METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS
RANKING PROBLEM
TESIS
Oleh
GIM TARIGAN
087021016/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS
RANKING PROBLEM
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh
GIM TARIGAN
087021016/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS RANKING PROBLEM Nama Mahasiswa : Gim Tarigan
Nomor Pokok : 087021016 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof.Dr.Tulus,MSi) (Prof.Dr.Opim Salim S,M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc.)
Telah diuji pada
Tanggal 17 Februari 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof.Dr.Tulus, MSi
ABSTRAK
Masalah dasar dalam penentuan pemeringkatan konsensus adalah masalah peng-kombinasian pemeringkatan-pemeringkatan menjadi pilihan kelompok atau pe-meringkatan konsensus dengan diketahuinya sekumpulan pepe-meringkatan atas him-punan berhingga alternatif. Pengambil keputusan (DM) sering diminta menyam-paikan preferensi mereka atas sekumpulan objek, misalnya penentuan proyek baru, produk baru, kandidat dalam pemilu, dan lain-lain. Masalah pemeringkatan bisa diklasifikasikan dalam dua katagori dasar, yaitu masalah kardinal dan ordi-nal. Adapun tujuan dari tulisan ini adalah untuk memperoleh konsensus ranking, dengan menggunakan beberapa algoritma-algoritma dan metode. Dalam tulisan ini algoritma atau metode yang digunakan adalah algoritma parsial, pemeriksaan heuristik, algoritma konsensus ranking optimal, model Borda-Kendal (BAK), mo-del Pemeringkatan Konsensus (CRM), Memaksimalkan momo-del hauristik persesu-aian (MAH) dan Model berbasis-jarak hybrid (DCM). Untuk melihat keefektifan dan efisiensi algoritma dan metode dibuat beberapa contoh.
ABSTRACT
The basic issue in determining of the consensus ranking is a combination of ran-king to be a group alternative or consensus level by a group of grading or any alternatives. Decision makers (DM) are always required to submit their preferen-ce on a group of object, such as determining of new project, new product, candidate in general election etc. The ranking issue is classified into two basic categories, i.e. cardinal and ordinal issue. This thesis aims to study the ranking using any algorithm and method. In this thesis, the applied algorithm or method is are par-tial algorithm, heuristic assessment, optimal ranking consensus algorithm, Borda - Kendal (BAK) model, Consensus ranking model (CRM), maximize the adjust-ment heuristic model (MAH) and hybrid distance based model (DCM). In order to study the effectiveness and efficiency of algorithm, any sample are prepared.
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita,penulis mengucapkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkat-Nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan
judul : METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS RANKING
PROBLEM. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM),Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU dan Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Prof. Dr. Herman Mawengkangselaku Ketua Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ban-tuan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris dan Staf Pengajar Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembimbing Utama yang telah banyak mem-berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Scselaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis.
Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghar-gaan setinggi-tingginya kepada orangtua dan mertua serta seluruh keluarga
yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih pa-da istri tersayang Suryani Br Pinem, S.Kep yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini selesai. Terakhir, ucapan terima kasih kepada anak-anak tersayang : Satya Pratama Tarigan, Arya Gina Br Tarigan, Nico Septianta Tari-gan, Dimas Hardi Putra TariTari-gan, Christin Natalia Br Tariganyang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukan-nya.
Medan, Februari 2011 Penulis,
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
DAFTAR ISI v
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Kontribusi Penelitian 4
1.5 Metodologi Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
2.1 Perbandingan berpasangan 5
2.2 Pelanggaran Konsensus 6
2.3 Bobot 7
BAB 3 LANDASAN TEORI 9
3.1 Konsensus Ranking 9
3.2 Model Borda-Kendal (BK) 9
3.3 Model Konsensus Ranking (CRM) 9
3.4 Memaksimalkan model Heuristik persesuaian (MAH) 10
3.6 Posedur Meranking. 10
BAB 4 IMPLEMENTASI 12
4.1 Pendekatan berbasis - jarak 12
4.2 Algoritma Parsial. 16
4.3 Pemeriksaan Heuristik 17
4.4 Algoritma Utama - Konsensus ranking Optimal 18
4.5 Menyelesaikan permasalahan numeric. 19
4.6 Model 21
BAB 5 KESIMPULAN 29
ABSTRAK
Masalah dasar dalam penentuan pemeringkatan konsensus adalah masalah peng-kombinasian pemeringkatan-pemeringkatan menjadi pilihan kelompok atau pe-meringkatan konsensus dengan diketahuinya sekumpulan pepe-meringkatan atas him-punan berhingga alternatif. Pengambil keputusan (DM) sering diminta menyam-paikan preferensi mereka atas sekumpulan objek, misalnya penentuan proyek baru, produk baru, kandidat dalam pemilu, dan lain-lain. Masalah pemeringkatan bisa diklasifikasikan dalam dua katagori dasar, yaitu masalah kardinal dan ordi-nal. Adapun tujuan dari tulisan ini adalah untuk memperoleh konsensus ranking, dengan menggunakan beberapa algoritma-algoritma dan metode. Dalam tulisan ini algoritma atau metode yang digunakan adalah algoritma parsial, pemeriksaan heuristik, algoritma konsensus ranking optimal, model Borda-Kendal (BAK), mo-del Pemeringkatan Konsensus (CRM), Memaksimalkan momo-del hauristik persesu-aian (MAH) dan Model berbasis-jarak hybrid (DCM). Untuk melihat keefektifan dan efisiensi algoritma dan metode dibuat beberapa contoh.
ABSTRACT
The basic issue in determining of the consensus ranking is a combination of ran-king to be a group alternative or consensus level by a group of grading or any alternatives. Decision makers (DM) are always required to submit their preferen-ce on a group of object, such as determining of new project, new product, candidate in general election etc. The ranking issue is classified into two basic categories, i.e. cardinal and ordinal issue. This thesis aims to study the ranking using any algorithm and method. In this thesis, the applied algorithm or method is are par-tial algorithm, heuristic assessment, optimal ranking consensus algorithm, Borda - Kendal (BAK) model, Consensus ranking model (CRM), maximize the adjust-ment heuristic model (MAH) and hybrid distance based model (DCM). In order to study the effectiveness and efficiency of algorithm, any sample are prepared.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Secara umum dapat dikatakan bahwa mengambil atau membuat keputusan berarti memilih satu diatara sekian banyak alternatif. Minimal ada dua alternatif dan dalam prakteknya lebih dari dua alternatif dimana pengambil atau pembu-at keputusan (decision makers) harus memilih salah satu berdasarkan pertim-bangan atau kriteria tertentu. Inti dari pengambilan keputusan ialah terletak dalam perumusan berbagai alternatif pemilihan yang tepat setelah suatu evaluasi atau penilaian mengenai efektivitasnya dalam mencapai tujuan yang dikehendaki pengambil keputusan. Salah satu komponen terpenting dari proses pembuatan keputusan ialah kegiatan pengumpulan informasi dari mana suatu apresiasi men-genai suatu keputusan dapat dibuat.
2
dan ilmu managemen. Beberapa pendekatan yang berbeda diajukan untuk meng-gabungkan respon-respon Pengambil Keputusan (DM) menjadi satu kompromi atau konsensus. Beberapa metode untuk penggabungan preferensi individu dia-jukan antara lain oleh : Kemeny dan Snell (1962), Kendall (1962), Inada (1969).
Masalah konsensus ranking dapat dikatagorikan menjadi dua kelompok dasar yaitu masalah Kardinal dan masalah Ordinal. Formulasi ranking Kardinal
terja-di terja-dimana DM dapat menyatakan tinggkat preferensi satu arternatif atas alter-natif lainnya . Ranking Kardinal adalah suatu bentuk fungsi utilitas. Sebaliknya ranking Ordinal tidak mengharuskan tingkat preferensi tertentu. Ranking Or-dinal lengkap dari n alternatif haruslah berupa susunan bilangan-bilangan bulat (1,2, . . . , n). Perolehan konsensus ranking Kardinal melibatkan optimisasi fungsi-fungsi kontinu atas keseluruhan daerah konveks. Akan tetapi, ranking Ordinal lebih kompleks karena melibatkan optimisasi sedemikian atas daerah tertentu. Dalam tesis ini penulis berkonsentrasi pada masalah ranking Ordinal. Daya tarik representasi dan formulasi ranking Ordinal adalah sebagian jumlah informasi mi-nimal dibutuhkan dimana masing masing DM hanya mengambil preferensi satu alternatif atas alternative lainnya. Bentuk pengembangan konsensus paling seder-hana dari pemeringkatan Ordinal adalah kaidah mayoritas.
3
Metode popular untuk mengembangkan konsensus adalah mendefenisikan fungsi jarak pada kumpulan semua ranking-ranking dan kemudian menentukan ranking Ordinal terdekat yang mungkin dalam artian jarak minimum.
Beberapa peneliti lainnya menggunakan integer programming dan goal pro-gramming untuk menyelesaikan masalah konsensus ranking. Ali et al (1986) mem-presentasikan pendekatan integer untuk mengembangkan konsensus ranking dari
fungsi jarak. Cook et al (2006) menggunakan percobaan simulasi yang ekstensif untuk membandingkan pendekatan integer programming dengan prosedur heuris-tik. Iz dan Jelassi (1991) menggunakan goal programming untuk mengukur pre-ferensi individu dari anggota-anggota kelompok melalui skema ranking Ordinal.
Kriteria ganda juga umum digunakan untuk merumuskan dan menyelesaikan masalah konsensus ranking Cook dan Kress (1991) mengajukan model ranking Ordinal berbobot dimana masing-masing kumpulan n alternatif diberi peringkat Ordinal atas sekumpulan kriteria. Kriteria tersebut adalah :
1. Pentingnya bobot yang dialokasikan pada masing masing kriteria.
2. Pentingnya berbagai posisi pada mana alternatif bisa ditempatkan, dan
3. Presisi dengan mana DM bisa membedakan antara alternatif-alternatif atas kriteria tertentu.
Menyimpulkan bahwa metode konsensus ranking optimal tidak bisa ditekankan kepada DM. Lebih baik memahami kekuatan dan kelemahan dari masing masing metode dan menyerahkan pilihan metode tertentu kepada DM.
1.2 Perumusan Masalah
4
1.3 Tujuan Penelitian
1. Tujuan penelitian ini adalah menggabungkan ranking - ranking individu menjadi konsensus ranking tunggal dari seluruh n alternatif untuk seluruh
k DM.
2. Dari algoritma: Algoritma Parsial, Pemeriksaan Heuristik, DCM, BK, MAH dan CRM, akan ditentukan hasil pengurutan ranking atas suatu rentang masalah dengan k DM dan n alternatif.
1.4 Kontribusi Penelitian
Kontribusi dari penelitian ini akan berguna kiranya untuk memahami apakah algoritma konsensus sangat mencerminkan keputusan konsensus yang dicapai ke-lompok - keke-lompok yang anggota-anggotanya telah lebih dahulu menyelesaikan ranking individual.
1.5 Metodologi Penelitian
a. Dapat memahami metode/algoritmaalgoritma, yaitu : Metoda Borda -Kendall (BK), Model Konsensus Ranking (CRM), Memaksimalkan model Heuristik persesuaian (MAH), Model Berbasis-jarak hybrid (DCM), Algo-ritma Parsial, AlgoAlgo-ritma Utama-Konsensus Ranking Optimal.
b. Dengan menggunakan metode/algoritma-algotitma diatas, maka dapat di-gabungkan sejumlah ranking-ranking menjadi satu konsensus ranking.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Perbandingan berpasangan
Format yang umum untuk mengekspresikan preferensi adalah menggunakan perbandingan berpasangan. Cara ekspresi orang untuk mengambil pilihan lang-sung atas satu objek ketimbang yang lainnya bila dibandingkan dua objek dan bukan mengharuskan orang membandingkan semua objek secara simultan. Cook dan Kress (1990) membahas, preferensi konsumen atas serangkaian produk umum-nya didapat dari responden dengan cara perbandingan berpasangan. Kepada konsumen umumnya diajukan pertanyaan berbentuk selera,” apakah anda lebih menyukai produk a atau produk b?”. Sebagai perbandingan berpasangan misal-nya,amengalahkanb. Dengan demikian, perbandingan berpasangan memberikan kerangka praktis, dalam berbagai keadaan, untuk mengumpulkan informasi ten-tang preferensi ordinal.
Memang sangat menarik bila perbandingan semua objek tidak dimungkinkan dan hanya ranking parsiel yang bisa diberikan. Dalam kasus dimana pemilih atau anggota komisi, hanya bisa menyampaikan preferensi tentang subset objek yang tepat, maka rangking parsial lah informasi yang paling bisa diberikan orang lain. Dalam sebagian setuasi, dapat dispesifikasi ranking total dari n objek atas skala ordinal dalam format vektor A= (a1, a2, ..., an) di mana ai ∈ {1,2, ..., n} adalah posisi ranking yang ditempati oleh objek i. Gambaran vektor seperti ini, tidak banyak artinya secara praktis, dan karenanya orang harus kembali ke perbandi-ngan berpasaperbandi-ngan. Metode berpasaperbandi-ngan jelas menguntungkan dalam aplikasi ini dimana masing-masing DM akan diminta menilai hanya suatu subset proposal.
di-6
ajukan ke konferensi utama dinilai sebelum diterima untuk dimasukkan dalam program. Pengajuan dikirimkan kepada banyak DM, yang mengembalikan evalu-asi mereka kepada komisi program yang kemudian bertemu selama berhari-hari untuk menyepakati daftar tulisan-tulisan yang diterima. Para DM umumnya tidak memperlakukan pengajuan dengan cara yang sama dengan yang mereka lakukan pada pengajuan jurnal (yaitu, mereka tidak bersedia menginvestasikan waktu dan usaha untuk melakukan peninjauan sepenuhnya). Karenanya, layak kiranya me-minta masing-masing DM untuk mengurutkan sejumlah ranking yang diajukan, dan kemudian menggabungkan hasilnya. Karena ranking hanya berfungsi sebagai bahan baku bagi komisi (yang mungkin menggantikan urutan yang direkomen-dasikan sebagian DM), ranking ordinal dan terutama penggunaan perbandingan berpasangan adalah pendekatan yang sangat diinginkan.
Terakhir, aplikasi yang menarik lainnya yang melibatkan penggabungan ran-king dari ranran-king-ranran-king parsial yang diperoleh melalui mesin pencari di World Wide Web. Cara ini berfungsi untuk menggambarkan kemungkinan aplikasi yang luas dari ranking ordinal dan perbandingan berpasangan di lingkungan praktek.
Masalah pengembangan konsensus ranking dari preferensi-preferensi yang diberikan dalam format berpasangan dikaji pertama kali oleh Kemeny dan Snell (1962) dan kemudian oleh Borgart (1975) yang memperluas struktur urutan par-sial. Dalam kedua kasus metode penyelesaian yang mungkin tidak ada dipresen-tasikan. Masalah konsensus ranking dalam kasus dimana preferensi-preferensi digambarkan dalam format vektor (urutan ranking) ada diteliti secara ekstensif oleh banyak peneliti antara lain Cook dan Seiford (1978), Kirkwood dan Sarin (1985) serta Cook dan Kress (1991),dan berbagai metoda penyelesaian yang di-dasarkan pada fungsi jarak.
2.2 Pelanggaran Konsensus
7
sensus ranking adalah meminimalkan jumlah pelanggaran (umumnya disebut de-ngan konsensus ranking pelanggaran minimum). Idenya adalah untuk memper-oleh ranking keseluruhan yang menunjukkan jumlah terkecil kasus di mana opini para pemilih atau responden dilanggar. Misalnya, jika pemilih lebih menyukaia
ketimbang b, namun konsensus ranking mengharuskan blebih disukai ketimbang
a, maka pelanggaranaterjadi. Walaupun ada kriteria lain untuk mengembangkan konsensus seperti teknik jarak aturan kaki Spearman, metoda pelanggaran mini-mumlah yang paling banyak digunakan dalam praktek. Sebagai contoh misalnya, ranking keseluruhan pemain dalam turnamen bertingkat dimaksudkan untuk men-jadi ranking yang menyimpang dari hasil kompetisi aktual hingga tingkat paling kecil yang mungkin. Sebagian besar alat praktis untuk menggabungkan preferensi-preferensi konsumen didasarkan pada ide ini. Dalam kasus ini, di mana preferensi-preferensi dispesifikasi ranking dalam format vektor, umumnya dihitung jumlah atau rata-rata ranking. Objek dengan penjumlahan atau rata-rata-rata-rata terendah menempati ranking pertama,dan seterusnya.
Cook et al (2006) mengembangkan algoritma cabang dan batas untuk men-capai konsensus ranking proposal-proposal dengan pelanggaran minimum. Di catat bahwa masalah pelanggaran minimum adalah NP-hard karena ekuivalensi-nya dengan masalah himpunan arc feedback minimum. Dengan demikian, meng-gunakan prosedur cabang dan batas adalah pendekatan yang layak. Walaupun mungkin hanya perlu menentukan proposal pemenang, dan bukan ranking total semua alternatif, metode berbasis-jarak yang di gunakan pada umumnya agar konsensus ranking total disusun sebelum proposal ’ranking puncak’ benar-benar ditemukan. Seperti yang akan dijelaskan, proposal pemenang bisa muncul se-belum algoritma mencapai ranking total seluruh alternatif.
2.3 Bobot
8
dengan m−2, ...,2 dan tempat terakhir diberi bobot atau nilai 1(satu). Karena kesederhanaan perhitungannya, metode BK sangat populer. Tetapi penentuan bobot agak bersifat subjektif.
Untuk menghindari subjektivitas dalam penentuan bobot, Cook Dan Kress (1990) mengajukan penggunaan data envelopment analisis (DEA) untuk menen-tukan bobot paling menguntungkan untuk masing-masing kandidat. Kandidat
yang berbeda-beda menggunakan kumpulan bobot yang berbeda untuk menghi-tung total bobot mereka, yang disebut sebagai total bobot relatip terbaik dan semuanya dibatasi pada lebih kecil dari atau sama dengan satu. Kandidat dengan totol bobot relatip terbesar dari satu disebut efficient DEA dan bisa dianggap se-bagai pemenang. Pendekatan ini sangat efektif, tetapi sangat sering menghasilkan lebih dari satu kandidat yang efisient DEA.
BAB 3
LANDASAN TEORI
3.1 Konsensus Ranking
Masalah dasar dalam prioritas konsensus ranking adalah masalah pengkom-binasian ranking-ranking menjadi pilihan kelompok atau konsensus ranking de-ngan diketahuinya sekumpulan ranking atas alternatif himpunan berhingga. Ma-salah perankingan dapat diklasifikasikan dalam dua katagori dasar, yaitu masa-lah kardinal dan masamasa-lah ordinal. Perumusan ranking kardinal mengharuskan individu menyatakan tingkat preferensi dalam ranking, sementara dalam ordinal tidak diperlukan. Masalah ordinal disebut ranking ordinal lengkap bila tidak ada ikatan dalam ranking dan sifat transitivitas ada. Masalah pengkombinasian ranking-ranking ordinal menjadi konsensus ranking yang paling sederhana adalah aturan mayoritas. Kendall (1962) mengajukan suatu pendekatan dimana pre-ferensi individu-individu, yang dinyatakan sebagai fator-faktor prioritas, cukup dijumlahkan dan kemudian diambil rata-rata sebagai pilihan konsensus.
3.2 Model Borda-Kendal (BK)
Dengan menggunakan model BK, hitunglah nilai rata-rata dari peringkat untuk masing masing proyek atas semua DM. Proyek dengan bobot gabungan terendah adalah proyek yang paling diinginkan dan proyek dengan bobot gabu-ngan tertinggi adalah proyek yang paling sedikit diinginkan.
3.3 Model Konsensus Ranking (CRM)
10
(ideal) untuk masing-masing permutasi. Selanjutnya, untuk masing-masing ma-triks frekwensi persesuaian total, jarak dari mama-triks ke mama-triks intensitas preferen-si dihitung dengan menghitung jumlah selipreferen-sih absolute antara matriks frekwenpreferen-si persesuaian total dan matriks intensitas preferensi.
3.4 Memaksimalkan model Heuristik persesuaian (MAH)
MAH menggunakan matriks persesuaian untuk masing-masing ranking pro-yek satu per satu. Jika untuk propro-yek i, Pi = 0, yang menyatakan secara tidak langsung bahwa tidak ada DM lebih menginginkan proyek i ketimbang proyek lainnya, proyek i ditempatkan di dasar pemeringkatan konsensus akhir. Akan tetapi, jika untuk proyeki, Ni = 0, yang menyatakan secara tidak langsung bah-wa tidak ada DM lebih menginginkan salah satu alternatif lainnya ketimbang proyek i, proyeki ditempatkan di puncak ranking.
3.5 Model berbasis-jarak hybrid (DCM)
DCM membentuk matriks preferensi tunggal yang menggambarkan berapa kali masing-masing proyek menempati ranking di atas ranking semua proyek lain-nya dan seperti hallain-nya CRM, DCM menggunakan metodologi perbandingan ma-triks ideal sebagai pengganti tugas berulang-ulang membangun kembali mama-triks persesuaian dalah MAH. Langkah pertama dalam DCM adalah mengembangkan matriks frekwensi awal yang menunjukkan berapa kali proyek i menempati ran-king di atas ranran-king proyek j.
3.6 Posedur Meranking.
11
terurut dariP. Dalam tulisan ini diasumsikan bahwa preferensi untuk peninjauk
diberikan oleh struktur perbandingan berpasangan biner melalui matriks ranking
Ak = ak pq
, dimana
akpq =
(
1 jika proposalplebih diinginkan ketimbangq
−1 jika proposalq lebih diinginkan ketimbangp
0 jikapdanq tidak dibandingkan
Karena tidak ada artinya membandingkan proposal pdengan dirinya sendiri, ma-ka ditetapma-kan ak
BAB 4
IMPLEMENTASI
4.1 Pendekatan berbasis - jarak
Kemeny dan Snell (1962) membuktikan bahwa dengan keberadaan him-punan aksioma-aksioma natural, fungsi jarak dalam ruang ranking adalah fung-sional nilai absolut. Pada dasarnya, jarak d antara setiap ranking dua matriks
A= (apq) dan B = (bpq) diberikan oleh
Definisi 1 Diketahui koleksi ranking parsial
A1, A2, . . . , Ak nilai konsensus
ran-king dari B (dalam representsi matriks) diberikan oleh
M(B) =
Untuk selanjutnya, kita sederhanakan notasi dengan menggunakan rumus M(R) di mana argumenR adalah ranking (dalam gambaran vektor) dan bukan matriks yang dihasilkannya.
Definisi 2 Sebuah rankingR∗ adalah konsensus ranking optimal jika
meminimal-kan nilai konsensus M(R) atas semua ranking yang mungkin di R.
13
Kita bisa menyatakan masalah sebagai rumus integer programming sebagai berikut. Definisikan himpunan variabel biner xpq untuk semua p 6= q di mana
xpq = 1 jika proposal plebih diinginkan dari pada proposalq dan 0 untuk lainnya. Juga, untuk setiap pasang proporsal {p, q}, misalkan statistik rangkuman rpq adalah jumlah peninjau yang lebih menginginkan q ketimbangp. Karenanya, rpq merupakan jumlah pelanggaran yang akan terjadi jika p mempunyai ranking di atas q dalam ranking akhir. Sekarang, selesaikan masalah integer programming biner.
Perlu ditegaskan bahwa walaupun secara teoritis kita bisa mengembangkan konsensus ranking dengan menyelesaikan masalah di atas, ukuran menjadi isu uta-ma. Pada pokoknya, jumlah batasan diberikan olehN(N−1)(N−2) +0,5N(N−
1), yang untuk kasus, katakanlah, 60 proposal menghasilkan sekitar 207.090 ba-tasan. Untuk menyelesaikan masalah ini digunakan algoritma cabang dan batas. Sekali lagi, jelas bahwa sejumlah prosedur untuk berbagai representasi ranking ada dibahas dalam Cook dan Kress (1991). Akan tetapi, tidak ada metodologi formal dengan test perhitungan yang menyertainya dipresentasikan untuk metode konsensus Kemeny dan Snell (1962).
Untuk menginisiasi algoritma cabang dan batas di definisikan uk sebagai jumlah proporsal yang dievaluasi peninjau k. Di catat bahwa nilai dari rpq dan
14
Di manap≻R qmenotasikan fakta bahwapmendahuluiqdalam rankingR. Penjumlahan pertama dalam (3) menghitung jumlah kasus di mana peninjau lebih menginginkan p ketimbang q tetapi g mendapat ranking pada posisi lebih tinggi dalam ranking R. Setiap kasus sedemikian mengkontribusikan 1 kepada M(R). Penjumlahan kedua menghitung kasus di mana peninjau tidak menyampaikan preferensi antara p dan q (karena ia tidak meninjau kedua proposal ini). Setiap kasus sedemikian mengkontribusikan 1
2 kepada nilai konsensus. Diketahui bahwa penjumlahan kedua didefinisikan secara unik oleh nilai N dan u1, . . . , uk yang tetap konstan untuk semua ranking. Karena itu, ranking yang meminimalkan
M(R) = X
{p,q}∈P:p≻Rq
rpq (4.4)
juga meminimalkanM(R). Karenanya, untuk selanjutnya akan dikaji minimisasi
M(R) sebagai penggantiM(R).
Proposisi 4.1 (Sifat separabilitas) Perhatikan konsensus ranking optimalR∗ dari
suatu himpunan proposal P. Misalkan R1, . . . , Rm adalah partisi dari R∗ ke
dalam m sub-ranking berturut-turut yang membagi P menjadi P1, . . . , Pm. Maka
R1, . . . , Rm adalah konsensus ranking optimal dari P1, . . . , Pm berkenaan dengan
preferensi peninjau yang sama.
Bukti. Perhatikan nilai dari ranking R∗
M(R∗) = X
Sekarang, melalui kontradiksi asumsikan bahwa untuk suatuiterdapat suatu
r′
i (ranking proposal-proposal Pi) sedemikian sehingga M(R′i)< M(Ri). Dengan menggantiRi dengan R′i hanya mempengaruhi suku ke-idalam penjumlahan ke-dua dalam (5) dan karenanya optimalitas R∗ kontradiksi.
15
Proposisi 4.2 Setiap awalan dari suatu ranking optimal memenuhi syarat 1-3 Definisi 3.3.
Bukti. Perhatikan ranking R = (q1, . . . , qs, . . . , qn). Jika syarat 1 dilanggar untuk awalan (q1, . . . , qs) maka ranking (q1, . . . , qs−1, qs+1, . . . , qn.qs) lebih baik daripada
R. Untuk mengetahuinya, catat bahwa dengan menggeser qs ke ujung, ukuran konsensus meningkat hinggaP
q∈P\Rrq,qskarena peninjau yang lebih menginginkan
qs ketimbang proposal{qs+1, . . . , qn}tetapi berkurang hingga
P
q∈P\Rrqs,q karena peninjau yang lebih menginginkan proposal ini ketimbangqs.
Untuk pertimbangan serupa, jika syarat 2 dilanggar maka ranking (q1, . . .
, qa−1, qs, qa, . . . , qs−1, qs+1, . . . , qs) lebih baik daripada R. Jika syarat ketiga di-langgar maka ranking (q1, . . . , qa−1, qa+1, . . . , qs−1, qa, qa+1, . . . , qs−1, qa, qs, . . . , qn) lebih baik.
Proposisi 4.3 Ada ranking optimal yang memenuhi syarat 4 untuk semua awalan-nya.
Bukti. Perhatikan ranking R1 = (q1, . . . , qn) di mana awalan (q1, . . . , qs) adalah sub-ranking terpendek yang menunjukkan pelanggaran atas syarat 4 untuka′< s dan misalkan a indeks minimal sedemikian berkenaan dengan s. Catat bahwa karena R adalah ranking optimal maka syarat 2 berlaku dan karenanya ketak-samaan syarat 4 dilanggar dengan keketak-samaan. Yaitu, Ps−1
i=arqs,qi =
Ps−1
16
baru R2 = (q1, . . . , qa−1, qs, qa, . . . , qn). Jika ranking R2 tetap melanggar syarat 4 kita bisa mengaplikasikan prosedur yang sama berulang-ulang. Karena jumlah ranking yang mungkin (dan khususnya ranking optimal) berhingga maka hanya ada dua kemungkinan yang harus dipertimbangkan. Prosedur ini diakhiri dalam
Rk yang memenuhi syarat 4 atau ini merupakan prosedur siklik dan karenanya un-tuk suatukkita perolehRk =R1. Asumsikan melalui kontradiksi bahwa prosedur mungkin siklik. Misalkanblokasi ”tertinggi” dalam ranking yang berubah selama siklus R1, . . . , Rk. Yaitu setiap proposal yang rankingnya di atas qb dalam R1 melanggengkan lokasinya sepanjang siklus. Mari kita tinjau rangkaian proposal yang mendapat ranking tertinggi sepanjang siklus. Catat bahwa setiap proposal sedemikian harus memenuhi indeks yang lebih rendah daripada pendahulunya di lokasi ke-b. Untuk lainnya, ini tidak bisa melanggar syarat 4. Karenanya prosedur tidak bisa siklus dan proposisi terbukti.
4.2 Algoritma Parsial.
Dalam algoritma di bawah ini di mulai dengan ranking parsial kosong R. Untuk setiap proposal p yang belum di ranking dan merupakan suksesor persis dari R yang memenuhi syarat batas bawah. Jika batas bawah ini lebih rendah dari pada nilai penyelesaian terbaik yang diketahui, di cantumkan proposal p ke ranking parsial dan di simpan ranking ini sebagai node baru dalam tree cabang dan batas yang di tentukan. Selanjutnya jalankan pemeriksaan heuristik, yang telah dijelaskan di atas, untuk memperluas awalan yang diperoleh ke dalam ranking total untuk membentuk batas atas. Jika batas atas ini lebih rendah dari nilai penyelesaian terbaik yang diketahui saat ini, maka di ambil sebagai penyelesaian terbaik incumbent baru yang diketahui.
Batas bawah untuk semua ranking dengan awalanR diberikan oleh,
M(R) = X
17
bahwa R′ adalah ranking yang dibentuk dengan membubuhkan proposal tunggal
p pada ranking R (di dasar) maka
M(R′) =M(R) + X q∈P2
{rpq−min{rpq, rqp}} (4.7)
Dengan demikian, meng-update batas bawah setelah memperluas ranking parsial tertentu lebih mudah daripada menghitungnya dari goresan.
Batas atasdapat dihitung dengan memperluas ranking parsial di setiap node dengan menggunakan metode heuristik cepat. Di bawah ini di uraikan bagaimana aturan mayoritas diaplikasikan secara literatur untuk melaksanakan tugas ini.
4.3 Pemeriksaan Heuristik
Input: himpunan proposal-proposal P, dengan peninjau lebih menginginkan statistik rangkuman {rpq}.
Output: Ranking total dengan R sebagai awalan dan ukuran konsensus yang dihasilkan.
Inisialisasi: Misalkan P adalah himpunan proposal yang bukan di dalamR. IterasiP Sementara P 6=∅, tentukan suatu proposal p∈P dengan ratio
q∈P1rpq
P
q∈Prpq+
P
q∈Prqp minimum. TambahkanppadaR sebagai proposal terakhir, coret proposal tersebut dariP dan ulangi.
Output Kembali ke ranking R.
Prosedur ini dapat diganti dengan setiap heuristik yang baik, termasuk heuristik pencarian neighborhood. Akan tetapi karena prosedur ini akan digu-nakan pada setiap node yang dimasukkan pada tree percabangan, maka prosedur ini haruslah prosedur yang cepat.
18
4.4 Algoritma Utama - Konsensus ranking Optimal
Langkah-langkah yang dilakukan untuk memperoleh penyelesaian optimal adalah sebagai berikut :
Input: Himpunan proposal-proposal P dan statistik rangkuman keputusan pe-ninjau {rpq} untuk semua {p, q} ⊆P.
Langkah 0 (Inisialisasi): Tentukan ranking parsial yang mendominasi dan yang
didominasi berkenaan dengan himpunan semua proposal. Tetapkan proposal-proposal ini sebagai proposal-proposal puncak dan proposal-proposal dasar masing-masing T dan
B dan coret dari P. Misalnya R0 adalah ranking awal kosong . Gunakan (6) untuk menghitung batas bawah M(R0) dan simpan sebagai node akar dari tree cabang dan batas. Definisikan node ini sebagai node aktif. Gunakan heuristik pemeriksaan untuk memperoleh ranking terbaik awal yang diketahui dan me-nyimpan ukuran konsensusnya sebagai batas atas Y. Jika batas bawah dari node akan sama dengan batas atas, maka lanjutkan ke Tahap 3.
Langkah 1 (Memilih node untuk percabangan): Pilih dari himpunan node-node aktif dari tree cabang dan batas himpunan dengan batas bawah terendah. Dalam kasus ikatan, pilih node dengan ranking parsial terpanjang. Notasikan ranking node yang dipilih sebagai Rc. Nonaktifkan node yang dipilih. Jika batas bawahnyaM(R) lebih rendah daripada penyelesaian terbaik yang diketahui, ma-ka lanjutma-kan ke Tahap 3.
Langkah 2: Untuk semua suksesor segera dari Rc yang memenuhi syarat, p ∈
S(Rc) :
Langkah 2a(Pencabangan): Bentuk ranking parsial kandidat Rn dengan Rc yang diikuti dengan p.
Langkah 2b (Pembatasan): Gunakan (7) untuk menghitung batas bawah
M(Rn). Jika batas bawah ini tidak lebih rendah daripada penyelesaian terbaik yang diketahui, maka lanjutkan ke Tahap 3.
Langka 2c (Bentuk node baru): TambahkanRn sebagai node aktif pada tree dan simpan M(Rn) dengan node ini.
19
menghitung ukuran konsensus M(Rc
n). Jika ukuran ini lebih rendah daripada nilai penyelesaian terbaik yang diketahui maka, simpanlah sebagai penyelesaian terbaik incumbent baru yang diketahui dan nonaktifkan semua node yang batas bawahnya lebih besar daripada batas atas baru.
Langkah 3 (Pengakhiran): Jika masih ada node aktif, kembali ke Tahap 1. Untuk lainnya, berhenti dan kembali ke ranking incumbent yang didahuluiT dan diikuti dengan B.
Perlu dicatat bahwa penulis dapat menemukan optimum-optimum berselang-seling sewaktu mengaplikasikan algoritma yang diberikan . Dalam kasus sedemi-kian, mungkin ada baiknya dimasukkan fungsi tujuan sekunder yang akan dipilih dari penyelesaian-penyelesaian optimal alternatip, fungsi tujuan yang ”paling se-imbang” dalam bentuk pendistribusian pelanggaran semerata mungkin atas para peninjau. Dengan cara ini, hasil akan dipandang peninjau sebagai representasi yang adil dari opini-opini mereka. Mekanisme sedemikian bisa menjadi cara yang berarti dalam menyelesaikan ikatan dalam penyelesaian optimal untuk masalah. Akan tetapi, mengimplementasikan mekanisme sedemikian mengharuskan peng-operasian algoritma utama. Karenanya, dalam tulisan ini penulis tidak berusaha mengatasi isu ini. Ini bisa menjadi topik penelitian masa mendatang.
4.5 Menyelesaikan permasalahan numeric.
Persoalan numerik berikut dapat diselesaikan dengan menggunakan Model atau Algoritma-algoritma yang diajukan untuk menggambarakan aplikasi peme-nang dan menghasilkan satu konsensus ranking. Perhatikan contoh yang diselidiki oleh Cook at al (2005) seperti tabel berikut : Matriks di bawah ini merangkumkan
20
Inisialisasi: Mula-mula di identifikasi ranking parsial yang mendominasi dan yang didominasi. Catat bahwa untuk semua p ∈ P = {1, . . . ,6} di peroleh r2p ≤ rp2 dan karenanya menetapkan T = (2) dan di coret {2} dari P. Selanjutnya, di identifikasi proposal 5 sebagai proposal yang didominasi dan karenanya dapat di tetapkan B = (5) dan P = {1,3,4,6}. Dengan P baru, proposal 3 juga didominasi dan karenanya di tambahkan pada B(B = (3,5)) dan mencoretnya dari P(P ={1,4,6}). Sampai di sini tidak ada proposal yang mendominasi atau yang didominasi tersisa. Sebagai contoh misalnya, proposal 1 bukan proposal yang mendominasi berkenaan dengan P karena r16 > r61 dan proposal ini bukan proposal yang didominasi karenar14< r41. Matriks evaluasi peninjau yang tersisa sekarang diberikan oleh:
(1) (4) (6)
rpq = (1) 0 0 2
(4) 2 0 1
(6) 1 2 0
Selanjutnya, di hitung batas bawah untuk semua ranking (dari proposal ter-sisa) dengan menggunakan (6) dan di peroleh M (ranking kosong) = 2. Untuk memperoleh batas atas, di gunakan heuristik penyelidikan. Mula-mula di hitung indeks mayoritas M1 =
2 Di peroleh ranking 1 ≻ 4 ≻ 6 dan di simpan sebagai penyelesaian incumbent. Dengan menggunakan (4) dihitung hitung ukuran konsensus ranking ini M(1 ≻
4≻6) = 2 + 1 = 3. Ini adalah batas atas untuk saat ini.
pro-21
maka di periksa semuanya.
• Menambahkan proposal 1: Tersisa proposal P = {4,6} di mana proposal 4 mendominasi proposal 6 dan karenanya di peroleh ranking 1 ≻ 4 ≻ 6 dengan M(1 ≻4≻6) = 2 + 1 = 3. Ini merupakan ranking total yang tidak lebih baik daripada penyelesaian optimal pada saat ini karenanya tidak perlu menambahkannya pada tree cabang dan batas.
• Menambahkan proposal 4: Tersisa proposal P = {1,6} di mana proposal 6 mendominasi proposal 1 dan karenanya di peroleh ranking 4 ≻ 6 ≻ 1 dengan M(4 ≻ 6 ≻ 1) = 4. Ini merupakan ranking total yang tidak lebih baik daripada penyelesaian optimal pada saat ini karenanya tidak perlu menambahkannya pada tree cabang dan batas.
• Menambahkan proposal 6: Tersisa proposal P = {1,4} di mana proposal 4 mendominasi proposal 1 dan karenanya di peroleh ranking 6 ≻ 4 ≻ 1 dengan M(6 ≻ 4 ≻ 1) = 5. Ini merupakan ranking total yang sekali lagi tidak lebih baik daripada penyelesaian optimal saat ini.
Sekarang tidak ada tersisa node aktif dalam tree cabang dan batas dan karenanya dapat di nyatakan penyelesaian terbaik yang diketahui saat ini sebagai ranking optimal dariP ={1,4,6}. Terakhir, di ”gabungkan” ranking-ranking yang men-dominasi dan yang dimen-dominasi, yang diperoleh pada tahap inisialisasi, dengan ranking ini diperoleh penyelesaian optimal 2≻ 1≻4≻6≻3≻5.
4.6 Model
22
alternatif, meranking satu per satu alternatif, hingga semua alternatif dibuat ran-kingnya. Seperti halnya CRM, DCM menggunakan metodologi perbandingan ma-triks ideal sebagai pengganti tugas berulang-ulang membangun kembali mama-triks persesuaian MAH. Matrik ideal dikembangkan untuk masing-masing permutasi yang mungkin. Matriks ideal adalah matriks persesuaian yang akan dihasilkan ji-ka semua DM mencapai persesuaian total atas ranking semua alternatif. Perban-dingan jarak (jumlah selisih absolut matriks aktual versus masing-masing matriks ideal) digunakan untuk menentukan solusi optimal atau matriks ideal yang paling mendekati matriks preferensi awal.
Untuk merumuskan model aljabar DCM, perhatikan masalah konsensus ran-king umum dengan k DM dannalternatif. Didefenisikan matriks preferensi awal,
A= (aij), dimana aij adalah berapa kali alternatoif i mendapat ranking didepan
j. Lebih lanjut didefenisikan matriks ideal, C = (cij(,dimana ranking seluruh n alternatif untuk semua k DM identik dan cij = k, bila i mendapat ranking di depan j dan cij = 0,bila i tidak mendapat ranking di depan j. Perlu di ingat bahwa cii = 0 untuki = 1,2, . . . , n.
Selanjutnya, di defenisikan suatu himpunan sifat, defenisi dan aksioma yang serupa dengan yang diajukan Cook dan Kress. Perhatikan semua matriks ideal
C = (cij), masing- masing matriks menyatakan ranking n alternatif oleh k DM. Sifat 4.1. (trasitivitas). Untuk masing-masing matriks C, jika alternatif i lebih diinginkan ketimbang alternatif j dan j lebih diinginkan ketimbang k, maka al-ternatif i lebih diinginkan ketimbang alternatifk.
Sifat 4.2. Ranking C1 disebut adiacent dengan ranking C2 jika terdapat i dan j sedemikian sehingga (c1
ij =k dan c untuk semua pasangan (i, j) lainnya.
Defenisi 4.3. Ranking C1 disebut adjacent ber-degree m dengan ranking C2 jika terdapat m pasang (i, j) yang berbeda sedemikian sehingga (c1
ij =k dan c 2 ij = 0).
23
Aksioma 4.4. (persyaratan matriks). Untuk setiap tiga ranking C1, C2, C3,
(a) d(C1, C2)≥0,
(b) d(C1, C2) =d(C2, C1),
(c) d(C1, C2) +d(C2, C3)≥d(C1, C3)
Aksioma 4.5 (proporsionalitas). Jarak antara dua ranking yang adjacent seban-ding dengan degree adjacency.
Dengan diberikannya defenisi dan aksioma ini, fungsi jarak berikut bisa didefenisikan antara setiap dua rankingC1 dan C2 : d(C1, C2) =
Sekarang, perhatikan semua matriks ideal yang mungkin dan hitung jarak antara masing-masing matriks dan matriks preferensi awal. Gunakan fungsi jarak yang didefenisikan diatas untuk menghitung jarak antara matriks ideal C dan matriks preferensi A sebagai berikut :
d(C, A) =
Solusi optimal dinotasikan oleh konsensus ranking matriks ideal yang meminimal-kan jarak antara C dan A.
Contoh.
24
lima proyek yang dipertimbangkan dalam contoh ini. Tabel 4.1 memperlihatkan pemeringkatan untuk DM A hingga G dan proyek 1 hingga 5.
(Madjid Tavana ,et al, 2007).
Tabel 4.2 : Peringkat awal individu Proyek
DM Pilihan Pilihan Pilihan Pilihan Pilihan Pertama Kedua Ketiga Keempat Kelima
A 3 1 2 4 5
em Model Borda-Kendall (BAK). Dengan menggunakan BAK, kita hitung nilai rata-rata dari ranking untuk masing-masing proyek atas semua DM. Sebagai contoh misalnya, dalam Tabel 4.1, proyek 1 menempati ranking 2 oleh DM A, ranking 4 oleh DM B, ranking 3 oleh DM C, ranking 4 oleh DM D dan ranking 5 oleh DM E, ranking 1 oleh DM F dan ranking 3 oleh DM G. Ranking rata-rata untuk proyek 1 atas semua DM adalah (2 + 4 + 3 + 4 + 5 + 1 + 3)/7 = 3,14. Tabel 4.2 memperlihatkan nilai ranking rata-rata untuk semua Proyek bersama-sama dengan konsessus ranking. Proyek dengan skor gabungan terendah adalah proyek yang paling diinginkan dan proyek dengan skor gabungan tertinggi adalah proyek yang paling sedikit diinginkan. Konsensus ranking akhir dari ke lima proyek yang dipertimbangkan dengan menggunakan BAK adalah 34152.
Tabel 4.3 : BAK. Solusi konsensus ranking (3-4-1-5-2) Project Nilai rata-rata Konsensus ranking
1 3,14 3
2 3.57 4
3 2,43 1
4 2,57 5
5 3,29 4
mu-25
proyek i lebih diinginkan ketimbang proyek j untuk masing-masing DM. CRM mengevaluasi semua permutasi urutan ranking yang mungkin dengan mengem-bangkan matriks frekuensi dari total persesuaian (ideal) untuk masing-masing per-mutasi. Terdapat 120 permutasi yang mungkin untuk ke lima proyek yang diper-timbangkan. Untuk masing-masing permutasi yang mungkin, matriks frekuensi persesuaian total dibentuk dan dibandingkan dengan masing-masing matriks in-tensitas preferensi DM. Selanjutnya, untuk masing-masing matriks frekuensi per-sesuaian total, jarak dari matriks ke matriks intensitas preferensi dihitung dengan menghitung jumlah selisih absolut antara matriks frekuensi persesuaian total dan matriks intensitas preferensi. Tabel 4.3 memperlihatkan matriks intensitas prefe-rensi, matriks persesuaian total, selisih absolut dan jumlah jarak untuk konsensus ranking di mana proyek 3 menempati ranking 1, proyek 5 menempati ranking 2, proyek 2 menempati ranking 3, proyek 1 menempati ranking 4 dan proyek 4 menempati ranking 5 (permutasi 3-5-2-1-4). Matriks persesuaian total yang diper-lihatkan dalam Tabel 4.3, yang biasanya sama untuk masing-masing DM, adalah matriks yang meminimalkan selisih absolut antar-DM dan karenanya merupakan matriks untuk yang terbaik dari ke 120 permutasi. Pada pokoknya, proses yang sama di ikuti untuk ke 119 matriks frekuensi perseusian total lainnya dan yang dipresentasikan dalam Tabel 4.3 adalah matriks terbaik atau yang dinyatakan secara berbeda mencerminkan ranking optimal menurut CRM.
26
Tabel 4.4 : CRM Solusi konsensus ranking (3-5-2-1-4)
Matriks intensitas Matriks frekwensi Selisih absolute Jumlah Preferensi Pesesuaian total
Proyek j Proyek j Proyekj jarak
27
Seperti yang diperlihatkan dalam Tabel 4.4(a), tidak ada nilai nol dalam P
atau N dalam contoh ini. Karena itu, selisih dalam persesuaian DM total dan perbedaan (Pi−Ni) dihitung untuk masing-masing proyek, dan proyek 2 dengan (Pi−Ni) terkecil ditempatkan di dasar konsensus ranking. Karena kepada proyek 2 dialokasikan suatu posisi dalam konsensus ranking akhir, proyek ini dieliminir dari pertimbangan lebih lanjut. Proyek lainnya membentuk matriks baru dan prosesnya diulangi hingga semua proyek ditetapkan rankingnya. Tabel 4.4(b) hingga 4.4(e) memperlihatkan iterasi lainnya. Konsensus rankingnya adalah 4-3-1-5-2. Yaitu, proyek 4 ranking 1; proyek 3 ranking 2; proyek 1 ranking 3; proyek 5 ranking 4; dan proyek 2 ranking 5.
Tabel 4.4(a) MAH Solusi konsensus ranking (4-3-1-5-2) Proyek 1 2 3 4 5 Pi Pi −Ni
Tabel 4.4(b) MAH Pilihan proyek 5 (X-X-X-5-2) Proyek 1 3 4 5 Pi Pi−Ni
Tabel 4.4(c) MAH Pilihan proyek 1 (X-X-1-5-2) Proyek 1 3 4 Pi Pi−Ni
1 0 3 3 6 -2
3 4 0 3 7 0
4 4 4 0 8 2
Ni 8 7 6 -
28
Table 4.4(d) MAH Pilihan proyek 3(X-3-1-5-2) Proyek 3 4 Pi Pi−Ni
3 0 3 3 -1
4 4 0 4 1
Ni 4 3 -
-Tabel 4.4(e) MAH Pilihan proyek 4 (4-3-1-5-2) Proyek 4 Pi Pi −Ni
4 0 4 1
Ni 3 -
-pengganti tugas berulang-ulang membangun kembali matriks persesuaian dalam MAH. Langkah pertama dalam DCM adalah mengembangkan matriks frekuensi awal yang menunjukkan berapa kali proyeki menempati ranking di atas ranking proyek j. Selanjutnya, kita perhatikan matriks ideal di mana ranking ke lima proyek untuk ke tujuh DM identik. Matriks ideal dikembangkan untuk masing-masing permutasi yang mungkin dari proyek. Perbandingan jarak (jumlah selisih absolut matriks frekuensi dan matriks ideal) digunakan untuk menentukan so-lusi optimal atau matriks ideal yang paling mendekati matriks frekuensi. Dalam contoh ini, permutasi 4-3-5-1-2 dengan total jarak 52 adalah konsensus ranking. Tabel 4.5 memperlihatkan matriks frekuensi dan matriks ideal bersama-sama de-ngan matriks selisih absolut untuk solusi konsensus ranking.
Tabel 4.5 DCM. Solusi konsensus ranking (4-3-5-1-2)
Matriks frekwensi Matriks ideal Selisih absolut Jumlah selisih
Proyek j Proyek j Proyekj absolut (jarak)
Proyek 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 0 4 3 3 3 0 7 0 0 0 0 3 3 3 3
2 3 0 1 3 3 0 0 0 0 0 3 0 1 3 3
i 3 4 6 0 3 5 7 7 0 0 7 3 1 0 3 2
4 4 4 4 0 5 7 7 7 0 7 3 3 3 0 2
BAB 5
KESIMPULAN
Representasi perbandingan-berpasangan preferensi dalam berbagai aplikasi diperoleh hanya dalam format ordinal. Dalam aplikasi di sini, di mana masing-masing peninjau hanya melihat suatu subset proposal, karenanya hanya pengu-rutan parsial yang bisa diberikan masing-masing peninjau, format representasi preferensi ini adalah ideal. Dalam mencapai konsensus opini para peninjau, se-bagaimana ditunjukkan oleh perbandingan berpasangan parsial yang diberikan, diawali dengan penelitian. Meskipun dengan daya aplikasi yang luas dari ide konsensus, dan kriteria terkait dalam meminimalkan jumlah pelanggaran namun tidak banyak usaha diberikan dalam pengembangan aktual algoritma efektif un-tuk mencapai konsensus sedemikian.
Tulisan ini dasar untuk menentukan konsensus ranking pelanggaran mini-num. Penulis mempresentasikan algoritma cabang dan batas untuk menghitung konsensus di antara seragkaian jawaban pemilih, dan menunjukkan kemampuan penyelesaiannya untuk berbagai masalah, dalam bentuk banyaknya peninjau dan proposal. Terakhir, digabungkan rankingh-ranking yang mendominasi dan yang didomonasi, sehingga diperoleh penyelesaian optimal. Dengan demikian, algorit-ma yang diuraikan di sini merupakan alat penting untuk menyelesaikan aplikasi konsensus ranking berskala besar.
30
konsensus tunggal dari seluruh ken item untuk seluruhk DM.
DAFTAR PUSTAKA
Ali, I., Cook, W.D. and Kress, M. (1986)” Ordinal ranking and intensity of pre-ference: a linear programming approach” , Management Science,Vol. 32,no. 12, pp.1642-1647.
Borda. J. C (1781)”Memoire sur les elections au scrutiny,” inHistoire de l’Academie Royale des sciences, Paris.
Bogart. K. P (1975), ”Preference structures-II: distances between asymmetric re-lations,” SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 29,no.2, pp. 254-262.
Cook, W.D. (2006) ’Distance-based and adhoc consensus models in ordinal prefe-rence ranking. European Jurnal of Operational Research. 172, pp. 369-385
Cook W.D, B. Golany, M. Penn and T.Raviv. (2006). Creating a Consensus Ran-king of Proposals from Reviewers’ Partial Ordinal RanRan-king.Working Paper, York Uversit
Cook, W.D., B. Golany, M. Penn, T. Raviv.(2005). Optimal Allocation of Proposals to Reviewers to Facilitate Effective Ranking, Management Sci-ence,forthcoming.
Cook, W.D., Kress.M (1991). Ordinal information and preference structures: de-cision medels and applications, Prentice-Hall,Nedw Jersey.
Cook, W.D.,M. Kress(1990). Anmth generation model for weak ranking of players in tournament, Journal of the Operational Research society, 41(12), 1111-1119.
Cook, W.D, L.M. Seiford. (1982). The Borda-Kendall Consensus methods for prio-rity ranking problems, Management Science, 28 (6), 621-637.
Cook, W.M, L.M. Seiford.(1978). Priority ranking and consensus formation, Ma-nagement Science, 24(16), 1721-1732.
Cook.W.D and Saipe.A.L (1976),”Committee approach to priority planning: the median ranking method,” Cahiers du Centre d’Etudes de Recherche Opera-tionnelle, vol.18, no.3, pp.337-351.
Foroughi AA and Tamiz M (2005). An effective total ranking model for a ranked voting system. Omega 33: 491 - 496
Golany, B., M. Kress. (1993). A multi-criteria evaluation of methods for obtaining-weights from ratio-scale matrices,European Journal of Operational Research, 69(2), 210-220.
Inada. K.(1969),”The simple majority decision rule,” Econometrica,vol. 37,no. 3, pp. 490-506
32
Kemeny.J.G and Snell.J.L (1962),”Preference ranking: an axiomatic ap-proach,” in MathematicalModels in the Social Sciences,chapter 2,pp.9-23,Ginn,Boston,Mas,USA.
Kendall. M (1962), Rank Corelation Methods, Hafner , New York, NY, USA,3rd edition.
Keesey.R.E (1974), Modern Parliamentary Procedure,Houghton Mifflin, Boston,Mass,USA.
Kirwood.C.W, Sarin.R.K (1985).Ranking with partial information -a method and an application, Operations Research, 33(1), 38-48.
Kruger’ H.A, Kearney’.W.D (2008) Consensus ranking - An ICT security awareness case satudy. Journal ScienceDirect , North-West University
Madjid Tavana, Frank LoPinto, and James W. Smither (2007) A Hybrid Distance - Based Ideal - Seeking Consensus Ranking Model . Journal of applied Ma-thematics and Decision Sciences ,Article ID 20489, 18 pages.
Muralidharan. C, Anantharaman.N, and Deshmukh S.G, (2002) ”A multi-criteria group decision-making model for supplier rating,” The Journal of Supply Chain Management, vol. 38, no.4, pp.22-33.
