3.5.1 Sistem LTI dan Respon Frekuensi
Kita telah melihat bahwa representasi deret Fourier dapat digunakan untuk memben-tuk setiap sinyal periodik waktu diskrit dan semua sinyal periodik waktu kontinu yang penting. Kita juga telah melihat respon sistem LTI kepada kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial memberikan bentuk yang sederhana. Contohnya untuk waktu kontinu, jika x(t) = est adalah input kepada sistem LTI waktu kontinu, maka mengha-silkan output y(t) = H(s)est, dengan
H(s) = ˆ +∞
−∞
h(τ )e−sτdτ, (3.63)
dengan h(t) adalah respon impuls dari sistem LTI.
Demikian juga sdengan sistem waktu diskrit, jika x[n] = zn adalah input kepada sistem LTI waktu diskrit, maka menghasilkan output y[n] = H(z)zn, dengan
H(z) =
+∞
X
k=−∞
h[k]z−k, (3.64)
dengan h[n] adalah respon impuls dari sistem LTI.
H(s) dan H(z) didefinisikan sebagai fungsi sistem dari sistem yang bersesuaian, de-ngan s dan z adalah bilade-ngan kompleks umum. Untuk sinyal dan sistem waktu kontinu, kita akan melihat kasus khusus untuk Re{s} = 0, sehingga s = jω, sehingga est adalah dalam bentuk ejωt. Ini adalah input kompleks eksponensial pada frekuensi ω. Fungsi sistem adalah dalam bentuk s = jω, H(jω) dilihat sebagai fungsi dari ω didefinisikan sebagai respon frekuensi dari sistem dan dituliskan dengan
H(jω) = ˆ +∞
−∞
h(t)e−jωtdt. (3.65)
Dengan cara yang sama untuk sinyal dan sistem waktu diskrit, kita akan melihat kasus khusus untuk nilai z dengan |z| = 1, sehingga z = ejω, sehingga znadalah dalam bentuk ejωn. Ini adalah input kompleks eksponensial pada frekuensi ω. Fungsi sistem adalah dalam bentuk z = ejω, H(ejω) dilihat sebagai fungsi dari ω didefinisikan sebagai respon frekuensi dari sistem dan dituliskan dengan
H(ejω) =
+∞
X
n=−∞
h[n]e−jωn. (3.66)
Respon sebuah sistem LTI terhadap sinyal kompleks eksponensial dengan bentuk ejωt
(untuk waktu kontinu) atau ejωn (untuk waktu diskrit) adalah sangat sederhana un-tuk mengekspresikan respon frekuensi dari sistem. Lebih jauh lagi karena berlaku sifat superposisi dari sistem LTI, maka kita dapat mendapatkan respon sistem LTI dengan kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial.
Untuk kasus waktu kontinu, misalkan x(t) adalah sinyal periodik dengan representasi deret Fourier diberikan oleh
x(t) =
+∞
X
k=−∞
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
Misalkan kita menggunakan sinyal ini sebagai input dari sistem LTI dengan respon impuls h(t). Karena setiap sinyal kompleks eksponensial pada persamaan (3.67) adalah eigenfunction dari sistem, maka output dari sistem adalah
y(t) =
+∞
X
k=−∞
akH (jkω0) ejkω0t. (3.68) Maka output y(t) juga adalah periodik dengan frekuensi fundamental yang sama se-perti x(t). Lebih lagi, jika {ak} adalah kumpulan koefisien deret Fourier untuk input x(t), maka {akH (jkω0)} adalah kumpulan koefisien deret Fourier untuk output y(t). Jadi, impak dari sistem LTI waktu kontinu adalah melakukan modifikasi secara indivi-dual setiap dari koefisien Fourier dari input melalui multiplikasi dengan nilai dari respon frekuensi pada frekuensi yang bersesuaian.
Untuk kasus waktu diskrit, misalkan x[n] adalah sinyal periodik dengan representasi deret Fourier diberikan oleh
x[n] = X
k=hN i
akejk(2π/N )n. (3.69) Misalkan kita menggunakan sinyal ini sebagai input dari sistem LTI dengan respon impuls h[n]. Karena setiap sinyal kompleks eksponensial pada persamaan (3.69) adalah eigenfunction dari sistem, maka output dari sistem adalah
y[n] = X
k=hN i
akHejk(2π/N )ejk(2π/N )n. (3.70) Maka output y[n] juga adalah periodik dengan frekuensi fundamental yang sama se-perti x[n]. Lebih lagi, jika {ak} adalah kumpulan koefisien deret Fourier untuk input x[t], maka {akH ejk(2π/N )}adalah kumpulan koefisien deret Fourier untuk output y[t]. Jadi, impak dari sistem LTI waktu diskrit adalah melakukan modifikasi secara individu-al setiap dari koefisien Fourier dari input melindividu-alui multiplikasi dengan nilai dari respon frekuensi pada frekuensi yang bersesuaian.
3.5.2 Contoh Soal Sistem LTI
Misalkan sebuah sinyal
x(t) = +3 X k=−3 akejk2πt, dengan a0 = 1 a1= a−1 = 14 a2= a−2 = 1 2 a3= a−3 = 1 3
adalah input kepada sistem LTI dengan respon impuls h(t) = e−tu(t).
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
Untuk menghitung koefisien deret Fourier dari sinyal output y(t), maka kita harus menghitung respon frekuensi:
H(jω) = ˆ ∞ 0 e−τe−jωτdτ H(jω) = 1 1 + jω. (3.71)
dengan menggunakan persamaan (3.68) dan persamaan (3.71), dengan fakta ω0 = 2π, maka kita memperoleh
y(t) = +3 X k=−3 bkejk2πt, dengan bk= akH (jk2π), sehingga b0 = 1 b1= 1 4 1 1 + j2π , b−1 = 1 4 1 1 − j2π , b2= 1 2 1 1 + j4π , b−2 = 1 2 1 1 − j4π , b3= 1 3 1 1 + j6π , b−3 = 1 3 1 1 − j6π .
3.5.3 Filter Frekuensi Shaping
Sistem LTI yang dapat mengubah bentuk dari spektrum seringkali didefinisikan sebagai filter frekuensi shaping. Satu aplikasi dari filter frekuensi shaping adalah seing ditemukan pada sistem audio. Contohnya pada sistem ini, filter LTI memungkinkan pengguna untuk melakukan modifikasi dari jumlah relatif dari energi frekuensi rendah (bass) dan energi frekuensi tinggi (treble).
Kelas lain dari filter frekuensi shaping sering ditemui di mana output dari sistem adalah turunan dari input, yaitu y(t) = d x(t)/dt. Dengan x(t) dalam bentuk x(t) = ejωt, akan diperoleh y(t) = jωejωt, sehingga diperoleh respon frekuensi adalah
H(jω) = jω. (3.72)
Dari respon frekuensi filter diferensiator ini, maka sinyal kompleks eksponensial ejωt
akan mendapatkan penguatan lebih besar untuk nilai ω yang lebih besar. Filter ini digunakan untuk memperkuat variasi yang cepat atau transisi dari sinyal. Salah satu kegunaan dari filter diferensiator ini adalah sering digunakan untuk memperbaiki edge dalam pengolahan gambar.
3.5.4 Filter Selektif Frekuensi
Filter selektif frekuensi adalah sebuah kelas filter yang dibuat dengan tujuan secara aku-rat atau mendekati melewatkan beberapa band frekuensi dan meredam band lainnya. Penggunaan dari filter selektif frekuensi muncul pada beberapa situasi, contohnya jika derau pada sebuah rekaman audio berada pada band frekuensi yang lebih tinggi diban-dingkan dengan musik atau suara pada rekaman, maka derau dapat dihilangkan dengan filter selektif frekuensi.
3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik
Filter low pass adalah filter yang melewatkan frekuensi rendah dan melakukan pere-daman pada frekuensi yang lebih tinggi. Filter high pass adalah filter yang melewatkan frekuensi tinggi dan melakukan peredaman pada frekuensi rendah. Filter band pass adalah filter yang melewatkan sebuah band frekuensi dan melakukan peredaman pada frekuensi yang lebih tinggi dan lebih rendah dari band frekuensi tersebut. Frekuensi cut off adalah yang mendefinisikan batasan frekuensi yang dilewatkan (frekuensi pass band) dan frekuensi yang diredam (frekuensi stop band).
Filter selektif frekuensi ideal adalah filter yang secara akurat melewatkan sinyal kom-pleks eksponensial tanpa distorsi pada pass band dan meredam secara lengkap sinyal pada stop band. Filter ideal berguna untuk mendeskripsikan konfigurasi sistem ideal untuk berbagai aplikasi, namun filter ini tidak dapat direalisasikan sehingga kita hanya bisa melakukan aproksimasi (pendekatan) dari filter ideal ini.