Analisis dinamika model kebahagiaan

(1)

NELI YUSRI MARDIANA

G54102018

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

NELI YUSRI MARDIANA. Analysis of the Happiness Dynamical Models. Supervised by ANNIS DINIATI RAKSANAGARA and ALI KUSNANTO.

Happiness is a dynamical process, so it can be modeled as differential equation models. It was written by [Sprott, 2005] which explains the rate of change of happiness response as the rate of happiness.

Dynamical models are influenced by parameter, that reflect the internal influences. When the internal influences are small with positive values, the change of happiness and it’s response will be large, but this happiness will be lost quicker (will quicker reach the stability point). While when the internal influences are large with positive values, the change of happiness and it’s response will be small, but this happiness will be lost slower (will slower reach the stability point) or in other words, someone can maintains their happiness longer if the internal influences are large. When the internal influences are getting larger with negative values, the change of happiness and it’s response will quicker getting large.

(3)

NELI YUSRI MARDIANA. Analisis Dinamika Model Kebahagiaan. Dibimbing oleh ANNIS DINIATI RAKSANAGARA dan ALI KUSNANTO.

Kebahagiaan merupakan proses yang dinamis, sehingga dapat dimodelkan dalam model persamaan diferensial. Model yang digunakan adalah model yang ditulis oleh [Sprott, 2005] dengan menyatakan laju perubahan respon kebahagiaan sebagai tingkat kebahagiaan.

Dinamika model tersebut dipengaruhi oleh suatu parameter yang mencerminkan pengaruh internal. Ketika pengaruh internal ini kecil dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan besar, namun kebahagiaan ini akan cepat hilang (cepat menuju keseimbangan). Sedangkan ketika pengaruh internal ini besar dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan kecil, namun kebahagiaan ini akan lama hilang (lama menuju keseimbangan) atau dengan kata lain, seseorang dapat mempertahankan kebahagiaannya lebih lama jika pengaruh internal ini besar. Ketika pengaruh internal ini membesar dengan nilai negatif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan semakin cepat membesar.

(4)

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

NELI YUSRI MARDIANA

G54102018

(5)

Menyetujui :

Pembimbing I, Pembimbing II,

Dra. Annis Diniati Raksanagara, M.Si.

Drs. Ali Kusnanto, M.Si.

NIP 132133396 NIP 131913135

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.

NIP 131473999

(6)

Penulis dilahirkan di Payakumbuh pada tanggal 12 Maret 1984 sebagai anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Jhoneldi dan Yuniar.

Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 1996 di SD Negeri 14 Guguk, melanjutkan ke SLTP Negeri 3 Guguk (lulus tahun 1999), kemudian melanjutkan ke SMU Negeri I Guguk (lulus tahun 2002) dan diterima sebagai mahasiswa di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI pada tahun yang sama.

(7)

P

uji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan karunia-NYA sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul ”Analisis Dinamika Model Kebahagiaan”. Shalawat serta salam semoga tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, keluarga, para sahabat dan umatnya sampai akhir zaman.

Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat dari semua pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan teima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dra. Annis DR, M.Si. selaku pembimbing pertama, Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing kedua, terima kasih atas kesabaran dan bimbingannya selama ini.

2. Ir. N. K. Kutha Ardhana, M.Sc. selaku penguji dan moderator seminar.

3.Bapak dan Ibuk yang selalu memberikan nasehat, bimbingan, bantuan, dukungan dan doa restunya dari penulis lahir dan selama menempuh pendidikan selama ini. Mama yang telah mengorbankan tenaga, waktu dan pikirannya serta Papa yang selalu mendoakan, adikku tercinta Ebi yang selalu memberikan semangat dan nasehat serta seluruh keluarga besar Caniago yang ada di Padang maupun di Jakarta yang selalu mendoakan dan memberikan dukungan selama ini. Keluarga PakOdang Al yang telah memberikan dukungan dan bantuannya.

4.Sahabat-sahabat yang selalu memberikan semangat, dukungan dan nasehat yang berharga bagi penulis. Azhari, Erra, Chicha yang selalu setia mendengar keluh kesah penulis selama ini. 5.Teman-teman kost-an Bagunde 34, Encah, Iffa, Yayu, Ririn, Pretty, Dini, Dina, Ita, Nuril, Tyas,

Acid dan Pipit yang selalu meminjamkan komputernya, terima kasih atas kebersamaannya. 6.Vina, Nci dan Ulfa yang telah bersedia menjadi pembahas.

7.Teman-teman angkatan 39, 40, 41 dan semua kakak kelas, terima kasih atas kebersamaannya selama penulis menempuh pendidikan di IPB selama ini. Arie, Desi, Ike yang selalu memberikan bantuan dan dukungannya.

8.Seluruh Dosen Departemen Matematika IPB yang telah memberikan ilmunya selama ini. Staf Departemen Matematika IPB (Bu Susi, Bu Ade, Mas Deny, Mas Bono, Mas Yono, dll), terima kasih atas nasehat dan bantuannya.

Dan semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Bogor, Juli 2007

(8)

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... x

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penulisan ... 1

1.3 Sistematika Penulisan ... 1

II LANDASAN TEORI Sistem Persamaan Diferensial Linear ... 1

Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ... 1

Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 2

Titik Tetap ... 2

Titik Tetap Stabil ... 2

Matrik Jacobi ... 2

Kestabilan Titik Tetap ... 3

Limit cycle ... 4

III PEMBAHASAN 3.1 Pengaruh Luar Diabaikan ... 5

3.1.1 Analisis Model I ... 5

Konstruksi Matriks Jacobi ... 5

Analisis Kestabilan ... 5

Contoh Kasus ... 6

Analisis ... 6

3.1.2 Analisis Model II ... 7

Contoh Kasus ... 7

Analisis ... 8

3.2 Pengaruh Luar Dipertimbangkan ... 8

3.2.1 Analisis Model I ... 8

Contoh Kasus ... 9

Analisis ... 10

3.2.2 Analisis Model II ... 11

Contoh Kasus ... 12

IV SIMPULAN ... 14

DAFTAR PUSTAKA ... 14

(9)

Halaman

1. Titik Sadel (saddle point) ... 3

2. Simpul taksejati stabil ... 3

3. Simpul taksejati tak stabil ... 3

4. Spiral stabil ... 3

5. Spiral takstabil ... 3

6. Simpul sejati (star node) stabil ... 3

7. Simpul sejati (star node) takstabil ... 4

8. Degenerate node ... 4

9. Center ... 4

10. Titik Tetap tak terisolasi ... 4

11. Limit cycle stabil ... 4

12. Limit cycle takstabil ... 4

... 9

a

=

1

dan

β

<

... 10

30. Perubahan Kestabilan Sistem dalam sumbu a dan

β

... 11

(10)

34. Respon Kebahagiaan Model II Kasus II dengan

−

2

<

β

<

0

... 12

35. Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II dengan

0

<

β

<

2

... 13

0

<

β

<

2

... 13

37. Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II dengan

β

>

2

... 13

β

>

2

... 13

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1. Penentuan Titik Tetap Kasus I untuk sistem persamaan (11) ... 16

2. Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan pada kasus I untuk sistem persamaan (11) dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 ... 16

3. Penentuan Titik Tetap Kasus I untuk sistem persamaan (12) ... 17

4. Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan pada kasus I untuk sistem persamaan (12) dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 ... 18

5. Penentuan Titik Tetap Kasus II untuk sistem persamaan (19) ... 19

6. Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan pada kasus II untuk sistem persamaan (19) dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 ... 20

(11)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Menurut sebagian orang, pencarian kebahagiaan merupakan tujuan utama dalam hidup dan banyak buku yang telah ditulis untuk masalah tersebut. Kebahagiaan merupakan perwujudan emosi diantaranya kegembiraan, kesenangan, keriangan, kesukaan, ketenangan, pemenuhan kebutuhan dan kepuasan hati (Orsucci, 2001) sehingga kebahagiaan merupakan proses yang dinamis. Kebahagiaan dibedakan berdasarkan suasana hati yang dapat dipengaruhi oleh pengaruh luar (lingkungan sekitar) (Goleman, 2003).

Penggunaan model matematika jarang diaplikasikan pada dinamika model kebahagiaan, namun beberapa model dinamika cinta telah dibuat, terilhami oleh model Strogatz (1994). Strogatz menyusun model dinamika cinta dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu. Dengan ide yang hampir sama model kebahagiaan ini akan disusun dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu juga.

Tugas akhir ini membahas perilaku dinamis model kebahagiaan dan respon kebahagiaan seseorang yang dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah menganalisis perilaku dinamis model kebahagiaan dan respon kebahagiaan seseorang.

1.3 Sistematika Penulisan

Bab I menjelaskan tentang pendahuluan yang berisikan latar belakang dan tujuan penulisan tugas akhir. Bab II mengenai landasan teori berisikan definisi-definisi yang menjadi dasar untuk membahas dan menganalisis model dinamika kebahagiaan. Sedangkan bab III menjelaskan tentang pemodelan yang telah dimodifikasi beserta pembahasannya yang dilengkapi oleh gambar-gambar dan akhirnya bab IV berisikan simpulan dari permasalahan.

II LANDASAN TEORI

Definisi (Sistem Persamaan Diferensial Linear) :

Jika suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai :

x

=

A

x b x

+

, (0)

=

x x

₀

,

∈ℜ

n (1) dengan A adalah matriks koefisien

nxn

dan vektor konstan

b

∈

ℜ

n, maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde satu dengan kondisi awal

x

(

0

)

=

x

₀. Sistem (1) disebut homogen jika

b

=

0

dan nonhomogen jika

b

≠

0

.

[ Tu, 1994 ]

Definisi (Sistem Persamaan Diferensial Mandiri) :

SPD :

n

j

x

f

x

dt

dx

j j

j

,...,

2

,

1

),

(

=

(2)

dengan

f

fungsi kontinu bernilai real dari

x

dan mempunyai turunan parsial kontinu disebut SPD mandiri (autonomous) jika tidak memuat waktu

(

t

)

secara eksplisit di dalamnya.

(12)

Definisi (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) : Diberikan matriks koefisien konstan A berukuran

nxn

, dan SPD homogen berikut :

x

=

A

x x

, (0)

=

x

₀ (3) Suatu vektor tak nol

x

dalam ruang

ℜ

n disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar

λ

berlaku :

A

x

=

λ

x

. (4) Nilai skalar

λ

dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai

λ

dari matriks A, maka persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai :

(

A

−

λ

I

)

x

=

0

(5) dengan I matriks diagonal satuan. Persamaan (5) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika

( )

det(

) |

| 0

p

λ

=

A

−

λ

I

= −

I

λ

I

=

. (6) Persamaan (6) disebut persamaan karakteristik dari matriks A.

[ Kreyszig, 1998]

Definisi (Titik Tetap) : Diberikan SPD

x

f

(

x

)

dt

dx

=

n

x

∈

ℜ

. (7) Titik

x

* disebut titik tetap, jika

0

)

(

x

*

=

f

. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan.

[ Kreyszig, 1993]

Definisi (Titik Tetap Stabil) :

Misalkan

x

* adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan

x

(

t

)

adalah solusi SPD mandiri dengan nilai awal

dengan

x

₀

≠

x

*. Titik

x

* dikatakan titik tetap stabil jika untuk sembarang radius

, terdapat sehingga jika posisi awal

x

₀ memenuhi

|

x

₀

−

x

*

|

<

r

, maka solusi

x

(

t

)

memenuhi

ε

<

−

|

)

(

|

x

t

x

* untuk

∀

t

>

0

. Selain kondisi ini, disebut titik tetap tak stabil.

[ Verhulst, 1990 ]

Definisi (Matriks Jacobi) : Misalkan

)

,

(

)

,

(

y

x

g

y

x

f

x

=

andaikan

(

x

*

,

y

*

)

adalah titik tetap dari persamaan diatas, maka

0

)

,

(

x

*

y

*

=

f

dan

g

(

x

*

,

y

*

)

=

0

. Misalkan,

u

=

x

−

x

* dan

v

=

y

−

y

*, maka didapatkan

x

u

=

f

(

x

*

+

u

,

y

*

+

v

)

,

(

)

,

(

* * 2 2

uv

v

u

y

f

v

x

f

u

y

x

f

+

Ο

∂

+

∂

+

=

)

,

(

u

2

v

2

uv

y

f

v

x

f

u

+

Ο

∂

+

∂

=

y

v

=

)

,

(

x

*

u

y

*

v

g

+

=

* * 2 2

( , ) g g ( , , )

g x y u v u v uv

x y ∂ ∂ = + + + Ο ∂ ∂

)

,

(

u

2

v

2

uv

y

g

v

x

g

u

+

Ο

∂

+

∂

=

.

Dalam bentuk matriks

⎜

⎝

⎛

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

x

g

x

f

v

u

(

u

2

,

v

2

,

uv

)

v

u

y

g

y

f

Ο

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

∂

.

Matriks * *

( , )

f f

x y

A x y

g g x y ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢_∂ _∂ ⎥ ⎢ ⎥ = ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢_∂ _∂ ⎥ ⎣ ⎦

disebut matriks Jacobi pada titik tetap

)

,

(

x

*

y

*

. Karena

Ο

(

u

2

,

v

2

,

, I adalah matriks identitas dan

λ

adalah nilai eigen, maka persamaan karakteristiknya menjadi :

⎢

⎣

⎡ −

c

a

λ

det

⎥

=

0

⎦

⎤

−

λ

d

b

, sedemikian sehingga diperoleh persamaan

dengan dan

Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari

A adalah

.

2

4

2 2

, 1

∆

−

±

=

τ

λ

2 1,2

4

2

τ

λ

=

±

− ∆

Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh dari matriks A akan diperlihatkan kasus sebagai berikut:

1. Jika

∆

<

0

, nilai eigen mempunyai akar real yang berbeda tanda, maka titik tetap bersifat titik sadel (saddle point) dan tidak stabil. (lihat gambar 1).

2. Jika

∆

>

0

dan memenuhi kondisi

0

4

2

−

∆

>

τ

, berarti nilai eigen mempunyai akar real dengan tanda yang sama.

i. Jika

τ

>

0

maka titik tetap merupakan simpul taksejati (node) takstabil.

ii. Jika

τ

<

0

maka titik tetap tersebut adalah simpul taksejati stabil. (lihat gambar 2 dan gambar 3).

3. Jika

∆

>

0

, dan memenuhi kondisi

0

4

2

−

∆

<

τ

, berarti nilai eigennya merupakan complex conjugat (nilai eigennya berbentuk

a

+

bi

dan

a

−

bi

).

i. Jika

τ

>

0

maka titik tetapnya merupakan spiral takstabil. ii. Jika

τ

<

0

maka titik tetapnya merupakan spiral stabil . (lihat gambar 4 dan gambar 5).

4. Jika

τ

2

−

4

∆

=

0

,

τ

>

0

, dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap bersifat simpul sejati (star node) takstabil. Jika

τ

<

0

maka titik tetap tersebut adalah simpul sejati stabil. (lihat gambar 6 dan gambar 7).

0

2

−τλ

+

∆

=

λ

( )

trace

a

d

τ

=

A

= +

det( )

ad

bc

(14)

5. Jika

τ

2

−

4

∆

=

0

,

τ

>

0

, dan ada 1 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap tersebut degenerate node takstabil. Jika

0

<

τ

maka titik tetap bersifat degenerate node stabil. (lihat gambar 8).

6. Jika

τ

=

0

, nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap bersifat center yang selalu stabil. (lihat gambar 9).

7. Jika

∆

=

0

setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol. Maka titik tetap merupakan titik tak terisolasi. Ada satu garis dimana semua titik pada garis tersebut adalah titik tetap seperti pada gambar 10.

Gambar 10. Titik tetap tak terisolasi [ Strogatz, 1994 ]

Definisi (Limit cycle) :

Limit cycle adalah orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya tidak tertutup. Orbit tersebut menuju atau menjauhi limit cycle. Berdasarkan arah orbit di sekelilingnya, limit cycle tersebut terbagi menjadi 3, yaitu: 1. Limit cycle stabil

Gambar 11 Limit cycle stabil 2. Limit cycle takstabil

Gambar 12 Limit cycle takstabil 3. Limit cycle metastabil

(15)

III PEMBAHASAN

Dinamika model kebahagiaan yang digunakan adalah model yang ditulis oleh [Sprott, 2005]. Dengan mengasumsikan laju perubahan respon kebahagiaan yang menyatakan tingkat kebahagiaan dan laju perubahan kebahagiaan berbanding terbalik dengan parameter, maka model ini dapat dituliskan sebagai berikut :

)

(

t

F

R

H

dt

dH

H

dt

dR

+

−

=

β

(9) (Model I) dan

)

(

)

1

(

R

2

H

R

F

t

dt

dH

H

dt

dR

+

−

=

β

(10) (Model II) dengan

dR

dt

: Laju perubahan respon kebahagiaan yang menyatakan tingkat kebahagiaan pada waktu

t

.

dt

dH

: Laju perubahan kebahagiaan pada waktu

t

.

)

(

t

R

: Tingkat respon kebahagiaan pada waktu t.

)

(

t

F

: Forcing function; sesuatu yang terjadi pada seseorang (pengaruh luar) pada waktu

t

.

β

: Parameter yang berpengaruh

terhadap kebahagiaan.

Dalam tulisan ini akan ditinjau dinamika kedua model terhadap perubahan perilaku parameter.

3.1.Pengaruh Luar Diabaikan

Dalam hal ini diasumsikan

F

(

t

)

=

0

. Jika

F

(

t

)

=

0

disubstitusikan ke dalam persamaan (9)-(10) diperoleh:

R

H

dt

dH

H

dt

dR

−

=

β

(11) dan

R

H

R

dt

dH

H

dt

dR

−

=

)

1

(

2

β

. (12)

3.1.1 Analisis Model I

Titik tetap sistem persamaan (11) diperoleh dengan menentukan

=

0

dt

dR

dan

0

=

dt

dH

, sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu

T

,

0

)

disubstitusikan pada matriks Jacobi (13), diperoleh :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

β

1

0

1

J

.

Untuk memperoleh nilai eigen maka

0

)

det(

J

1

−

λ

I

=

, yaitu :

1

)

(

)

det(

J

₁

−

λ

I

=

λ

₁2

−

β

λ

₁

+

(14) atau dapat dituliskan kembali

.

0

1 1 1 2

1

−

τ

λ

+

∆

=

λ

(15) Dari persamaan (15) terlihat bahwa

trace

J

₁

=

τ

₁

=

−

β

det

J

1

=

∆

1

=

1

dan diperoleh 2 1,2

4

2

β

λ

= − ±

−

. Berdasarkan teori kestabilan, jika

a.

β

>

2

, maka titik tetap

T

₁ merupakan simpul taksejati stabil.

b.

β

<

−

2

, maka titik tetap

T

₁

merupakan simpul taksejati takstabil.

0 1

1

-J

β

⎡

⎤

(16)

c.

0

<

β

<

2

, maka titik tetap

1

T

merupakan spiral stabil. d.

−

2

<

β

<

0

, maka titik tetap

1

T

merupakan spiral takstabil. e.

β

=

2

, maka titik tetap

T

₁

merupakan simpul sejati stabil. f.

β

=

−

2

dan ada 2 vektor eigen

bebas linear, maka titik tetap

T

₁

merupakan simpul sejati takstabil.

Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 dan nilai awal (0.1, 0.1) diperoleh gambar dinamika dan respon kebahagiaan. [Lihat Lampiran 2].

Contoh Kasus

β

>

0

Gambar 14 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus I

Gambar 15 Respon Kebahagiaan Model I Kasus I

β

=

2

.

5

β

=

3

β

=

4

β

=

5

β

=

6

β

<

0

Gambar 16 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus I

Gambar 17 Respon Kebahagiaan Model I Kasus I

β

=

−

2

.

5

β

=

−

3

β

=

−

4

β

=

−

5

β

=

−

6

Analisis

Contoh kasus I pada model I di atas menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan ini cepat hilang (cepat menuju keseimbangan), dan ketika parameter besar maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang (lama menuju keseimbangan). Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan semakin cepat membesar.

10 20 30 40

t

-0.04 -0.02 0.02 0.04 H

10 20 30 40t

-0.1 -0.05 0.05 0.1 R

0.5 1 1.5 2 2.5 3 t

-4 -2 2 4 H

0.5 1 1.5 2 2.5 3 t

(17)

3.1.2 Analisis Model II

Titik tetap sistem persamaan (12) diperoleh dengan menentukan

=

0

dt

dR

dan

0

=

dt

dH

, sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu T2 =(0,0). [Lihat Lampiran 3]. Konstruksi Matriks Jacobi Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi :

2

0 1

2

1

-J

RH

R

β

β β

⎡

⎤

= ⎢

−

+

⎥

⎣

⎦

. (16)

Analisis Kestabilan

Jika T₂ =(0,0) disubstitusikan pada (16) maka diperoleh:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

β

1

0

2

J

.

0

)

det(

J

2

−

λ

I

=

, yaitu :

1

)

(

)

det(

2 ₂

2

−

λ

I

=

λ

−

β

λ

+

J

(17)

atau dapat dituliskan kembali

.

0

2 2 2 2

2

−

τ

λ

+

∆

=

λ

(18) Dari persamaan (18) terlihat bahwa trace

J

₂

=

τ

₂

=

−

β

det

J

2

=

∆

2

=

1

dan diperoleh 2 1,2

4

2

β

λ

= − ±

−

a.

β

>

2

, maka titik tetap

T

₂

merupakan simpul taksejati stabil.

b.

β

< −

2

, maka titik tetap

T

₂

c.

0

<

β

<

2

, maka titik tetap

2

T

−

2

<

β

<

0

, maka titik tetap

2

T

merupakan spiral takstabil. e.

β

=

2

, maka titik tetap

T

₂

β

=

−

2

dan ada 2 vektor eigen

bebas linear, maka titik tetap

T

₂

merupakan simpul sejati takstabil.

Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 dan nilai awal (0.1, 0.1) diperoleh gambar dinamika dan respon kebahagiaan. [Lihat Lampiran 4].

Contoh Kasus

β

>

0

Gambar 18 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus I

Gambar 19 Respon Kebahagiaan Model II Kasus I

β

=

2

.

5

β

=

3

β

=

4

β

=

5

β

=

6

10 20 30 40t

-0.04 -0.02 0.02 0.04 H

10 20 30 40t

(18)

β

<

0

Gambar 20 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus I

Gambar 21 Respon Kebahagiaan Model II Kasus I

β

=

−

2

β

=

−

3

β

=

−

4

Analisis

Contoh kasus I pada model II di atas menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan ini cepat hilang (cepat menuju keseimbangan), dan ketika parameter besar maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang (lama menuju keseimbangan). Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan berosilasi. Amplitudo dan periode osilasi akan semakin besar jika nilai parameternya semakin menjauhi nol.

3.2 Pengaruh Luar Dipertimbangkan Dalam hal ini diasumsikan

F

(

t

)

≠

0

. Misalkan,

F

(

t

)

=

a

dengan

a

adalah konstanta. Dengan mengasumsikan

H

dt

dR

=

maka diperoleh sistem persamaan:

a

R

H

dt

dH

H

dt

dR

+

−

=

β

(19) (Model I) dan

.

)

1

(

R

2

H

R

a

dt

dH

H

dt

dR

+

−

=

β

(20) (Model II)

3.2.1 Analisis Model I Titik tetap sistem persamaan (19) diperoleh dengan menentukan

=

0

dt

dR

dan

0

=

dt

dH

, sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu

T

1

=

(

a

,

0

)

.

[Lihat Lampiran 5].

Konstruksi Matriks Jacobi

Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi :

0 1

1

-J

β

⎡

⎤

= ⎢

−

⎥

⎣

⎦

. (21) Analisis Kestabilan

Jika

T

1

=

(

a

,

0

)

disubstitusikan pada

matriks Jacobi (21) :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

β

1

0

1

J

.

0

)

det(

J

₁

−

λ

I

=

, yaitu :

1

)

(

)

det(

J

₁

−

λ

I

=

λ

₁2

−

β

λ

₁

+

(22) atau dituliskan kembali

.

0

1 1 1 2

1

−

τ

λ

+

∆

=

λ

(23)

Dari persamaan (23) terlihat bahwa

10 20 30 40t

-6 -4 -2 2 4 6 H

10 20 30 40t

(19)

trace

J

₁

=

τ

₁

=

−

β

det

J

1

=

∆

1

=

1

dan diperoleh

2 1,2

4

2

β

λ

= − ±

−

a.

β

>

2

, maka titik tetap

T

1

merupakan simpul taksejati stabil.

b.

β

<

−

2

, maka titik tetap

T

₁

c.

0

<

β

<

2

, maka titik tetap

1

T

−

2

<

β

<

0

, maka titik tetap

1

T

merupakan spiral tak stabil. e.

β

=

2

, maka titik tetap

T

₁

β

=

−

2

dan ada 2 vektor

eigen bebas linear, maka titik tetap

T

₁ merupakan simpul sejati takstabil.

Dengan menggunakan software Mathematica 5.2 dan nilai awal (0.1, 0.1) diperoleh gambar dinamika dan respon kebahagiaan. [Lihat lampiran 6].

Contoh Kasus

a

=

1

dan

β

>

0

:

Gambar 22 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus II

Gambar 23 Respon Kebahagiaan Model I Kasus II

β

=

2

β

=

3

β

=

4

β

=

5

β

=

6

a=1dan

β

<

0

:

2 4 6 8 10

t

-0.4 -0.2 0.2 0.4 H

2 4 6 8 10

t

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 R

0.5 1 1.5 2 2.5 3 t

(20)

β

=

−

2

β

=

−

3

β

=

−

4

β

=

−

5

β

=

−

6

a

=

−

1

dan

β

>

0

:

β

=

2

β

=

3

β

=

4

β

=

5

β

=

6

a

=

−

1

dan

β

<

0

:

β

=

−

2

β

=

−

3

β

=

−

4

β

=

−

5

β

=

−

6

Analisis

Contoh kasus II pada model I di atas menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan ini cepat hilang (cepat menuju keseimbangan), dan ketika parameter besar maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang (lama menuju keseimbangan). Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 R

2 4 6 8 10

t

-0.4 -0.2 0.2 0.4 H

2 4 6 8 10t

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 R

0.5 1 1.5 2 2.5 3t

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 H

0.5 1 1.5 2 2.5 3t

(21)

membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan semakin cepat membesar.

3.2.2 Analisis Model II

Titik tetap sistem persamaan (20)

diperoleh dengan menentukan

=

0

dt

dR

dan

0

=

dt

dH

, sehingga diperoleh titik tetap yaitu

T

₂

=

(

a

,

0

)

. [Lihat Lampiran 7]. Konstruksi Matriks Jacobi

Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi:

2

0 1

2

1

J

RH

R

β

β β

⎡

⎤

= ⎢

−

− +

⎥

⎣

⎦

. (24)

Analisis Kestabilan

Jika

T

₂

=

(

a

,

0

)

disubstitusikan pada (24) maka diperoleh:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

β

2 2

1

0

a

J

.

0

)

det(

J

₂

−

λ

I

=

, yaitu :

2 2

2 2 2

det(J −λI)=λ −(a β β λ− ) +1 (25) atau dapat dituliskan kembali

.

0

2 2 2 2

2

−

τ

λ

+

∆

=

λ

(26) Dari persamaan (26) terlihat bahwa trace

J

₂

=

τ

₂

=

a

2

β

−

β

det

J

2

=

∆

2

=

1

dan diperoleh

2 2

2

1,2

( ( 1)) 4 ( 1) 2 2 a a β β λ = − ± − − _.

Berdasarkan teori kestabilan, jika a.

β

(

a

2

−

1

)

>

2

, maka titik tetap T2 merupakan simpul taksejati takstabil.

b.

β

(

a

2

−

1

)

<

−

2

, maka titik tetap T2 merupakan simpul taksejati stabil.

c.

0

<

β

(

a

2

−

1

)

<

2

, maka titik tetap T2 merupakan spiral takstabil.

d.

−

2

<

β

(

a

2

−

1

)

<

0

, maka titik tetap T2 merupakan spiral stabil.

e.

β

(

a

2

−

1

)

=

2

, maka titik tetap T2 merupakan simpul sejati takstabil.

f.

β

(

a

2

−

1

)

=

−

2

dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap T2 merupakan simpul sejati stabil.

Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 dan nilai awal (0.1, 0.1) diperoleh gambar dinamika dan respon kebahagiaan. [Lihat lampiran 8].

Gambar 30 Perubahan Kestabilan sistem dalam sumbu a dan

β

-3 -2 -1 1 2 3 a

(22)

Contoh Kasus

β

<

−

2

:

Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah sebagai berikut:

simpul stabil spiral takstabil simpul takstabil spiral takstabil simpul stabil.

Gambar 31 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II

Gambar 32 Respon Kebahagiaan Model II kasus II

a

=

−

4

a

=

−

1

.

5

a

=

0

.

5

a

=

1

a

=

3

−

2

<

β

<

0

:

Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah sebagai berikut:

simpul stabil spiral takstabil simpul takstabil spiral takstabil simpul stabil.

Gambar 34 Respon Kebahagiaan Model II Kasus II

a

=

−

4

a

=

−

1

.

5

a

=

0

.

5

a

=

1

a

=

3

10 20 30 40

t

-4 -2 2 4 H

10 20 30 40

t

-4 -2 2 4 R

10 20 30 40

t

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 H

10 20 30 40t

(23)

0

<

β

<

2

:

simpul takstabil spiral stabil simpul stabil spiral stabil simpul takstabil.

a

=

−

4

a

=

−

1

.

5

a

=

0

.

5

a

=

1

a

=

3

β

>

2

:

simpul takstabil spiral stabil simpul stabil spiral stabil simpul takstabil.

a

=

−

4

a

=

−

1

.

5

a

=

0

.

5

a

=

1

a

=

3

-20 -15 -10 -5

t

-4 -2 2 4 H

-20 -15 -10 -5

t

-4 -2 2 4 R

-10 -8 -6 -4 -2

t

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 H

-10 -8 -6 -4 -2 t

(24)

IV SIMPULAN

Dinamika kebahagiaan dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu. Model ini menganalisis perilaku dinamis kebahagiaan dan respon kebahagiaan seseorang. Perilaku dinamis ini dipengaruhi oleh suatu parameter yang mencerminkan pengaruh internal dan juga dipengaruhi oleh pengaruh luar. Ketika pengaruh internal ini kecil dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan besar, namun kebahagiaan ini akan cepat hilang (cepat menuju keseimbangan). Dan ketika pengaruh internal ini besar dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan kecil, namun kebahagiaan ini akan lama hilang (lama menuju keseimbangan) atau dengan kata lain seseorang dapat mempertahankan kebahagiaannya lebih lama. Ketika pengaruh internal ini membesar dengan nilai negatif

maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan semakin cepat membesar.

Dan pengaruh luar juga mempengaruhi perilaku dinamis ini. Jika pengaruh luar ada, ketika pengaruh luar kecil dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan berosilasi, namun kebahagiaan akan lama hilang atau dengan kata lain seseorang dapat mempertahankan kebahagiaannya lebih lama dan ketika pengaruh luar besar dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan kecil, namun kebahagiaan ini akan cepat hilang atau dengan kata lain seseorang akan kehilangan kebahagiaannya. Ketika pengaruh luar ini membesar dengan nilai negatif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan semakin cepat mengecil.

DAFTAR PUSTAKA

Goleman, D. 2003. Destructive emotions:

A scientific dialogue with the Dalai Lama. Bantun, New York.

Kreyszig, M. 1993. Matematika Tehnik Lanjutan. Edisi ke-6, Buku I. Terjemahan Sumantri, B. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Orsucci, F. 2001. Happiness and deep ecology: On noise, harmony, and beauty in the mind. Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, 5, 65-76. Sprott, J. C. 2005. Dynamical Models of

Happiness. Nonlinear Dynamics,

Psychology, and Life Sciences, Vol. 9, No. 1.

Strogatz, S. H. 1994. Nonlinear Dynamics And Chaos with Application to Physic, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison Wesley, Reading, Massachusetts Menlo Park, California. Tu, P. N. V. 1994. Dynamical System, An

Introduction with Application in Economics and Biology. Springer -Verlag. Heidelberg. Germany.

(25)

Lampiran 1

Penentuan Titik Tetap Kasus I untuk sistem persamaan (11). Diketahui :

.

R

H

dt

dH

H

dt

dR

−

=

β

(11)

Menentukan titik tetap

T

₁ :

Titik tetap

(

R

1

,

H

1

)

=

0

dt

dR

dan

=

0

,

dt

dH

dengan mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan (11) didapatkan :

0

=

H

(27)

.

0

=

−

β

H

R

model:={R'[t] H[t],H'[t] -β H[t]- R[t],R[0] 0.1,H[0] 0.1} β=2.5;

tMaksimum=40;

sol=NDSolve[model,{H,R},{t,0,tMaksimum}]

gambar1=Plot[H[x]/.sol[[1,1]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel->{"t","H"},PlotStyle->{Hue[0.9]}, PlotRange→{-0.05,0.05}]

gambar2=Plot[R[x]/.sol[[1,2]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel->{"t","R"},PlotStyle->{Hue[0.9]}, PlotRange→{-0.15,0.15}]

Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan serta medan arah dan orbit kestabilan pada kasus I untuk sistem persamaan (11) dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.

Reset Parameter DynSys intreset;

plotreset;

Deklarasi Sistem setstate [{R, H}];

slopevec = {H, −βH −R}; setparm [{β}];

(26)

Cari Titik Tetap eqpoints = findpolyeq { {0, 0} }

classify [eqpoints[ [1] ] ] strictly stable

Integral

initvec = {-1, 0};

t0 = 0. 0;

tMax = 40; h = 0.1;

nsteps

h tMax

= ;

firstsol = integrate [initvec, t0, h, nsteps];

Plotting time asprat = 1;

timeplot [firstsol, { 1 }]; timeplot [firstsol, {2}];

Plotting diagram fasa display = False;

fasa = phaseplot [firstsol, 1, 2];

Plotting medan arah display = False; eqpoints = findpolyeq; ptsize = 0. 03;

dotgraph = dots [eqpoints]; plrange = {{ -4, 4}, {-4, 4}}; graph5 = dirfield;

Plotting semua display = True;

show [ fasa, dotgraph, graph5];

Lampiran 3

Penentuan Titik Tetap Kasus I untuk sistem persamaan (12).

Diketahui :

.

)

1

(

R

2

H

R

dt

dH

H

dt

dR

−

=

β

(12)

Menentukan titik tetap

T

₂ :

Titik tetap

(

R

2

,

H

2

)

=

0

dt

dR

dan

=

0

,

dt

dH

0

=

(27)

.

0

)

1

(

−

2

−

=

−

β

R

H

R

sol=NDSolve@model,8H, R<,8t, 0, tMaksimum<D

gambar1=Plot@H@xD ê. sol@@1, 1DD,8x, 0, tMaksimum<, AxesLabel−>8"t", "H"<, PlotStyle−>8Hue@0.9D<, PlotRange→8−6, 6<D

(28)

Integral

initvec = {-1, 0};

t0 = 0. 0;

tMax = 20; h = 0.1;

nsteps

h tMax

= ;

timeplot [firstsol, { 2 }];

fasa = phaseplot [firstsol, 2]; Plotting medan arah

display = False; eqpoints = findpolyeq; ptsize = 0. 03;

show [ fasa, dotgraph, graph5];

Lampiran 5

Penentuan Titik Tetap Kasus II untuk sistem persamaan (19).

Diketahui :

.

a

R

H

dt

dH

H

dt

dR

+

−

=

β

(19)

Menentukan titik tetap T1 :

Titik tetap (R₁,H₁) diperoleh dengan menentukan

=

0

dt

dR

dan

=

0

,

dt

dH

0

=

H

(35)

.

0

=

+

−

β

H

R

a

(36) Sehingga :

0

1=

H (37) dengan mensubstitusikan persamaan (37) ke persamaan (36) diperoleh :

.

1

a

(29)

).

0

,

(

1

a

T

=

Lampiran 6

Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan pada kasus II untuk sistem persamaan (19) dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.

model:={R'[t] H[t],H'[t] -β H[t]- R[t]+a,R[0] 0.1,H[0] 0.1} a=1;

β=2;

tMaksimum=10;

sol=NDSolve[model,{H,R},{t,0,tMaksimum}]

gambar1=Plot[H[x]/.sol[[1,1]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel->{"t","H"},PlotStyle->{Hue[0.1]}, PlotRange→{-0.5,0.5}]

gambar2=Plot[R[x]/.sol[[1,2]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel->{"t","R"},PlotStyle->{Hue[0.1]}, PlotRange→{-1,1}]

Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan serta medan arah pada kasus II untuk sistem persamaan (19) dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.

plotreset;

slopevec = {H, −βH−R+1}; setparm [{β}];

parmval = {1};

Integral

initvec = {1, 1};

t0 = 0. 0;

tMax = 20; h = 0.1;

nsteps

h tMax

= ;

timeplot [firstsol, { 1 }]; timeplot [firstsol, { 2 }];

fasa = phaseplot [firstsol, 1, 2];

(30)

display = False; eqpoints = findpolyeq; ptsize = 0. 03;

show [ fasa, dotgraph, graph5];

Lampiran 7

Penentuan Titik Tetap Kasus II untuk sistem persamaan (20).

Diketahui :

.

)

1

(

R

2

H

R

a

dt

dH

H

dt

dR

+

−

=

β

(20)

Menentukan titik tetap T₂ :

Titik tetap (R2,H2) diperoleh dengan menentukan

=

0

dt

dR

dan

=

0

,

dt

dH

0

=

H

(39)

.

0

)

1

(

−

2

−

+

=

−

β

R

H

R

a

(40) Sehingga :

0

2=

H (41) dengan mensubstitusikan persamaan (41) ke persamaan (40) diperoleh :

.

2

a

R

=

(42) Dari persamaan (42) dan (41) diperoleh titik tetap T2 sebagai berikut :

).

0

,

(

2

a

(31)

Lampiran 8

Program untuk memeperoleh gambar perubahan kestabilan system dalam sumbu a dan

β

.

<<Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlot[y^2(x^2-1)^2 4,{x,-3,3},AxesLabel->{"x","y"}]

Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan pada kasus II untuk sistem persamaan (20) dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.

Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan serta medan arah pada kasus II untuk sistem persamaan (20) dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.

plotreset;

slopevec = {H, −βH−R+1}; setparm [{β}];

parmval = { 1};

classify [eqpoints[ [1] ] ] unstable

Integral

initvec = {1, 1};

t0 = 0. 0;

tMax = 20; h = 0.1;

model :=9R'@tD H@tD,

H'@tD −β I1−R@tD2MH@tD− R@tD+a, R@0D 0.1,

H@0D 0.1= β = −3; a= −4;

tMaksimum=40;

sol=NDSolve@model,8H, R<,8t, 0, tMaksimum<D

gambar1=Plot@H@xD ê. sol@@1, 1DD,8x, 0, tMaksimum<, AxesLabel−>8"t", "H"<, PlotStyle−>8Hue@0.1D<, PlotRange→8−5, 5<D

gambar2=Plot@R@xD ê. sol@@1, 2DD,8x, 0, tMaksimum<,

(32)

nsteps

h tMax

= ;

timeplot [firstsol, { 1 }]; timeplot [firstsol, { 2 }];

fasa = phaseplot [firstsol, 1, 2]; Plotting medan arah

display = False; eqpoints = findpolyeq; ptsize = 0. 03;

(33)

NELI YUSRI MARDIANA

G54102018

(34)

NELI YUSRI MARDIANA. Analysis of the Happiness Dynamical Models. Supervised by ANNIS DINIATI RAKSANAGARA andALI KUSNANTO.

Happiness is a dynamical process, so it can be modeled as differential equation models. It was written by [Sprott, 2005] which explains the rate of change of happiness response as the rate of happiness.

Dynamical models are influenced by parameter, that reflect the internal influences. When the internal influences are small with positive values, the change of happiness and it’s response will be large, but this happiness will be lost quicker (will quicker reach the stability point). While when the internal influences are large with positive values, the change of happiness and it’s response will be small, but this happiness will be lost slower (will slower reach the stability point) or in other words, someone can maintains their happiness longer if the internal influences are large. When the internal influences are getting larger with negative values, the change of happiness and it’s response will quicker getting large.

(35)

NELI YUSRI MARDIANA. Analisis Dinamika Model Kebahagiaan. Dibimbing oleh ANNIS DINIATI RAKSANAGARA danALI KUSNANTO.

Kebahagiaan merupakan proses yang dinamis, sehingga dapat dimodelkan dalam model persamaan diferensial. Model yang digunakan adalah model yang ditulis oleh [Sprott, 2005] dengan menyatakan laju perubahan respon kebahagiaan sebagai tingkat kebahagiaan.

Dinamika model tersebut dipengaruhi oleh suatu parameter yang mencerminkan pengaruh internal. Ketika pengaruh internal ini kecil dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan besar, namun kebahagiaan ini akan cepat hilang (cepat menuju keseimbangan). Sedangkan ketika pengaruh internal ini besar dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan kecil, namun kebahagiaan ini akan lama hilang (lama menuju keseimbangan) atau dengan kata lain, seseorang dapat mempertahankan kebahagiaannya lebih lama jika pengaruh internal ini besar. Ketika pengaruh internal ini membesar dengan nilai negatif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan semakin cepat membesar.

(36)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.3 Sistematika Penulisan

II LANDASAN TEORI

Definisi (Sistem Persamaan Diferensial Linear) :

x

=

A

x b x

+

, (0)

=

x x

₀

,

∈ℜ

nxn

dan vektor konstan

b

∈

ℜ

x

(

0

)

=

x

b

=

0

dan nonhomogen jika

b

≠

0

.

[ Tu, 1994 ]

SPD :

n

j

x

f

x

dt

dx

j j

j

,...,

2

,

1

),

(

=

(2)

dengan

f

x

(

t

)

(37)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.3 Sistematika Penulisan

II LANDASAN TEORI

Definisi (Sistem Persamaan Diferensial Linear) :

x

=

A

x b x

+

, (0)

=

x x

₀

,

∈ℜ

nxn

dan vektor konstan

b

∈

ℜ

x

(

0

)

=

x

b

=

0

dan nonhomogen jika

b

≠

0

.

[ Tu, 1994 ]

SPD :

n

j

x

f

x

dt

dx

j j

j

,...,

2

,

1

),

(

=

(2)

dengan

f

x

(

t

)

(38)

Definisi (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) : Diberikan matriks koefisien konstan A berukuran

nxn

, dan SPD homogen berikut :

x

=

A

x x

, (0)

=

x

₀ (3) Suatu vektor tak nol

x

dalam ruang

ℜ

n disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar

λ

berlaku :

A

x

=

λ

x

. (4) Nilai skalar

λ

dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai

λ

dari matriks A, maka persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai :

(

A

−

λ

I

)

x

=

0

(5) dengan I matriks diagonal satuan. Persamaan (5) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika

( )

det(

) |

| 0

p

λ

=

A

−

λ

I

= −

I

λ

I

=

. (6) Persamaan (6) disebut persamaan karakteristik dari matriks A.

[ Kreyszig, 1998]

Definisi (Titik Tetap) : Diberikan SPD

x

f

(

x

)

dt

dx

=

n

x

∈

ℜ

. (7) Titik

x

* disebut titik tetap, jika

0

)

(

x

*

=

f

. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan.

[ Kreyszig, 1993]

Definisi (Titik Tetap Stabil) :

Misalkan

x

* adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan

x

(

t

)

adalah solusi SPD mandiri dengan nilai awal

dengan

x

₀

≠

x

*. Titik

x

* dikatakan titik tetap stabil jika untuk sembarang radius

, terdapat sehingga jika posisi awal

x

₀ memenuhi

|

x

₀

−

x

*

|

<

r

,