ABSTRAK
SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSISPADA SUATU KOMUNITAS
Oleh
ADE IKE MARTA RIZKIA
Pengobataan penyakitTuberkulosis(TB) selalu diupayakan dan dikembangkan,
begitu juga usaha-usaha untuk mencegah terkena penyakit TB. Dalam paper ini dibahas mengenai formulasi model matematika mengenai penyebaran penyakit TB.
Secara umum model matematika mengenai penyakit TB ini mempunyai dua jenis titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik kuilibrium endemik. Selanjutnya diselidiki kestabilan
titik dengan menggunakan teoremarouth-hurtwiz.Pada titik ekulibrium endemik tidak bisa diselidiki dengan menggunakan teoremarouth-hurtwiz,karena terlalu banyak parameter sehingga perhitungan menjadi kompleks, maka digunakanBasic Reproductive Number(R0). Karena terdapat kemungkinan terjadi endemik, dalam paper ini dibahas mengenai salah satu cara meminimalkan menyebarnya penyakit TB pada suatu komunitas.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan
derivative-derivatif tidak bebas terhadap variabel bebasnya.
Contoh:
( ) = ( ) = ( ), (2.1)
Adalah persamaan diferensial orde 1 (pertama) dan berderajad 1(satu). Penyelesaian dari
persamaan diferensial ini adalah mencari fungsi y(x)yang memenuhi y’(x) = f(x) dan memenuhi syarat awaly(0) = c, dengan csebuah konstan. Fungsiy(x)yang memenuhi kondisi tersebut dinamakan solusi persamaan diferensial.
Definisi 2.1.2 Sistem Persamaan Diferensial Diketahui Persamaan Diferensial Biasa berikut ini
= ( , , , ) (2.2)
:
= ( , , , )
Kumpulan Persamaan Diferensial Biasa dalam persamaan (2.2) yang mempunyai hubungan
simultan disebut Sistem Persamaan Diferensial Biasa, dengan , , fungsi bernilai
real dari t; , , , adalah derivatif fungsi , , terhadap t; , , adalah
fungsi-fungsi bernilai real yang terdefinisi dalam ruang EuclideR berdimensi n+ 1 (dinotasikan dalam ruang (t,x)). (Boyce dan DiPrima, 1977)
Sistem PDB pada persmaan 2.2 dalam notasi vektor dapat dituliskan dalam bentuk
= ( , ),
2.2 Martik
Definisi 2.2.1 Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara terurut dalam barisan dan kolom yang membentuk persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.
=
Bilangan yang terkandung dalam suatu matriks dinamakan unsur (elemen). Deretan-deretan horisontal bilangan pada matriks disebut baris, sedangkan deretan-deretan vertikal bilangan
Unsur-unsur suatu matrik dilambangkan: amnDimana m menunjukkan baris, dan n menunjukkan kolom. Jadi amnberarti unsur matriks pada baris ke-m dan kolom ke-n.
Definisi 2.2.2 Matriks Bujur Sangkar
=
Bilamana m = n adalah bujur sangkar dan akan disebut matriks bujur sangkar berordo n atau
sebuah martiks bujur sangkar n. Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen-elemen a11, a22, ……..,anndisebut elemen diagonal. Jumlah elemen-elemen diagonal suatu matriks bujur
sangkar A disebut trace A.
(Ayres, Frank. 1974)
Definisi 2.2.3 Determinan Matriks Bujur Sangkar
Determinan matriks A berordo n x n, dinyatakan sebagai det(A), adalah suatu skalar yang
diasosialisasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:
det( ) + + +; ; > 1
dengan
= ( 1) det( ) ; = 1,2 .
2.3 Nilai Eigen dan Polinom Karakteristik
Definisi 2.3.1 Persamaan Eigen dan Vektor Eigen
Jika A(nxn),vadalah sebuah vektorntak nol yang memenuhi persamaan; Av =λv disebut vektor eigen (eigenvector) dariA,dan λ disebutnilai eigen (eigenvalue) yang
bersesuaian denganv. Polinomial karakteristik dari matriksA(nxn), adalah polinomialp(λ) = det (A -λI). Persamaan karakteristik dariAadalahp(λ) = 0 atau det (A -λI) = 0, denganp adalah polinomial karakteristiknya.
JikaAadalah sebuah matriksnxn, maka pernyataan-pernyataan yang berikut ekivalen satu sama lain.
a)λadalah nilai eigen dariA.
b) Sistem persamaan (A -λI)v= 0 mempunyai pemecahan yang tak trivial.
c) Ada sebuah vektor tak nolvdi dalamRnsehinggaAv =λv.
d)λadalah pemecahan real dari persamaan karakteristik det (A -λI) = 0.
Definisi 2.3.2 Polinomial Karakteristik
Bila P adalah sebuah polynomial dalam λ sedemikian sehingga
=
= ( ) + ( ) + + ( ) +
Maka P(λ) disebut polinomial karakteristik dari A dan persamaan P(λ) = 0 disebut persamaan
karakteristik dari A
2.4 Definisi Titik Ekuilibrium
Titik merupakan titik ekuilibrium untuk persamaan diferensial
= ( , )
Jika ( , ) = 0 ; untuk semua t
Teorema 2.1 Kriteria Routh-Hurwitz
Semua akar polinom matriks A, ( ) = + + + ,mempunyai
bagian real negatif jika dan hanya jika memenuhi > 0, a > 0, a >
0, a > 0, untuk n ganjil dan > 0,untuk n genap, dengan
= ; = ; =
0
dan seterusnya.
Lemma 2.1.1
Diberikan matriks A2x2
(i) Trace (A) < 0 (ii) Det (A) > 0
Bukti:
Misalkan = , sehingga diperoleh polynomial karakteristik:
| | = −
− = − ( + ) + ( − )
Dengan demikian dari polinom karakteristik diperoleh
= 1, = − ( + ) = − ( ), = − = det( ) dan = 0
Dengan menggunakan teorema ( Kriteria Routh Hurwitz) diperoleh:
(i) Δ = > 0
2.5 Basic Reproductive Number (R0)
keseimbangan bebas penyakit stabil asimtotik secara global dan jikaRo>1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil, tetapi sistem memiliki titik kestabilan endemik
dan stabil asimtotik secara lokal. ( Fenget al, 2001)
NilaiRodidefinisakan sebagai rata-rata jumlah infeksi kedua yang disebabkan oleh seorang individu infectedselama masa hidup sebagai seorang individu infected
Ketika Ro < 1, setiap individu infected akan menghasilkan kurang dari satu penderita baru sehingga penyakit akan hilang dan ketika Ro > 1 setiap individu infected akan menghasilkan
lebih dari satu penderita baru dan menjadi epidemik. pada saat Ro = 1, suatu penyakit akan menjadi endemik, yang berarti bahwa penyebaran penyakit dalam suatu populasi berada pada laju yang konsisten, yaitu seorang penderita aktif akan menularkan penyakit tersebut
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakuakan di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Universitas Lampung pada semester genap tahun akademik 2011/2012.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelittian ini adalah sebagai berikut:
1. Menentukan asumsi pada model.
2. Menetukan parameter-parameter yang digunakan dalam model dan mendiskripsikan arti dari parameter-parameter tersebut.
3. Menentukan formulasi model matematika. 4. Menentukan titik ekulibrium dari model
5. Menyelidiki kestabilan titik ekulibrium dengan menggunakan teorema kriteria
Routh-Hutwitz
6. Apabila langkah (5) terdapat kesulitan, maka gunakan R0untuk menyelidiki kestabilan
titik ekulibrium.
7. Menentukan syarat cukup meminimalkan penyebaran penyakit TB.
BAB IV
1.1 Proses Penyebaran Penyakit TBC
Penyebaran penyakit TB dapat dipelajari melalui skema berikut:
Gambar 4.1 Diagram Transfer Model Matematika Penyakit TB
Dimana dalam model ini, populasi total (N) dibagi menjadi 3 kelas yaitu:
S(Susceptible)jumlah individu yang rentan terhadap TB
L(laten)jumlah individu yang terdeteksi TB
I(Infected)menyatakan jumlah individu yang terinfeksi ( telah menjadi TB aktif)
1.2 Asumsi Yang Digunakan Dalam Model
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model adalah:
1. Jumlah populasi konstan
2. Individu susceptiblehanya akan terinfeksi TB apabila terjadi kontak langsung dengan individuinfected
3. Setiap individususceptibleberkemungkinan terserang penyakit TB
4. Setiap individu yang lahir dan imigran yang datang pasti dalam keadaan sehat.
4.3 Parameter dan Deskripsi Parameter
Parameter-parameter yang digunakan dalam model
= Pertambahan populasi kelas rentan karena adanya kelahiran dan imigrasi
=Laju kematian alami
=Laju kontak langsung antar individu
= Laju individuinfectedmenginfeksi individu-individusuceptible
= Laju perpindahan individulatenmenjadiinfected
= Laju perpindahan individulatenmenjadisuceptible
=Laju perpindahan individuinfectedmenjadisuceptible
=Laju kematian disebabkan oleh penyakit TB
=Total populasi
=Luas area
Dari gambar 4.1 diperoleh model matematika penyebaran TB sebagai berikut
= + + (4.1)
= ( + + ) (4.2)
= ( + + ) (4.3)
0, 0, 0
Dengan Amenyatakan total area yang ditempati populasi tertentu danN =S+L
+Imenyatakan jumlah populasi.
4.5 Kondisi Meminimalkan Penyebaran Penyakit TB
Berdasarkan sistem (4.1) (4.2) (4.3) diperoleh 2 jenis titik ekulibrium yaitu ekuilibrium bebas penyakit dan ekulibrium enemik. Kedua titik tersebut akan dibahas dalam lemma sebagai
berikut.
Lemma 1
Jika I = 0 (artinya tidak ada individu yang terinveksi dan menularkan TB kepada individu
lain) maka sistem mempunyai titik ekuilibribium bebas penyakit, = , 0,0
Selanjutnya akan diselidiki kestabilan titik ekuilibrium = , 0,0 dengan menggunakan
teorema criteriarouth-hurtwiz.
= ( + + ) 0
0 ( + + )
Matriks jacobian di sekitar titik ekulibrium E0adalah
= 0 ( + + ) 0
0 ( + + )
Polynomial karakteristik dari matriks di atas adalah
− = 0
Dari matriks M diperoleh
( ) = − ( + + ) − ( + + ) < 0
Dan det( ) = ( + + )( + + ) > 0
Jadi, menurut lemma nilai eigen matriks M bernilai negatif. Dengan demikian semua nilai
eigen matriks bernilai negatif. Akibatnya titik ekuilibrium bebas penyakit (E0) stabil.
Untuk titik ekuilibrium endemik, jika I≠0 (artinya terdapat individu yang menginfeksi dan
menularkan TB kepada individu lain), maka sistem mempunyai titik ekulibrium endemik,
= ( ∗, ∗, ∗)
Jika ruas kanan dari masing-masing persamaan pada sistem dibuat sama dengan nol, serta diasumsikan terdapat individu yang terinveksi (I≠0) maka persamaan menjadi:
= − − + + = 0 (4.4)
= − ( + + ) = 0 (4.5)
= − ( + + ) = 0 (4.6)
Maka dari persamaan (4.4) diperoleh
dari persamaan (4.5) diperoleh
dari persamaan (4.6) diperoleh
= − ( + + ) = 0
= ( + + )
=
( + + ) =
∗ (4.9)
Jadi titik ekulibrium endemik ( ) adalah
= ( ∗, ∗, ∗) = + +
( + )
,
( + + ),( + + )
∗=
Matriks jacobian di sekitar titik ekuilibrium E1adalah
∗=
Polynomial karakteristik dari matriks di atas adalah
− = 0
Diperoleh persamaan karakteristik polynomial yang terbentuk
− + + + = 0 (4.10)
Dengan
= − − −
∗
= − − −
Nilai eigen dalam persamaan ini sulit diperoleh, karena terlalu banyak parameter yang ada
sehingga perhitungan menjadi kompleks.
Kekuatan penyebaran suatu penyakit dapat diukur dengan suatu nilai yang disebutBasic Reproductive Number(R0).Dapat juga digunakan untuk menguji titik ekuilibrium persamaan
P adalah jumlah individususceptibleterhadap luas area
Q adalah jumlah individulatenterhadap luas area
R adalah jumlah individuinfectedterhadap luas area
= − − + + (4.11)
= − ( + + ) (4.12)
= − ( + + ) (4.13)
( ∗, , ) = − ( + + ) = 0
= ( + + )
=
( + + )
( ∗, ( ∗ ), ) =
( + + )− ( + + )
dengan menggunakan turunan parsial terhadap R pada ( ∗, ( ∗ ), ) serta memisalkan
matriks = diperoleh :
=
Misal H=M-D dengan M≥ 0 dan D ≤ 0 sebuah matriks diagonal, maka
=
( + + ) = ( + + )
Dari bentuk di atas, R0sebagai nilai eigen dominan pada , = ( ) diperoleh:
=
( + + ) ( + + )
=
( + + ) ( + + )
Dengan
( ) adalah periode efektif menginfeksi
( ) adalah laju individulatenyang diproduksi oleh individuinfectedselama periode
menginfeksi
( ) adalah peluang kelangsungan hidup dari tingkatlatenke tingkatinfected.
Jika R0< 1, titik ekuilibrium bebas penyakit (E0) stabil. Dapat dikatakan bahwa setiap individuinfectedhanya menghasilkan kurang dari satu penderita baru.
Jika R0> 1, titik ekuilibrium bebas penyakit (E0) tidak stabil, tetapi titik ekulibrium endemik (E1) stabil. Maka setiap individuinfected akan menghasilkan lebih dari satu penderita baru.
Dalam hal ini, populasi kelas L dan kelas I berkurang, yaitu pada saat
< 0 < 0
Sehingga persamaan (4.2) menjadi
= − ( + + ) < 0 (4.14)
Dan persamaan (4.3) menjadi
= − ( + + ) < 0 (4.15)
Dari pertidaksamaan (4.14) diperoleh
< ( + + )
( + + ) < (4.16)
Kemudian dari pertidaksamaan (4.15) diperoleh
− ( + + ) < 0
< ( + + )
Jadi berdasarkan pertidaksamaan (4.15) dan (4.16) mengakibatkan
( + + ) ( + + ) < ( + + ) <
Atau
( + + ) ( + + ) <
Artinya, untuk meminimalisir terjadinya endemik TB, total area yang dihuni oleh populasi tertentu(A) harus lebih besar dari kemungkinan hidup individu dari tingkatlatenke dalam
tingkatinfected
( ) serta lebih besar dari laju individu yang terinfeksi selama individu
tersebut berada dalam masa menginfeksi atau masa inkubasi
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan
( + + ) ( + + )<
Artinya total area (A) yang dihuni oleh populasi tertentu harus lebih besar dari kemungkinan
hidup individu dari tingkatlatenke dalam tingkatinfected
( ) serta lebih besar dari laju individu yang terinfeksi selama individu tersebut berada dalam masa menginfeksi atau masa
inkubasi
( )
1.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan mengenai model penyebaran penyakit TB dengan
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Tuberculosis (TB) merupakan penyakit menular, dan merupakan salah satu penyebab kematian pendudukn di negara-negara berkembang. Penyakit ini ditularkan oleh
Mycobacterium Tuberculosis.Bakteri ini biasanya menyerang paru-paru, gejala penderita TB diantaranya batuk-batuk, sakit dada, nafas pendek, hilang nafsu makan, berat badan menurun, demam, kedinginan, dan kelelahan.
Berdasarkan data dari WHO tahun 1993, didapatkan fakta bahwa sepertiga penduduk bumi telah terserang penyakit TB. Sekitar 8 juta orang yang terserang kematian 3 juta orang per
tahun. Diperkirakan dalam tahun 2002—2020 akan ada 1 milyar manusia terinfeksi, sekitar 5—10% berkembang menjadi penyakit dan 40% yang terkena penyakit TB berakhir dengan
kematian.
Dengan penduduk lebih dari 200 juta jiwa, Indonesia menempati urutan ketiga setelah Cina dan India. TB sebagai penyebab kematian utama setelah penyakit jantung dan saluran
pernapasan.
TB menyebar melalui udara dan ditularkan melalui batuk atau bersin, dengan perantara ludah atau dahak penderita yang mengandung basiltuberculosis. Pada waktu penderita batuk, bersin atau berbicara dengan orang lain, butiran-butiran air ludah beterbangan di udara dan terhisap oleh orang yang sehat dan masuk kedalam parunya yang kemudian menyebabkan
Dalam hal ini pemodelan matematika memiliki peranan sangat penting dalam membantu merumuskan fenomena penyebaran penyakit. Dengan banyaknya kendala dilapangan,
pemodelan matematika dapat mensimulasikan berbagai pengendalian epidemik suatu penyakit, memilih strategi untuk mencapai target optimum, serta memberi pilihan yang realistis dalam mengendalikan penyebaran penyakit. Model matematika merupakan salah satu
alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan
asumsi-asumsi tertentu.
Dalam paper ini akan dibahas formulasi model matematika TB selanjutnya ditentukan titik ekuilibrium model, kemudian dicari syarat cukup yang sebaiknya dipenuhi untuk
meminimalkan penyebaran penyakit TB.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Membentuk model matematika untuk memahami pola penyebaran penyakit TB. 2. Menentukan titik ekuilibrium penyakit TB.
3. Menyelidiki kestabilan titik ekuilibrium penyebaran penyakit TB.
4. Menentukan syarat cukup untuk meminimalkan penyebaran penyakit TB
1.3 Manfaat Penelitian a. Manfaat bagi Penulis
Untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu yang
telah dipelajari dalam mengkaji permasalahan tentang analisis dari sistem persamaan diferensial
• Sebagai tambahan wawasan dan informasi tentang model matematika dari salah satu
model dalam matematika epidemologi,
• Membantu pihak terkait dalam memahami penyebaran penyakit TB dan
SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN
PENYEBARAN PENYAKITTUBERCULOSISPADA SUATU KOMUNITAS
Oleh
ADE IKE MARTA RIZKIA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN
PENYEBARAN PENYAKITTUBERCULOSISPADA SUATU KOMUNITAS
( Skripsi )
Oleh
ADE IKE MARTA RIZKIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Padang Cermin, Desa Tambangan pada tanggal 20 Maret 1988, sebagai anak tunggal dari Bapak Helmi Z. dan Ibu Iriana, S.Pd. Mengenyam pendidikan tingkat dasar
di SDN 1 Tambangan Padang Cermin lulus tahun 2000. Kemudian melanjutkan ke SMPN 2 Padang Cermin lulus tahun 2003. Selanjutnya tingkat atas di SMAN 3 Bandar Lampung lulus
tahun 2006.
Tahun 2006, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Uneversitas Lampung melalui jalur SPMB. Selama menjadi
mahasiswa, penulis aktif di organisasi internal dan eksternal kampus yakni Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA), Tim Kerja Dakwah Sekolah (TKS) SMAN 3 Bandar Lampung, Forum Kerjasama Alumni Rohis (FKAR) Bandar Lampung. Pada tahun 2010
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil ‘alamin. Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT, Sang Kholik
yang berkehendak atas segala sesuatu, sehingga dengan kehendak dan kuasaNya lah penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Sesungguhnya Dialah yang patut kita minta
pertolongan, Dialah yang menghendaki terjadinya sesuatu. Sholawat serta salam senantiasa
tercurah kepada suri teladan yang terbaik yaitu Nabi Muhammad SAW, oleh karena perjuangan Beliaulah Penulis dapat merasakan indahnya islam dan ukhuwah islamiyah.
Penulisan karya ilmiah ini merupakan syarat Penulis untuk memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Lampung. Proses penulisan skipsi ini tidak terlepas dari hambatan dan
cobaan-cobaan. Baik dari dalam diri sendiri ataupun dari luar. Penulisan karya ilmiah ini tidak bisa dilepaskan dari bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Dalam kesempatan ini, penulis
tidak dapat melupakan dan mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M. Si. Selaku Pembimbing I, yang sangat baik, sabar dalam membimbing, pemberi motivasi terbesar untuk penyelesaian skripsi ini.
2. Bapak Amanto, S. Si, M. Si, selaku pembimbing II sekaligus sekretaris jurusan yang
sabar dan sangat baik memberikan masukan dan saran serta motivasi dalam penyelesaian skripsi dan kehidupan.
3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA
Unila dan sekaligus pembahas yang banyak memberikan ilmu dan masukan. 4. Bapak Prof. Dr. Suharso, M.Si, selaku Dekan Fakultas Matemaika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Unila.
6. Papa dan Mama tersayang yang selalu memberikan nasihat, motivasi, semangat, kasih
sayang serta do’a yang tak pernah henti bagi keberhasilan ku. Sehingga akhirnya
berhasil menyelesaikan program Strata 1 jurusan Matematika FMIPA Unila. Semoga bisa memberikan kebahagiaan ditengah jerih payah papa dan mama selama ini. 7. Azmy Rahman Arif, S.H, imamku di rumah, belahan jiwaku pelita harapanku. Suami
tercinta. Terima kasih atas segala pengorbanan dan didikan darimu. 8. Sahabat-sahabatku
9. Serta teman-teman COSMIX dan semua anak Jurusan Matematika FMIPA Unila
Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, sedikit harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat bermanfaat dan berguna bagi kita semua.
Amiin.
Bandar Lampung, Juli 2012
Motto
Bacalah dengan nama Tuhanmu yang menciptakan. Dia telah
menciptakan manusia dari segunmpal darah. Bacalah, dan
Tuhanmulah Yang Maha Pemurah. Yang mengajar dengan
Qalam. Dialah yang mengajar manusia segala yang belum
diketahui
(Q.S Al- Alaq 1-5).
Barang siapa menempuh suatu jalan untuk menuntut ilmu maka Allah memudahkan
jalannya menuju Surga. Sesungguhnya para Malaikat membentangkan sayapnya
untuk orang yang menuntut ilmu karena ridha atas apa yang mereka lakukan. Dan
sesungguhnya orang yang berilmu benar-benar dimintakan ampun oleh penghuni langit
dan bumi, bahkan oleh ikan-ikan yang berada di dalam air
((HR. Tirmidzi))
Beruntunglah bagi orang-orang yang selalu memperbaharui terus semangatnya dalam
setiap perputaran waktu. Menjaga niatnya untuk tetap dalam kebaikan, dan selalu
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua :Agus Sutrisno, S. Si, M. Si. ………..
Sekretaris :Amanto, S. Si, M. Si ………..
Penguji
Bukan Pembimbing :Drs. Tiryono Ruby, Ph. D. ……….
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Dr. Suharso, Ph. D NIP 19690530 199512 1 001
Halaman Persembahan
K hbbbbbetulusan serta kerendahan hati kupersembahkan karya sederhana
ini sebagai bukti dan kasihku kepada :
Teristimewa untuk Papa dan Mama yang selalu memberikan cinta, kasih
sayang, dukungan kesabaran dan doa yang tulus dan ikhlas dalam setiap
sujudmu.
Suamiku tercinta Azmy Rahman Arif, S.H. Imam yang selalu membimbing setiap
langkahku, membantu dalam stiap kesulitan, Cahaya hidupku
Judul Skripsi :SYARAT CUKUP UNTUK MEMINIMALKAN PENYEBARAN PENYAKITTUBERCULOSIS PADA SUATU KOMUNITAS
Nama Mahasiswa : Ade Ike Marta Rizkia
Nomor Induk Mahasiswa : 0617031021
Program Studi : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI Komisi Pembimbing
Agus Sutrisno, S.Si., M. Si. Amanto, M. Si
NIP 19700831 199903 1 002 NIP 19730314 200012 1 002
MENGETAHUI Ketua Jurusan Matematika
