Kebanyakan orang, jika ditanya apakah ide tentang awal metematika, mereka akan menjawab “bilangan (angka)”, mungkin juga “hitungan”. Oleh karena itu, dalam uraian berikut, kami akan menganalisis secara konseptual dua ide yang saling berkaitan erat.
A. Bilangan dan Berhitung
Bilangan dan berhitung tidak dapat dipisahkan. Ada kemungkinan seseorang memunculkan ide dasar tentang suatu angka, tetapi tidak mempunyai kemampuan. Jean Piaget dalam teorinya telah menunjukkan bahwa anak-anak dapat berhitung dengan cara terbatas; tanpa benar-benar mempunyai konsep tentang angka. Tetapi jika dengan berhitung seseorang dapat mengartikan sesuatu, misalnya “mengetahui banyaknya buah apel dalam sebuah mangkuk”.
Dengan demikian jauh lebih jelas arti berhitung dalam kehidupan sehari-hari, seperti cara menemukan sifat tertentu dari suatu kumpulan benda yang dapat kita sebut sebagai angka. Hal ini menunjukkan bahwa angka dan berhitung merupakan dua hal yang terkait erat hubungannya, dan dari kedua hal tersebut, angka merupakan hal yang lebih mendasar.
Ketika nama bilangan hanya digunakan sebagai daftar kata yang serasi menggunakan nama, misalnya: P.C.49, M & B 693, kata “bilangan” tidak dapat digunakan dengan arti matematika yang mana di sini kita akan mencoba untuk menganalisisnya.
B. Angka, Bilangan dan Nomor
Suatu angka digunakan untuk melambangkan suatu bilangan, suatu entitas abstrak dalam ilmu matematika. Tetapi bagi orang-orang awam, angka dan bilangan seringkali dianggap dua entitas yang sama. Mereka pun umumnya menganggap angka dan bilangan sebagai bagian dari matematika.
Kita akui bahwa, bahasa Indonesia belum cukup baku sebagai alat komunikasi dalam ilmu dan sains, sehingga belum ada konsesus resmi bahwa 'angka' dan 'bilangan' melambangkan dua hal yang sangat berbeda. Demikian pula, kedua kata angka dan bilangan masih sering dipertukarkan dengan kata nomor.
Kata nomor biasanya menunjuk satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Jadi kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian 'urutan'. Arti kata 'angka' lebih mendekati arti kata 'digit' (bahasa Inggris).
Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari 'digit'. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata 'digit', lebih baik pengertian angka dibakukan dengan batasan agar hanya ada sepuluh angka yang berbeda: 0, 1, 2 ..., 9.
Untuk memperjelas pengertian angka seperti diuraikan dalam paragraf terakhir, berikut diberikan dua contoh penggunaannya. "Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0.", "Inflasi di Zinbwabe mencapai 3 angka (three digits)" (Maksudnya, inflasi di Zinbwabe sudah mencapai paling sedikit 100%, sebab bilangan 100 adalah bilangan dengan nilai terendah yang bisa ditulis dengan tiga angka).
Dalam sistem bilangan biner (binary bilangan system), yaitu sistem bilangan basis 2, hanya digunakan dua angka: 0 dan 1, untuk menyatakan sembarang bilangan bulat. Misalnya, deretan tiga angka 101 dalam sistem biner melambangkan bilangan 3 dalam sistem bilangan basis 10. Tanpa penjelasan lebih jauh, kata 'bilangan' di sini selalu diartikan sebagai bilangan dalam sistem basis 10.
Bilangan 0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7 ,8, 9 ,dinamakan angka atau digit. Sebuah bilangan merupakan susunan sekelompok angka yang memenuhi aturan tertentu, misalnya 20, -50, 2/3, 2 , 3log 2 dan sebagainya.
C. Himpunan
Sebelum kita menghitung tentang sesuatu, kita harus mengetahui objek mana yang akan dilibatkan dan objek mana yang tidak dilibatkan. Misalnya; kita diminta untuk menghitung banyaknya gadis yang cantik dalam suatu ruangan. Dari permintaan ini, kita sendiri akan memperoleh suatu kesulitan: siapa-siapa yang akan kita libatkan? Dan dengan dugaan bahwa kita mampu memutuskan menurut pertimbangan kita sendiri, apakah yang orang lain juga setuju dengan apa yang kita pilih sendiri? Kita sedang dalam resiko kehilangan salah satu dasar esensial matematika kita, yaitu kesepakatan atas dasar-dasar rasional. Maka untuk tujuan matematika kita harus menolak permohonan seperti pada contoh di atas dan menurut aturan yang disepkati dalam matematika kita membatasi kumpulan pada objek yang definisinya jelas, yaitu kumpulan di mana kita dapat mengatakan apakah itu masuk dalam kumpulan atau tidak. Kumpulan seperti itu yang kita sebut dengan nama himpunan: dan objek yang terlibat di dalamnya kita sebut dengan nama elemen atau unsur.
D. Karakteristik dari Himpunan
Bagaimana kita “mendefinisikan dengan baik” tentang kumpulan suatu objek? Metode yang telah digunakan dalam contoh-contoh sampai saat ini adalah menggunakan beberapa jenis kata sifat atau frase kata sifat – deskripsi singkat.
Jika suatu objek dideskripsikan dengan jelas, misalnya terdapat kedua buah apel (tidak ada buah lain) dalam suatu mangkuk (bukan dalam piring atau pada pohonnya), maka ini disebut sebagai suatu himpunan. Jika tidak dijelaskan atau digambarkan suatu obyek dengan baik, maka objek tersebut tidak disebut sebagai himpunan. Sifat yang mendefinisikan keanggotaan himpunan disebut karakteristik himpunan.
Cara lain mendefinisikan suatu himpunan adalah dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, kita dapat mendefinisikan himpunan, seperti himpunan yang terdiri atas bulan, telinga kiri saya, dan monumen Nelson. Setelah kita mendefinisikan himpunan dengan baik, selanjutnya kita mengatakan himpunan itu mempunyai karakteristik, dan kita dapat membuat daftar elemen-elemennya.
Karakteristik yang dimiliki himpunan biasanya tidak selalau mengarah pada ide-ide baru. Himpunan yang lebih menarik adalah himpunan dimana kita dapat mengabstraksi konsep baru. Tetapi cara yang baik untuk mendefinisikan himpunan adalah dengan mendaftar anggota-anggotanya.
Hal ini menggambarkan dua arah dimana kita akan mulai, dalam pikiran kita, antara himpunan dan karakteristiknya. Kita dapat memutuskan beberapa kriteria pertama, dan mengumpulkan dalam himpunan semua objek yang memenuhi kriteria itu: misalnya, himpunan ibukota-ibukota Indonesia, atau himpunan pohon-pohon Pinus di kepulauan Indonesia atau kita dapat membentuk beberapa kumpulan objek, dengan cara apapun yang kita pilih asalkan memberi kumpulan yang bagus dan kemudian mencoba mengetahui apa yang mereka miliki secara umum. Metode ini sangat berhasil dalam mendatangkan konsep baru dan merupakan metode yang akan kami gunakan dalam mengembangkan konsep bilangan.
Tidak ada batasan atas jenis objek dimana kita membentuk himpunan. Jenis objek berupa material atau abstraksi, misalnya obyek material: kumpulan uang koin dalam celengan, atau misalnya objek abstraksi: tujuh bilangan kardinal. Kita juga biasanya menyebutkan himpunan tanpa objek satupun di dalamnya, seperti: himpunan babi-babi bersayap. Himpunan jenis yang terakhir ini disebut “himpunan kosong” atau “himpunan nihil”, bukan himpunan nol.
Himpunan ini dirumuskan dengan baik: diberikan suatu objek dari seluruhnya, kita dapat mengatakan apakah objek itu milik himpunan ini atau tidak. Kita juga dapat mempunyai himpunan-himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan itu sendiri. Misalnya, “PSSI” adalah nama tim sepak bola, sebuah himpunan yang elemen-elemennya adalah pemain sepak bola. Himpunan ini merupakan elemen dari himpunan lain, yang elemen-elemennya adalah tim-tim dalam Asosiasi Sepak Bola. Contoh seperti ini banyak kita jumpai, baik dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam matematika.
Menyepakati terlebih dahulu objek mana yang dipertimbangkan untuk diterima atau ditolak dalam himpunan tertentu sering sangat bermanfaat. Misalnya, seorang guru biologi mengatakan pada siswanya untuk merumuskan dengan ide sendiri tentang seekor ikan, dan bertanya dengan lebih bebas lagi bahwa: “Sebutkan sesuatu yang bukan ikan”. Seorang siswa menjawab “Gunung merapi”, siswa lainnnya menjawab “Harimau”, dan siswa berikutnya menjawab “Seekor ikan paus”.
Apakah perasaan kita secara intuitif bahwa jawaban pertama adalah jawaban pander (sangat bodoh), jawaban kedua adalah tidak baik, dan yang terakhir adalah jawaban yang baik? Karena siswa memastikan pembahasan itu adalah tentang hewan, sehingga siswa memberi jawaban yang bukan hewan yaitu “Gunung merapi”?, walaupun jawabannya benar, tetapi tidak relevan dengan pertanyaan guru. Tidak ada orang yang dapat mempertimbangkan bahwa “Harimau” sebagai suatu kemungkinan untuk dikategorikan dalam himpunan ikan, sehingga contoh ini tidak berperan sama sekali dalam pembahasan itu. Tetapi jawaban “seekor ikan paus” dapat dipahami oleh sebagian orang sebagai seekor ikan, sehingga jawaban ini menemukan bahwa penanya benar-benar mengartikan “Sebutkan seekor hewan air yang bukan seekor ikan”.
Ia akan berkata, bukan hutang, mengatakan demikian. Berbicara secara matematika kita dapat mengatakan: “dia telah mendefinisikan himpunan semesta pembicaraan (universe of discourse)”. Ini merupakan nama yang diberikan pada himpunan objek-objek yang dipertimbangkan dalam pembahasan tertentu, dan himpunan ini telah didefinisikan, himpunan-himpunan lain yang ditunjukkan harus mempunyai elemen-elemen yang masuk dalam “semesta pembicaraan”.
Ide lain yang akan kami perlukan adalah ide “himpunan bagian (sub-set)”. Katakanlah, himpunan tanda pada laci bangku saya, saya dapat membaginya menjadi himpunan-himpunan satu tanda uang, dua tanda uang, dan seterusnya. Semua itu adalah himpunan bagian dari himpunan yang disebutkan pertama. Kalimat pada aliniea terakhir, sekarang dapat disebutkan kembali: “Semua himpunan harus ada dalam himpunan bagian dari semesta pembicaraan”.
E. Apa yang Kita Maksudkan dengan “Tiga”?
Jawaban yang bagus terhadap pertanyaan tersebut adalah: mengapa kita ingin mengetahui? Saya dapat mengenali tiga cangkir kopi atau tiga ekor sapi ketika saya melihatnya; apalagi yang saya perlukan?
Jawaban pertama adalah bahwa ada prosedur ilmiah yang baik untuk menanyakan hal yang jelas dan nyata. Pengetahuan kita sekarang lebih buruk jika tidak ada orang menanyakan mengapa suatu benda nampak berwarna, atau mengapa kaki seekor katak mati kejang di bawah kondisi tertentu.
Jawaban yang kedua adalah bahwa kita dapat dan memang menggunakan konsep “tiga” secara efektif pada tingkat intuitif tanpa menganalisisnya. Kebanyakan kita dapat melakukan dan mengatur kehidupan sehari-hari dengan baik tanpa (hal-hal kecil)
menjadi ahli matematika. Kita menggunakan teknik matematis yang sederhana tanpa memahaminya, sama halnya seperti banyak orang menggunakan mobil dan televisi tanpa memahaminya.
Tetapi tingkat pemahaman yang sangat kecil banyak meningkatkan efektifitas yang mana semua dapat digunakan; dan jika pembaca ingin memahami sebagian awal matematika, maka hampir tidak mungkin tanpa pemahaman konsep bilangan pada tingkat reflektif dan intuitif. Bilangan negatif, pecahan, bilangan irasional, semua adalah generalisasi ide yang diambil dari bilangan penghitungan 1, 2, 3, … (bilangan asli). Dan untuk aljabar elementer dimulai dari pernyataan umum tentang bilangan. Dari sini, bagaimana kita mengatakan dan mengartikan angka “tiga”.
Cara terbaik untuk memahami suatu ide pada tingkat reflektif adalah membayangkan bagaimana kita akan membawakannya kepada orang lain. Dalam hal ini, mari kita asumsikan bahwa dia tidak mempunyai konsep-konsep yang urutannya sama atau lebih tinggi yang memungkinkan kita untuk menggunakan sebuah definisi dengan berhasil. Untuk membuat konsep merah, kita menunjukkan berbagai fakta benda merah, maka kita harus mencari susunan objek-objek yang mencontohkan konsep tiga. Dengan demikian, kita akan menemukan suatu kumpulan bahwa semua objek yang kita pilih adalah himpunan contoh untuk konsep “tiga”. Dalam pelaksanaannya kita akan menemukan “seluruh objek yang kita pilih merupakan himpunan itu sendiri”: tiga buah apel, tiga jari yang digenggam, tiga pensil, tiga kursi. “tiga” adalah karakteristik dari sebuah kumpulan himpunan tertentu dimana kita dapat memilih varietas yang memadai untuk memungkinkan siswa membentuk konsepnya sendiri.
F. Himpunan Berpasangan
Dengan menggunakan contoh “merah” sebagai titik awal, anggaplah seseorang menginginkan cara sederhana dalam memutuskan apakah objek baru yang ia peroleh juga mempunyai sifat ini. Semua yang harus dia kerjakan adalah membawa benda merah yang menyenangkan (dimasukkan ke sakunya), dan membandingkan benda itu dengannya. Jika dan hanya jika warna cocok, dia akan memberikan objek baru pada himpunan “merah”. Dan juga memasukkannya objek hijau, objek biru, objek kuning, dan seterusnya, dia dapat menemukan warna dari benda lain yang dia inginkan dengan mengujinya untuk menjodohkan terhadap objek standarnya. Jika eksperimen ini dilakukan dalam praktek, maka akan segera ditemukan bahwa himpunan-himpunan yang mempunyai warna merah, biru, hijau, kuning…, untuk sifat karakteristik tidak dirumuskan dengan baik sebagaimana diinginkan. Penjodohan objek untuk warna yang tidak seksama, akan mengakibatkan sebagian benda dianggap sebagai biru agak kehijauan, yang lain juga akan mendeskripsikan sebagai hijau kebiruan.
Penjodohan himpunan untuk bilangan dapat dilakukan dengan seksama, dan kita sering mengerjakannya dalam kehidupan sehari-hari. Dengan himpunan cawan pada talam, kita menjodohkan dengan himpunan cangkir dan sangat mungkin dengan
himpunan sendok teh, semua himpunan ini mempunyai bilangan yang sama. Jika bilangan ini cukup besar, mungkin kita tidak bosan mencari tahu apa itu. Kita hanya memastikan pada himpunan setiap cawan ada sebuah cangkir, dan sebaliknya. Tentu ada sebuah cangkir untuk himpunan setiap cawan, dan satu cawan untuk himpunan cangkir, jadi tidak bisa terpisahkan. Demikian pula untuk himpunan sendok. Penjodohan jenis ini disebut korespondensi satu-satu, dan apakah dua himpunan tertentu cocok dengan cara ini atau tidak adalah tidak mungkin menjadi masalah untuk ketidakcocokan. Juga jelas bahwa jika kita mempunyai korespondensi satu-satu antara himpunan cawan dan himpunan cangkir, dan antara himpunan cawan dan himpunan sendok, kita juga akan mempunyai korespondensi satu-satu antara himpunan cawan dan himpunan sendok. Berikut ilustrasinya.
1. 2.
3.
Sifat korespondensi satu-satu ini disebut sifat transitif. Dengan menggunakan “” sebagai singkatan untuk “korespondensi satu-satu dengan”, dan menyebut himpunan cangkir, cawan, dan sendok teh secara berturut-turut dengan C,W, dan T, kita ekspresikan hasil kita dengan singkat dengan mengatakan bahwa jika C W dan W T, maka juga C T.
Dari sifat ini disimpulkan bahwa dalam contoh tertentu kita dapat menggunakan himpunan cangkir, himpunan cawan, atau himpunan sendok teh, sebagai perbandingan dengan himpunan baru; katakanlah himpunan bungkusan biskuit. Jika himpunan baru menyesuaikan salah satu himpunan yang ada, maka itu menyesuaikan semua. Karena jika B C, maka karena C W T kita tahu bahwa B W dan B T.
Hasil ini benar untuk himpunan manapun dari himpunan-himpunan yang menyesuaikan; maka untuk tujuan perbandingan salah satu himpunan dari himpunan-himpunan yang menyesuaikan dapat mewakili himpunan-himpunan ini sebagai satu keutuhan. Dan dengan himpunan baru, mudah memutuskan dengan prosedur penjodohan tersebut apakah itu masuk dalam himpunan tertentu dari himpunan-himpunan yang menyesuaikan atau tidak. Himpunan-himpunan kita sekarang dirumuskan dengan baik.
Jika W dan W’ berdiri untuk himpunan-himpunan domba yang meninggalkan pasar dan pulang ke rumah, dan T untuk himpunan bentuk (notches) yang dipotong atas perhitungan jumlah sebelum dibagi, maka W T dan T W’ memastikan bahwa W W’ sebagaimana diinginkan. Dan karena secara asli T T1 T2, Jika T1 atau T2
diubah akan ada ketidakcocokan pada akhirnya.
G. Himpunan Standar
Dalam contoh “merah” kami menyatakan bahwa siswa kami dapat membawa objek dari masing-masing warna untuk membandingkan objek baru yang ditemukan. Benda-benda itu adalah objek standar untuk warna. Untuk mengetahui banyaknya himpunan baru dia perlu mempunyai himpunan masing-masing bilangan untuk membandingkan himpunan yang baru. Himpunan standar untuk bilangan yang akan dia pilih atas dasar kesenangan dan kemungkinan; maka sebagian dari badannya sendiri akan mengemukakan diri mereka sendiri. Untuk himpunan 2, dia bisa memilih matanya; untuk himpunan 5, jari-jari pada sebuah tangan; untuk himpunan 4, semua anggota badannya; untuk himpunan 1, hidungnya. Dengan menyebutkan himpunan “mata”, “tangan”, “anggota badan”, “hidung”, akan mengarah pada himpunan yang menjadi namanya untuk bilangan-bilangan yang kita sebut “2”, “5”, “4”, “1”.
Untuk mengetahui banyaknya atau bilangan dari himpunan baru dia harus mencobanya untuk pencocokan terhadap himpunan standar mana yang dianggap paling disukai. Jika dia salah, dia harus mengambil yang lain. Cara yang nyata untuk memperkenalkan hal itu adalah mencoba himpunan standar dengan cara reguler, dimulai dengan penghitungan objek-objek yang paling sedikit, kemudian yang paling kecil diantara objek-objek lain, dan sebagainya. Yaitu, menyusunnya secara berurutan. Karena dia tidak dapat menyusun kembali anatominya, dia akan mengerjakan hal ini secara mental dengan menempatkan nama-nama – bilangan secara urut: hidung, mata, anggota badan, tangan,
H. Berhitung
Langkah ini adalah menggunakan Number-names themselves, secara berurutan, sebagai himpunan standar.
No Bilangan Himpunan Standar
Notasi Jumlah Kata
1. 2. 3. 4. 5. hidung mata jari tubuh tangan [hidung] [hidung, mata] [hidung, mata, jari]
[hidung, mata, jari, tubuh] [hidung, mata, jari, tubuh, tangan]
W T
T1
T2
Pencarian banyaknya himpunan objek tertentu masih dilakukan dengan cara yang sama seperti sebelumnya, dengan menjodohkan elemen-elemen dari himpunan standar dalam korespondensi satu-satu dengan elemen-elemen dari himpunan tertentu.
Ini merupakan proses penjodohan yang mudah dilakukan, dengan menyentuh, menunjukkan, melihat, atau hanya merenungkan objek-objek yang akan dihitung, sementara menyebutkan kembali bilangan - kata-kata berurutan.
I. Aritmetika dan Berhitung
Perhatikan pernyataan “7 + 5 = 12”. Kalimat ini apabila dijelma dalam situasi fisik, misalnya “kita mempunyai talam dengan 7 cangkir di atasnya, dan talam lain dengan 5 cangkir di atasnya. Jika kita menempatkan semua cangkir itu bersama pada talam yang sama, berapa banyak cangkir yang ada bersama?”.Metode yang telah kita pelajari untuk menjawab pertanyaan jenis ini sangat tergantung pada penghitungan.
J. Berhitung, dan Konsep Bilangan yang Dimiliki Anak
Piaget telah menunjukkan berbagai eksperimen, yang salah satunya diringkas sebagai berikut: Dua himpunan penjodohan ditempatkan di depan anak, 6 telur dalam 6 cangkir telur. Anak ini ditanya apakah ada banyak telur yang sama dengan banyaknya cangkir telur atau tidak. Dia berkata “ya, ada”. Selanjutnya, telur-telur dikeluarkan dari cangkir dan diikat bersama: Cangkir telur yang ditinggalkan dimana mereka berada. Kemudian ketika ditanya apakah ada jumlah telur yang benar untuk dimasukkan ke cangkir itu, satu dalam masing-masing dan tidak sama sekali, yang secara tipikal berumur 5 tahun diantara subyek-subyek piaget mengatakan “tidak, tidak ada cukup telur”. Dengan disuruh menghitung telur dan cangkir, dia berbuat dengan benar dengan mengatakan bahwa ada 6 dari masing-masing. Ditanya lagi apakah ada telur-telur yang sebanyak dengan cangkir, dia masih mengatakan tidak ada. Dia belum memegang dua sifat utama suatu bilangan, bahwa ini merupakan sifat umum dari dua himpunan penjodohan, dan bahwa penjodohan tidak dipengaruhi oleh perubahan posisi objek.
Menarik membandingkan hal ini dengan prilaku seorang anak berusia 3,5 tahun yang menempatkan beberapa kereta mainan anak-anaknya dari kotak ke rilnya, dengan mengatakan “satu untuk saya", ”satu untuk anda”, “dan satu untuk mama”. Anak ini sedang menjodohkan 2 himpunan secara mental, tanpa memperhatikan posisi objek.
Mengumpulkan objek ke himpunan-himpunan atas dasar sifat umumnya adalah satu aktifitas pramatematis; perurutan adalah aktifitas lain; membandingkan dua himpunan untuk mengetahui apakah mereka cocok adalah aktifitas lain, atas gambaran matematika. Tetapi dengan kesempatan yang cocok, menghitung dapat berperan dalam pembentukan konsep bilangan dengan dua cara berikut. Pertama, sebagaimana telah ditunjukkan pada halaman 78, penamaan dapat membantu proses pembentukan konsep baru. Menghitung adalah proses penjodohan sendiri, dan cara bagus menguji dua himpunan untuk kecocokan. “apakah kita mempunyai cangkir untuk siapa saja?”
Jawabannya cepat dicapai dengan menghitung cangkir dan orang: menggunakan sifat transitif dari korespondensi satu-satu.
Dalam uraian ini, ide-ide utama yang perlu diingat oleh siswa adalah sebagai berikut:
Himpunan: kumpulan objek-objek yang telah didefinisikan dengan jelas, baik objek
material (objek fisik) atau abstrak (ide).
Elemen: objek yang terkandung dalam suatu himpunan.
Karakteristik suatu himpunan: sifat yang dimiliki oleh objek tertentu untuk suatu
himpunan jika dan hanya jika himpunan itu telah memiliki sifat tersebut.
Korespondensi satu-satu atau menjodohkan.
Dua himpunan berkorespondensi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap elemen dari satu himpunan memasangkan satu dan hanya satu elemen dari himpunan lain.
Bilangan: sifat yang dimiliki sebuah himpunan dari himpunan yang sama.
Himpunan standar: perwakilan dari satu himpunan, yang digunakan sebagai
perbandingan dengan himpunan tertentu untuk mengetahui apakah itu milik himpunan dari himpunan-himpunan itu.
Menghitung: sarana untuk mencari atau mengetahui banyaknya himpunan tertentu
dengan menggunakan nama-nama bilangan secara berurutan sebagai himpunan standar.