp 110.000.000,00. Memasukan Rp 55.000.000,00 ke perusahaan C mendapatkan keuntungan Rp 60.000.000,00. Memasukan Rp 34.000.000,00 ke perusahaan D mendapatkan keuntungan Rp 40.000.000,00.
Investasi ke perusahaan mana saja Siinvestor untuk mendapatkan keuntungan terbesar.
Penyelesaian Asumsi:
1. Hanya membahas keuntungan pada perusahaan saja.
2. Faktor-faktor lain pada perusahaan tidak mempengaruhi keuntungan. Maka model permasalahan dari permasalahan di atas dapat dituliskan sebagai berikut: Max Z = 80x1 + 110x2 + 60x3 + 40x4 dengan Kendala: 67x1 + 100x2 + 55x3 + 34x4≤ 190 xj = 0 atau 1; j = 1, 2, 3, 4 Min Z = Min (-Z) = -80x1 – 110x2 – 60x3 – 40x4 dengan transformasi: 1 – yj, cj< 0
xj=
yj , cj≥ 0 j = 1, 2, 3, 4
ganti x1 = 1 - y1, x2 = 1 - y2, x3 = 1 - y3, x4= 1 - y4 kedalam fungsi tujuannya yang sudah diubah ke masalah minimum sebagai berikut:
Min Z = Min(-Z) = -80x1 – 110x2 – 60x3 – 40x4
= -80(1 - y1) – 110(1 - y2) – 60(1 - y3) – 40( 1- y4) = -80 + 80y1 – 110 + 110y2 – 60 + 60y3 – 40 + 40y4 = -290 + 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4
menjadi:
Min Z = 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4 – 290 Min Z + 290 = 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4 Dengan mengandaikan nilai Z0=Z + 290
Akibatnya, Min Z0= 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4
Kemudian mengubah bentuk kendalanya menjadi ≥ dengan mengalikan -1: = -1(67x1 + 100x2 + 55x3 + 34x4) ≤ -1(190)
= -67x1 – 100x2 – 55x3 – 34x4≥ -190
= -67(1 - y1) – 100(1 - y2) – 55(1 – y3) – 34(1 – y4) + 190 ≥ 0 = 67y1+ 100y2+ 55y3+ 34y4 – 66 ≥ 0
dengan yj = 0 atau 1 untuk j = 1, 2, 3, 4
Setelah melakukan prosedur diatas maka masalah baru yang harus diselesaikan menjadi:
Min Z0= 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4 dengan Kendala:
Q= 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 ≥ 0 yj = 0 atau 1 untuk j = 1, 2, 3, 4
Kemudian melakukan sistematika dari langkah–langkah menurut Metode Balas sebagai berikut:
1. Menetapkan: S = {1, 2, 3, 4}, dengan S adalah jumlah variabel bebas pada permasalahan.
Zmin = 1010, bilangan sebarang yang bebas ditentukan.
2. Hitung Z = ∑ ����̅ ���, sehingga Z = 0, karena pada langkah pertamaSc = Ø. 3. Hitung kendala Qi(i = 1, 2, 3, 4) dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya
ke dalam fungsi kendala, di mana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanScdan S yakni sama dengan 0. Jika kendala layak, maka harga variabel yang digunakan untuk menghitung kendala membentuk suatu jawaban layak. Misalkan K merupakan himpunan kendala tidak layak. diperoleh:
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 ≥ 0 Q = 67(0) + 100(0) + 55(0) + 34(0) – 66 ≥ 0 Q = 0 – 66 ≥ 0
Q = -66 ≥ 0, tidak memenuhi dengan memisalkan K adalah himpunan tidak layak. K = {Q}
4. K tidak himpunan kosong, K = {Q}.
Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5. Tetapkan: B = Zmin– Z
= 1010 – 0 = 1010
6. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:
a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y2, y3, y4}
K = {1, 2, 3, 4}
b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y1, y2, y3, y4< 1010
= {1, 2, 3, 4}
Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {1, 2, 3, 4}.
7. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.
T bukan himpunan kosong, dengan T = {1, 2, 3, 4}.
8. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y1 = y2= y3 = y4 = 1, maka diperoleh: Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 ≥ 0
Q = 67(1) + 100(1) + 55(1) + 34(1) – 66 ≥ 0 Q = 67 + 100 + 55 + 45 – 66 ≥ 0
Q = 190 ≥ 0, memenuhi.
9. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.
10.Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanSc, dimana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanScsebagai berikut:
a. Menghitung tiap kendala untuk setiap variabelnya yang ada dalam himpunan T, jika variabel pertama yang digunakan maka nilainya sama dengan 1, sedangkan variabel yang lain bernilai 0, begitu seterusnya untuk variabel demi variabel.
b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar yang setelah dijumlahkan dengan harga negatif yang ada pada kendala sama dengan 0.
c. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanSc,dimana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dengan syarat variabel yang dipindahkan adalah mempunyai jumlah jarak yang terkecil. Kemudian kembali ke langkah 2.
Berikut adalah hasil dari langkah–langkah di atas:
Untuk variabel 1 yang ada dalam T (y1 = 1) dan (y2 = y3 = y4 = 0)
Kendala Jarak
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(1) + 100(0) + 55(0) + 34(0) – 66 Q = 67 + 0 – 66
Q = 1
0
Kendala Jarak Q = 67y1 + 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66
Q = 67(0) + 100(1) + 55(0) + 34(0) – 66 Q = 0 + 100 + 0 – 66
Q = 34
0
Untuk variabel 3 yang ada dalam T(y3 = 1) dan (y1 = y2 = y4 = 0)
Kendala Jarak
Q = 67y1+ 100y2+ 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(0) + 100(0) + 55(1) + 34(0) – 66 Q = 0 + 55 + 0 – 66
Q = -11
11
Untuk variabel 4 yang ada dalam T(y4 = 1) dan (y1 = y2 = y3 = 0)
Kendala Jarak
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(0) + 100(0) + 55(0) + 34(1) – 66 = 0 + 34 – 66
Q = -32
32
Maka dapat diperoleh S = {y3, y4} atau S = {3, 4}, jarak terjauh.
�̅= {y1, y2} atau �̅= {1, 2}, jarak terdekat.
2a. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ ���, di manaSc = {1, 2}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y1,y2 yang baru adalah 1 berdasarkan langkah 10 di atas sebagai berikut:
Z = 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4 Z = 80(1) + 110(1) + 60(0) + 40(0) Z = 80 + 110 + 0
Z = 190
3a. Hitung kendala Qi (i = 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanScdan S yakniy1 = y2 = 1 dan y3 =y4 = 0 diperoleh:
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(1) + 100(1) + 55(0) + 34(0) – 66 Q = 67 + 100 + 0 – 66
Q = 101 ≥ 0, memenuhi. 4a. Solusi layak, K = Ø.
12.Menetapkan harga variabel yang ada padaScdan S yakniy1 = y2 = 1 dan y3 = y4= 0.
13.Bila Z<Zmin terus ke langkah 14, jika bukan ke langkah 15. = Z<Zmin
= 190 < 1010
14.Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin = Z = 190
15.Jajakan ulang,Sc tidak kosong maka lanjut ke langkah 16. Sc= {1, 2}
16.Bila anggota terakhir dalamScnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.
Sc= {y1, y2} atau {1, 2} di mana anggota terakhirnya bukan negatif.
17.Menjadikan anggota terakhirScadalah negatif sehingga, Sc = {1, -2}variabel yang dinegatifkan yang awalnya pada langkah 12 berharga 1 sekarang menjadi 0, atau dapat dituliskany2 = 0, kemudian kembali ke langkah 2.
2b. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ ���, dimana Sc = {1, -2}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y1 = 1 dan y2 yang baru adalah 0, berdasarkan langkah 17 sebagai berikut:
Z = 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4 Z = 80(1) + 110(0) + 60(0) + 40(0) Z = 80 + 0
Z = 80
3b. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan S yakniy1 = 1, y2= 0 dan y3= y4 = 0 diperoleh:
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(1) + 100(0) + 55(0) + 34(0) – 66
Q = 67 + 0 – 66 Q = 1, memenuhi. 4b. Solusi layak, K = Ø.
12a. Menetapkan harga variabel yang ada pada Scdan Syakniy1 = 1, y2 = 0 dan y3= y4 = 0.
13a. Bila Z<Zmin terus ke langkah 14, jika bukan ke langkah 15. = Z<Zmin
= 80 < 190
14a. Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin= Z = 80
15a. Jajakan ulang, Sc tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.
16a. Bila anggota terakhir dalam Scnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.
Sc= {1, -2} terlihat bahwa anggota terakhirnya negatif.
18.Bila semua anggota dalam Scbertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.
Sc= {1, -2}
19.Menjadikan anggota positif terkanan dalam Sc= {1, -2} menjadi negatif dan memindahkan anggota yang sudah negatif terlebih dahulu dari Scke dalam S. Sehingga diperoleh Sc= {-1} dan S = {2, 3, 4}. Kembali ke langkah 2.
2c. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ ���, di mana Sc = {-1}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y1 yang baru adalah 0, berdasarkan langkah 19 sebagai berikut:
Z = 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4 Z = 80(0) + 110(0) + 60(0) + 40(0) Z = 0
3c. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan S yakniy1 = 0 dan y2=y3 = y4 = 0 diperoleh:
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(0) + 100(0) + 55(0) + 34(0) – 66 Q = 0 – 66
Q = -66, tidak memenuhi. 4c. Solusi tidak layak.K ={Q}. 5a. Menetapkan B = Zmin– Z.
= 80 – 0 = 80
6a. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:
a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y2, y3, y4}
K = {2, 3, 4}
b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y3, y4< 80
= {3, 4}
Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {3, 4}.
7a. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.
T bukan himpunan kosong, dengan T = {3, 4}
8a. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y3 = y4 = 1, maka diperoleh:
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 ≥ 0 Q = 67(0) + 100(0) + 55(1) + 34(1) – 66 ≥ 0 Q = 0 + 55 + 34 – 66 ≥ 0
Q = 23 ≥ 0, memenuhi.
9a. Kendala memenuhi. Bila tidak lanjut ke langkah 11.
10a. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Sc, dimana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Scsebagai berikut:
a. Menghitung tiap kendala untuk setiap variabelnya yang ada dalam himpunan T, jika variabel pertama yang digunakan maka nilainya sama
dengan 1, sedangkan variabel yang lain bernilai 0, begitu seterusnya untuk variabel demi variabel.
b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar yang setelah dijumlahkan dengan harga negatif yang ada pada kendala sama dengan 0.
c. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanSc,dimana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dengan syarat variabel yang dipindahkan adalah mempunyai jumlah jarak yang terkecil. Kemudian kembali ke langkah 2.
Untuk variabel 3 yang ada dalam T(y3 = 1) dan (y1= y2= y4 = 0)
Kendala Jarak
Q = 67y1 + 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(0) + 100(0) + 55(1) + 34(0) – 66 Q = 0 + 55 + 0 – 66
Q = -11
11
Untuk variabel 4 yang ada dalam T(y4 = 1) dan (y1 = y2 = y3 = 0)
Kendala Jarak
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(0) + 100(0) + 55(0) + 34(1) – 66 = 0 + 34 – 66
Q = -32
32
Maka dapat diperoleh S = {y4} atau S = {4}, jarak terjauh. Sc= {y3} atau Sc= {3}, jarak terdekat.
Akibatnya di peroleh Scyang baru = {3, -1}
2d. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ ���, di mana Sc= {3, -1}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y3 yang baru adalah 1, berdasarkan langkah 10asebagai berikut:
Z = 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4 Z = 80(0) + 110(0) + 60(1) + 40(0) Z = 60
3d. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan S yakniy3 = 1, y1= 0 dan y2 = y4 = 0 diperoleh:
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(0) + 100(0) + 55(1) + 34(0) – 66 Q = 0 + 55 – 66
Q = -11, tidak memenuhi. 4d. Solusi tidak layak.K ={Q}. 5b. Menetapkan B = Zmin – Z.
= 80 – 60 = 20
6b. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:
a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y2, y4}
K = {2, 4}
b. Koefisien fungsi tujuan <B. = Ø< 20
=Ø
Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = Ø.
7b. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14. Thimpunan kosong.
14b. Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin= Z = 60
15b. Jajakan ulang, �̅tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.
�̅= {3, -1}
16b. Bila anggota terakhir dalam �̅negatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.
Sc= {3, -1} terlihat bahwa anggota terakhirnya negatif.
18b. Bila semua anggota dalam Sc bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.
Sc= {3, -1}, tidak semua bertanda negatif.
19b. Menjadikan anggota positif terkanan dalam Sc= {3, -1} menjadi negatif dan memindahkan anggota yang sudah negatif terlebih dahulu dari �̅ke dalam S. Sehingga diperoleh Sc= {-3} dan S = {1, 2, 4}. Kembali ke langkah 2.
2e. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ ���, di mana Sc= {-3}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y3 yang baru adalah 0, berdasarkan langkah 19b sebagai berikut:
Z = 80y1 + 110y2 + 60y3 + 40y4 Z = 80(0) + 110(0) + 60(0) + 40(0) Z = 0
3d. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan Syakniy3 = 0 dan y1=y2 = y4 = 0 diperoleh:
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 Q = 67(0) + 100(0) + 55(0) + 34(0) – 66 Q = 0 – 66
Q = -66, tidak memenuhi. 4e. Solusi tidak layak.K ={Q}. 5c. Menetapkan B = Zmin – Z.
= 60 – 0 = 60
6c. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:
a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y2, y4}
K = {1, 2, 4}
b. Koefisien fungsi tujuan <B. = {y4}<60
Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {4}.
7b. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14. T bukan himpunan kosong. T = {4}.
8b. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y4 = 1, maka diperoleh:
Q = 67y1+ 100y2 + 55y3 + 34y4 – 66 ≥ 0 Q = 67(0) + 100(0) + 55(0) + 34(1) – 66 ≥ 0 Q = 0 + 34 – 66 ≥ 0
Q = -32 ≥ 0, tidak memenuhi.
9b. Kendala tidak memenuhi. Bila tidak lanjut ke langkah 11.
11.Jika Sckosong, teruskan ke langkah 21. Jika tidak, teruskan ke langkah 16.Sc= {-3}
12.Bila anggota terakhir dalam Scnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.
Sc= {-3} terlihat bahwa anggota terakhirnya negatif.
18c. Bila semua anggota dalam Scbertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.
20.Jawaban lengkap sesuai dengan Zminadalah optimal. Bila Zmin= 1010 maka jawaban tidak ada.
Zmindipilih sesuai dengan syarat kendala. Zmin = 80 dengan y1= 1 dan y2 = y3 = y4 = 0.
Akibatnya, Min Z + 290 = 80y1 + 110y2+ 60y3 + 40y4 Min Z + 290 = 80(1) + 110(0) + 60(0) + 40(0) Min Z + 290 = 80 Min Z = 80 – 290 Min Z = -210 Untuk xj terdapat: x1 = 1 – y1 = 1 – 1 = 0 x2 = 1 - y2 = 1 – 0 = 1 x3 = 1 – y3= 1 – 0 = 1
x4 = 1 – y4= 1 – 0 = 1
sehingga diperoleh jawaban optimal untuk xj adalah: x1= 0; x2= 1; x3 = 1; x4= 1
dengan Max Z = 80x1+ 110x2 + 60x3 + 40x4 Max Z = 80(0) + 110(1) + 60(1) + 40(1) = 110 + 60 + 40
= 210
Jadi, Siinvestor harus menginvestasikan uangnya kepada perusahaan 2, 3, dan 4 untuk mendapatkan keuntungan maksimum yaitu dengan total keuntungan Rp 210.000.000,00.
BAB 4
