MODUL 1
MATEMATIKA
Oleh
Dra. Aty Herawati, MSi
FAKULTAS EKONOMI
Modul 1
MODEL MATEMATIKA DAN HIMPUNAN
Tujuan Instruksional Khusus:
Diharapkan mahasiswa dapat memahami konsep himpunan dan memanfaatkan teori himpunan dalam analisis matematika di bidang ekonomi dan bisnis.
Materi Pembahasan:
1. Model Matematika
2. Konsep dan Teori Himpunan
1. Model Matematika
Dalam suatu perekonomian, hubungan antara variabel-variabel ekonomi yang satu dengan lainnya sangat kompleks. Oleh karena itu, untuk memudahkan hubungan antar varibel ini, maka cara yang terbaik adalah memilih dari sekian banyak variabel ekonomi yang sesuai dengan permasalahan ekonomi, kemudian kita hubungkan sedemikian rupa sehingga bentuk hubungan antar-variabel ekonomi menjadi sederhana dan relevan dengan keadaaan ekonomi yang ada. Penyederhanaan hubungan antara variabel ekonomi ini sering kita sebut model ekonomi, karena hanya merupakan kerangka dasar dari dunia nyata yang sesungguhnya.
Model ekonomi ini dapat berbentuk model matematika dan non-matematika. Apabila berbentuk model matematika, maka akan terdiri dari satu atau sekumpulan persamaan. Persamaan ini terdiri dari sejumlah variabel, konstanta koefisien, dan atau parameter.
Pada bahasan kali ini akan membahas konsep-konsep mengenai: varabel, konstanta, koefisien, dan, parameter, persamaan dan pertidaksamaan, sistem bilangan nyata, konsep dan teori himpunan, dan operasi himpunan.
a. Variabel, Konstanta, Koefisien, dan Parameter
Model matematika sering dinyatakan dengan sekelompok tanda atau symbol, masing-masingnya terdiri dari beberapa kombinasi variable,konstanta, koefisien dan atau parameter.
Variabel
adalah sesuatu yang nilainya berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Dalam matematika terapan (ekonomi dan bisnis), variable sering dilambangkan dengan huruf yang ada didepan nama variable tersebut. Contoh: Harga(price) = P, jumlah yang diminta (quantity) = Q, Biaya(cost) = C, penerimaan(revenue) = R, Investasi(investment)= I, tingkat suku bunga(interest rate)= i.
Variabel dalam ekonomi ada dua, yaitu variable endogen dan variable eksogen. Variabel endogen adalah variable yang nilai penyelesaiannya diperoleh dalam model. Variabel eksogen adalah variable yang nilai penyelesaiaannya diperoleh dari luar model, atau sudah ditentukan dari data yang ada.
Misalnya dalam analisa penentuan harga dan jumlah keseimbangan pasar suatu eksogen diberi tanda subscript 0 sedangkan variable endogen tidak.
Konstanta adalah bilangan nyata tunggal yang nilainya tidak berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Konstanta adalah sama dengan variable eksogen karena nilainya sudah tetap berupa data. Apabila konstanta dan variable digabungkan menjadi satu, missal: 4P, 0.3C,maka angka konstanta yang ada didepan variable disebut koefisien. Dapat dikatakan bahwa koefisien adalah angka pengali konstan terhadap variable.
Jika konstanta digabungkan dengan variable,dimanakonstanta tadi disimbolkan dengan a, maka yang terjadi adalah aR, aP atau aC. Nilai a ini adalah suatu konstanta yang bersifat variable,maka disebut konstanta parameter atau parameter. Sehingga dikatakan bahwa parameter adalah nilai tertentu dalam masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada masalah yang lain.
b. Persamaan dan Pertidaksamaan
Model matematika sering mencakup satu pernyataan atau sekelompok pernyataan yang terdiri dari variable dan konstanta. Pernyataan dalam matematika sering disebut lambang,dan jika lambing tersebut dipisahkan oleh tanda positif atau negatif,maka bagian ini disebut suku(terms). Suatu factor adalah satu dari pengali-pengali yang dipisahkan dalamsuatu hasil kali.
Contoh: pernyataan matematika adalah 3 XYZ + XY – 5XZ, pernyataan ini adalah lambing dari tiga bilangan bulat 3, 1 dan 5 dan tiga variable yaitu X, Y dan Z. Lambang matematikanya terdiri dari variable dan konstanta. Hal ini penting untuk membangun model matematika. Model matematika tersebut akan berarti jika ditata sedemikian rupa sehingga menjadi persamaan dan pertidaksamaan.
Persamaan adalah suatu pernyataan bahwa dua lambang sama, sedangkan
pertidaksamaan adalah suatu pernyataan dua lambang tidak sama.
bentuk kesamaan diantara dua pernyataan yang mempunyai arti sama. Contoh: penerimaan total adalah perkalian antara harga perunit dengan jumlah barang yang terjual. Dapat ditulis TR = P. Q 2. persamaan perilaku adalah menunjukkan persamaan dari perubahan perilaku suatu variable sebagai akibat dari perubahan variable lain. Contoh: perubahan perilaku manusia, pola konsumsi meningkat karena perubahan pendapatan nasional. Perubahan biaya total perusahaan karena perubahan jumlah produksi. TC = 50 + 0.75 Q dimana TC = total cost dan Q = jumlah produksi(output) 3. Kondisi keseimbangan adalah persamaan yang menggambarkan prasyarat untuk mencapai keseimbangan (equilibrium). Contoh: model kondisi keseimbangan pasar, Qd = Qs ( jumlah yang diminta = jumlah yang ditawarkan). Atau
keseimbangan pendapatan Nasional S = I( saving = Investasi).
c. Sistem Bilangan Nyata
Model matematika sering berbentuk persamaan. Selanjutnya persamaan ini terdiri dari variabel-variabel dan atau konstanta. Variabel dan konstanta ini mempunyai nilai-nilai yang berupa bilangan/angka. Oleh sebab itu, dalam subbab ini akan dibahas mengenai sistem bilangan, dimana hanya mencakup bilangan nyata, sedangkan bilangan lain, misalnya, bilangan imajiner tidak akan dibahas. Karena kebanyakan analisis matematika yang diterapkan dalam ilmu ekonomi dan bisnis sering menggunakan bilangan nyata.
Himpunan bilangan nyata meliputi dua jenis bilangan, yaitu bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat.Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat. Perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan irrasional hanya terletak pada setiap angka desimalnya (angka di belakang koma). Bilangan irrasional adalah bilangan yang angka desimalnya berakhir dengan nol atau berulang. Contoh; 5/1 = 5,00 (berakhir dengan nol); 1/3 = 0,333... (berulang). Sedangkan, bilangan irrasional adalah bilangan yang angka desimalnya tidak berakhir dengan nol atau tidak berulang. Contoh; √2 = 1,41423....
yang terletak di antara bilangan bulat baik bilangan positif maupun negatif (hanya desilam berakhir dan berulang).
Untuk lebih jelasnya, lihat gambar di bawah ini mengenai sistem bilangan nyata. Pada gambar di bawah bilangan nyata dikelompokkan menjadi dua, yaitu: bilangan rasional dan bilangan irrasional. Seterusnya bilangan rasional dibagi lagi menjadi dua kelompok yaitu: bilangan bulat dan bilangan pecahan. Kemudian, bilangan bulat dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu: bilangan positif, nol, dan bilangan negatif. Jadi, kesimpulannya sistem bilangan nyata meliputi semua bilangan yang mempunyai desimal: berakhir, berulang, dan tidak berulang.
2. Konsep dan Teori Himpunan
Konsep himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi ilmu matematika modern pada umumnya di bidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya. Karena dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan sehimpunan/sekelompok data observasi dari lapangan.
Himpunan adalah suatu kumpulan/gugusan dari obyek-obyek/anggota/elemen. Suatu himpunan adalah suatu kelompok dari objek-objek yang berbeda. Objek-objek ini mungkin berupa suatu kelompok bilangan-bilangan atau sesuatu kelompok yang lainnya.
Lambang Himpunan: A,B,C, P,Q,R,X,Y,Z Lambang Obyek/anggota: a,b,c,p,q,r,x,y,z
p A p adalah anggota dari himpunan A
A B A merupakan himpunan bagian dari B
A = B himpunan A = himpunan B
3. Himpunan Universal & Himpunan Kosong
Himpunan semesta (universal) adalah induk dari semua himpunan. Himpunan ini berisikan semua elemen-elemen yang sesuai untuk suatu masalah tertentu. Himpunan universal ini biasanya dilambangkan dengan U. Himpunan yang tidak berisi elemen satupun disebut himpunan kosong (empty set). Himpunan kosong ini dilambangkan dengan Ø atau { }. Perlu diperhatiak bahwa himpunan kosong, { }, berbeda dengan himpunan yang berisi elemen nol, {0}.
4. Operasi Himpunan
Operasi himpunan berbeda dengan operasi himpunan bilangan biasa. Karena operasi matematis untuk bilangan biasa misalnya, menambah, mengurangi, mengali, membagi, dan lain sebagainya. Tetapi operasi himpunan adalah meliputi: gabungan
(union), irisan (intersection), selisih, dan pelengkap (complement).
A. Gabungan
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan baru yang berisikan elemen-elemen baik yang dimiliki oleh A maupun B.
Contoh:
Diketahui: x U, dimana 0 ≤ x ≤ 8
A = { 1,2,3,4,5} B = {4,5,6,7}
AUB = {1,2,3,4,5,6,7}
U
B. Irisan
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan baru yang berisikan elemen-elemen milik A dan B, yang dimiliki oleh A dan B secara bersama-sama. Dari contoh di atas, maka irisan dari himpunan A dan B adalah: A ∩ B = {4,5}
C. Selisih
Selisih dari himpunan A dan himpunan B dituliskan dengan notasi A – B adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A yang bukan obyek milik B.
Dari contoh di atas, maka selisih dari himpunan A dan B adalah: A – B = {1,2,3} B – A = {6,7}
A – B
B – A
U
0 8
A
B
U
8 0
A
B
U
8 0
D. Pelengkap
Pelengkap dari sebuah himpunan A, dituliskan dengan notasi Ā, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh himpunan A. Dari contoh di atas, maka komplemen A adalah: Ā = {0,6,7,8}
sedangkan komplemen B adalah {0,1,2,3,8}
Latihan di kelas:
Soal 1.
Gambarkan sebuah diagram Venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 4, 7, 8} Kemudian selesaikan :
(a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A B (f) B ∩ Ā
U
8 0
U
8 0
B
A
Soal 2.
Gambarkan sebuah diagram Venn yang menunjukkan himpunan universal U serta himpunan-himpunan bagian A dan B untuk :
U = { x; 3 < x < 14} A = { 6, 7, 9, 10, 13} B = { 4, 5, 11} Kemudian selesaikan :
(a) A – B (c) A ∩ B (e) A B
(b) B – A (d) A ∩ B (f) A B
Soal 3.
Dari 2043 mahasiswa semester 3 FE UMB yang mengambil mata kuliah Matematika Ekonomi (Matek), Bisnis Internasional (BI), dan Pengantar Manajemen (PMgt) diperoleh data sebagai berikut:
Matematika Ekonomi = 700 mahasiswa Bisnis Internasional = 709 mahasiswa Pengantar Manajemen = 634 mahasiswa Matek dan BI = 336 mahasiswa
BI dan PMgt = 383 mahasiswa Matek dan PMgt = 321 mahasiswa Matek, BI dan PMgt = 171 mahasiswa
Dari data tersebut, tentukanlah jumlah mahasiswa yang mengambil mata kuliah: a. Bisnis Internasional tetapi bukan Matematika Ekonomi
b. Matematika Ekonomi tetapi bukan Pengantar Manajemen
Soal 4.
Dari 2007 mahasiswa semester 3 FE UMB yang mengambil mata kuliah Matematika Ekonomi (Matek), Bisnis Internasional (BI), dan Pengantar Manajemen (PMgt) diperoleh data sebagai berikut:
Matematika Ekonomi = 653 mahasiswa Bisnis Internasional = 702 mahasiswa Pengantar Manajemen = 652 mahasiswa Matek dan BI = 369 mahasiswa
BI dan PMgt = 414 mahasiswa Matek dan PMgt = 345 mahasiswa Matek, BI dan PMgt = 163 mahasiswa
Dari data tersebut, tentukanlah jumlah mahasiswa yang mengambil mata kuliah: d. Bisnis Internasional tetapi bukan Matematika Ekonomi
e. Matematika Ekonomi tetapi bukan Pengantar Manajemen
