BAB I PENDAHULUAN A Latar Belakang
B. Sejarah Bilangan Prima
Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Tulang Ishango yang ditemukan pada tahun 1960 (sekarang disimpan di Musee d‟Histoire Naturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Beberapa orang menduga bahwa manusia telah mengenal bilangan prima sekitar 8000 tahun yang lalu. Hal ini terkait dengan penemuan tulang Ishango di Afrika oleh para arkeolog, pada tulang tersebut terdapat tiga kolom takik, Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik. Pada satu kolom terdapat bilangan prima antara 10 sampai dengan 20. Beberapa ahli sejarah lainnya berpendapat bahwa takik pada tulang tersebut hanya sebuah catatan tanggal dan secara tidak sengaja berupa bilangan prima.
Tulang Ishango
Ada petunjuk dalam catatan bertahan Mesir kuno bahwa mereka punya pengetahuan tentang bilangan prima: di Mesir fraksi ekspansi di Rhind Papirus, misalnya, memiliki bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan komposit.
30
Namun, catatan awal yang masih bertahan studi eksplisit bilangan prima berasal dari Yunani Kuno.
Buku “Elements” karya Euclid diterbitkan sekitar 300 tahun sebelum masehi yang menjadi bukti beberapa hasil terkait bilangan prima. Pada bagian IX dari “Elements”, Euclid menulis kemungkinan terdapat begitu banyak bilangan prima, mendekati tak hingga. Euclid juga memberi bukti teori dasar dari Aritmatika, dimana setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil perkalian bilangan prima secara unik. Pada buku “Elements”, Euclid menyelesaikan masalah tentang bagaimana menciptakan angka sempurna, dimana bilangan bulat positif setara dengan jumlah dari pembagi positif, menggunakan bilangan prima Mersenne.
Pada abad XVII, penelitian terhadap bilangan prima dilanjutkan kembali setelah berabad-abad berhenti. Pada tahun 1640, Pierre de Fermat memulainya dengan membuat Teorema Kecil Fermat (Fermat‟s Little Theorem) yang nantinya akan dibuktikan oleh Leibniz dan Euler. Kasus khusus dari teorema ini mungkin telah diketahui oleh bangsa Cina sebelumnya, namun belum ada bukti yang pasti mengenai hal ini. Lama setelah itu, Euler menemukan “lubang”pada teorema ini. Sebagai pengganti, seorang Prancis, Marin Mersenne, membuat suatu bentuk baru dari bilangan prima yang akhirnya namanya diabadikan menjadi nama bilangan ini, yaitu bilangan prima Mersenne (Mersenne prime). Cara penentuan inipun belum sempurna karena terdapat beberapa prima semu diantaranya. Sampai abad XIX, banyak matematikawan masih beranggapan bahwa 1 adalah bilangan prima, dengan definisi bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi satu dan bilangan tersebut tanpa membatasi jumlah pembagi. Pada abad XIX, Legendre dan Gauss membuat sebuah konjektural untuk menghitung banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan suatu bilangan. Konjektural ini akhirnya dibuktikan pada tahun 1896 dan berganti nama menjadi Teorema Bilangan Prima (Prime Number Theorem). Sebelumnya, pada tahun 1859, Riemann mencoba
31
membuktikan konjektural tersebut menggunakan fungsi-zeta. Pencarian bilangan prima tidak berhenti sampai disitu, khususnya untuk bilangan-bilangan besar. Banyak matematikawan yang meneliti mengenai tes bilangan prima, contohnya: Pepin‟s test untuk bilangan Fermat (1877), Lucas-Lehmer test untuk bilangan Mersenne (1856), dan Lucas-Lehmer test yang digeneralisasikan. Pada abad XX, penggunaan bilangan prima di luar bidang matematika mulai dikembangkan. Pada era 1970-an, ketika konsep kriptografi kunci-publik ditemukan, bilangan prima menjadi salah satu dasar pembuatan kunci algoritma enkripsi seperti RSA.
Beberapa tokoh dalam penemuan bilangan prima :
Eratosthenes
Pada tahun 200 sebelum masehi, Eratosthenes membuat algoritma untuk menghitung bilangan prima, yang dikenal juga sebagai Saringan Eratosthenes. Algoritma merupakansalah satu algoritma yang pertama kali ditulis. Eratosthenes meletakkan angka pada kotak dan mencoret berbagai angka yang tergolong kelipatan dan akar kuadrat sehingga angka tersisa merupakan bilangan prima.
32 Marin Mersene
Biarawan Perancis Marin Mersenne memandang bentuk bilangan prima dari 2 p - 1, dengan p prima. Kemudian bilangan tersebut disebut sebagai bilangan prima Mersenne untuk menghormatinya. Empat bilangan prima Mersenne pertama adalah = 3, = 7, = 31 dan = 127 yang dikenal di zaman kuno. Kelima, = 8191, ditemukan anonymously sebelum tahun 1461.
Pierre de Fermat
Pada tahun 1640 Pierre de Fermat menyatakan (tanpa bukti), Teorema Kecil Fermat (kemudian dibuktikan oleh Leibniz dan Euler). Suatu kasus khusus teorema Fermat mungkin telah dikenal jauh lebih awal oleh Cina. Fermat menduga bahwa semua bilangan dalam bentuk 2 n + 1 adalah prima (mereka disebut Angka Fermat) dan dia memverifikasikan ini ke n = 4 (atau 2 16 + 1). Namun, jumlah Fermat berikutnya 2 32 + 1 adalah komposit (salah satu faktor utama adalah 641), sebagai Euler ditemukan kemudian, dan bahkan tidak ada lagi nomor Fermat dikenal sebagai prima.
Euler bekerja di teori bilangan termasuk banyak hasil mengenai bilangan prima. Dia menunjukkan deret tak hingga 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 11 + ... adalah divergen. Tahun 1747 ia menunjukkan bahwa bahkan angka sempurna yang tepat dalam bentuk bilangan bulat 2 p -1 (2 p - 1), di mana faktor kedua adalah Mersenne Prima.
33 Euler
Euler juga menyebutkan bilangan prima itu berbentuk : n2 - n + 41 ntuk n = 1, 2, 3, ..., 40
n2 + n + 17 untuk n = 0, 1, 2, ..., 15
Gauss
Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss secara independen menduga bahwa sebagai x cenderung, jumlah bilangan prima sampai dengan x adalah asimtot ke x / ln (x), dimana ln (x) adalah logaritma natural dari x. Ide Riemann dalam kertas pada 1859-fungsi zeta membuat sketsa sebuah program yang akan
34
mengarah pada bukti dari teorema bilangan prima.
Legendre
Legendre juga menyebutkan bilangan prima yang berbentuk : • n2 + n + 41 untuk n = 1, 2, 3, ..., 39
• n2 + 29 untuk n = 0, 1, 2, ..., 28
Beberapa matematikawan lain juga menyebutkan beberapa formula untuk mencari bilangan prima. Seperti Escott, yaitu bilangan prima yang berbentuk :
• n2 - 79n + 6101 untuk n = 0, 1, 2, ..., 79 • n3 + n2 + 71 untuk n = -14, -13, -11, ..., 9, 10 • n2 + n + 41 untuk n = -40, -39, -38, ..., -1 Miot, yaitu bilangan prima yang berbentuk :
• n2 – 2999 + 2248541 ntuk n bilangan bulat dan 1460 > n >1539. • n3 + n2 - 17 untuk n = 0, 1, 2, 3, ..., 24
Charbert , yaitu bilangan prima yang berbentuk : 3n2 + 3n – 1 untuk n = 1, 2, 3, ..., 11
Berikut ini tabel penemu bilangan prima jika dilihat dari era sebelum dan sesudah adanya computer.
Daftar penemu bilangan prima sebelum era komputer
Tahun Penemu Jumlah Digit
1588 Cataldi 6
1772 Euler 10
1883 Pervushin 19
1911 Powers 27
35
Daftar penemu bilangan prima sesudah era komputer
Tahun Penemu n Jumlah Digit dalam
Mn 1952 Robinson 521 157 1952 Robinson 607 183 1952 Robinson 1279 386 1952 Robinson 2203 664 1952 Robinson 2281 687 1961 Hurwitz 4253 1281 1961 Hurwitz 4423 1332 1963 Gillies 9689 2917 1963 Gillies 9941 2993 1963 Gillies 11213 3376 1971 Tuckerman 19937 6002
1978 Noll & Nickel 21701 6533
1979 Noll 23209 6987
1979 Nelson &Slowinski 44497 13395
1982 Slowinski 132049 39751
1988 Colquitt & Welsh 110503 33265
1983 Slowinski 86243 25962
1985 Slowinski 216091 65050
1992 Slowinski & Gage 756839 227832
1994 Slowinski & Gage 859433 258716
1996 Slowinski & Gage 1257787 378632
1996 Armengaud, Woltman, et al 1398269 420921
1997 Spence, Woltman, et al 2976221 895932
1998 Clarkson, Woltman, Kurowski, et 6972593 2098960
Dari berbagai jenis bilangan, bilangan prima hingga saat ini tetap menjadi misteri dan bahkan dimasukkan kedalam kelompok misteri matematika terbesar abad ini. Sebuah proyek “the Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)” yang telah dilaksanakan 9 tahun yang lalu dengan menggunakan bantuan lebih dari 211 komputer berusaha untuk mencari bilangan-bilangan prima secara online. Proyek ini melibatkan puluhan ribu orang yang tertarik dengan bilangan prima. Masing-masing komputer dimanfaatkan kemampuan kalkulasinya (sebagai program background) saat tidak dipakai mengerjakan tugas berat. Mereka dikirimi paket-paket untuk dihitung, dan hasilnya dikirimkan kembali secara online.
36
Dengan komputer sebanyak itu, mereka bisa membuat “super komputer” yang mampu melakukan perhitungan 9.000.000.000.000 tiap detik.
Di bulan Desember 2005, Steven Boone dan Curtis Cooper dari Central Missouri State University kembali berhasil menemukan bilangan prima terbesar yang diketahui hingga saat ini dengan menggunakan 700 komputer. Bilangan yang ditemukan ini adalah 315416475...652943871 yang panjang seluruhnya 9.152.052 digit angka.
Electronic Frontier Foundation (EFF) sebuah lembaga yang berkutat dibidang elektronik di Amerika telah membuat kompetisi untuk menemukan bilangan prima Mersenne yang diberi nama Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). EFF menawarkan hadiahUS$100,000 untuk penemu pertama bilangan prima dengan jumlah digit minimum 10 juta buah. Mereka juga menawarkan hadiah US$150,000 untuk 100 juta buah jumlah digit bilangan prima, dan US$250,000 untuk 1 milyar buah jumlah digit bilangan prima. Pada bulan September 2008, matematikawan di UCLA berpartisipasi dalam GIMPS memenangkan bagian dari $ 100.000 hadiah dari Electronic Frontier Foundation untuk penemuan mereka sangat hampir 13 juta digit Mersenne prima. Pada tahun 2013, EFF memberikan hadiah US$3,000 untuk bilangan prima yang punya jumlah digit 17.425.17. Bilangan prima terbesar tersebut adalah 2 pangkat 57.885.161 minus satu (257.885.161.- 1). Bilangan prima terbesar ini ditemukan oleh matematikawan University of Central Missouri, Curtis Cooper sebagai bagian dari jaringan komputer raksasa yang digunakan untuk menghitung bilangan prima.. Bilangan prima kali ini juga adalah angka ke-
48 yang masuk kelas bilangan prima Mersenne.
