Permasalahan Ransel - Metode Balas Dalam Penyelesaian Model Knapsack

Permasalahan ransel itu sendiri merupakan persoalan yang menarik di mana dihadapkan dengan persoalan optimasi pemilihan pemasukan benda ke dalam wadah yang memiliki keterbatasan ruang dan daya tampung di mana benda yang dimasukan harus dalam keadaan utuh. Masing-masing benda yang ada di dalam memiliki sebuah nilai yang memiliki berat, harga dan lain-lain sebagai penentu dalam proses pemilihan. Pada akhir proses diinginkan memiliki solusi optimum dengan benda yang ada di dalamnya.

3.2.1 Kasus

Seorang pencuri memasuki sebuah rumah. Dia membawa tas yang hanya muat mengangkut 10 kg barang. Di dalam rumah terdapat barang A, B, C, D, dan E. Barang A beratnya 4 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 6.000.000,00. Barang B beratnya 2 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 4.000.000,00. Barang C beratnya 1 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 3.000.000,00. Barang D beratnya 6 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 9.000.000,00. Barang E beratnya 3 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 5.000.000,00.

Setiap barang hanya terdapat 1 buah, dan tidak bisa diambil sebagian. Sipencuri hanya punya pilihan untuk membawa atau meninggalkannya, tidak bisa membawa setengah(FMIPA, BINUS. 2008). Barang apa saja yang harus dibawa Sipencuri agar keuntungan yang diperolehnya maksimal.

Penyelesaian:

Untuk mempermudah penyelesaian keterangan barang dan harga dibuat dalam tabel berikut:

Tabel 3.2 Berat dan Harga Tiap Jenis Barang

Barang Berat (Kg) Harga (dalam juta)

A 4 6

B 2 4

C 1 3

D 6 9

E 3 5

Model permasalahan dari permasalahan di atas dapat tuliskan sebagai berikut: Max Z = 6x1 + 4x2 + 3x3 + 9x4+ 5x5

dengan Kendala:

4x1 + 2x2 + x3 + 6x4+ 3x5≤ 10 x_j = 0 atau 1; j = 1, 2, 3, 4

Bentuk umum dari Metode Balas akan dilakukan beberapa perubahan, antara lain: 1. Fungsi objektif yang setiap variabel xjmempunyai nilai koefisien negatif, untuk variabel xjdiganti menjadi (1 - xj).

2. Kendala i dengan bentuk pertidaksamaan ≤, kendala ini akan diubah ke dalam bentuk pertidaksamaan ≥ dengan cara mengalikan ruas kiri dan kanan dengan -1.

3. Fungsi tujuan maksimum diubah menjadi bentuk minimum dengan mengalikan -1.

Ubah terlebih dahulu masalah maksimum ke dalam masalah minimum,dengan mengalikan fungsi tujuan dengan -1 menjadi:

Min Z = Min (-Z) = -6x1 - 4x2 - 3x3 - 9x4- 5x5 dengan transformasi: 1 – yj, cj< 0 xj= y_j , c_j≥ 0 j = 1, 2, 3, 4

ganti x1 = 1 - y1, x2 = 1 - y2, x3 = 1 - y3, x4= 1 - y4,x5= 1 – y5 kedalam fungsi tujuannya yang sudah diubah kemasalah minimum sebagai berikut:

Min Z = Min(-Z) = -6x1 - 4x2 - 3x3 - 9x4- 5x5 = -6(1 - y1) – 4(1 - y2) – 3(1 - y3) – 9( 1- y4) – 5(1 – y5) = -6 + 6y1 – 4 + 4y2 – 3 + 3y3 - 9 + 9y4- 5 + 5y4 = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y4 - 27 menjadi: Min Z = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5 - 27 Min Z + 27 = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5 Dengan mengandaikan nilai Z₀=Z + 27 Akibatnya, Min Z0= 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5

Kemudian mengubah bentuk kendalanya menjadi ≥ dengan mengalikan -1: = -1(4x₁ + 2x₂ + x₃ + 6x₄+ 3x₅) ≤ -1(10)

= -4x1 - 2x2 - x3 - 6x4- 3x5≥ -10

=-4(1 - y1) – 2(1 - y2) – 1(1 - y3) – 6( 1- y4)– 3( 1- y5) + 10 ≥ 0

=-4 + 4y1 – 2 + 2y2 – 1 + y3 – 6 + 6y4- 3 + 3y4 + 10 ≥ 0

= 4y1+ 2y2 + y3+ 6y4+ 3y5 – 6 ≥ 0

dengan yj = 0 atau 1 untuk j = 1, 2, 3, 4.

Setelah melakukan prosedur diatas maka masalah yang harus diselesaikan menjadi:

Min Z0= 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5 dengan Kendala:

Q= 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 ≥ 0 yj = 0 atau 1 untuk j = 1, 2, 3, 4.

Kemudian melakukan sistematika dari langkah–langkah menurut Metode Balas sebagai berikut:

1. Menetapkan: S = {1, 2, 3, 4, 5}, dengan S adalah jumlah variabel bebas pada permasalahan.

S^c = Ø, himpunan kosong.

Z_min = 10¹⁰, bilangan sebarang yang bebas ditentukan.

2. Hitung Z = ∑ �_��̅ _�.�_�, sehingga Z = 0, karena pada langkah pertama S^c= Ø. 3. Hitung Qi(i = 1, 2, 3, 4, 5) dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya ke

dalam fungsi kendala, di mana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanS^c dan S yakni sama dengan 0. Jika kendala layak, maka harga variabel yang digunakan untuk menghitung kendala membentuk suatu jawaban layak. Misalkan K merupakan himpunan kendala tidak layak. Sehingga diperoleh:

Q = 4y1 +2y2 + y3 + 6y4 + 3y5 – 6 ≥ 0

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0)+ 3(0) - 6 ≥ 0 Q = 0 – 6 ≥ 0

Q = -6 ≥ 0, tidak memenuhi dengan memisalkan K adalah himpunan tidak layak. K = {Q}

4. K tidak himpunan kosong, K = {Q}.

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5. Tetapkan: B = Zmin– Z

= 10¹⁰ – 0 = 10¹⁰

6. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y2, y3, y4, y5}

K = {1, 2, 3, 4, 5}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y₁, y₂, y₃, y₄, y₅< 10¹⁰ = {1, 2, 3, 4, 5}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {1, 2, 3, 4, 5}.

7. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.

8. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y1 = y2= y3 = y4 = 1, maka diperoleh: Q = 4y1 +2y2 + y3 + 6y4 + 3y5 – 6 ≥ 0

Q = 4(1) + 2(1) + 1(1) + 6(1)+ 3(1) - 6 ≥ 0 Q = 4 + 2 + 1 + 6 + 3 - 6 ≥ 0

Q = 10 ≥ 0, memenuhi.

9. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.

10. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan S^cyang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan S^c sebagai berikut:

a. Menghitung tiap kendala Qi (i = 1, 2, 3, 4, 5) untuk setiap variabelnya yang ada dalam himpunan T, jika variabel pertama yang digunakan maka nilainya sama dengan 1, sedangkan variabel yang lain bernilai 0, begitu seterusnya untuk variabel demi variabel.

b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar hasilnya(harga mutlaknya).

c. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanS^c, di mana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dengan syarat variabel yang dipindahkan adalah mempunyai jumlah jarak yang terkecil. Kemudian kembali ke langkah 2.

Berikut adalah hasil dari langkah–langkah di atas:

Untuk variabel 1 yang ada dalam T (y1 = 1) dan (y2 = y3 = y4 = y5 = 0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 Q = 4(1) + 2(0) + 1(0) + 6(0) + 3(0) - 6 Q = 4 + 0 – 6 Q = -2 2

Untuk variabel 2 yang ada dalam T (y2 = 1) dan (y1 = y3 = y4= y5 = 0) Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(1) + 1(0) + 6(0) + 3(0) - 6 Q = 0 + 2 + 0 – 6 Q = -4 4

Untuk variabel 3 yang ada dalam T (y3 = 1) dan (y1 = y2 = y4= y5= 0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(0) + 1(1) + 6(0) + 3(0) - 6 Q = 0 + 1 + 0 – 6 Q = -5 5

Untuk variabel 4 yang ada dalam T (y₄ = 1) dan (y1 = y2 = y3 = y5 =0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(1) + 3(0) - 6 Q = 0 + 6 – 6 Q = 0 0

Untuk variabel 5 yang ada dalam T (y5 = 1) dan (y1 = y2 = y3 = y4 =0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0) + 3(1) - 6 Q = 0 + 3 – 6 Q = -3 3

Maka dapat diperoleh S = {y1, y2, y3, y5} atau S = {1, 2, 3, 5}, jarak terjauh. S^c = {y4} atau S^c = {4}, jarak terdekat.

2a. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ �_��̅ _��_�, di mana S^c= {4} sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y4 yang baru adalah 1 berdasarkan langkah 10 di atas sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5

Z = 9 + 0 Z = 9

3a. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan S^c dan S yakni y4 = 1 dan y1 =y2= y3 =y5 = 0 diperoleh:

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(1) + 3(0) – 6 Q = 6 + 0 - 6

Q = 0, memenuhi. 4a. Solusi layak, K= Ø.

12.Menetapkan harga variabel yang ada padaS^cdan S yakni y4 = 1 dan y1 = y2 = y3 = y5 = 0.

13.Bila Z<Zmin terus ke langkah 14, jika bukan ke langkah 15. = Z<Zmin

= 9 < 10¹⁰

14. Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Z_min = Z = 9

15. Jajakan ulang, S^c tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.

16. Bila anggota terakhir dalam S^c negatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

S^c= {y4} atau {4} di mana anggota terakhirnya bukan negatif.

17. Menjadikan anggota terakhir S^cadalah negatif sehingga, S^c= {-4}variabel yang dinegatifkan yang awalnya pada langkah 12 berharga 1 sekarang menjadi 0, atau dapat dituliskany4 = 0, kemudian kembali ke langkah 2.

2b. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ��̅ ��^{, di manaS}^c^{= {-4}sehingga dapat} diperoleh Z dengan nilai dan y4 yang baru adalah 0, berdasarkan langkah 17 sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2 + 3y3 + 9y4 + 5y5

Z = 6(0) + 4(0) + 3(0) + 9(0)+ 5(0) Z = 0 + 0

3b. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan S^cdan Syakniy4= 0 dan y1= y2 = y3 = y5 = 0 diperoleh:

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0)+ 3(0) – 6 Q = 0 + 0 + 0 + 0 – 6

Q = -6 ≥ 0, tidak memenuhi. 4b. Solusi tidak layak.K = {Q}

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5a. Menetapkan: B = Zmin– Z

= 9 – 0 = 9

6a. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y2, y3, y5}

K = {1, 2, 3, 5}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y1, y2, y3, y5 < 9

= {1, 2, 3, 5}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {1, 2, 3, 5}.

7a. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.

T bukan himpunan kosong, dengan T = {1, 2, 3, 5}.

8a. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y1 = y2= y3 = y5 = 1, maka diperoleh: Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 ≥ 0

Q = 4(1) + 2(1) + 1(1)+ 3(1) - 6 ≥ 0 Q = 4 + 2 + 1 + 3 - 6 ≥ 0

9a. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.

10a. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan S^cyang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan S^c sebagai berikut:

b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar hasilnya(harga mutlaknya).

Berikut adalah hasil dari langkah–langkah di atas:

Untuk variabel 1 yang ada dalam T (y1 = 1) dan (y2 = y3 = y5 = 0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 Q = 4(1) + 2(0) + 1(0) + 3(0) - 6 Q = 4 + 0 – 6 Q = -2 2

Untuk variabel 2 yang ada dalam T (y2 = 1) dan (y1 = y3 = y5 = 0) Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(1) + 1(0) + 3(0) - 6 Q = 0 + 2 + 0 – 6 Q = -4 4

Untuk variabel 3 yang ada dalam T (y3 = 1) dan (y1 = y2 = y5= 0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(0) + 1(1) + 3(0) - 6 Q = 0 + 1 + 0 – 6 Q = -5 5

Untuk variabel 5 yang ada dalam T (y₅ = 1) dan (y1 = y2 = y3 =0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 3(1) - 6 Q = 0 + 3 – 6 Q = -3 3

Maka dapat diperoleh S = {y2, y₃, y5} atau S = {2, 3, 5}, jarak terjauh. S^c = {y₁} atau S^c = {1}, jarak terdekat. Akibatnya S^c yang baru = {1, -4}.

2c. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ��̅ ��^{, di mana S}^c^{= {1, -4}sehingga dapat} diperoleh Z dengan nilai dan y1 yang baru adalah 1, berdasarkan langkah 17 sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2 + 3y3 + 9y4 + 5y5

Z = 6(1) + 4(0) + 3(0) + 9(0) + 5(0) Z = 6 + 0

Z = 6

3b. Hitung kendala Q_i(i = 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan S^cdan Syakniy1= 1, y4= 0 dan y2 = y3 = y5 = 0 diperoleh: Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4 + 0 + 0 + 0 – 6 Q = -2 ≥ 0, tidak memenuhi. 4b. Solusi tidak layak.K = {Q}

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5a. Menetapkan: B = Zmin– Z

= 9 – 6 = 3

6b. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y₂, y₃, y₅}

K = {2, 3, 5}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = Ø< 3

=Ø

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = Ø.

7b. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14. dengan T = Ø.

14a. Membuat Zmin= Z, kemudian ke langkah 15. Zmin = Z = 6.

15a. Jajakan ulang, S^c tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.

16a. Bila anggota terakhir dalam S^cnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

S^c= {y1,y4} atau {1, -4} di mana anggota terakhirnya negatif.

18a.Bila semua anggota dalam S^c= {1, -4} bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.

19.Menjadikan anggota positif terkanan dalam S^c= {1, -4} menjadi negatif dan memindahkan anggota yang sudah negatif terlebih dahulu dari S^cke dalam S. Sehingga diperoleh S^c= {-1} dan S = {2, 3, 4, 5}. Kembali ke langkah 2.

2d. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ��̅ ��^{, di manaS}^c^{= {-1}sehingga dapat} diperoleh Z dengan nilai y1 yang baru adalah 0, berdasarkan langkah 19 sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2 + 3y3 + 9y4 + 5y5

Z = 6(0) + 4(0) + 3(0) + 9(0) + 5(0) Z = 0 + 0

Z = 0

3d. Hitung kendala Q_i(i = 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan S^cdan Syakniy₁= 0 dan y₂ = y₃= y₄= y₅ = 0 diperoleh: Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0)+ 3(0) – 6 Q = 0 + 0 + 0 + 0 – 6

Q = -6 ≥ 0, tidak memenuhi. 4d. Solusi tidak layak.K = {Q}

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5d. Menetapkan: B = Zmin– Z

= 6 – 0 = 6

6c. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y2, y3, y4, y5}

K = {2, 3, 4, 5}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y2, y3, y5 < 6

= {2, 3, 5}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {2, 3, 5}.

7c. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.

8b. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y2= y3 = y5 = 1, maka diperoleh:

Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 ≥ 0

Q = 4(0) + 2(1) + 1(1)+ 3(1) - 6 ≥ 0 Q = 0 + 2 + 1 + 3 - 6 ≥ 0

Q = 0 ≥ 0, memenuhi.

9b. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.

10b. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan S^cyang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan S^c sebagai berikut:

b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar hasilnya(harga mutlaknya).

Berikut adalah hasil dari langkah–langkah di atas:

Untuk variabel 2 yang ada dalam T (y2 = 1) dan (y3 = y5 = 0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(1) + 1(0) + 3(0) - 6 Q = 0 + 2 + 0 – 6 Q = -4 4

Untuk variabel 3 yang ada dalam T (y3 = 1) dan (y2 = y5= 0) Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(0) + 1(1) + 3(0) - 6 Q = 0 + 1 + 0 – 6 Q = -5 5

Untuk variabel 5 yang ada dalam T (y5 = 1) dan (y1 = y2 = y3 =0)

Kendala Jarak Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 3(1) - 6 Q = 0 + 3 – 6 Q = -3 3

Maka dapat diperoleh S = {y_2,y₃, y₄} atau S = {2, 3, 4}, jarak terjauh. S^c = {y5} atau S^c= {5}, jarak terdekat. Akibatnya �̅yang baru = {5, -1}.

2e. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ �_��̅ ��_�, di mana S^c = {5, -1}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilaiy5 yang baru adalah 1, berdasarkan langkah 10b sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2 + 3y3 + 9y4 + 5y5

Z = 6(0) + 4(0) + 3(0) + 9(0) + 5(1) Z = 0 + 5

Z = 5

3e. Hitung kendala Q_i(i = 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan S^cdan Syakniy₅= 1, y₁ = 0 dan y₂ = y₃= y₄ = 0 diperoleh: Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0)+ 3(1) – 6 Q = 0 + 0 + 0 + 3 – 6

Q = -3 ≥ 0, tidak memenuhi. 4e. Solusi tidak layak.K = {Q}

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12.

= 6 – 5 = 1

6d. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y2, y3, y4}

K = {2, 3, 4}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = Ø < 1

= Ø

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = Ø.

7d. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14. T himpunan kosong.

14a. Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Z_min= Z = 5.

15b. Jajakan ulang, S^c tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.

16b. Bila anggota terakhir dalamS^cnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

S^c= {y5,y1} atau {5, -1} di mana anggota terakhirnya negatif.

18b.Bila semua anggota dalamS^c = {5, -1} bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.

19a.Menjadikan anggota positif terkanan dalamS^c = {5, -1} menjadi negatif dan memindahkan anggota yang sudah negatif terlebih dahulu dariS^c ke dalam S. Sehingga diperoleh S^c = {-5} dan S = {1, 2, 3, 4}. Kembali ke langkah 2. 2f. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ��̅ ��^{, di manaS}^c^{= {-5}sehingga dapat}

diperoleh Z dengan nilai y5 yang baru adalah 0 berdasarkan langkah 10 di atas sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5

Z = 6(0) + 4(0) + 3(0) + 9(0)+ 5(0) Z = 0 + 0

3f. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanS^c dan S yakni y5 = 0 dan y1 =y2= y3 =y4 = 0 diperoleh:

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0) + 3(0) – 6 Q = 0 + 0 - 6

Q = -6, tidak memenuhi. 4f. Solusi tidak layak, K= {Q}. 5f. Menetapkan: B = Z_min– Z

= 6 – 0 = 1

6d. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y2, y3, y4}

K = {1, 2, 3, 4}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = {y2, y₃, y₅} < 6

= {2, 3, 5}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {2, 3}.

7d. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14. Tbukan himpunan kosong.T = {2, 3}.

8b. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y2= y3 = 1, maka diperoleh:

Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 ≥ 0

Q = 4(0) + 2(1) + 1(1)+ 3(0) - 6 ≥ 0 Q = 0 + 2 + 1 + 0 - 6 ≥ 0

Q = -3 ≥ 0, tidak memenuhi.

9b. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala tidak terpenuhi.

11.JikaS^c kosong teruskan ke langkah 21. Jika tidak terus ke langkah 16. S^ctidak kosong. S^c= {-5}

16c. Bila anggota terakhir dalamS^cnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

S^c= {y5} atau {-5} di mana anggota terakhirnya negatif.

18c.Bila semua anggota dalamS^c = {-5} bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.

20.Jawaban lengkap sesuai dengan nilai Zmin adalah optimal. Zmin dipilih sesuai dengan syarat kendala.

Zmin= 9 dengan y4= 1 dan y1 = y2 = y3 = y5 = 0. Akibatnya, Min Z + 27 = 6y₁ + 4y₂+ 3y₃ + 9y₄+ 5y₅ Min Z + 27 = 6(0) + 4(0) + 3(0) + 9(1)+ 5(0) Min Z + 27 = 0 + 9 Min Z = 9 – 27 Min Z = -18 Untuk xjterdapat: x₁ = 1 – y1 = 1 – 0 = 1 x₂ = 1 - y2 = 1 – 0 = 1 x₃ = 1 – y3= 1 – 0 = 1 x4 = 1 – y4= 1 – 1 = 0 x5 = 1 – y5= 1 – 0 = 1

Sehingga diperoleh jawaban optimal untuk xj adalah: x1= 1; x2= 1; x3 = 1; x4= 0; x5= 1

dengan Max Z =6y1 + 4y2+ 3y3 + 9y4+ 5y5 Max Z = 6(1) + 4(1) + 3(1) + 9(0)+ 5(1)

= 6 + 4 + 3 + 0 + 5 = 18

Jadi barang-barang yang perlu dibawa oleh Sipencuri untuk mendapatkan keuntungan maksimum yaitu barang 1, 2, 3, dan 5 dengan total keuntungan Rp 18.000.000,00.

Dalam dokumen Metode Balas Dalam Penyelesaian Model Knapsack (Halaman 41-57)