PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI AWAL BERDASARKAN METODE RUNGE-KUTTA
ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT
Tugas Akhir
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh :
LINDA KUSUMAWATI NIM : 173114054
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2022
i
PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI AWAL BERDASARKAN METODE RUNGE-KUTTA
ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT
Tugas Akhir
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh :
LINDA KUSUMAWATI NIM : 173114054
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2022
ii
NUMERICAL SOLUTIONS TO INITIAL VALUE PROBLEMS BASED ON FIRST, SECOND, THIRD, AND FOURTH
ORDER RUNGE-KUTTA METHODS
Final Project
Presented as a Partial Fulfillment of the Reguirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Mathematics Study Program
Written by:
Linda Kusumawati Student ID: 173114054
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
2022
iii
iv
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur dan terima kasih, kupersembahkan tugas akhir ini untuk Tuhanku Allah SWT dan Nabiku Muhammad SAW yang selalu memendampingiku dalam keadaan susah dan senang. Atas bantuan-Nya lah tugas
akhir ini dapat terselesaikan dengan baik tanpa adanya kekurangan suatu apapun.
Papi dan Mamiku tercinta mereka adalah orang tua hebat yang selalu memberikanku doa, semangat, motivasi hidup dan belajar selama aku kuliah hingga lulus kini, dan cinta tulus serta support dari Kakakku Mbak Merryana
yang dapat membuatku bisa bertahan sampai sejauh ini.
Mas Okky Yodi yang tak pernah absen mendampingiku dalam suka duka dan selalu memberikan semangat, motivasi, dan keyakinan untuk bisa menyelesaikan tugas akhir ini sehingga kami dapat lulus bersama-sama dengan tepat waktu.
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar Pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 27 Januari 2022 Penulis,
Linda Kusumawati
vii
LEMBAR PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya Mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Linda Kusumawati Nomor Mahasiswa : 173114054
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma suatu karya ilmiah yang berjudul :
PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI AWAL BERDASARKAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk keperluan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 26 Januari 2022
Yang menyatakan,
Linda Kusumawati
viii
ABSTRAK
Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial yang dilengkapi dengan serangkaian kendala yang disebut dengan kondisi awal. Kondisi awal adalah suatu nilai fungsi solusi atau turunan fungsi solusi yang diberikan pada titik awal.
Masalah nilai awal dapat diselesaikan secara analitis dan numeris, namun secara umum penyelesaian secara analitis sulit untuk ditentukan. Oleh karena itu, dalam tugas akhir ini, penulis akan membahas masalah nilai awal yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode numeris. Metode numeris yang digunakan adalah metode Runge-Kutta orde satu, dua, tiga, dan empat. Metode Runge-Kutta digunakan untuk mendapatkan perkiraan solusi dari persamaan diferensial biasa yang akan disimulasikan menggunakan bahasa pemrograman, misalnya MATLAB. Skema metode Runge-Kutta memberikan solusi yang akurat, sesuai dengan ordenya.
Kata kunci:
Persamaan diferensial biasa, masalah nilai awal, metode Runge- Kutta.ix
ABSTRACT
Initial value problems are differential equation equipped with a series of constraints called initial conditions. The initial condition is a value of the solution function or the derivative of the given solution function at the initial point. The initial value problem can be solved analytically and numerically, but in general, analytical solutions are difficult to determine. Therefore, in this final project, the writer will discuss the initial value problem which will be solved by using the numerical methods. The numerical method used is the Runge-Kutta method of first, second, third, and fourth order. The Runge-Kutta method is used to obtain approximate solutions of ordinary differential equations that will be simulated using programming language, such as MATLAB. The Runge-Kutta method provides an accurate solution, as per its order.
Keywords:
Ordinary differential equation, initial value problem, Runge-Kutta method.x
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yakni Allah Subhanahu Wata’ala karena berkat rahmat dan hidayah-Nya sehingga tugas akhir dengan judul “Penyelesaian Numeris Masalah Nilai Awal Berdasarkan Metode Runge-Kutta Orde Satu, Dua, Tiga, dan Empat” ini dapat penulis selesaikan.
Penulis menyusun tugas akhir ini untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Matematika pada Program Studi Matematika.
Selama penyusunan tugas akhir ini penulis telah melalui berbagai macam kesulitan yang dialami. Akan tetapi dari semua itu telah penulis lalui dengan adanya dukungan dari banyak pihak sehingga kesulitan yang penulis alami dapat teratasi. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan sepenuh hati penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak kepada beberapa pihak yang telah membantu, diantaranya:
1. Allah Subhanahu Wata’ala yang senantiasa menjaga dan menuntun setiap langkah penulis dalam penyusunan tugas akhir ini.
2. Kedua orang tua penulis yaitu Bapak Bambang Purwadi dan Ibu Endah Tri Redi Asih yang selalu memberikan dukungan lewat doa, semangat, kasih sayang dari awal studi sampai selesai penyusunan tugas akhir ini.
3. Bapak Prof. Ir. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing tugas akhir dan Dekan FST Universitas Sanata Dharma yang dengan sabar bersedia membimbing penulis dari awal penyusunan hingga penyelesaian tugas akhir ini. Terima kasih atas segala dukungan, kritik, dan saran yang telah diberikan selama ini.
4. Bapak Y.G. Hartono, Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah bersedia memberikan bimbingan, masukan, dan saran selama penulis berkuliah di Universitas Sanata Dharma ini.
5. Segenap dosen Program Studi Matematika, khususnya dosen-dosen yang telah mengajar, mendidik, dan membagikan ilmunya kepada
xi
penulis sehingga penulis dapat belajar banyak hal dan dibekali ilmu yang bermanfaat terkait dengan ilmu matematika selama kuliah.
6. Pendamping setia penulis yaitu Okky Yodi Dwi Purwanto yang selalu mendoakan penulis, memberikan banyak solusi, membantu penulis dengan penuh kesabaran, memotivasi dan mendampingi penulis selama kuliah dan pada saat penyusunan tugas akhir sampai selesai.
7. Segenap staf perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan pelayanan yang baik selama penulis meminjam referensi untuk belajar selama kuliah dan selama penyusunan tugas akhir ini.
8. Segenap staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu memberikan pelayanan dengan baik selama penulis kuliah.
9. Teman-teman seperjuanganku selama kuliah di Matematika, khususnya Angkatan 2017 serta teman satu dosen pembimbing, yaitu Prisca, Melly, Oliv, Aryo, Pipin, Juli, Cyntia, Renfi, Vika, Austin, dll yang bersedia menjadi teman belajar penulis selama kuliah.
10. Sahabat-sahabat alumni SMA N 3 Klaten yaitu, Rahma, Alifia, Anisa.
Mereka yang selalu setia memberikan motivasi, dukungan dan doa selama 4 tahun menempuh kuliah dan dalam penyusunan tugas akhir ini.
11. Teman-temanku kala INSADHA yaitu Erra, Romi, Filza, Frinda yang setia membantu, memberikan dukungan dan semangat serta doa sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.
12. Kakak kandung Merryana Dewi Sekar Sari yang selalu mendoakan dan memberikan semangat kepada penulis.
Yogyakarta, 17 Januari 2022 Penulis
Linda Kusumawati
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
LEMBAR PERNYATAAN PUBLIKASI KARYA ... vii
ABSTRAK ………...viii
ABSTRACT ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
BAB I ... 1
PENDAHULUAN... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 3
C. Batasan Masalah ... 3
D. Tujuan Penulisan ... 3
E. Manfaat Penulisan ... 4
F. Metode Penulisan ... 4
G. Sistematika Penulisan ... 4
BAB II ... 6
PERSAMAAN DIFERENSIAL ... 6
A. Turunan ... 6
B. Persamaan Diferensial Secara Umum ... 8
C. Persamaan Diferensial Biasa ... 10
D. Persamaan Diferensial Linier dan Tak Linier ... 15
E. Persamaan Diferensial Parsial ... 15
F. Masalah Nilai Awal... 20
xiii
BAB III ... 21
RUMUSAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT ... 21
A. Rumusan Umum Metode Runge-Kutta Orde Satu ... 21
B. Rumusan Umum Metode Runge-Kutta Orde Dua ... 23
C. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Tiga ... 26
D. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Empat ... 26
BAB IV ... 28
PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT ... 28
A. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Satu ... 28
B. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Dua ... 39
C. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Tiga ... 51
D. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat ... 66
E. Diskusi Perbandingan Error Metode Runge-Kutta Orde Satu, Dua, Tiga, dan Empat ... 80
BAB V ... 83
PENUTUP ... 83
A. Kesimpulan ... 83
B. Saran ... 83
DAFTAR PUSTAKA ... 85
LAMPIRAN ... 86
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial yang dilengkapi dengan serangkaian kendala yang disebut dengan kondisi awal atau syarat awal yang diberikan dalam suatu masalah diferensial, dan solusi untuk masalah nilai awal adalah suatu nilai atau fungsi yang juga memenuhi kondisi awal (Boyce &
DiPrima, 2012). Kondisi awal adalah turunan fungsi solusi di batas-batas titik ujung kedua interval. Untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan diferensial ada beberapa metode yang digunakan, salah satunya menggunakan metode Runge-Kutta.
Setiap metode Runge-Kutta diturunkan dari metode Taylor yang sesuai sedemikian sehingga final global error (galat global akhir) secara berurutan yaitu 𝑂(ℎ𝑁). Metode Runge-Kutta dapat dibangun untuk sembarang orde 𝑁, dan 𝑁 dapat dipilih suatu bilangan bulat positif tak nol yang besar sehingga kesalahan yang dihasilkan akan kecil. Metode Runge-Kutta terdiri dari beberapa metode, bergantung pada orde yang diketahui. Metode Runge-Kutta dengan orde atau derajad satu biasa dikenal sebagai metode Euler, metode Runge-Kutta dengan orde dua dikenal dengan metode Heun, selanjutnya metode Runge-Kutta orde tiga, metode Runge-Kutta orde empat, sampai metode Runge-Kutta orde 𝑁 (Mathews & Fink, 1999).
Berikut ini adalah masing-masing bentuk umum dari metode Runge-Kutta orde satu, Runge-Kutta orde dua, Runge-Kutta orde tiga, dan Runge-Kutta orde empat.
1) Metode Runge-Kutta Orde Satu atau Metode Euler (Chapra, 2012).
Diketahui 𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dengan nilai awal 𝑦(𝑎) = 𝑦0. Maka langkah umumnya yaitu:
𝑡𝑘+1= 𝑡𝑘+ ℎ
𝑦𝑘+1= 𝑦𝑘+ ℎ𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘).
Untuk 𝑘 = (0, 1, 2, … , 𝑀 − 1), dengan ℎ =𝑏−𝑎
𝑀 . Nilai ℎ disebut ukuran langkah.
2) Metode Runge-Kutta Orde Dua (Chapra, 2012).
Diketahui 𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dengan nilai awal 𝑦(𝑡0) = 𝑦0. Maka langkah umumnya yaitu:
𝑡𝑘+1= 𝑡𝑘+ ℎ
Prediktor: 𝑝𝑘+1 = 𝑦𝑘+ ℎ𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) Korektor: 𝑦𝑘+1= 𝑦𝑘+ℎ
2(𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) + 𝑓(𝑡𝑘+1, 𝑝𝑘+1)).
Untuk 𝑘 = (0, 1, 2, … , 𝑀 − 1), dengan ℎ =𝑏−𝑎
𝑀 . Nilai ℎ disebut ukuran langkah.
3) Metode Runge-Kutta Orde Tiga (Chapra and Canale, 2010).
Diketahui 𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dengan nilai awal 𝑦(𝑡0) = 𝑦0. Maka langkah umumnya yaitu:
𝑡𝑘+1= 𝑡𝑘+ ℎ 𝑘1 = 𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) 𝑘2 = 𝑓(𝑡𝑘+ℎ
2, 𝑦𝑘+ℎ
2𝑘1)
𝑘3 = 𝑓(𝑡𝑘+ ℎ, 𝑦𝑘− ℎ𝑘1+ 2ℎ𝑘2) 𝑦𝑘+1= 𝑦𝑘+ℎ
6[𝑘1+ 4𝑘2+ 𝑘3].
Untuk 𝑘 = (0, 1, 2, … , 𝑀 − 1), dengan ℎ =𝑏−𝑎
𝑀 . Nilai ℎ disebut ukuran langkah.
4) Metode Runge-Kutta Orde Empat (Chapra, 2012).
Diketahui 𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dengan nilai awal 𝑦(𝑡0) = 𝑦0. Maka langkah umumnya yaitu:
𝑡𝑘+1= 𝑡𝑘+ ℎ 𝑓1= 𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) 𝑓2 = 𝑓(𝑡𝑘+ℎ
2, 𝑦𝑘+ℎ
2𝑓1) 𝑓3 = 𝑓(𝑡𝑘+ℎ
2, 𝑦𝑘+ℎ
2𝑓2)
𝑓4 = 𝑓(𝑡𝑘+ ℎ, 𝑦𝑘+ ℎ𝑓3) 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘+ℎ(𝑓1+2𝑓2+2𝑓3+𝑓4)
6 .
Dengan metode Runge-Kutta didapatkan perkiraan-perkiraan solusi dari solusi eksak persamaan diferensial biasa yang paling akurat dari keempat orde. Metode ini akan menghasilkan pendekatan secara numeris untuk menunjukkan keakuratan dan efisiensi dari algoritma yang dikembangkan.
B. Perumusan Masalah
Rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana menyusun rumusan umum metode Runge-Kutta orde satu, dua, tiga, dan empat?
2. Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan metode Runge-Kutta orde satu, dua, tiga, dan empat?
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam tugas akhir ini akan dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut:
1. Metode yang digunakan adalah metode Runge-Kutta orde satu, dua, tiga, dan empat.
2. Data yang digunakan berasal dari referensi literatur.
3. Aplikasi pengolahan data yang digunakan pada tugas akhir ini adalah bahasa pemrograman MATLAB.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Menyusun rumusan umum metode Runge-Kutta orde satu, dua, tiga, dan empat.
2. Menerapkan metode Runge-Kutta orde satu, dua, tiga, dan empat untuk menyelesaikan beberapa persamaan diferensial.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Dengan menggunakan metode Runge-Kutta didapatkan solusi masalah nilai awal.
2. Metode Runge-Kutta dapat diterapkan pada masalah-masalah terkait persamaan diferensial atau pada pemodelan matematika.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari beberapa bagian materi dari buku dan jurnal-jurnal matematika yang digunakan sebagai bahan acuan dan menggunakan bantuan program komputer khususnya program MATLAB.
G. Sistematika Penulisan
Penulisan tugas akhir ini disusun dengan sistematika sebagai berikut:
BAB I: PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penuliasan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan
BAB II: PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Turunan
B. Persamaan Diferensial Secara Umum C. Persamaan Diferensial Biasa
D. Persamaan Diferensial Linier dan Tak Linier E. Persamaan Diferensial Parsial
F. Masalah Nilai Awal
BAB III: RUMUSAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT
A. Rumusan Umum Metode Runge-Kutta Orde Satu B. Rumusan Umum Metode Runge-Kutta Orde Dua C. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Tiga
D. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Empat
BAB IV: PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT
A. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Satu B. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Dua C. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Tiga D. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat
E. Diskusi Perbandingan Error Metode Runge-Kutta Orde Satu, Dua, Tiga, dan Empat
BAB V: PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
6
BAB II
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dibahas definisi turunan, contoh dari turunan, pengertian dari persamaan diferensial secara umum, pengelompokan persamaan diferensial berdasarkan jenis persamaan atau banyaknya variabel bebas yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial, pengertian masalah nilai awal dan masalah nilai batas.
A. Turunan
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi turunan dan contoh dari turunan.
Definisi 2.1 (Purcel, et al., 2003)
Turunan dari sebuah fungsi 𝑓 adalah fungsi yang diberi lambang 𝑓′ (dibaca “𝑓 aksen”) dan didefinisikan sebagai berikut:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ
asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞.
Jika 𝑓′(𝑥) bisa diperoleh, 𝑓 dikatakan dapat diturunkan atau dengan kata lain 𝑓 terdiferensial di 𝑥. 𝑓′(𝑥) disebut turunan dari 𝑓 terhadap 𝑥.
Notasi dari suatu turunan dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑓′(𝑥), 𝑦′, 𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)],𝑑𝑦 𝑑𝑥.
Semua notasi di atas sama-sama menyatakan turunan dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Secara umum, notasi suatu turunan dari fungsi 𝑦 terhadap 𝑥 dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′, 𝑦′′′′, … dst.
𝑦(1), 𝑦(2), 𝑦(3), 𝑦(4), … dst.
𝑑𝑦 𝑑𝑥,𝑑2𝑦
𝑑𝑥2,𝑑3𝑦
𝑑𝑥3,𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 , … dst.
Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian dari suatu turunan.
Contoh 2.2
Carilah 𝑓′(𝑥) jika 𝑓(𝑥) = 13𝑥 − 6 Solusi:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0((13(𝑥+ℎ)−6)−(13𝑥−6)
ℎ )
= lim
ℎ→0(((13𝑥+13ℎ)−6)−(13𝑥−6))
ℎ )
= lim
ℎ→0 13ℎ
ℎ = lim
ℎ→013 = 13 Contoh 2.3
Carilah 𝑓′(𝑥) jika 𝑓(𝑥) = 𝑥3+ 7𝑥 Solusi:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
[(𝑥+ℎ)3+7(𝑥+ℎ)]−[𝑥3+7𝑥]
ℎ
= lim
ℎ→0((𝑥3+3𝑥2ℎ+3𝑥ℎ2+ℎ3+7𝑥+7ℎ)−(𝑥3+7𝑥)
ℎ )
= lim
ℎ→0(3𝑥2ℎ+3𝑥ℎ2+ℎ3+7ℎ
ℎ )
= lim
ℎ→0(ℎ(3𝑥2+3𝑥ℎ+ℎ2+7)
ℎ )
= lim
ℎ→0(3𝑥2+ 3𝑥ℎ + ℎ2+ 7) = 3𝑥2+ 7
Contoh 2.4
Carilah 𝑓′(𝑥) jika 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑥 > 0.
Solusi:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0(√𝑥+ℎ−√𝑥
ℎ ) = lim
ℎ→0(√𝑥+ℎ−√𝑥
ℎ ∙√𝑥+ℎ+√𝑥
√𝑥+ℎ+√𝑥)
= lim
ℎ→0( 𝑥+ℎ−𝑥
ℎ(√𝑥+ℎ+√𝑥)) = lim
ℎ→0( ℎ
ℎ(√𝑥+ℎ+√𝑥)) = lim
ℎ→0( 1
(√𝑥+ℎ+√𝑥)) = 1
(√𝑥+√𝑥) = 1
2√𝑥
B. Persamaan Diferensial Secara Umum
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi persamaan diferensial.
Definisi 2.5 (Boyce & DiPrima, 2012)
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memuat turunan (derivatif) dari suatu fungsi. Persamaan diferensial melibatkan turunan dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu atau lebih variable bebas.
Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan perubahan laju (dinyatakan sebagai turunan) diketahui. Sebagai contoh, Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan kecepatan, percepatan, dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakan hubungan tersebut adalah persamaan diferensial sebagai fungsi waktu. Dalam teori persamaan diferensial, ada dua kategori yang digunakan sesuai dengan jumlah variabel bebasnya yaitu, Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
Solusi atau penyelesaian persamaan diferensial adalah suatu nilai atau fungsi yang memenuhi persamaan diferensialnya.
Sebagai contoh, turunan dari fungsi 𝑦 = log(𝑥) berturut-turut diberikan oleh:
𝑦
′=
1𝑥
, 𝑦
′′= −
1𝑥2
, 𝑦
′′′=
2𝑥3
,
dan seterusnya.Dimana dalam persamaan diferensial, turunan dari sebuah variabel biasa digantikan dengan tanda petik tunggal.
𝑦′ = 𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑦′′ = 𝑑𝑑𝑥2𝑦2 , dst.
Definisi 2.6 (Darmawijoyo, 2019)
Orde dari suatu persamaan diferensial adalah orde tertinggi derivatif yang termuat dalam persamaan itu.
Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Berikut beberapa contoh persamaan diferensial : 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 2𝑦 + 3 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 1
𝑥2− 𝑥 − 6 𝑦′= cos 2𝑥 𝑦′= 𝑥 sin𝑥
Terorema 2.7 (Adam & Essex, 2018)
Aturan Penjumlahan, Selisih, dan Kelipatan Konstan:
Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial di 𝑥, dan jika 𝐶 adalah konstanta, maka fungsi 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, dan 𝐶𝑓 dapat terdiferensial di 𝑥 dan
(𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) (𝑓 − 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)
(𝐶𝑓)′(𝑥) = 𝐶𝑓′(𝑥).
Bukti Teorema 2.7 dapat dilihat pada buku Calculus A Complete Course karangan Robert A. Adams dan Christopher Essex.
Terorema 2.8 (Adam & Essex, 2018) Aturan Perkalian:
Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial di 𝑥, maka fungsi 𝑓𝑔 juga terdiferensial di 𝑥 dan (𝑓𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥).
Bukti Teorema 2.8 dapat dilihat pada buku Calculus A Complete Course karangan Robert A. Adams dan Christopher Essex.
Terorema 2.9 (Adam & Essex, 2018) Aturan Pembagian:
Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial di 𝑥, dan jika 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka fungsi 𝑓/𝑔 juga terdiferensial di 𝑥 dan
(𝑓 𝑔)
′
(𝑥) =𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) (𝑔(𝑥))2 .
Bukti Teorema 2.9 dapat dilihat pada buku Calculus A Complete Course karangan Robert A. Adams dan Christopher Essex.
Terorema 2.10 (Adam & Essex, 2018) Aturan Rantai:
Jika 𝑓(𝑢) terdiferensial di 𝑢 = 𝑔(𝑥), dan 𝑔(𝑥) terdiferensial di 𝑥, maka fungsi 𝑓 𝑜 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) juga terdiferensial di 𝑥 dan
(𝑓 𝑜 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) 𝑔′(𝑥).
Bukti Teorema 2.10 dapat dilihat pada buku Calculus A Complete Course karangan Robert A. Adams dan Christopher Essex.
C. Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi dengan satu peubah bebas. Pada persamaan diferensial biasa terdapat beberapa contoh fenomena fisik yang melibatkan laju perubahan antara lain, gerakan cairan, gerakan sistem mekanis, aliran arus dalam rangkaian listrik, aliran panas dalam benda padat, gelombang seismik dan, dinamika populasi. Persamaan diferensial yang menggambarkan proses fisik ini sering disebut sebagai model matematika. (Boyce & DiPrima, 2012)
Notasi turunan pertama 𝑦 terhadap 𝑥 adalah 𝑦′ = 𝑑𝑦
𝑑𝑥
dan bentuk umum solusi persamaan diferensial biasa adalah 𝑦 = ℎ(𝑥).
Contoh menyelesaikan persamaan diferensial biasa sebagai berikut :
Contoh 2.11
Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut ini 𝑦′= 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒𝑥. Solusi:
Untuk mencari solusi persamaan diferensial tersebut, pertama kita kalikan sisi kiri dan sisi kanan dengan 𝑑𝑥 sehingga menghasilkan:
𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥.
Pengintegralan kedua sisi akan menghasilkan:
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥.
Sehingga solusi persamaan diferensial 𝑦′= 𝑒𝑥 adalah 𝑦 = 𝑒𝑥+ 𝑐.
Contoh 2.12
Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut ini 𝑦′= 𝑑𝑦
𝑑𝑥= cos 𝑥.
Solusi:
Untuk mencari solusi persamaan diferensial tersebut, pertama kita kalikan sisi kiri dan sisi kanan dengan 𝑑𝑥 sehingga menghasilkan
𝑑𝑦 = cos 𝑥 𝑑𝑥.
Pengintegralan kedua sisi akan menghasilkan
∫ 𝑑𝑦 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥.
Sehingga solusi persamaan diferensial 𝑦′= cos 𝑥 adalah 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑐.
Ada beberapa macam solusi dari persamaan diferensial biasa, antara lain:
1. Variabel Terpisah (Separable Equations)
Bentuk umum persamaan diferensial dengan variabel terpisah adalah 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦
𝑔(𝑦)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 1
𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Penyelesaiannya diperoleh y = ∫𝑔(𝑦)1 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Contoh 2.13
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥𝑦 . Solusi:
Dengan kata lain dari contoh diatas, 𝑥 merupakan 𝑓(𝑥) dan 𝑦 merupakan 𝑔(𝑦).
Dengan menggunakan variabel terpisah diperoleh
𝑑𝑦
𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥.
Solusi dari contoh diatas adalah:
∫1
𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ln|𝑦| + 𝑐1 =1
2𝑥2+ 𝑐2 ln|𝑦| =1
2𝑥2+ 𝑐2− 𝑐1 ln|𝑦| =1
2𝑥2+ 𝐶 ln|𝑦| = ln 𝑒12𝑥2+𝐶
|𝑦| = 𝑒12𝑥2. 𝑒𝐶 𝑦 = ± 𝐾. 𝑒12𝑥2 di cek:
𝑦 = 𝐾. 𝑒12𝑥2 𝑦′ = 𝐾. 𝑒12𝑥2. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦. 𝑥 benar.
2. Persamaan Linier (Linier Equations)
Bentuk umum persamaan diferensial dengan persamaan linier adalah 𝑦′+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥).
Penyelesaiannya diperoleh dengan mengalikan sisi kiri dan sisi kanan dengan faktor integral 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
Sehingga diperoleh :
𝑦′𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑟(𝑥)𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (𝑦𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥)′= 𝑟(𝑥) 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap x dihasilkan 𝑦𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑟(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑒−ℎ[∫ 𝑒ℎ𝑟(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐].
Dimana ℎ = ∫ 𝑃(𝑥).
Contoh 2.14
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial (4 + 𝑥2)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥.
Solusi:
Sisi kiri dari persamaan diferensial di atas adalah kombinasi linier dari 𝑑𝑦
𝑑𝑥 dan y.
Jika disesuaikan dengan bentuk umumnya menjadi:
(4 + 𝑥2)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥 (4 + 𝑥2)𝑦′+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥 𝑦′+ 2𝑥
(4 + 𝑥2)𝑦 = 4𝑥 (4 + 𝑥2)
dengan demikian, 𝑃(𝑥) = (4+𝑥2𝑥2) ; ℎ(𝑥) = ∫(4+𝑥2𝑥2)𝑑𝑥 = ln(4 + 𝑥2) + 𝑐
𝑦 = 𝑒− ln(𝑥2+4)(∫ 𝑒ln(𝑥2+4). 4𝑥
(4 + 𝑥2)𝑑𝑥 + 𝑐 ) 𝑦 = 1
(4 + 𝑥2)(∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐)
𝑦 = 2𝑥2
(4 + 𝑥2)+ 𝑐 (4 + 𝑥2) . Sehingga didapat solusi umum dari persamaan diferensial
(4 + 𝑥2)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥 adalah 𝑦 = 2𝑥2
(4+𝑥2)+ 𝑐
(4+𝑥2)
3. Persamaan Koefisien Fungsi Homogen
Persamaan koefisien fungsi homogen merupakan Persamaan diferensial biasa yang dapat ditulis ke dalam bentuk
𝑦′= 𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐵(𝑥, 𝑦)
Dengan A dan B adalah fungsi homogen dengan derajat yang sama.
Solusi penyelesaian dari persamaan koefisien fungsi homogen ini yaitu, dengan menggunakan subtitusi 𝑦 = 𝑢𝑥 , 𝑢 = 𝑢(𝑥) dengan
𝑦′= 𝑢′𝑥 + 𝑢 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑢 𝑑𝑥+ 𝑢 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥 Contoh 2.15
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial (𝑥 + 𝑦) − 𝑥𝑦′ = 0.
Solusi:
Persamaan diferensial diatas dapat ditulis menjadi:
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑦 𝑥
Misalkan 𝑦 = 𝑢𝑥, sehingga 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 1 +𝑦 𝑥 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 1 + 𝑢 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥 = (1 + 𝑢)𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑢 =𝑑𝑥 𝑥
∫ 𝑑𝑢 = ∫𝑑𝑥 𝑥 𝑢 = ln 𝑥 + 𝑐
𝑦
𝑥= ln 𝑥 + 𝑐 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 + 𝑐 𝑥.
Jadi solusi dari persamaan diferensial (𝑥 + 𝑦) − 𝑥𝑦′ = 0 adalah 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 + 𝑐 𝑥.
D. Persamaan Diferensial Linier dan Tak Linier
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi persamaan diferensial linier orde satu.
Definisi 2.16 (Darmawijoyo, 2019)
Persamaan diferensial linier orde satu adalah persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk:
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥),
dalam hal ini 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) adalah fungsi kontinu dari variable bebas 𝑥 pada interval dimana 𝑃 dan Q terdefinisi.
Terkadang lebih baik untuk menulis persamaan tersebut dalam bentuk:
𝑃(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝐺(𝑥).
Dimana fungsi P, Q, dan G adalah fungsi yang diberikan dan 𝑃(𝑥) ≠ 0.
Sementara pada persamaan diferensial tak liner tidak terdapat formula yang bersesuaian sehingga lebih sulit untuk menyatakan sifat-sifat umum dari solusi.
E. Persamaan Diferensial Parsial
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi persamaan diferensial parsial dan contoh persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.17
Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat turunan (derivative) parsial dari satu atau lebih variable terikat terhadap lebih dari satu variable bebas.
Diketahui bahwa pada persamaan diferensial biasa, variabel terikat 𝑢 = 𝑢(𝑥) hanya bergantung pada satu variabel bebas yaitu 𝑥. Berbeda dengan persamaan diferensial biasa, pada persamaan diferensial parsial variabel terikatnya seperti:
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) atau 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡), harus bergantung pada lebih dari satu variabel bebas. Jika 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), maka fungsi u bergantung pada variabel bebas 𝑥, dan pada variabel waktu 𝑡. Apabila 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) maka, fungsi 𝑢 bergantung pada variabel ruang (panjang, lebar) 𝑥, 𝑦, dan pada variabel waktu 𝑡.
Berikut beberapa contoh persamaan diferensial parsial antara lain:
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 , (1.1)
𝑢𝑡 = 𝑘(𝑢𝑥𝑥+ 𝑢𝑦𝑦), (1.2) 𝑢𝑡 = 𝑘(𝑢𝑥𝑥+ 𝑢𝑦𝑦+ 𝑢𝑧𝑧), (1.3) yang menggambarkan aliran panas dalam ruang satu dimensi, ruang dua dimensi, dan ruang tiga dimensi masing-masing. Pada (1.1), variabel terikat 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) tergantung pada posisi 𝑥, dan variabel waktu t. Pada persamaan (1.2), 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) tergantung pada tiga variabel bebas yaitu, variabel ruang 𝑥, 𝑦, dan variabel waktu 𝑡. Dalam persamaan (1.3), variabel terikat 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) tergantung pada empat variabel bebas yaitu, variabel ruang 𝑥, 𝑦, 𝑧, dan variabel waktu 𝑡. (Wazwaz, 2009)
Berikut beberapa contoh lain untuk persamaan diferensial parsial:
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥, (1.4)
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2(𝑢𝑥𝑥+ 𝑢𝑦𝑦), (1.5) 𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2(𝑢𝑥𝑥+ 𝑢𝑦𝑦+ 𝑢𝑧𝑧), (1.6) yang menggambarkan perambatan gelombang dalam ruang satu dimensi, ruang dua dimensi, dan ruang tiga dimensi. Pada persamaan (1.4) fungsi yang tidak diketahui yaitu 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), pada persamaan (1.5) fungsi yang tidak diketahui yaitu fungsi 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡), pada persamaan (1.6) fungsi yang tidak diketahui yaitu fungsi 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡).
2.18 Derajad Persamaan Diferensial Parsial
Derajad persamaan diferensial parsial adalah derajad turunan parsial tertinggi yang muncul di persamaan. Misalnya persamaan berikut ini:
𝑢𝑥− 𝑢𝑦 = 0, 𝑢𝑥𝑥 − 𝑢𝑡 = 0,
𝑢𝑦 − 𝑢𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0, (1.7)
yang mana, persamaan diferensial parsialnya masing-masing adalah derajad pertama, derajad kedua, dan derajad ketiga.
Contoh 2.19
Tentukan derajad dari persamaan diferensial berikut ini:
(a) 𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 (b) 𝑢𝑥+ 𝑢𝑦 = 0 (c) 𝑢4𝑢𝑥𝑥+ 𝑢𝑥𝑥𝑦 = 2 (d) 𝑢𝑥𝑥+ 𝑢𝑦𝑦𝑦𝑦 = 1 Penyelesaian :
(a) Turunan parsial tertinggi yang terdapat pada persamaan ini adalah 𝑢𝑥𝑥 atau 𝑢𝑦𝑦. Oleh karena itu, derajad persamaan diferensial parsial ini adalah berderajad dua.
(b) Turunan parsial tertinggi yang terdapat pada persamaan ini adalah 𝑢𝑥 atau 𝑢𝑦 . Oleh karena itu, derajad persamaan diferensial parsial ini adalah berderajad satu.
(c) Turunan parsial tertinggi yang terdapat pada persamaan ini adalah 𝑢𝑥𝑥𝑦 . Oleh karena itu, derajad persamaan diferensial parsial ini adalah berderajad tiga.
(d) Turunan parsial tertinggi yang terdapat pada persamaan ini adalahu 𝑢𝑦𝑦𝑦𝑦. Oleh karena itu, derajad persamaan diferensial parsial ini adalah berderajad empat.
2.20 Persamaan Diferensial Parsial Linier dan Nonlinier
Persamaan diferensial parsial diklasifikasikan menjadi persamaan diferensial parsial linear dan persamaan diferensial parsial nonlinier. Persamaan diferensial parsial disebut linier jika:
1) pangkat dari variabel terikat dan setiap turunan parsial yang terkandung dalam persamaan tersebut adalah satu.
2) koefisien variabel terikat dan koefisien masing-masing turunan parsial adalah konstanta atau variabel bebas. Namun, jika salah satu dari kondisi tersebut tidak ada, maka disebut persamaan diferensial parsial nonlinier.
Contoh 2.21
Klasifikasikan persamaan diferensial parsial berikut ini linier atau nonlinier:
(a) 𝑥𝑢𝑥𝑥+ 𝑦𝑢𝑦𝑦 = 0 (b) 𝑢𝑢𝑡+ 𝑥𝑢𝑥 = 2 (c) 𝑢𝑥+ √𝑢 = 𝑥 (d) 𝑢𝑟𝑟+1
𝑟𝑢𝑟+ 1
𝑟2𝑢𝜃𝜃 = 0 Penyelesaian :
(a) Pangkat dari setiap turunan parsial 𝑢𝑥𝑥 dan 𝑢𝑦𝑦 adalah satu. Selain itu, koefisien dari turunan parsial adalah variabel bebas 𝑥 dan 𝑦 masing-masing. Oleh karena itu, persamaan diferensial parsial ini bersifat linier.
(b) Meskipun pangkat dari setiap turunan parsialnya adalah satu, tetapi 𝑢𝑡 memiliki ketergantungan variabel 𝑢 sebagai koefisiennya. Oleh karena itu, persamaan diferensial parsial ini bersifat nonlinier.
(c) Persamaan diferensial parsial ini nonlinier karena suku tersebut berupa √𝑢.
(d) Persamaan diferensial parsial ini linier karena memenuhi dua kondisi yang diperlukan.
2.22 Persamaan Diferensial Parsial Homogen dan Persamaan Diferensial Parsial Nonhomogen
Persamaan diferensial parsial juga diklasifikasikan sebagai homogen atau tidak homogen. Persamaan diferensial parsial dengan urutan apa pun disebut homogen jika setiap istilah persamaan diferensial parsial berisi variabel terikat 𝑢 atau salah satu turunannya, jika tidak persamaan diferensial parsial itu disebut persamaan diferensial yang tidak homogen. Hal ini dapat diilustrasikan dengan melihat contoh di bawah ini.
Contoh 2.23
Klasifikasikan persamaan diferensial berikut merupakan persamaan diferensial parsial homogen atau nonhomogen:
(a) 𝑢𝑡 = 4𝑢𝑥𝑥 (b) 𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑥 (c) 𝑢𝑥𝑥+ 𝑢𝑦𝑦 = 0 (d) 𝑢𝑥+ 𝑢𝑦 = 𝑢 + 4 Penyelesaian :
(a) Suku-suku dalam persamaan diferensial parsial tersebut hanya mengandung turunan parsial dari 𝑢 , oleh karena itu persamaan diferensial parsial ini disebut persamaan diferensial parsial homogen.
(b) Karena pada persamaan diferensial parsial ini satu suku mengandung variabel bebas 𝑥 , maka persamaan diferensial ini disebut persamaan diferensial parsial nonhomogen.
(c) Persamaan diferensial ini disebut persamaan diferensial parsial homogen.
(d) Persamaan diferensial ini disebut persamaan diferensial parsial nonhomogen.
2.24 Penyelesaian dari Persamaan Diferensial Parsial
Solusi persamaan diferensial parsial adalah fungsi 𝑢 sehingga memenuhi persamaan yang sedang dibahas dan memenuhi kondisi yang diberikan juga.
Dengan kata lain, untuk memenuhi persamaan diferensial ini, sisi kiri persamaan diferensial parsial dan sisi kanan harus sama setelah mengganti solusi yang dihasilkan. Konsep ini akan diilustrasikan dengan melihat beberapa contoh berikut.
Contoh 2.25
Tunjukkan bahwa 𝑢(𝑥, 𝑦) = sin𝑥 sin𝑦 + 𝑥2 adalah penyelesaian dari persamaan diferensial parsial 𝑢𝑥𝑥 = 𝑢𝑦𝑦 + 2
Penyelesaian:
Sisi sebelah kiri 𝑢𝑥𝑥 = −sin𝑥 sin𝑦 + 2
Sisi sebelah kanan 𝑢𝑦𝑦+ 2 = −sin𝑥 sin𝑦 + 2 = sisi sebelah kiri.
Contoh 2.26
Tunjukkan bahwa 𝑢(𝑥, 𝑡) = cos𝑥 cos𝑡 adalah penyelesaian dari persamaan diferensial parsial 𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑥𝑥
Penyelesaian:
Sisi sebelah kiri 𝑢𝑡𝑡 = −cos𝑥 cos𝑡
Sisi sebelah kanan 𝑢𝑥𝑥 = −cos𝑥 cos𝑡 = sisi sebelah kiri.
F. Masalah Nilai Awal
Pada persamaan diferensial biasa, masalah nilai awal adalah persamaan diferensial yang dilengkapi dengan serangkaian kendala yang disebut dengan kondisi awal atau syarat awal yang diberikan dalam suatu masalah diferensial, dan solusi untuk masalah nilai awal adalah suatu nilai atau fungsi persamaan diferensial yang juga memenuhi kondisi awal (Boyce & DiPrima, 2012). Kondisi awal adalah turunan fungsi solusi di batas-batas titik ujung kedua interval.
21
BAB III
RUMUSAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT
Dalam bab ini akan dibahas penurunan rumusan metode Runge-Kutta orde satu, penurunan rumusan metode Runge-Kutta orde dua, penulisan skema metode Runge-Kutta orde tiga, dan penulisan skema metode Runge-Kutta orde empat.
A. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Satu
Pada beberapa kasus tertentu tidak semua masalah nilai awal dapat diselesaikan secara eksplisit, dan seringkali tidak mungkin untuk menemukan rumusan untuk solusi 𝑦(𝑡). Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah tersebut diperlukan metode untuk dapat mendekati solusi. Pendekatan yang pertama adalah metode Runge-Kutta orde satu atau yang seringkali lebih dikenal dengan metode Euler.
Metode Euler berfungsi untuk menggambarkan konsep-konsep yang terlibat dalam integrasi numerik dari persamaan diferensial biasa. Metode Euler merupakan metode Runge-Kutta yang paling sederhana, sehingga penggunaan metode ini terbatas karena kesalahan yang diperoleh merupakan akumulasi dari setiap proses perhitungannya. Oleh karena itu, metode Euler akan menghasikan kesalahan atau galat lebih besar. Metode Euler sering menjadi dasar untuk membangun metode yang lebih kompleks, misalnya metode prediktor-korektor (Mathews dan Fink, 1999).
Berikut ini adalah langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah nilai awal dengan menggunakan metode Euler:
Misalkan terdapat masalah nilai awal yang terletak pada interval selang tertutup [𝑎, 𝑏] yaitu 𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dengan nilai awal 𝑦(𝑎) = 𝑦0.
1) Pilih absis dari titik.
Bagi interval [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑀 subinterval sama besar dan pilih titik diskritisasinya
𝑡𝑘 = 𝑎 + 𝑘ℎ untuk 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑀 dengan ℎ =𝑏−𝑎
𝑀 . Nilai ℎ disebut ukuran Langkah.
2) Menentukan hampiran penyelesaian.
𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑀 , dengan 𝑦(𝑡0) = 𝑦0. Diasumsikan 𝑦(𝑡), 𝑦′(𝑡), dan 𝑦′′(𝑡) kontinu.
Teorema Taylor:
Suatu fungsi yang terdiferensiasi dapat dinyatakan dalam suatu deret pangkat atau suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya bergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Berikut rumusan umum teorema Taylor yang berlaku untuk setiap fungsi 𝑓 yang dapat diturunkan, dengan hampiran untuk 𝑥 mendekati 𝑎:
𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)
2! (𝑥 − 𝑎)2+ ⋯ +𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛! (𝑥 − 𝑎)𝑛, dengan 𝑛 bilangan bulat positif.
Lalu, menggunakan teorema Taylor diatas untuk mengekspansi 𝑦(𝑡) di sekitar 𝑡 = 𝑡0, maka untuk setiap nilai 𝑡 terdapat 𝑐1 ∈ [𝑡0 , 𝑡].
Sehingga,
𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡0) + 𝑦′(𝑡0)(𝑡 − 𝑡0) +𝑦′′(𝑐1)(𝑡 − 𝑡0)2
2 .
Subtitusi 𝑦′(𝑡0) = 𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)) dan ℎ = 𝑡1− 𝑡0 pada persamaan di atas, untuk 𝑡 = 𝑡1 akan diperoleh
𝑦(𝑡1) = 𝑦(𝑡0) + ℎ 𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)) + 𝑦′′(𝑐1)ℎ2 2.
Jika ukuran langkah ℎ dipilih cukup kecil, maka suku orde 2 (yang melibatkan ℎ2) dapat diabaikan, sehingga diperoleh
𝑦1 = 𝑦0+ ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0).
Proses diulang sampai menghasilkan barisan titik yang menghampiri kurva penyelesaian 𝑦 = 𝑦(𝑡).
Sehingga langkah umum dalam menyelesaikan masalah nilai awal
𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dengan nilai awal 𝑦(𝑎) = 𝑦0 menggunakan metode Euler adalah:
𝑡𝑘+1= 𝑡𝑘+ ℎ
𝑦𝑘+1= 𝑦𝑘+ ℎ𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘).
Untuk 𝑘 = (0, 1, 2, … , 𝑀 − 1), dengan ℎ =𝑏−𝑎
𝑀 . Nilai ℎ disebut ukuran langkah.
Secara geometris, metode Euler dapat ditunjukkan oleh gambar dibawah ini:
Gambar 3.1 Hampiran metode Euler (Chapra, 2012)
B. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Dua
Pendekatan solusi untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang kedua adalah metode Runge-Kutta orde dua atau yang seringkali lebih dikenal dengan metode Heun. Metode Heun merupakan salah satu perbaikan atau peningkatan dari metode sebelumnya yaitu metode Euler. Pada metode Heun, solusi yang diperoleh dari metode Euler dijadikan solusi perkiraan awal yang akan diperbaiki dengan metode Heun. Metode Heun melibatkan dua buah persamaan. Persamaan yang pertama adalah persamaan prediktor. Persamaan prediktor menggunakan metode Euler untuk memprediksi nilai integrasi awal atau dengan kata lain, persamaan prediktor ini digunakan untuk menentukan hampiran dari 𝑦(𝑡1).
Persamaan yang kedua adalah persamaan korektor. Persamaan korektor ini akan
mengoreksi hasil integrasi awal pada persamaan prediktor. Persamaan korektor menggunakan aturan trapezoidal untuk menentukan hampiran nilai integral dari 𝑦′(𝑡).
Berikut ini adalah rumusan untuk persamaan prediktor dan korektor metode Heun:
Untuk mendapatkan titik penyelesaian (𝑡1, 𝑦1) digunakan Teorema Fundamental Kalkulus.
Bunyi Teorema Fundamental Kalkulus:
Jika fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
𝑏
𝑎
Sehingga, titik penyelesaian (𝑡1, 𝑦1) yaitu:
∫ 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑦′(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑦(𝑡1) − 𝑦(𝑡0)
𝑡1
𝑡0 𝑡1
𝑡0
sehingga
𝑦(𝑡1) = 𝑦(𝑡0) + ∫ 𝑦′(𝑡) 𝑑𝑡.
𝑡1
𝑡0
Nilai integral tentu pada ruas kanan diaproksimasi secara numeris, dalam hal ini digunakan aturan trapezoidal, sehingga akan diperoleh
𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦(𝑡0) +ℎ
2(𝑓(𝑡0, 𝑦0) + 𝑓(𝑡1, 𝑦1)).
Nilai 𝑦(𝑡1) pada ruas kiri dihampiri dengan menggunakan metode Euler, diperoleh
𝑦1 = 𝑦0+ ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0).
Dengan demikian, rumus untuk menemukan nilai (𝑡1, 𝑦1) pada metode Heun adalah:
𝑦1 = 𝑦(𝑡0) +ℎ
2(𝑓(𝑡0, 𝑦0) + 𝑓(𝑡1, 𝑦0+ ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0))).
Dengan begitu, rumus untuk fungsi prediktor secara umum yaitu:
𝑝𝑘+1 = 𝑦𝑘+ ℎ𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘), dengan 𝑝 = prediktor,
dan rumus untuk fungsi korektor secara umum yaitu:
𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘+ℎ
2(𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) + 𝑓(𝑡𝑘+1, 𝑝𝑘+1)).
Secara geometris, metode Heun dapat ditunjukkan oleh gambar dibawah ini:
Gambar 3.2 Hampiran fungsi prediktor metode Heun (Chapra & Canale, 2010)
Gambar 3.3 Hampiran fungsi korektor metode Heun (Chapra & Canale, 2010)
C. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Tiga
Pendekatan solusi untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang ketiga adalah metode Runge-Kutta orde tiga. Metode ini merupakan perbaikan dari metode sebelumnya yaitu metode Runge-Kutta orde dua atau metode Heun.
Metode ini menghasilkan keakuratan nilai solusi yang lebih tinggi dibandingkan dengan dua metode sebelumnya yaitu metode Euler dan metode Heun.
Berikut ini adalah rumusan metode Runge-Kutta orde tiga.
Apabila diketahui 𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dengan nilai awal 𝑦(𝑡0) = 𝑦0. Maka langkah umumnya yaitu:
𝑡𝑘+1= 𝑡𝑘+ ℎ 𝑘1 = 𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) 𝑘2 = 𝑓(𝑡𝑘+ℎ
2, 𝑦𝑘+ℎ
2𝑘1)
𝑘3 = 𝑓(𝑡𝑘+ ℎ, 𝑦𝑘− ℎ𝑘1+ 2ℎ𝑘2) 𝑦𝑘+1= 𝑦𝑘+ℎ
6[𝑘1+ 4𝑘2+ 𝑘3].
Untuk 𝑘 = (0, 1, 2, … , 𝑀 − 1), dengan ℎ =𝑏−𝑎𝑀 . Nilai ℎ disebut ukuran langkah.
Karena bukti dari rumusan metode Runge-Kutta orde tiga ini cukup panjang, penulis tidak mencantumkan bukti tersebut di sini, bukti penurunan rumus metode Runge-Kutta orde tiga dapat dilihat pada buku referensi metode numerik, misalnya Chapra dan Canale (2010).
D. Rumusan Metode Runge-Kutta Orde Empat
Pendekatan solusi untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang keempat adalah metode Runge-Kutta orde empat. Metode ini merupakan perbaikan dari metode sebelumnya yaitu metode Runge-Kutta orde tiga. Metode ini menghasilkan keakuratan nilai solusi yang lebih tinggi dibandingkan dengan tiga metode sebelumnya yaitu metode Euler metode Heun, dan metode Runge-Kutta orde tiga.
Berikut ini adalah rumusan metode Runge-Kutta orde empat:
Apabila diketahui 𝑦′= 𝑓(𝑡, 𝑦) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 dengan nilai awal 𝑦(𝑡0) = 𝑦0. Maka langkah umumnya yaitu:
𝑓1= 𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) 𝑓2 = 𝑓(𝑡𝑘+ℎ
2, 𝑦𝑘+ℎ
2𝑓1) 𝑓3 = 𝑓(𝑡𝑘+ℎ
2, 𝑦𝑘+ℎ
2𝑓2) 𝑓4 = 𝑓(𝑡𝑘+ ℎ, 𝑦𝑘+ ℎ𝑓3) 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘+ℎ(𝑓1+2𝑓2+2𝑓3+𝑓4)
6
Untuk 𝑘 = (0, 1, 2, … , 𝑀 − 1), dengan ℎ =𝑏−𝑎
𝑀 . Nilai ℎ disebut ukuran langkah.
Karena bukti dari rumusan metode Runge-Kutta orde empat ini cukup panjang, penulis tidak mencantumkan bukti tersebut di sini, bukti penurunan rumus metode Runge-Kutta orde empat dapat dilihat pada buku buku referensi metode numerik, misalnya Chapra dan Canale (2010).
28
BAB IV
PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE SATU, DUA, TIGA, DAN EMPAT
Dalam bab ini akan diberikan beberapa contoh penerapan dari metode Runge-Kutta orde satu, Runge-Kutta orde dua, Runge-Kutta orde tiga, dan Runge- Kutta orde empat yang disertai dengan langkah-langkah dalam meyelesaikan masalah nilai awal yang diberikan.
A. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Satu Definisi 4.1 (Mathews dan Fink, 2004)
Solusi untuk masalah nilai awal 𝑦 = 𝑓(𝑡, 𝑦) dengan 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 pada interval [𝑡0, 𝑏] adalah fungsi terdiferensiasi 𝑦 = 𝑦(𝑡) sedemikian sehingga 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 dan 𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) untuk setiap 𝑡 𝜖 [𝑡0, 𝑏] dengan kurva solusi 𝑦 = 𝑦(𝑡) harus melalui titik awal (𝑡0, 𝑦0).
Contoh 4.2 (Mathews dan Fink, 1999) Diketahui masalah nilai awal
𝑦′= 𝑡−𝑦
2 pada interval [0,4] dengan 𝑦(0) = 1.
a. Tentukan penyelesaian eksaknya.
b. Menggunakan metode Euler tentukan persamaan umum untuk 𝑦𝑘+1.
c. Dari hasil skema persamaan umum metode Euler 𝑦𝑘+1, tentukan hampiran penyelesaiannya untuk ℎ = 1,1
2,1
4 . (selain ℎ = 1, masing-masing dihitung sampai 𝑦8).
(Gambarkan grafik penyelesaian dalam satu bidang koordinat).
Penyelesaian :
a. Penyelesaian eksaknya:
Metode faktor integral 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = (𝑡 − 𝑦) 2
𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑡
2−𝑦 2 𝑑𝑦
𝑑𝑡 +𝑦 2= 𝑡
2
𝜇(𝑡) = 𝑒∫12 𝑑𝑡 = 𝑒2𝑡 𝑦 = 1
𝜇(𝑡)∫ 𝜇(𝑡) . 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 = 1
𝑒2𝑡
∫ 𝑒2𝑡 . 𝑡
2 𝑑𝑡 (∫ 𝑢 . 𝑑𝑣) Misal:
𝑢 = 𝑡
2 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑡 𝑑𝑢 = 1
2 𝑣 = 2𝑒2𝑡 = 𝑒−𝑡2[𝑡 . 𝑒2𝑡− ∫ 𝑒2𝑡]
= 𝑒−𝑡2(𝑡 . 𝑒𝑡2− 2𝑒2𝑡+ 𝑐) 𝑦(𝑡) = 𝑡 − 2 + 𝑐 . 𝑒−𝑡2 Subtitusi : 𝑦(0) = 1 𝑦(𝑡) = 𝑡 − 2 + 𝑐 . 𝑒−𝑡2 𝑦(0) = 0 − 2 + 𝑐 . 𝑒0 1 = −2 + 𝑐
𝑐 = 3
𝑦(𝑡) = 𝑡 − 2 + 3 𝑒−2𝑡
b. 𝑡𝑘+1 = 𝑡𝑘+ ℎ 𝑡1 = ℎ
𝑡2 = 𝑡1+ ℎ = 2ℎ
⋮
𝑡𝑀 = 𝑡𝑀−1+ ℎ = 𝑀ℎ , sehingga 𝑡𝑘 = 𝑘ℎ
𝑦0+1= 𝑦0+ ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0)
