0 + c2 1 3 0 h[1] = c1 12 1 + c2 13 1
Untuk keperluan ini kita memanfaatkan Tabel 2.4 pada n = 0 dan n = 1, sehingga diperoleh (secara pecahan) y[0] = 1 dan y[1] = 5
6. Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui
1 = c1 + c2
5
6 = 12c1 + 13c2
yang menghasilkan c1= 3 dan c2 = −2. Maka solusi total adalah h [n] = 3 1 2 n − 2 1 3 n
2.5.4 Simulasi Solusi LCCDE DT
Hasil tersebut di atas dapat diverifikasi menggunakan mengembangan Tabel 2.4 menjadi Tabel 2.7. Misalnya, pada n = 10, kita peroleh h [10] = 3 1
2
10
− 2 1310
yang dapat dihitung menggunakan rumus spreadsheet:
D22: =(3*(1/2)^A22)-(2*(1/3)^A22) [enter]
dst
Tabel 2.7 mengkonfirmasi hasil yang identik antara pendekatan simulasi menggunak-an persamamenggunak-an I/O LCCDE dmenggunak-an simulasi menggunakmenggunak-an solusi LCCDE. Meskipun cara yang kedua lebih panjang, tapi sekali solusi ditemukan, persamaan solusi bisa langsung digunakan untuk n berapapun. Cara yang pertama memerlukan hasil dari n sebelum karena bersifat rekursif.
2.6 Tutorial Solusi LCCDE
2.6.1 Kasus Orde 1 CT
Soal: Diketahui sebuah sistem waktu kontinu dengan input x (t) dan output y (t) dengan hubungan
d
dty (t) + ay (t) = x (t) di mana a konstanta.
1. Carilah y(t) dengan kondisi awal y (0) = y0 dan x (t) = Ke−btu (t)
2 Sistem Linear Time-Invariant
Tabel 2.7: Simulasi solusi LCCDE
A B C D 8 9 n x[n] y[n] y[n] 10 -2 0 0 0 11 -1 0 0 0 12 0 1 1 1 13 1 0 0.8333333333 0.8333333333 14 2 0 0.5277777778 0.5277777778 15 3 0 0.3009259259 0.3009259259 16 4 0 0.162808642 0.162808642 17 5 0 0.0855195473 0.0855195473 18 6 0 0.0441315158 0.0441315158 19 7 0 0.0225230053 0.0225230053 20 8 0 0.0114139184 0.0114139184 21 9 0 0.0057577645 0.0057577645 22 10 0 0.0028958173 0.0028958173 Kode spreadsheet: D12: =(3*(1/2)^A12)-(2*(1/3)^A12) [enter] D13: =(3*(1/2)^A13)-(2*(1/3)^A13) [enter] dst 2.6.2 Kasus Orde 1 DT
Soal: Sebuah sistem waktu diskrit dengan input x[n] dan output y[n] dengan hubungan y [n] − ay [n − 1] = x [n]
dengan a adalah konstan. Bila sistem relaks, carilah y[n] untuk input x [n] = Kbnu [n]
2.6.3 Kasus Menghitung Respons Impuls
Kasus: Cari solusi dari sistem LCCDE rileks
y[n] = 3y[n − 1] + 4y[n − 2] +x[n] + 2x[n − 1] untuk mencari respons impuls h[n].
Jawab:
Untuk mencari solusi y[n] = yh[n] + yp[n]kita perlu mengubah bentuk persamaan ke dalam bentuk LCCDE, kemudian menghitung solusi partikular yp[n]dan solusi homogen yh[n]. Persamaan LCCDE menjadi
y[n] − 3y[n − 1] − 4y[n − 2] = x[n] + 2x[n − 1] Persamaan sistem untuk respons impuls adalah
2 Sistem Linear Time-Invariant
h[n] = 3h[n − 1] + 4h[n − 2] +δ[n] + 2δ[n − 1]
Untuk menghitung respons impuls, kita tidak perlu menghitung solusi partiku-lar. Dengan demikian solusi yang diperlukan berasal dari soulsi homogen. Untuk LCCDE di atas, kita peroleh persamaan homogen
y[n] − 3y[n − 1] − 4y[n − 2] = 0 dan karakteristik polinomial
p (λ) = λ2− 3λ − 4 = (λ + 1) (λ − 4) dengan demikian maka solusi homogen adalah
h[n] = c1(−1)n+ c2(4)n
Dari persamaan ini dapat dibuat dua persamaan untk mencari c1 dan c2 dengan memilin n = 0 dan n = 1:
h[0] = c1+ c2
h[1] = −c1+ 4c2
Kemudian dari persamaan sistem respons impuls di atas diproleh dua sample per-tama dari impulse respons
h[0] = 3h[−1] + 4h[−2] +δ[0] + 2δ[−1] = 0 + 0 + 1 + 0 = 1 h[1] = 3h[0] + 4h[−1] +δ[1] + 2δ[0] = 3 + 0 + 0 + 2 = 5 sehingga 1 = c1+ c2 5 = −c1+ 4c2
dan diperoleh c1= −15 dan c2 = 65. Jadi respons impuls nya adalah h[n] = −1 5(−1) n+ 6 5(4) n u [n]
2 Sistem Linear Time-Invariant
2.6.4 Kasus Solusi Partikular Tidak Independen
Kasus: Cari solusi dari sistem LCCDE rileks
y[n] = 3y[n − 1] + 4y[n − 2] +x[n] + 2x[n − 1]
untuk mencari y[n] pada n ≥ 0 bila dimasuki input x[n] = 4nu[n]. Jawab:
Sebagaimana sebelumnya, untuk mencari solusi y[n] = yh[n] + yp[n] kita perlu mengubah bentuk persamaan menjadi
y[n] − 3y[n − 1] − 4y[n − 2] = x[n] + 2x[n − 1]
Kandidat solusi partikular untuk input x[n] = 4nu[n]ini adalah yp[n] = K (4)nu [n], di mana K seharusnya dapat diperoleh melalui substitusi pada persamaan LCCDE untuk n = 2. Akan tetapi khusus untuk kasus ini ternyata solusi ini tidak inde-penden karena juga sudah terdapat pada solusi homogen, sehingga perlu dicari kandidat lain. Kandidat solusi partikular berikutnya yang masih mengandung in-put tapi bukan bagian dari solusi homogen adalah yp[n] = Kn (4)nu [n]sehingga diperoleh persamaan substitusi
Kn (4)nu [n] − 3K(n − 1) (4)n−1u [n − 1] −4(n − 2)K (4)n−2u [n − 2] = (4)nu[n] + 2 (4)n−1u[n − 1] dari sini, setelah dievaluasi pada n = 2 diperoleh
K2 (4)2u [n] − 3K (4)1− 4(0)K (4)0 = (4)2+ 2 (4)1
dan K = 6
5. Jadi solusi partikular adalah yp[n] = 6
5n (4)
n
u [n]
Karena kita sudah menghitung solusi homogen pada bagian sebelumnya, solusi total untuk n ≥ 0 adalah
y [n] = c1(−1)n+ c2(4)n+ 6 5n (4)
n
dengan koefisien c1 dan c2 dicari melalui y [0] = c1(−1)0+ c2(4)0+6
50 (4)0 = c1+ c2 y [1] = c1(−1)1+ c2(4)1+561 (4)1 = −c1+ 4c2+245
Kita kemudian memanfaatkan Tabel 2.6, kita peroleh y[0] = 1 dan y[1] = 9, sehingga
2 Sistem Linear Time-Invariant
1 = c1+ c2 9 = −c1+ 4c2+ 24
5
menghasilkan c1 = −251 dan c2 = 2625. Maka solusi total adalah untuk n ≥ 0 y [n] = − 1 25(−1) n + 26 25(4) n +6 5n (4) n
Hasil ini dapat diverifikasi pada kolom D spreadsheet di Tabel 2.6.
2.7 Penutup
Sistem LTI dapat dikarakterisasi menggunakan respons impuls. Respons dari sistem dapat dihitung melalui proses konvolusi input dengan respons input.
Sesuai namanya, sistem LCCDE persamaan input-output dimodelkan dengan persa-maan diferensial. Respons dari sistem LCCDE adalah solusi dari persapersa-maan diferensial.
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
Pada bab ini akan dibahas alternatif representasi sinyal periodik menggunakan sinyal kompleks eksponensial. Hasil representasi ini dikenal sebagai deret Fourier waktu kontinu dan deret Fourier waktu diskrit. Representasi ini dapat digunakan untuk membentuk berbagai bentuk sinyal yang berguna.
Karena sifat superposisi, respon dari sistem LTI terhadap input yang terdiri dari kombinasi linear dari sinyal dasar adalah kombinasi linear yang sama dari respon indi-vidual terhadap setiap sinyal dasar tersebut. Respon sistem LTI terhadap sebuah sinyal kompleks eksponensial juga memiliki bentuk yang sederhana, yang memberikan kita rep-resentasi sistem LTI yang mudah dan dengan cara yang lain untuk melakukan analisa sistem dan menambah wawasan terhadap sifat deret Fourier.
Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menghitung deret Fourier dari sinyal periodik.
3.1 Eigenfunctions: Respon sistem LTI pada sinyal
kompleks eksponensial
3.1.1 Konsep eigenfunction dan eigenvalue
Mempelajari sistem LTI dengan mepresentasikan sinyal sebagai kombinasi linear dari sinyal dasar memberikan banyak kemudahan. Sinyal dasar yang digunakan memiliki dua sifat berikut:
1. Kumpulan sinyal dasar dapat digunakan untuk membentuk kelas sinyal yang ber-agam dan berguna.
2. Respon dari sebuah sistem LTI dari setiap sinyal harus memiliki struktur yang cukup sederhana untuk memberikan kepada kita, kemudahan representasi untuk respon sistem terhadap sinyal apapun yang dibentuk dari kombinasi linear dari sinyal dasar.
Hasil analisis Fourier dengan dua sifat tersebut diberikan dengan kumpulan sinyal kom-pleks eksponensial waktu kontinu dan waktu diskrit. Sinyal dalam bentuk estuntuk sinyal waktu kontinu. Sinyal dalam bentuk znuntuk sinyal waktu diskrit. Dalam hal ini s dan z adalah bilangan kompleks.
Pentingnya sinyal kompleks eksponensial dalam pembahasan sistem LTI berasal dari fakta bahwa respon dari sebuah sistem LTI terhadap sinyal input kompleks eksponensial adalah sinyal kompleks eksponensial yang sama dengan hanya perubahan pada amplitu-da; yaitu,
waktu kontinu: est→ H(s)est, (3.1)
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
di mana faktor amplituda kompleks H(s) dan H(z) secara umum adalah fungsi dari vari-abel kompleks s atau z. Sebuah sinyal yang menyebabkan output dari sistem konstanta (biasanya bilangan kompleks) dari input disebut sebagai fungsi eigen (eigenfunction) dari sistem, dan faktor amplituda disebut sebagai nilai eigen (eigenvalue) dari sistem.
3.1.2 Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI CT
Untuk menunjukkan bahwa sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sis-tem LTI waktu kontinu, lihatlah sissis-tem LTI waktu kontinu dengan respon impuls h(t). Untuk input x(t), kita dapat menentukan output dengan menggunakan integral konvo-lusi, sehingga dengan x(t) = est
y(t) = ˆ +∞ −∞ h(τ )x(t − τ )dτ = ˆ +∞ −∞ h(τ )es(t−τ )dτ (3.3) Dengan mengekspresikan es(t−τ )sebagai este−sτ, dan dapat kita lihat estdapat dikelu-arkan dari integral, maka persamaan (3.3) akan menjadi
y(t) = est ˆ +∞
−∞
h(τ )e−sτdτ (3.4)
Asumsikan bahwa integral pada sisi kanan dari persamaan (3.4) konvergen, maka respon terhadap estmemiliki bentuk
y(t) = H(s)est (3.5)
dengan H(s)adalah konstanta kompleks yang nilainya bergantung pada s dan memiliki hubungan dengan respon impuls sistem, yaitu
H(s) = ˆ +∞
−∞
h(τ )e−sτdτ (3.6)
Dari sini kita dapat melihat bahwa kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI waktu kontinu. Konstanta H(s) untuk sebuah nilai spesifik s adalah eigen-value yang berasosiasi dengan eigenfunction est.
3.1.3 Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI DT
Dengan cara yang sama kita dapat melihat bahwa barisan kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI waktu kontinu. Lihatlah sistem LTI waktu diskrit dengan respon impuls h[n]. Untuk input x[n] = zn,
y[n] = +∞ X k=−∞ h[k]x[n − k] = +∞ X k=−∞ h[k]zn−k (3.7)
Dengan mengekspresikan zn−ksebagai znz−k, dan dapat kita lihat zndapat dikeluarkan dari integral, maka persamaan (3.7) akan menjadi
y[n] = zn
+∞
X
k=−∞
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
Asumsikan bahwa penjumlahan pada sisi kanan dari persamaan (3.8) konvergen, maka respon terhadap znmemiliki bentuk
y[n] = H(z)zn (3.9)
dengan H(s) adalah konstanta kompleks yang nilainya bergantung pada s dan memiliki hubungan dengan respon impuls sistem, yaitu
H(z) =
+∞
X
k=−∞
h[k]z−k (3.10)
Dari sini kita dapat melihat bahwa kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI waktu diskrit. Konstanta H(z) untuk sebuah nilai spesifik z adalah eigenvalue yang berasosiasi dengan eigenfunction zn.
3.1.4 Kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial
Untuk analisis sistem LTI, kegunaan dari dekomposisi sinyal umum ke dalam eigenfun-ction dapat dari sebuah contoh. Misalkan x(t) berkorespondensi kepada kombinasi linear dari tiga buah sinyal kompleks eksponensial, yaitu,
x(t) = a1es1t+ a2es2t+ a3es3t (3.11) Dari sifat eigenfunction, respon masing-masing komponen adalah
aes1t→ a1H(s1)es1t, a2es2t→ a2H(s2)es2t, a3es3t→ a3H(s3)es3t,
dan dari sifat superposisi, respon terhadap input x(t) adalah penjumlahan dari respon masing-masing komponen, sehingga
y(t) = a1H(s1)es1t+ a2H(s2)es2t+ a3H(s3)es3t (3.12) Secara umum, pada waktu kontinu, persamaan (3.5), dengan sifat superposisi, meng-implikasikan bahwa representasi sinyal sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial memberikan kemudahan untuk memperoleh ekspresi dari respon dari se-buah sistem LTI. Secara spesifik, bila input terhadap seubah sistem LTI waktu kontinu direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial, yaitu, jika
x(t) =X
k
akeskt, (3.13)
maka akan diperoleh output
y(t) =X
k
akH(sk)eskt. (3.14)
Dengan analogi yang sama, jika input terhadap sistem LTI waktu diskrit direpresen-tasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal eksponensial yaitu, jika
x[n] =X
k
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
maka akan diperoleh output
y[n] =X
k
akH(zk)zkn. (3.16)
Dengan perkataan lain, untuk waktu kontinu dan waktu diskrit, jika input terhadap sebuah sistem LTI direpresentasikan dengan kombinasi linear dari sinyal kompleks eks-ponensial, maka output juga dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial yang sama. Setiap koefisien pada representasi dari output dipe-roleh dengan perkalian koefisien ak dari input dan eigenvalue dari sistem H(sk) atau H(zk)yang berasosiasi dengan eigenfunction esktatau zn
k.