• Tidak ada hasil yang ditemukan

Metode Balas Dalam Penyelesaian Model Knapsack

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2016

Membagikan "Metode Balas Dalam Penyelesaian Model Knapsack"

Copied!
73
0
0

Teks penuh

(1)

METODE BALAS DALAM PENYELESAIAN MODEL

KNAPSACK

SKRIPSI

FRANS ARGA SIMATUPANG

100803009

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

METODE BALAS DALAM PENYELESAIAN MODEL

KNAPSACK

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

FRANS ARGA SIMATUPANG

100803009

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : Metode Balas dalam Penyelesaian Model Knapsack

Kategori : Skripsi

Nama : Frans Arga Simatupang Nomor Induk Mahasiswa : 100803009

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan,Juli 2014 Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si Dr. Elly Rosmaini, M.Si NIP. 195312181980031003 NIP. 196005201985032002

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(4)

PERNYATAAN

METODE BALAS DALAM PENYELESAIAN MODEL KNAPSACK

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2014

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Metode Balas dalam Penyelesaian Model Knapsack.

Terimakasih penulis sampaikan kepada IbuDr. Elly Rosmaini, M.Si dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Drs. Sawaluddin, M.IT dan Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Siselaku Ketua dan Sekretaris

Departemen Matematika FMIPA USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh

(6)

METODE BALAS DALAM PENYELESAIAN MODEL KNAPSACK

ABSTRAK

Keterbatasan wadah yang digunakan saat memilih barang yang akan dibawa merupakan perhatian utama padakasus distribusi, ransel atau kasus lainnya dari sekian banyak barang yang harus didistribusikan atau dimasukan, yang masing-masing memiliki berat danharga yang berbeda-beda. Permasalahan tersebut dinamakan Knapsack 0-1 Problem.Untuk menyelesaikan masalah 0-1, banyak algoritmayang dapat digunakan, salah satunya Algoritma atau Metode Balas. Metode Balas menyelesaikan permasalahan 0-1 dengan langkah perulangan tanpa harus menumerasinya secara eksplisit. Tujuan yang ingin dicapai yaitu untuk mengetahui barang–barang apa saja yang akan dipilih untuk dimasukan atau didistribusikan berdasarkan langkah-langkah pada Metode Balas sehingga mendapatkan hasil optimal.

(7)

BALAS’S METHOD FOR SOLUTION KNAPSACK MODEL

ABSTRACT

Limited container or places that can used for choose many things that will bring is principal attention for distribution case, backpack, or else from many things that should distributed or in , that each of things have different weight and price. The set of problems called Knapsack Problem. For this 0-1 problem, many Methods or Algorithm can be used. One of them called Algorithm or Balas Method. Which this Method used for 0-1 Problem with trail step without have to make enumeration explicit. The purpose of this research for get maximum profit from the choosen things.

(8)

DAFTAR ISI

Halam an

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak iv

Abstract v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel vii

Bab 1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 2

1.5 Manfaat Penelitian 2

1.6 Metodologi Penelitian 3

Bab 2. Tinjauan Pustaka

2.1 Program Integer 4

2.1.1 Definisi Program Integer 4

2.1.2 Jenis-JenisProgram Integer 5

2.1.3 Sifat Umum Program Integer 6

2.1.4 Metode dalam Program Integer 7 2.2 Knapsack

2.2.1 Definisi Knapsack 13

2.2.2 Permasalahan Knapsack 13

2.2.3 Jenis-Jenis Permasalahan Knapsack 13

2.2.4 Jenis-Jenis Knapsack 14

2.2.5 Model Knapsack 15

Bab 3. Pembahasan

3.1Permasalahan Transportasi 16

3.1.1 Kasus 16

3.2Permasalahan Ransel 31

3.2.1 Kasus 31

3.3Permasalahan Investasi 48

3.3.1 Kasus 48

Bab 4. Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 61

4.2 Saran 61

(9)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

(10)

METODE BALAS DALAM PENYELESAIAN MODEL KNAPSACK

ABSTRAK

Keterbatasan wadah yang digunakan saat memilih barang yang akan dibawa merupakan perhatian utama padakasus distribusi, ransel atau kasus lainnya dari sekian banyak barang yang harus didistribusikan atau dimasukan, yang masing-masing memiliki berat danharga yang berbeda-beda. Permasalahan tersebut dinamakan Knapsack 0-1 Problem.Untuk menyelesaikan masalah 0-1, banyak algoritmayang dapat digunakan, salah satunya Algoritma atau Metode Balas. Metode Balas menyelesaikan permasalahan 0-1 dengan langkah perulangan tanpa harus menumerasinya secara eksplisit. Tujuan yang ingin dicapai yaitu untuk mengetahui barang–barang apa saja yang akan dipilih untuk dimasukan atau didistribusikan berdasarkan langkah-langkah pada Metode Balas sehingga mendapatkan hasil optimal.

(11)

BALAS’S METHOD FOR SOLUTION KNAPSACK MODEL

ABSTRACT

Limited container or places that can used for choose many things that will bring is principal attention for distribution case, backpack, or else from many things that should distributed or in , that each of things have different weight and price. The set of problems called Knapsack Problem. For this 0-1 problem, many Methods or Algorithm can be used. One of them called Algorithm or Balas Method. Which this Method used for 0-1 Problem with trail step without have to make enumeration explicit. The purpose of this research for get maximum profit from the choosen things.

(12)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode Balas merupakansalah satu metode yang ada dalam Program Integer yang membahas permasalahan “ya atau tidak” yang saling berhubungan. Jika masalah diformulasikan dalam model matematika, maka akan didapat suatu permasalahan biner (0-1), di mana solusi optimum yang diinginkan hanya bernilai 0 dan 1 saja atau biner (Susi, Astuti H. 1999).

Knapsack adalah tas atau karung yang digunakan untuk memasukan

sesuatu, tetapi tidak semua barang dapat ditampung dalam karung tersebut. Karung tersebut hanya dapat menampung beberapa objek dengan total ukuran atau beratnya lebih kecil atau sama dengan kapasitas karung (Martello Silvano, Psinger, David dan Toth, Paolo. 2000).

Permasalahan Knapsack merupakan permasalahan dalam program bilangan bulat yang memiliki satu kendala. Dalam program bilangan bulat permasalahan Knapsack dapat dibagi menjadi beberapa bidang permasalahan, yaitu permasalahan dalam pengiriman barang atau penjualan barang (transportasi), permasalahan Knapsack itu sendiri (ransel), dan lainnya.

Permasalahan Knapsack untuk bidang transportasi merupakan suatu permasalahan yang sering dihadapi oleh perusahaan atau pedagang dalam pengiriman dan pengelolaan barang. Permasalahan ini sering juga terjadi pada media transportasi ketika akan mengangkut banyak barang, dimana berat barang yang diangkut tersebut tidak boleh melebihi kapasitas limit daya tampung media transportasi tersebut, dan diharapkan dari pengangkutan barang tersebut didapatkan profit atau keuntungan yang semaksimal mungkin.

(13)

penentu dalam proses pemilihan (Martello Silvano, Psinger, David dan Toth, Paolo. 2000). Pada akhir proses diinginkan memiliki solusi optimum dengan benda yang ada di dalamnya.

Kasus Knapsack dapat diselesaikan dengan berbagai metode, tetapi penulis tertarik untuk menyelesaikannya dengan menggunakan Metode Balas. Meskipun secara teoritis persoalan Knapsack sulit diselesaikan, namun Metode Balas cukup efisien dan praktis untuk menyelesaikannya. Saat ini akan dibahas penerapan Algoritma atau Metode Balas untuk menyelesaikan masalah program linier biner dengan variabel 0 dan 1 dalam problema Knapsack. Dengan judul

METODE BALAS DALAM PENYELESAIAN MODEL KNAPSACK.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan dalam penelitian ini adalah memilih barang yang akan dibawa atau didistribusikan dari sejumlah barang-barang yang ada di mana dari pemilihan barang tersebut diperoleh keuntungan maksimum.

1.3Batasan Masalah

Batasan-batasan dalam permasalahan ini hanya mencakup 3 batasan, yaitu: 1. Permasalahan hanya memiliki 1 kendala (constrain).

2. Metode penyelesaian yang digunakan hanya Metode Balas. 3. Hanya menyelesaikan kasus Knapsack.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan hasil yang optimal dari barang-barang yang dipilih pada kasus Knapsack berdasarkan langkah-langkah yang ada pada Metode Balas.

1.5Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah:

1. Memperkaya literatur serta menambah wawasan penulis mengenai Metode Balas pada Program Integer.

(14)

1.6 Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini, penulis menggunakan studi literatur dengan menerapkan teori-teori dengan masalah yang dibahas. Langkah-langkahnya sebagai berikut: 1. Diberikan definisi dari Program Integer.

2. Menjelaskan bentuk umum problema Knapsack. 3. Menjelaskan langkah-langkah dalam Metode Balas. 4. Menganalisis problema Knapsack dengan Metode Balas.

(15)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Program Integer

2.1.1 Definisi Program Integer

Program Integer adalah program linier (Linear Programming) di mana variabel-variabelnya bertipe integer(bulat). Program Integerdigunakan untuk memodelkanpermasalahan yang variabel-variabelnya tidak mungkin berupa bilangan yang tidak bulat (bilangan riil), seperti variabel yang merepresentasikan jumlah orang atau benda,karena jumlah orang atau benda pasti bulat dan tidak mungkin berupa pecahan. Program Integer juga biasanya lebih dipilih untuk memodelkan suatu permasalahan karena program linier dengan variabel berupa bilangan riil kurang baik dalammemodelkan permasalahan yang menuntut solusi berupa bilangan integer, misalnya variabel-variabel keputusannya jumlah cabang Bank di daerah berbeda di suatu Negara. Solusi pecahan tentu tidak dapat diterima

dalam keputusan Bank.

Program Integermerupakan bentuk khusus atau variasi dari program linier, di mana salah satu atau lebih dalam vektor penyelesaiannya memiliki nilai integer.Program Integer yang membatasi variabel keputusan pada sebagian saja

yang dibatasi pada nilai integer disebut Program IntegerCampuran (Susi, Astuti H. 1999). Pokok pikiran utama dalam Program Integer adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah

menerjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika. . Pada masalah Program Integer untuk pola memaksimumkan, nilai tujuan

(16)

2.1.2 Jenis-Jenis Program Integer

Terdapat tiga jenis Program Integer, yaitu sebagai berikut:

1. Program Integer Murni (Pure Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif.

2. Program Integer Campuran (Mixed Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki beberapa, tetapi tidak semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif.

3. Program Integer Biner (Zero One Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1.

Bentuk umum dari masalah Program Integer Murni adalah sebagai berikut(Susanta, B. 1994):

Menentukan

x

j, j= 1, 2, ... , n

Maksimumkan atau Minimumkan:Z =

�=1

j

x

j Kendala:

∑ �

j

x

j =

b

j≥ 0dan

x

j�bilangan bulat 2.1 untuk

j

=1,2, … ,n

di mana:

Z = fungsi sasaran atau fungsi tujuan

x

j = variabel keputusan

c

j= koefisien fungsi tujuan

j = koefisien kendala

b

= nilai ruas kanan
(17)

Programming).Program Integer Campuran merupakan Program Integer tapi

variabel keputusannya tidak semua merupakan bilangan bulat ada variabel keputusan yang bernilai pecahan (Yamit, Zulian. 1991).

Bentuk umum dari masalah Program Integer Biner adalah sebagai berikut:

Maksimum atau Mininimum: Z =

�=1

Kendala:

��=1

x

j

=

b

j= 1, 2, … , n

x

j≥ 0dan

x

j{0, 1} 2.2

2.1.3 Sifat Umum Program Integer

Semua persoalan Program Integer mempunyai empat sifat umum yaitu, sebagai berikut (Susanta, B. 1994):

1. Fungsi Tujuan (objective function)

Persoalan Program Integer bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan pada umumnya berupa laba atau biaya sebagai hasil yang optimal.

2. Adanya kendala atau batasan (constrains) yang membatasi tingkat sampai di mana sasaran dapat dicapai. Oleh karena itu, untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu kuantitas fungsi tujuan bergantung kepada sumber daya yang jumlahnya terbatas.

3. Harus ada beberapa alternatif solusi layak yang dapat dipilih.

4. Tujuan dan batasan dalam permasalahan Program Integer harus dinyatakan dalam hubungan dengan pertidaksamaan atau persamaan linier.

(18)

Algoritma atau Metode yang cukup baik untuk memberikan solusi dalam Program Integeryaitu:

1. Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound)

Cara ini mula-mula dipakai untuk menyelesaikan program bilangan bulat. Ternyata cara ini tidak saja hanya dapat digunakan untuk program bilangan cacah, tetapi juga dapat digunakan untuk program matematika yang lain. Menurut (Taha, H.A.2007),untuk melaksanakan teknikpencabangan dan pembatasan (Branch and Bound) ada dua operasi dasar, yaitu:

a. Pencabangan (Branching)

Pencabangan merupakan langkah yang dilakukan pada persoalan yang tidak integer menjadi subpersoalan yang integer.

b. Pembatasan (Bounding)

Pembatasan merupakan pembatasan setiap subpersoalan yang dibuat dengan pencabangan.Batas ini penting untuk tingkatan jawaboptimal dari subpersoalan dan penemuan jawab optimal bilangan bulat.

Teknik pencabangan dan pembatasan (Branch and Bound) mencari solusi optimal dari suatu persoalanProgram Integerdenganmenumerasi titik-titik dalam daerah fisibel dari suatu subpersoalan.

Keuntungan dari cara pencabangan dan pembatasanadalah cara yang efisien untuk mendapatkan seluruh jawaban layak (fisibel), sedangkan kerugian cara ini adalah akan mencari seluruh jawaban program linier pada setiap titik. Pada persoalan yang besar akan memerlukan waktu yang cukup lama, terutama bila yang dibutuhkan hanya keterangan mengenai nilai objektif yang optimum.

Langkah-langkah Metode Branch and Bound: 1. Pembatasan(Bound)

Pada algoritma branch and bound terdapat dua batas yaitu batas atas (upper bound) dan batas bawah (lower bound).

2. Pencabangan(Branching)

(19)

Penambahan pembatas ini ditujukan untuk membuat variabel keputusan ang belum bernilai integersupaya bernilai integer.

3. Penghentian pencabangan(Fathoming)

Pencabangan atau pencarian solusi pada suatu submasalah dihentikan jika: a. Infeasible atau tidak mempunyai daerah layak.

b. Semua variabel keputusan yang harus bernilai bulat sudah bernilai bulat.

c. Pada masalah maksimisasi, penghentian pencabangan pada suatu submasalah dilakukan jika batas atas dari submasalah tersebut tidak lebih besar atau sama dengan batas bawah.

d. Pada masalah minimisasi penghentian pencabangan pada suatu submasalah dilakukan jika batas bawah tidak lebih lebih kecil atau sama dengan batas atas.

2. Pemotongan Bidang Datar (Cutting Plane)

Pendekatan yang dilakukan dalam teknik pemotonganbidang datar (Cutting Plane) adalah denganmembuat pembatas tambahan yang memotong ruang

layak dari program linier sehingga dapat mengeliminasi solusi yang tidak integer. Proses pemotongan akan terus berlangsung sehingga diperoleh

jawaban dengan seluruh variabel (yang dikehendaki) berharga bilangan bulat (integer). Keberhasilan teknikini sangat terbatas, bergantung pada struktur persoalan yang dihadapi. Artinya hanya persoalan tertentu yang dapat diselesaikan dengan teknik ini. Karena itu, sekarang teknik ini hampir tidak pernah digunakan lagi.

Kelemahan dari algoritma pemotongan bidang datar adalah kesalahan- kesalahan pada pembulatanyang dilakukan dalam perhitungan dapat menghasilkanjawaban bilangan bulat yang salah. Selanjutnya jawaban dari persoalan masih belum fisibel berarti tidak ada jawaban bilangan bulat yang diperoleh sampaijawaban bilangan bulat yang optimal dicapai tadi,dan ini berarti bahwa tidak ada jawaban integer yang baik jika perhitungan dihentikan lebih awal sebelum mencapai hasil jawaban yang optimal.

(20)

1. Selesaikan masalah Program Integerdengan Metode Simpleks.

2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai bulat, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecahan, lanjut langkah 3.

3. Buatlah suatu skala gomory dan cari solusi optimum dengan dual Simpleks.

3. Metode Balas

Egon Balas mengembangkan satu cara atau algoritma untuk menyelesaikan problema program bilangan cacah nol-satu (0-1). Pendekatan yang digunakan ialah pendekatan enumerasi, baik yang total maupun implisit, terhadap setiap kombinasi variabel yang diatur sama dengan 0 dan 1. Kombinasi 0 dan 1 yang memenuhi semua kendala dan meminimumkan fungsi tujuan dinyatakan sebagai jawaban optimal (Benjamin, Lev dan Weiss, Howard J. 1982).

Kalau terdapat sejumlah n variabel, maka ada 2n kombinasi yang mungkin. Tetapi, sangatlah sulit untuk memeriksa semua 2n kombinasi variabel yang memenuhi semua kendala. Oleh karena itu, diperlukan suatu prosedur yang secara sistematis mampu memeriksa hanya sebagian dari semua kombinasi yang ada, sebelum mencapai satu jawaban optimal. Inilah yang disebut sebagai enumerasi implisit (Taha H.A.2007).

Prosedur pokok dari cara enumerasi implisit ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

1. Dimulai dengan mengatur semua variabel sama dengan 0.

2. Tetapkan secara sistematis variabel tertentu untuk dijadikan berharga 1 hingga ditemukan jawaban layak.

3. Periksa dengan cermat kombinasi mana yang bisa dikembangkan hingga dapat dijadikan sebagai jawaban optimal.

(21)

MinimumkanZ =

�=1

j

x

j

Kendala:

∑ �

j

x

j

b

2.3

di mana:

Z = fungsi tujuan atau fungsi objektif.

c

j

x

j =variabel dan koefisien keputusan.

untuk

j

=1,2, … ,n

x

j≥ 0 dan

x

j�{0, 1}

Kondisi yang tidak mengikuti bentuk umum dari Metode Balas akan dilakukan beberapa perubahan, antara lain:

1. Fungsi objektif yang setiap variabel xjmempunyai nilai koefisien negatif, untuk variabel xjdiganti menjadi (1 - xj).

2. Kendala dengan bentuk pertidaksamaan ≤, kendala ini akan diubah ke dalam bentuk pertidaksamaan ≥ dengan cara mengalikan ruas kiri dan kanan dengan (-1).

Adapun sistematika cara Balas adalah sebagai berikut: 1. Tetapkan: �= {1, 2, ... , n}

Sc= Ø Zmin = 1010

2. Hitung �=∑ ����̅

Beberapa dari xiditetapkan berharga 0.

3. Hitung tiap kendala Qi (i = 1, 2, ... , n) dengan menggunakan variabel dalam Sc dengan harga-harga yang telah ditetapkan ditambah dengan variabel dalam S yang masing-masing himpunan sama dengan 0. Jika tiap kendala layak, maka harga variabel yang digunakan untuk menghitung kendala membentuk suatu jawab layak. Misalkan K merupakan himpunan kendala yang tidak layak. 4. Bila Khimpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12, kalau tidak teruskan

ke langkah 5.

(22)

6. Pilih variabel dalam S yang mempunyai kesempatan yang membuat semua kendala menjadi layak, yaitu misalkan T himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam beberapa kendala dalam K. b. Koefisien fungsi tujuan <B.

Kendala yang tidak terpenuhi hanya dapat dibuat lebih tidak layak dengan menetapkan harga 1 terhadap variabel dengan koefisien negatif dalam kendala, jadi hanya variabel dengan koefisien positif dalam kendala yang diketahui yang mempunyai kesempatan membuat kendala jadi layak (≥ 0). Begitu juga , suatu variabel xk dalam S sedemikian hingga:

�=� �

���

+ � ≥ ����

tidak termasuk dalam S karena jawab layak yang bersesuaian dengan Zmin sekurang-kurangnya sudah cukup bagus.

7. Bila T himpunan kosong, teruskan ke langkah 14 kalau tidak teruskan ke langkah 8.

8. Untuk setiap kendala dalam �, tetapkan harga 1 bagi variabel bebas dalam � yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui. Tetapkan variabel dalam Sc sama dengan harga yang sudah ditentukan.

9. Bila masih ada dari kendala tetap tidak dipenuhi, maka terus ke langkah 11 kalau tidak terus ke langkah 10.

10.Pindahkan dari Scdan tambahkan ke S variabel dalam T yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Proses ini digarap dalam langkah a sampai c.

a. Hitung tiap kendala Qi (�= 1, ... , n) untuk tiap variabel, misalkan xkdalam

� dengan menggunakan variabel Sc dengan harga yang telah ditetapkan, xk = 1 dan tiap variabel S yang tersisa samakan dengan 0.

b. Harga absolut dari hasil negatif adalah solusi yang dikembangkan menjadi layak.

(23)

11.Kalau Sc kosong, teruskan kelangkah 21. Kalau tidak, tidak ada jawab parsial layak yang disajikan oleh S mempunyai harga yang lebih kecil dari Zmin,teruskan ke langkah 16.

12.Variabel dalam Sc dengan harga yang sudah ditetapan, bersama-sama dengan variabel dalam S yang ditetapkan sama dengan 0, membentuk jawab yang lengkap. Terus ke langkah 13.

13.Bila Z < Zmin. Maka terus ke langkah 14, kalau bukan maka terus kelangkah 15.

14.Buat Zmin = Z. Simpan dulu jawab lengkap ini dan terus ke langkah 15. 15.Jajakan ulang

Bila Sc kosong maka jawaban layak xi = 0 (i = 1, 2, ... , n) adalah optimal, lalu terus ke langkah 20. Bila tidak, terus kelangkah 16.

16.Bila anggota terakhir dalam Sc negatif, terus kelangkah 18, kalau tidak terus kelangkah 17. Anggota terkanan dalam �̅ adalah anggota terakhir dalam Sc. 17.Jadikan anggota terakhir (paling kanan) dalam Sc negatif dan kembali

kelangkah 2. Variabel yang bersesuaian dengan anggota terakhir telah ditetapkan berharga 1 (indeks yang sesuai dalam Sc sudah positif). Sekarang kita menetapkan variabel jadi 0 (ubah tanda anggota terakhir dalam Sc menjadi negatif).

18.Bila semua anggota dalamSc bertanda negatif, maka jawab optimal telah ditemukan sehingga terus kelangkah 20,kalau belum terus kelangkah 19.

19.Jadikan anggota positif terkanan dalam Sc menjadi negatif dan pindahkan anggota yang sisa kesebelah kanan dalam Sc. Tambahkan anggota yang sudah keluar, masuk kedalam S. kembali kelangkah 2.

20.Jawab lengkap sesuai dengan Zmin adalah optimal. Bila Zmin = 1010 maka jawaban optimal tidak ada.

21.Tidak ada jawab optimal untuk problemnya.

2.2Knapsack

(24)

Knapsack adalah tas atau karung yang digunakan untuk memasukan sesuatu,

tetapi tidak semua barang dapat ditampung dalam karung tersebut. Karung tersebut hanya dapat menampung beberapa objek dengan total ukuran atau beratnya lebih kecil atau sama dengan kapasitas karung.

2.2.2 Permasalahan Knapsack

Permasalahan knapsack adalah permasalahan program linier yang hanya memiliki satu kendala. Program Integer merupakan salah satu bentuk program linier dengan penambahan syarat bahwa semua variabel keputusan bernilai bulat (integer). Permasalahan knapsack bilangan bulat adalah permasalahan program bilangan bulat yang hanya memiliki satu kendala. Salah satu dari banyak benda akan dimasukan ke dalam suatu benda yang berkapasitas. Masing-masing benda memiliki harga dan berat yang mana akan dimasukan untuk mendapatkan hasil maksimum (Martello Silvano, Psinger, David dan Toth, Paolo. 2000). Sebagai contoh, misalnya perusahaan properti dalam menggunakan modalnya dalam 1 tahun untuk pembelian barang. Tujuan dari perusahaan yaitu mencari keuntungan optimal selama setahun dan banyaknya barang. Harga dasar digunakan sebagai kendala, sedangkan keuntungan barang sebagai fungsi tujuan. Pada masalah ini diasumsikan persediaan barang sebelumnya habis terjual. Jika variabel keputusan mewakili banyaknya pembelian dari kelompok barang, maka jawaban berupa pecahan tidak tepat dalam menyelesaikan masalah. Jadi diperlukan penambahan syarat yaitu syarat yang menyatakan variabel-variabel yang harus bernilai bulat.

2.2.3 Jenis-Jenis PermasalahanKnapsack

Terdapat tiga jenis permasalahan pada Knapsack berdasarkan kasus yang ingin dibahas, yaitu:

1. Permasalahan Knapsack untuk bidang transportasi

(25)

media transportasi tersebut, dan diharapkan dari pengangkutan barang tersebut didapatkan profit atau keuntungan yang semaksimal mungkin.

2. Permasalahan Knapsackatau permasalahan ransel

Permasalahan Knapsack itu sendiri merupakan persoalan yang menarik di mana dihadapkan dengan persoalan optimasi pemilihan pemasukan benda ke dalam wadah yang memiliki keterbatasan ruang dan daya tampung di mana benda yang dimasukan harus dalam keadaan utuh. Masing-masing benda yang ada di dalam memiliki sebuah nilai yang memiliki berat, harga dan lain-lain sebagai penentu dalam proses pemilihan. Pada akhir proses diinginkan memiliki solusi optimum dengan benda yang ada di dalamnya.

3. Permasalahan Knapsack untuk bidang investasi

Permasalahan Knapsack untuk bidang investasi yaitu di mana seorang investor akan menginvestasikan uangnya kepada berbagai perusahaan untuk mendapatkan keuntungan maksimum, dari hasil keuntungan tersebut di mana investor akan menentukan perusahaan mana yang lebih memberikan untung yang besar kepadanya (dipilih) dibandingkan dengan perusahaan lain (tidak dipilih).

2.2.4 Jenis-Jenis Knapsack

Permasalan Knapsack memiliki tiga jenis persoalan, yaitu: 1. Knapsack0-1

Sesuatu yang dimasukkan ke dalam karung dimensinya harus dimasukkan semua atau tidak sama sekali.

2. KnapsackBounded

Sesuatu yang dimasukkan ke dalam karung dimensinya bisa dimasukkan sebagaian atau seluruhnya.

3. KnapsackUnbounded

Setiap barang tersedia lebih dari satu unit, jumlahnya tidak terbatas. 4. Fractional Knapsack Problem

Barang boleh dibawa sebagian saja (unit dalam pecahan).

(26)

Bagian terpenting dari penelitian adalah bagaimana menerjemahkanpermasalahan sehari-hari ke dalam model matematis. Faktor-faktor yangmempengaruhi pemodelan harus disederhanakan dan apabila ada data yangkurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yangbersifat rasional.

Permasalahan knapsack bilangan bulat merupakan permasalahan programbilangan bulat yang memiliki satu kendala tunggal, sehingga pada modelnyaditambahkan batasan untuk variabel keputusan yang dihasilkan harus bernilai bulat (integer).Karena permasalahan knapsack bilangan bulat merupakan permasalahanprogram linier bilangan bulat, maka dalam model matematika dapat ditulissebagai berikut:

Maksimum atau Minimum Z =

�=1

j

x

j

Kendala:

��=1

x

j

=

b

x

j≥ 0 dan

x

jbilangan bulat 2.4

di mana:

Z = nilai optimal dari fungsi tujuan

c

j= keuntungan barang-j, dengan j= 1, 2,…,n

b

= besar sumber daya yang tersedia

x

j= banyaknya barang jenis ke-j
(27)

PEMBAHASAAN

3.1 Permasalahan Transportasi

Permasalahan Knapsack untuk bidang transportasi merupakan suatu permasalahan yang sering dihadapi oleh perusahaan dalam pengiriman dan pengelolaan barang. Permasalahan ini sering juga terjadi pada media transportasi ketika akan mengangkut banyak barang, di mana berat barang yang diangkut tersebut tidak boleh melebihi kapasitas limit daya tampung media transportasi tersebut, dan diharapkan dari pengangkutan barang tersebut didapatkan profit atau keuntungan yang semaksimal mungkin.

3.1.1 Kasus

Seorang pedagang keperluan rumah tangga keliling harus memilih barang-barang yang akan dijual setiap harinya dengan batas daya angkut gerobak yang dimilikinya. Untuk mempermudah, misalkan pedagang keliling tersebut hanya memiliki 4 jenis barang untuk dijual dengan berat dan keuntungan penjualan yang berbeda-beda untuk tiap jenisnya. Gerobak yang akan dipakai untuk mengangkut barang-barang tersebut hanya mampu menampung beban seberat 17kg.Beban berat berapakah yang seharusnya dipilih oleh seorang pedagang tersebut untuk memperoleh keuntungan yang maksimum (Shena Permata, Anggi. 2007).

Berikut merupakan tabel penggambaran berat dan keuntungan (dalam ribu) yang akan diperoleh untuk tiap penjualan barang tersebut:

(28)

Barang Ke- Berat (Kg) Keuntungan (Rp)

1 2 12

2 5 15

3 10 50

4 5 10

Penyelesaian: Asumsi:

1. Permintaan selalu ada.

2. Harga barang dan beratnya tetap. 3. Barang-barang tidak pernah kurang. 4. Kapasitas gerobak tetap.

Maka formulasi atau model permasalahan dari permasalahan di atas dapat tuliskan sebagai berikut:

Max Z = 12x1 + 15x2 + 50x3 + 10x4 dengan Kendala:

2x1 + 5x2 + 10x3 + 5x4≤ 17 xj = 0 atau 1; j = 1, 2, 3, 4

Bentuk umum dari Metode Balas akan dilakukan beberapa perubahan, antara lain: 3. Fungsi objektif yang setiap variabel xjmempunyai nilai koefisien negatif, untuk variabel xjdiganti menjadi (1 - xj).

4. Kendala i dengan bentuk pertidaksamaan ≤, kendala ini akan diubah ke dalam bentuk pertidaksamaan ≥ dengan cara mengalikan ruas kiri dan kanan dengan -1.

5. Fungsi tujuan maksimum diubah menjadi bentuk minimum dengan mengalikan -1.

Pertama kali ubah terlebih dahulu masalah maksimum ke dalam masalah minimum,dengan mengalikan fungsi tujuan dengan -1 menjadi:

(29)

1 – yj, cj< 0 xj=

yj , cj≥ 0 j = 1, 2, 3, 4

ganti x1 = 1 - y1, x2 = 1 - y2, x3 = 1 - y3, x4= 1 - y4 kedalam fungsi tujuannya yang sudah diubah kemasalah minimum sebagai berikut:

Min Z = Min(-Z) = -12x1 – 15x2 – 50x3 – 10x4

= -12(1 - y1) – 15(1 - y2) – 50(1 - y3) – 10( 1- y4) = -12 + 12y1 – 15 + 15y2 – 50 + 50y3 – 10 + 10y4 = -87 + 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4

menjadi:

Min Z = 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4 – 87 Min Z + 87 = 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4 Dengan mengandaikan nilai Z0=Z + 87

Akibatnya, Min Z0= 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4

Kemudian mengubah bentuk kendalanya menjadi ≥ dengan mengalikan -1: = -1(2x1 + 5x2 + 10x3 + 5x4) ≤ -1(17)

= -2x1 – 5x2 – 10x3 – 5x4≥ -17

= -2(1 - y1) – 5(1 - y2) – 10(1 – y3) – 5(1 – y4) + 17 ≥ 0 = -2 + 2y1 – 5 + 5y2 – 10 + 10y3 – 5 + 5y4 + 17 ≥ 0 = 2y1+ 5y2+ 10y3+ 5y4 – 5 ≥ 0

dengan yj = 0 atau 1 untuk j = 1, 2, 3, 4

Setelah melakukan prosedur diatas maka masalah yang harus diselesaikan menjadi:

Min Z0= 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4 dengan Kendala:

Q= 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 ≥ 0 yj = 0 atau 1 untuk j = 1, 2, 3, 4

Kemudian melakukan sistematika dari langkah–langkah menurut Metode Balas sebagai berikut:

(30)

Sc= Ø, himpunan kosong.

Zmin = 1010, bilangan sebarang yang bebas ditentukan.

2. Hitung Z = ∑ ����̅ , sehingga Z = 0, karena pada langkah pertama Sc= Ø. 3. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya

kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanScdan Syakni sama dengan 0. Jika kendala layak, maka harga variabel yang digunakan untuk menghitung kendala membentuk suatu jawaban layak. Misalkan K merupakan himpunan kendala tidak layak. diperoleh:

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 ≥ 0 Q = 2(0) + 5(0) + 10(0) + 5(0) – 5 ≥ 0

Q = 0 – 5 ≥ 0

Q = -5 ≥ 0, tidak memenuhi dengan memisalkan K adalah himpunan tidak

layak. K = {Q}

4. K tidak himpunan kosong, K = {Q}

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5. Tetapkan: B = Zmin– Z

= 1010 – 0 = 1010

6. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y2, y3, y4}

K = {1, 2, 3, 4}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y1, y2, y3, y4< 1010

= {1, 2, 3, 4}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {1, 2, 3, 4},

7. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.

(31)

8. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y1 = y2= y3 = y4 = 1, maka diperoleh: Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 ≥ 0

Q = 2(1) + 5(1) + 10(1) + 5(1) – 5 ≥ 0

Q = 2 + 5 + 10 + 5 – 5 ≥ 0

Q = 17 ≥ 0, memenuhi.

9. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.

10.Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Sc, dimana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Sc sebagai berikut:

a. Menghitung tiap kendala untuk setiap variabelnya yang ada dalam himpunan T, jika variabel pertama yang digunakan maka nilainya sama dengan 1, sedangkan variabel yang lain bernilai 0, begitu seterusnya untuk variabel demi variabel.

b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar yang setelah dijumlahkan dengan harga negatif yang ada pada kendala sama dengan 0.

c. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Sc,dimana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dengan syarat variabel yang dipindahkan adalah mempunyai jumlah jarak yang terkecil. Kemudian kembali ke langkah 2.

Berikut adalah hasil dari langkah–langkah di atas:

(32)

Kendala Jarak Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5

Q = 2(1) + 5(0) + 10(0) + 5(0) – 5

Q = 2 + 0 – 5

Q = -3

3

Untuk variabel 2 yang ada dalam T(y2 = 1) dan (y1 = y3 = y4= 0)

Kendala Jarak

Q = 2y1 + 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(1) + 10(0) + 5(0) – 5

Q = 0 + 5 + 0 – 5

Q = 0

0

Untuk variabel 3 yang ada dalam T(y3 = 1) dan (y1 = y2 = y4 = 0)

Kendala Jarak

Q = 2y1 + 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5

Q = 2(0) + 5(0) + 10(1) + 5(0) – 5

Q = 0 + 10 + 0 – 5

Q = 5

0

Untuk variabel 4 yang ada dalam T(y4 = 1) dan (y1 = y2 = y3 = 0)

Kendala Jarak

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(0) + 10(0) + 5(1) – 5

Q= 0 + 5 – 5 Q = 0

0

(33)

2a. Menghitung Z, dengan rumus Z =∑ ����̅ , di mana Sc= {2, 3, 4} sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y2,y3, y4 yang baru adalah 1 berdasarkan langkah 10 di atas sebagai berikut:

Z = 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4 Z = 12(0) + 15(1) + 50(1) + 10(1)

Z = 0 + 15 + 50 + 10

Z = 75

3a. Hitung kendala Qi(i = 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Sc dan S yakniy2 = y3 = y4= 1 dan y1 = 0 diperoleh:

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(1) + 10(1) + 5(1) – 5

Q = 0 + 5 + 10 + 5 – 5

Q = 15 ≥ 0 , memenuhi.

4a. Solusi layak, K = Ø.

12.Menetapkan harga variabel yang ada padaSc dan S yakniy2 = y3 = y4 = 1 dan y1 = 0.

13.Bila Z<Zmin terus ke langkah 14, jika bukan ke langkah 15. = Z<Zmin

= 75 < 1010

14.Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin = Z = 75

15.Jajakan ulang, Sc tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.

16.Bila anggota terakhir dalam Scnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

Sc = {y2, y3, y4} atau {2, 3, 4} di mana anggota terakhirnya bukan negatif. 17.Menjadikan anggota terakhir Scadalah negatif sehingga, Sc = {2, 3, -4}variabel

(34)

2b. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ , di manaSc = {2, 3, -4}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y2 dan y3 = 1 dan y4 yang baru adalah 0, berdasarkan langkah 17 sebagai berikut:

Z = 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4 Z = 12(0) + 15(1) + 50(1) + 10(0)

Z = 0 + 15 + 50 + 0

Z = 65

3b. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanSc dan S yakniy2 = y3 = 1, y4= 0 dan y1 = 0 diperoleh:

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(1) + 10(1) + 5(0) – 5

Q = 0 + 5 + 10 + 0 – 5

Q = 10, memenuhi.

4b. Solusi layak, K = Ø.

12a. Menetapkan harga variabel yang ada padaScdan Syakniy2 = y3 = 1, y4 = 0 dan y1 = 0.

13a. Bila Z<Zmin terus ke langkah 14, jika bukan ke langkah 15. = Z<Zmin

= 65 < 75

14a. Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin= Z = 65

15a. Jajakan ulang, Sc tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.

16a. Bila anggota terakhir dalamScnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

Sc = {2, 3, -4} terlihat bahwa anggota terakhirnya negatif.

18.Bila semua anggota dalamSc bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan kembali ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.

(35)

2c. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ .�, di manaSc = {2, -3} sehingga

dapat diperoleh Z dengan nilai y2 = 1 dan y3 = 0 berdasarkan langkah 19 sebagai berikut:

Z = 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4 Z = 12(0) + 15(1) + 50(0) + 10(0)

Z = 0 + 15 + 0 + 0

Z = 15

3c. Hitung kendala Qi (i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanScdan S yakniy2 = 1, y3 = 0 dan y1= y4 = 0 diperoleh:

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(1) + 10(0) + 5(0) – 5

Q = 0 + 5 + 0 + 0 – 5

Q = 0 ≥ 0, memenuhi. 4c. Solusi layak, K = Ø.

12b.Menetapkan harga variabel yang ada padaScdan S yakniy2 = 1, y3 = 0 dan y1 = y4 = 0.

13b.Bila Z<Zminterus ke langkah 14, jika bukan ke langkah 15. = Z <Zmin

= 15 < 65

14b. Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin = Z = 15

15b.Jajakan ulang, Sc tidak kosong maka lanjut ke langkah 16. Sc= {y2, y3 } atauSc = {2, -3}

16b. Bila anggota terakhir dalamScnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

Sc = {2, -3}, terlihat bahwa anggota terakhirnya negatif.

18a.Bila semua anggota dalamSc = {2, -3} bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.

(36)

2d.Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ , di manaSc = {-2} sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y1 = y2 = y3 = y4= 0 berdasarkan langkah 19a sebagai berikut:

Z = 12y1 + 15y2 + 50y3 + 10y4 Z = 12(0) + 15(0) + 50(0) + 10(0)

Z = 0 + 0 + 0 + 0

Z = 0

3d.Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan S yakni y2= 0 dan y1= y3 = y4 = 0 diperoleh:

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(0) + 10(0) + 5(0) – 5

Q = 0 + 0 + 0 + 0 – 5

Q = -5 ≥ 0, tidak memenuhi.

4d. Solusi tidak layak, K = {Q}. 5a. Menetapkan B = Zmin - Z.

= 15 – 0 = 15

6a. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y3, y4}

K = {1, 3, 4}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y1, y4< 15

= {1, 4}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {1, 4},

7a. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.

T bukan himpunan kosong, dengan T = {1, 4}.

(37)

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 ≥ 0 Q = 2(1) + 5(0) + 10(0) + 5(1) – 5 ≥ 0

Q = 2 + 0 + 0 + 5 – 5 ≥ 0

Q = 2 ≥ 0, memenuhi.

9a. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.

10a. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanSc, dimana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Scsebagai berikut:

a. Menghitung tiap kendala untuk setiap variabelnya yang ada dalam himpunan T, jika variabel pertama yang digunakan maka nilainya sama dengan 1, sedangkan variabel yang lain bernilai 0, begitu seterusnya untuk variabel demi variabel.

b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar yang setelah dijumlahkan dengan harga negatif yang ada pada kendala sama dengan 0.

c. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanSc,dimana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dengan syarat variabel yang dipindahkan adalah mempunyai jumlah jarak yang terkecil. Kemudian kembali ke langkah 2.

Berikut adalah hasil dari langkah–langkah diatas:

Untuk variabel 1 yang ada dalam T (y1 = 1) dan (y2= y3 = y4 = 0)

Kendala Jarak

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(1) + 5(0) + 10(0) + 5(0) – 5

Q = 2 + 0 – 5

Q = -3

(38)

Untuk variabel 4 yang ada dalam T (y4= 1) dan (y2 = y3 = y1 = 0)

Kendala Jarak

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(0) + 10(0) + 5(1) – 5

Q = 0 + 5 – 5

Q = 0

0

Maka dapat diperoleh S = {y1} atau S = {1, 3}, jarak terjauh. Sc= {y4} atau Sc = {4, -2}, jarak terdekat.

2e. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ , di mana Sc = {4, -2} sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y4 yang baru adalah 1 dan y2 = 0 berdasarkan langkah 10a di atas sebagai berikut:

Z = 12y1 + 15y2 + 50y3+ 10y4 Z = 12(0) + 15(0) + 50(0) + 10(1)

Z = 0 + 0 + 0 + 10

Z = 10

3e. Hitung kendala Qi(i = 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanScdan Syakniy4 = 1, y2 = 0 dan y1= y3 = 0 diperoleh:

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(0) + 10(0) + 5(1) – 5

Q = 0 + 0 + 0 + 5 – 5

Q = 0 ≥ 0, memenuhi. 4e. Solusi layak, K = Ø.

12c. Menetapkan harga variabel yang ada padaSc dan S yakni y4 = 1, y2 = 0 dan y1 = y3 = 0.

13c.Bila Z <Zmin terus ke langkah 14, jika bukan ke langkah 15. = Z<Zmin

= 10 < 15

14c.Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin = Z = 10

(39)

Sc = {y4, y2} atau Sc = {4, -2}

16c.Bila anggota terakhir dalam Scnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

Sc = {4, -2}, terlihat bahwa anggota terakhirnya negatif.

18b.Bila semua anggota dalam Sc = {4, -2} bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.

19b.Menjadikan anggota positif terkanan dalam Sc = {4, -2} menjadi negatif dan memindahkan anggota yang sudah negatif terlebih dahulu dari Sc ke dalam S. Sehingga diperoleh Sc = {-4} dan S = {1, 2, 3}. Kembali ke langkah 2.

2f. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ , di mana Sc = {-4} sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y4 yang baru adalah 0 berdasarkan langkah 19b di atas sebagai berikut:

Z = 12y1 + 15y2+ 50y3 + 10y4 Z = 12(0) + 15(0) + 50(0) + 10(0)

Z = 0 + 0 + 0 + 0

Z = 0

3f. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan Syakniy4 = 0 dan y1= y2 = y3 = 0 diperoleh:

Q = 2y1+ 5y2 + 10y3 + 5y4 – 5 Q = 2(0) + 5(0) + 10(0) + 5(0) – 5

Q = 0 + 0 + 0 + 0 – 5

Q = -5 ≥ 0, tidak memenuhi.

4f. Solusi tidak layak, K = {Q}.

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5b. Menetapkan B = Zmin – Z.

= 10 – 0 = 10

6b. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

(40)

K = {1, 2, 3}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = Ø < 10

= Ø

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = Ø

7b.Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14. Thimpunan kosong.

14d. Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin = Z = 0

15d.Jajakan ulang, Sc tidak kosong maka lanjut ke langkah 16. Sc = {y4} atau Sc = {-4}

16d. Bila anggota terakhir dalam Scnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

Sc = {-4}, terlihat bahwa anggota terakhirnya negatif.

18c.Bila semua anggota dalam Sc = {-4} bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.

20.Jawaban lengkap sesuai dengan nilai Zminadalah optimal. Zmin dipilih sesuai dengan syarat kendala.

Zmin = 10 dengan y4= 1 dan y1 = y2 = y3 = 0. Akibatnya, Min Z + 87 = 12y1 + 15y2+ 50y3 + 10y4 Min Z + 87 = 12(0) + 15(0) + 50(0) + 10(1) Min Z + 87 = 0 + 10

Min Z = 10 – 87 Min Z = -77

Untuk xjterdapat: x1 = 1 – y1 = 1 – 0 = 1 x2 = 1 - y2 = 1 – 0 = 1 x3 = 1 – y3= 1 – 0 = 1 x4 = 1 – y4= 1 – 1 = 0

Sehingga diperoleh jawaban optimal untuk xj adalah: x1= 1; x2= 1; x3 = 1; x4= 0

(41)

Max Z = 12(1) + 15(1) + 50(1) + 10(0) = 12 + 15 + 50 + 0

= 77

Jadi barang-barang yang perlu dibawa oleh pedagang keliling untuk mendapatkan keuntungan maksimum yaitu barang 1, 2, dan 3 dengan total keuntungan Rp 77.000,00.

3.2 Permasalahan Ransel

Permasalahan ransel itu sendiri merupakan persoalan yang menarik di mana dihadapkan dengan persoalan optimasi pemilihan pemasukan benda ke dalam wadah yang memiliki keterbatasan ruang dan daya tampung di mana benda yang dimasukan harus dalam keadaan utuh. Masing-masing benda yang ada di dalam memiliki sebuah nilai yang memiliki berat, harga dan lain-lain sebagai penentu dalam proses pemilihan. Pada akhir proses diinginkan memiliki solusi optimum dengan benda yang ada di dalamnya.

3.2.1 Kasus

Seorang pencuri memasuki sebuah rumah. Dia membawa tas yang hanya muat mengangkut 10 kg barang. Di dalam rumah terdapat barang A, B, C, D, dan E. Barang A beratnya 4 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 6.000.000,00. Barang B beratnya 2 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 4.000.000,00. Barang C beratnya 1 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 3.000.000,00. Barang D beratnya 6 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 9.000.000,00. Barang E beratnya 3 kg, jika dijual harganya mencapai Rp 5.000.000,00.

Setiap barang hanya terdapat 1 buah, dan tidak bisa diambil sebagian. Sipencuri hanya punya pilihan untuk membawa atau meninggalkannya, tidak bisa membawa setengah(FMIPA, BINUS. 2008). Barang apa saja yang harus dibawa Sipencuri agar keuntungan yang diperolehnya maksimal.

Penyelesaian:

(42)
[image:42.595.125.500.103.231.2]

Tabel 3.2 Berat dan Harga Tiap Jenis Barang

Barang Berat (Kg) Harga (dalam juta)

A 4 6

B 2 4

C 1 3

D 6 9

E 3 5

Model permasalahan dari permasalahan di atas dapat tuliskan sebagai berikut: Max Z = 6x1 + 4x2 + 3x3 + 9x4+ 5x5

dengan Kendala:

4x1 + 2x2 + x3 + 6x4+ 3x5≤ 10 xj = 0 atau 1; j = 1, 2, 3, 4

Bentuk umum dari Metode Balas akan dilakukan beberapa perubahan, antara lain: 1. Fungsi objektif yang setiap variabel xjmempunyai nilai koefisien negatif, untuk variabel xjdiganti menjadi (1 - xj).

2. Kendala i dengan bentuk pertidaksamaan ≤, kendala ini akan diubah ke dalam bentuk pertidaksamaan ≥ dengan cara mengalikan ruas kiri dan kanan dengan -1.

3. Fungsi tujuan maksimum diubah menjadi bentuk minimum dengan mengalikan -1.

Ubah terlebih dahulu masalah maksimum ke dalam masalah minimum,dengan mengalikan fungsi tujuan dengan -1 menjadi:

Min Z = Min (-Z) = -6x1 - 4x2 - 3x3 - 9x4- 5x5 dengan transformasi:

1 – yj, cj< 0 xj=

(43)

ganti x1 = 1 - y1, x2 = 1 - y2, x3 = 1 - y3, x4= 1 - y4,x5= 1 – y5 kedalam fungsi tujuannya yang sudah diubah kemasalah minimum sebagai berikut:

Min Z = Min(-Z) = -6x1 - 4x2 - 3x3 - 9x4- 5x5

= -6(1 - y1) – 4(1 - y2) – 3(1 - y3) – 9( 1- y4) – 5(1 – y5)

= -6 + 6y1 – 4 + 4y2 – 3 + 3y3 - 9 + 9y4- 5 + 5y4 = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y4 - 27

menjadi:

Min Z = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5 - 27 Min Z + 27 = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5 Dengan mengandaikan nilai Z0=Z + 27 Akibatnya, Min Z0= 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5

Kemudian mengubah bentuk kendalanya menjadi ≥ dengan mengalikan -1: = -1(4x1 + 2x2 + x3 + 6x4+ 3x5) ≤ -1(10)

= -4x1 - 2x2 - x3 - 6x4- 3x5≥ -10

=-4(1 - y1) – 2(1 - y2) – 1(1 - y3) – 6( 1- y4)– 3( 1- y5) + 10 ≥ 0

=-4 + 4y1 – 2 + 2y2 – 1 + y3 – 6 + 6y4- 3 + 3y4 + 10 ≥ 0

= 4y1+ 2y2 + y3+ 6y4+ 3y5 – 6 ≥ 0

dengan yj = 0 atau 1 untuk j = 1, 2, 3, 4.

Setelah melakukan prosedur diatas maka masalah yang harus diselesaikan menjadi:

Min Z0= 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5 dengan Kendala:

Q= 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6 ≥ 0

yj = 0 atau 1 untuk j = 1, 2, 3, 4.

(44)

1. Menetapkan: S = {1, 2, 3, 4, 5}, dengan S adalah jumlah variabel bebas pada permasalahan.

Sc = Ø, himpunan kosong.

Zmin = 1010, bilangan sebarang yang bebas ditentukan.

2. Hitung Z = ∑ ����̅ .�, sehingga Z = 0, karena pada langkah pertama Sc= Ø.

3. Hitung Qi(i = 1, 2, 3, 4, 5) dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya ke dalam fungsi kendala, di mana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunanSc dan S yakni sama dengan 0. Jika kendala layak, maka harga variabel yang digunakan untuk menghitung kendala membentuk suatu jawaban layak. Misalkan K merupakan himpunan kendala tidak layak. Sehingga diperoleh:

Q = 4y1 +2y2 + y3 + 6y4 + 3y5 – 6 ≥ 0

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0)+ 3(0) - 6 ≥ 0

Q = 0 – 6 ≥ 0

Q = -6 ≥ 0, tidak memenuhi dengan memisalkan K adalah himpunan tidak

layak. K = {Q}

4. K tidak himpunan kosong, K = {Q}.

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5. Tetapkan: B = Zmin– Z

= 1010 – 0 = 1010

6. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y2, y3, y4, y5}

K = {1, 2, 3, 4, 5}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y1, y2, y3, y4, y5 < 1010 = {1, 2, 3, 4, 5}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {1, 2, 3, 4, 5}.

7. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.

(45)

8. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y1 = y2= y3 = y4 = 1, maka diperoleh: Q = 4y1 +2y2 + y3 + 6y4 + 3y5 – 6 ≥ 0

Q = 4(1) + 2(1) + 1(1) + 6(1)+ 3(1) - 6 ≥ 0

Q = 4 + 2 + 1 + 6 + 3 - 6 ≥ 0 Q = 10 ≥ 0, memenuhi.

9. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.

10. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Scyang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Sc sebagai berikut:

a. Menghitung tiap kendala Qi (i = 1, 2, 3, 4, 5) untuk setiap variabelnya yang ada dalam himpunan T, jika variabel pertama yang digunakan maka nilainya sama dengan 1, sedangkan variabel yang lain bernilai 0, begitu seterusnya untuk variabel demi variabel.

b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar hasilnya(harga mutlaknya).

c. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanSc, di mana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dengan syarat variabel yang dipindahkan adalah mempunyai jumlah jarak yang terkecil. Kemudian kembali ke langkah 2.

Berikut adalah hasil dari langkah–langkah di atas:

Untuk variabel 1 yang ada dalam T (y1 = 1) dan (y2 = y3 = y4 = y5 = 0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(1) + 2(0) + 1(0) + 6(0) + 3(0) - 6 Q = 4 + 0 – 6

Q = -2

(46)

Untuk variabel 2 yang ada dalam T (y2 = 1) dan (y1 = y3 = y4= y5 = 0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(1) + 1(0) + 6(0) + 3(0) - 6 Q = 0 + 2 + 0 – 6

Q = -4

4

Untuk variabel 3 yang ada dalam T (y3 = 1) dan (y1 = y2 = y4= y5= 0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(1) + 6(0) + 3(0) - 6 Q = 0 + 1 + 0 – 6

Q = -5

5

Untuk variabel 4 yang ada dalam T (y4 = 1) dan (y1 = y2 = y3 = y5 =0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(1) + 3(0) - 6 Q = 0 + 6 – 6

Q = 0

0

Untuk variabel 5 yang ada dalam T (y5 = 1) dan (y1 = y2 = y3 = y4 =0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0) + 3(1) - 6 Q = 0 + 3 – 6

Q = -3

3

Maka dapat diperoleh S = {y1, y2, y3, y5} atau S = {1, 2, 3, 5}, jarak terjauh. Sc = {y4} atau Sc = {4}, jarak terdekat.

2a. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ , di mana Sc= {4} sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y4 yang baru adalah 1 berdasarkan langkah 10 di atas sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2+ 3y3+ 9y4+ 5y5

(47)

Z = 9 + 0

Z = 9

3a. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Sc dan S yakni y4 = 1 dan y1 =y2= y3 =y5 = 0 diperoleh:

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(1) + 3(0) – 6 Q = 6 + 0 - 6

Q = 0, memenuhi.

4a. Solusi layak, K= Ø.

12.Menetapkan harga variabel yang ada padaScdan S yakni y4 = 1 dan y1 = y2 = y3 = y5 = 0.

13.Bila Z<Zmin terus ke langkah 14, jika bukan ke langkah 15. = Z<Zmin

= 9 < 1010

14. Membuat Zmin = Z, kemudian ke langkah 15. Zmin = Z = 9

15. Jajakan ulang, Sc tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.

16. Bila anggota terakhir dalam Sc negatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

Sc= {y4} atau {4} di mana anggota terakhirnya bukan negatif.

17. Menjadikan anggota terakhir Scadalah negatif sehingga, Sc= {-4}variabel yang dinegatifkan yang awalnya pada langkah 12 berharga 1 sekarang menjadi 0, atau dapat dituliskany4 = 0, kemudian kembali ke langkah 2.

2b. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ , di manaSc= {-4}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai dan y4 yang baru adalah 0, berdasarkan langkah 17 sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2 + 3y3 + 9y4 + 5y5

Z = 6(0) + 4(0) + 3(0) + 9(0)+ 5(0)

Z = 0 + 0

(48)

3b. Hitung kendala Qi(i= 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan Syakniy4= 0 dan y1= y2 = y3 = y5 = 0 diperoleh:

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0)+ 3(0) – 6

Q = 0 + 0 + 0 + 0 – 6

Q = -6 ≥ 0, tidak memenuhi.

4b. Solusi tidak layak.K = {Q}

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5a. Menetapkan: B = Zmin– Z

= 9 – 0 = 9

6a. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y1, y2, y3, y5}

K = {1, 2, 3, 5}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y1, y2, y3, y5 < 9

= {1, 2, 3, 5}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {1, 2, 3, 5}.

7a. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.

T bukan himpunan kosong, dengan T = {1, 2, 3, 5}.

8a. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y1 = y2= y3 = y5 = 1, maka diperoleh: Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 ≥ 0

Q = 4(1) + 2(1) + 1(1)+ 3(1) - 6 ≥ 0

(49)

9a. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.

10a. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Scyang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Sc sebagai berikut:

a. Menghitung tiap kendala Qi (i = 1, 2, 3, 4, 5) untuk setiap variabelnya yang ada dalam himpunan T, jika variabel pertama yang digunakan maka nilainya sama dengan 1, sedangkan variabel yang lain bernilai 0, begitu seterusnya untuk variabel demi variabel.

b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar hasilnya(harga mutlaknya).

c. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunanSc, di mana variabelnya yang ada dalam himpunan T, dengan syarat variabel yang dipindahkan adalah mempunyai jumlah jarak yang terkecil. Kemudian kembali ke langkah 2.

Berikut adalah hasil dari langkah–langkah di atas:

Untuk variabel 1 yang ada dalam T (y1 = 1) dan (y2 = y3 = y5 = 0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6

Q = 4(1) + 2(0) + 1(0) + 3(0) - 6 Q = 4 + 0 – 6

Q = -2

(50)

Untuk variabel 2 yang ada dalam T (y2 = 1) dan (y1 = y3 = y5 = 0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(1) + 1(0) + 3(0) - 6 Q = 0 + 2 + 0 – 6

Q = -4

4

Untuk variabel 3 yang ada dalam T (y3 = 1) dan (y1 = y2 = y5= 0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(1) + 3(0) - 6 Q = 0 + 1 + 0 – 6

Q = -5

5

Untuk variabel 5 yang ada dalam T (y5 = 1) dan (y1 = y2 = y3 =0)

Kendala Jarak

Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 3(1) - 6 Q = 0 + 3 – 6

Q = -3

3

Maka dapat diperoleh S = {y2, y3, y5} atau S = {2, 3, 5}, jarak terjauh. Sc = {y1} atau Sc = {1}, jarak terdekat. Akibatnya Sc yang baru = {1, -4}.

2c. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ , di mana Sc = {1, -4}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai dan y1 yang baru adalah 1, berdasarkan langkah 17 sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2 + 3y3 + 9y4 + 5y5

Z = 6(1) + 4(0) + 3(0) + 9(0) + 5(0)

Z = 6 + 0

Z = 6

3b. Hitung kendala Qi(i = 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan Syakniy1= 1, y4= 0 dan y2 = y3 = y5 = 0 diperoleh: Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

(51)

Q = 4 + 0 + 0 + 0 – 6

Q = -2 ≥ 0, tidak memenuhi.

4b. Solusi tidak layak.K = {Q}

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5a. Menetapkan: B = Zmin– Z

= 9 – 6 = 3

6b. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y2, y3, y5}

K = {2, 3, 5}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = Ø< 3

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = Ø.

7b. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14. dengan T = Ø.

14a. Membuat Zmin= Z, kemudian ke langkah 15. Zmin = Z = 6.

15a. Jajakan ulang, Sc tidak kosong maka lanjut ke langkah 16.

16a. Bila anggota terakhir dalam Scnegatif, teruskan ke langkah 18, bila tidak ke langkah 17.

Sc= {y1,y4} atau {1, -4} di mana anggota terakhirnya negatif.

18a.Bila semua anggota dalam Sc= {1, -4} bertandanegatif, maka jawab optimal telah ditemukan terus ke langkah 20. Jika belum ke langkah 19.

(52)

2d. Menghitung Z, dengan rumusZ = ∑ ����̅ , di manaSc= {-1}sehingga dapat diperoleh Z dengan nilai y1 yang baru adalah 0, berdasarkan langkah 19 sebagai berikut:

Z = 6y1 + 4y2 + 3y3 + 9y4 + 5y5

Z = 6(0) + 4(0) + 3(0) + 9(0) + 5(0)

Z = 0 + 0

Z = 0

3d. Hitung kendala Qi(i = 1, 2, 3, 4, 5)dengan mensubstitusi nilai–nilai variabelnya kedalam fungsi kendala, dimana nilai pada variabelnya yaitu yang ada dalam himpunan Scdan Syakniy1= 0 dan y2 = y3 = y4 = y5 = 0 diperoleh: Q = 4y1+2y2 + y3+ 6y4+ 3y5– 6

Q = 4(0) + 2(0) + 1(0) + 6(0)+ 3(0) – 6

Q = 0 + 0 + 0 + 0 – 6

Q = -6 ≥ 0, tidak memenuhi.

4d. Solusi tidak layak.K = {Q}

Bila K himpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12. 5d. Menetapkan: B = Zmin– Z

= 6 – 0 = 6

6c. Memilih variabel dalam S yang dapat membuat semua kendala layak. Misalkan T adalah himpunan variabel dalam S yang mempunyai:

a. Koefisien positif dalam kendala dalam K. K = {y2, y3, y4, y5}

K = {2, 3, 4, 5}

b. Koefisien fungsi tujuan <B. = y2, y3, y5 < 6

= {2, 3, 5}

Untuk mendapatkan nilai T diperoleh dari irisan a dan b. T = {2, 3, 5}.

7c. Bila T = Ø, teruskan ke langkah 14.

(53)

8b. Menetapkan nilai 1 bagi variabel bebas dalam T, yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui,y2= y3 = y5 = 1, maka diperoleh:

Q = 4y1+2y2 + y3+ 3y5– 6 ≥ 0

Q = 4(0) + 2(1) + 1(1)+ 3(1) - 6 ≥ 0

Q = 0 + 2 + 1 + 3 - 6 ≥ 0 Q = 0 ≥ 0, memenuhi.

9b. Bila masih ada dari kendala tidak terpenuhi, terus ke langkah 11. Kendala terpenuhi, dengan Q ≥ 0.

10b. Memindahkan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Scyang ada dalam himpunan T, dan variabel tersebut adalah yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Adapun langkah–langkah untuk proses pemindahan variabel yang ada dalam himpunan S ke himpunan Sc sebagai berikut:

a. Menghitung tiap kendala Qi (i = 1, 2, 3, 4, 5) untuk setiap variabelnya yang ada dalam himpunan T, jika variabel pertama yang digunakan maka nilainya sama dengan 1, sedangkan variabel yang lain bernilai 0, begitu seterusnya untuk variabel demi variabel.

b. Menentukan minimum jarak, dengan syarat jika kendala hasilnya positif atau 0 maka jaraknya 0, dan jika kendala hasilnya negatif maka jaraknya adalah sebesar hasilnya(harga mutlaknya).

c. Memindahkan variabel yang ada dal

Gambar

Tabel 3.2 Berat dan Harga Tiap Jenis Barang

Referensi

Dokumen terkait

Masalah Knapsack 0/1 dapat didefinisikan dalam menentukan lintasan terpendek dari titik sumber ke tujuan yang memenuhi kendala biaya dan waktu pada suatu graph.. Lintasan

Model arc-flow yang terbentuk hanya menggunakan kendala pemenuhan permintaan dan kendala nonnegatif, sedangkan kendala yang berkaitan dengan konservasi flow tidak

Dalam membangun sistem penalaran fuzzy, dibutuhkan beberapa parameter masukan meliputi: data yang menjadi variabel input beserta data himpunan yang menyertai tiap

Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang memuat n variabel dan m kendala dengan menggunakan kedua metode tersebut. Keefisienan kedua

Sebuah fungsi polinomial p adalah aturan yang memadankan tiap objek atau variabel x dari himpunan pertama (disebut dengan daerah asal, daerah de fi nisi ) dengan nilai unik y

Sedangkan sisanya lebih besar nilainya yaitu 64,6% yang diterangkan oleh variabel lain yang tidak dijelaskan pada penelitian ini.Berdasarkan t hitung, variabel usability

Model arc-flow yang terbentuk hanya menggunakan kendala pemenuhan permintaan dan kendala nonnegatif, sedangkan kendala yang berkaitan dengan konservasi flow

Pertama, grafik keanggotan kurva linear naik, yaitu kenaikan himpunan fuzzy dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke