METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian
A. Rancangan Lintasan Belajar
2. Pertemuan Kedua a) Pendahuluan Apersepsi
untuk permutasi yang berulang yaitu ( )
24) Peneliti menutup pertemuan dengan salam dan mengingatkan bahwa
besok akan membahas mengenai permutasi siklis dan permutasi unsur yang sama.
2. Pertemuan Kedua a) Pendahuluan Apersepsi
1) Siswa diajak untuk mengingat kembali tentang permutasi r objek dari n objek yang tersedia, yaitu dengan contoh permasalahan
Tersedia huruf – huruf I,K,A,N . Jika huruf – huruf tersebut dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk?
2) Siswa mendapat kesempatan untuk berpikir sejenak guna menemukan jawabannya
3) Satu siswa maju ke depan untuk menuliskan hasil jawaban dan penjelasannya di depan kelas
Kemungkinan jawaban siswa : 4 3 2 1
= 4 x 3 x 2 x 1 = 24 susunan Kemungkinan jawaban siswa kedua :
( ) b) Kegiatan Inti
4) Untuk menuju ke permutasi dengan beberapa unsur yang sama, siswa disajikan beberapa masalah yaitu
Masalah 1
Jika huruf-huruf pada kata ADA di pertukarkan, tentukan berapa banyak susunan yang didapatkan dari huruf-huruf tersebut. Kemungkinan jawaban siswa :
Anggap ke tiga huruf merupakan huruf yang berbeda, maka banyaknya susunan ada
3! = 3 x 2 x 1 = 6 susunan
Pada kata ADA terdapat 2 huruf A, kedua huruf tersebut merupakan huruf yang sama sehingga kemungkinan banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk ada
ADA,DAA,AAD = 3 susunan 3 susunan didapat dari
Masalah 2
Jika huruf-huruf pada kata PADA di pertukarkan, tentukan berapa banyak susunan yang didapatkan dari huruf-huruf tersebut.
Kemungkinan jawaban siswa :
Anggap ke empat huruf merupakan huruf yang berbeda, maka banyaknya susunan ada
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 susunan
Pada kata PADA terdapat 2 huruf A, kedua huruf tersebut merupakan huruf yang sama sehingga kemungkinan banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk ada
PADA,DAAP,PAAD,ADAP,APAD,DAPA,
APDA,ADPA,DPAA,AADP,PDAA,AAPD = 12 susunan 12 susunan didapat dari
Masalah 3 :
Jika huruf-huruf pada kata PADAT di pertukarkan, tentukan berapa banyak susunan yang didapatkan dari huruf-huruf tersebut.
Kemungkinan jawaban siswa :
Anggap ke lima huruf merupakan huruf yang berbeda, maka banyaknya susunan ada
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 susunan
Pada kata PADAT terdapat 2 huruf A, kedua huruf tersebut merupakan huruf yang sama sehingga kemungkinan banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk ada
PADAT,DAAPT,PAADT,ADAPT,APADT,DAPAT, APDAT,ADPAT,DPAAT,AADPT,PDAAT,AAPDT TPADA,TDAAP,TPAAD,TADAP,TAPAD,TDAPA, TAPDA,TADPA,TDPAA,TAADP,TPDAA,TAAPD PTADA,DTAAP,PTAAD,ATDAP,ATPAD,DTAPA,
ATPDA,ATDPA,DTPAA,ATADP,PTDAA,ATAPD PATDA,DATAP,PATAD,ADTAP,APTAD,DATPA, APTDA,ADTPA,DPTAA,AATDP,PDTAA,AATPD PADTA,DAATP,PAATD,ADATP,APATD,DAPTA, APDTA,ADPTA,DPATA,AADTP,PDATA,AAPTD Total ada = 60 susunan
60 susunan didapat dari
5) Dari ketiga masalah tersebut siswa coba menyimpulkan rumus untuk
menentukan permutasi dengan beberapa unsur yang sama. 6) Siswa disajikan masalah :
Banyak permutasi, jika objek yang disusun adalah:
a. 7 objek dengan 3 objek yang sama, misalkan pada huruf-huruf S,A,R,A,P,A,N
( )
b. 10 objek dengan 3 jenis objek yang sama, misalkan pada huruf-huruf M,A,T,E,M,A,T,I,K,A
( )
c. n objek dengan nk jenis objek yang sama, dengan n1 jenis ke-1, n2 jenis kedua, sampai nk jenis ke-k.
( )
7) Satu atau dua siswa menyampaikan hasil jawabannya di depan kelas 8) Dalam diskusi kelas, siswa bersama peneliti membahas mengenai
9) Siswa mendapatkan beberapa soal yang harus dikerjakan yang diantaranya memuat soal HOTS sehingga siswa terbiasa dengan soal HOTS.
1. Seorang karyawan toko akan memindahkan 12 kardus dari truk ke dalam gudang persediaan barang. Terdapat 4 kardus minuman, 2 kardus bahan kosmetik, 1 kardus alat tulis, dan sisanya kardus makanan.Berapakah banyaknya cara karyawan toko tersebut dapat memindahkan semua kardus jika ia hanya dapat memindahkan satu per satu kardus tersebut?
2. Berapa banyak susunan huruf yang mungkin dari huruf – huruf yang menyusun kata TERCEPAT jika huruf E tidak boleh disusun saling berdampingan.
10) Beberapa siswa mempresentasikan hasil jawaban dari latihan soal yang diberikan di depan kelas terutama soal yang HOTS.
11) Siswa dan peneliti membahas bersama-sama penyelesaian dari soal- soal tersebut hingga pada akhir diskusi, peneliti memberikan peneguhan mengenai cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan permutasi dengan beberapa unsur yang sama.
12) Setelah memahami permutasi dengan beberapa unsur yang sama, siswa diajak untuk memahami permutasi pada kondisi /situasi melingkar yaitu Permutasi Siklis
13) Untuk menuju pada permutasi siklis, siswa disajikan beberapa masalah, yaitu
Masalah 1
Dua orang siswa, Ani dan Dina duduk mengelilingi meja yang berbentuk lingkaran. Buatlah ilustrasinya dan tentukan banyaknya cara mereka duduk!
Kemungkinan jawaban siswa :
Terdapat 1 susunan
Masalah 2
Dua orang siswa, Ani,Dina, Tio duduk mengelilingi meja yang berbentuk lingkaran. Buatlah ilustrasinya dan tentukan banyaknya cara mereka duduk!
Kemungkinan jawaban siswa :
Terdapat 2 susunan Masalah 3
Dua orang siswa, Ani,Dina, Tio, Bimo duduk mengelilingi meja yang berbentuk lingkaran. Buatlah ilustrasinya dan tentukan banyaknya cara mereka duduk!
Kemungkinan jawaban siswa : meja ANI DINA MEJA ANI DINA TIO MEJA ANI TIO DINA MEJA ANI TIO BIMO DINA MEJA ANI DINA BIMO TIO MEJA ANI TIO DINA BIMO
Terdapat 6 susunan
Kesimpulan :
Misalkan ada 4 orang yang duduk pada 1 baris kursi yang terdiri dari 4 kursi, maka menurut rumus permutasi akan ada ... ! susunan cara keempat orang tersebut duduk. Namun, jika mereka duduk secara melingkar, maka susunan yang terbentuk tidak akan sebanyak 4! melainkan hanya ... susunan.
Titik Pangkal A B C D Posisi duduk yang dapat diubah ubah
Anggap 1 orang sebagai titik pangkal, maka sisanya yakni 3 orang dapat berubah posisi duduknya dalam 3 != (4 −1)! susunan.
Sehingga jika ada n objek yang disusun secara melingkar, serta 1 objek dianggap sebagai titk pangkal maka
sisanya (4 − 1 ) dapat ditempatkan searah jarum jam dengan ( 4 − 1)! cara. Secara umum banyaknya permutasi melingkar (sklis) dari n objek yang berbeda dapat dinyatakan dengan notasi 𝒔𝒊 𝒍𝒊𝒔 , dimana;
𝒔𝒊 𝒍𝒊𝒔 = (n –1) !
14) Siswa disajikan contoh permasalahan mengenai aplikasi permutasi siklis untuk kasus yang lebih sulit,yaitu
MEJA ANI BIMO TIO DINA MEJA ANI DINA TIO BIMO MEJA ANI BIMO DINA TIO
Permasalahan
1. (HOTS) Dalam suatu perjamuan pada sebuah meja berbentuk lingkaran, ada 3 pria dan 3 wanita, mereka duduk mengitari meja tersebut. Berapa banyak posisi duduk mereka apabila pria dan wanita duduk berkelompok sesuai jenis kelaminnya?
2. (HOTS) Dari 8 anggota belajar kelompok dimana Hanif, Nisa dan Azzam ada di dalamnya, akan bermain jamuran, Mereka berdiri sambil bergandengan tangan dan membentuk sebuah lingkaran. Ada berapa susuna yang terjadi jika:
a. Semua anggota Karang Taruna bebas memilihi posisi berdiri b. Hanif, Nisa dan Azzam harus berdiri berdampingan
c. Hanif, Nisa dan Azzam tidak boleh ketiganya berdiri berdampingan
3. (HOTS) Dalam suatu perjamuan pada sebuah meja berbentuk lingkaran, ada 3 pria dan 3 wanita, mereka duduk mengitari meja tersebut. Berapa banyak posisi duduk mereka apabila pria dan wanita duduk berselang –seling? (dikerjakan di rumah)
15) Setelah selesai mengerjakan, perwakilan siswa maju untuk mempresentasikan hasil diskusi mereka dalam mengerjakan soal – soal permutasi siklis.
16) Siswa lain menanggapi hasil presentasi
17) Peneliti memberikan peneguhan terhadap hasil diskusi siswa terutama dalam pengerjaan soal – soal yang berorientasi pada HOTS.
c) Kegiatan penutup
18) Siswa bersama guru menyimpulkan apa yang sudah dipelajari pada permutasi dengan beberapa unsur yang sama dan permutasi siklis.
19) Guru menyampaikan bahwa siswa diminta untuk mencoba soal latihan permutasi siklis nomor 3 di rumah untuk menambah pemahaman
20) Guru menutup pembelajaran dengan salam. 3. Pertemuan Ketiga
a) Kegiatan Pendahuluan (Apersepsi)
1) Siswa diminta untuk mengingat kembali apa itu permutasi dan banyaknya permutasi
PERMUTASI adalah susunan r objek yang diambil dari n objek yang memperhatikan urutan.
BANYAKNYA PERMUTASI r objek yang diambil dari n objek yang tersedia adalah
atau
Sehingga
2) Kemudian siswa disajikan suatu peristiwa sehari – hari yang berkaitan dengan kombinasi yaitu minuman infus water
Saat ini banyak orang yang sedang menggemari minuman yang disebut infused water. Infused water merupakan minuman yang terbuat dari air mineral yang dikombinasikan dengan beberapa potongan buah di dalamnya. Banyak pengusaha di bidang pengolahan minuman tidak ingin melewatkan tren minuman ini begitu saja. Oleh karena itu, beberapa diantara mereka banyak yang mulai mengembangkan minuman dengan kombinasi buah ini.
Contoh peristiwa ini merupakan contoh dari pemanfaatan kombinasi dalam kehidupan sehari-hari.
b) Kegiatan Inti
4. Siswa mendapatkan LKS berisi permasalahan yang menuntun menemukan rumus kombinasi melalui tahap-tahap yang sudah disajikan dalam LKS
Masalah 1
Dalam suatu sesi pada acara Masa Orientasi Sekolah, para siswa dibagi menjadi beberapa kelompok kecil dan kelompok besar. Dalam sebuah kelompok kecil terdiri dari 4 orang siswa dan kelompok besar terdiri dari 8 orang siswa. Sebelum mereka bekerja sama untuk menyelesaiakan tugas MOS, mereka saling memperkenalkan diri antar anggota kelompok dengan berjabat tangan. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi pada kelompok kecil dan kelompok besar?
Kemungkinan jawaban siswa :
Kelompok Kecil : misal siswa tersebut A,B,C,D Banyak jabat tangan yang terjadi :
AB=BA BD = DB DC = CD BC=CB AD = DA AC = CA
Sehingga total ada 6 jabat tangan antara 4 orang siswa Kelompok Besar: misal siswa tersebut adalah EFGHIJKL Banyak jabat tangan yang terjadi antara 8 orang siswa adalah
EF = FE EJ = JE FH = HF FL = LF GK = KG HK = KH IL=LI EG = GE EK = KE FI = IF GH = HG GL = LG HL = LH JK=KJ EH=HE EL = LE FJ = JF GI = IG HI = IH IJ = JI JL=LJ EI = IE FG = GH FK = KF GJ=JG HJ = JH IK = KI KL=LK
Sehingga total ada 28 jabat tangan antara 8 orang siswa
Masalah 2
Dari 5 orang siswa yaitu Ani, Beni,Cika, Dita, Eky akan dibentuk sebuah tim cerdas cermat yang terdiri dari 3 orang siswa. Berapa banyak susunan anggota tim yang dapat dibentuk dari siswa-siswa tersebut?
Kemungkinan jawaban siswa :
Banyaknya kemungkinan susunan anggota tim lomba
Misal Ani = A, Beni = B, Cika = C, Dita = D, dan Eky = E maka ABC=BCA=CBA=CAB=ACB=BAC
ABD=BDA=DBA=DAB=ADB=BAD ABE=BEA=EAB=AEB=EBA=BAE BCD=CBD=BDC=CDB=DBC=DCB
BCE=BEC=CBE=CEB=EBC=ECB CDE=CED=DEC=DCE=EDC=ECD ACD=ADC=DCA=DAC=CDA=CAD ACE=AEC=CEA=CAE=EAC=ECA ADE=AED=DEA=DAE=EDA=EAD BDE=BED=DEB=DBE=EDB=EBD Terdapat 10 susunan anggota tim
5. Setelah mengerjakan LKS, perwakilan siswa diminta untuk maju menuliskan hasil jawaban diskusi memecahkan masalah pada LKS 6. Siswa mendapat kesempatan untuk mengemukakan hasil pekerjaannya
di depan kelas.
7. Siswa lain menanggapi hasil presentasi temannya.
8. Setelah jawaban atas masalah dipastikan benar, siswa diajak untuk mengaitkan masalah tersebut dengan kombinasi.
9. Dalam diskusi kelas, siswa diajak untuk melihat bahwa masalah tersebut hampir mirip dengan menentukan banyaknya permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia, hanya saja karena urutan tidak diperhatikan(seperti misal ketika peristiwa jabat tangan AB dianggap sama dengan jabat tangan BA) maka hasil dari banyaknya permutasi tersebut masih dibagi dengan r!
10. Kemudian siswa diajak untuk menemukan rumus kombinasi melalui cara berikut:
KOMBINASI dari sebuah himpunan dengan objek yang berbeda adalah sebuah susunan tidak terurut dari objek-objek tersebut.
Banyaknya kombinasi-r dari himpunan dengan n elemen adalah susunan tak terurut rr objek dari sebuah himpunan yang terdiri atas nn objek yang berbeda.
Bukti: Banyaknya permutasi-r dari himpunan dengan n elemen P(n,r) dapat diperoleh dengan membentuk kombinasi-r himpunan tersebut C(n,r) dan selanjutnya mengurutkan elemen-elemen padamasing-masing kombinasi-rr yang dalam hal ini dapat dilakukan dalam P(r,r) cara. Akibatnya, berdasarkan aturan perkalian diperoleh:
P(n,r) = C(n,r) . P(r,r)
11. Selanjutnya siswa diminta untuk mencoba menggunakan rumus kombinasi untuk memecahkan masalah berikut dan membandingkannya jika dikerjakan dengan mendaftar
Masalah 3 :
Dalam acara memperingati HUT PT. Djarum Indonesia akan diadakan perlombaan sepak bola antar sekolah SMA yang diikuti oleh 16 tim sepak bola dari berbagai SMA. Berapa banyak pertandingan yang terjadi jika semua tim maju bertanding?
12. Selanjutnya siswa diminta untuk berlatih mememcahkan masalah yang berkaitan dengan kombinasi
Yaitu :