Aplikasi Metode Branch And Cut Dalam Optimasi Produksi Pot Bunga (Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)

(1)

APLIKASI METODE BRANCH AND CUT DALAM OPTIMASI

PRODUKSI POT BUNGA

(Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)

SKRIPSI

NUSAIBAH KHOLILAH

100803035

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

APLIKASI METODE BRANCH AND CUT DALAM OPTIMASI

PRODUKSI POT BUNGA

(Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

NUSAIBAH KHOLLAH

100803035

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

i

PERSETUJUAN

Judul : Aplikasi Metode Branch and Cut Dalam

Optimasi Produksi Pot Bunga (Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)

Kategori : Skripsi

Nama : Nusaibah Kholilah

Nomor Induk Mahasiswa : 100803035

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, April 2015

Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Elly Rosmaini, M.Si. Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si.

NIP. 196005201985032002 NIP. 195312181980031003

Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(4)

ii

PERNYATAAN

APLIKASI METODE BRANCH AND CUT DALAM OPTIMASI PRODUKSI POT BUNGA

(Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, April 2015

(5)

iii

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan

Maha Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan

penyusunan skripsi ini dengan judul Aplikasi Metode Branch and Cut dalam

Optimasi Produksi Pot Bunga (Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti,

Gelugur).

Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo,

M.Si selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku pembimbing 2

yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terimakasih

kepada dosen pembanding, Bapak Dr. Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT dan Ibu Dra.

Asima Manurung, M.Si atas saran yang membangun dalam penulisan skripsi ini.

Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si

selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. Terimakasih

kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan

FMIPA USU, seluruh Staff dan Dosen Matematika serta rekan-rekan kuliah.

Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayahanda Muhammad Dongan dan Ibunda

Hamidah serta saudara-saudari yang selama ini memberikan bantuan dan

(6)

iv

ABSTRAK

UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti merupakan usaha kecil dan menengah yang memproduksi pot bunga dengan berbagai bentuk dan ukuran. Perusahaan ini melakukan produksi berdasarkan persediaan bahan baku dan jumlah permintaan yang ada. Oleh karena itu, perusahaan perlu melakukan perencanaan produksi agar dapat memproduksi pot bunga secara optimal. Metode yang digunakan untuk menentukan jumlah produksi optimal adalah metode branch and cut. Metode

branch and cut merupakan gabungan dari metode branch and bound dan metode

cutting plane. Metode ini mampu menyelesaikan permasalahan integer programming dengan lebih baik dibandingkan dengan metode branch and bound

murni. Hasil penelitian diperoleh bahwa terdapat 2 alternatif jumlah produksi optimal dari masing-masing pot bunga, yaitu 70 buah pot segi minimalis, 90 buah pot sampan minimalis, 117 buah pot petak segi besar bonsai, 99 buah pot bulat besar ukir bonsai, 77 buah pot segi ukir bonsai, 68 buah pot guci sedang dan 58 buah pot guci kecil, atau 70 buah pot segi minimalis, 92 buah pot sampan minimalis, 115 buah pot petak segi besar bonsai, 98 buah pot bulat besar ukir bonsai, 81 buah pot segi ukir bonsai, 68 buah pot guci sedang dan 58 buah pot guci kecil dengan kentungan sebesar Rp 11.554.000.

(7)

v

APLICATION OF BRANCH AND CUT METHOD IN OPTIMIZATION OF FLOWER POT PRODUCTION

(Case Study: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)

ABSTRACT

UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti are small and medium enterprises which produce the flower pot with a various of shapes and sizes. This company production based on inventory of raw materials and the amount of the demand. Therefore, companies need to make production planning in order to produce an optimal flower pots. The method used to determine the optimal production is the branch and cut method. Branch and cut method is a combination of branch and bound method and cutting plane method. This method is able to solve the integer programming problems better than pure branch and bound method. The results obtained that there are 2 alternative optimal production of each flowerpot, namely 70 pieces square minimalist pots, 90 pieces canoe minimalist pots, 117 pieces large square bonsai pots, 99 large round carved bonsai pots, 77 pieces square carved bonsai pots, 68 medium jar pots and 58 pieces small jar pots, or 70 pieces square minimalist pots, 92 pieces canoe minimalist pots, 115 pieces large square bonsai pots, 98 large round carved bonsai pots, 81 square carved bonsai pots, 68 pieces medium jar pots and 58 pieces small jar pots with profits at Rp 11.554.000.

(8)

vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR LAMPIRAN ix

Bab 1. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 5

1.6 Manfaat Penelitian 5

1.7 Metodologi Penelitian 5

1.6.1 Studi Pendahuluan 5

1.6.2 Pengumpulan Data 5

1.6.3 Pengolahan Data 6

Bab 2. LANDASAN TEORI 7

2.1 Perencanaan Produksi 7

2.2 Program Linier 9

2.2.1 Unsur – Unsur Program Linier 10

2.2.2 Asumsi Dasar Program Linier 10

2.3 Program Bilangan Bulat Linier 11

2.4 Metode Simpleks 13

2.4.1 Langkah – Langkah Metode Simpleks 15

2.5 Metode Dual Simpleks 16

3.2.1 Perumusan Fungsi Tujuan 29

3.2.2 Perumusan Fungsi Kendala 30

(9)

vii

Bab 4. KESIMPULAN DAN SARAN 67

4.1 Kesimpulan 67

4.2 Saran 68

DAFTAR PUSTAKA 69

(10)

viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1 Tabel Optimum Program Masalah Linier 20

2.2 Setelah Penambahan Pemotongan Fraksional 22

3.1 Data Volume Penjualan Pot Bunga Bulan Januari – Juni 2014 26

3.2 Komposisi Bahan Baku Produk 27

3.3 Persediaan Bahan Baku Selama Satu Bulan 27

3.4 Biaya Produksi Setiap Produk 28

3.5 Harga Jual Produk 28

3.6 Keuntungan Tiap Satu Unit Produk 29

3.7 Jumlah Produksi Pot Bunga Bulan Maret 2015 29

3.8 Iterasi Awal Metode Dual Simpleks 34

3.9 Iterasi 1 Metode Dual Simpleks 36

3.18 Tabel Simpleks Optimal Sub-Masalah 2 57

3.19 Tabel Simpleks Optimal Sub-Masalah 5 62

3.20 Solusi Optimal 65

(11)

ix

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lamp

1 Hasil Perhitungan Sub-Masalah 1 dengan Bantuan Software 70 POM-QM for Windows

7 Diagram Penyelesaian dengan Menggunakan Metode Branch 76

and Cut

8 Hasil Perhitungan dengan Metode Branch and Bound 77 Menggunakan Software POM-QM for Windows

(12)

iv

ABSTRAK

UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti merupakan usaha kecil dan menengah yang memproduksi pot bunga dengan berbagai bentuk dan ukuran. Perusahaan ini melakukan produksi berdasarkan persediaan bahan baku dan jumlah permintaan yang ada. Oleh karena itu, perusahaan perlu melakukan perencanaan produksi agar dapat memproduksi pot bunga secara optimal. Metode yang digunakan untuk menentukan jumlah produksi optimal adalah metode branch and cut. Metode

branch and cut merupakan gabungan dari metode branch and bound dan metode

cutting plane. Metode ini mampu menyelesaikan permasalahan integer programming dengan lebih baik dibandingkan dengan metode branch and bound

murni. Hasil penelitian diperoleh bahwa terdapat 2 alternatif jumlah produksi optimal dari masing-masing pot bunga, yaitu 70 buah pot segi minimalis, 90 buah pot sampan minimalis, 117 buah pot petak segi besar bonsai, 99 buah pot bulat besar ukir bonsai, 77 buah pot segi ukir bonsai, 68 buah pot guci sedang dan 58 buah pot guci kecil, atau 70 buah pot segi minimalis, 92 buah pot sampan minimalis, 115 buah pot petak segi besar bonsai, 98 buah pot bulat besar ukir bonsai, 81 buah pot segi ukir bonsai, 68 buah pot guci sedang dan 58 buah pot guci kecil dengan kentungan sebesar Rp 11.554.000.

(13)

v

APLICATION OF BRANCH AND CUT METHOD IN OPTIMIZATION OF FLOWER POT PRODUCTION

(Case Study: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)

ABSTRACT

UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti are small and medium enterprises which produce the flower pot with a various of shapes and sizes. This company production based on inventory of raw materials and the amount of the demand. Therefore, companies need to make production planning in order to produce an optimal flower pots. The method used to determine the optimal production is the branch and cut method. Branch and cut method is a combination of branch and bound method and cutting plane method. This method is able to solve the integer programming problems better than pure branch and bound method. The results obtained that there are 2 alternative optimal production of each flowerpot, namely 70 pieces square minimalist pots, 90 pieces canoe minimalist pots, 117 pieces large square bonsai pots, 99 large round carved bonsai pots, 77 pieces square carved bonsai pots, 68 medium jar pots and 58 pieces small jar pots, or 70 pieces square minimalist pots, 92 pieces canoe minimalist pots, 115 pieces large square bonsai pots, 98 large round carved bonsai pots, 81 square carved bonsai pots, 68 pieces medium jar pots and 58 pieces small jar pots with profits at Rp 11.554.000.

(14)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persaingan pasar yang semakin meningkat menuntut perusahaan menyusun

strategi dengan baik agar mampu bertahan. Perusahaan harus membuat keputusan

yang tepat dengan mempertimbangkan batasan-batasan yang ada. Dalam suatu

usaha, batasan tersebut dapat berupa ketersediaan bahan baku, peralatan, mesin,

waktu, biaya, dan tenaga kerja. Keputusan-keputusan dalam dunia usaha

mengandung resiko besar yang perlu didukung oleh perhitungan-perhitungan yang

teliti untuk menghindari resiko kerugian. Dalam hal ini

pertimbangan-pertimbangan naluriah saja tidak cukup, sehingga diperlukan peralatan-peralatan,

teknik-teknik atau metode-metode kuantitatif yang lebih lengkap untuk

menyelesaikannya. Salah satu keputusan yang harus diambil adalah dalam hal

perencanaan produksi. Perencanaan produksi merupakan perencanaan tentang

produk apa saja dan berapa jumlah yang akan diproduksi oleh perusahaan dalam

waktu satu periode yang akan datang. Perencanaan produksi bertujuan untuk

optimasi produksi sehingga dapat memaksimalkan pendapatan. Salah satu cara

untuk optimasi perencanaan produksi adalah dengan menggunakan metode

branch and cut.

UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti merupakan usaha kecil dan menengah

yang memproduksi pot bunga dengan berbagai bentuk dan ukuran. Usaha ini

merupakan usaha turun temurun yang pada awalnya dikelola oleh kakeknya alm.

Ali. Dalam proses produksi, pengusaha melakukan perencanaan produksi hanya

berdasarkan intuisi dan jumlah pesanan yang ada. Usaha ini sering dihadapkan

pada kondisi bahwa produk yang diminta pelanggan belum siap untuk dipakai

tetapi pelanggan tetap mendesak untuk membelinya. Hal ini menyebabkan produk

tersebut mudah rusak dan berpotensi membuat tingkat kepercayaan pelanggan

(15)

perencanaan produksi yang optimal. Untuk mengoptimalkan jumlah produksi

tersebut digunakan metode branch and cut.

Metode branch and cut adalah pendekatan yang dilakukan dengan

memadukan metode branch and bound dan cuting plane sebagai pendekatan

model program integer. Kombinasi kedua pendekatan tersebut merupakan

kombinasi yang baik untuk digunakan sebagai penyelesaian dalam persoalan

program integer (Taruna, 2011).

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi rumusan masalah dalam

penelitian ini adalah bagaimana mengoptimalkan jumlah produksi pot bunga

dengan menggunakan metode branch and cut sehingga perusahaan dapat

memperoleh keuntungan yang maksimal.

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah:

1. Variabel keputusan dalam penelitian ini adalah jumlah masing-masing jenis

pot bunga yang akan diproduksi, yaitu:

�1 = Banyaknya pot bunga jenis segi minimalis diproduksi

�2 = Banyaknya pot bunga jenis sampan minimalis diproduksi

�3 = Banyaknya pot bunga jenis petak segi besar bonsai diproduksi

�4 = Banyaknya pot bunga jenis bulat besar ukir bonsai diproduksi

�5 = Banyaknya pot bunga jenis segi ukir bonsai diproduksi

�6 = Banyaknya pot bunga jenis guci sedang diproduksi

�7 = Banyaknya pot bunga jenis guci kecil diproduksi

2. Permasalahan optimalisasi produksi dalam penelitian ini dibatasi pada kendala

berupa ketersediaan bahan baku dan jumlah permintaan.

3. Data yang diambil adalah data satu kali tahapan produksi dan data bulan

(16)

4. Kondisi perusahaan dianggap dalam keadaan normal serta faktor-faktor lain

dianggap tidak mempengaruhi proses produksi.

5. Biaya penyimpanan dianggap tidak ada.

6. Waktu produksi produk tidak diperhitungkan.

1.4 Tinjauan Pustaka

Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan linear

programming, di antaranya adalah metode grafik, metode interior point, metode

simpleks dan metode dual Simpleks. Dalam solusi yang diperoleh dengan

menggunakan metode tersebut terkadang masih terdapat beberapa variabel yang

tidak bernilai integer. Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan

permasalahan optimasi yang mengandung kendala linier di mana seluruh atau

beberapa variabel keputusannya harus bernilai integer. Permasalahan ini

dinyatakan sebagai masalah integer linear programming. Permasalahan integer

linear programming tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai metode di

antaranya adalah metode branch and bound, metode cuting plane dan metode

branch and cut.

Model awal dari Integer Linear Programming (ILP) dinyatakan dengan:

Maximum ��

Kendala: �� ≤ �

� ∈ �+ _1.1

di mana x dan c adalah vektor dengan jumlah elemen sebanyak n dan b adalah

vektor dengan jumlah elemen sebanyak m dan A adalah matriks �×�, dan solusi

penyelesaian diperoleh dari variabel yang bersifat biner (Taruna, 2011).

Konsep dasar dari metode branch and bound adalah membagi dan

menyelesaikan. Karena masalah awal sulit untuk diselesaikan secara langsung,

maka masalah awal tersebut dibagi menjadi sub-masalah yang lebih kecil hingga

(17)

Operasi pencabangan pada metode branch and bound akan menelusuri

semua solusi integer fisibel yang mungkin, sedangkan konsep pembatasan dipakai

untuk mempersempit daerah yang layak penelusuran sehingga beberapa solusi

integer fisibel yang tidak potensial bisa dibuang. Dengan demikian, algoritma

pada teknik pencabangan dan pembatasan akan selalu konvergen dengan

ditemukannya solusi optimum integer atau diperoleh kesimpulan bahwa masalah

semula tidak fisibel (Sinurat, 2008).

Ide mendasar dari metode cutting plane adalah bahwa solusi integer

optimal berada dekat dengan solusi program linier, namun tidak berada pada

perpotongan kendala sehingga diperlukan kendala tambahan. Akibatnya, beberapa

kendala ditambahkan untuk menekan solusi program linier yang tidak integer

menjadi tidak layak tanpa menghilangkan setiap solusi integer. Hal ini dilakukan

dengan menambahkan sebuah kendala untuk menekan variabel nonbasis menjadi

lebih besar daripada sebuah nilai kecil tak nol (McCarl & Spreen, 1997).

Metode branch and cut dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai

masalah. Penelitian yang dilakukan oleh Amalia (2014) membahas tentang

implementasi metode branch and cut untuk menyelesaikan masalah multiobjektif

integer programming. Dalam penelitian ini diperoleh bahwa kinerja metode

branch and cut dalam menyelesaikan masalah multiobjektif integer programming

lebih efektif dibandingkan dengan metode branch and bound dan cutting plane.

Masalah lainnya yang dapat diselesaikan dengan metode branch and cut di

antaranya adalah masalah program stokastik biner campuran (Ardiana, 2012),

minimum cost multi-level network design (Chopra dan Tsai, 1998) dan traveling

(18)

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan jumlah produksi pot bunga optimal

sehingga dapat memaksimalkan keuntungan dengan menggunakan metode branch

and cut.

1.6 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui jumlah produksi pot bunga yang optimal dengan menggunakan

metode branch and cut.

2. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai tambahan

referensi bagi pengusaha pot bunga untuk membuat keputusan yang lebih

baik dalam hal perencanaan produksi.

3. Hasil Penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai tambahan informasi

dan referensi bacaan bagi peneliti selanjutnya yang akan

melakukan penelitian yang berkaitan.

1.7 Metodologi Penelitian 1.7.1 Studi Pendahuluan

Untuk memecahkan masalah yang ada sampai kepada tahap menganalisis dan

mengambil keputusan diperlukan studi pendahuluan berupa studi literatur.

1.7.2 Pengumpulan Data

Dalam melakukan penelitian, penulis mengumpulkan data sekunder yang

diperoleh dari perusahaan. Data-data yang dibutuhkan dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Data penjualan pot bunga pada bulan Januari – Juni 2014.

2. Data komposisi bahan baku yang diperlukan dari setiap jenis pot bunga.

3. Data biaya produksi pot bunga.

(19)

1.7.3 Pengolahan Data

1. Formulasi Fungsi

a. Penentuan Variabel Keputusan

Variabel keputusan merupakan output yang akan dioptimalkan sehingga

memenuhi kriteria tujuan dan kendala.

b. Perumusan Fungsi Tujuan

Dalam penelitian ini yang dijadikan sebagai fungsi tujuannya adalah

maksimasi keuntungan penjualan pot bunga. Koefisien dari variabel

keputusannya adalah keuntungan dari masing-masing jenis pot bunga.

c. Perumusan Fungsi Kendala

Fungsi kendala dirumuskan berdasarkan persediaan bahan baku yaitu

semen, pasir, kawat, cat hitam, cat wash, cat retak dan tiner serta jumlah

permintaan pot bunga.

2. Penyelesaian Model

Model diselesaikan secara iterative menggunakan metode branch and cut dan

bantuan software POM-QM for Windows.

3. Membuat Kesimpulan

Langkah terakhir dalam metode penelitian ini adalah membuat kesimpulan

(20)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Perencanaan Produksi

Produksi yang dalam bahasa inggris disebut production adalah keseluruhan proses

yang dilakukan untuk menghasilkan produk atau jasa. Produk yang dihasilkan

sebagai output dari proses tersebut dapat berupa produk akhir (finished product)

yang sering disebut juga produk jadi, produk setengah jadi (work-in-process) atau

bahan baku (raw materials) yang semuanya bersifat tangible (berwujud fisik).

Jasa (services) adalah output yang bersifat intangible (berwujud non-fisik).

Aktifitas produksi sebagai suatu bagian dari fungsi organisasi perusahaan

bertanggung jawab terhadap pengolahan bahan baku menjadi produk jadi yang

dapat dijual. Untuk melaksanakan fungsi produksi tersebut diperlukan rangkaian

kegiatan yang akan membentuk suatu sistim produksi.

Sistim produksi merupakan kumpulan dari sub-sistim yang saling

berinteraksi dengan tujuan mentransformasi input produksi menjadi output

produksi. Input produksi ini dapat berupa bahan baku, mesin, tenaga kerja, modal

dan informasi sedangkan output produksi merupakan produk yang dihasilkan

berikut hasil sampingannya seperti limbah, informasi, dan sebagainya. Sub-sistim

dari sistim produksi tersebut antara lain adalah perencanaan dan pengendalian

produksi, pengendalian kualitas, penentuan standar-standar operasi, penentuan

fasilitas produksi, perawatan fasilitas produksi dan penentuan harga pokok

produksi.

Tujuan akhir dari suatu perusahaan adalah untuk memperoleh keuntungan

disamping tercapainya kelanjutan dan pengembangan usaha. Salah satu fungsi

yang terpenting dalam mendukung usaha untuk mencapai tujuan tersebut adalah

perencanaan produksi. Perencanaan produksi dapat didefinisikan sebagai proses

(21)

produksi atau operasi sehingga permintaan pasar dapat dipenuhi dengan jumlah

yang tepat.

The American Production and Inventory Control Society mendefinisikan

perencanaan produksi sebagai suatu kegiatan yang berkenaan dengan penentuan

apa yang harus diproduksi, berapa banyak diproduksi, kapan diproduksi, dan apa

sumber daya yang dibutuhkan untuk mendapatkan produk yang telah ditetapkan

(Sinulingga, 2009).

Perencanaan produksi dilakukan dengan tujuan menentukan arah awal dari

tindakan-tindakan yang harus dilakukan di masa mendatang, apa yang harus

dilakukan, berapa banyak melakukannya, dan kapan harus melakukan. Karena

perencanaan ini berkaitan dengan masa mendatang, maka perencanaan disusun

atas dasar perkiraan yang dibuat berdasarkan data masa lalu dengan menggunakan

beberapa asumsi.

Kegunaan dari pelaksanaan perencanaan produksi adalah:

1. Suatu perencanaan meliputi usaha untuk menetapkan tujuan yang dipilih

untuk dicapai sehingga dengan adanya perencanaan produksi dapat

memberikan arah bagi setiap kegiatan produksi. Dengan adanya kejelasan

arah tersebut maka kegiatan akan dapat dilaksanakan dengan efektif.

2. Dengan perencanaan produksi yang berisi formulasi tujuan yang hendak

dicapai maka akan memungkinkan untuk mengetahui apakah tujuan tersebut

telah tercapai atau tidak. Dengan demikian, koreksi-koreksi terhadap

penyimpangan dari tujuan yang telah ditetapkan dapat diketahui secepatnya

sehingga pemborosan dan usaha yang tidak menunjang pencapaian tujuan

dapat dihindari.

3. Memudahkan pelaksanaan kegiatan untuk mengidentifikasi

hambatan-hambatan yang mungkin muncul dalam usaha pencapaian tujuan tersebut.

4. Menghindarkan pertumbuhan dan perkembangan yang tidak terkendali.

(22)

selalu menambah jumlah dan jenis tenaga kerja yang sudah dimiliki untuk

memperbaiki mutu serta jumlah output.

2.2 Program Linier

Konsep linear programming ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh

George Dantzig. Program linier merupakan suatu metode untuk membuat

keputusan di antara berbagai aternatif kegiatan dibatasi oleh kendala tertentu.

Keputusan yang diambil dinyatakan sebagai fungsi tujuan sedangkan

kendala-kendala yang dihadapi dalam membuat keputusan tersebut dinyatakan dalam

bentuk fungsi-fungsi kendala. Fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut berupa

fungsi linier, baik dalam bentuk persamaan maupun pertidaksamaan pada

variabel-variabel keputusannya.

Bentuk umum dari permasalahan LP adalah:

Maximum ��

Kendala: �� ≤ � 2.1

Beberapa contoh aplikasi LP yang telah berhasil diterapkan dalam bidang

militer, industri, dan sosial adalah:

1. Mengembangkan jadwal produksi yang bertujuan memuaskan konsumen

terhadap produk yang dikonsumsikan dan pada saat yang sama dapat

meminimalisasi biaya produksi dan persediaan.

2. Penentuan kombinasi produk (product-mix), yaitu menentukan produk mana

dari sejumlah alternatif kemungkinan produksi yang dapat memaksimalkan

keuntungan.

3. Penentuan sistim distribusi yang akan meminimalisasi biaya total pengiriman

dengan menggunakan mobil box dari gudang ke berbagai pasar.

4. Menganalisis portofolio investasi dari berbagai alternatif investasi dalam

saham dan obligasi sehingga seorang investor dapat menentukan portofolio

(23)

5. Menentuan penjadwalan untuk melakukan aktifitas produksi bagi tenaga kerja

di perusahaan.

2.2.1 Unsur – Unsur Program Linier

Adapun unsur-unsur dalam program linier adalah:

a. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap

keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan ini tidak negatif.

b. Fungsi Tujuan

Adapun tujuan dalam program linier adalah masalah optimasi yakni tujuan

memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu di mana tingkat pencapaian

tujuan ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan yang

dimiliki.

c. Kendala Tujuan

Kendala merupakan batasan-batasan yang harus diperhatikan dalam

penyelesaian program linier. Kendala tersebut dibuat dalam fungsi linier.

2.2.2 Asumsi Dasar Program Linier

Dalam model program linier terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar

permasalahan program linier menjadi absah, adapun asumsi program linieradalah

sebagai berikut:

1. Asumsi kesebandingan (proposionality)

a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah

sebanding dengan nilai variabel keputusan.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap

pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

2. Asumsi penambahan (additivity)

a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak

(24)

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap

pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan

yang lain.

3. Asumsi pembagian (divisibility)

Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan

berupa bilangan pecahan.

4. Asumsi kepastian (certainty)

Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien

teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.

2.3 Program Bilangan Bulat Linier

Program bilangan bulat linier (Integer Linear Programming / ILP) adalah bentuk

khusus dari permasalahan program linier di mana pada solusi optimalnya

beberapa atau seluruh variabelnya dibatasi harus berupa bilangan bulat (integer)

tak negatif. ILP digunakan untuk memodelkan permasalahan yang mengandung

variabel keputusan yang harus bernilai integer, misalnya variabel yang

menggambarkan jumlah orang atau jumlah unit produk yang akan diproduksi.

Permasalahan di mana seluruh variabelnya dibatasi harus berupa integer

tak negatif disebut permasalahan program integer linier murni (Pure Integer

Linear Programming / PILP). Jika hanya beberapa variabel saja yang harus

bernilai integer, permasalahan ini disebut sebagai permasalahan integer linier

campuran (Mixed Integer Linear Programming / MILP). Dalam suatu kondisi

khusus di mana seluruh variabel keputusan dalam suatu masalah harus bernilai 0

atau 1 maka permasalahan tersebut disebut Binary Integer Linear Programming

(25)

��: � ��

�� = Koefisien dari variabel keputusan dalam kendala ke-i

�� = Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i

Banyak permasalahan yang dapat dimodelkan sebagai program integer,

misalnya dalam ilmu pengetahuan, teknologi, bisnis dan lingkungan, oleh karena

itu tidak mengherankan bahwa banyak metode penyelesaian dan kode yang

muncul untuk menyelesaikan program integer. Beberapa metode dapat digunakan

untuk seluruh tipe ILP dan beberapa metode hanya diperuntukkan untuk

menyelesaikan suatu masalah ILP tertentu.

Pada dasarnya, solusi integer optimal berada dekat dengan solusi program

linier. Titik-titik yang berada dalam daerah fisibel (feasible region) berupa

titik-titik yang fisibel sebagai koordinat yang bernilai integer disebut integer lattice

points. Pemecahan persoalan LP biasa terletak pada batas luar dari daerah

fisibelnya, khususnya pada titik-titik ekstrimnya yang disebut vertex.

Misalkan daerah fisibel tersebut dapat diciutkan menjadi convex hull of the

feasible lattice points, di mana convex hull merupakan daerah convex terkecil

yang memuat semua titik-titik lattice. Convex hull diperoleh sebagai hasil

modifikasi dari persoalan asli dengan jalan menambahkan kendala linier baru.

(26)

1. Mencakup setiap pemecahan integer yang fisibel terhadap persoalan asli. Jadi

pemecahan yang menghasilkan bilangan-bilangan bulat atau integer masih

merupakan penyelesaian dari persoalan LP yang asli.

2. Setiap pemecahan dasar dari persoalan baru merupakan pemecahan integer.

Pemecahan dasar optimal dari persoalan yang baru juga merupakan

pemecahan optimal dari permasalahan LP yang asli namun berupa integer.

Dalam prakteknya sukar untuk memotong daerah fisibel menjadi convex

hull of the feasible lattice points sehingga diperlukan metode yang terdiri dari

urutan langkah-langkah dengan jalan selalu menambahkan kendala baru terhadap

persoalan asli sebagai kelanjutan dari hasil perhitungan sebelumnya. Konsep

inilah yang diterapkan dalam metode branch and bound, cutting plane dan metode

branch and cut.

2.4 Metode Simpleks

Masalah program linier berkembang pesat setelah ditemukan suatu metode

penyelesaian program linier yaitu metode simpleks yang ditemukan oleh George

Dantzig pada tahun 1947. Permasalahan linier sederhana yang mengandung dua

atau tiga variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Namun

untuk masalah program linier yang mengandung lebih dari tiga variabel, metode

grafik tidak dapat digunakan sehingga diperlukan metode yang dapat digunakan

untuk menyelesaiakan masalah program linier yang rumit. Metode simpleks

adalah metode yang dapat menyelesaiakan masalah program linier dengan jumlah

variabel yang besar.

Penyelesaian model program linier dengan menggunakan metode simpleks

memerlukan pengubahan model formulasi ke dalam bentuk standar dengan syarat

sebagai berikut:

1. Semua kendala berbentuk pertidaksamaan yang dibatasi oleh kendala lebih

(27)

variable. Untuk pertidaksamaan yang dibatasi oleh tanda lebih besar (≥)

diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan surplusvariable.

2. Nilai ruas kanan setiap kendala bertanda positif, jika nilai ruas kanan dari

suatu kendala bertanda negative maka harus diubah menjadi positif dengan

mengalikan pertidaksamaan dengan -1.

3. Semua variabel keputusan bernilai nonnegatif.

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode

simpleks, di antaranya:

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan itu

tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel nonbasis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada

sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel nonbasis selalu

sama dengan derajat bebas dalam sistim persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang

iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi

kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi

kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah

variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non

negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih

tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah

sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika

kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=).

Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,

variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika

kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).

Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel

(28)

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika

kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variab el basis

awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini

harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak

ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.

Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk

menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang

memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan

kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk

tabel simpleks berikutnya.

2.4.1 Langkah-Langkah Metode Simpleks

Algoritma metode simpleks untuk persoalan maksimasi:

1. Konversikan formulasi model program linier ke dalam bentuk standar.

2. Cari Solusi Basis Feasible (BFS).

3. Jika seluruh variabel nonbasis (NBV) mempunyai koefisien nonnegatif

(artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan [baris persamaan �

yang biasa disebut baris 0 atau baris (�_� − �_�)], maka BFS sudah optimal.

Jika pada baris 0 masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah

satu variabel yang mempunyai paling negatif pada baris 0 itu. Variabel ini

akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai

variabel yang masuk basis (entering variable, disingkat EV).

4. Hitung rasio dari ruas kanan atau (koefisien EV) pada setiap baris di mana

EV mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan

rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel

ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis (leaving

(29)

5. Lakukan operasi baris elementer (ERO) untuk membuat koefisien EV pada

baris dengan rasio positif terkecil ini menjadi bernilai 1 dan bernilai 0 pada

baris-baris lainnya.

6. Kembali ke langkah 3.

2.5 Metode Dual Simpleks

Apabila pada suatu iterasi diperoleh persoalan program linier yang sudah

optimum (berdasarkan kondisi optimalitas), tetapi belum fisibel (ada pembatas

nonnegatif yang tidak terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan

dengan menggunakan metode dual Simpleks. Syarat digunakannya metode ini

adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda

(≤), sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi.

Pada dasarnya metode dual Simpleks ini menggunakan tabel yang sama

seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving dan entering variable-nya

ditentukan sebagai berikut:

1. Leaving variable (kondisi fisibilitas)

Yang menjadi leaving variable pada dual Simpleks adalah variabel basis yang

memiliki harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga

positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai.

2. Entering variable (kondisi optimalitas)

a. Tentukan perbandingan (rasio) antara koefisien persamaan z dengan

koefisien persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif

atau nol. Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan

yang bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel.

b. Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan

rasio terkecil, sedangkan persoalan maksimasi, entering variable adalah

(30)

2.6 Metode Branch and Bound

Metode branch and bound pertama kali dkembangkan pada tahun 1960 oleh Land

dan G. Doig yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mixed integer linear

programming dan pure integer linear programming secara umum. Selanjutnya

pada tahun 1965 E. Balas mengembangkan algoritma tambahan untuk

menyelesaiakan masalah binary integer linear programming.

Metode branch and bound awalnya hanya digunakan untuk menyelesaikan

masalah program integer. Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata metode ini juga

dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah lainnya seperti traveling salesman

problem, scheduling dan sebagainya. Ide mendasar dari metode ini adalah

membagi daerah layak menjadi beberapa sub-bagian yang mengandung titk-titik

fisibel dengan koordinat integer dengan menambahkan kendala tambahan

kemudian menyelesaikannya.

Untuk menyelesaikan suatu masalah program integer dengan

menggunakan metode branch and bound, langkah pertama adalah mengabaikan

kendala integer dari permasalahan awal sehingga terbentuk permasalahan LP

relaksasi kemudian diselesaikan. Banyak metode yang dapat digunakan untuk

menyelesaiakan permasalahan LP relaksasi. Namun, metode yang umum

digunakan adalah metode simpleks. Jika permasalahan tersebut tidak mempunyai

penyelesaian optimum yang bernilai integer, maka dua kendala baru dibentuk.

Kendala tersebut adalah batas atas dan bawah dari variabel yang dibatasi harus

bernilai integer namun belum bernilai integer.

Konsep dasar dari metode branch and bound adalah pengamatan terhadap

tiap-tiap nilai �_�, di mana �_� adalah variabel yang dibatasi harus bernilai integer.

Jika nilai �_� belum integer, maka masalah awal dibagi menjadi dua masalah baru

dengan menambahkan dua kendala baru yaitu, ��_�� ≤ �_� dan �_� ≤ ��_��+ 1 di

mana ��_�� adalah integer terdekat yang lebih kecil dari �_�. Proses inilah yang

dinamakan branching (pencabangan). Dalam kasus maksimasi, solusi awal

(31)

pencabangan masalah akan mengakibatkan berkurangnya nilai fungsi tujuan pada

solusi optimal.

Sebagai salah satu hasil pencabangan variabel yang belum integer pada

setiap cabang, satu dari dua kejadian berikut akan terjadi. Yang pertama, solusi

yang diperoleh tidak memenuhi syarat integer dari variabel yang dicabangkan, dan

memperoleh nilai fungsi objektif yang kurang sesuai dibandingkan dengan

pencabangan lain yang semua solusinya sudah integer, dalam kasus ini

pencabangan dilanjutkan. Yang kedua, mungkin diperoleh solusi lain yang sudah

memenuhi syarat integer, dalam kasus ini pencabangan dihentikan.

Terdapat dua tahap yang dipakai dalam algoritma branch and bound,

yaitu:

1. Pencabangan, yaitu mempartisi masalah tersebut menjadi beberapa

sub-masalah dengan cara menambahkan kendala yang merupakan syarat perlu

untuk mencari solusi integer fisibel tanpa mengubah himpunan solusi integer

semula.

2. Pembatasan, yaitu nilai fungsi objektif dari suatu sub-masalah yang

mempunyai solusi integer dipakai sebagai batas nilai fungsi objektif dari

sub-masalah lainnya.

Branch and bound adalah algoritma yang paling umum digunakan untuk

menyelesaikan masalah integer programming. Algoritma branch and bound juga

telah banyak digunakan sebagai kode program computer, misalnya OSL,

LAMPU, dan LINDO.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah

maksimisasi dengan metode branch and bound:

1. Selesaikan masalah program linier relaksasi dengan metode simpleks.

2. Teliti solusi optimalnya, jika variabel keputusan yang diharapkan adalah

integer, solusi optimum integer telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel

(32)

3. Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk

batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah

dibulatkan (rounded–down).

4. Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar (artinya bilangan

desimal terbesar) dari masing-masing variabel untuk dijadikan pencabangan

ke dalam sub-masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang

tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu

dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer

dengan jaminan tidak ada solusi fisibel (layak) yang diikutsertakan.

5. Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai

batas atas. Solusi optimum yang dibulatkan menjadi batas bawah (solusi yang

sebelumnya tidak bulat kemudian dibulatkan). Sub-masalah yang memiliki

batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa

selanjutnya. Suatu solusi integer fisibel (layak) adalah sama baik atau lebih

baik dari batas atas untuk setiap sub-masalah yang dicari. Jika solusi yang

demikian terjadi, suatu sub-masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk

dicabangkan. Kembali ke langkah 4.

2.7 Metode Cutting Plane

Metode cutting plane yang digunakan untuk menyelesaikan masalah secara

umum, pertama kali dikemukakan oleh Gomory (1963). Metode cutting plane

merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan program integer linier,

baik integer murni maupun campuran dengan penambahan batasan baru yang

disebut gomory. Batasan gomory diberikan jika nilai dari variabel keputusan

belum integer (bernilai pecahan). Batasan-batasan tersebut secara efektif akan

menyingkirkan beberapa ruang penyelesaian yang tidak berisi titik integer yang

layak, tetapi tidak pernah menyingkirkan satupun titik integer yang layak (Taha,

1996).

(33)

1. Selesaikan masalah program integer dengan menggunakan metode simpleks.

Masalah sederhana dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga

pendekatan gomory kurang efisien.

2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai integer,

solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika

satu atau lebih variabel basis masih meiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3.

3. Buatlah suatu batasan gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual

Simpleks. Kembali ke tahap 2 (Taha, 1996).

Misalnya diberikan sebuah permasalahan integer programming berikut:

Tabel 2.1 Tabel Optimum Masalah Program Linier

Basis �1 … �_� … �_� �1 … �_� … �_� Hasil

Tentukan baris sumber dengan menentukan baris variabel keputusan yang

akan dibulatkan. Jika lebih dari satu, dipilih nilai pecahan terbesar.

(34)

Disimpulkan bahwa 0 <�_� < 1 dan 0 <�_�� < 1, yang mana �_� dan �_��

adalah pecahan positif, sehingga:

�� = ��− � ��

Persamaan 2.4 haruslah integer yang berakibat sisi kiri juga harus integer. Karena

�� ≥0 dan �� ≥0 untuk semua i dan j maka:

batasannya dapat ditulis dalam bentuk:

�� =� ��

�

�=1

− ��

(35)

atau,

Tabel 2.2 Setelah Penambahan Pemotongan Fraksional

Basis �1 … �_� … �_� �1 … �_� … �_� �_�_� Hasil

di mana �_�_� adalah variabel slack nonnegatif yang berdasarkan definisinya

haruslah integer. Persamaan batasan ini mendefinisikan pemotong fraksional. Dari

Tabel 2.2 �_� = 0 dan �_�_� =−�_� tidak layak. Ini berarti bahwa batasan baru

tersebut tidak dipenuhi oleh solusi yang diberikan. Metode dual Simpleks dapat

dipergunakan untuk mengatasi ketidaklayakan ini yang setara dengan memotong

bidang solusi ke arah solusi integer optimal.

Jika solusi baru (setelah menerapkan metode dual Simpleks) adalah integer,

proses berakhir. Jika tidak, sebuah gomory baru ditambahkan dari tabel yang

dihasilkan dan metode dual Simpleks kembali digunakan untuk mengatasi

ketidaklayakan. Prosedur ini dilakukan sampai solusi integer dicapai. Jika di salah

satu iterasi metode dual Simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak,

(36)

2.8 Metode Branch and Cut

Banyak permasalahan optimisasi dapat diformulasikan sebagai masalah Integer

Linear Programming (ILP). Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan metode

branch and bound dan metode branch and cut. Algoritma metode branch and cut

dibuat dari kombinasi metode cutting-plane dengan metode branch and bound.

Prosedur metode branch and cut adalah menyelesaikan rangkaian relaksasi

program linier dari masalah integer linear programming. Metode cutting plane

memperbaharui relaksasi dari masalah untuk lebih mendekati penyelesaian berupa

integer, dan metode branch and bound memproses dengan membagi dan

menyelesaikan (devide and conquer) masalah.

Misalkan bahwa titik �∗ adalah solusi layak untuk linear programming. Jika

�∗_{berada pada daerah integral, maka}_�_{merupakan solusi optimal untuk}_integer linear programming sudah diperoleh. Jika tidak, maka nilai fungsi objektif

merupakan batas atas dari nilai optimum, tetapi dibutuhkan penyelesaian lebih

lanjut untuk memperoleh nilai optimum berupa integer. Dengan penambahan

bidang pemotongan (cutting plane) atau membagi masalah tersebut menjadi

bagian-bagian masalah (branch).

Mitchell (1999) menjelaskan bahwa secara umum algoritma branch and

cut adalah sebagai berikut:

1. Inisialisasi: nyatakan persoalan awal ke dalam bentuk ILP0dan titik-titik aktif

menjadi �= {��0}. Tetapkan batas bawah menjadi �= −∞. Tetapkan

�� = +∞ untuk sebuah persoalan � ∈ �.

2. Penghentian proses: jika �= ∅ maka solusi �∗ yang menghasilkan nilai �

objektif yang terbaik merupakan solusi optimal. Jika tidak ditemukan �∗

(misalnya, �=−∞) maka ILP tidak layak.

3. Pemilihan masalah: pilih dan hilangkan masalah �� dari L.

4. Relaksasi: selesaikan relaksasi program linier dari ��. Jika relaksasi tidak

layak, tetapkan �_� = −∞ dan lanjut ke langkah 6. Misalkan � merupakan nilai

objektif optimal dari relaksasi dan misalkan �� merupakan jawaban optimal.

(37)

5. Tambahkan bidang pemotongan: jika diinginkan carilah bidang pemotongan

yang akan memenuhi ��, jika sudah ditemukan, tambahkan bidang

pemotongan tersebut pada relaksasi dan kembali ke langkah 4.

6. Pengukuran dan pemangkasan:

a. Jika �_� ≤ � kembali ke langkah 2.

b. Jika �_� > � dan �� adalah integer yang layak, perbaharui nilai �dengan

melakukan teknik rounded down berdasarkan nilai �_�, kemudian buang

dari L seluruh masalah di mana �_� ≤ �, dan lanjut ke langkah 2.

ILP0 = Bentuk ILP dari permasalahan awal

�� _{= Bentuk}_ILP_{dari sebuah permasalahan}_l_∈_L

L = Himpunan titik-titik aktif dari persoalan ILP

�� = Batas atas dari nilai fungsi tujuan suatu sub-masalah l∈L

Pada algoritma branch and cut, diberikan L yang merupakan himpunan

titik aktif pada pencabangan branch and cut. Nilai objektif terbaik yang diperoleh

dari titik layak dinotasikan sebagai �. Lebih lanjut, �_� adalah batas atas nilai

(38)

memperbaharui �_�. Dalam beberapa kondisi, sejumlah cutting plane ditemukan

pada langkah 5, biasanya cutting plane yang diperoleh dipilah dan yang

ditambahkan pada persamaan adalah subsetnya. Sub-masalah yang terbentuk pada

langkah 7 disebut sub-masalah anak dan sub-masalah pada node sebelumnya

sebagai sub-masalah induknya. Biasanya pembagian masalah tersebut

menggunakan bentuk dari variabel penghubung �_� ≤ � dan �_� ≥ � untuk suatu

variabel �_� dan a merupakan integer. Kendala-kendala tersebut dapat diselesaikan

dengan berbagai metode untuk ILP. Secara khusus pada langkah awal

diselesaikan dengan metode simpleks, jawaban berikutnya diperoleh dengan

metode dual Simpleks. Solusi dual untuk jawaban sub-masalah akhir adalah layak

untuk sub-masalah awal. Lebih lanjut, ketika pemotongan (cut) ditambahkan pada

langkah 5, juga memanfaaatkan iterasi dual Simpleks untuk mendapatkan solusi

optimal yang integer. Cutting plane yang ditambahkan pada salah satu vertex dari

pohon branch and cut mungkin tidak berlaku untuk sub-masalah lain. Dalam hal

(39)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pengumpulan Data

Data yang diperlukan dalam penelitian ini adalah:

1. Data penjualan pot bunga pada bulan Januari-Juni 2014.

2. Data komposisi bahan baku yang diperlukan dari setiap jenis pot bunga.

3. Data biaya produksi pot bunga.

4. Data harga penjualan setiap jenis pot bunga pada UD. Mukhlis Rangkuti.

5. Data jumah produksi pot bunga pada bulan Maret 2015.

Berikut disajikan data volume penjualan pot bunga bulan Januari-Juni

2014 pada UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti

Tabel 3.1 Data Volume Penjualan Pot Bunga Bulan Januari – Juni 2014

No Bulan Jenis Produk Jumlah

Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti

(40)

Bahan baku yang diperlukan untuk memproduksi setiap satu buah pot

bunga disajikan dalam Tabel 3.2 berikut:

Tabel 3.2 Komposisi Bahan Baku Produk

No Bahan Jenis Produk Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti

Bahan baku pot bunga yang disediakan oleh UD. Pot bunga Mukhlis

Rangkuti ditampilkan dalam Tabel 3.3.

Tabel 3.3 Persediaan Bahan Baku Selama Satu Bulan

No Bahan Baku Jumlah

Keterangan:

1. 1 sak semen = 50 kg

Standard massa jenis semen = 1440 kg/m3

(41)

Dengan menggunakan persamaan 3.2 diperoleh:

Total biaya produksi dari masing-masing satu buah pot bunga termasuk

biaya bahan baku dan upah tenaga kerja disajikan dalam Tabel 3.4.

Tabel 3.4 Biaya Produksi Setiap Produk

Jenis Produk Biaya Produksi

�1 Rp 15.000

Harga jual setiap satu buah pot bunga ditampilkan dalam Tabel 3.5.

Tabel 3.5 Harga Jual Produk

Jenis Produk Harga Jual

�1 Rp 30.000

Besar keuntungan yang diperoleh dari setiap unit produk merupakan

selisih dari harga jual dengan besarnya biaya produksi yang dikeluarkan.

(42)

Tabel 3.6 Keuntungan Tiap Satu Unit Produk

Jenis Produk Keuntungan

�1 Rp 15.000

Berikut ditampilkan data volume produksi pot bunga bulan Maret 2015

pada UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti.

Tabel 3.7 Volume Produksi Pot Bunga Bulan Maret 2015

Jenis Produk Jumlah

Berdasarkan jumlah produksi tersebut, total biaya produksi yang dikeluarkan oleh

perusahaan adalah Rp15.185.000,- dan keuntungan yang diperoleh adalah

Rp11.311.000,-.

3.2 Pengolahan data

3.2.1 Perumusan Fungsi Tujuan

Keoptimalan jumlah pot bunga yang diproduksi akan seiring dengan keoptimalan

keuntungan yang diperoleh. Dalam penelitian ini yang dijadikan sebagai fungsi

objektifnya adalah maksimasi keuntungan penjualan pot bunga. Koefisien dari

variabel keputusannya adalah keuntungan dari masing-masing jenis pot bunga

(43)

Maksimum:

�= 15.000�1+ 15.000�2+ 30.000�3+ 20.000�4+ 20.000�5 +18.000�6+ 15.000�7

di mana:

�1 = Banyaknya pot bunga jenis segi minimalis diproduksi

�2 = Banyaknya pot bunga jenis sampan minimalis diproduksi

�3 = Banyaknya pot bunga jenis petak segi besar bonsai diproduksi

�4 = Banyaknya pot bunga jenis bulat besar ukir bonsai diproduksi

�5 = Banyaknya pot bunga jenis segi ukir bonsai diproduksi

�6 = Banyaknya pot bunga jenis guci sedang diproduksi

�7 = Banyaknya pot bunga jenis guci kecil diproduksi

3.2.2 Perumusan Fungsi Kendala

Fungsi kendala dalam permasalahan ini terdiri dari persediaan bahan baku dan

jumlah permintaan.

1. Model Fungsi Kendala Dari Persediaan Bahan Baku

Untuk memodelkan fungsi kendala dari persediaan bahan baku, data yang

digunakan adalah data pada Tabel 3.2 dan Tabel 3.3 sehingga dapat dimodelkan

sebagai berikut:

Semen : 2,41�1+ 2,17�2+ 3,61�3+ 2,41�4 + 1,97�5+ 1,81�6+

1,44�7 ≤ 1.665,60

Pasir :`7,22�1+ 6,50�2+ 10,83�3+ 7,22�4+ 5,91�5 + 5,42�6+

4,33�7 ≤ 5.720

Kawat : 0,60�1+ 0,60�2+ 0,70�3+ 0,60�4 + 0,50�5+ 0,50�6+ 0,50�7 ≤

340

Cat hitam : 50�1+ 41,67�2 ≤20.000

Cat wash : 55,56�5+ 55,56�6+ 41,67�7 ≤ 20.000

Cat retak : 100�3 + 83,33�4 ≤ 20.000

(44)

2. Model Fungsi Kendala dari Jumlah Permintaan

Data yang digunakan untuk memodelkan fungsi kendala dari jumlah permintaan

adalah data volume penjualan yang terdapat pada Tabel 3.1. Agar tidak terjadi

kondisi kekurangan barang, maka perusahaan harus memproduksi tiap jenis pot

bunga sekurang-kurangnya sama dengan jumlah penjualan terbanyak dari setiap

jenis pot bunga. Dimodelkan fungsi-fungsi kendala sebagai berikut:

Pot bunga jenis segi minimalis : �1 ≥ 70

Permasalahan ini dapat diformulasikan sebagai program integer dan akan

diselesaikan dengan menggunakan metode branch and cut. Dari permasalahan

diperoleh:

1. Kendala dari persediaan bahan baku

(45)

100�3 + 83,33�4 ≤ 20.000

33,33�3+ 33,33�4+ 33,33�5+ 33,33�6+ 33,33�7 ≤16.000

2. Kendala dari jumlah permintaan

�1 ≥70 �2 ≥92 �3 ≥78 �4 ≥98 �5 ≥64 �6 ≥68 �7 ≥58

Bentuk standarnya menjadi:

��= 15.000�1+ 15.000�2 + 30.000�3+ 20.000�4+ 20.000�5 +18.000�6+ 15.000�7

Dengan kendala:

2,41�1+ 2,17�2+ 3,61�3+ 2,41�4+ 1,97�5+ 1,81�6 + 1,44�7+�₁ = 1.665,60

7,22�1+ 6,50�2+ 10,83�3+ 7,22�4 + 5,91�5+ 5,42�6+ 4,33�7+�2 = 5.720

0,60�1 + 0,60�2+ 0,70�3 + 0,60�4+ 0,50�5+ 0,50�6+ 0,50�7+�3 = 340

50�1+ 41,67�2+�4 = 20.000

55,56�5+ 55,56�6+ 41,67�7+�5= 20.000

100�3 + 83,33�4+�6 = 20.000

33,33�3 + 33,33�4+ 33,33�5+ 33,33�6+ 33,33�7+�7 = 16.000 −�1+�8 =−70

(46)

Setelah memformulasikan permasalahan produksi tersebut ke dalam model

integer programming, langkah selanjutnya adalah menyelesaikan model tersebut

dengan menggunakan metode dual Simpleks. Penyelesaian menggunakan metode

dual Simpleks yang ditampilkan hanya pada iterasi awal, pada iterasi berikutnya

penyelesaian model ini dilakukan dengan menggunakan bantuan komputer,

mengingat data yang akan dihitung secara iteratif cukup banyak. Persoalan model

integer programming tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan software

POM-QM for Windows yang dapat dilihat pada Lampiran 5. Penyelesaian model

ini dimulai dengan merepresentasikan model ke dalam tabel simpleks sebagai

(47)

34 Tabel 3.8 Iterasi Awal Metode Dual Simpleks

Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4

�1 0 2,41 2,17 3,61 2,41 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0

�2 0 7,22 6,50 10,83 7,22 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0

�3 0 0,60 0,60 0,70 0,60 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0

�4 0 50 41,67 0 0 0 0 0 0 0 0 1

�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0

�6 0 0 0 100 83,33 0 0 0 0 0 0 0

�7 0 0 0 33,33 33,33 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0

�8 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�9 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�10 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

�11 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0

�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0

�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

(48)

35 Tabel 3.8 Lanjutan

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Quantity

�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.665,60

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.720

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 340

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 16.000

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -70

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -92

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -78

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -98

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Keterangan:

1. Pada iterasi Tabel 3.8 di atas, �11 = −98 terpilih sebagai leaving variable.

2. �_�� =�−20.000₋

1 �=20.000 (berarti �4 menjadi entering variable).

3. Baris pivot adalah baris �4 dikalikan -1.

(49)

36 5. Baris �2 yang baru: baris �2−7,22 kali baris �4.

6. Baris �3 yang baru: baris �3−0,60 kali baris �4.

9. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol).

Tabel 3.9 Iterasi 1 Metode Dual Simpleks

Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4

�1 0 2,41 2,17 3,61 0 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0

�2 0 7,22 6,50 10,83 0 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0

�3 0 0,60 0,60 0,70 0 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0

�4 0 50 41,67 0 0 0 0 0 0 0 0 1

�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0

�6 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0

�7 0 0 0 33,33 0 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0

�8 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�9 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�10 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0

�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

(50)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Quantity

�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14

0 0 0 0 0 0 2,41 0 0 0 1.429,42

0 0 0 0 0 0 7,22 0 0 0 5.012,44

0 0 0 0 0 0 0,60 0 0 0 281,20

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00

0 1 0 0 0 0 83,33 0 0 0 11.833,66

0 0 1 0 0 0 33,33 0 0 0 12.733,66

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -70

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -92

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -78

0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58

0 0 0 0 0 0 -20.000 0 0 0 1.960.000

Keterangan:

1. Pada iterasi Tabel 3.9 di atas, �9 =−92 terpilih sebagai leaving variable.

2. �_�� =�−15.000₋

1 �=15.000 (berarti �2 menjadi entering variable).

(51)

38 5. Baris �2 yang baru: baris �2−6,50 kali baris �2.

Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4

�1 0 2,41 0 3,61 0 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0

�2 0 7,22 0 10,83 0 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0

�3 0 0,60 0 0,70 0 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0

�4 0 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0

�6 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0

�7 0 0 0 33,33 0 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0

�8 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�10 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0

�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

(52)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Quantity

�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14

0 0 0 0 2,17 0 2,41 0 0 0 1.229,78

0 0 0 0 6,50 0 7,22 0 0 0 4.414,44

0 0 0 0 0,60 0 0,60 0 0 0 226,00

0 0 0 0 41,67 0 0 0 0 0 16.166,36

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00

0 1 0 0 0 0 83,33 0 0 0 11.833,66

0 0 1 0 0 0 33,33 0 0 0 12.733,66

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -70

0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -78

0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58

0 0 0 0 -15.000 0 -20.000 0 0 0 3.340.000

Keterangan:

2. �_�� = �−30.000

−1 �= 30.000 (berarti �3 menjadi entering variable).

(53)

40 5. Baris �2 yang baru: baris �₂−10,83 kali baris �3.

6. Baris �3 yang baru: baris �₃−0,70 kali baris �3.

7. Baris �6 yang baru: baris �₆−100 kali baris �3.

8. Baris �7 yang baru: baris �₇−33,33 kali baris �3.

Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4

�1 0 2,41 0 0 0 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0

�2 0 7,22 0 0 0 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0

�3 0 0,60 0 0 0 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0

�4 0 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0

�6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�7 0 0 0 0 0 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0

�8 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�3 30.000 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0

�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

(54)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Quantity

�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14

0 0 0 0 2,17 3,61 2,41 0 0 0 948,20

0 0 0 0 6,50 10,83 7,22 0 0 0 3.569,70

0 0 0 0 0,60 0,70 0,60 0 0 0 171,40

0 0 0 0 41,67 0 0 0 0 0 16.166,36

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00

0 1 0 0 0 100 83,33 0 0 0 4.033,66

0 0 1 0 0 33,33 33,33 0 0 0 10.133,92

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -70

0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92

0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 78

0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58

0 0 0 0 -15.000 -30.000 -20.000 0 0 0 5.680.000

Keterangan:

2. �_�� = �−15.000₋

1 �= 15.000 (berarti �1 menjadi entering variable).