Teori Peluang dan Statistika Komputasi E (1)

(1)

Indira Puteri Kinasih(20110006) Tugas III - TEORI PELUANG DAN STATISTIKA (AK5103) Sumber : Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition

Dosen Pengampu : Prof. DR. Sutawanir Darwis

“K

omputasi Estimasi Maximum Likelihood pada Distribusi Logistik

”

Misalkan X1,X2,...,X_n adalah peubah acak yang berdistribusi identik dan independen

dengan fungsi densitas yaitu

 



















  



   

 

 

 

 , ,

exp 1

exp

, ₂ x

x x x

f

(1) Metode estimasi Maximum Likelihood dapat digunakan untuk memperoleh estimasi parameter ˆ , yaitu dengan terlebih dulu mengkonstruksi fungsi likelihood dari f

 

x, , yaitu































 

  

  



n

i _i

i n

i i i

x x x

f x

L

1

2 1

exp 1

exp , ,

  



(2) Untuk memudahkan estimasi, kita akan mengambil bentuk logaritma dari persamaan (2), sehingga menjadi



























































 



 

  

l

x X

n n

x n

l x

x x x

L

n

i

i n

i

i n

i _i

i i



   

 

      

  

  



 



1

2

1 1

2

exp 1 ln 2

exp 1 exp

ln

exp 1

exp ln ,

ln

(3) Selanjutnya, kita akan menurunkan persamaan (3) terhadap , yaitu

 



















   

  

 

 n

i i

i

x x n

l

11 exp exp 2

  



(4) Kita juga akan melihat bentuk turunan kedua persamaan (3) terhadap , apakah bentuk turunan tersebut bernilai negatif, untuk memastikan bahwa nantinya solusi dari

 

0

 

  l

(2)

































































0

exp 1

exp 2

exp 1

exp exp

exp 1 exp

2

1

2 1

2 2

2



  

  



  

  

       

 





 

n

i _i

i n

i _i

i i

x x

x

x x

l

 



 



(5) Selanjutnya persamaan (4) disamadengankan nol, sehingga diharapkan kita memiliki solusi eksplisit dari 

 



































 

  

  

  

  

  

n

i i

i n

i i

i

x x n

l

1 1

exp 1

exp 2

exp 1

exp 2

0

 

  



(6) Terlihat pada persamaan (6) bahwa kita tidak dapat memperoleh solusi eksplisit dari , sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk mendapatkan solusi aproksimasi persamaan (6), yang nantinya disebut sebagai estimator ˆ. Dalam hal ini, kita akan menggunakan metode numerik Newton-Raphson, dengan formula sebagai berikut :

 

i i i i

l l

   

   

1

(7) Iterasi akan dilakukan dengan memberikan inisiasi pada nilai ₀ median

 

X , yaitu nilai tengah dari 100 data acak berdistribusi logistik yang telah dibangkitkan dengan menggunakan bantuan MINITAB, menggunakan parameter  0.5. Nantinya, melalui metode numerik Newton-Raphson, akan dilihat apakah aproksimasi nilai , yaitu ˆ dapat mendekati nilai parameter yang sebenarnya, yaitu  0.5.

Berikut disertakan _R listing code metode Newton-Raphson :

#METODE NEWTON UNTUK APROKSIMASI ESTIMASI MAXIMUM

LIKELIHOOD UNTUK

#SUATU DATA BERDISTRIBUSI LOGISTIK

---

read.table(file("logistik.dat", encoding="latin1")); V1<-scan("logistik.dat", skip = 1, quiet= TRUE);

mlelogisticfunc=function(V1,toler=.001){} toler=.001;

(3)

thetahatcurr=startvalue;

---

#Menghitung turunan pertama dari Log Likelihood

firstderivll=n-2*sum(exp(-V1+thetahatcurr)/(1+exp(-V1+thetahatcurr)))

#menghitung turunan kedua dari fungsi Log Likelihood

secondderivll=-2*sum(exp(-V1+thetahatcurr)/(1+exp(-V1+thetahatcurr))^2);

#Melanjutkan metode Newton hingga turunan pertama dari fungsi likelihood #dengan toleransi = .001

while(abs(firstderivll)>toler){}

#Pemakaian metode Newton untuk memperbarui perhitungan nilai theta thetahatnew=thetahatcurr-firstderivll/secondderivll;

thetahatcurr=thetahatnew;

list(thetahat=thetahatcurr);

$thetahat [1] 0.3575809

Dari hasil keluaran komputasi, diperoleh ˆ0.3575809. Nilai ini mendekati parameter 5

. 0

ˆ_