2 TINJAUAN PUSTAKA 1 Studi Awal Berkaitan dengan Listrik Indonesia
2.12 Pemodelan Spasial
2.12.4 Radial Basis Function (RBF)
Radial Basis Fungsi (RBF) disusun secara hierarki ke dalam lapisan- Iapisan (layer), yaitu lapisan input, lapisan output, dan satu lapisan antara kedua lapisan tersebut yang disebut lapisan hidden. Penggunaan FBR juga dibedakan berdasarkan tiga karakteristik, yaitu pola koneksi yang digunakan atau arsitektur, metode penentuan bobot koneksi atau algoritma pembelajaran yang digunakan, dan berdasarkan fungsi yang mentransformasikan input menjadi
output atau disebut fungsi aktivasi atau fungsi transfer. Selain itu, FBR dapat
diterapkan untuk jumlah data kecil atau yang relatif besar (Rud 2001).
RBF terdiri dari tiga lapisan, yang samasekali berbeda. Lapisan (layer) masukan terbentuk dari titik sumber (unit sensor). Lapisan yang kedua adalah lapisan hidden yang terdiri dari dimensi yang cukup besar, yang memberikan maksud berbeda dari lapisan hidden pada multilayer perceptron. Lapisan keluaran memberikan tanggapan dari jaringan terhadap bentuk aktivasi lapisan masukan. Transformasi dari lapisan masukan ke lapisan hidden adalah nonlinier, sedangkan transformasi dari lapisan hidden ke lapisan keluaran adalah linier. (Gilardi 2002). Banyak radial basis fungsi yang biasa digunakan untuk perkiraan fungsi. Proses pendekatan juga dapat diartikan sebagai jenis jaringan syaraf tiruan sederhana.
Konsep Radial Basis Fungsi
Radial basis function (RBF) adalah fungsi bernilai real yang nilainya hanya bergantung pada jarak dari titik asal , sehingga φ
( )
x =φ( )
x ; atau alternatif bergantung pada jarak pusat (c), sehingga φ( )
x c, =φ(
x c−)
. Setiap fungsi yang memenuhi persamaan φ( )
x =φ( )
x adalah fungsi radial. Oprasi ini biasanya jarak Euclidean , meskipun fungsi jarak lain juga dapat dimungkinkan. (Lukaszyk 2004).Dalam Geostatistical Analis, RBF (Radial basis function) dibentuk pada setiap data lokasi. RBF adalah fungsi yang berubah dengan perubahan jarak lokasi. . Nilai dari tiap lokasi fungsi basis radial yang diramalkan memberi dengan
nilai-nilai Φ1, Φ2 dan Φ3, yang tergantung pada jarak dari masing-masing letak data. Prediktor mengambil rata-rata tertimbang w1Φ1 + w2Φ2 + w3Φ3 + …
RBF digunakan dalam menghitung permukaan halus dengan banyak data. Teknik ini kurang sesuai ketika terdapat perubahan besar nilai-nilai permukaan dalam jarak horisontal yang kecil atau data tidak pasti cenderungnya.
Jaringan basis-function, digambarkan seperti topologi dari feed-forward pada umumnya dengan menggunakan metode pembelajaran back-propagation, akan tetapi operasi dari masing-masing metode ini memiliki perbedaan secara mendasar. Jika terdapat N pasang data input-output, { , }x yi i lN=1, secara umum model RBF dapat ditulis dengan persamaan berikut.
y(x) = f(x) + e (x) = Ý (x) + e (x) = 1 ( ) ( ), K j j j x e x K M ω = ϕ + ≤
∑
dengan x adalah peubah input berdimensi-p, x' =(X1,X2, …., Xp), ωj adalah bobot
dari parameter yang akan ditentukan nilainya (identik dengan pendugaan koefisien regresi pada model statistika konvensional), K adalah optimum banyaknya bobot yang diperoleh dalam pembelajaran model sehingga simpangan dengan data pembelajaran yang lain lebih kecil dari ξ, 0 < ξ <1, ϕ(0) adalah fungsi basis radial, suatu fungsi nonlinear yang merupakan fungsi transfer atau fungsi aktivasi dalam model RBF, dalam hal iniϕj
( )
o merupakan fungsi dari x c− j . Fungsi dari jarak Euclid antara vektor input x dengan pusat-pusat dari fungsi basis yang dinotasikan dengan Cj, Cj merupakan vektor rata-rata (sentroid) dari j amatan pertama dari vektor input dalam pembelajaran model, M menyatakan banyaknya data yang disediakan dalam pembelajaran model, M<N, sedangkan e(x) menyatakan galat pemodelan pada x (Bishop 1995). Pada peubah input, model RBF digunakan untuk mencari nilai dugaan untuk waktu mendatang untuk peubah-peubah input yang nantinya digunakan sebagai masukan untuk perkiraan frekuensi kritis karakteristik.Pendekatan RBF
Metoda RBF adalah satu teknik interpolasi dimana nilai permukaan harus terukur. Ada lima RBF: 1) Thin-plate spline, 2) Spline with tension, 3)
Completely regularized spline, 4) Multiquadric function dan 5) Inverse multiquadric function.
Metoda RBF berbeda dengan interpolator polynomial global dan local, yang interpolatornya tidak melewati poin-poin yang terukur. Perbandingan RBF dengan metoda IDW, dimana IDW tidak pernah akan meramalkan nilai-nilai di atas nilai pengukuran maksimum atau di bawah nilai terukur minimal, sementara RBF dapat meramalkan nilai-nilai di atas maksimum terukur dan di bawah nilai terukur minimumnya dan RBF biasanya digunakan untuk membangun perkiraan
fungsi dalam bentuk
( )
(
)
1 n i i i y x ω φ x x =
=
∑
− dimana fungsi y pada (x) direpresentasikan sebagai jumlah dari fungsi basis radial N, masing-masing terkait dengan pusat yang berbeda xi, dan memiliki koefisien bobot wi yang sesuai. Bobotwi dapat diestimasi dengan menggunakan metode matriks kuadrat terkecil linier,
sehingga fungsi mendekati linear terhadap bobot.
Arsitektur Jaringan
Radial basis fungsi (RBF) biasanya memiliki tiga lapisan: lapisan input, lapisan tersembunyi dengan fungsi aktivasi RBF non-linear dan lapisan keluaran linear. Otput, :ϕ n → , Persamaannya adalah:
( )
(
)
1 n i i i x a x c ϕ ρ = =
∑
− .Dimana N adalah jumlah neuron pada lapisan tersembunyi, adalah vektor pusat neuron i, dan ai adalah bobot dari neuron output linier. Dalam bentuk dasar
semua masukan yang terhubung ke setiap neuron tersembunyi. Proses umumnya biasanya diambil menjadi jarak Euclidean dan RBF diambil dari Gauss.
(
)
2exp
i i
x c x c
ρ − = −β −
. Fungsi dasar gaussian bersifat lokal dalam arti bahwa
lim
(
i)
0x
x c
ρ
→∞
− = mengubah parameter agar satu neuron hanya memiliki efek kecil untuk nilai masukan yang jauh dari pusat neuron itu.
Gambar 15 Arsitektur jaringan fungsi basis radial (Gilardi 2002)
Gambar 17 adalah arsitektur jaringan RBF dimana prosesnya dapat dijelaskan sebagai berikut: apabila sebuah vektor input x digunakan sebagai masukan untuk semua fungsi basis radial, masing-masing dengan parameter berbeda, maka output jaringan adalah kombinasi linier dari output fungsi RBF. Topologi dari jaringan radial basis function (RBF) ditunjukan dalam gambar17 di atas. Masukan x1, x2 … xm, terdiri dari sebuah matrik masukan x, yang
diberlakukan pada semua syaraf (neuron) dalam lapisan hidden. Masing-masing
neuron dari lapisan hidden menghitung fungsi. matrik sama dengan matrik
pembelajaran masukan. Seharusnya ada satu neuron lapisan hidden untuk masing- masing matrik pembelajaran, pembobot masing-masing neuron dari lapisan
hidden ditentukan nilai dari matrik pembelajaran masukan.
Jaringan RBF adalah pendekatan universal pada subset kompakn. Ini berarti bahwa jaringan RBF dengan hidden neuron dapat mendekati setiap fungsi kontinyu dengan presisi bebas. Bobot aI, ci dan β ditentukan dengan cara yang
sesuai dengan mengoptimalkan antaraϕdan data.
Penggunaan RBF
Penggunaan RBF untuk merekonstruksi fungsi dengan menggunakan kombinasi liniar satu set basis fungsi yang cocok terhadap contoh dan ini tergantung pada jenis fungsi basis yang digunakan, biasanya digunakan interpolasi polynomial, splines dengan tegangan. RBF digunakan untuk menghitung permukaan halus dari titik data dengan jumlah data yang banyak. Fungsi menghasilkan gambaran yang baik untuk berbagai permukaan seperti elevasi. RBF tidak akan sesuai bila di permukaan terdapat banyak perubahan nilai
terhadap jarak horizontal atau data sample memiliki banyak kesalahan atau banyak ketidakpastian.