Persamaan Diferensial Linier dan Tak Linier

F. Masalah Nilai Awal

BAB III: RUMUSAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT

A. Rumusan Umum Metode Runge-Kutta Orde Satu B. Rumusan Umum Metode Runge-Kutta Orde Dua C. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Tiga

D. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Empat

BAB IV: PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT

A. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Satu B. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Dua C. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Tiga D. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat

E. Diskusi Perbandingan Error Metode Runge-Kutta Orde Satu, Dua, Tiga, dan Empat

BAB V: PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

6

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dibahas definisi turunan, contoh dari turunan, pengertian dari persamaan diferensial secara umum, pengelompokan persamaan diferensial berdasarkan jenis persamaan atau banyaknya variabel bebas yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial, pengertian masalah nilai awal dan masalah nilai batas.

A. Turunan

Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi turunan dan contoh dari turunan.

Definisi 2.1 (Purcel, et al., 2003)

Turunan dari sebuah fungsi 𝑓 adalah fungsi yang diberi lambang 𝑓′ (dibaca “𝑓 aksen”) dan didefinisikan sebagai berikut:

𝑓^′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞.

Jika 𝑓′(𝑥) bisa diperoleh, 𝑓 dikatakan dapat diturunkan atau dengan kata lain 𝑓 terdiferensial di 𝑥. 𝑓′(𝑥) disebut turunan dari 𝑓 terhadap 𝑥.

Notasi dari suatu turunan dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑓^′(𝑥), 𝑦^′, 𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)],𝑑𝑦 𝑑𝑥.

Semua notasi di atas sama-sama menyatakan turunan dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Secara umum, notasi suatu turunan dari fungsi 𝑦 terhadap 𝑥 dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑦^′, 𝑦^′′, 𝑦^′′′, 𝑦^′′′′, … dst.

𝑦⁽¹⁾, 𝑦⁽²⁾, 𝑦⁽³⁾, 𝑦⁽⁴⁾, … dst.

𝑑𝑦 𝑑𝑥,^𝑑2𝑦

𝑑𝑥²,^𝑑3𝑦

𝑑𝑥³,^𝑑4𝑦

𝑑𝑥⁴ , … dst.

Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian dari suatu turunan.

Contoh 2.2

= lim

B. Persamaan Diferensial Secara Umum

Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi persamaan diferensial.

Definisi 2.5 (Boyce & DiPrima, 2012)

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memuat turunan (derivatif) dari suatu fungsi. Persamaan diferensial melibatkan turunan dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu atau lebih variable bebas.

Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan perubahan laju (dinyatakan sebagai turunan) diketahui. Sebagai contoh, Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan kecepatan, percepatan, dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakan hubungan tersebut adalah persamaan diferensial sebagai fungsi waktu. Dalam teori persamaan diferensial, ada dua kategori yang digunakan sesuai dengan jumlah variabel bebasnya yaitu, Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

Solusi atau penyelesaian persamaan diferensial adalah suatu nilai atau fungsi yang memenuhi persamaan diferensialnya.

Sebagai contoh, turunan dari fungsi 𝑦 = log(𝑥) berturut-turut diberikan oleh:

𝑦

^′

=

¹

𝑥

, 𝑦

^′′

= −

¹

𝑥²

, 𝑦

^′′′

=

²

𝑥³

,

dan seterusnya.

Dimana dalam persamaan diferensial, turunan dari sebuah variabel biasa digantikan dengan tanda petik tunggal.

𝑦^′ = ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑦^′′ = ^𝑑_𝑑𝑥^2𝑦₂ , dst.

Definisi 2.6 (Darmawijoyo, 2019)

Orde dari suatu persamaan diferensial adalah orde tertinggi derivatif yang termuat dalam persamaan itu.

Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Berikut beberapa contoh persamaan diferensial : 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2𝑦 + 3 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 1

𝑥²− 𝑥 − 6 𝑦^′= cos 2𝑥 𝑦^′= 𝑥 sin𝑥

Terorema 2.7 (Adam & Essex, 2018)

Aturan Penjumlahan, Selisih, dan Kelipatan Konstan:

Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial di 𝑥, dan jika 𝐶 adalah konstanta, maka fungsi 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, dan 𝐶𝑓 dapat terdiferensial di 𝑥 dan

(𝑓 + 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) (𝑓 − 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

(𝐶𝑓)^′(𝑥) = 𝐶𝑓^′(𝑥).

Bukti Teorema 2.7 dapat dilihat pada buku Calculus A Complete Course karangan Robert A. Adams dan Christopher Essex.

Terorema 2.8 (Adam & Essex, 2018) Aturan Perkalian:

Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial di 𝑥, maka fungsi 𝑓𝑔 juga terdiferensial di 𝑥 dan (𝑓𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔^′(𝑥).

Bukti Teorema 2.8 dapat dilihat pada buku Calculus A Complete Course karangan Robert A. Adams dan Christopher Essex.

Terorema 2.9 (Adam & Essex, 2018) Aturan Pembagian:

Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial di 𝑥, dan jika 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka fungsi 𝑓/𝑔 juga terdiferensial di 𝑥 dan

(𝑓 𝑔)

′

(𝑥) =𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) (𝑔(𝑥))² .

Bukti Teorema 2.9 dapat dilihat pada buku Calculus A Complete Course karangan Robert A. Adams dan Christopher Essex.

Terorema 2.10 (Adam & Essex, 2018) Aturan Rantai:

Jika 𝑓(𝑢) terdiferensial di 𝑢 = 𝑔(𝑥), dan 𝑔(𝑥) terdiferensial di 𝑥, maka fungsi 𝑓 𝑜 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) juga terdiferensial di 𝑥 dan

(𝑓 𝑜 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑔(𝑥)) 𝑔^′(𝑥).

Bukti Teorema 2.10 dapat dilihat pada buku Calculus A Complete Course karangan Robert A. Adams dan Christopher Essex.

C. Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi dengan satu peubah bebas. Pada persamaan diferensial biasa terdapat beberapa contoh fenomena fisik yang melibatkan laju perubahan antara lain, gerakan cairan, gerakan sistem mekanis, aliran arus dalam rangkaian listrik, aliran panas dalam benda padat, gelombang seismik dan, dinamika populasi. Persamaan diferensial yang menggambarkan proses fisik ini sering disebut sebagai model matematika. (Boyce & DiPrima, 2012)

Notasi turunan pertama 𝑦 terhadap 𝑥 adalah 𝑦^′ = ^𝑑𝑦

𝑑𝑥

dan bentuk umum solusi persamaan diferensial biasa adalah 𝑦 = ℎ(𝑥).

Contoh menyelesaikan persamaan diferensial biasa sebagai berikut :

Contoh 2.11

Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut ini 𝑦^′= ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒^𝑥. Solusi:

Untuk mencari solusi persamaan diferensial tersebut, pertama kita kalikan sisi kiri dan sisi kanan dengan 𝑑𝑥 sehingga menghasilkan:

𝑑𝑦 = 𝑒^𝑥 𝑑𝑥.

Pengintegralan kedua sisi akan menghasilkan:

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒^𝑥 𝑑𝑥.

Sehingga solusi persamaan diferensial 𝑦^′= 𝑒^𝑥 adalah 𝑦 = 𝑒^𝑥+ 𝑐.

Contoh 2.12

Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut ini 𝑦^′= ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= cos 𝑥.

Solusi:

Untuk mencari solusi persamaan diferensial tersebut, pertama kita kalikan sisi kiri dan sisi kanan dengan 𝑑𝑥 sehingga menghasilkan

𝑑𝑦 = cos 𝑥 𝑑𝑥.

Pengintegralan kedua sisi akan menghasilkan

∫ 𝑑𝑦 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥.

Sehingga solusi persamaan diferensial 𝑦^′= cos 𝑥 adalah 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑐.

Ada beberapa macam solusi dari persamaan diferensial biasa, antara lain:

1. Variabel Terpisah (Separable Equations)

Bentuk umum persamaan diferensial dengan variabel terpisah adalah 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦

𝑔(𝑦)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 1

𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Penyelesaiannya diperoleh y = ∫_𝑔(𝑦)¹ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Contoh 2.13

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦 . Solusi:

Dengan kata lain dari contoh diatas, 𝑥 merupakan 𝑓(𝑥) dan 𝑦 merupakan 𝑔(𝑦).

Dengan menggunakan variabel terpisah diperoleh

𝑑𝑦

𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥.

Solusi dari contoh diatas adalah:

∫1

𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ln|𝑦| + 𝑐₁ =1

2𝑥²+ 𝑐₂ ln|𝑦| =1

2𝑥²+ 𝑐₂− 𝑐₁ ln|𝑦| =1

2𝑥²+ 𝐶 ln|𝑦| = ln 𝑒^12𝑥2+𝐶

|𝑦| = 𝑒^12𝑥2. 𝑒^𝐶 𝑦 = ± 𝐾. 𝑒^12𝑥2 di cek:

𝑦 = 𝐾. 𝑒^12𝑥2 𝑦^′ = 𝐾. 𝑒^12𝑥2. 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦. 𝑥 benar.

2. Persamaan Linier (Linier Equations)

Bentuk umum persamaan diferensial dengan persamaan linier adalah 𝑦^′+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥).

Penyelesaiannya diperoleh dengan mengalikan sisi kiri dan sisi kanan dengan faktor integral 𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥}

Sehingga diperoleh :

𝑦^′𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥}+ 𝑃(𝑥)𝑦𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥} = 𝑟(𝑥)𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥} (𝑦𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥})^′= 𝑟(𝑥) 𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥}

dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap x dihasilkan 𝑦𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥} = ∫ 𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥} 𝑟(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐

𝑦 = 𝑒^−ℎ[∫ 𝑒^ℎ𝑟(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐].

Dimana ℎ = ∫ 𝑃(𝑥).

Contoh 2.14

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial (4 + 𝑥²)^𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥.

Solusi:

Sisi kiri dari persamaan diferensial di atas adalah kombinasi linier dari ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 dan y.

Jika disesuaikan dengan bentuk umumnya menjadi:

(4 + 𝑥²)^𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥 (4 + 𝑥²)𝑦^′+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥 𝑦^′+ 2𝑥

(4 + 𝑥²)𝑦 = 4𝑥 (4 + 𝑥²)

dengan demikian, 𝑃(𝑥) = _(4+𝑥^2𝑥₂₎ ; ℎ(𝑥) = ∫_(4+𝑥^2𝑥₂₎𝑑𝑥 = ln(4 + 𝑥²) + 𝑐

𝑦 = 𝑒^{− ln(𝑥2+4)}(∫ 𝑒^ln(𝑥2+4). 4𝑥

(4 + 𝑥²)𝑑𝑥 + 𝑐 ) 𝑦 = 1

(4 + 𝑥²)(∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐)

𝑦 = 2𝑥²

(4 + 𝑥²)+ 𝑐 (4 + 𝑥²) . Sehingga didapat solusi umum dari persamaan diferensial

(4 + 𝑥²)^𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥 adalah 𝑦 = ^2𝑥2

(4+𝑥²)+ ^𝑐

(4+𝑥²)

3. Persamaan Koefisien Fungsi Homogen

Persamaan koefisien fungsi homogen merupakan Persamaan diferensial biasa yang dapat ditulis ke dalam bentuk

𝑦^′= 𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐵(𝑥, 𝑦)

Dengan A dan B adalah fungsi homogen dengan derajat yang sama.

Solusi penyelesaian dari persamaan koefisien fungsi homogen ini yaitu, dengan menggunakan subtitusi 𝑦 = 𝑢𝑥 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) dengan

𝑦^′= 𝑢^′𝑥 + 𝑢 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑢 𝑑𝑥+ 𝑢 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥 Contoh 2.15

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial (𝑥 + 𝑦) − 𝑥𝑦′ = 0.

Solusi:

Persamaan diferensial diatas dapat ditulis menjadi:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑦 𝑥

Misalkan 𝑦 = 𝑢𝑥, sehingga 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 1 +𝑦 𝑥 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 1 + 𝑢 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥 = (1 + 𝑢)𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑢 =𝑑𝑥 𝑥

∫ 𝑑𝑢 = ∫𝑑𝑥 𝑥 𝑢 = ln 𝑥 + 𝑐

𝑦

𝑥= ln 𝑥 + 𝑐 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 + 𝑐 𝑥.

Jadi solusi dari persamaan diferensial (𝑥 + 𝑦) − 𝑥𝑦′ = 0 adalah 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 + 𝑐 𝑥.

D. Persamaan Diferensial Linier dan Tak Linier

Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi persamaan diferensial linier orde satu.

Definisi 2.16 (Darmawijoyo, 2019)

Persamaan diferensial linier orde satu adalah persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥),

dalam hal ini 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) adalah fungsi kontinu dari variable bebas 𝑥 pada interval dimana 𝑃 dan Q terdefinisi.

Terkadang lebih baik untuk menulis persamaan tersebut dalam bentuk:

𝑃(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝐺(𝑥).

Dimana fungsi P, Q, dan G adalah fungsi yang diberikan dan 𝑃(𝑥) ≠ 0.

Sementara pada persamaan diferensial tak liner tidak terdapat formula yang bersesuaian sehingga lebih sulit untuk menyatakan sifat-sifat umum dari solusi.