3.2.1 Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik
Sebuah sinyal dikatakan periodik jika, untuk terdapat nilai positif T ,
x(t) = x(t + T ) untuk semua t (3.17)
Periode fundamental dari x(t) adalah nilai positif minimum tidak nol dari T sehingga persamaan (3.17) dipenuhi, dan nilai ω0 = 2π/T didefinisikan sebagai frekuensi funda-mental dari sinyal x(t).
Kita telah mempelajari dua sinyal dasar periodik, sinyal sinusoidal
x(t) = cos ω0t (3.18)
dan sinyal periodik kompleks eksponensial
x(t) = ejω0t. (3.19)
Kedua sinyal ini periodik dengan frekuensi fundamental ω0 dan periode fundamental T = 2π/ω0. Terdapat kumpulan sinyal kompleks eksponensial yang terhubung harmonik dengan sinyal pada persamaan (3.19) yaitu
φk(t) = ejkω0t= ejk(2π/T )t, k = 0, ±1, ±2, . . . . (3.20) Tiap sinyal ini memiliki sebuah frekuensi fundamental yang merupakan kelipatan dari ω0, dan oleh sebab itu, masing-masing periodik dengan periode T (walaupun untuk |k| > 2, periode fundamental dari φk(t)adalah pecahan dari T ). Maka, seubah kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial yang terhubung harmonik dengan bentuk
x(t) = +∞ X k=−∞ akejkω0t= +∞ X k=−∞ akejk(2π/T )t (3.21) juga periodik dengan periode T . Pada persamaan (3.21) term untuk k = 0 adalah sebuah konstanta. Term untuk k = +1 dan k = −1, keduanya memiliki frekuensi fundamental ω0 dan secara kolektif didefinisikan sebagai komponen fundamental atau komponen harmonik pertama. Dua term untuk k = +2 dan k = −2, adalah periodik dengan setengah periode fundamental (atau ekuivalen, mempunyai frekuensi dua kali lebih besar) dari komponen fundamental dan didefinisikan sebagai komponen harmonik
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
kedua. Secara umum, komponen untuk k = +N dan k = −N didefinisikan sebagai komponen harmonik ke-N.
Representasi dari sinyal periodik dengan bentuk pada persamaan (3.21) didefinisikan sebagai representasi deret Fourier.
Misalkan sebuah sinyal periodik x(t), dengan frekuensi fundamental 2π, diekspresikan dengan bentuk x(t) = +3 X k=−3 akejk2πt, (3.22) dengan a0 = 1 a1= a−1 = 14 a2= a−2 = 12 a3= a−3 = 1 3
dengan menulis ulang persamaan (3.22) dan mengumpulkan setiap dari komponen har-monik yang memiliki frekuensi fundamental yang sama, kita akan memperoleh
x(t) = 1 + 14(ej2πt+ e−j2πt) +12(ej4πt+ e−j4πt) (3.23) +1
3(ej6πt+ e−j6πt).
Dengan menggunakan relasi Euler, kita dapat menuliskan x(t) dalam bentuk x(t) = 1 + 1
2cos 2πt + cos 4πt + 2
3cos 6πt. (3.24)
Persamaan (3.24) adalah contoh dari bentuk alternatif dari deret Fourier untuk sinyal periodik real. Secara spesifik, misalkan x(t) adalah bernilai real dan dapat direpresen-tasikan dalam bentuk persamaan (3.21). Karena x∗(t) = x(t), maka kita memperoleh
x(t) =
+∞
X
k=−∞
a∗ke−jkω0t.
Dengan mengganti k dengan −k pada penjumlahan, kita mendapatkan x(t) =
+∞
X
k=−∞
a∗−kejkω0t,
maka bila dibandingkan dengan persamaan (3.21), maka haruslah ak = a∗
−k, atau ekiva-len juga dengan
a∗k= a−k. (3.25)
Kita lihat bahwa pada contoh sebelumnya adalah kasus di mana ak adalah bernilai real dan ak = a−k.
Untuk menurunkan bentuk alternatif dari deret Fourier, kita harus menyusun pen-jumlahan dalam persamaan (3.21) menjadi
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik x(t) = a0+ ∞ X k=1 h akejkω0t+ a−ke−jkω0ti
dengan mengganti a−k dengan a∗
k dari persamaan (3.25) maka kita memperoleh x(t) = a0+ ∞ X k=1 h akejkω0t+ a∗ke−jkω0ti.
Karena dua term di dalam penjumlahan adalah pasangan kompleks konjugat, maka kita peroleh x(t) = a0+ ∞ X k=1 2Renakejkω0to. (3.26) Jika ak dinyatakan dalam bentuk polar sebagai
ak = Akejθk, maka persamaan (3.26) menjadi
x(t) = a0+ 2 ∞ X k=1 Re n Akej(kω0t+θk)o.
Dapat juga ditulis menjadi
x(t) = a0+ 2
∞
X
k=1
Akcos(kω0t + θk). (3.27) Persamaan (3.27) adalah satu bentuk dasar yang ditemui untuk deret Fourier untuk si-nyal real periodik waktu kontinu. Bentuk lain diperoleh dengan menulis akdalam bentuk rectangular sebagai
ak= Bk+ jCk,
dengan nilai Bkdan Ck keduanya bernilai real. Dengan ekspresi ini maka persamaan (3.26) akan mempunyai bentuk
x(t) = a0+ 2
∞
X
k=1
[Bkcos kω0t − Cksin kω0t] . (3.28) Maka untuk fungsi periodik real, deret Fourier dalam term kompleks eksponensial seperti ditunjukkan pada persamaan (3.21), secara matematik ekuivalen dengan dua bentuk baik pada persamaan (3.27) dan (3.28) dengan menggunakan fungsi trigonometri. Namun bentuk persamaan (3.21) memberikan kemudahan untuk analisa kita, maka kita akan lebih sering menggunakannya.
3.2.2 Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik CT
Asumsikan bahwa sebuah sinyal periodik dapat direpresentasikan dengan deret dari per-samaan x(t) = +∞ X akejkω0t= +∞ X akejk(2π/T )t, (3.29)
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
kita memerlukan sebuah prosedur untuk menentukan koefisien ak. Mengalikan kedua sisi dari persamaan (3.29) dengan e−jnω0t, kita memperoleh
x(t)e−jnω0t=
+∞
X
k=−∞
akejkω0te−jnω0t.
Dengan melakukan integrasi kedua sisi dari 0 sampai T = 2π/ω0, kita mempunyai ˆ T 0 x(t)e−jnω0tdt = ˆ T 0 +∞ X k=−∞ akejkω0te−jnω0tdt.
Dalam hal ini, T adalah periode fundamental dari x(t), dan konsekuensinya, kita me-lakukan integrasi pada rentang satu periode. Dengan menukar urutan integrasi dan penjumlahan menghasilkan ˆ T 0 x(t)e−jnω0tdt = +∞ X k=−∞ ak ˆ T 0 ej(k−n)ω0tdt . (3.30)
Hasil evaluasi dari integrasi dengan kurung siku dengan formula Euler dapat diperoleh, ´T
0 ej(k−n)ω0tdt =´T
0 cos(k − n)ω0tdt (3.31)
+j´T
0 sin(k − n)ω0tdt.
Untuk k 6= n, cos(k − n)ω0t dan sin(k − n)ω0t adalah sinyal sinusoidal periodik de-ngan periode fundamental (T/|k − n|). Oleh karena itu, pada persamaan (3.31), kita melakukan integrasi pada sebuah interval (dengan panjang T ). Karena integrasi dapat dipandang sebagai menghitung luas total di bawah fungsi pada rentang integrasi, kita dapat melihat bahwa untuk k 6= n, kedua integrasi pada sisi kanan persamaan (3.31) bernilai nol. Untuk k = n, bagian yang diintegrasikan bernilai 1, sehingga hasil integrasi bernilai T . Sehingga kita peroleh
ˆ T 0 ej(k−n)ω0tdt = ( T, k = n 0, k 6= n,
sehingga, bagian sisi kanan dari persamaan (3.30) menjadi T an. Sehingga, an= 1
T ˆ T
0
x(t)e−jnω0tdt, (3.32)
yang memberikan persamaan untuk menentukan koefisien. Lebih jauh lagi, ketika mela-kukan evaluasi pada persamaan (3.31), kita hanya menggunakan fakta rentang integrasi pada interval dengan panjang T . Oleh sebab itu kita akan memperoleh hasil yang sama jika kita melakukan integrasi pada interval dengan panjang T . Maka kita peroleh
an= 1 T
ˆ
T
x(t)e−jnω0tdt. (3.33)
Jika x(t) memiliki representasi deret Fourier [yaitu dapat diekspresikan sebagai kom-binasi linear dari sinyal kompleks eksponensial yang terhubung secara harmonik dalam bentuk persamaan (3.29)], maka koefisien dapat ditentukan oleh persamaan (3.33). Pa-sangan dari persamaan ini, mendefinisikan deret Fourier dari sinyal periodik waktu kon-tinu:
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik x(t) = +∞ X k=−∞ akejkω0t= +∞ X k=−∞ akejk(2π/T )t (3.34) ak= 1 T ˆ T x(t)e−jkω0tdt = 1 T ˆ T x(t)e−jk(2π/T )tdt. (3.35) Persamaan (3.34) didefinisikan sebagai persamaan sintesis dan persamaan (3.35) dide-finisikan sebagai persamaan analisis. Kumpulan koefisien {ak}biasanya disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral dari x(t). Koefisien kompleks ini mengukur porsi dari sinyal x(t) pada setiap harmonik komponen fundamental. Koefisien a0 adalah nilai DC atau komponen konstan dari x(t) yang ditentukan oleh persamaan (3.35) dengan k = 0, yaitu a0 = 1 T ˆ T x(t)dt, (3.36)
yaitu nilai rata-rata dari x(t) pada satu periode.
3.2.3 Kasus: Menghitung deret Fourier dari sinyal kotak
Sinyal kotak periodik, seperti terlihat pada gambar dan didefinisikan pada satu periode sebagai
x(t) = (
1, |t| < T1
0, T1 < |t| < T /2. (3.37) Sinyal ini periodik dengan periode fundamental T dan frekuensi fundamental ω0 = 2π/T.
t x(t) ... ... −2T −T −T 2 0 T 2 T 2T −T1 T1 1
Untuk menentukan koefisien deret Fourier untuk x(t), kita menggunakan persamaan (3.35). Karena x(t) simetris pada t = 0, maka akan lebih mudah memilih −T/2 ≤ t < T /2 sebagai interval dari integrasi, walaupun setiap interval dengan panjang T sama-sama valid dan menghasilkan hasil yang sama-sama. Dengan menggunakan batas integrasi ini dan menggunakan persamaan (3.37), kita memperoleh untuk k = 0,
a0= 1 T ˆ T1 −T1 dt = 2T1 T . (3.38)
Seperti telah disebutkan sebelumnya, a0 diinterpretasikan sebagai nilai rata-rata dari x(t). Untuk k 6= 0, kita memperoleh
ak= 1 T ˆ T1 −T1 e−jkω0tdt = − 1 jkω0Te −jkω0t T1 −T1 , yang dapat ditulis sebagai
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik ak= 2 kω0T ejkω0T1 − e−jkω0T1 2j . (3.39)
Perhatikan bahwa term dalam kurung siku adalah sin kω0T1, kita dapat menuliskan koefisien ak sebagai
ak= 2 sin (kω0T1) kω0T =
sin (kω0T1)
kπ , k 6= 0. (3.40)
3.2.4 Konvergensi Deret Fourier
Pada contoh sebelumnya dapat dilihat walaupun x(t) diskontinu tetapi tiap-tiap kom-ponen harmoniknya kontinu. Fourier menyatakan setiap sinyal periodik dapat direpre-sentasikan dengan deret Fourier. Walaupun hal ini tidak sepenuhnya tepat, akan tetapi benar bahwa deret Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan sejumlah besar kelas dari sinyal periodik, termasuk sinyal kotak dan sinyal-sinyal periodik lainnya.
Kita akan melihat masalah aproksimasi (pendekatan) sinyal periodik x(t) dengan kom-binasi linear dari jumlah terbatas sinyal komplek eksponensial terhubung harmonik de-ngan bentuk, xN(t) = N X k=−N akejkω0t. (3.41)
Kita definisikan error aproksimasi dengan eN(t), yaitu eN(t) = x(t) − xN(t) = x(t) −
N
X
k=−N
akejkω0t. (3.42) Untuk menentukan seberapa baik sebuah aproksimasi, kita perlu menentukan ukuran kuantitatif dari ukuran error aproksimasi. Kriteria yang akan digunakan adalah energi dari error pada satu periode:
EN = ˆ
T
|eN(t)|2dt. (3.43)
Dapat dibuktikan bahwa pilihan untuk koefisien dalam persamaan (3.41) untuk me-minimalkan energi dari error adalah
ak= 1 T
ˆ
T
x(t)e−jkω0tdt. (3.44)
Kita dapat persamaan (3.44) adalah indentik dengan ekpsresi yang digunakan untuk menentukan koefisien deret Fourier. Maka jika x(t) memiliki representasi deret Fourier, maka aproksimasi terbaik dengan hanya menggunakan jumlah terbatas dari kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik dapat diperoleh dengan memo-tong deret Fourier dengan jumlah term yang diinginkan. Ketika N bertambah, maka jumlah term akan bertambah dan EN akan berkurang. Pada faktanya jika x(t) memiliki representasi deret Fourier maka limit dari EN ketika N → ∞ adalah nol.
Bagaimana menentukan sebuah sinyal x(t) memiliki representasi deret Fourier? Tentu saja untuk semua sinyal, kita dapat mendapatkan kumpulan koefisien Fourier dengan menggunakan persamaan (3.35). Bagaimanapun, pada beberapa kasus integral pada persamaan (3.35) dapat menjadi divergen; yaitu ketika diperoleh beberapa nilai akadalah tak terbatas (infinite). Lebih lagi, walau semua koefisien yang diperoleh dari persamaan
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
(3.35) adalah terbatas (finite), ketika koefisien ini disubtitusikan ke persamaan sintesis (3.34), hasilnya dapat saja tidak konvergen kepada sinyal asli x(t).
Beruntungnya, tidak terdapat kesulitan konvergensi untuk sejumlah kelas dari sinyal periodik. Contohnya, setiap sinyal periodik kontinu memiliki representasi deret Fou-rier dengan energi EN untuk error aproksimasi menuju nol ketika N menuju ∞. Ini juga berlaku untuk banyak sinyal diskontinu. Karena dirasakan berguna untuk mema-sukkan sinyal diskontinu seperti sinyal kotak, menjadi bermanfaat untuk menyelidiki isu konvergensi dengan lebih detil.
Salah satu kelas sinyal periodik yang dapat direpresentasikan dengan deret Fourier adalah sinyal yang memiliki energi terbatas pada interval satu periode, yaitu sinyal dengan
ˆ
T
|x(t)|2dt < ∞. (3.45)
Ketika kondisi ini dipenuhi, maka dapat dijamin bahwa koefisien akyang diperoleh dari persamaan (3.35) adalah terbatas. Lebih jauh lagi, misalkan xN(t)adalah aproksimasi x(t)yang diperoleh dengan menggunakan koefisien ini untuk |k| ≤ N:
xN(t) =
+N
X
k=−N
akejkω0t. (3.46)
Maka dijamin bahwa energi EN pada error aproksimasi, seperti yang didefinisikan pada persamaan (3.43), konvergen ke 0 ketika kita menambah banyak term. Jika kita mendefinisikan e(t) = x(t) − +∞ X k=−∞ akejkω0t. (3.47) maka ˆ T |e(t)|2dt = 0. (3.48)
Tetapi persamaan (3.48) tidak mengimplikasikan bahwa sinyal x(t) dan representasi deret Fourier
+∞
X
k=−∞
akejkω0t. (3.49)
adalah sama pada setiap nilai t. Persamaan (3.48) hanya menyatakan bahwa tidak terdapat perbedaan energi pada keduanya.
Lebih lagi, sebuah alternatif kumpulan kondisi yang dibuat oleh Dirichlet yang berlaku untuk semua sinyal yang akan banyak digunakan, menjamin bahwa x(t) akan sama dengan representasi deret Fourier, kecuali pada nilai t terisolasi yang menyebabkan x(t) diskontinu. Pada nilai ini, deret tak terbatas dari persamaan (3.49) konvergen pada nilai rata-rata dari nilai pada setiap sisi pada diskontinu.
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
Kondisi 1
Pada satu periode manapun, x(t) harus absolutely integrable, yaitu ˆ
T
|x(t)|dt < ∞. (3.50)
Hal ini akan menjamin bahwa setiap koefisien dari ak akan terbatas karena |ak| ≤ 1 T ˆ T x(t)e −jkω0t dt = 1 T ˆ T |x(t)|dt. (3.51) Kondisi 2
Pada interval waktu terbatas manapun, x(t) memiliki variasi terbatas; yaitu, hanya memiliki sejumlah berhingga maxima dan minima pada satu periode sinyal manapun. Kondisi 3
Pada interval waktu terbatas manapun, hanya terdapat sejumlah berhingga jumlah dis-kontinuitas.