BAB IV ANALISIS DATA
1. Pertemuan pertama (5 Agustus 2009)
Pertemuan pertama ini diawali dengan materi baru yaitu Menghitung Integral Tentu. Guru pada awal pembelajaran memulai dengan menunjukkan secara garis besar alur pembelajaran dan kemudian menentukan kelompok siswa yang terdiri dari dua orang. Kelompok yang sudah ditentukan oleh guru ini diminta untuk mengerjakan LKS menghitung Luas suatu daerah sebarang, seperti terlihat pada transkrip di bawah ini:
G: Untuk sampai pada pembahasan Integral Tentu..ya…ada materi prasyarat yang perlu kita kuasai, yang tentu saja adalah yang akan kita capai kesana adalah jumlahan Riemann(Gambar 4.1)..ya..nanti akan di selesaikan di dalam kelompok. Kelompok satu ini..(guru menunjuk kearah dua siswa yang duduk di paling depan pojok kanan) silahkan dikerjakan…kelompok 2 (guru menuju
deretan siswa berikutnya), kelompok 3, kelompok 4, kelompok 5…dst.(Gambar 4.2). Okey…untuk masuk pada pokok bahasanIntegral Tentu, tugas pertama anda adalah saya minta anda untuk menghitung berapa luas daerah ini (guru menunjuk pada gambar daerah yang ada pada LKS) saya tidak akan memberitahu
caranya,terserah anda…
Gambar 4.1 Gambar 4.2
Menurut guru, siswa akan bisa masuk ke suatu materi baru kalau mereka punya sesuatu sebagai pengantar, itulah alasan guru membahas materi prasyarat.
“Pertama menurut saya yah, ini paradigm saya, anak-anak akan bisa masuk ke suatu materi baru kalau dia punya sesuatu hal pengantar gitu yah, pengantar…”
Materi prasyarat yang diangkat guru adalah jumlahan Riemann yang merupakan dasar bagi topik Integral Tentu yang akan diajarkan. Kemudian guru menentukan kelompok siswa yang terdiri dari dua orang di mana siswa mengerjakan LKS untuk menghitung luas suatu daerah sebarang. Pengantar itu bertujuan supaya siswa sampai pada pemahaman
tentang penerapan Integral Tentu dalam hal menghitung luas. Tujuan guru sebenarnya cukup sederhana bahwa ketika nanti anak-anak mempelajari Integral Tentu itu ada sesuatu manfaatnya, seperti yang diungkapkan ketika wawancara dengan guru bersangkutan.
“Ketika integral tentu saya memilih untuk luas untuk menghitung suatu daerah yang tidak teratur gitu yah, itu untuk mengantar anak supaya sampai pada pemahaman tentang penerapan integral tentu dalam hal luas gitu yah. Nah, Tujuan saya sebenarnya cukup sederhana bahwa ketika nanti anak-anak mempelajari integral tentu itu ada sesuatu manfaatnya, tujuannnya itu seperti itu. Sehingga apa yang mereka pelajari itu tidak kosong sama sekali tidak ada maknanya, tetapi syukur kalau saya mempelajari ini saya bisa sekurang-kurangnya saya tau bahwa ini bisa mengukur luas gitukan, sekurang-sekurang-kurangnya gitu yah.”
Ini menunjukkan bahwa guru mengetahui tujuan dari pembelajaran itu sendiri. Hal ini merupakan aspek pengetahuan pedagogis di lihat dari konteks pembelajaran dengan kategori tujuan pembelajaran dari PCK menurut Chick, Baker, Pham & Cheng, (2006).
Setelah pekerjaan siswa dikumpulkan guru kemudian mempresentasikan pekerjaan tiap kelompok secara singkat. Ketika mempresentasikan jawaban guru menemukan beberapa jawaban yang menurut guru berbeda jauh dari teman-teman yang lainnya seperti yang terlihat pada transkrip dibawah ini:
G: Kemudian, Benedikto dan Dicky 209. Kemudian berikutnya kelompok Andreas Dika dan Mauly 212 persis. Hanzelmut dan Widharyanto 208,075.
Okey…Anton, punya mu kenapa bisa mendapatkan jawaban 200, sini di
depan..(guru meminta siswa maju ke depan kelas menjelaskan jawabannya)
Gambar 4.3
S: Inikan gambarnya ada yang berbentuk persegi panjang, sama yang gelombang- gelombang. Pertamanyakan kami melihat dari yang persegi
yang apa itu…cara Riemann itu.. ini sebenarnya kan persegi dan jadi luasnya persegikan jadi kuadrat-kuadrat , nah kuadratnya itukan jadinya begini. Jadi akan coba di perbaiki lagi..jadi ini yakin salah pak (Gambar 4.3).
G: Okey, yakin salah ini?... S: yah.
G: Yakin salah..Kemudian Yohan, kenapa kamu menggunakan penghampiran? Penghampiran atau pengiraan? Caranya dulu..bagaimana cara menghitungnya?
Gambar 4.4
S1: Pertama di bagi 2, yang panjang ini kami hitung dapat 19.8..(Gambar4. 4) G&S: hehehhee…
G: Penggaris mu mana, coba penggaris mu (guru kemudian mengecek penggaris Yohan) 19,8..berapa yang lainnya?
Gambar 4.5 SS: 20.
G: ya, terus…
S1: trus yang ini 8 senti, dihitung ketemunya 154,4, trus yang ini pakai cara tradisional, kotak-kotak..yang apa..yang hasilnya kotak penuh bernilai 1, yang potongan-potongan ini di gabung-gabung..kayak puzzle trus di hitung kiranya ada 8 persegi, yang ini ada 36 terus yang ini ada 12. Dijumlahin kira-kira 206,4.
G: Ya, baik…penggarisnya memang berbeda, lebih panjang yang
tembaga…memang selisih 0,2..betul..
PCK guru pada transkrip di atas terlihat ketika guru meminta dua orang siswa yang berasal dari dua kelompok yang berbeda untuk maju
menjelaskan jawabannya. Maksud guru memilih kedua siswa ini didasarkan pada beberapa pertimbangan, yaitu ketika proses ini berlangsung guru sedang berkeliling dan guru mengamati proses satu demi satu. Menurut guru, Anton (S) menggunakan cara yang ilmiah karena dia mengerjakan dengan mendekati jumlahan Riemann yang ada di buku dengan membandingkan berbagai macam sumber buku dan ketika mengerjakan hasilnya salah.
“…itu ada beberapa pertimbangan gitu ya, ketika proses ini berlangsung saya
kan keliling gitu, saya mengamati proses satu demi satu gitu ya, satu demi satu. Nah, saya sengaja memilih ini karena cara yang dipakai ini menurut saya cara ini ilmiah gitukan karena dia mendekati nganu dia mendekati jumlahan Rieman yang dimaksud yang nanti akan dituju gitu ya. Tetapi salah gitukan jawabannya,
salah gitukan…”
Anton dan temannya Andra menghitung luas daerah yang ada pada LKS tersebut dengan melihat langkah-langkah Jumlahan Riemann yang ada di buku paket. Namun karena mereka belum terlalu paham mengenai konsep jumlahan Riemann mereka menggunakan konsep yang salah yaitu menghitung luas sisa yang berbentuk gelombang dengan menyatukannya menjadi persegi-persegi yang hanya dikira-kira. Menurut mereka cara menghitung dengan jumlahan Riemann dapat dilakukan seperti itu. Sehingga guru ingin mencoba untuk menunjukkan pada siswa terutama Anton bahwa langkah yang dilakukan Anton belum tepat walaupun sudah melihat dari sumber buku. Karena Anton dan Andra sudah mengerti apa yang dikerjakannya salah, maka guru tidak mengungkapkan secara detail letak kesalahannya di mana.
Guru kemudian melanjutkan dengan mulai mengenalkan siswa asal-usul Integral Tentu yang diawali dengan sejarah kalkulus, menghitung luas lingkaran dengan persegi, segilima, segienam dan seterusnya hingga segi-n, mengarah pada Integral Tentu. Lihat transkrip di bawah ini:
G: Ada dua permasalahan yang sebelum integral itu muncul itu menjadi masalah besar, bukan integral yah tapi kalkulus karena integral itu bagian dari kalkulus, Sebelum kalkulus itu lahir ditemukan oleh Issac Newton dan Leibniz, Newton lebih dulu kemudian Leibniz menyempurnakan, ketika mereka pensiun kemudian mereka berdebat mana yang menemukan gitukan, kalau dalam hal menemukan itu yang
pertama menemukan adalah Newton kemudian disempurnakan dengan notasi-notasi kemudian melambangkan turunan iitu dengan menggunakan titik, turunan pertama itu y kemudian diatasnya titik satu (y’) kemudian Leibniz membuatnya lebih mudah yang kemudian kita gunakan sekarang dy/dx gitu yah. Sejarah mencatat bahwa kedua orang ini berjasa besar. Nah, kemudian sebelum kalkulus itu muncul ada dua masalah yang dipikirkan banyak orang. Persoalan yang pertama itu adalah gerak dan yang kedua luas daerah untuk kurva-kurva tertentu bukan daerah seperti kotak. Dulu ketika ada linkaran seperti ini orang bingung menghitung luasnya, kalau menurut mu bagaimana menhitung luasnya, kita kembali kesebelum rumusnya ditemukan yah,
SS: dibuat kotak pak.
G: lalu hubungan nya apa luas lingkaran dengan kotak? Karena kalau kita mendekati luas lingkaran di kotak ada yang terbuang, satu, dua, tiga dan empat yah. Nah pertama-tama pakai kotak karena ini tidak ideal kemudian pakai segilima semakin sedikit yang terbuang, kemudian segienam, kalau segi-n ini diperbanyak maka luas ini akan semakin teliti. Bisa masuk ke logika kita?
SS: bisa
G: kalau segi itu di perluas sampai segiseratus misalnya, bentuknya bukan lingkaran yah tapi akan semakin mendekati luas lingkaran, kalau diperluas lagi maka akan semakin dekat gitu yah, nah kalau kita bisa meghitung dengan segi-n, n nya makin tak berhingga maka luas lingkaran itu bisa dihitung akan mendekati kebenaran yah. Anda bisa memahami logika ini?
S: bisa
PCK guru tampak ketika guru mengaitkan materi yang akan diajarkan yaitu mengawali dengan sejarah munculnya kalkulus kemudian permasalahan dalam menghitung luas lingkaran dengan pemecahan menggunakan persegi, segilima, segienam dan seterusnya hingga segi-n, yang akhirnya mengarah pada topik Integral Tentu. Penjelasan konsep tahap demi tahap ini merupakan salah satu strategi guru dalam menyampaikan materi dengan harapan siswa akan lebih menyukai dan tertarik pada pembelajaran yang diberikan oleh guru. Dari penjelasan guru, siswa menjadi lebih paham mengenai sejarah kalkulus dan sangat antusias mengikuti pembelajaran pada hari itu. Hal ini terlihat dari respon yang diberikan siswa yaitu siswa selalu menanggapi penjelasan dari guru dengan mengiyakan penjelasan yang guru berikan.
Guru menjelaskan tentang jumlahan Riemann dengan gambar pada LKS. Dalam hal ini guru menjelaskan tahap demi tahap bagaimana menghitung luas daerah sembarang hingga mendapat rumus jumlahan Riemann, seperti tampak pada transkrip dibawah ini:
G: misalkan tadi diLKS luas daerahnya seperti ini (Gambar4.6) langkah pertama apa yang akan kita lakukan? Langkah pertama adalah dilihat dari beberapa kelompok tadi ini dibagi begini, (Gambar 4.7) karena soal itu meminta dalam satuan
sentimeter maka dibuat skala-skala kemudian dibuat kotak-kotak. Kemudian menghitung luasnya bagaimana? Menghitung luasnya berartikan kita menghitung kotak-kotak ini, kalau ini kita beri nama fungsi f(x) kemudian ini sumbu y ini sumbu x ini titik o, misalnya dititik ini kita berinama a dan disini b maka panjang ab ini berapa?
Gambar 4.6
Gambar 4.7 SS: b–a
G: b–a yah, kalau misalnya ini kita buat selang ini sebanyak n berapakah lebar dari masing-masing kotak ini? Misalkan ini x1, x2, x3,…xn maka berapa∆x?
SS: ∆ = .
G: kalau n nya semakin besar apa yang terjadi dengan lebar ini? SS: lebarnya semakin kecil.
G: kalau n nya semakin besar berarti ∆x nya akan semakin kecil, bisa memahami nggak ini? Oke yah. Sekarang tingginya bagaimana? Misalkan tinggi yang pertama ini t1, maka ti= f(x1), kemudian tinggi yang kedua ini f(x2) gitu…kalau
tinggi n berarti? S: f(xn)
G: f(xn) yah. Nah, permasalahan kita sekarang kalau kita ingin menghitung luas daerah ini, bagimana? Tadi seperti kita katakana kalau n nya besar maka lebar daerah akan semakin kecil, coba kita lihat, tadi ada yang punya millimeter block,
coba pinjem…kalau misalnya gambar pada LKS tadi kamu salin di millimeter blok
ini, kalau kamu menghitung menggunakan satuan sentimeter kan akan muncul daerah yang sisa kan, kalau kita lebih teliti lagi misalnya satuan kita ubah menjadi setengah senti daerah yang sisa tadi akan semakin tergeser-geser sampai kalau kita menghitung lagi dengan satuan permilimeter berarti garis yang melengkung tadi bisa tertutup dengan sangat halus gitu yah. Sehingga kalau kita hitung, ini kita sebut L1, L2,…Ln maka L = L1+L2+…Ln. gitu yah.L1berapa? L1ini bisa kita dekati sebenarnya dengan persegi panjang lebar inikan ∆x dikalikan dengan fungsinya di tambah
maka kotaknya akan semakin kecil hingga n nya itu mendekati tak hingga. Sehingga menurut jumlahan Riemann luasnya dapat dinyatakan sebagai L =∑ ( )∆ , L = →∞∑ ( )∆ maka luas akan semakin teliti. Semakin n mendekati takhingga maka ∆x akan semakin kecil atau mendekati nol Ini dapat juga begini = ∆ → ∑ ( )∆ . Gitu yah, nah jadi jumlahan Riemann seperti ini, jumlahan Riemann adalah L = →∞∑ ( )∆ atau = ∆ → ∑ ( )∆ . Maka tadi kamu kesulitan menghitung karena apa, karena satuannya masih sentimeter kalau kamu ingin lebih dalam lagi ubah ke millimeter maka akan semakin teliti.
Dari transkripsi di atas tampak PCK guru yang memahami materi jumlahan Riemann dengan baik dan berusaha menyampaikan dengan cara yang lebih rinci yaitu dengan menjelaskan langkah demi langkah menghitung luas daerah, dengan membuat sumbu X dan sumbu Y lalu membagi daerah menjadi dua bagian, tiga bagian, empat bagian dan seterusnya hingga tak terhingga banyaknya, yang kemudian membentuk persegi-persegi yang semakin lama kan semakin kecil dan selalu meminta siswa mengamati dan memahami tiap tahap dari penjelasan guru. Setelah itu guru mengingatkan untuk memberi nama batas daerah yang dihitung kemudian menghitung ∆x lalu guru mengatakan pada siswa bahwa semakin besar nilai n maka nilai ∆x akan semakin kecil dan guru melanjutkan dengan menghitung tingginya yaitu f(Xn) hingga akhirnya sampai pada rumus jumlahan Riemann. Pengidentifikasian komponen matematika yang kritis di dalam suatu konsep adalah pokok untuk penerapan dan pemahaman suatu konsep. Menurut guru materi Integral Tentu cukup sulit dan masih baru bagi siswa maka perlu dijelaskan secara rinci awal mula munculnya rumus jumlahan Riemann yang nantinya akan memudahkan siswa untuk memahami materi Integral Tentu seperti yang diungkapkan dalam wawancara.
“Yang perlu diingat juga bahwa Materi Integral Tentu itu cukup sulit dan masih baru bagi siswa ya…maka perlu dijelaskan secara rinci awal mula munculnya rumus jumlahan Riemann itu yang nantinya akan memudahkan siswa untuk memahami materi Integral Tentu tersebut ya. Seperti itu..”
Setelah guru menjelaskan tentang jumlahan Rieman seorang siswa menanyakan:
G: kalau n ini semakin besar, pertama kan kita bikin kotaknya dua separoh yah, maka sisanyakan separohnya lagi, kalau tigakan berarti semakin kecil sisanya kalau empat akan semakin kecil lagi, nah kalau n semakin besar sekali mendekati tak hingga maka∆x pasti sangat kecil sekali.
S1: oh gitu..
Dari transkrip di atas tampak PCK guru ketika berusaha menjelaskan pada siswa mengenai ketidaktahuannya akan mengapa ∆x
harus mendekati nol. Guru menjelaskan dengan teknik tertentu yaitu dengan memberikan suatu contoh dengan menunjukkan nilai n yang semakin besar akan mengakibatkan nilai ∆x menjadi semakin kecil yang membimbing siswa untuk dapat memahami, dan apa yang dilakukan oleh guru nampaknya berhasil membuat siswa mengerti.
Guru memberikan suatu penekanan bahwa jumlahan Riemann menjadi dasar bagi bahasan Integral Tentu pada transkrip di bawah ini:
G: nah, jumlahan Riemann ini menjadi dasar bagi kita dalam bahasan Integral Tentu. Yah…jadi, (guru menulis definisi Integral Tentu) apa yang ditemukan Riemann ini menjadi notasi atau definisi dari Integral Tentu. (guru kemudian memberi catatan bagi rumus).
Transkrip di atas menunjukkan pemahaman guru akan dasar- dasar materi yang harus dipahami siswa yaitu jumlahan Riemann yang menjadi dasar bagi Integral Tentu sehingga nantinya dalam mempelajari Integral Tentu siswa akan lebih mudah memahami dan tidak kesulitan.
Guru menuliskan contoh soal di papan tulis dan meminta siswa mengerjakan bersama-sama dengan bimbingan guru.
2 2 = ⋯
Kemudian terjadi percakapan sebagai berikut:
G: berapa hasilnya? S: -1 pak.
G: coba maju mas.
S: (maju mengerjakan dipapan tulis sementara guru mengecek pekerjaan siswa lainnya)
G: okeh, -1. Plusnya ini darimana Mas?
S: inikan min pak, trus ini juga min, jadi min dikalikan dengan min kan plus. G: oke, jadi min dikalikan dengan min gitu yah. Ada jawaban yang berbeda? SS: gak ada pak, sama.
Dari transkrip percakapan di atas guru mencoba untuk menggali pemikiran siswa dengan meminta salah satu siswa untuk mengerjakan di depan, kemudian dari pekerjaan siswa guru memberikan pertanyaan pancingan yang dapat menunjukkan tingkat pemahaman yang dimiliki oleh siswa yaitu guru mengecek apakah siswa benar-benar mengerti dengan jawabannya, maka guru menanyakan pada siswa -1 berasal dari mana dan siswa memberikan jawabannya dengan benar.
Setelah itu seorang siswa menanyakan pada guru seper 2 berasal dari mana, pertanyaan siswa ini tidak langsung dijawab oleh guru tetapi meminta siswa yang mengerjakan tadi untuk menjelaskan pada temannya yang bertanya, seperti pada transkrip di bawah ini:
G: Seper 2 berasal dari ini..dari mana Anggid, seper 2 ini berasal dari mana? S2: seper a Pak.
G: seper a, a nya berapa? S2: 2
G: 2, jadi min seper 2, bukan seper a saja tetapi min, min itu berasal dari..integrasi itu pasti min. kemudian 2 itu a, berarti min seper 2.
Gambar 4.8
Kutipan transkrip di atas memperlihatkan PCK guru ketika guru mencoba menggali pengetahuan siswa dengan memberikan pertanyaan “,
seper 2 ini berasal dari mana?” pertanyaan ini berangkat dari pekerjaan
siswa di papan tulis yang kemudian dijawab oleh siswa “seper a Pak”.