PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE (PCK)GURU MATEMATIKA DI SMA TERKAIT DENGAN PENGETAHUAN GURU MENGENAI
CARA BERPIKIR SISWA DAN MISKONSEPSI SISWA
Skripsi
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh: EVA KRISTIANI
NIM: 051414046
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
i
PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE (PCK)GURU MATEMATIKA DI SMA TERKAIT DENGAN PENGETAHUAN GURU MENGENAI
CARA BERPIKIR SISWA DAN MISKONSEPSI SISWA
Skripsi
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh: EVA KRISTIANI
NIM: 051414046
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
“And do not be conformed to this world, but be transformed by the renewing of your mine, that you may prove what is that good and acceptable and perfect will ofGOD”
Romans 12: 2 (New King James version)
Skripsi ini kupersembahkan khusus untuk:
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 11 Oktober 2010
Penulis
vi
ABSTRAK
Eva Kristiani, 051414046, 2010. Pedagogical Content Knowledge (PCK)Guru Matematika di SMA Terkait dengan Pengetahuan Guru Mengenai Cara Berpikir Siswa dan Miskonsepsi Siswa. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan pengetahuan guru matematika terkait dengan pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran di SMA Kolese De Britto dan SMA Stella Duce 1 Yogyakarta.
Subyek penelitian ini adalah 1 guru matematika kelas XII A3 SMA Kolese De Britto dengan materi Integral Tentu dan 1 guru matematika kelas X B SMA Stella Duce 1 Yogyakarta dengan materi Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat.
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif deskriptif. Data dikumpulkan melalui 2 tahap yaitu tahap pertama observasi proses pembelajaran dan tahap kedua adalah wawancara dengan kedua guru yang bersangkutan. Alat yang digunakan dalam perekaman video pembelajaran dan wawancara yaitu handycam. Data dianalisis dengan langkah-langkah yaitu: (i) transkripsi data, (ii) deskripsi data, (iii) kategorisasi data, (iv) kesimpulan.
Hasil penelitian ini adalah PCK yang dimiliki oleh kedua guru matematika dalam penelitian ini yaitu (1) terkait dengan pengetahuan guru matematika mengenai cara berpikir siswa yaitu karakteristik kemampuan siswa dalam menjelaskan jawaban di depan kelas. Pengetahuan guru mengenai situasi dan kondisi siswa pada saat siswa belum memahami materi dengan baik terlihat ketika guru mengulangi penjelasan tentang materi tersebut dan melakukan bimbingan secara individual kepada siswa yang belum memahami materi tersebut. (2) terkait dengan miskonsepsi siswa yaitu guru mengidentifikasi beberapa siswa mengalami miskonsepsi mengenai materi yang sedang dibahas. Guru membimbing siswa dengan memberikan koreksi pada pekerjaan siswa ketika menemukan suatu kesalahan di dalam pekerjaan siswa sehingga didapat jawaban yang lebih tepat daripada hasil pekerjaan semula.
vii
ABSTRACT
Eva Kristiani, 051414046, 2010. Pedagogical Content Knowledge (PCK) in High School Mathematics Teachers Related to Teacher Knowledge About student thinking and misconceptions of Students. A Thesis. Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teachers Training and Education, Sanata Dharma University Yogyakarta.
This study aimed to describe the mathematics teacher knowledge related to teacher knowledge about student thinking and misconceptions of students in learning in SMA Kolese de Britto and SMA Stella Duce 1 Yogyakarta.
The subject of this research is a math teacher class XII A3 in SMA Kolese de Britto with Definite Integral matter of course and one math teacher high school class XB in SMA Stella Duce 1 Yogyakarta with formula number and the product of the roots of quadratic equations.
This research is a descriptive qualitative research. Data were collected through two phases: the first observation of the learning process and the second stage is the interview with two teachers in question. The instrument used in recording video interviews are learning and camcorders. Data were analyzed with the steps of: (i) the transcription of data, (ii) a description of the data, (iii) categorization of data, (iv) conclusions.
The results of this study is the PCK held by both teachers of mathematics in this study are (1) related to mathematics teacher knowledge about students' ways of thinking that is characteristic of the student's ability in explaining the answers to the class. Teacher knowledge about the situation and condition of students at the time students do not understand the material well visible when the teacher repeated the explanation about the material and perform individual counseling to students who do not understand the material. (2) associated with the teacher identify student misconceptions some students have misconceptions about the material being discussed. Teachers guide students by giving corrections on students' work when they found a fault in the work of students in order to get a more precise answer than the original job.
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Eva Kristiani
Nomor Mahasiswa : 051414046
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE (PCK) GURU MATEMATIKA
DI SMA TERKAIT DENGAN PENGETAHUAN GURU MENGENAI CARA BERPIKIR SISWA DAN MISKONSEPSI SISWA
Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata
Dharma hak untuk menyimpan, untuk mengalihkan dalam bentuk media lain,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan
mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis
tanpa perlu minta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama
tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 11 Oktober 2010
Yang Menyatakan
ix
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa
atas pertolongan dan penyertaan-Nya sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini
dengan baik. Skripsi ini diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh
gelar sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta.
Tersusunnya skripsi ini dengan baik tidak terlepas dari dukungan dan
bimbingan dari beberapa pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh
karena itu penulis ingin mengucapkan terimakasih banyak kepada:
1. Tuhan Yesus, karena telah menyertai dan memberi hikmat akal budi pada
penulis selama mengerjakan skripsi hingga selesai dengan baik.
2. Ibu Wanty Widjaja, S.Pd., M.Ed., Ph.D selaku dosen pembimbing yang
telah menyediakan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan
bimbingan kepada penulis dengan sabar. Terimakasih banyak atas segala
saran dan kritik yang diberikan kepada penulis selama mengerjakan skripsi
ini.
3. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono dan Bapak D. Arif Budi Prasetyo, S.Si.,
M.Si., selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan bagi
penelitian ini. Terima kasih banyak atas segala saran dan kritik yang telah
diberikan.
4. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku Kaprodi Pendidikan Matematika
dan Bapak Dr. Y. Marpaung serta Dr. Perminas Pangeran yang telah
menjadi inspirator bagi penulis selama ini.
5. Bapak Catur Supatmono, S.Pd selaku guru Matematika di SMA Kolese de
Britto dan Bapak Drs. Boidi selaku guru Matematika di SMA Stella Duce
1 Yogyakarta yang telah banyak membantu dalam penyusunan skripsi.
x
6. Papa, Mama, Shanti, Tia, Kakek, Nenek, Om dan Tante yang selalu
mendorong dan memotivasi penulis dalam menyusun skripsi, terima kasih
juga atas dukungan dan doanya.
7. Sahabatku FX. Made Setianto, Lusia Yuliani, Fera Mandala Pesa Putri dan
Indah Sarastuti yang selalu mendukung penulis dengan luar biasa.
8. Teman-teman JPMIPA angkatan 2005, Hands, Cici, Novi, dan Yuli.
Terima kasih atas dukungannya.
9. Semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak
dapat penulis sebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dalam laporan ini.
Semoga laporan skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan perkembangan
pendidikan di Indonesia.
Yogyakarta, 11 Oktober 2010
Penulis
xi DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
ABSTRAK ... vi
ABSTRACT ... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA……. viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR GAMBAR... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiv
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ... 1
B. Perumusan Masalah... 2
C. Tujuan Penelitian ... D. Pembatasan Masalah………. 2 2 E. Batasan Istilah…... 3
F. Manfaat Penelitian... 4
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pedagogical Content Knowledge (PCK)………... 6
B. Materi Menentukan Luas Daerah dengan Proses Limit dan Menghitung Integral Tentu……….…………... 11
C. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat ……….. 18
BAB III METODE PENELITIAN A.Jenis Penelitian ……….. 23
B. Subjek Penelitian………... 23
C. Tempat dan Waktu Penelitian ... 23
D.Instrumen Penelitian ……….. E. Validitas Data Penelitian……… 23 25 F. Metode Analisis Data ……… 25
BAB IV ANALISIS DATA A. Analisis Data SMA Kolese de Britto ... 27
1. Pertemuan pertama (5 Agustus 2009) ... 28
2. Pertemuan kedua (6 Agustus 2009) ... 37
3. Pertemuan ketiga (10 Agustus 2009) ... 39
B. Analisis Data SMA Stella Duce 1... 46
1. Pertemuan pertama ( 5 Agustus 2009) ... 46
2. Pertemuan kedua ( 8 Agustus 2009) ... 54
xii
Duce 1 Yogyakarta ... 61
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan... 67
B.Keunggulan dan Keterbatasan Penelitian ………. 68
C. Saran ... 69
DAFTAR PUSTAKA ... 71
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel Keterangan Halaman
2.1 Frameworkdari Baker &Chick, (2006 : 61) 8
3.1 Kisi-kisi Pertanyaan Wawancara 25
4.1 Kategorisasi Data dariFrameworkdari Baker &Chick, (2006 : 61) 61
DAFTAR GAMBAR
Gambar Keterangan Halaman
2.1 Menentukan luas daerah dengan limit 12
2.2 Menghitung integral tentu 14
4.1 Guru memberi penjelasan mengenai LKS 28
4.2 Guru membagikan LKS pada siswa 28
4.3 Siswa mempresentasikan jawabannya di depan kelas 29 4.4 Siswa mempresentasikan jawabannya di depan kelas 30 4.5 Guru mengecek ukuran penggaris siswa 30 4.6 Guru menggambar luas daerah yang diambil dari LKS 33 4.7 Guru membagi daerah menjadi persegi-persegi 33 4.8 Guru memberikan penjelasan terhadap pekerjaan siswa 36 4.9 Guru menjelaskan sifat Integral Tentu dengan memberi contoh 37
4.10 Contoh pekerjaan siswa 38
4.11 Contoh pekerjaan siswa 39
4.12 Siswa menjelaskan pekerjaannya di depan kelas 40 4.13 Siswa menjelaskan pekerjaannya di depan kelas 41 4.14 Guru memberikan pertanyaan pada siswa 42 4.15 Guru memberikan penyelesain alternatif bagi siswa 43
4.16 Guru menegaskan jawaban siswa 43
4.17 Guru menulis topik Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Persamaan Kuadrat 47
4.18 Siswa menulis rumus ABC yang keliru 48 4.19 Siswa menulis rumus ABC yang benar 48 4.20 Siswa menulis rumus hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
yang keliru 49
4.21 Siswa menulis rumus hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
yang benar 49
4.22 Guru memberi coretan-coretan agar siswa tidak bingung 50 4.23 Guru memberikan contoh bentuk-bentuk simetri 52 4.24 Siswa membuat suatu pola dari pekerjaannya sendiri 53 4.25 Guru mengaitkan pekerjaan siswa dengan sifat operasi
penjumlahan 54
4.26 Guru menunjukkan letak kesalahan siswa 55
4.27 Guru membenarkan jawaban siswa 55
4.28 Guru menjelaskan tentang Segitiga Pascal 56 4.29 Siswa menuliskan contoh pengaplikasian Segitiga Pascal 56
4.30 Guru membuat diagram telepon 57
4.31 Guru menulis menyusun persamaan kuadrat yang
akar-akarnya diketahui 58
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
Keterangan Halaman
1
BAB 1 PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam pembelajaran di kelas, guru dan siswa sama-sama memiliki
peranan yang penting dan saling mempengaruhi. Ketika guru menyampaikan
suatu materi dengan baik dan selalu melibatkan siswa dalam pembelajarannya
maka siswa sebagai penerima ilmu akan menjadi tertarik dan berminat
mengikuti pembelajaran yang ada. Oleh karena itu sangatlah penting bagi guru
untuk memperhatikan pengajarannya dan siswa yang diajarinya.
Berdasarkan pengalaman peneliti selama melaksanakan praktek
pembelajaran lapangan di salah satu SMA swasta di Yogyakarta, peneliti
melihat bahwa terkadang pembelajaran di kelas hanya dianggap sebagai suatu
formalitas untuk memenuhi tuntutan kurikulum. Guru hanya mementingkan
materi yang akan diajarkan tanpa harus memahami karakteristik siswa di kelas.
Akibatnya siswa kurang mendapat perhatian dalam proses pembelajaran. Siswa
seringkali mengalami kesulitan dalam memahami materi yang disampaikan dan
mengalami miskonsepsi terhadap konsep yang mereka terima sehingga tidak
sesuai dengan tujuan pembelajaran.
Dalam teori pemrosesan informasi, komponen siswa sebagai penerima
pesan dan guru yang berperan sebagai sumber penyampaian pesan menjadi
faktor penentu keberhasilan pembelajaran. Namun di antara keduanya,
komponen guru dianggap faktor penyebab paling berpengaruh terhadap
prestasi belajar siswa (Kusumasari, 2010:1). Di sinilah pentingnya kemampuan
berbagai kompetensi yang diperlukan untuk mendukung keberhasilannya
dalam melaksanakan pembelajaran. Satu di antara beberapa kompetensi yang
sering diabaikan guru adalah kemampuan guru dalam mengatahui cara berpikir
siswa dan miskonsepsi siswa akan materi ajar yang diberikan yang
menyebabkan pembelajaran berlangsung tidak efektif dan tentunya akan sulit
bagi siswa untuk memahami pembelajaran dengan baik. Oleh karena itu, guru
diajarinya, walaupun teori dan metode mengajar juga penting dalam
pembelajaran.
Pembelajaran akan berlangsung dengan efektif apabila guru memiliki
pengetahuan dan kemampuan pedagogi yang memadai. Pengetahuan dan
kemampuan pedagogi yang dimiliki oleh guru ini dikenal dengan istilah
Pedagogical Content Knowledge (PCK) yaitu perpaduan dari pengetahuan
tentang mata pelajaran dengan pengetahuan pedagogis yang memungkinkan
guru menyajikan suatu topik pelajaran secara terorganisir sesuai dengan tujuan
pembelajaran, tingkat perkembangan murid, dan situasi tempat pembelajaran
berlangsung. Pada penelitian ini akan ditelusuri bagaimana Pedagogical
Content Knowledge (PCK) guru matematika di SMA terkait dengan
pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa dan miskonsepsi siswa.
B. Perumusan masalah
Adapun masalah dalam penelitian ini adalah: “Bagaimana Pedagogical
Content Knowledge (PCK) guru matematika di SMA terkait dengan
pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa dan miskonsepsi siswa?
C. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendeskripsikan Pedagogical
Content Knowledge (PCK) guru matematika di SMA terkait dengan
pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa dan miskonsepsi siswa.
D. Pembatasan Masalah
Lingkup penelitian ini dikhususkan pada Pedagogical Content
Knowledge (PCK) guru matematika mengenai cara berpikir siswa dan
miskonsepsi siswa. Guru matematika yang diteliti adalah satu orang guru
matematika di SMA Kolese de Britto dan satu orang guru matematika di SMA
E. Batasan Istilah
Adapun batasan istilah yang diperlukan adalah sebagai berikut:
1. Pedagogical Content Knowledge(PCK)
Pedagogical Content Knowledge (PCK) menurut Shulman (1987:8)
adalah perpaduan dari pengetahuan tentang mata pelajaran dengan
pengetahuan pedagogis yang memungkinkan guru menyajikan suatu topik
pelajaran secara terorganisir sesuai dengan tujuan pembelajaran, tingkat
perkembangan murid, dan situasi tempat pembelajaran berlangsung.
Pedagogical Content Knowledge(PCK) mencakup pengetahuan akan bahan
ajar tapi juga merangkum pengetahuan pedagogis untuk membelajarkan
materi/ bahan ajar tersebut.
Pada bagian ini akan dilihat mengenai Pedagogical Content
Knowledge (PCK) guru matematika di SMA terkait dengan pengetahuan
guru mengenai cara berpikir siswa dan miskonsepsi siswa.
2. Pengetahuan guru terkait cara berpikir siswa akan materi
Pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa tentang materi
menurut Shulman (1986:9) adalah pengetahuan seorang guru tentang
pengetahuan siswa akan materi yang diberikan oleh guru tersebut,
pengetahuan guru tentang kesulitan yang dialami siswa, pengetahuan
tentang miskonsepsi yang siswa lakukan, dan pengetahuan guru dalam
menyusun strategi pembelajaran dengan pertimbangan-pertimbangan
tertentu yang disesuaikan dengan keadaan siswa.
3. Miskonsepsi Siswa
Miskonsepsi menurut Fowler (1987, dalam Kusumasari, 2010:4)
dipandang sebagai pengetahuan yang tidak akurat akan konsep , penggunaan
konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah, kekacauan
konsep-konsep yang berbeda, dan hubungan urutan konsep-konsep yang tidak benar.
Miskonsepsi yang dimiliki siswa dalam penelitian adalah miskonsepsi
dalam mata pelajaran matematika pada subbab pokok bahasan yang
4. Materi
Materi yang diajarkan adalah materi Integral Tentu di SMA kolese
de Britto dan materi Rumus Jumlah dan Hasilkali Akar-akar Persamaan
Kuadrat di SMA Stella Duce 1 Yogyakarta.
E. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat utama yang dapat disumbangkan oleh penelitian ini:
1. Bagi peneliti (mahasiswa calon guru)
Setelah lulus, mahasiswa akan terjun ke dunia kerja sebagai tenaga
pengajar. Untuk itu dengan adanya penelitian ini, peneliti dapat
mengembangkan PCK-nya sebagai calon guru yang memiliki
pengetahuan khususnya pengetahuan guru mengenai pemahaman dan
miskonsepsi siswa tentang materi ajar yang diberikan. Peneliti juga
memperoleh pengalaman berharga dari guru di sekolah yang diharapkan
dapat meningkatkan PCK calon guru matematika dimana adanya
keberagaman dalam proses belajar mengajar di kelas yang terdapat dalam
video rekaman memberikan informasi baru bagi peneliti sebagai calon
guru dalam menentukan strategi mengajar yang sesuai dengan selain
memperhatikan materi yang akan diajar juga perlu untuk
mempertimbangkan aspek siswa yang di ajar sehingga pembelajaran yang
diharapkan dapat tercapai dengan baik. Peneliti juga dapat bertukar
pengalaman dan berdiskusi dengan guru SMA di Yogyakarta tempat
dilaksanakannya penelitian yang semakin menambah pengetahuan peneliti
mengenai situasi dan kondisi di dalam kelas dan bagaimana pentingnya
memperhatikan faktor siswa yang dididik.
2. Bagi guru
Dengan penelitian ini, guru dapat mengetahui sejauh mana
kemampuan PCK guru yang dimilikinya khususnya pengetahuan guru
mengenai pemahaman dan miskonsepsi siswa tentang materi ajar.
Pemahaman akan PCK yang dimiliki guru dapat memacu dan memotivasi
pembelajaran guru matematika SMA dalam penelitian ini dapat menjadi
6
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Pada Bab II ini akan dikaji teori-teori yang berhubungan dan mendukung
pembahasan-pembahasan yang terdapat di dalam penelitian. Materi yang akan
dikaji pada bab ini meliputi teori-teori tentang Pedagogical Content Knowledge
(PCK) terkait dengan pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa dan
miskonsepsi siswa, materi tentang Integral Tentu dan materi tentang Rumus
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat.
A. Pedagogical Content Knowledge (PCK)
Sebagai sebuah konsep, PCK pertama kali dikemukakan oleh Shulman
(1986). Gagasan yang mendasari PCK sudah dikemukakan oleh ahli
pendidikan John Dewey pada awal abad ke-20. Ketika itu Dewey (Dewey,
1902, dalam Sarkim 2005: 6) menyatakan bahwa:
“Setiap ilmu pengetahuan memiliki dua dimensi yang berbeda tetapi tidak saling berlawanan: satu untuk para ilmuwan dan satu lagi untuk para guru. Bagi seorang ilmuwan, ilmu pengetahuan lebih dipandang sebagai sebuah kebenaran dalam kerangka memahami fakta-fakta, merumuskan permasalahan baru, memandu penelitian dan mendapatkan pengetahuan baru. Bagi guru, permasalahnnya berbeda. Guru tidak menaruh perhatian terhadap penambahan pengetahuan baru tentang ilmu, juga perhatiannya bukan pada merumuskan permasalahan baru dan melakukan penelitian terhadapnya. Akan tetapi, guru menaruh perhatian pada merepresentasikan pengetahuan yang dipahaminya kepada para muridnya, agar supaya dapat dipelajari dan dimengerti oleh para murid sesuai dengan tingkat perkembangan psikologisnya dan dalam konteks pembelajaran yang ada.”
Shulman (1987:8) merumuskan Pedagogical Content Knowledge
(PCK), sebagai perpaduan dari pengetahuan tentang mata pelajaran dengan
pengetahuan pedagogis yang memungkinkan guru menyajikan suatu topik
pelajaran secara terorganisir sesuai dengan tujuan pembelajaran, tingkat
perkembangan murid, dan situasi tempat pembelajaran berlangsung.
Pedagogical Content Knowledge (PCK) mencakup pengetahuan akan
materi/ bahan ajar tersebut. Menurut Shulman (1986:8) PCK dikelompokkan
dalam dua kategori:
1) Pengetahuan tentang bentuk-bentuk representasi dan bagaimana bahan ajar
disampaikan dalam pembelajaran sehingga konsep yang terkait dalam
pembelajaran dapat dipahami dan diserap oleh sebagian besar siswa. Ini
mencakup pengetahuan tentang model, contoh, dan ilustrasi yang paling
efektif terkait dengan bahan ajar tertentu.
2) Pengetahuan tentang faktor yang mempengaruhi keberhasilan belajar,
termasuk pengetahuan tentang tingkat kesulitan suatu topik, pre-konsepsi
dan konsepsi yang dibawa oleh siswa dari berbagai tingkat usia dan latar
belakang terkait dengan materi ajar.
Sementara Van der Valk dan Broekman (1999, dalam Baker & Chick,
2006) menekankan pentingnya pengetahuan siswa dalamPedagogical Content
Knowledge (PCK), guru hendaknya mengutamakan pengetahuan
murid-muridnya sehingga apa yang guru ajarkan sesuai dengan pengetahuan murid
saat itu, memahami permasalahan-permasalahan murid, menyajikan materi
pelajaran yang relevan atau sesuai dengan kemampuan murid, mempunyai
strategi-strategi khusus dalam menghadapi siswa, dan memberikan
kegiatan-kegiatan atau tugas-tugas untuk siswa. Guru tidak hanya mengerti suatu
konsep materi tertentu tetapi juga harus memahami dari mana konsep tersebut
(Ball, Thames & Phelps, 2008). Pengetahuan guru akan siswa termasuk
mengantisipasi seperti apa pemikiran siswa dan apa yang membuat mereka
bingung dalam memahami materi (Ball, Thames & Phelps, 2008).
Kerangka berpikir yang dikembangkan oleh Chick, Baker, Pham &
Cheng (2006 : 61) di bawah ini menunjukkan kategori-kategori pengetahuan
guru yang dipakai untuk menganalisa PCK guru terkait dengan pengetahuan
guru akan pemahaman siswa mengenai materi dan miskonsepsi siswa.
Kategori-kategori tersebut meliputi cara berpikir siswa, cara berpikir siswa
yang salah (miskonsepsi), pemilihan tugas, pengetahuan tentang kurikulum,
pemahaman pokok dalam matematika, struktur matematika dan hubungannya,
penyelesaian, tujuan pembelajaran, mengupayakan dan memelihara fokus
siswa, dan teknik dalam kelas, seperti terlihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1:Frameworkdari Baker & Chick, (2006 : 61)
Komponen Kategori PCK Menjelaskan ketika guru….
Kejelasan PCK
Cara berpikir siswa
Mendiskusikan atau membicarakan mengenai cara berpikir siswa tentang suatu konsep matematika atau tingkat pemahaman siswa
Cara berpikir siswa yang salah- miskonsepsi
Mendiskusikan atau membicarakan mengenai miskonsepsi siswa tentang suatu konsep matematika
Pemilihan tugas Mengidentifikasikan tugas yang akan dibahas di kelas
Pengetahuan tentang kurikulum
Mengetahui tentang hubungan topik materi yang diajarkan dengan kurikulum
Pengetahuan materi dilihat dari konteks pedagogi
pemahaman pokok dalam matematika
memahami konsep dan aspek matematika secara mendetail
Struktur matematika dan koneksi-koneksi
Membuat koneksi antara topik dan konsep, mencakup saling ketergantungan konsep
Pengetahuan tentang teknik mengajar untuk materi tertentu
mengetahui teknik-teknik tertentu dalam mengajarkan suatu materi tertentu.
Metode-metode pemecahan masalah
Mendemonstrasikan suatu metode untuk pemecahan suatu masalah matematika
Pengetahuan pedagogis dilihat dari konteks materi
Tujuan pelajaran Menguraikan suatu tujuan pelajaran untuk para siswa dalam pelajaran (mungkin atau tidak mungkin berhubungan dengan isi matematika yang spesifik)
Mengambil dan
memelihara fokus siswa
Mendiskusikan strategi untuk melibatkan para siswa
Teknik kelas Mendiskusikan praktek-praktek kelas umum
Penjelasan mengenai kategori-kategori PCK yang disajikan dalam
tabel di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pengetahuan akan cara berpikir siswa
Dalam hal ini menunjukkan bagaimana guru mengetahui cara
berpikir siswa tentang suatu materi. Guru memiliki pemahaman yang
baik akan cara berpikir siswa sehingga menjadi bahan bagi guru dalam
mempertimbangkan efek dari berbagai pengajaran dalam cara berpikir
2. Pengetahuan guru akan miskonsepsi siswa
Yang tercakup kategori ini adalah pengetahuan guru tentang
miskonsepsi siswa pada materi tertentu termasuk bagaimana guru
menelusuri adanya miskonsepsi siswa dan apa yang dilakukan guru untuk
mengatasi miskonsepsi yang dialami siswa. Suparno (2005) mengatakan
bahwa secara umum miskonsepsi siswa disebabkan oleh siswa itu
sendiri, guru yang mengajar, konteks pembelajaran, cara mengajar guru
dan buku teks. Cara guru mengatasi miskonsepsi siswa dapat dilakukan
dengan berbagai macam cara tetapi tidak semua cara itu sesuai bagi siswa
yang mengalami miskonsepsi. Menurut Suparno (2005) cara guru untuk
mengatasi miskonsepsi siswa dapat berupa pengulangan penjelasan ke
siswa, jika kesalahan dari buku teks guru mengoreksi dan membenarkan,
dari konteks pembelajaran guru bisa menjelaskan dengan contoh , atau
guru mengatasi miskonsepsi siswa tersebut dengan cara guru memberi
kesempatan bagi siswa untuk mengungkapkan gagasan siswa tersebut.
3. Pemilihan tugas
Dalam kategori pemilihan tugas ini, melihat bagaimana guru
memilih soal-soal yang dijadikan kuis atau tugas maupun latihan yang
dibahas di kelas. Dalam memilih atau membuat soal guru mempunyai
suatu alasan mengapa guru memilih soal-soal tersebut, mungkin dapat
disesuaikan dengan kemampuan siswa, pemilihan soal yang dilakukan
secara acak saja atau dapat pula karena pertimbangan yang lain.
4. Pengetahuan tentang kurikulum
Pengetahuan guru tentang suatu kurikulum mempengaruhi cara
mengajar guru tersebut. Pengetahuan guru akan kurikulum juga bisa
membantu guru untuk memperluas suatu materi tetapi masih dalam
batasan-batasan sehingga siswa tidak terlalu jauh menerima suatu
tambahan materi diluar kurikulum yang sudah ada.
5. Pemahaman pokok dalam matematika
Kategori ini mengungkapkan tentang pemahaman guru yang
mengetahui dari mana suatu rumus matematika didapat dan guru
mengetahui bagaimana rumus tersebut dapat digunakan. Dengan
mengetahui isi materi matematika, guru dapat menggunakan cara yang
lebih mudah agar materi bisa dipahami oleh siswa dan guru bisa
memberikan bimbingan kepada siswa untuk memahami materi tersebut.
6. Struktur matematika dan hubungannya
Pada kategori ini mencakup pengetahuan guru akan struktur
matematika dan juga hubungan antara konsep dan topik dalam
matematika termasuk pengetahuan guru tentang ada tidaknya hubungan
antara konsep yang satu dengan konsep yang lain.
7. Pengetahuan tentang teknik-teknik mengajar untuk materi tertentu
Kategori ini merupakan suatu pengetahuan tentang teknik mengajar
yang sesuai untuk topik-topik tertentu termasuk bagaimana kemampuan
guru menghubungkan konsep dan teknik yang bersangkutan dan sejauh
mana guru dapat menunjukkan kemampuan dan cara mengajarnya. PCK
dalam kategori ini yaitu sejauh mana guru menjelaskan suatu materi
dengan cara atau alternatif lain yang tidak biasa dilakukan dalam
menjelaskan materi tersebut.
8. Metode penyelesaian
Metode penyelesaian disini adalah bagaimana guru menunjukkan
suatu metode untuk memecahkan suatu masalah. Apakah guru tersebut
hanya mempunyai satu metode atau lebih dalam menyelesaikan suatu
soal matematika dan bagaimana metode tersebut akan lebih membantu
siswa dalam memahami materi ataupun menyelesaikan soal-soal
matematika.
9. Tujuan pembelajaran
Yang dimaksud tujuan pembelajaran di sini yaitu pengetahuan guru
mengenai tujuan dari pembelajaran. Dalam suatu pembelajaran yang
dilaksanakan oleh guru dan siswa kita bisa memahami apakah guru
menyampaikan tujuan dari pelajaran yang diterima oleh siswa atau tidak.
Guru yang memiliki PCK yang baik dalam mengajar Ia selalu
melibatkan siswanya, tidak hanya guru yang aktif tetapi juga siswa ikut
berperan serta. Dengan kata lain guru mengajak siswa berdiskusi ataupun
tanya jawab dalam memahami suatu materi tetapi tetap menjaga
ketekunan siswa dalam pembelajaran.
11. Teknik dalam kelas
Teknik dalam kelas disini apakah guru tersebut menggunakan
teknik mengajar yang sama di tiap kelas atau tidak, dan apa yang menjadi
pertimbangan guru tersebut.
Selanjutnya adalah pembahasan tentang materi pembelajaran yang
digunakan dalam penelitian ini, yaitu: materi Menentukan Luas Daerah dengan
Proses Limit, Menghitung Integral Tentu dan Integral Substitusi untuk SMA
Kolese de Britto, serta materi Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan
Kuadrat.
B. Luas Daerah dengan Proses Limit, Menghitung Integral Tentu dan Integral Substitusi
Topik “Menentukan Luas Daerah dengan Proses Limit, Menghitung
Integral Tentu dan Integral Substitusi” termasuk materi Kalkulus dalam buku
Matematika untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1 (Wirodikromo, 2007)
dengan standar kompetensi: menggunakan konsep integral dalam pemecahan
masalah; kompetensi dasar: memahami konsep integral tak tentu dan integral
tentu, serta menghitung integral tak tantu dan integral tentu dari fungsi aljabar
dan fungsi trigonometri yang sederhana.
1. Menentukan Luas Daerah dengan proses Limit
Pandanglah kurva fungsi y= f(x) yang kontinu dalam interval tertutup a≤x≤b atau bisa ditulis
[ ]
a,b . Luas daerah di bidang datar yang dibatasi oleh kurva y= f(x), sumbu X, garisx
=
a
, dan garisx=btersebut akan ditentukan melalui proses sebagai berikut:
a. Mula-mula interval
[ ]
a,b dibagi menjadi n buah sub-interval (panjangsub-interval adalah∆x1,∆x2,∆x3,...,∆xi,...,∆xn. Dalam setiap sub-interval, kita tentukan titik dengan absis xi dan ordinat f(xi). Kemudian
dibuat persegi-persegi panjang dengan lebar ∆xi dan tinggi f(xi), seperti diperlihatkan pada Gambar 2.1. Perhatikan bahwa banyak
persegi panjang yang dibuat dengan cara seperti itu adalah
n
buah,dan luas masing-masing persegi panjang itu adalah:
n n n f x x L x x f L x x f L x x f L ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ) ( . . . ) ( ) ( ) ( 3 3 3 2 2 2 1 1 1
b. Luas daerah Ldidekati dengan jumlah semua luas persegi panjang
tadi. Jadi, n n x x f x x f x x f x x f
L≅ ( 1)⋅∆ 1 + ( 2)⋅∆ 2 + ( 3)⋅∆ 3 +...+ ( )⋅∆
Dengan menggunakan notasi sigma (Σ), bagian ruas kanan dari
bentuk di atas dapat dituliskan menjadi:
∑
= ∆ ⋅ ≅ n i i i x x f L 1 ) ((dibaca: L mendekati)
Bentuk penjumlahan
∑
= ∆ ⋅ n i i i x x f 1 )
( disebut sebagai jumlahan
Riemann.
Untuk menunjukan bahwa penjumlahan tersebut mencakup
ujung-ujung interval
a
dan b, maka hubungan di atas dapat dituliskansebagai berikut:
y = f(x) ) (x f y=
f(xn)
f(x1) Y
O
x1 x2 x3 xn
c. Luas daer
x sangat
(
n→∞)
.Bentuk-be notasi inte n i n
∑
= ∞ → lim Berdasark Misalkankurva y=
ditentukan ol Bentuk b a
∫
Riemann x untuk Dengan d( )
x dx f ba
∫
dibatasi ol
2. Menghitung In a. Luas Dae
Kalkulus Dalam pa
∑
= = ∆ ⋅ ≅x ba x
x x f
L ( )
daerah L yang sebenarnya diperoleh dengan me
ngat kecil sekali
(
∆x→0)
sehingga nilai n)
.Dengan demikian, luas daerah L ditentukan de∑
= ∞ → ⋅∆ = n i i in f x x
L
1
) (
lim atau
∑
=
= → ∆
= x b
a x
x f x
L lim (
0
-bentuk di atas dapat disederhanakan dengan
integral sebagai berikut:
( )
x dx f x x f x x f b x a x x b a n i ii
∫
∑
∑
⋅∆ = = ⋅∆ = → ∆ = ) ( lim atau ) ( 0 1kan L adalah luas daerah di bidang datar yang
( )
x fy = ,sumbu X, garis x=a,dan garis x=
ukan oleh hubungan:
( )
x dx f L b a∫
=( )
x dx f ba
∫
dinamakan sebagai integral tentuann dan f
( )
x dx ba
∫
dibaca sebagai integral tentuuk x=asampai x=b.
n demikian, hubungan di atas menjelaskan bahw
dx dapat ditafsirkan sebagai luas daerah di bida
si oleh kurva y= f
( )
x ,sumbu X, garis x=a, dang Integral Tentu
Daerah di Bawah Kurva dan Teorema D lus
pasal ini akan dibahas hubungan antara luas da
mengambil nilai
n menjadi besar
ukan dengan:
∆
⋅ x
x) (
ngan menggunakan
( )
x dx f x b a∫
= ∆ ⋅n sebagai berikut:
yang dibatasi oleh
b
= ,maka luas L
ntu atau integral
ntu f
( )
x terhadaphwa integral tentu
bidang datar yang
, dan garisx=b.
a Dasar Integral
y=f(x)
x+∆x
Q1 P1 x R Q A1 P a Gambar 2.2 O Y X A S ∆x kurva dengan konsep integral tak tentu.
Perhatikan kurvay= f
( )
x pada Gambar 2.2 berikut:Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f
( )
x , sumbu X, garis x=a, dan garisx=x
(
x>a)
atau luas daerah AA1P1P ditentukan oleh:( )
x f( )
x dx Lx
a
∫
=
Sekarang misalkan xberubah menjadi
(
x+∆x)
, maka luas daerah yang baru (yaitu daerah AA1Q1Q) berubah menjadi L(
x+∆x)
,sehingga pertambahan luas daerah (yaitu daerah PP1Q1Q) ditentukan
oleh L
(
x+∆x) ( )
−L x. Dengan menggunakan acuan pada Gambar 2.2, diperoleh hubungan:Luas PP1Q1R < luas PP1Q1Q < luas SP1Q1Q
( )
(
) ( ) (
)
( )
(
) ( )
<(
+∆)
,∆ ≠0∆ − ∆ + < ↔ ∆ ⋅ ∆ + < − ∆ + < ∆ ⋅ ↔ x x x f x x L x x L x f x x x f x L x x L x x f
( )
(
) ( )
(
)
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x f x dx dL x f dx x dL x f x x L x x L x f x x L x x L x f x x f x x L x x L x f x x x x = ↔ = ↔ = ∆ − ∆ + ↔ ≤ ∆ − ∆ + ≤ ↔ ∆ + ≤ ∆ − ∆ + ≤ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ 0 0 0 0 lim lim lim limGunakan operasi pengintegralan terhadap masing-masing ruas
persamaan tersebut, sehingga diperoleh hubungan:
( )
( )
( )
x f( )
xdx F( )
x C L dx x f x dL x a x a + = = =∫
∫
∫
Dengan F
( )
x adalah anti turunan dari f( )
x yang bersifat( ) ( )
x f xF' = . Dari hubungan L
( )
x f( )
xdx F( )
x C xa
+ =
=
∫
dapatditetapkan beberapa hal berikut: • Untuk x=a, diperoleh:
( )
( )
( )
( )
aF C C a F dx x f a L a a − = ↔ = + =
=
∫
0Dengan demikian L
( )
x dapat ditulis menjadi L( )
x =F( ) ( )
x −F asehingga L
( )
x f( )
xdx F( ) ( )
x F a xa
− =
=
∫
.• Selanjutnya untuk x=b, diperoleh:
< f(x diperoleh turunan da sebagaiT Jadi sebagai be
Luas dae
a x= ,
(
x f L b a =∫
( )
xf yang Ada integral ka 1) Lua int D Be be 2) Lua
f(x + ∆x), ∆x ≠ 0
Berdasarkan persa
oleh hubungan f
( )
xdx F( ) ( )
b F a ba
− =
∫
dengan Fn dari f
( )
x yang bersifat F'( ) ( )
x = f x . Hubunga iTeorema Dasar Integral Kalkulus.Jadi, teorema dasar integral kalkulus dapa
i berikut:
aerah L yang dibatasi oleh kurva y= f
( )
x ,dan garis x=b ditentukan de
( )
xdx F( ) ( )
b F af = − dengan F
( )
x adalah antang bersifat F'
( ) ( )
x = f x .Ada dua hal yang dapat di simpulkan dari
l kalkulus tersebut, yaitu:
Luas daerah di bawah kurva y= f
( )
x yang be interval[ ]
a,b dapat dinyatakan sebagai limit sua( )
i ni i n
∑
f x ⋅∆x= ∞
→ 1
lim
Dengann adalah jumlah sub-interval di dalam
Bentuk limit itu dituliskan dengan notasi integr
berikut:
( )
∫
b a dx x fLuas daerah di bawah kurva y= f
( )
x yang beersamaan di atas
( )
xF adalah anti
ubungan ini dikenal
dapat diungkapkan
)
, sumbu X, garis dengan rumusanti turunan dari
dari teorema dasar
g berada di dalam
t suatu jumlah
lam interval
[ ]
a,b .egral tentu sebagai
interval
[ ]
a,b dihitung dengan menggunakan Teorema DasarIntegral Kalkulus
( )
xdx F( ) ( )
b F a fb
a
− =
∫
dengan F
( )
x adalah anti-turunan dari f( )
x .Bentuk teorema dasar integral kalkulus di atas dapat dituliskan
dengan notasi kurung siku sebagai berikut:
( )
[
( )
]
b a ba
x F dx x
f =
∫
dengan: F
( )
x adalah anti-turunan dari f( )
x dan( )
[ ]
F x ba =F( ) ( )
b −F a.• a dan b berturut-turut dinamakan sebagai batas bawah
dan batas atas pengintegralan.
• Integral tertutup
[ ]
a,b dinamakan wilayah pengintegralan.b. Menghitung Integral Tentu dengan Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus
Sampai saat ini telah dipelajari pengertian anti-turunan,
pengertian integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar, dan
pengertian luas di bawah kurva dihubungkan dengan teorema dasar
integral kalkulus.
Perpaduan dari pengertian-pengertian yang telah dipelajari
merupakan landasan utama untuk memahami bagaimana cara
menghitung integral tentu dengan menggunakan teorema dasar
integral kalkulus. Untuk tujuan itu, marilah kita simak kembali
definisi integral tentu berikut ini.
Jika
( )
in
i i n
∑
f x ⋅∆x= ∞
→ 1
lim ada (mempunyai nilai), maka integral tentu
( )
x( )
( )
i ni i n
b
a
x x f dx
x
f =
∑
⋅∆∫
→∞ =1
lim
dengan nadalah jumlah sub-interval di dalam interval
[ ]
a,b .Jika kita menghitung nilai integral tentu dengan menggunakan
definisi di atas betapa tidak praktisnya, bahkan kadang-kadang sulit
dan menjemukan. Untuk mengatasi masalah tersebut, menghitung
nilai integral tentu lebih praktis dan lebih mudah dikerjakan dengan
menggunakan teorema dasar integral kalkulus yang telah dibicarakan
di depan, yaitu:
( )
xdx[
F( )
x]
F( ) ( )
b F af ba
b
a
− =
=
∫
dengan F
( )
x adalah anti-turunan dari f( )
x .C. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Topik “Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat” termasuk
materi dalam buku Matematika untuk SMA Kelas X Semester 1
(Wirodikromo, 2007) dengan standar kompetensi: memecahkan masalah yang
berkaitan dengan fungsi, persamaan, dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan
kuadrat; kompetensi dasar: menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan
dan pertidaksamaan kuadrat, melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan
yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Kita ingat bahwa akar-akar persamaan kuadrat + + = 0 ( ≠ 0)
ditentukan dengan rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut.
=− + √ − 4
2 =
− − √ − 4
2
Berdasarkan rumus di atas, kita dapat mengembangkan rumus jumlah
akar-akar ( + ) dan hasil kali akar-akar ( ∙ ) persamaan kuadrat
Untuk menentukan rumus jumlah akar-akar ( + ) dan hasil kali
akar-akar( ∙ ), marilah kita simak perhitungan-perhitungan berikut.
1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat:
+ = √ + √
= − + √ − 4 − − √ − 4
2
= −2 2
= −
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:
∙ = − + √ − 4
2 ∙
− − √ − 4
2
= ( ) (√)
= − ( − 4 )
4
= − + 4
4
=4 4
=
Berdasarkan hasil-hasil perhitungan di atas, kita mendapatkan
rumus-rumus sebagai berikut.
Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat + + =
0; dengan ≠ 0, jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu
ditentukan dengan rumus:
+ = − ∙ =
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan
untuk:
b. Menghitung koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang
akar-akarnya memenuhi sifat-sifat tertentu.
c. Menyusun persamaan kuadrat (akan dibahas kemudian).
1. Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Sebuah bentuk alajabar yang tediri atas dua peubah/variable
dikatakan simetri/setangkup, jika letak peubah itu ditukarkan maka nilai
bentuk itu tetap.
Bentuk + ; + ; + merupakan contoh bentuk simetri, sebab:
+ = + ; + = + ; + = + ,
. = . ; 1 . 1 = 1 . 1 ; . = .
tetapi, − ; − ; − bukan bentuk simetri, sebab:
− ≠ − ; − ≠ − ; 1−1≠1−1
Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat dapat dihitung tanpa
harus menyelesaikan persamaan kuadrat terlebih dulu.
Contoh:
+ = ( + ) − 2 .
= − − 2
= −2
= − 2
2. Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat Yang Akar-Akarnya Memenuhi Sifat-Sifat Tertentu
Dalam subbab sebelumnya kita telah membahas cara menghitung
koefisien-persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi sifat-sifat
mempunyai dua akar yang sama, atau tidak mempunyai akar real)
dikaitkan dengan diskriminan dari persamaan kuadrat yang bersangkutan.
Dalam subbab ini kita akan mempelajari cara menghitung koefisien
persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi sifat-sifat tertentu
dikaitkan dengan jumlah akar-akar ( + ) dan hasil kali akar-akar
( ∙ ) dari persamaan kuadrat yang bersangkutan. Sifat-sifat tertentu
yang dimaksudkan itu misalnya:
a. Salah satu akarnya dua kali akar yang lain,
b. Salah satu akarnya dua lebihnya dari akar yang lain,
c. Salah satu akarnya lawan dari akar yang lain,
d. Salah satu akarnya kebalikan dari akar yang lain, dan sebagainya.
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar dapat digunakan untuk
membedakan cirri dari akar-akar persamaan kuadrat yang mempunyai dua
akar real yang berbeda. Untuk itu simaklah analisis berikut ini.
1) Akar yang satu merupakan lawan akar yang lainnya atau sering
dikatakanakar-akarnya berlawanan: = − .
= −
↔ + = 0
↔ − = 0
↔ = 0
2) Akar yang satu merupakan kebalikan akar yang lainnya atau sering
dikatakanakar-akarnya berkebalikan: = .
= − 1
↔ ∙ = 1
↔ = 1
↔ =
• ∙ =
↔ (0) =
↔ 0 =
↔ = 0
• + = −
↔ (0) + = −
↔ = −
4) Kedua akarnya mempunyai tanda yang sama atau sering dikatakan
akar-akarnya bertanda sama: > 0 > 0 <
0 < 0.
∙ > 0 ↔ > 0,
5) Kedua akarnya mempunyai tanda yang tidak sama atau sering
dikatakan akar-akarnya berlainan tanda: > 0 <
0 < 0 > 0.
∙ < 0 ↔ < 0,
Berdasarkan analisis di atas, kita dapat mengambil kesimpulan
sebagai berikut.
Jika dan akar-akar persamaan kuadrat + + = 0 ( ≠ 0).
1. Akar-akarnya berlawanan( = − ) ↔ = 0.
2. Akar-akarnya berkebalikan = ↔ = .
3. Sebuah akarnya sama dengan nol( = 0) ↔ = 0 = − .
4. Kedua akarnya bertanda sama↔ > 0.
23
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif kualitatif, sejalan dengan
tujuan penelitian yaitu untuk mengetahui bagaimana Pedagogical Content
Knowledge (PCK) guru matematika di SMA terkait dengan pengetahuan guru
mengenai cara berpikir siswa dan miskonsepsi siswa.
B. Subjek Penelitian
Subjek dalam penelitian ini adalah 1 orang guru matematika kelas XII A3
di SMA Kolese de Britto dan 1 orang guru matematika kelas XB di SMA
Stella Duce 1 Yogyakarta.
C. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan di dua sekolah menengah atas yaitu SMA
Kolese de Britto dan SMA Stella Duce 1 Yogyakarta. Penelitian ini
dilaksanakan pada bulan Agustus 2009 hingga September 2009.
D. Instrumen Penelitian
Instrumen penelitian yang digunakan untuk mengumpulkan data dalam
penelitian ini antara lain observasi dan wawancara.
1. Observasi
Observasi difokuskan kepada kejadian-kejadian yang berkaitan dengan
langkah guru memahami cara berpikir siswa dan cara guru dapat
mengetahui miskonsepsi yang dialami oleh siswa serta bagaimana guru
memilih soal latihan sesuai dengan kategori PCK pada tabel 2.1 di Bab 2.
Observasi ini dilakukan untuk mendapatkan data yang utuh yang
Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika di SMA terkait
dengan pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa dan miskonsepsi
siswa. Observasi ini dilakukan sebanyak tiga kali pertemuan (satu
pertemuan dua jam pelajaran dan satu jam pelajaran empat puluh lima
menit).
2. Wawancara
Dalam penelitian ini digunakan wawancara yang bertujuan untuk
mengetahui latar belakang mengapa guru memilih melakukan sesuatu dalam
pembelajaran matematika. Wawancara ini ditujukan kepada satu guru
matematika kelas XII A3 di SMA Kolese de Britto dan satu guru
matematika kelas XB di SMA Stella Duce 1 Yogyakarta.
Bentuk wawancara yang dilakukan adalah wawancara bebas terpimpin
yaitu peneliti bebas mengemukakan pertanyaan yang mendukung untuk
penelitian kepada guru yang menjadi subyek dari penelitian ini. Wawancara
dengan guru bersangkutan dilakukan peneliti ketika berdiskusi dengan guru
di luar kelas dan ketika pengambilan data dengan rekaman video selesai.
Pertanyaan wawancara dibuat berdasarkan pada data yang diperoleh dari
Data observasi yang sesuai dengan fokus penelitian ini yaitu tentang
bagaimana Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika di
SMA terkait dengan pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa dan
miskonsepsi siswa.
Pedoman wawancara berupa pertanyaan yang digunakan peneliti saat
melakukan wawancara dengan subyek penelitian. Instrumen wawancara ini
berisi tentang bagaimana Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru
matematika di SMA terkait dengan pengetahuan guru mengenai cara
berpikir siswa dan miskonsepsi siswa. Alat yang dipakai saat wawancara
yaitu handycam dan pedoman wawancara.
Adapun kisi-kisi wawancara dengan guru SMA Kolese de Britto dan
Tabel 3.1. Kisi-kisi Pertanyaan Wawancara
No Kisi–kisi Pertanyaan Wawancara
1 Mengetahui persiapan yang dilakukan guru sebelum mengajar di kelas
2 Mengetahui strategi guru dalam memberikan pertanyaan bimbingan yang membentu siswa dalam memahami materi
3 Mengetahui langkah yang dilakukan guru dalam memahami tingkat pemahaman siswa terhadap suatu konsep matematika
4 Mengetahui dasar-dasar pertimbangan guru terhadap siswa tertentu
5 Mengetahui langkah yang dilakukan oleh guru dalam mengetahui sejauh mana penguasaan konsep yang dimiliki oleh siswa
6 Mengetahui bagaimana cara guru menentukan soal-soal matematika
7 Mengetahui pengetahuan guru mengenai kesalahan-kesalahan yang mungkin dilakukan oleh siswa
8 Mengetahui alasan guru memberikan pertanyaan tertentu kepada siswa yang dilakukan berulang-ulang
9 Mengetahui langkah apa saja yang digunakan oleh guru untuk tetap dapat memelihara fokus siswa dalam belajar
10 Mengetahui apakah teknik mengajar guru ditiap kelas itu sama
Hasil diskusi dengan guru-guru matematika dan dosen yang
dilakukan pada saat pertemuan dengan guru-guru yang kiranya
bersesuaian dengan penelitian ini juga digunakan oleh peneliti untuk
memperkuat dalam menganalisis data, sehingga diperoleh suatu
kesinambungan yang baik antara hasil observasi dengan hasil dari
wawancara ataupun diskusi yang dilakukan.
E. Validitas Data Penelitian
Usaha yang dilakukan peneliti untuk meningkatkan validitas data
yang diperoleh yaitu dengan melihat hasil transkrip data berulang-ulang
yang sesuai dengan data yang terdapat di dalam rekaman video
pembelajaran. Peneliti juga melakukan wawancara dengan guru yang
diteliti sehingga dapat memperkuat data yang diperoleh.
F. Metode Analisis Data
Dalam penelitian ini data yang dianalisis adalah data hasil observasi
pembelajaran di kelas dan hasil wawancara dengan guru. Berikut adalah teknik
yang digunakan dalam menganalisis data tersebut, yaitu menggunakan
untuk menentukan dan mengelompokkan Pedagogical Content Knowledge
(PCK) guru matematika di SMA terkait dengan pengetahuan guru mengenai
cara berpikir siswa dan miskonsepsi siswa yang akan digunakan pada tahap
kategorisasi data. Seperti yang terdapat pada tabel 2.1 pada bab 2.
Tahapan dalam proses analisa meliputi:
1. Deskripsi data observasi
Proses deskripsi ini merupakan penyajian kembali bagian-bagian
tertentu dari hasil observasi (yang telah ditranskripsi) dengan topik-topik
data yang akan diteliti dalam hal ini tentang Pedagogical Content
Knowledge (PCK) guru matematika di SMA terkait dengan pengetahuan
guru mengenai cara berpikir siswa dan miskonsepsi siswa yang akan
diulas kedalam bentuk narasi.
2. Kategorisasi Data
Dari hasil penelitian dilakukan proses pengelompokkan topik-topik
data sehingga menghasilkan suatu kategori-kategori data yang bersesuaian,
dengan menggunakan framework dari Chick, Baker, Pham & Cheng,
(2006).
3. Penarikan Kesimpulan
Berdasarkan proses analisis data yang dilakukan nantinya dapat
ditarik suatu kesimpulan yang dapat menjawab masalah yang akan diteliti,
dalam hal ini Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika
di SMA terkait dengan pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa
dan miskonsepsi siswa yang disimpulkan dari video hasil observasi
pembelajaran guru dan pengetahuan guru mengenai siswa terkait dengan
materi ajar yang disimpulkan dari data wawancara, disamping itu data
wawancara juga digunakan untuk menunjukkan pengetahuan guru
mengenai siswa terkait materi ajar yang tidak tampak dalam video hasil
27
BAB IV
ANALISIS DATA
Pada bab ini akan dibahas analisis data bagaimanaPCKguru matematika
khususnya PCK guru terkait dengan pengetahuan guru akan cara berpikir siswa
mengenai materi dan miskonsepsi siswa di kelas XII A3 SMA Kolese de Britto
dan di kelas XB SMA Stella Duce 1 Yogyakarta yang akan tampak pada
deskripsi hasil observasi pembelajaran. Analisis data akan diperkuat dengan
hasil wawancara dan kategorisasi data menggunakan framework dari Chick,
Baker, Pham & Cheng, (2006: 61) seperti tampak pada bab 2. Dilanjutkan
dengan menarik suatu kesimpulan bagaimana kemampuan PCK guru
matematika di SMA terkait dengan pengetahuan guru mengenai cara berpikir
siswa dan miskonsepsi siswa di kelas XII A3 SMA Kolese de Britto dan di
kelas XB SMA Stella Duce 1 Yogyakarta.
Selanjutnya sub-bab berikut ini akan membahas mengenai analisis data
SMA Kolese de Britto dan analisis data SMA Stella Duce 1 satu per satu secara
terpisah.
A. Analisis Data SMA Kolese de Britto
Pada bagian ini akan membahas penyajian kembali bagian-bagian
tertentu dari rekaman video yang sesuai dengan topik-topik data yang akan
diteliti dalam hal ini tentang Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru
matematika di SMA terkait dengan pengetahuan guru mengenai cara berpikir
siswa dan miskonsepsi siswa di kelas XII A3 SMA Kolese de Britto kedalam
bentuk narasi. Sumber data rekaman video yang digunakan meliputi rekaman
data dari pertemuan pertama hingga pertemuan ketiga ketika guru mengajar di
kelas dan rekaman video wawancara peneliti dengan guru yang bersangkutan.
1. Pertemuan pertama (5 Agustus 2009)
Pertemuan pertama ini diawali dengan materi baru yaitu
Menghitung Integral Tentu. Guru pada awal pembelajaran memulai
dengan menunjukkan secara garis besar alur pembelajaran dan kemudian
menentukan kelompok siswa yang terdiri dari dua orang. Kelompok yang
sudah ditentukan oleh guru ini diminta untuk mengerjakan LKS
menghitung Luas suatu daerah sebarang, seperti terlihat pada transkrip di
bawah ini:
G: Untuk sampai pada pembahasan Integral Tentu..ya…ada materi prasyarat yang perlu kita kuasai, yang tentu saja adalah yang akan kita capai kesana adalah jumlahan Riemann(Gambar 4.1)..ya..nanti akan di selesaikan di dalam kelompok. Kelompok satu ini..(guru menunjuk kearah dua siswa yang duduk di paling depan pojok kanan) silahkan dikerjakan…kelompok 2 (guru menuju
deretan siswa berikutnya), kelompok 3, kelompok 4, kelompok 5…dst.(Gambar 4.2). Okey…untuk masuk pada pokok bahasanIntegral Tentu, tugas pertama anda adalah saya minta anda untuk menghitung berapa luas daerah ini (guru menunjuk pada gambar daerah yang ada pada LKS) saya tidak akan memberitahu
caranya,terserah anda…
Gambar 4.1 Gambar 4.2
Menurut guru, siswa akan bisa masuk ke suatu materi baru kalau
mereka punya sesuatu sebagai pengantar, itulah alasan guru membahas
materi prasyarat.
“Pertama menurut saya yah, ini paradigm saya, anak-anak akan bisa masuk ke suatu materi baru kalau dia punya sesuatu hal pengantar gitu yah, pengantar…”
Materi prasyarat yang diangkat guru adalah jumlahan Riemann
yang merupakan dasar bagi topik Integral Tentu yang akan diajarkan.
Kemudian guru menentukan kelompok siswa yang terdiri dari dua orang di
mana siswa mengerjakan LKS untuk menghitung luas suatu daerah
tentang penerapan Integral Tentu dalam hal menghitung luas. Tujuan guru
sebenarnya cukup sederhana bahwa ketika nanti anak-anak mempelajari
Integral Tentu itu ada sesuatu manfaatnya, seperti yang diungkapkan
ketika wawancara dengan guru bersangkutan.
“Ketika integral tentu saya memilih untuk luas untuk menghitung suatu daerah yang tidak teratur gitu yah, itu untuk mengantar anak supaya sampai pada pemahaman tentang penerapan integral tentu dalam hal luas gitu yah. Nah, Tujuan saya sebenarnya cukup sederhana bahwa ketika nanti anak-anak mempelajari integral tentu itu ada sesuatu manfaatnya, tujuannnya itu seperti itu. Sehingga apa yang mereka pelajari itu tidak kosong sama sekali tidak ada maknanya, tetapi syukur kalau saya mempelajari ini saya bisa sekurang-kurangnya saya tau bahwa ini bisa mengukur luas gitukan, sekurang-sekurang-kurangnya gitu yah.”
Ini menunjukkan bahwa guru mengetahui tujuan dari pembelajaran
itu sendiri. Hal ini merupakan aspek pengetahuan pedagogis di lihat dari
konteks pembelajaran dengan kategori tujuan pembelajaran dari PCK
menurut Chick, Baker, Pham & Cheng, (2006).
Setelah pekerjaan siswa dikumpulkan guru kemudian
mempresentasikan pekerjaan tiap kelompok secara singkat. Ketika
mempresentasikan jawaban guru menemukan beberapa jawaban yang
menurut guru berbeda jauh dari teman-teman yang lainnya seperti yang
terlihat pada transkrip dibawah ini:
G: Kemudian, Benedikto dan Dicky 209. Kemudian berikutnya kelompok Andreas Dika dan Mauly 212 persis. Hanzelmut dan Widharyanto 208,075.
Okey…Anton, punya mu kenapa bisa mendapatkan jawaban 200, sini di
depan..(guru meminta siswa maju ke depan kelas menjelaskan jawabannya)
Gambar 4.3
S: Inikan gambarnya ada yang berbentuk persegi panjang, sama yang gelombang- gelombang. Pertamanyakan kami melihat dari yang persegi
yang apa itu…cara Riemann itu.. ini sebenarnya kan persegi dan jadi luasnya persegikan jadi kuadrat-kuadrat , nah kuadratnya itukan jadinya begini. Jadi akan coba di perbaiki lagi..jadi ini yakin salah pak (Gambar 4.3).
G: Okey, yakin salah ini?... S: yah.
G: Yakin salah..Kemudian Yohan, kenapa kamu menggunakan penghampiran? Penghampiran atau pengiraan? Caranya dulu..bagaimana cara menghitungnya?
Gambar 4.4
S1: Pertama di bagi 2, yang panjang ini kami hitung dapat 19.8..(Gambar4. 4) G&S: hehehhee…
G: Penggaris mu mana, coba penggaris mu (guru kemudian mengecek penggaris Yohan) 19,8..berapa yang lainnya?
Gambar 4.5 SS: 20.
G: ya, terus…
S1: trus yang ini 8 senti, dihitung ketemunya 154,4, trus yang ini pakai cara tradisional, kotak-kotak..yang apa..yang hasilnya kotak penuh bernilai 1, yang potongan-potongan ini di gabung-gabung..kayak puzzle trus di hitung kiranya ada 8 persegi, yang ini ada 36 terus yang ini ada 12. Dijumlahin kira-kira 206,4.
G: Ya, baik…penggarisnya memang berbeda, lebih panjang yang
tembaga…memang selisih 0,2..betul..
PCK guru pada transkrip di atas terlihat ketika guru meminta dua
menjelaskan jawabannya. Maksud guru memilih kedua siswa ini
didasarkan pada beberapa pertimbangan, yaitu ketika proses ini
berlangsung guru sedang berkeliling dan guru mengamati proses satu demi
satu. Menurut guru, Anton (S) menggunakan cara yang ilmiah karena dia
mengerjakan dengan mendekati jumlahan Riemann yang ada di buku
dengan membandingkan berbagai macam sumber buku dan ketika
mengerjakan hasilnya salah.
“…itu ada beberapa pertimbangan gitu ya, ketika proses ini berlangsung saya
kan keliling gitu, saya mengamati proses satu demi satu gitu ya, satu demi satu. Nah, saya sengaja memilih ini karena cara yang dipakai ini menurut saya cara ini ilmiah gitukan karena dia mendekati nganu dia mendekati jumlahan Rieman yang dimaksud yang nanti akan dituju gitu ya. Tetapi salah gitukan jawabannya,
salah gitukan…”
Anton dan temannya Andra menghitung luas daerah yang ada pada
LKS tersebut dengan melihat langkah-langkah Jumlahan Riemann yang
ada di buku paket. Namun karena mereka belum terlalu paham mengenai
konsep jumlahan Riemann mereka menggunakan konsep yang salah yaitu
menghitung luas sisa yang berbentuk gelombang dengan menyatukannya
menjadi persegi-persegi yang hanya dikira-kira. Menurut mereka cara
menghitung dengan jumlahan Riemann dapat dilakukan seperti itu.
Sehingga guru ingin mencoba untuk menunjukkan pada siswa terutama
Anton bahwa langkah yang dilakukan Anton belum tepat walaupun sudah
melihat dari sumber buku. Karena Anton dan Andra sudah mengerti apa
yang dikerjakannya salah, maka guru tidak mengungkapkan secara detail
letak kesalahannya di mana.
Guru kemudian melanjutkan dengan mulai mengenalkan siswa
asal-usul Integral Tentu yang diawali dengan sejarah kalkulus, menghitung
luas lingkaran dengan persegi, segilima, segienam dan seterusnya hingga
segi-n, mengarah pada Integral Tentu. Lihat transkrip di bawah ini:
pertama menemukan adalah Newton kemudian disempurnakan dengan notasi-notasi kemudian melambangkan turunan iitu dengan menggunakan titik, turunan pertama itu y kemudian diatasnya titik satu (y’) kemudian Leibniz membuatnya lebih mudah yang kemudian kita gunakan sekarang dy/dx gitu yah. Sejarah mencatat bahwa kedua orang ini berjasa besar. Nah, kemudian sebelum kalkulus itu muncul ada dua masalah yang dipikirkan banyak orang. Persoalan yang pertama itu adalah gerak dan yang kedua luas daerah untuk kurva-kurva tertentu bukan daerah seperti kotak. Dulu ketika ada linkaran seperti ini orang bingung menghitung luasnya, kalau menurut mu bagaimana menhitung luasnya, kita kembali kesebelum rumusnya ditemukan yah,
SS: dibuat kotak pak.
G: lalu hubungan nya apa luas lingkaran dengan kotak? Karena kalau kita mendekati luas lingkaran di kotak ada yang terbuang, satu, dua, tiga dan empat yah. Nah pertama-tama pakai kotak karena ini tidak ideal kemudian pakai segilima semakin sedikit yang terbuang, kemudian segienam, kalau segi-n ini diperbanyak maka luas ini akan semakin teliti. Bisa masuk ke logika kita?
SS: bisa
G: kalau segi itu di perlu
