2 TINJAUAN PUSTAKA 1 Studi Awal Berkaitan dengan Listrik Indonesia
2.12 Pemodelan Spasial
2.12.1 Pertimbangan Model Spasial
Pertimbangan model spasial prinsip dasarnya mengikuti persamaan berikut ( : ) , 1,...., .
i i i
y =S x β +v i= n Dimana yi adalah pengamatan pada lokasi
1 2
( , ); ( ; )
i i i i
x = x x S x β adalah proses spasial dengan parameter ß ; dan {vi} adalah proses noise. Secara kolektif, kita memberi tanda semua observasi oleh y = (y1,…..,yn), lokasi x = (x1,..,xn), dan kesalahan error oleh v= (v1,….,vn). Realisasi proses yang terjadi digambarkan seperti seperti Gambar 14 dimana data spasial yang dihasilkan merupakan proses spasial yang disertai noise.
Gambar 12 Skema yang mewakili proses data (Stoffer 1986)
Observasi dilakukan untuk berbagai tempat pada tempat dengan error gausian pada nilai variansi 2 =0.5, dimana lokasi adalah variasi tempat dan noise adalah model gausian. Proses spasial S(x; ß) digambarkan sebagai regresi linier campuran yang terdapat di tempat tersebut. Masing-masing tempat memiki rata-
rata fungsi ' 1 ( ; ) ( ) ( ) , 1,...., , J i j i j i j j S x β π x f x β i n = =
∑
= Dimana fj = (fj1,…., fjB)’adalah seperangkat fungsi dasar yang diketahui, ßj = (ßj1….. ßjB)’ adalah vektor yang parameternya belum diketahui, dan πj adalah fungsi berat dengan sarat
πj(x)≥0 dan
∑
jπj( ) 1x = ∀ ∈x D. Definisi πj=(πj(x1),….., πj(x))’, dan diag ( r ) sebagai matrix dengan r1,…..,rn pada diagonal dan garis nol. Model dapat ditulis secara global sebagai regresi linier sederhana y = Xß + v, dimana X = diag(π1) X1 …. Diag (πj) Xj dan ß=( ß’1,…. ß’j) untuk j = 1,…,J (Pfeifer P dan Deutsh 1980).Gambar 15 berikutnya menunjukkan contoh campuran berat secara lokal dengan J=2 komponen. Panel (a) memberikan hasil permukaan dari campuran bobot, (b) menunjukkan fungsi berat gaussian dan (c) menunjukkan permukaan
regresi lokal:
( )
{
(
)
(
)
}
1/ 2 1 exp 1 / 2 , 1, 2 j x j x j j x j j π α − µ − µ − − − =∑
∑
. Untukdiagram ini memiliki
∑ ∑
1≠ 2 yang diiindikasikan oleh perbedaan kontur yangterukur yang ada di panel (b) dalam daerah terpisah dari domain. Regresi permukaan di panel (c) adalah linier dalam koordinat, dengan B=3 dan fungsi f xj( )i = fj(1,x xi1, i2) ' untuk j=1,2. Jenis campuran lain dapat juga digunakan. Sebagai contoh, indicator fungsi berat, πj(x) = 1[xЄAj] dengan Aj ⊆D yang akan menghasilkan partisi ‘rumit’, menghasilkan hasil permukaannya diskontinyu (Gilardi 2002) a) Proses spasial S(xi; ß ) b)Berat inti 2 1 ... ( )i j j x =
∑
x c)Komponen Permukaan F’j (xi) ßjGambar 13 Kontruksi dari permukaan campuran bobot secara lokal. (Pfeifer P & Deutsh 1980)
Keterangan:
(a) menunjukan hasil permukaan dari campuran ukuran J=2;
(b) menunjukkan 10% kontur densitas tertinggi untuk variasi berat gaussian, diantara lingkaran mewakili campuran bobot apada masig- masing titik pada grid spasial;
Model Spasial dan Geostatistik
Geostatistik hanya sebuah nama yang terkait dengan metoda yang digunakan untuk menganalisis dan memperkirakan nilai dari variabel yang didistribusikan dalam ruang atau waktu. Geostatistik adalah salah satu pendekatan yang dapat dipergunakan untuk pengolahan data yang terdistribusi spasial. Cakupan metoda geostatistik cukup luas untuk pemetaaan data spasial atau dalam mempresiksikan, peramalan fungsi densitas probabilitas lokal, simulasi kondisi stokastik. (Goovaerts 1997, Deutsch 1997). Nilai-nilai tersebut diasumsikan berkorelasi satu sama lain, dan metode yang digunakan untuk mengkorelasikan nilai-nilai tersebut adalah dengan variogram modeling. Setelah variogram modeling, perkiraan nilai di lokasi yang tidak memiliki data dibuat dengan menggunakan kriging atau dapat disimulasikan dengan simulasi kondisional.
Geostatistik melibatkan analisis dan perkiraan data yang terdistribusi dalam ruang atau waktu, seperti kadar logam di suatu daerah, nilai porositas dan permeabilitas di lapangan tertentu, konsentrasi polutan di wilayah perkotaan, dan sebagainya. Awalan geo- biasanya berhubungan dengan geologi. Pada awalnya, geostatistik lebih banyak digunakan dalam bidang pertambangan (Gilardi 2000). Saat ini terjadi perkembangan yang signifikan dalam penyesuaian metoda (tergantung pada mutu dan kualitas informasi dan tujuan penggunaannya terhadap data yang ada.). Data lingkungan dan data polusi pada umumnya terdistribusi dalam suatu luasan dan bergantung terhadap waktu. Saat ini banyak jaringan yang mengumpulkan data lokal untuk agar dapat dipergunakan untuk skala geografis global.
Geostatistics secara umum adalah model pendekatan yang tergantung pada hasil analisa observasi dan melakaukan pemodelan korelasi berdasarkan struktur ruang. Metoda ini menggunakan suatu algoritma yang dapat meramalkan peta yang belum diketahui (klasifikasi, regresi, estimasi fungsi densitas) antara input dan output dari data yang digunakan dan pengetahuan berkaitan dengan data tersebut. Suport Vektor Mashine (SVC) digunakan sebagai prosedur yang dipergunakan secara luas yang menggunakan teory statistika yang dikembangkan oleh Vapnik (1995). Secara singkat, langkah-langkah dalam studi geostatistik
meliputi: (a) analisis data; (b) perhitungan dan pemodelan variogram dan (c) membuat perkiraan (kriging atau simulasi)
Peralatan dasar dalam geostatistik adalah variogram yang digunakan untuk mengkuantifikasi korelasi spasial antar pengamatan. Menggunakan model matematika yang sudah di-fit-kan pada variogram eksperimen. Model dapat digunakan untuk mengestimasi nilai pada titik-titik yang tidak diambil sampelnya. Prosedur untuk memperkirakan itu disebut sebagai kriging, setelah Danie Krige dan Herbert Sichel mengembangkannya pada tambang emas Witwatersrand.
Definisi dasar geostatistik, termasuk fungsi acak dan variabel sebagai fungsi regional, landasan hipotesa-hipotesa, variogram dan kovariansi spasial, pemodelan variabel-variabel sebagai fungsi regional. Oleh karena informasi yang tersedia terpisah-pisah (fragmented), maka diperlukan pemodelan untuk memperoleh konklusi suatu titik yang tidak diambil sampelnya.
2.12.3 Kriging
Teori intrapolasi dan extapolasi kriging dikembangkan oleh matematikawan Francis Georges Matheron dan Daniel Gerhardus Krige, yang memperkirakan tingkat emas rata-rata emas dari bobot jarak di komplek Witwatersrand Afrika selatan. Teori perkiraan yang dikembangkan berdasarkan jarak rata-rata tertimbang, teorinya ini disebut teori kriging. Kriging adalah teknik geostatistik untuk interpolasi nilai dari medan acak (random field) di lokasi terdekat yang nilainya tidak teramati oleh pengamatan. Metoda pendekatan ini dapat memberi ramalan nilai-nilai yang tak dikenal dari suatu fungsi acak, bidang acak, atau proses acak. Ramalan ini adalah estimator terbaik dengan nilai biasnya kecil, dan raamalan ini adalah kombinasi liniar bobot dari nilai pengamatan.
Praktek kriging dalam bidang geologi didasarkan pada asumsi lanjutan mineralisasi antara nilai terukur. Dengan asumsi pengetahuan sebelumnya menyimpulkan merangkum bagaimana mineral terjadi ikatan sebagai fungsi ruang. Kemudian, diberi seperangkat nilai terukur, interpolasi kriging yang meramalkan konsentrasi mineral pada titik-titik yang tidak diketahui.
Kriging berasumsi bahwa semakin dekat data input semakin positif korelasinya terhadap perkiraan error. Secara matematika, asumsi ini dimodelkan
dengan proses stasioner kovarian order ke-dua. Harapan dari pengamatan adalah konstan dan tidak tergantung pada lokasi (nilai input), dan kovarians dari pengamatan hanya pada ‘jarak’ antara input yang bersesuaian. kovarians akan berkurang terhadap jarak pengamatan (Wim 2002). Kriteria perkiraan adalah mean squared prediction error yang minimal. Hasilnya adalah suatu metamodel perkiraan titik terdekat akan lebih berat tertimbang dalam predictor. Ketika meramalkan keluaran untuk lokasi yang sudah diobservasi, kemudian ramalan memiliki nilai yang sama dengan pengamatan. Asumsi dari proses kovarien stasioner berorder kedua menghasilkan variogram merupakan fungsi jarak (h) antara dua lokasi. Oleh karena itu, bagian terjauh dari 2 input akan lebih kecil ketergantungannya dan memiliki efek sangat kecil.
Model Formal Kriging
Proses random Z dijelaskan oleh {Z(s):s D} dimana D adalah subset tetap dari Rd dan Z(s) adalah fungsi random lokasi s, asumsinya merupakan proses random terhadap konstanta dan bentuk error δ(s); Z(s) = + δ(s) dimana s Є D. Asumsi prediktor adalah bahwa predictor titik so ditandai oleh p(Z(so)) adalah fungsi linier tertimbang dari semua data output yang teramati (Cressie NAC 1993). p Z s( ( ))o = ∑ni=1λiZ s
( )
i dengan 1 1n i= λi
∑ = . Untuk memilih berat 1, criteria error perkiraan mean squarer yang minimal σz2 yang didefinisikan sebagai
2 2
[{ ( ) ( ( ))} ]
e E Z so p Z so
σ = − . Untuk menyederhanakan 2 persamaan , dilakukan asumsi multifier lagrangian ∑in=1
λ
i =1 sehingga perkiraan error dapat ditulis sebagai E Z s[ ( )0 − ∑ni=1λi⋅Z s( )]i 2−2 [m ∑in=1λi−1]. Untuk memperkecil kesalahan maka digunakan variogram yang didefinisikana sebagai2 ( )γ h =var[ (Z s h+ −) Z s( )]. Persamaan tersebut lebih lanjut akan mengetahui bobot optimal yang diberikan oleh perkiraan error mean squared yang minimal dengan persamaan σe2 = ∑in=1λ γi (s0−si)+m, (h) yang tidak diketahui, estimatornya adalah
( )
( )
( )(
( )
( ))
2 1 2 h h Z si Z sf h γ = ∑Ν − Ν Kriging interpolation
Kriging dihasilkan oleh persamaan turunan dari algoritma estimasi linear kuarat. Tujuan kriging adalah untuk memperkirakan nilai tidak diketahui bernilai nyata, f, pada suatu titik, x *, karena banyaknya nilai-nilai fungsi dari titik,
1,..., n
x x . Estimator kriging disebut linier karena nilai perkiraan f x
( )
* merupakan kombinasi linier yang dapat ditulis sebagai:( )
*( )
1 n i i i f x λ f x = =∑
.bobot i adalah solusi dari sistem persamaan linier yang diperoleh dengan
mengasumsikan bahwa f adalah jalur sample dari proses acak fungsi F (x), dan kesalahan perkiraan
( )
( )
( ) ( )
1 n i i i x F x x F x ε λ = = −∑
harus diminimalkan sampai batas tertentu. Sebagai contoh, yang disebut asumsi
simple kriging adalah mean dan varians sudah diketahui kemudian kriging adalah
salah satu yang meminimumkan varians dari kesalahan perkiraan.
Gambar 14 Intrapolasi data satu dimensi dengan kriging pada interval kepercayaan 95%.
Gambar 16 merupakan contoh intrapolasi data satu dimensi dimana titik menunjukkan lokasi data dan interpolasi kriging berupa garis posisi tengah kurva. Sedang interval kepercayaan berupa garis di tepi luar kurva.
Metode kriging
Metoda Kriging menggunakan estimasi semi-varianse dengan persamaan berikut. ( ) 1 ( )1 [
( )
( )2 2 ( ) n h i i i h F x F x h n hγ = ∑= − + ; ( )γ h adalah estimasi semi-varianse untuk jarak h, n h( ) adalah jumlah pasangan titik yang terukur dalam kelas jarak h, F(x) nilai yang terukur dalam dalam jarak x. (Isaaks 1989).
Persamaan ini relatif mudah dihitung jika titik pengukuran ditingkatkan dalam grid teratur dan medan isotropy. Perhitungan ril yang menggunakan berat untuk menginterpolasi nilai fungsi yang tidak tahu dari Z(xo) ditingkatkan kemampuannya dengan penyelesaian system (n+1) persamaan linier dalam bentuk berikut Λ = Κ0 −1C0 dimana
0 λ1,0...λ µn,0 ,C0 c0,1...c0,n1
÷ ÷
Λ = = , dan dinamakan
matrix Krige. Vektor Co berbeda untuk masing-masing titik baru yang terintrapolasi. 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 11 . . . 1 . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 . . . 1 0 n n n n n nn c c c c c c c c K c c c c =
Koefisien cij harus dihitung dari teori interpolasi semi-variogram. Teori
semivariogram meningkatkan maksimum nilai jarak h (95%), dinamakan range penomena. Koefisien di antara titik-titik pada range atau lebih jauh menjadi nol selanjutnya dihitung menggunakan formula ci j, =γ(H)−γ( )h , dimana h adalah jarak antara titik xi dan xj.
Jika hipotesis stasionernya tidak ada atau penjelasan penomenanya terbatas (contoh ketebalan batubara), perubahan posisi sistematis harus terpisah dari randomnya. Ini memerlukan banyak data. Sekarang, nilai titik terintrapolasi akan terdiri dari dua komponen: bagian yang sistematis, yang dihitung dari kesamaan permukaan (sering disebut tren), dan bagian acak yang dihitung oleh kriging, metoda kompleks ini disebut universal kriging.