PAKET 5 Kunci Jawaban dan Pembahasan

KSN 2021 PAKET 5

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1. Jawaban: A

Karena kelima orang siswi duduk bersebelahan, kita dapat menganggap kelima siswi ini sebagai sebuah “blok”. Sehingga, ada enam objek yang akan diurutkan: lima siswa dan satu blok siswi. Banyak cara mengurutkan keenam objek ini adalah 6!. Namun, urutan kelima siswi ini dalam blok juga penting. Banyak cara mengurutkan kelima siswi ini adalah 5!. Pengurutan kelima siswi ini tidak mempengaruhi urutan kelima siswa dan ‘blok’ siswi. Sehingga, banyak cara mengurutkan sepuluh orang ini adalah 5! × 6! = 120 × 720 = 86400.

2. Jawaban: C

Pada kata PURWAKARTA, terdapat tiga buah huruf A, dua buah huruf R, dan

masing-masing dari huruf P, U, W, K, T ada satu. Sehingga, banyak cara mengurutkan ulang huruf-huruf ini adalah

10!

3! 2! = 302400 3. Jawaban: C

Pada kata DORMITORY, terdapat dua buah huruf O, dua buah huruf R, dan masung- masing satu huruf D, M, I, T, dan Y.

Banyak cara mengurutkan ulang kata DORMITORY tanpa syarat adalah ^9!

2!2! .

Jika dua huruf O harus bersebelahan, kita dapat menganggap gabungan kedua huruf O ini sebagai sebuah objek. Akibatnya, banyak objek menjadi 8 dan dua di antaranya sama (huruf R). Banyak cara mengurutkan ulang kata DORMITORY dengan styarat kedua huruf O nya bersebelahan adalah ^8!

2! .

Berdasarkan prinsip komplementer, banyak pengurutan ulang kata DORMITORY sehingga tidak ada dua huruf O yang bersebalahan adalah ^9!

2!2! − ^8!

2! = 90720 −

20160 = 70560.

KSN 2021 4. Jawaban: D

Jika 𝑎 adalah bilangan genap, nilai 𝑓(𝑎) yang mungkin adalah 0, 2, atau 4. Jika 𝑎 adalah bilangan ganjil, nilai 𝑓(𝑎) yang mungkin adalah 1 atau 3. Sehingga, banyak kemungkinan nilai 𝑓(𝑎) adalah 2 apabila 𝑎 ganjil dan 3 apabila 𝑎 genap. Pemilihan nilai 𝑓(𝑎) tidak akan mempengaruhi nilai fungsi yang lain. Karena terdapat 1010 bilangan ganjil dan 1010 bilangan genap, berdasarkan prinsip perkalian, banyak fungsi 𝑓 yang memenuhi adalah 2 ¹⁰¹⁰ ⋅ 3 ¹⁰¹⁰ = 6 ¹⁰¹⁰

5. Jawaban: C

Kita dapat membagi semua bilangan yang memenuhi syarat soal ini berdasarkan posisi substringnya tetapu perlu diperhatikan agar tidak ada kasus yang dihitung kurang atau lebih dari satu kali.

Misalkan bilangan asli lima digit tersebut adalah 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒, terdapat empat kasus:

Kasus 1: 𝑎𝑏 = 12 Kasus 2: 𝑏𝑐 = 12 Kasus 3: 𝑐𝑑 = 12 Kasus 4: 𝑑𝑒 = 12

Namun, perhatikan bahwa kasus 1 dan 3 serta 2 dan 4 dapat terjadi secara bersamaan yakni saat bilangan tersebut adalah 12121 dan 21212. Agar tidak memperumit perhitungan, kita akan menghitung solusi tiap kasus seperti rencana semula tetapi mencatat bahwa 12121 dan 21212 akan dihitung dua kali.

Ingat kembali bahwa bilangan lima digit ini harus palindrom sehingga 𝑎 = 𝑒 ≠ 0, 𝑏 = 𝑑.

Kasus 1: 𝑎𝑏 = 12

Maka, 𝑑 = 2 dan 𝑒 = 1. Nilai 𝑐 yang mungkin ada 10: {0, 1, … ,9}. Sehingga, pada kasus ini, ada 10 kemungkinan

Kasus 2: 𝑏𝑐 = 12

Maka, 𝑑 = 1. Nilai 𝑎 (dan 𝑒) yang mungkin ada 9: {1, 2, … ,9}. Sehingga, pada kasus ini, ada 9 kemungkinan.

Kasus 3: 𝑐𝑑 = 12

Maka, 𝑏 = 2. Nilai 𝑎 (dan 𝑒) yang mungkin ada 9: {1, 2, … , 9}. Sehingga, pada kasus ini, ada 9 kemungkinan.

Kasus 4: 𝑑𝑒 = 12

KSN 2021 Maka, 𝑎 = 2 dan 𝑏 = 1. Nilai 𝑐 yang mungkin ada 10:{0, 1, … ,9}. Sehingga, pada

kasus ini, ada 10 kemungkinan.

Ingat kembali bahwa 12121 dan 21212 terhitung dua kali. Sehingga, total banyak bilangan lima digit palindrom yang memuat substring 12 adalah 10 + 9 + 9 + 10 − 2 = 36.

6. Jawaban: B

Berdasarkan soal nomor 3, ada ^9!

2!2! = 90720 banyak cara mengurutkan DORMITORY tanpa syarat.

Jika harus memuat substring DIRTY, maka tersisa lima objek yang akan diacak:

DIRTY, O, R, M, dan O. Banyak cara mengurutkan kelima objek ini adalah ^5!

2! = 60.

Jika harus memuat substring ROOM, maka tersisa enam objek yang akan diacak:

ROOM, D, I, T, R, dan Y. Banyak cara mengurutkan keenam objek ini adalah 6! = 720.

Perlu diperhatikan juga bahwa kedua string DIRTY dan ROOM juga dapat muncul dalam sebuah kata secara bersamaan. Banyak cara memunculkan keduanya sekaligus adalah 2! = 2.

Sehingga, banyak cara mengurutkan kata DORMITORY dengan memenuhi syarat soal adalah 90720 − 60 − 720 + 2 = 89942.

7. Jawaban: E

Perhatikan bahwa terdapat dua kemungkinan pola kata yang diperoleh: VKVKV atau KVKVK dengan K dan V secara berturut-turut menyatakan huruf konsonan dan vokal.

Permasalahan ini dapat dipandang sebagai permutasi 3 (atau 2) huruf vokal dari 3 huruf vokal dan 2 (atau 3) huruf konsonan dari 4 huruf konsonan. Perhatikan pula bahwa urutan huruf vokal dan konsonan tidak saling mempengaruhi.

Pada kasus yang pertama, banyak solusinya adalah 𝑃 ₃ ³ × 𝑃 ₂ ⁴ = 3! × ^4!

2! = 72.

Pada kasus yang kedua, banyak solusinya adalah 𝑃 ₂ ³ × 𝑃 ₃ ⁴ = 3! × 4! = 144.

Total, ada 72 + 144 = 216 banyak kata yang mungkin.

KSN 2021 8. Jawaban: B

Pertama, kita akan menaruh ketujuh siswa terlebih dahulu. Banyak cara menaruh ketujuh siswa adalah 7!. Kemudian, kita akan menaruh ketiga guru sehingga tidak ada dua guru yang duduk bersebelahan. Asumsikan posisi duduk murid adalah sebagai berikut:

| ₁ 𝑀 ₁ | ₂ 𝑀 ₂ | ₃ 𝑀 ₃ | ₄ 𝑀 ₄ | ₅ 𝑀 ₅ | ₆ 𝑀 ₆ | ₇ 𝑀 ₇ | ₈

Posisi duduk guru yang mungkin adalah | ₁ , | ₂ , … , | ₈ . Tidak boleh ada dua guru yang mengambil posisi yang sama karena akan membuat keduanya bersebelahan. Hal ini dapat dianggap sebagai permasalahan permutasi 3 objek dari 8 objek. Sehingga, banyak cara mengurutkan ketiga guru adalah 𝑃 ₃ ⁸ = ^8!

5! = 336. Total, banyak cara nya adalah 336 × 7! = 1693440.

9. Jawaban: D

Perhatikan bahwa teorema stars and bars hanya dapat digunakan untuk mencari solusi cacah bukan solsui bilangan asli. Namun, persamaan ini dapat diubah agar menjadi persamaan bilangan cacah dengan substitusi 𝑎 ₁ = 𝑎 − 1, 𝑏 ₁ = 𝑏 − 1, 𝑐 ₁ = 𝑐 − 1.

Sekarang, 𝑎 ₁ , 𝑏 ₁ , 𝑐 ₁ adalah bilangan cacah yang memenuhi persamaan 𝑎 ₁ + 𝑏 ₁ + 𝑐 ₁ = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 3 = 15.

Banyak solusi persamaan ini dengan teorema stars dan bars adalah ( ¹⁵⁺³⁻¹ ₃₋₁ ) = ( ¹⁷ ₂ ) = 136.

10. Jawaban: E

Misalkan tiga bilangan berbeda tidak berurutan yang dipilih tersebut adalah 𝑎, 𝑏, 𝑐.

Perhatikanlah bahwa 𝑎, 𝑏 − 1, dan 𝑐 − 2 masih merupakan bilangan yang berbeda.

Selain itu, untuk setiap tripel bilangan asli (𝑎, 𝑏, 𝑐) yang memenuhi syarat soal,

terdapat tepat satu tripel bilangan asli (𝑥, 𝑦, 𝑧) sehingga 𝑥 = 𝑎, 𝑏 = 𝑦 + 1, 𝑐 = 𝑧 + 2

dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah bilangan yang berbeda dengan 1 ≤ 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 ≤ 8. Jadi, banyak

cara memilih tiga bilangan berbeda ini adalah sama dengan cara memilih tiga bilangan

berbeda dari 1 sampai 8 yakni ( ⁸ ₃ ) = 56.

KSN 2021 11. Jawaban: D

Perhatikanlah bahwa setiap persegi panjang di papan catur dibatasi oleh dua pasang garis sejajar. Terdapat 8 + 1 = 9 garis horizontal dan 9 garis vertikal yang ada di papan catur dan setiap persegi panjang dapat diidentifikasi secara unik dengan dua pasang garis sejajar.

Sehingga, banyak persegi panjang yang ada di papan catur adalah ( ⁹ ₂ ) ⋅ ( ⁹ ₂ ) = 36 ⋅ 36 = 1296.

12. Jawaban: C

Sebuah segitiga yang memenuhi syarat soal ini harus memiliki tiga buah titik sudut yang tidak segaris. Jika syarat ketiga titik ini tidak boleh segaris dihapus, maka banyak segitga yang diperoleh adalah ( ¹² ₃ ). Dari ke-( ¹² ₃ ) segitiga ini, segitiga yang tidak memenuhi syarat adalah semua segitiga yang ketiga titik sudutnya terletak di garis yang memuat kelima titik. Sehingga banyak segitiaga yang seharusnya tidak ada adalah ( ⁵ ₃ ).

Jadi, banyak segitiga yang memenuhi syarat adalah ( ¹² ₃ ) − ( ⁵ ₃ ) = 220 − 10 = 210.

13. Jawaban: C

Notasikan urutan pemakaian kaus kaki dan sepatu oleh kepiting ini sebagai sebuah string dengan huruf-huruf 𝐾 _𝑖 dan 𝑆 _𝑖 dengan 𝑖 = 1, 2, … ,6 dan 𝐾 _𝑖 serta 𝑆 _𝑖 seccara berturut-turut menyatakan bahwa kepiting tersebut mengenakan kaus kaki dan sepatu pada kaki ke-𝑖.

Diinginkan untuk dicari banyak string yang merupakan pengurutan ulang dari 𝐾 ₁ , 𝐾 ₂ , … , 𝐾 ₆ , 𝑆 ₁ , … , 𝑆 ₆ dengan syarat tambahan bahwa setiap 𝐾 _𝑖 harus muncul sebelum 𝑆 _𝑖 untuk setiap 𝑖.

Apabila persoalan tersebut tidak memandang urutan penggunaan 𝐾 _𝑖 sebelum 𝑆 _𝑖 , maka akan ada 12! cara mengurutkannya. Dari 12! cara ini, tepat setengahnya memuat huruf 𝐾 ₁ sebelum 𝑆 ₁ dan setengahnya yang lain memuat huruf 𝑆 ₁ sebelum 𝐾 ₁ . Dengan cara yang serupa, untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … ,6, banyak cara yang memuat 𝐾 _𝑖 sebelum 𝑆 _𝑖 akan sama dengan banyak cara yang memuat 𝑆 _𝑖 sebelum 𝐾 _𝑖 .

Jadi, banyak urutan pemakaian kaus kaki dan sepatu bagi kepiting adalah ^12!

2

⁶

.

KSN 2021 14. Jawaban: D

Setiap siswa memiliki tujuh kemungkinan: tidak mengikuti klub manapun, mengikuti klub Panahan saja, mengikuti klub Permainan Papan saja, mengikuti klub Jurnalis saja, mengikuti klub Panahan dan Jurnalis, mengikuti klub Permainan Papan dan Jurnalis, atau mengikuti klub Jurnlais dan Permainan Papan.

Pemilihan klub untuk setiap siswa tidak akan mempengaruhi pilihan siswa lain.

Sehingga, berdasatkan prinsip perkalian, banyak cara semua siswa memilih klub adalah 7 ²²⁵ .

15. Jawaban: D

Pertama, akan didudukkan keenam siswa. Banyak cara mendudukkan keenam siswa

ini adalah (6 − 1)! = 120. Setelah itu, dengan cara yang serupa dengan nomor 8,

terdapat enam sela di antara siswa sebagai tempat duduk bagi siswi. Banyak cara

mendudukkan kelima siswi ini di enam sela ini adalah 𝑃 ₅ ⁶ = 6! = 720. Pengaturan

tempat duduk bagi siswi ini tidak akan memberikan dua buah konfigurasi melingkar

yang sama. Jadi, jawabannya adalah 720 × 120 = 86400.