• Tidak ada hasil yang ditemukan

SEJARAH MATEMATIKA DAN MATEMATIKAWAN DUNIA

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "SEJARAH MATEMATIKA DAN MATEMATIKAWAN DUNIA"

Copied!
175
0
0

Teks penuh

(1)

SEJARAH MATEMATIKA DAN

MATEMATIKAWAN DUNIA

PRODI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

FKIP UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2017

DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH SEJARAH MATEMATIKA

DOSEN PENGAMPUH :

(2)
(3)

i

DAFTAR ISI

JUDUL MAKALAH HALAMAN

1. SEJARAH FUNGSI

06022681721001, YENI WIDIASTUTI ... 1 – 11

2. SEJARAH PERSAMAAN KUADRAT

06022681721002, NURMA LESTARI ... 12 – 22

3. SEJARAH ILMU ARITMATIKA

06022681721003, BAIDIL ... 23 – 28

4. SEJARAH BILANGAN PRIMA DAN APLIKASINYA

06022681721004, LIA SULISTIANI ... 29 – 41

5. SEJARAH FUNGSI

06022681721001, YENI WIDIASTUTI ... 1 – 11

6. SEJARAH INTEGRAL

06022681721006, ANGGI ARINI ... 1 – 11

7. SEJARAH MATERI PELUANG DAN STATISTIKA

06022681721007, RISNAWATI PUTRI ... 1 – 11

8. SEJARAH FUNGSI

06022681721008, JEKI GUSDINATA ... 1 – 11

9. SEJARAH DIAGRAM VENN

06022681721009, NURDINI ELMUNAWARAH ... 1 – 11

10.MENGENAL SEJARAH TOKOH MATEMATIKAWAN DAN

PENEMUANNYA SERTA KAITANNYA PADA PEMBELAJARAN DI SEKOLAH

06022681721010, FEBRINNA MONA SAPUTRI ... 1 – 11

11.SEJARAH FUNGSI

06022681721001, YENI WIDIASTUTI ... 1 – 11

12.SEJARAH SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

(4)

ii 13.SEJARAH FUNGSI

06022681721001, YENI WIDIASTUTI ... 1-11 14.SEJARAH PECAHAN

06022681721015, AMELIA UTARI ... 1-11 15.SEJARAH FUNGSI

06022681721001, YENI WIDIASTUTI ... 1-11 16.SEJARAH HIMPUNAN

06022681721016, YASTRI NOPALIA ... 1-11 17.SEJARAH BILANGAN DESIMAL

06022681721017, SUCI HARDIANTI ... 1-11 18.TOKOH DAN KONSEP PEMBAGIAN

06022681721018, FAHMA SARI ... 1-11 19.SEJARAH RUMUS ATURAN SINUS DAN COSINUS

06022681721019, GOLD DAYONA ... 1-11 20.SEJARAH PERKEMBANGAN VEKTOR

06022681721020, OSI MITARI ... 1-11 21.SEJARAH SEGITIGA PASCAL

(5)
(6)

1

SEJARAH FUNGSI

Yeni Widiastuti (06022681721001) Email : yeniwidiastuti393@gmail.com

A. PENDAHULUAN

Beberapa bidang matematika berhubungan secara langsung atau tidak langsung dengan fungsi: analisis matematis mempertimbangkan fungsi dari satu, dua, atau n variabel, mempelajari sifat-sifatnya dan juga sifat turunannya; teori persamaan diferensial dan integral bertujuan untuk memecahkan persamaan dimana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi; analisis fungsional bekerja dengan ruang yang terdiri dari fungsi; dan analisis numerik mempelajari proses pengendalian kesalahan dalam evaluasi semua jenis fungsi yang berbeda. Bidang matematika lainnya berhubungan dengan konsep yang membentuk generalisasi atau perkembangan dari gagasan fungsi; Sebagai contoh, aljabar mempertimbangkan operasi dan relasi, dan logika matematika mempelajari fungsi rekursif.

Telah lama diperdebatkan bahwa fungsi harus merupakan konsep mendasar dalam matematika sekolah menengah (Klein, 1908/1945) dan orientasi kurikulum terbaru dengan jelas menekankan pentingnya fungsi (National Council of Teachers Mathematics, 1989). Bergantung pada sudut pandang matematis yang dominan, pengertian fungsi dapat dilihat dalam sejumlah cara yang berbeda, masing-masing memiliki implikasi pendidikan yang berbeda.

Makalah ini mengulas beberapa aspek yang lebih menonjol dari sejarah konsep fungsi, dan membahas penggunaannya dalam kegiatan pembelajaran di sekolah.

B. TINJAUAN SEJARAH

(7)

2

geometri Euclidean, teori dominan dari zaman Yunani Kuno sampai Zaman Modern, pengertian fungsi dan turunan merupakan dasar analisis matematis, teori yang telah menjadi pusat dalam pengembangan matematika sejak saat itu.

Konsep fungsi telah berkembang secara signifikan dari waktu ke waktu. Sampai Abad Pertengahan, konsep fungsi tidak muncul dengan definisi, meskipun pengertian tentang hubungan fungsional ada. Contoh fungsi tertentu dapat ditemukan pada zaman purba; misalnya menghitung, menyiratkan korespondensi antara seperangkat benda yang diberikan dan barisan perhitungan bilangan; empat operasi aritmatika dasar, yang merupakan fungsi dua variabel; dan tabel Babilonia yaitu reciprocal, kuadrat, akar kuadrat, kubik, dan akar kubik. (Ponte, 1992).

Secara historis, beberapa matematikawan dapat dianggap telah meramalkan dan mendekati perumusan modern tentang konsep fungsi. Diantaranya adalah Oresme (1323-1382), yang mengembangkan teori geometrik garis lintang bentuk yang mewakili tingkat intensitas dan ekstensi yang berbeda. Dalam teorinya, beberapa gagasan umum tentang jumlah variabel independen dan dependen tampaknya hadir. Namun kemunculan fungsi dalam penelitian matematika sebagai konsep individual yang jelas dan sebagai objek studi dengan sendirinya sangat baru sampai akhir abad ke-17.

(8)

3

Munculnya gagasan fungsi sebagai entitas matematika individual dapat ditelusuri pada permulaan kalkulus yang sangat kecil. Descartes (1596-1650) dengan jelas menyatakan bahwa sebuah persamaan dalam dua variabel, yang digambarkan secara geometris oleh sebuah kurva, mengindikasikan ketergantungan antara jumlah variabel. Gagasan turunan muncul sebagai cara untuk menemukan garis singgung pada setiap titik kurva ini.

Newton (1642-1727) adalah salah satu matematikawan pertama yang menunjukkan bagaimana fungsi dapat dikembangkan dalam rangkaian daya tak terbatas, sehingga memungkinkan terjadinya intervensi proses tak terbatas. Dia menggunakan "fluent" untuk menunjuk variabel independen, "relata quantitas" untuk menunjukkan variabel dependen, dan "genita" untuk merujuk pada jumlah yang diperoleh dari yang lain menggunakan empat operasi aritmatika fundamental.

Leibniz (1646-1716) yang pertama kali menggunakan istilah "fungsi" pada tahun 1673. Dia mengambil fungsi untuk menunjuk, dalam istilah yang sangat umum, ketergantungan jumlah geometris seperti subtansi dan subnormal pada bentuk kurva. Dia juga memperkenalkan istilah "konstan," "variabel," dan "parameter".

Dengan berkembangnya studi kurva dengan metode aljabar, sebuah istilah untuk mewakili kuantitas yang bergantung pada satu variabel dengan menggunakan ekspresi analitis semakin diperlukan. Akhirnya, "fungsi" diadopsi untuk tujuan itu dalam korespondensi oleh Leibniz dan Jean Bernoulli (1667-1748).

(9)

4

tertentu. dari variabel dan konstanta tersebut. Euler (1707-1793), mantan mahasiswa Bernoulli merupakan matematikawan yang mengenalkan notasi fungsi

, menambahkan sentuhannya pada definisi tersebut yang berbicara tentang ekspresi analitis dan bukan kuantitas.

Oleh karena itu, konsep fungsi diidentifikasi dalam praktik dengan konsep analitis ekspresi. Perumusan ini segera dianggap menimbulkan beberapa ketidakcocokan; Sebenarnya, fungsi yang sama bisa ditunjukkan oleh beberapa ekspresi analitis yang berbeda. Perumusannya juga menghasilkan keterbatasan pada kelas fungsi. Dalam terminologi ini, kita dapat mengatakan bahwa definisi Euler hanya mencakup fungsi analitik, subset terbatas dari kelas fungsi kontinyu yang sudah kecil. Sadar akan kekurangan ini, Euler mengusulkan sebuah definisi alternatif yang saat ini tidak banyak menarik perhatian. Pada abad ke-19, bagaimanapun, pengertian fungsi mengalami pembesaran dan klarifikasi secara berturut-turut yang sangat mengubah sifat dan maknanya.

Dorongan yang signifikan terhadap pembesaran konsep fungsi muncul lebih dulu dari kontroversi yang terkenal mengenai masalah senar yang bergetar. Masalah ini bisa diwakili oleh persamaan

(10)

5

“ A function of a variable quantity is an analytic expression composed in any way whatsoever of the variable quantity and numbers or constant quantities.”

Kontribusi penting lainnya terhadap evolusi fungsi berasal dari karya Fourier (1768-1830), yang peduli dengan masalah aliran panas di badan material. Fourier dianggap sebagai suhu sebagai fungsi dari dua variabel, yaitu waktu dan ruang. Pada titik tertentu, dia menduga bahwa akan memungkinkan untuk mendapatkan pengembangan fungsi apapun dalam rangkaian trigonometri dalam interval yang sesuai. Fourier, bagaimanapun, tidak pernah memberikan bukti matematis dari asersinya. Masalahnya kemudian diambil oleh Dirichlet (1805-1859) yang merumuskan kondisi yang cukup sehingga sebuah fungsi dapat diwakili oleh deret Fourier. Untuk melakukannya, Dirichlet perlu memisahkan konsep fungsi dari representasi analitisnya. Dia melakukan ini pada tahun 1837, memberikan definisi fungsi dalam hal korespondensi sewenang-wenang antara variabel yang mewakili rangkaian numerik. Sebuah fungsi, kemudian, menjadi korespondensi antara dua variabel sehingga untuk setiap nilai dari variabel independen, ada hubungan satu dan hanya satu nilai dari variabel dependen.

Dengan berkembangnya teori himpunan, diprakarsai oleh Cantor (1845-1918), konsep fungsi terus berkembang. Pada abad ke-20, fungsi diperluas untuk mencakup semua korespondensi sewenang-wenang yang memenuhi kondisi keunikan antara perangkat, numerik atau nonnumerik.

(11)

6

Pada permulaannya, pengertian fungsi digunakan untuk menunjuk korespondensi antara entitas geometris. Melalui hubungannya dengan studi ekspresi analitis, fungsi merupakan dasar dalam arus utama pemikiran matematis.

C. PEMBELAJARAN FUNGSI DI SEKOLAH

Pentingnya fungsi dalam matematika sekolah telah berkembang pesat dalam beberapa abad yang lalu. Fungsi telah berkembang dari yang sedikit terwakili dalam matematika sekolah menjadi topik matematika inti. C.B. Boyer (1946) mengakui "Perkembangan konsep fungsi telah merevolusi matematika dengan cara yang sama seperti peningkatan geometri non-Euclidean yang hampir simultan. Ini telah mengubah matematika dari sains alami murni - ratu sains - menjadi sesuatu yang sangat besar. Hal tersebut telah menetapkan matematika sebagai dasar dari semua pemikiran yang pasti – logika dari semua kemungkinan relasi "(Markovits, Eylor, & Bruckheimer, 1986, hal 18).

Felix Klein, seorang matematikawan Jerman, adalah seorang advokat untuk konsep fungsi yang termasuk dalam matematika sekolah. Klein menekankan pandangan bahwa "'pemikiran fungsional' harus dijadikan prinsip pengikatan atau pemersatu matematika sekolah" (Hamley, 1934a, hal.169).

Pidato dan dokumen historis, seperti Klein pada Evanston Colloquium tahun 1893, pidato kepresidenan Moore tahun 1902 kepada American Mathematical Society, The Reorganization of Mathematics in Secondary Education Report (1923), dan The Report of Progressive Education and Joint Committee (1940), menganjurkan bahwa fungsi dan "relational thinking" menjadi konsep inti dalam matematika sekolah.

(12)

7

yang lalu terbukti dalam standar kurikulum saat ini. Standar untuk matematika mengharuskan siswa untuk dapat mendefinisikan fungsi, menggambarkan fungsi, mengidentifikasi fungsi, menganalisis fungsi, dan mengenali pola fungsi (NCTM, 2000; Common Core State Standards 2010). Yang paling menonjol, The Common Core State Standards (2010) menggunakan fungsi sebagai satu dari lima kategori konseptual dalam matematika sekolah menengah.

Kebanyakan siswa di sekolah menengah banyak kesulitan dalam berpikir abstrak. Bagi banyak orang, berurusan dengan grafik Cartesian dan ekspresi aljabar bukanlah tugas yang mudah. Ajaran fungsi perlu mengartikulasikan secara seimbang tiga bentuk representasi terpenting, yaitu bentuk numerik, grafis, dan aljabar.

Hal ini akan menjadi kesalahan tafsir yang serius tentang pentingnya representasi analitik dan geometris dari fungsi sehingga memungkinkan untuk mengecilkan peran aspek numerik pada pembelajaran tentang fungsi, terutama tabel dan perhitungan. Dalam situasi dunia nyata, nilai numerik konkret mendasari ungkapan aljabar dan kurva geometris. Matematikawan dari abad 17 dan 18 menghabiskan banyak waktu untuk melakukan operasi aritmatika, mencari pola dan hubungan. Newton, misalnya, mengisi banyak halaman dengan perhitungan aritmatika panjang. Penelitian telah menemukan bahwa dalam interpretasi hubungan fungsional yang diberikan melalui grafik Cartesian, siswa sering menggunakan strategi penalaran numerik, yang dengannya mereka lebih percaya diri (Ponte, 1984).

(13)

8

tidak dapat diterima, adalah aspek penting dari kompetensi matematis yang hanya dapat dicapai jika seseorang dapat saat ini dan dengan mudah menangani angka konkret, jika mungkin, datang dari situasi kehidupan nyata.

Interpretasi ciri - ciri signifikan fungsi dari grafik Cartesian tentu layak mendapat tempat yang pasti dalam kurikulum matematika. Gagasan yang terkait dengan variasi, seperti kenaikan, penurunan, keteguhan, maksimum, dan minimum, dan dengan variasi variasi, seperti variasi cepat dan lambat, tingkat perubahan, kelancaran, kontinuitas, dan diskontinuitas, lebih baik dipahami dari representasi grafis. Mampu menyeimbangkan matematis berarti dapat menggunakan konsep ini untuk membuat prediksi, interpolasi, dan ekstrapolasi; untuk dapat membangun hubungan antara fungsi yang berbeda dengan grafik; dan juga, untuk dapat membangun kurva regresi yang mendekati hubungan untuk data yang diperoleh secara empiris dan memiliki gagasan tentang tingkat hubungan antara dua variabel.

Tentu, mengerjakan dengan ekspresi analitis terus menjadi penting. Tapi, yang lebih mendasar daripada kemampuan siswa untuk memanipulasi ekspresi panjang dan rumit dengan benar, adalah bahwa siswa memahami makna ungkapan ini dalam situasi nyata. Rumus dari geometri, fisika, dan dari ilmu lain dapat diambil sebagai contoh dan dieksplorasi dari sudut pandang yang beragam.

(14)

9

sulit dan menyarankan beberapa tautan di antara domain beragam seperti geometri, aljabar, statistik, dan situasi nyata dan model matematika mereka yang sesuai.

Tentunya mungkin untuk mendefinisikan fungsi dalam bentuk yang sangat umum, misalnya, rangkaian pasangan terurut, yang menekankan perspektif aljabar dalam matematika dasar. Ini bukan merupakan dasar yang sesuai untuk menghasilkan teori matematika dasar yang mudah diakses, kaya akan hasil menarik dan aplikasi yang signifikan.

Sebaliknya, fungsi numerik memiliki sifat dasar yang sangat menarik, memiliki representasi geometris yang sederhana dan intuitif, dan berguna untuk menggambarkan berbagai jenis situasi. Hal ini memungkinkan siswa untuk beroperasi dari landasan pengetahuan terdahulu dan dalam banyak representasi situasi yang dengannya mereka sudah terbiasa.

Fungsi numerik, memanfaatkan pengerjaan sebelumnya yang dilakukan dengan aritmatika dan aljabar dasar, memberikan perspektif baru untuk melihat gagasan yang sebelumnya dihadapi dan membangun jembatan menuju geometri melalui representasi Cartesian. Oleh karena itu, fungsi numerik adalah cara yang sangat tepat untuk memperkenalkan gagasan fungsi penting dan lebih umum.

D. KESIMPULAN

Fungsi-fungsi yang dipelajari dalam analisis matematis dan digunakan dalam aplikasi dipertahankan sebagai pusat gagasan ketergantungan antar variabel numerik. Mereka yang dianggap aljabar menekankan pengertian hubungan dan yang dipelajari dalam logika matematika dan ilmu komputer sebagian besar menghargai aspek algoritmik.

(15)

10

ada ekspresi analitis atau aturan sederhana, harus ditekankan secara jelas dalam matematika sekolah. Identifikasi fungsi dengan ekspresi analitis, yang kemungkinan besar akan dilakukan oleh beberapa siswa, tidak perlu dilihat sebagai "kesalahan besar". Hal ini, seperti yang sejarah katakan kepada kita, sebuah hal alami yang tidak menimbulkan kesulitan tertentu pada tingkat dasar. Beberapa siswa yang membutuhkan konsep yang lebih rumit, tentunya akan memiliki kesempatan lebih jauh untuk kembali pada konsep fungsi dan memperbesar dan menyempurnakannya.

(16)

11

DAFTAR PUSTAKA

Caraça, B. J. (1951). Conceitos Fundamentais da Matemática (1st joint ed. of parts I, II and III). Lisbon: Sá da Costa.

Klein, F. (1945). Elementary mathematics from an advanced standpoint. (E. R. Hedrick & C. A. Noble, Trans.). New York: Dover.

National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author.

Niss, M. (1987). Aims and scope of applications and modelling in mathematics curricula. Plenary Conference at the Third International Congress for Teaching Mathematics with Applications. Kassel, RFA.

Ponte, J. P. (1984). Functional reasoning and the interpretation of Cartesian graphs. Unpublished doctoral dissertation, University of Georgia, Athens.

Ponte, J. P. (1992). The history of the concept of function and some educational implications. The Mathematics, 3(2), 3 – 8.

Sears, R., & Tran, D., & Lee, S. W., & Thomas, A. (2016). Function concept: learning from history. Transformation, 1(1), 14 – 23.

(17)

12

SEJARAH PERSAMAAN KUADRAT Nurma Lestari (06022681721002) Email : lestarinurma787@gmail.com

A. Latar Belakang Sejarah

1. Persamaan Kuadrat pada jaman kekaisaran Babilonia

Kekaisaran Babilonia ada sekitar 2000-500 SM dan yang berada disekitar pantai Palestina jauh ke Asia Barat. Namun, selama periode Babilonia yang akan dibahas, itu terkandung di selatan Mesopotamia, daerah yang relatif kecil di sekitar mulut sungai Eufrat dan Tigris. Dari negara-negara modern di daerah itu, Mesopotamia selatan memiliki tanah yang paling sama dengan Irak. Lembaran tanah liat yang dikenal sebagai BM 13.901 ( 'BM' adalah singkatan dari British Museum) adalah salah satu teks matematika tertua Babilonian, yang telah tertanggal sekitar 2000-1800 SM, pada tengah Zaman Perunggu dari wilayah itu (kira-kira 2000-1600 SM) .

Pada jaman itu, orang-orang Babilonia telah mendapatkan solusi dari persamaan kuadrat, diterjemahkan ke notasi modern, cukup menyerupai rumus kuadrat modern yang terkenal. Namun, ini 'menerjemahkan ke notasi modern' tidak boleh diambil terlalu ringan: tidak hanya merupakan lembaran yang ditulis dalam teks cuneiform, sistem nomor yang digunakan adalah sexagesimal (basis 60) dan karena bangsa Babilonia belum mengenal rumus, maka solusinya ditulis dengan kata-kata. Hal itu agak sulit dimengerti, makanya rumus penyelesaian yang kita pakai sekarang bukan dari solusi yang dipakai oleh bangsa Babilonia. 2. Persamaan Kuadrat pada jaman kekaisaran Arab

(18)

13

pengetahuan asing ke kekaisaran: ilmuwan Arab tampaknya tidak hanya melihat pekerjaan ilmuwan Babilonia, tetapi juga ilmuwan Yunani dan India.

Pada suatu periode, Baghdad yang dikatakan sebagai modal intelektual kekaisaran, karena disana terdapat House of Wisdom. House of Wisdom memiliki perpustakaan besar dan banyak teks Yunani yang diterjemahkan ke Bahasa Arab ada, saat itu sedang di bawah pimpinan Khalifah Al-Ma'mun (yang memerintah 813-833), House of Wisdom juga menjadi pusat untuk pekerjaan matematika dan astronomi.

Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi adalah salah satu dari orang-orang yang datang ke House of Wisdom. Al-Khawarizmi diperkirakan lahir di wilayah Khwarezm, yang saat ini dikenal dengan Uzbekistan. Namun, yang tampaknya hanya menjadi conjecturing berdasarkan namanya, tidak ada banyak diketahui tentang hidupnya.

Al-Khwarizmi melakukan banyak pekerjaan di astronomi dan aljabar, tapi ia menjadi terkenal karena bukunya berjudul “The Compendious Book on Calculation by Completion and Reduction”. Buku ini berisi tentang persamaan kuadrat, yang diterbitkan sekitar 825. Dalam buku ini, Al-Khwarizmi membagi persamaan kuadrat dalam enam jenis: Karena ia hanya bisa menghitung dengan angka non-negatif (positif), persamaan bentuk x2 + Ax = b dan x2 + B = ax akan menjadi dua jenis yang berbeda. Dia kemudian melanjutkan untuk memecahkan setiap jenis persamaan secara sistematis.

(19)

14 B. Matematika Babilonia

Perhatikan gambar lembaran tanah liat dibawah

Lembaran tanah liat ini sekarang berada di British Museum. Lembaran itu berisi contoh bagaimana untuk memecahkan persamaan kuadrat. Lembaran tanah liat tersebut telah diterjemahkan ke banyak bahasa.

Adapun solusi dari persamaan kuadrat yang ada pada jaman Babilonia yaitu :

x2 + bx = z , maka solusinya yaitu x = √( )

Pada jaman Babilonia, mereka belum mengenal bilangan negatif, maka solusi yang didapat dari persamaan kuadrat hanya solusi bilangan positif.

Jika dilihat dari rumus solusi bangsa Babilonia dan dibandingkan dengan rumus modern yang kita ketahui sekarang, jelas solusi bangsa Babilonia ini lebih mudah.

(20)

15

Bangsa Babilonia yang mampu memecahkan kasus tertentu dari permasalahan kuadrat. Al-Khwarizmi, bagaimanapun, memberikan solusi umum untuk masalah ini. Ini adalah sebuah langkah besar untuk kedepannya. Matematikawan Babilonia yang baik harus hati-hati dalam mempertimbangkan setiap masalah kuadrat baru ( 'baru' yang berarti 'memiliki nomor yang berbeda'). Sementara itu, Al-Khwarizmi hanya bisa menerapkan metode nya. Hal ini dapat menjamin temuannya karena kurang rentan terhadap kesalahan, lebih mudah dan lebih cepat.

Al-Khwarizmi membagi masalah kuadrat menjadi enam jenis. Kita akan mempelajari salah satu dari mereka, yaitu : x2 + bx = z. Ini adalah jenis yang sama dari formula yang kita dianggap sebelumnya, tapi kali ini, kita akan menggunakan metode Al-Khwarizmi untuk menyelesaikannya. Sebagai contoh, sekarang kita akan memecahkan x2 + 10x = 39, dan ini akan menggambarkan metode yang dapat digunakan pada setiap jenis masalah x2 + bx = z. Kita mulai dengan menggambar-gambar untuk membantu memvisualisasikan sisi kiri dari persamaan.

(21)

16

Daerah yang ditarik di atas harus sama dengan 39. Selanjutnya, kita memecahkan x2 + 10x = 39. Namun, kita melihat bahwa kita dapat menyelesaikan persegi besar dengan menambahkan persegi kecil di kanan bawah. Luas persegi kecil ini adalah 5* 5 = 25.

(22)

17 D. Penggunaan Rumus Persamaan Kuadrat

Sebuah persegi panjang memiliki rasio tertentu antara panjang dan lebar. Lalu, ada sebuah pertanyaan, “Apakah ada ada sebuah persegi yang sempurna?”. Orang Yunani percaya bahwa ini adalah Golden Rectangle, dibangun oleh Golden Ratio. Banyak dari unsur-unsur persegi panjang dari Parthenon, misalnya, Golden Rectangle perkiraan. Saat ini kita masih sering menggunakan rasio ini, misalnya sebagai dimensi untuk foto dan ukuran Handphone (HP).

Untuk membangun Golden Rectangle, persegi panjang harus memiliki sisi panjang sama dengan satu dan sisi pendek sama dengan x. Kemudian hapus persegi x dengan x dari persegi panjang. Orang Yunani percaya bahwa untuk menemukan Golden Rectangle, perlu bahwa persegi panjang besar dan kecil memiliki proporsi yang sama. Jadi kita perlu =

(23)

18

muda). Kelinci yang abadi, sehingga populasi terus tumbuh. Populasi pasangan kelinci dewasa adalah (pada tahun 0, 1, dll): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... . banyaknya jumlah pasangan kelinci dewasa tersebut disebut dengan deret Fibonacci. Selanjutnya, selain populasi pasangan kelinci dewasa, ada lagi contoh dari deret Fibonacci yaitu daun bunga desi.

Sebagai ikhtisar : kita dapat menemukan Golden Ratio (yang sering digunakan 'bentuk yang sempurna' untuk persegi panjang) dengan rumus kuadrat. The Golden Ratio muncul di tempat-tempat yang mengejutkan, misalnya ketika mempelajari populasi kelinci abadi dan menggunakan angka-angka pada daun bunga desi.

Ilmu Balistik

Contoh lain dari penerapan rumus kuadrat dapat ditemukan di balistik. Galileo adalah orang dalam menunjukkan bahwa bumi berputar mengelilingi matahari bukan sebaliknya. Ia juga mengilustrasikan untuk model lemparan bola (atau penembakan bola meriam). Galileo membedah gerakan menjadi horisontal komponen x konstan (mengabaikan hambatan udara) dan vertikal komponen y, pemodelan gravitasi dengan konstan percepatan g. Kami mengatakan bahwa bola mulai bergerak di x = y = 0 dan awalnya memiliki kecepatan u di horisontal arah dan kecepatan v dalam arah vertikal (ke atas). Maka posisi bola dapat ditulis sebagai x = ut, y = vt gt2.

Persamaan Kuadrat dan Rem Mobil

(24)

19

ketika posisi sudah tercapai. Kami tertarik dalam pertanyaan: jika kita menginjak rem di mobil, seberapa jauh mobil akan bergerak sebelum berhenti? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita dapat menerapkan rumus dari Newton, yaitu v = u +at , di mana v adalah kecepatan. Ketika mobil berhenti bergerak, kecepatan kami adalah nol, jadi kita pasang di v = 0 yang menghasilkan 0 = u +at.

Secara intuitif, kita mungkin berpikir bahwa dua kali lipat kecepatan kita akan menggandakan jarak berhenti. Rumus ini telah menemukan dan memberitahu bahwa menghentikan jarak kita akan benar-benar empat kali lipat. Dengan cara ini, rumus kuadrat memberi kita informasi penting tentang cara mengemudi dengan aman.

E. Solusi dari Persamaan Kuadrat yang Kita Gunakan sekarang (Rumus

Modern)

Ada tiga cara dalam mencari akar-akar atau solusi dari persamaan kuadrat, yaitu: 1. Pemfaktoran

Cara ini adalah cara yang sudah dipelajari sebelumnya, atau prasyarat dari persamaan kuadrat yaitu memfaktorkan bentuk aljabar. Kalau pada materi sekolah yaitu untuk jenjang kelas 8 SMP, dan persamaan kuadrat untuk jenjang kelas 9 SMP.

2. Kuadrat Sempurna

(25)

20 F. Kesimpulan

(26)

21

DAFTAR PUSTAKA

Bill T. Arnold. (2004). Who were the Babylonians? Society of Biblical Literature, Leiden.

B.L. van der Waerden, (1961). Translation by Arnold Dresden Science Awakening Oxford University Press, New York,

Chris Budd., & Chris Sangwin 101 uses of a quadratic equation. Diakses dari http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index.html

Chris Budd., & Chris Sangwin 101 uses of a quadratic equation: Part II. Diakses dari http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index.html

Ian, S. (1998). Het magisch labyrinth: de wereld bezien door wiskundige ogen Nieuwezijds, Amsterdam.

John F., & Jan, V. N. (2000). History in mathematics education: the ICMI study Kluwer, Dordrecht.

L. van Gelder. Reader for the course „Ori entatie op de Communicatieve en Educatieve Praktijk‟ Utrecht University, Utrecht.

Leo, V. D. B. (2003). De Wageningse Methode Tamminga bv, Duiven.

Maurice, C. (1994). Essai sur le savoir mathmatique dans la Msopotamie et l‟gypte anciennes Presses Universitaires de Lille, Lille.

Shipper, A., & Spoelstra, S. (2010). Illustrating the Quadratic Formula with Al-Khwarizmi‟s Algebra. Universiteit Utrecht. Diakses dari

(27)

22

SEJARAH ILMU ARITMATIKA Baidil, S.Pd (06022681721003) Email : baidil1988@gmail.com

A. Pendahuluan

Sejarah merupakan suatu kejadian yang telah terjadi pada masa lampau yang disusun berdasarkan peninggalan-peninggalan berbagai peristiwa. Aritmatika adalah cabang matematika yang berkaitan dengan hitungan. Dalam bahasa arab aritmatika sering dikenal dengan nama ilmu “al hisab”.Adapun ruang lingkup kajiannya adalah melakukan proses perhitungan atas benda benda yang didapati dalam kehidupan sehari hari. Perhitungan tersebut meliputi proses penjumlahan, pengurangan, perkalian serta pembagian.

Untuk kepentingan perrhitungan tersebut para ahli matematika menciptakan satu set simbol bilangan yang merunjuk pada “kuantitas” tertentu. Misalnya, simbol 1 memiliki nilai tertentu, yang tentunya akan berbeda dengan simbol 2, 3 dan seterusnya. Simbol-simbol inilah yang kita sebut dengan “angka”.

B. Definisi dan Sejarah Tokoh Aritmatika

(28)

23

Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) merupakan tokoh Aritmatika yang lahir di Braunschweig, 30 April 1777 dan meninggal di Göttingen, 23 Februari 1855 pada umur 77 tahun, adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Di sekolahnya, Gauss dikenal merupakan anak yang dapat dikatakan seorang pembuat masalah, namun juga merupakan orang yang memiliki kemampuan memecahkan masalah. Pada saat itu, gurunya memberikan soal sulit pada anak muridnya yang juga termasuk Gauss di dalamnya. Saat itu Gauss terbilang masih muda untuk menyelesaikan soal perhitungan 1+2+3+4+...+100. Gurunya bermaksud memberikan soal ini agar sang guru tak perlu mengajar dan dapat beristirahat. Dia yakin bahwa untuk menyelesaikan soal tersebut, butuh waktu lama. Namun, ternyata Gauss berhasil memecahkannya dalam waktu yang cepat. Sang guru pun terkagum-kagum dengan hasil pemecahan Gauss yang cepat dan tepat. Gauss menciptakan cara untuk menghitung deret aritmatika. Cara yang Gauss ciptakan untuk menghitung deret aritmatika tersebut memang telah disederhanakan menjadi rumus " Dn = n/2 (U1+Un)" yang lebih sederhana, namun tetap berdasarkan cara yang ditemukan Gauss sendiri. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu. C. Filosopi Sejarah Aritmatika

(29)

24

dibuktikan dengan ditemukannya tulang ishango di Kongo, Afrika. Pada tulang betis kera purba tersebut terdapat goresan-goresan tegak lurus. Menurut penemunya Jean de Heinzelin de Braucourt (seorang ilmuwan Belgia), goresan-goresan tersebut adalah cara yang dipakai oleh manusia purba dalam berhitung. Setiap goresan melambangkan angka yang dihitungnya. Sistem ini juga digunakan oleh bangsa Sumeria untuk menghitung jumlah ternaknya, tulisan berbentuk baji ini ditulis di atas tanah liat yang digores dengan menggunakan logam. Perkembangan selanjutnya goresan-goresan yang banyak tersebut diubah menjadi simbol dan mulai digunakan oleh orang Mesir. Angka-angka berbentuk simbol atau gambar (disebut juga dengan hieroglif) ini yang mengartikan jumlah tertentu. Aritmetika mulai berkembang pesat saat zaman Yunani. Tahun 1200 SM, Leonardo of Pisa menulis dalam “Liber Abaci” tentang penggunaan metode India sebagai metode menghitung yang luar biasa. Mereka menggunakan angka/simbol Hindu-Arab dengan menggunakan sembilan angka dan simbol nol. Fibonacci memperkenalkan metode ini dan menyebarluaskan ke Eropa penggunaan angka bergaya India ini (Latin Modus Indorum). Angka-angka inilah yang kita kenal sekarang sebagai angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0.

(30)

25 Lalu, siapakah penemu angka nol?

Sebuah sumbangan yang sangat cerdas untuk aritmatika dibuat oleh Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi (780-850 M)--- seorang ahli matematika muslim kelahiran Khwarizm Kheva, sebuah kota di sebelah selatan sungai Ocus Uzbekistan---- yang telah menciptakan angka nol atau “Sifr” untuk pertama kalinya pada tahun 830 M, dalam sebuah karyanya yang terkenal yaitu Al-Maqala fi Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah (The Book of Summary in the Proces of Calculation for Compulsion and Equation). Mulai saat itu lahirlah satu sistem bilangan desimal baru yang dilengkapi dengan simbol nol, sebagai tanda kelipatan sepuluh, kelipatan seratus, kelipatan seribu, kelipatan sejuta dan seterusnya, sebagaimana yang kita gunakan sekarang ini.

Aritmatika, selanjutnya mendapat tempat yang luas dari para filosuf atau ilmuan muslim pada saat itu. Misalnya saja, oleh Ibnu Sina dalam bukunya yang berjudul “al-Syifa”, ia telah mengabadikan aritmatika dalam bukunya tersebut dengan judul “al-Hisab”.

D. Penelitian Yang berkaitan dengan Aritmatika

Adapun Penelitian yang sudah di lakukan oleh Orang- Orang baik sebagai Mahasiswa maupun Seorang Guru atau Dosen untuk mempelajari Aritmatika lebih lanjut antara lain :

1. Penelitian yang di lakukan oleh Nurhikmah¹, Sudarman Bennu dan Sutji Rochaminah² merupakan ¹Mahasiswa Program Studi Magister Pendidikan Sains Pascasarjana Universitas Tadulako ²Dosen Pengajar Program Studi Magister Pendidikan Sains Pascasarjana Universitas Tadulako, dengan judul penelitian „‟ PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF

TIPE THINK PAIR SHARE UNTUK MENINGKATKAN

KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS PADA MATERI

(31)

26

dalam e-Jurnal Mitra Sains, Volume 4 Nomor 4, Oktober 2016 hlm 92-101. ISSN: 2302-2027.

2. Penelitian Hairil Anwar di Sekolah Menengah Kejuruan Negeri 4 Banjarmasin Kalimantan Selatan, dengan judul penelitian „‟ HASIL BELAJAR BARISAN DAN DERET ARITMATIKA MELALUI

PEMBELAJARAN SKRIP KOOPERATIF „‟ dalam Jurnal Penelitian

Tindakan dan Pendidikan 3(2)-2017.

3. Penelitian Rifda Khairunnisa1), Nining Setyaningsih2) Universitas Muhammadiyah, dengan judul „‟ ANALISIS METAKOGNISI SISWA DALAM PEMECAHAN MASALAH ARITMATIKA SOSIAL DITINJAU DARI PERBEDAAN GENDER‟‟ dalam PROSIDING ISSN: 2502-6526.

E. Manfaat Belajar Aritmatika

Melalui belajar aritmatika seorang anak akan memperoleh banyak manfaat diantaranya:

1) Meningkatkan kemampuan berhitung lebih cepat di atas rata-rata anak. 2) Kemampuan cara berfikir lebih cepat dan tepat.

3) Menyeimbangkan penggunaan otak kiri dan otak kanan serta mengoptimalkannya untuk mencapai tingkat berfikir yang analitis dan logika berfikir yang benar.

(4)Terlatihnya daya fikir dan konsentrasi, membantu anak untuk menguasai pelajaran yang lainnya.

(5) Menumbuh kembangkan imajinasi sehingga kreatifitas anak berkembang. (6) Membiasakan diri dengan angka-angka, membuat anak tidak lagi alergi pada pelajaran eksakta.

(32)

27

Manfaat aritmatika dalam kehidupan sehari-hari:

Operasi aritmatika dasar digunakan untuk kegiatan sehari-hari seperti berdagang, bertransaksi, dan lain-lain. Aritmatika kompleks atau rumit digunakan untuk merancang bangunan dan alat-alat lain.

F. Kesimpulan

(33)

28

SEJARAH BILANGAN PRIMA DAN APLIKASINYA Lia Sulistiani (06022681721004)

Email : liasulistiani4546@gmail.com

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama - sama. Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan yang salah satunya adalah bilangan prima.

B. Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini antara lain : 1. Untuk mengetahui definisi bilangan prima.

2. Untuk mengetahui perkembangan bilangan prima.

(34)

29

BAB II PEMBAHASAN

A.Pengertian Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih dari 1 yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih besar dari satu yang memiliki tepat hanya dua faktor, yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri. Bilangan selain bilangan prima - yang memiliki lebih dari dua faktor - dan selain bilangan 1 (satu) disebut sebagai bilangan komposit. Bilangan 1 adalah kasus khusus, tidak termasuk ke bilangan prima ataupun komposit.

B.Sejarah Bilangan Prima

Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Tulang Ishango yang ditemukan pada tahun 1960 (sekarang disimpan di Musee d‟Histoire Naturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Beberapa orang menduga bahwa manusia telah mengenal bilangan prima sekitar 8000 tahun yang lalu. Hal ini terkait dengan penemuan tulang Ishango di Afrika oleh para arkeolog, pada tulang tersebut terdapat tiga kolom takik, Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik. Pada satu kolom terdapat bilangan prima antara 10 sampai dengan 20. Beberapa ahli sejarah lainnya berpendapat bahwa takik pada tulang tersebut hanya sebuah catatan tanggal dan secara tidak sengaja berupa bilangan prima.

Tulang Ishango

(35)

30

Namun, catatan awal yang masih bertahan studi eksplisit bilangan prima berasal dari Yunani Kuno.

Buku “Elements” karya Euclid diterbitkan sekitar 300 tahun sebelum masehi yang menjadi bukti beberapa hasil terkait bilangan prima. Pada bagian IX dari “Elements”, Euclid menulis kemungkinan terdapat begitu banyak bilangan prima, mendekati tak hingga. Euclid juga memberi bukti teori dasar dari Aritmatika, dimana setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil perkalian bilangan prima secara unik. Pada buku “Elements”, Euclid menyelesaikan masalah tentang bagaimana menciptakan angka sempurna, dimana bilangan bulat positif setara dengan jumlah dari pembagi positif, menggunakan bilangan prima Mersenne.

(36)

31

membuktikan konjektural tersebut menggunakan fungsi-zeta. Pencarian bilangan prima tidak berhenti sampai disitu, khususnya untuk bilangan-bilangan besar. Banyak matematikawan yang meneliti mengenai tes bilangan prima, contohnya: Pepin‟s test untuk bilangan Fermat (1877), Lucas-Lehmer test untuk bilangan Mersenne (1856), dan Lucas-Lehmer test yang digeneralisasikan. Pada abad XX, penggunaan bilangan prima di luar bidang matematika mulai dikembangkan. Pada era 1970-an, ketika konsep kriptografi kunci-publik ditemukan, bilangan prima menjadi salah satu dasar pembuatan kunci algoritma enkripsi seperti RSA.

Beberapa tokoh dalam penemuan bilangan prima :

Eratosthenes

(37)

32 Marin Mersene

Biarawan Perancis Marin Mersenne memandang bentuk bilangan prima dari 2 p - 1, dengan p prima. Kemudian bilangan tersebut disebut sebagai bilangan prima Mersenne untuk menghormatinya. Empat bilangan prima Mersenne pertama adalah = 3, = 7, = 31 dan = 127 yang dikenal di zaman kuno. Kelima, = 8191, ditemukan anonymously sebelum tahun 1461.

Pierre de Fermat

Pada tahun 1640 Pierre de Fermat menyatakan (tanpa bukti), Teorema Kecil Fermat (kemudian dibuktikan oleh Leibniz dan Euler). Suatu kasus khusus teorema Fermat mungkin telah dikenal jauh lebih awal oleh Cina. Fermat menduga bahwa semua bilangan dalam bentuk 2 n + 1 adalah prima (mereka disebut Angka Fermat) dan dia memverifikasikan ini ke n = 4 (atau 2 16 + 1). Namun, jumlah Fermat berikutnya 2 32 + 1 adalah komposit (salah satu faktor utama adalah 641), sebagai Euler ditemukan kemudian, dan bahkan tidak ada lagi nomor Fermat dikenal sebagai prima.

(38)

33 Euler

Euler juga menyebutkan bilangan prima itu berbentuk : n2 - n + 41 ntuk n = 1, 2, 3, ..., 40

n2 + n + 17 untuk n = 0, 1, 2, ..., 15

Gauss

(39)

34

mengarah pada bukti dari teorema bilangan prima.

Legendre

Legendre juga menyebutkan bilangan prima yang berbentuk : • n2 + n + 41 untuk n = 1, 2, 3, ..., 39

• n2 + 29 untuk n = 0, 1, 2, ..., 28

Beberapa matematikawan lain juga menyebutkan beberapa formula untuk mencari bilangan prima. Seperti Escott, yaitu bilangan prima yang berbentuk :

• n2 - 79n + 6101 untuk n = 0, 1, 2, ..., 79 • n3 + n2 + 71 untuk n = -14, -13, -11, ..., 9, 10 • n2 + n + 41 untuk n = -40, -39, -38, ..., -1 Miot, yaitu bilangan prima yang berbentuk :

• n2 – 2999 + 2248541 ntuk n bilangan bulat dan 1460 > n >1539. • n3 + n2 - 17 untuk n = 0, 1, 2, 3, ..., 24

Charbert , yaitu bilangan prima yang berbentuk : 3n2 + 3n – 1 untuk n = 1, 2, 3, ..., 11

Berikut ini tabel penemu bilangan prima jika dilihat dari era sebelum dan sesudah adanya computer.

Daftar penemu bilangan prima sebelum era komputer

Tahun Penemu Jumlah Digit

1588 Cataldi 6

1772 Euler 10

1883 Pervushin 19

1911 Powers 27

(40)

35

Daftar penemu bilangan prima sesudah era komputer

Tahun Penemu n Jumlah Digit dalam

1979 Nelson &Slowinski 44497 13395

1982 Slowinski 132049 39751

1988 Colquitt & Welsh 110503 33265

1983 Slowinski 86243 25962

1985 Slowinski 216091 65050

1992 Slowinski & Gage 756839 227832

1994 Slowinski & Gage 859433 258716

1996 Slowinski & Gage 1257787 378632

1996 Armengaud, Woltman, et al 1398269 420921

1997 Spence, Woltman, et al 2976221 895932

1998 Clarkson, Woltman, Kurowski, et 6972593 2098960

(41)

36

Dengan komputer sebanyak itu, mereka bisa membuat “super komputer” yang mampu melakukan perhitungan 9.000.000.000.000 tiap detik.

Di bulan Desember 2005, Steven Boone dan Curtis Cooper dari Central Missouri State University kembali berhasil menemukan bilangan prima terbesar yang diketahui hingga saat ini dengan menggunakan 700 komputer. Bilangan yang ditemukan ini adalah 315416475...652943871 yang panjang seluruhnya 9.152.052 digit angka.

Electronic Frontier Foundation (EFF) sebuah lembaga yang berkutat dibidang elektronik di Amerika telah membuat kompetisi untuk menemukan bilangan prima Mersenne yang diberi nama Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). EFF menawarkan hadiahUS$100,000 untuk penemu pertama bilangan prima dengan jumlah digit minimum 10 juta buah. Mereka juga menawarkan hadiah US$150,000 untuk 100 juta buah jumlah digit bilangan prima, dan US$250,000 untuk 1 milyar buah jumlah digit bilangan prima. Pada bulan September 2008, matematikawan di UCLA berpartisipasi dalam GIMPS memenangkan bagian dari $ 100.000 hadiah dari Electronic Frontier Foundation untuk penemuan mereka sangat hampir 13 juta digit Mersenne prima. Pada tahun 2013, EFF memberikan hadiah US$3,000 untuk bilangan prima yang punya jumlah digit 17.425.17. Bilangan prima terbesar tersebut adalah 2 pangkat 57.885.161 minus satu (257.885.161.- 1). Bilangan prima terbesar ini ditemukan oleh matematikawan University of Central Missouri, Curtis Cooper sebagai bagian dari jaringan komputer raksasa yang digunakan untuk menghitung bilangan prima.. Bilangan prima kali ini juga adalah angka

ke-48 yang masuk kelas bilangan prima Mersenne.

C.Cara Menemukan Bilangan Prima

(42)

37

 Daftarkanlah semua bilangan bulat antara 2 hingga n

 Hapuslah semua bilangan kelipatan bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan n

 Maka bilangan yang masih tersisa adalah bilangan prima.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh dibawah ini untuk mencari bilangan prima kurang dari 100.

Berikut langkah-langkahnya sesuai dengan Eratosthenes :

 Pada tabel dibawah, kita beri tanda silang bilangan 1 karena 1 bukan bilangan prima.

 Lingkari bilangan 2 karena 2 bilangan prima.

 Silang bilangan-bilangan kelipatan 2 karena bilangan-bilangan itu bukan bilangan prima.

 Lingkari bilangan 3 karena 3 bilangan prima.

 Silang bilangan-bilangan kelipatan 2 karena bilangan-bilangan itu bukan bilangan prima.

 Lingkari bilangan 5 dan 7 ; silang bilangan-bilangan kelipatannya.

(43)

38

Pencarian dengan menggunakan saringan Eratosthenes ini sangatlah mudah, cepat, dan sederhana. Akan tetapi untuk keperluan enkripsi yang membutuhkan bilangan prima yang besar, metode ini belumlah memadai.

D.Aplikasi Bilangan Prima

Dalam pembelajaran disekolah bilangan prima digunakan saat materi pemfaktoran yakni faktorisasi prima. Berikut materi singkatnya :

Faktorisasi prima adalah pecahan bilangan komposit yang terdiri dari bilangan pembagi yang lebih kecil, dan hasil perkalian dari bilangan-bilangan tersebut sama dengan bilangan-bilangan komposit yang disebutkan.

Berapakah Faktorisasi Prima dari 28? Pohon faktor dari 28 adalah sebagai berikut:

Dari pohon faktor di atas, dapat diketahui Faktor Prima dan Faktorisasi Primanya. Faktor Prima-nya adalah 2 dan 7. Sedangkan Faktorisasi Prima-nya adalah 2 x 2 x 7 atau 22x 7.

Karena:

22x 7 = 2 x 2 x 7 = 4 x 7 = 28

(44)

39

BAB III KESIMPULAN

(45)

40

DAFTAR RUJUKAN

Oktaviandy, Navel. 2013. Faktorisasi Prima (Tinjauan sebelum mempelajari Faktor Prima). Tersedia : https://navelmangelep.wordpress.com/2013/01/31/faktorisasi-prima-tinjauan-sebelum-mempelajari-faktor-prima/.

http://soaldankuncijawabanbloggerpekolingan.blogspot.co.id/2013/06/perbedaan-faktor-faktor-prima.html

https://matematikaid.wordpress.com/2013/11/07/sejarah-bilangan-prima-2/ http://www.flomath.com/2016/06/sejarah-bilangan-prima.html

(46)
(47)

SEJARAH INTEGRAL Anggi Arini (06022681721006) Email : Anggiarini490@gmail.com

Sejarah Perkembangan Integral

Sebelum membahas tentang integral maka kita harus mengenal sejarah perkembangannya terlebih dahulu. Mengenai sejarah integral tak akan pernah kita lepas dari kalkulus, maka perlu kita membahas tentang sejarah perkembangan kalkulus.

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

(48)

1

matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

(49)

2

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekana. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut. (http://trilito.blogspot.co.id/2016/01/makalah-integral.html)

Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah : (https://www.wattpad.com/301789298-penemu-dan-ilmuwan-para-ilmuwan-penemu-integral)

1. Archimedes (287-212 SM)

(50)

3 2. Isaac Newton (1642-1727 M)

Isaac Newton seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.

3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M)

Gottfried wilhelm Leibniz seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.

4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M)

George Friedrich Bernhard Riemann seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.

Asal Usul Notasi Integral

(51)

4

dahulunya dikenal dengan “Notasi Leibniz”, karena Leibnizlah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika. Lambang integral seperti ini: ∫, diambil dari huruf pertama nama Leibniz, yaitu huruf “L”, namun pada zaman dahulu

orang menuliskan huruf “L” dalam bentuk yang

indah. (https://www.academia.edu/22780030/Integral_tentu).

Materi Integral di Sekolah

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivativ dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.

1. Integral Tak Tentu

a. Pengertian

Integral tak tentu dalam bahasa Inggris di kenal dengan nama Indefinite Integral atau kadang juga di sebut dengan Antiderivatif yang merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”. Biasanya digunakan untuk menghitung besaran dan volume benda.

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah: ∫ f(x) = F(x) +k

(52)

5

sendirian disebut integran, dx sendirian disebut diferensial, F(x) adalah integral partikular, k adalah konstanta pengintegralan, dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.

(https://www.academia.edu/12431062/MAKALAH_INTEGRAL_TAK_TENTU)

dibawah sumbu-x bernilai negatif. (http://aryadilintuman. blogspot.co.id/2016/02

/konsep-dan-perkembangan-kalkulus.html)

Penerapan Integral

1. Bidang teknologi : untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan

volume,panjang kurva,memperkirakan populasi,keluaran kardiak,usaha,gaya dan surplus konsumen.

2. Bidang ekonomi penerapan integral diantaranya ada 4 yaitu untuk

menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya.

3. Bidang matematika penerapan integral juga digunakan,seperti dalam

matematika digunakan untuk menentukan luas suatu bidang,menentukan volum benda putar dan menentukan panjang busur

4. Bidang fisika digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis

medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

5. Bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan

digunakan untuk mengetahui luas daerah pada kurva

(53)

6 Daftar Referensi

Sumber : http://trilito.blogspot.co.id/2016/01/makalah-integral.html

Sumber : http://aryadilintuman. blogspot.co.id/2016/02 /konsep-dan-perkembangan-kalkulus.html

Sumber : https://jakapermanaug.wordpress.com/2013/04/25/aplikasi-integral-dalam-kehidupan-sehari-hari/

Sumber:https://www.academia.edu/12431062/MAKALAH_INTEGRAL_TAK TENTU

Sumber : https://www.wattpad.com/301789298-penemu-dan-ilmuwan-para-ilmuwan-penemu-integral

(54)

SEJARAH PELUANG DAN STATISTIKA Risnawati Putri (06022681721007) Email : gadispuranim@gmail.com

1. Sejarah Peluang

Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar. Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluan, yaitu: Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan. Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.

(55)

1

dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.

Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:

1) Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh mata dadu yang muncul keduanya angka 6.

2) Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat mata dadu 1 sebanyak tiga kali.

3) Probleme des partis (Problem of Point)

Dua pemain judi P1 dan P2 sepakat untuk bermain “fair games” sampai salah satu dari mereka menang dengan nilai tertentu dari N kali permainan. Permainannya tiba-tiba dihentikan. P1 menang N1 kali permainan dan P2 menang N2 permainan. Bagaimana seharusnya membagi taruhannya?

Pada awalnya Pascal mempunyai rencana untuk menulis karya tentang problema of point ini atau yang disebut aleae geometría tetapi tidak pernah menulisnya.

(56)

2

dia menetap di paris pada tahun-tahun sebelumnya tentang surat menyurat antara Pascal dan Fermat. Pada bentuk akhirnya, tulisan ini memuat 14 masalah (Voorstellen) dengan solusi atau buktinya dan 5 masalah yang harus diselesaikan oleh pembaca. Lima masalah terakhir adalah sebagian dari masalah Fermat dan Pascal. Masalah terakhir dari kelima masalah tersebut pada akhirnya dikenal sebagai “Gambler‟s ruin” dan bagian-bagian dari surat menyurat Pascal dan Fermat yang di terbitkan pada tahun 1656.

Pada tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu:

1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano 2. Permutasi dan Kombinasi

3. Distribusi Binomial dan Multinomial 4. Teori Peluang

5. Law Large Number (Hukum Bilangan Besar)

(57)

3 Law Large Number (LLN)

(58)

4

Sejarah dari teorema limit pusat adalah sangat menarik, teorema ini dirumuskan pertama kali oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733. Moivre menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan banyaknya muncul muka (head) pada pelantunan mata uang. Penemuan ini hampir terlupakan, sebelum akhirnya matematikawan Perancis yang bernama Pierre Simon Laplace mengenalkannya dalam tulisan Theorie Analytique des Probabilities, yang dipublikasikan pada tahun1812. Laplace memperkirakan distribusi dari orbit komet dengan distribusi binomial. Pada abad ke 19 teorema limit pusat dirumuskan secara umum dan dibuktikan oleh matematikawan Rusia yang bernama Aleksander Lyapunov.

2. Sejarah Statistika

Berbeda dengan sejarah peluang yang berawal dari sebuah perjudian, statistika berawal dari kegiatan pengumpulan data yang dilakukan oleh John Graunt di Eropa pada tahun 1662, hal ini merupakan awal munculnya statistika deskriptif. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah- istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium (dewan negara) dan bahasa Italia statista(negarawan atau politikus). Pada tahun 1749 Gottfried Achenwall menggunakan Statistika dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai ilmu tentang Negara (state). Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi “ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data“. Nama dan pengertian statistik pertama kali diperkenalkan dalam bahasa Inggris oleh Sir John Sinclair . Jadi statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administrasif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

(59)

5

Graunt merupakan orang pertama yang menyingkat data ke dalam tabel. Dia juga membicarakan tentang reliabilitas data.John Graunt pula orang pertama yang mendemonstrasikan secara statistik bahwa jumlah dari pria dan wanita mendekati sama dan perbandingan jenis kelamin pada saat kelahiran stabil. Dia adalah orang pertama yang membentuk tabel hidup, yang membentuk kajian tentang asuransi jiwa secara matematik. Dari data yang terkumpul tersebut juga memicu lahirnya teknik pentabelan yang dilakukan oleh Edmon Halley pada tahun 1693. Seiring dengan perkembangan tori-teori probabilitas antara tahun 1713 – 1812, Galton yang semasa hidupnya menghasilkan 340 lebih tulisan dan buku, mempelajari fenomena korelasi dan regresi terhadap nilai rata-rata dan nilai tengah dan menggunakan metode statistik untuk mempelajari perbedaan pada sifat manusia dan warisan kecerdasan dengan menggunakan daftar pertanyaan-pertanyaan. Penemuan-penemuan tersebut memicu lahirnya statistika inferensial yang diawali oleh Pearson pada tahun 1900 dengan Chi Square Test. Selain Chi Square Test, dengan menggunakan korelasi dan regresi linear, Pearson membuat model 3 dimensi sebagai model pengumpulan data dalam penelitian di Departemen Sains Statistik. Selain itu juga Pearson menggunakan distribusi probabilitas sebagai dasar untuk teori statistic modern. Seorang kimiawan muda William Gosset atau yang lebih dikenal dengan panggilan “student” menggunakan ketidak cocokan penggunaan kurva normal untuk ukuran sampel kecil. Bersama seorang professor, ia merumuskan penemuannya pada tahun 1908. Ia menyebutnya dengan distribusi “student”. Penemuannya kurang mendapat perhatian terkecuali setelah dimasukkan ke dalam buku ajar statistika modern yang pertama yang ditulis oleh Sir Ronald Fisher 20 tahun kemudian. Pada tahun 1925, Fisher mempublikasikan buku yang berjudul Statistical Methods for Research Workers. Di buku tersebut, Fisher menuliskan mengenai ANAVA.

(60)

6

kebutuhan berdasarkan syarat yang tidak terpenuhi oleh statistika parametric. Pada tahun 1945 Frank Wilcoxon menemukan satu uji, yang kemudian lebih dikenal dengan uji Wilcoxon. Pada periode tahun 1950-1980 cakupan mengenai teori peluang dan statistic meningkat dengan munculnya bidang baru seperti teori antrian. William Feller mengembangkan topik-topik statistic tingkat lanjut seperti rantai markov. Pada tahun 1950, Rudolf Carnapmenerbitkan risetnya yang berjudul Logical Fondation of Probabity yang berisi derajat informasi (degree of confirmation) dan frekuensi relatif. W.Edward Deming meneliti tentang kualiti control dan banyak perusahaan mengambil metode ini. Austin Bradford Hillmengembangkan statistik pada bidang kesehatan dan epidemiologi. Bradford mempelopori trial klinik random dan mendemonstrasikan hubungan antara kebiasaan merokok dengan penyakit kangker paru-paru. Quetelet mengaplikasikan teori peluang pada sensus. Semenjak tahun 1970 keuangan menjadi bagian penting dari penerapan teori peluang. Ito mengembangkan kalkulus stokastik pada tahun 1940 dan diterapkan pada model Black-Scholes. Black dan Scholes memenangkan hadiah nobel pada bidang ekonomi.

(61)

7 Referensi

Boyer,Carl B. A History of Mathematics, Jhon Wiley & Son , 1968

Anglin W.S,Mathematics: A Concise History and Philosophy,Springer Verlag, 1994

(62)

SEJARAH BILANGAN E (EULER) Jeki Gusdinata (06022681721008) Email : jeki_gusdinata@yahoo.co.id

1. Pendahuluan

Bilangan e adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2,71828 18284 59045 23536..

e = 2.71828 18284 59045 23536..

Bilangan e ditemukan oleh John Napier sang penemu logaritma pada tahun 1614 tetapi e dipopulerkan oleh Lionhard euler bahkan euler lah yang pertama kali menngunakan simbol e, e diperoleh melalui perhitungan. Defenisi bilangan e atau bilangan euler juga di artikan dengan defenisi limit yaitu mendekati.

Pada makalah ini kami akan membahas tentang sejarah perkembangan bilangan e tersebut, karena selama ini kita hanya memakai bilangan e, dan sekarang kita harus lebih mengetahui tentang sejarah perkembangan bilangan e.

2. Pembahasan

Nilai e pertama dikenal di matematika memiliki sejarah yang sebaiknya kita ketahui. Tahun 1618 ketika, Napier bekerja pada logaritma (ada pada lampirannya).

“e adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2.71828 18284 59045 23536…”

(63)

1

Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung suatu daerah di bawah hiperbola persegi panjang. Apakah dia mengetahui hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang berhubungan dengan logaritma? Hal ini masih diperdebatkan. Saat tahun 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi panjang dengan logaritma. Dia memeriksa secara eksplisit dan intensif hubungan antara daerah di bawah persegi panjang hiperbola "yx = 1" dan logaritma. Tentu saja, nilai e adalah sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai e sama dengan 1. Tetapi karyanya tidak benar-benar diakui karena dia tidak menyebutkan bilangan „e‟

secara jelas atau eksplisit.

Namun hal yang mengejutkan, pekerjaan pada logaritma begitu dekat dengan bilangan e, ketika e pertama "ditemukan" itu bukan melalui konsep logaritma sama sekali melainkan melalui studi bunga majemuk. Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bunga majemuk dan, dalam memeriksa bunga majemuk kontinyu, ia mencoba untuk menemukan batas dari ( ) sebagai x cenderung tak terhingga.

( )

Jacob Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas itu harus terletak antara 2 dan 3 sehingga kita bisa menganggap hal ini menjadi pendekatan pertama ditemukannya e. Dia juga menerima ini sebagai definisi e. Akan tetapi jelas tidak mengakui hubungan antara karyanya ada kaitannya dengan pada logaritma.

Saat ini tentu saja dari persamaan x = at, kami menyimpulkan bahwa t = log x di mana basis log nya a. Dari sini kita benar-benar berpikir bahwa log adalah sebuah fungsi, sementara awal logaritma terfikirnya atau diciptakan adalah sebagai alat bantu perhitungan. Jacob Bernoulli lah yang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial.

Pada tahun yang sama itu Leibniz menulis surat kepada Huygens dan dalam hal ini ia menggunakan notasi b untuk apa yang sekarang kita sebut e. Akhirnya nomor e punya nama (bahkan jika tidak salah satu yang sekarang) dan itu yang diakui. Mungkin

Gambar

Gambar 1. Table of Reciprocal, Square, and Square
Tabel Saringan Eratosthenes
Gambar  1. Herodotus
Gambar 2. Rene Descartes
+7

Referensi

Dokumen terkait

Dengan demikian, segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan kaki-kaki sudutnya terletak pada titik B dan C.. Jadi, benar bahwa segitiga ABC adalah segitiga

Hasil pengujian pada tabel di atas ditunjukkan dengan titik-titik, data Membentuk Pola garis lurus dari tepi kiri bawah ke kanan atas, dari mana dapat disimpulkan bahwa ada hubungan

Dari ke-( 12 3 ) segitiga ini, segitiga yang tidak memenuhi syarat adalah semua segitiga yang ketiga titik sudutnya terletak di garis yang memuat kelima titik. Sehingga

Substitusikan koordinat titik potong garis kutub ke rumus persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran.?. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Membentuk

Pada pertemuan ini materi yang akan dibahas mengukur besar sudut segitiga, menggambar bentuk segitiga dan menghitung keliling dan luas segitiga.Siswa mengawali kegiatan

ke titik pengamatan lain yang mempunyai bentuk berian yang sama, garis ini akhirnya menyatukan titik pengamatan-titik pengamatan yang memiliki berian yang sama

Jarak antara titik P ke bidang ACGE sama denga jarak antara titik P ke garis AC, yaitu panjang PQ... Jawaban

A.Pencerminan Refleksi Jika titik P dicerminkan terhadap garis AB, maka bayangan dari titik P P’dapat digambarkan sebagai berikut: Pada refleksi tersebut, titik P dipetakan ke P’,