PENGAMBILAN KEPUTUSAN RISIKO MENGGUNAKAN
METODE BAYES DAN FUNGSI UTILITAS
SKRIPSI
BINARA TUA JOSEN SIMANJUNTAK
090823061
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PENGAMBILAN KEPUTUSAN RISIKO MENGGUNAKAN
METODE BAYES DAN FUNGSI UTILITAS
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
BINARA TUA JOSEN SIMANJUNTAK
090823061
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : PENGAMBILAN KEPUTUSAN RISIKO
MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN FUNGSI UTILITAS
Kategori : SKRIPSI
Nama : BINARA TUA JOSEN SIMANJUNTAK
Nomor Induk Mahasiswa : 090823061
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PERNGETAHUAN
PERNYATAAN
PENGAMBILAN KEPUTUSAN RISIKO MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN FUNGSI UTILITAS
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2011
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat dan kasih karunia-Nya, penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.
Pada kesempatan ini, ucapan terima kasih yang paling tulus penulis ucapkan kepada :
1. Bapak Drs. Rachmad Sitepu, M.Si selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku pembimbing II untuk skripsi saya ini, yang telah memberikan panduan pemikiran dan tenaga serta penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika dan Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku Koordinator Ekstensi Matematika FMIPA USU.
3. Bapak Drs. Pengarapen Bangun dan Bapak Syahrial Lubis, S.Si, M.Si selaku dosen pembanding saya, yang telah memberikan saran maupun masukan demi kesempurnaan skripsi ini.
4. Seluruh Staf Pengajar Matematika serta Staf Pegawai Administrasi di FMIPA USU.
5. Kedua Orang tua tercinta ayahanda (N.G Simanjuntak) dan ibunda (R.br Siadari) atas segala kasih sayang, doa dan dukungan moral dan materil selama perkuliahan sampai selesainya skripsi ini.
6. Adik-adik dan orang tercinta saya, Rani, Mutiara dan Pebri serta Marianti yang selama ini memberikan dukungan, semangat dan doa bagi penulis.
7. Semua teman-teman mahasiswa Ekstensi Matematika Statistika 09 yang telah membantu dalam kelancaran skripsi ini.
Semoga Tuhan Yang Maha Esa membalas segala kebaikan dari semua pihak dan selalu memberikan berkatnya kepada kita sekalian.
ABSTRAK
Metode Bayes dan Fungsi Utilitas adalah dua metode yang menggunaan konsep pay-off
ABSTRACT
DAFTAR ISI
2.3 Probabilitas Bersyarat 13
2.4 Teorema Bayes, Probabilitas Prior dan Probabilitas Posterior 14 2.5 Probabilitas Obyektif dan Probabilitas Subyektif 15
2.6 Preferensi dan Teori Utilitas 16
2.7 Fungsi Utilitas 18
2.8 Pohon Keputusan 20
BAB 3 PEMBAHASAN 21
3.1 Teori Keputusan 21
3.2 Pengambilan Keputusan Dalam Keadaan Ada Risiko 22
3.4 Pengambilan Keputusan Dengan Metode Bayes 25 3.5 Pengambilan Keputusan Dengan Fungsi Utilitas 26
3.6 Penggunaan Metode 29
BAB 4 Kesimpulan dan Saran 35
4.1 Kesimpulan 35
4.2 Saran 36
Daftar Pustaka
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
ABSTRAK
Metode Bayes dan Fungsi Utilitas adalah dua metode yang menggunaan konsep pay-off
ABSTRACT
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Pengambilan keputusan ialah pemilihan satu di antara sekian banyak alternatif yang tersedia. Hal ini tidak selalu menjadi hal yang mudah untuk dilakukan karena sebelum pelaksanaannya, perlu banyak pertimbangan, pembandingan, bahkan studi untuk dapat dijadikan sebagai referensi untuk menentukan pilihan pada alternatif terbaik yang akan diambil. Sehingga dari alternatif pilihan yang diambil tersebut maka akan didapat suatu keputusan yang tujuannya sebaik mungkin.
Karena pada umumnya keputusan dibuat untuk memecahkan suatu permasalahan, sehingga hampir setiap kali keputusan yang diambil tersebut mengandung nilai-nilai risiko didalamnya. Risiko dalam pengambilan keputusan ini terjadi karena adanya nilai probabilitas kegagalan yang walaupun belum diketahui secara pasti, tapi ada kemungkinan hal tersebut dialami. Risiko yang dimaksud terjadi apabila hasil pengambilan keputusan yang telah dilakukan sebelumnya (walaupun belum diketahui dengan pasti) tetapi diketahui nilai kemungkinannya (probabilitasnya).
Tentu bukan hal yang mudah ketika berhadapan pada suatu persoalan dengan risiko yang besar, terlebih bila keputusan yang akan diambil bukanlah hanya berdampak bagi diri sendiri, tetapi juga pada orang lain. Sehingga dengan sedaya upaya harus diusahakan agar keputusan yang diambil menghasilkan sukses, atau paling tidak lebih sering sukses daripada gagal.
Metode Bayes merupakan salah satu metode pengambil keputusan yang banyak dipakai. Dalam mengambil keputusan dengan Bayes, dibutuhkan informasi-informasi dalam bentuk nilai probabilitas untuk setiap alternatif yang ada pada persoalan yang sedang dihadapi dan nantinya akan menghasilkan nilai harapan sebagai dasar pengambilan keputusan.
Utilitas juga sebagai metode pengambil keputusan, dengan konsep pengambilan keputusan berdasarkan pada preferensi pengambil keputusan atas setiap alternatif yang ada. Konsep dasar pengambilan keputusan dengan fungsi utilitas ini adalah dengan menggantikan konsep hasil (pay off) dengan konsep utilitas (utility). Utilitas merupakan suatu alternatif di dalam mengekspresikan pay off yang mencerminkan sikap seseorang dalam menentukan pilihan.
Dasar pemikiran untuk pengambilan keputusan menggunakan kedua metode di atas sering dipakai dalam penentuan pilihan dalam hal pengambilan keputusan risiko, sehingga berdasarkan pemaparan di atas, maka penulis memilih judul “Pengambilan Keputusan Risiko Menggunakan Metode Bayes dan Fungsi Utilitas”.
1.2 Identifikasi Masalah
Pada skripsi ini, penulis membatasi masalah hanya membahas tentang pengambilan keputusan dalam keadaan ada risiko.
1.4 Maksud dan Tujuan
Maksud dari skripsi ini adalah :
1. Menunjukkan cara penggunaan metode Bayes dalam pengambilan keputusan risiko, selanjutnya
2. Menunjukkan secara lebih jelas bagaimana konsep Utilitas menggantikan konsep
pay-off pada metode Bayes, sebagai alat untuk membantu pengambil keputusan
mengambil keputusan.
Sedangkan yang menjadi tujuan adalah untuk memperoleh keputusan yang lebih baik dalam menghadapi suatu persoalan yang mengandung risiko.
1.5 Metodologi Penelitian
Dalam skripsi ini, metodologi penelitian yang dilakukan adalah:
1. Melakukan penelitian literature, yang dimulai dengan pengumpulan bahan bacaan, jurnal dan referensi sebagai bahan dasar penulisan skripsi ini.
2. Menjabarkan konsep probabilitas sebagai dasar dalam pengambilan sebuah keputusan.
3. Menentukan batasan permasalah yaitu hanya pada permasalahan pengambilan keputusan dalam keadaan ada risiko.
4. Mengkaji metode Bayes dan Fungsi Utilitas sebagai alat-alat pengambil keputusan untuk permasalah yang sedang dihadapi.
5. Mengaplikasikan metode Bayes dan Fungsi Utilitas dalam sebuah contoh permasalahan untuk pengambilan keputusan risiko.
1.6 Tinjauan Pustaka
Teorema Bayes menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas (Iqbal Hasan, 1999).
Utilitas adalah angka yang mengekspresikan nilai pay off sebenarnya sesuai dengan konsekuensi keputusan. Untuk suatu himpunan hasil yang sudah dibuat peringkatnya berdasarkan preferensi, maka dapat ditentukan nilai utilitasnya yang menjelaskan preferensi tersebut. Utilitas terbesar untuk hasil yang paling disukai, dan utilitas terkecil untuk yang paling tidak disukai (Johannes Supranto, 1991).
Teori keputusan adalah teori yang mempelajari bagaimana sikap fikir yang rasional dalam situasi yang amat sederhana, tetapi yang mengandung ketidakpastian, seperti dalam permainan lotre. Karena itu peranannya dalam menghadapi situasi yang kompleks adalah sangat kecil (Kuntoro Mangkusuboto,1999).
1.7 Sistematika Penulisan
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, identifikasi masalah, maksud dan tujuan, metodologi penelitian, tinjauan pustaka, serta sistematika penulisan.
BAB 2 : Landasan Teori
Dalam bab ini dijelaskan mengenai probabilitas, kejadian majemuk dan probabilitas bersyarat, dalil Bayes, probabilitas prior dan posterior, probabilitas obyektif dan subyektif, preferensi dan teori utilitas, dan fungsi utilitas. Selain itu juga dibahas mengenai pohon keputusan dan kegunaannya dalam pengambilan keputusan.
BAB 3 : Pengambilan Keputusan dengan Bayes dan Utilitas
Pada Bab ini akan dijabarkan bagaimana penggunaan teori keputusan Bayes dan konsep utilitas dalam menghadapi suatu contoh persoalan agar diperoleh keputusan yang lebih baik.
BAB 4 : Kesimpulan dan Saran
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Aksioma dan Teorema
Dalam penulisan skripsi ini, dijabarkan beberapa aksioma dan teorema yakni sebagai berikut :
Aksioma 1
Untuk setiap kejadian , . Yakni bahwa probabilitas dari setiap kejadian adalah non-negatif.
Aksioma 2
, menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka probabilitas dari kejadian tersebut adalah 1.
Aksioma 3
Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas
Bukti : Andaikan kejadian sedemikian hingga untuk Karena , maka kejadian adalah kejadian saling asing, untuk
Berdasarkan aksioma 3, diperoleh :
Teorema 2
Untuk kejadian yang saling asing
Bukti : Andaikan kejadian tak terbatas dimana dimana adalah kejadian yang diberikan dan untuk . Maka untuk kejadian yang tak terbatas ini adalah saling asing dan
Melalui aksioma 3,dapat diperoleh :
Untuk setiap kejadian
Bukti : Andaikan kejadian dan saling asing dan
Teorema 4
Untuk setiap kejadian
Bukti : Dari aksioma 1 diperoleh . Jika , maka dari teorema 3 yang mana ini berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan probabilitas setiap kejadian harus non-negatif, maka sehingga .
Teorema 5 Jika , maka
Bukti : Pada gambar berikut :
Gambar 2.1 Himpunan
Dari gambar, kejadian adalah gabungan dari kejadian dan , sehingga
, dari aksioma 1, , maka .
S
B
B A
Teorema 6
Untuk dua kejadian dan , Bukti: Pada gambar berikut :
Gambar 2.2 Himpunan Dari gambar di atas dapat dituliskan
Dari teorema 2 didapat
Dari gambar.2 juga diperoleh
Maka
Sehingga
Teorema 7
Diberikan ruang sampel , jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian dari .
Bukti : Diberikan dimana setiap adalah titik sampel dari ekperimen. Untuk titik sampel dari probabilitas untuk semua , . Lalu diberikan
Teorema 8
Jika adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian , dimana mempunyai , maka untuk kejadian
Bukti :
, jika , jika
Teorema 9
Jika , adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan untuk untuk kejadian dari , maka dapat di tulis:
Bukti :
adalah mutually exclusive (saling bebas), dimana dimana sehingga diperoleh adalah himpunan dari kejadian yang
mutually exclusive. Sekarang diperoleh diberikan
2.2 Probabilitas
Probabilitas suatu kejadian adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk . Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. Misalnya, = 0,80 artinya probabilitas bahwa suatu kejadian akan terjadi sebesar 80% dan probabilitas tidak terjadi adalah sebesar 20%. Nilai probabilitas ini dapat dihitung berdasarkan nilai hasil pengamatan (obyektif) atau berdasarkan pertimbangan (subyektif).
Besarnya probabilitas terjadinya suatu kejadian adalah antara nol sampai satu. Atau dapat dapat dituliskan , dimana menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian . Dan jumlah semua kemungkinan dari seluruh hasil kejadian yang mungkin muncul adalah satu. Pernyataan tersebut dapat dituliskan
atau dimana menyatakan anggota ruang hasil.
Nilai probabilitas suatu kejadian dapat dihitung dengan rumus:
dimana: Probabilitas terjadinya kejadian
Banyaknya kejadian yang mungkin terjadi (populasi) Kejadian yang ingin diukur (sampel)
Contoh : Berapa probabilitasnya terambil kartu gambar hati dari satu set kartu bridge pada sekali pengambilan?
Jawab: (jumlah satu set kartu bridge)
2.3 Probabilitas Bersyarat
1. Bila dan mutually exclusive (kejadian yang saling meniadakan), maka :
2. Bila dan dua kejadian sembarang, maka
3. Bila ada kejadian yaitu yang mutually exclusive dan membentuk kejadian , maka :
4. Bila dan independent (bebas), maka :
5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :
, dimana
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi. Notasi dituliskan dalam bentuk dan dibaca probabilitas A
dengan syarat
Definisi : Jika A dan B adalah dua kejadian sedemikian hingga , maka :
2.4 Teorema Bayes, Probabilitas Prior dan Probabilitas Posterior
Teorema Bayes
saling meniadakan (mutually exclusive event), kemudian suatu kejadian di mana , maka :
dimana : = Probabilitas terjadinya kejadian Ai, dengan syarat terjadi kejadian .
= Probabilitas terjadinya kejadian .
= Probabilitas terjadinya kejadian dengan syarat terjadi kejadian
dengan = .
Teorema Bayes tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut:
Probabilitas Prior
Probabilitas prior atau sering juga disebut sebagai probabilitas awal merupakan informasi awal yang menyatakan nilai probabilitas suatu kejadian.
Probabilitas Posterior
Probabilitas posterior sering juga disebut probabilitas tambahan untuk mendukung probabilitas prior. Untuk lebih jelasnya, kembali pada contoh di atas, jika sekiranya dilakukan pemeriksaan kembali atas hasil produksi suku cadang pada bulan tersebut, lalu hasilnya didapat bahwa probabilitas suku cadang yang cacat ternyata tidaklah lagi 0,05 melainkan 0,10 atau 10 %. 0,10 atau 10% inilah yang disebut probabilitas posterior sebagai pengganti probabilitas prior yang diketahui sebelumnya.
2.5 Probabilitas Obyektif dan Probabilitas Subyektif
Pada umumnya probabilitas selalu dikaitkan dengan distribusi frekuensi yang menunjukkan seberapa seringnya (how frequently) suatu kejadian terjadi. Probabilitas sering diperkirakan dengan limit dari frekuensi relatif.
Didalam prakteknya nilai frekuensi relatif itu sendiri dipergunakan untuk memperkirakan nilai probabilitas. Misalnya kalau mata uang logam dilempar 1000 kali
kemudian gambar burung muncul 499 kali, maka = probabilitas untuk memperoleh gambar burung sebesar 499/1000 = 0,499 atau 0,5. Kemudian dikatakan, secara limit = 0,5 walaupun bisa terjadi dalam 100 kali lemparan, gambar burung mungkin muncul 90 kali.
Selain konsep probabilitas seperti di atas, kenyataan yang sering dihadapi adalah hal yang berbeda. Sering persoalan yang dihadapi adalah situasi yang belum pernah terjadi sebelumnya, misalnya : Apakah barang hasil produksi perusahaan akan dapat diterima oleh pasar, apakah seseorang yang meminjam uang akan mengembalikan uang yang dipinjamnya tepat pada waktu yang ditentukan dan lain sebagainya.
Untuk menghadapi persoalan semacam ini, dibutuhkan konsep probabilitas yang lain, yang dapat menerangkan ketidakpastian tanpa harus menggunakan berbagai data atau percobaan sebelum dapat dinyatakan nilai probabilitasnya. Probabilitas yang demikian adalah probabilitas subyektif.
Probabilitas subyektif mencerminkan tingkat keyakinan (confident level) seseorang terhadap suatu kejadian yang tak pasti dan ini didasarkan pada pengalaman dan informasi yang dia miliki pada saat itu. Oleh karena itu, pernyataan probabilitas semacam ini akan menghasilkan probabilitas subyektif. Selain itu, nilai probabilitas yang dihasilkan juga akan berbeda-beda antara orang yang satu dengan yang lain, karena pengalaman ataupun keterampilan yang mereka miliki.
Perbedaaan utama antara pandangan subyektif dan obyektif adalah pada pernyataan probabilitasnya (probability statement). Pandangan obyektif menyatakan probabilitas sebagai state of thing, yaitu ciri atau karakteristik suatu benda atau proses, sama halnya dengan berat, volume, cepat, lambat dan sebagainya. Sebaliknya pandangan subyektif menyatakan probabilitas sebagai state of mind atau suatu tingkat pengetahuan yang dimiliki oleh seseorang berkenaan dengan suatu keadaan.
2.6 Preferensi dan Teori Utilitas
mengenai utilitas adalah bahwa dimungkinkan untuk memperoleh suatu ekspresi angka mengenai preferensi seseorang.
Utilitas adalah angka yang mengekspresikan nilai pay-off sebenarnya sesuai dengan konsekuensi keputusan. Pay-off yang dimaksud disini dapat berupa satuan mata uang (smu), jumlah satuan barang ataupun bentuk-bentuk ukuran lain yang bentuknya sangat jelas. Untuk suatu himpunan hasil (set of outcomes) yang sudah dibuat peringkat berdasarkan preferensinya, dapat ditentukan nilai utilitasnya yang menjelaskan preferensi tersebut. Utilitas terbesar untuk hasil yang paling disukai, sedangkan semakin kecil nilai utilitas semakin tidak disukai.
Berikut dijabarkan beberapa asumsi untuk menentukan nilai utilitas yang mempunyai kesamaan bahwa nilai utilitas yang diperoleh hanya mengenai individu tunggal (hanya berlaku untuk perorangan) dan berperilaku taat azas (consistently) yang sesuai dengan seleranya. Dalam kata lain, kapanpun dan dimanapun, jika menghadapi persolan yang sama, keputusan yang aakan diambilnya akan sama.
Asumsi-asumsi tersebut adalah : 1. Peringkat Preferensi
Asumsi ini menyatakan bahwa seseorang dapat menentukan untuk setiap pasang hasil dan apakah Ia lebih memilih daripada , atau sebaliknya, atau tak membedakan sama sekali antara memilih maupun . Asumsi ini akan mudah dimengerti jika pay-off dalam bentuk satuan mata uang ataupun ukuran-ukuran kuantitatif lainnya. Peringkat preferensi akan menjadi lebih susah bila pay-off
dinyatakan secara kualitatif. Selama preferensi terhadap dua hasil pilihan tidak dapat ditentukan, selama itu pula nilai utilitas tidak dapat diperoleh nilainya. 2. Transitivitas Preferensi
seseorang lebih menyukai buah durian daripada pepaya, dan Ia lebih menyukai pepaya daripada pisang. Sehingga sifat taat azasnya adalah bahwa Ia lebih menyukai durian daripada pisang.
3. Asumsi Kontinuitas
Asumsi kontinuitas menyatakan, ada beberapa permainan yang memiliki hasil terbaik dan terburuk sebagai hasilnya, namun ada kalanya bahwa seseorang menganggap sama preferensinya dengan hasil yang sedang (cukup) atau hasil diantara dua keadaan hasil yang sangat ekstrim tersebut.
4. Asumsi Substitutabilitas
Asumsi substitutabilitas menyatakan, memungkinkan untuk memperbaiki/merevisi suatu permainan dengan penggantian (substituting) suatu hasil dengan hasil lainnya, asalkan ada kesamaan. Dalam kata lain, seseorang bersedia untuk menukar hasil yang diperolehnya pada sebuah permainan dengan hasil yang ditawarkan pada permainan lain dimana Ia merasa tidak berbeda antara keduanya.
5. Asumsi Peningkatan Preferensi
Asumsi ini berkenaan dengan setiap pasangan kejadian dengan hasil yang sama yang mungkin dialami dalam sebuah permainan. Kejadian dengan nilai probabilitas terbesar untuk hasil yang lebih diinginkan, harus lebih disukai. Atau dalam artian lain, preferensi akan kejadian dengan probabilitas penerimaan hasil terbesar pasti lebih disukai daripada yang sebaliknya.
2.7 Fungsi utilitas
Yang pertama sekali dilakukan dalam penjajagan fungsi utilitas adalah penentuan batasaan nilai. Penjajagan ini dilakukan setelah keseluruhan model yang mencakup ketidakpastian, probabilitas atau nilai kemungkinan dan kriteria penilaiannya adalah tunggal, sehingga hanya terdapat satu besaran yang digunakan.
Syarat utama agar sebuah fungsi utilitas dapat ditentukan adalah bahwa nilai maksimum dan nilai minimum dari persoalan yang sedang dihadapi tercakup dalam fungsi tersebut. Oleh karena itu, pengambil keputusan harus mampu untuk menentukan nilai maksimum dan minimum pada persoalan yang dihadapinya.
Selanjutnya, yang harus dilakukan adalah menggambarkan semua kumpulan titik-titik nilai ekivalen tetap dari sebanyak mungkin situasi dan membentuknya dalam sebuah kurve fungsi utilitas.
Contoh : ambil sebuah permasalahan dengan kriteria penilaian hasil dengan satuan matuan uang rupiah yang berkisar antara Rp. 5000,- sampai dengan Rp. 50000,-. Lalu kedua nilai di atas dijadikan sebagai batas-batas fungsi utilitas dengan Rp.5000,- sebagai batas terendah ( dinyatakan dengan utilitas sebesar nol sedangkan Rp.50000,- sebagi nilai tertinggi dinyatakan dengan utilitas sebesar . Dengan begitu, telah didapat 2 titik dalam kurve fungsi utilitas yaitu ( dan ( , lalu dapat dijajagi titik lainnya yang diperlukan.
Sehingga secara keseluruhan, kelima titik fungsi utilitas di atas dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar.2.3 Penggabungan titik-titik hasil penjajagan kurva Utilitas
Secara matematis fungsi utilitas dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial, yang bentuk umumnya adalah:
dimana : = Fungsi utilitas untuk nilai x = batas bawah fungsi utilitas = batas atas fungsi utilitas
= 2,7182 (nilai eksponensial = parameter
Sehingga bila digambarkan, bentuk spesifiknya fungsinya ditentukan oleh besaran c. 0,25
0,50 1
2.8 Pohon Keputusan
Diagram pohon keputusan adalah suatu diagram berupa pohon bercabang-cabang yang menggambarkan hubungan antara alternatif keputusan/tindakan dengan kejadian-kejadian tak pasti yang melingkupi setiap alternatif dan hasil alternatif keputusan yang dipilih.
Saat pengambilan keputusan adalah saat dimana pengambil keputusan sepenuhnya memilih kendali dalam bertindak, sedangkan saat kejadian tak pasti adalah saat dimana faktor eksternal yang menentukan apa yang akan terjadi.
Notasi yang digunakan dalam diagram pohon keputusan adalah sebagai berikut : Tanda empat persegi sebagai simbol keputusan.
Tanda lingkaran sebagai simbol kejadian tak pasti.
Tahapan dalam penggambaran diagram pohon keputusan :
1. Tentukan terlebih dahulu kumpulan alternatif tindakan awal.
2. Tentukan kejadian tak pasti yang melingkupi alternatif tindakan awal. 3. Tentukan adanya alternatif tindakan lanjutan.
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Teori Keputusan
Tujuan analisis keputusan (decision analysis) adalah : Mengidentifikasi apa yang harus dikerjakan, mengembangkan kriteria khusus untuk mencapai tujuan, mengevaluasi alternatif yang tersedia yang berhubungan dengan kriteria & mengidentifikasi risiko yang melekat pada keputusan tersebut.
Pada dasarnya, ada empat kategori keputusan yaitu : 1. Keputusan dalam keadaan ada kepastian (certainty)
Apabila semua informasi yang diperlukan untuk mengambil keputusan lengkap, maka keputusan dikatakan dalam keadaaan ada kepastiaan. Dengan kata lain dalam keadaan ada kepastian, hasil dari setiap tindakan (action) dapat diramalkan secara tepat. Misalnya, seseorang tahu dengan pasti kemana harus pergi untuk mencukur rambut, membeli perlengkapan sekolah, berapa biaya yang harus dibayarkan untuk penyewaan suatu barang, dan lain sebagainya.
2. Keputusan dalam keadaan ada risiko (risk)
3. Keputusan dalam keadaan ketidakpastian (uncertainty)
Keadaan ketidakpastian akan dialami jika hasil keputusan sama sekali tidak diketahui karena hal yang akan diputuskan belum pernah terjadi sebelumnya. Misalnya, seseorang yang belum Anda kenal datang untuk meminjam uang sebanyak Rp 2 juta untuk keperluan mendadaknya, sementara Anda sama sekali tidak mengenal orang tersebut. Maka jika seandainya Anda memutuskan untuk meminjamkan uang kepada orang tersebut, maka Anda tidak tahu sama sekali barapa probabilitasnya bahwa orang tersebut akan mengembalikan uang Anda. 4. Keputusan dalam keadaaan ada konflik (conflict)
Situasi konflik terjadi apabila kepentingan dua pengambil keputusan atau lebih saling bertentangan (ada konflik) dalam situasi kompetitif. Contoh dalam sebuah permainan, seorang pemain A akan memperoleh keuntungan atas tindakan yang dilakukannya dan hal ini akan terjadi apabila pemain B juga mengambil tindakan tertentu. Misalnya, si A dan si B adalah pengusaha warnet di satu RT, si A memasang tarif sebesar Rp.3000,-/jam sedangkan si B memasang tarif Rp.3500,-/jam. Oleh karena tarif yag ditetapkan si A lebih murah, akibatnya lebih banyak orang yang datang ke warnetnya dan Ia memperoleh untung yang lebih dari si B.
3.2 Pengambilan Keputusan Dalam Keadaan Ada Risiko
Probabilitas sangat berguna sebagai dasar pengambilan keputusan dalam keadaan ada risiko maupun ketidakpastian, karena dengan dasar ini akan membantu pengambil keputusan untuk mrnganalisis persoalan kompleks dengan berbagai alternatif dan konsekuensi dari setiap tindakan.
Tujuan dasar teori keputusan adalah memberikan/menyediakan bagi pengambil keputusan dengan informasi yang konkrit mengenai kemungkinan relatif (relative
likelihood) konsekuensi tertentu. Informasi yang demikian itu sangat berguna untuk
mengidentifikasi atau mengambil tindakan atau keputusan yang terbaik (pemilihan alternatif terbaik).
Suatu keputusan dikatakan dalam keadaaan ada risiko (decision under risk) apabila probabilitas hasil keputusan (outcome) diketahui. Informasi tentang nilai probabilitas ini sangat penting, sebab informasi ini yang digunakan dalam pengukuran besarnya risiko.
Untuk suatu keputusan dalam keadaan ada risiko, harus dikenali komponen-komponen berikut:
1. Ada alternatif tindakan yang fisibel (bisa dilakukan).
Setiap persoalan keputusan harus mempunyai pilihan alternatif. Dalam prakteknya, alternatif yang tersedia selalu sangat beragam sehingga melalui alternatif-alternatif yang ada tersebut harus ditentukan pilihan akan alternatif mana yang terbaik dan relevan dengan persoalan yang dihadapi.
2. Kemungkinan kejadian tak pasti berikut dengan probabilitas masing-masing. Kemungkinan kejadian (state of nature) biasanya merupakan suatu keadaan yang tak terkendalikan yang merupakan hasil interaksi (keterkaitan dan saling mempengaruhi) kekuatan-kekuatan eksternal atau mungkin juga kehendak Tuhan. Banyaknya kemungkinan kejadian untuk kebanyakan persoalan keputusan di dalam keadaan ada risiko biasanya terbatas dan dapat dikenali (finite and
identifiable). Kemungkinan setiap kejadian terjadi di waktu yang akan datang
3. Nilai pay-off sebagai hasil kombinasi suatu tindakan dan suatu kejadian tak pasti tertentu.
Daftar dari semua tindakan yang dapat dilakukan pada suatu persoalan keputusan, jika dipasangkan dengan kejadian yang mungkin terjadi, akan menghasilkan pay-off (konsekuensi) masing-masing. Nilai pay-off dalam suatu persoalan keputusan inilah yang menjadi tujuan dan yang ingin diperoleh untuk mengambil suatu keputusan.
3.3 ExpectedPay-off Sebagai Kriteria Pengambilan Keputusan
Komponen persoalan keputusan di dalan keadaan ada risiko dapat diberi simbol dan disajikan dalam bentuk matriks pay-off sebagai berikut :
pay-off yang diperoleh kalau tindakan dan kejadian tak pasti
Pada tabel persoalan keputusan berupa matriks, baris menunjukkan tindakan yang akan diambil (pemilihan alternatif) dan kolom menunjukkan kejadian yang tak pasti. Tindakan menimbulkan kejadian, masing-masing dengan probabilitasnya. Masing-masing tindakan (baris) bisa dihitung nilai harapan pay-off (Expected Pay-off) disingkat EP untuk hal-hal yang menguntungkan seperti laba, hasil penjualan, penerimaan.
Pilih alternatif dengan harapan pay-off terbesar (maximum expected pay-off). Untuk tindakan ke i, diperoleh nilai harapan pay-off sebagai berikut:
dimana :
Expected pay-off untuk tindakan
return atas keputusan/tindakan yang diambil untuk tiap keadaan probabilitas kondisi akan terjadi
3.4 Pengambilan Keputusan dengan Metode Bayes
Metode Bayes adalah salah satu metode yang banyak digunakan dalam pengambilan keputusan berisiko. Hal ini dikarenakan metode Bayes menggunakan nilai harapan
(expected value) sebagai dasar perhitungan dalam mengambil keputusan.
Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam pengambilan keputusan dengan metode ini adalah :
1. Dengan menggunakan probabilitas awal (prior probability), hitung nilai harapan
pay off untuk tiap-tiap tindakan yang mungkin.
Nilai harapan pay-off merupakan kriteria yang sangat penting untuk pengambilan keputusan risiko. Nilai harapan pay-off yang dimaksud disini merupakan nilai rata-rata (average) bukan nilai individu pay-off yang sebenarnya sebagai hasil keputusan.
Apabila persoalan keputusan sifatnya berulang-ulang (repetitive), persoalan yang sama akan terjadi berulang kali dalam jangka panjang. Oleh karena hal yang dilakukan adalah mencoba memaksimumkan pay-off jangka panjang, sehingga nilai harapan pay-off
merupakan kriteria yang valid untuk keputusan dalam keadaan ada risiko.
Namun demikian, metode Bayes juga tidak selalu dapat diandalkan dalam pengambilan keputusan dalam keadaan adaa risiko karena metode Bayes memiliki kelemahan yakni : tidak selalu, tindakan (alternatif yang dipilih berdasarkan kriteria harapan hasil terbesar (expected pay-off) merupakan tindakan yang cukup baik dan menarik untuk dilaksanakan, karena ada kalanya seorang pengambil keputusan lebih mengutamakan keuntungan dalam kepentingan lain daripada keuntungan dari nilai harapan terbesar atas suatu persoalan keputusan dan hal ini lebih kepada bagaimana seseorang mengambil sikap sesuai dengan preferensinya.
3.5 Pengambilan Keputusan Dengan Fungsi Utilitas
ekivalen tetap. Nilai ekivalen tetap dari suatu kejadian yang tak pasti adalah suatu nilai tertentu dimana pengambil keputusan merasa tidak berbeda antara menerima hasil yang dicerminkan dalam ketidakpastian tersebut, atau menerima dengan kepastian sesuatu hasil dengan nilai tertentu.
Proses penentuan nilai utilitas mulai dengan suatu peringkat preferensi dari semua hasil, harus dipertimbangkan karena dengan melakukan hal ini akan diketahui berapa nilai yang diwakili oleh tiap-tiap utilitas yang ditetapkan. Berikut merupakan langkah-langkah menentukan nilai utilitas atas himpunan hasil tersebut.
Prosedur untuk menentukan nilai utilitas bagi suatu himpunan hasil :
1. Semua hasil dibuat peringkatnya. Hal ini dilakukan dengan memberi tanda atas setiap hasil, dan tanda tersebut dipergunakan untuk menunjukkan urutan preferensi (berupa indeks).
Pemberian tanda (indeks) ini dimulai dari indeks terbesar untuk peringkat hasil terbesar, lalu menurun terus sampai peringkat terkecil untuk hasil terkecil.
Atau diilustrasikan seperti berikut :
Terbaik .
. .
Terburuk
menang
kalah .
. Utilitas untuk hasil antara harus dicari .
3. Selanjutnya adalah penentuan hasil yang akan diperoleh dengan dua kemungkinan yang ada (diibaratkan seperti suatu permainan) yaitu menang atau kalah. Dimana akan memperolah hasil sebesar apabila menang dan kerugian sebesar kalau kalah. Probabilitas seperti variabel, bisa diubah sesuai dengan kehendak pengambil keputusan.
kejadian
4. Untuk hasil antara, pengambil keputusan menetapkan suatu nilai yang membuat dia untuk merasa tidak berbeda antara hasil itu sendiri dengan kemungkinan hasil lain yang ditawarkan.
Jadi untuk hasil , probabilitas ditentukan bahwa hasil lain yang ditawarkan dianggap sama dengan .
5. Utilitas ditentukan, sama dengan harapan utilitas untuk kemungkinan hasil lainnya dengan probabilitas menang sebesar dan kalah .
Fungsi utilitas adalah sebuah prosedur/metode yang mentranslasikan hasil akhir suatu keputusan menjadi angka-angka sehingga hasil estimasi dari angka utilitas yang dihasilkan tersebut dapat digunakan untuk mengkalkulasikan nilai ekivalen tetap dari alternatif-alternatif keputusan yang ada dan tetap konsisten/sejalan dengan sikap resiko sang pengambil keputusan.
Langkah-langkah pengambilan keputusan menggunakan Fungsi Utilitas (dengan kalkulasi nilai ekivalen tetap) adalah :
1. Pertama mengkonversi kemungkinan-kemungkinan hasil yang ada dalam sebuah masalah pengambilan keputusan yang ada ke dalam nilai utilitas dengan menggunakan fungsi utilitas.
2. Mengkalkulasi hasil estimasi dari nilai-nilai utilitasyang ada dari setiap alternatif menggunakan prosedur yang sama yang dipakai untuk menghitung nilai estimasi. 3. Setelah hasil estimasi utilitas dihitung untuk setiap kemungkinan pilihan
keputusan yang ada, maka setelah itu harus ditentukan nilai ekivalen tetap dari setiap kemungkinan pilihan itu.
Nilai ekspektasi utilitasdapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Dimana :
3.6 Penggunaan Metode
Berikut akan dijelaskan bagaimana kedua metode digunakan dalam pengambilan keputusan yang dibahas dalam skripsi ini dalam bentuk contoh soal yang mana hanya merupakan sebuah simulasi, namun diharapkan dapat menjelaskan lebih detil lagi penggunaan kedua metode tersebut.
Contoh kasus : Seorang manajer produksi dihadapkan pada suatu persoalan keputusan untuk memilih satu di antara tiga jenis produk baru yang akan dipasarkan. Produksi pendahuluan untuk ketiga produk tersebut telah selesai dilakukan, demikian pula studi tentang harganya, dan pimpinan perusahaan telah memutuskan bahwa hanya satu produk baru yang dapat dipasarkan. Selanjutnya dari penelitian pasar dapat pula diketahui distribusi kemungkinan tingkat penjualan yang mungkin dicapai untuk masing-masing pro-duk seperti yang terlihat pada tabel.
Sementara nilai distribusi peluang yang diperoleh pada saat test pasar adalah: Tabel 3.3 Tabel nilai probabilitas masing-masing produk
Jumlah Penjualan
(Unit)
Nilai Probabilitas
Produk A Produk B Produk C
0 0 0,1 0,1
100 0 0,2 0,3
200 0,1 0,2 0,3
300 0,1 0,4 0,2
400 0,2 0,1 0,1
500 0,6 0 0
Pertanyaannya adalah: produk manakah yang harus diproduksi oleh pabrik tersebut ?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut di atas, gunakan langkah-langkah berikut : 1. Dengan metode Bayes
Dihitung nilai ekspektasi pay-off dari masing-masing produk, sebagai berikut :
Atau jika digambarkan dalam pohon keputusan, seperti berikut :
Hasil (Rp ribu)
Gambar 3.1 Diagram pohon keputusan contoh kasus dengan metode Bayes
2. Dengan Fungsi Utilitas
Dalam penggunaan fungsi utilitas sebagai pengambilan keputusan, pertama-tama hitung nilai utilitas untuk setiap harga yang ada dengan fungsi utilitas :
Untuk lebih memperjelas sistematika perhitungan dengan fungsi utilitas, tambahkan kembali nilai utilitas yang diperoleh di atas pada diagram pohon keputusan sebelumnya, sebagai berikut :
Hasil (Rp ribu) Utilitas
Setelah didapat semua nilai utilitas untuk setiap hasil perhitungan untuk ketiga produk, kemudian dapat dihitung nilai ekspektasi utilitas untuk masing-masing produk, sebagai berikut :
Dari hasil perhitungan nilai harapan utilitas, didapat bahwa hasil yang terbaik akan diperoleh dari penjualan produk dengan nilai harapan utilitas terbesar yakni 0,5379.
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Kesimpulan-kesimpulan yang didapat dari hasil studi literatur untuk skripsi ini adalah sebagai berikut :
1. Dalam pengambilan keputusan (dalam keadaan ada risiko) dengan metode Bayes, keputusan yang akan diambil adalah dengan membandingkan setiap pay-off hasil perhitungan, lalu pilih alternatif dengan nilai expectedpay-off terbesar, sedangkan dengan fungsi utilitas dengan membandingkan nilai expected utility, lalu pilih alternatif dengan expected utility terbesar.
2. Alternatif pada metode Bayes berdasar pada probabilitas obyektif, sedangkan pada fungsi Utilitas, alternatif yang ada merupakan nilai preferensi pengambil keputusan terhadap keadaan yang sedang dihadapi dan bersifat subyektif.
4.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Djalal, Nachrowi. 2004. Teknik Pengambilan Keputusan. Jakarta : Gramedia Widiasarana Indonesia.
Jacobs. Robert. 2007. Bayesian Decision Theory. University of Rochester : Department of Brain & Cognitive Sciences.
Kifli. Buchori. 1986. Pengantar Teori Probabilitas dan Proses Stochastic Terhingga. Bandung : CV. Sinar Baru
Mangkusubroto, Kuntoro. 1987. Analisa Keputusan. Pendekatan Sistem Dalam
Manajemen Usaha dan Proyek. Bandung : Ganeca Exact Bandung.
Supranto, Johannes. 1991. Teknik Pengambilan Keputusan. Jakarta : Rineka Cipta.
Suryadi, P.A. 1980. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung: Institut Teknologi Bandung
http://www.google.com/Teori Pengambilan Keputusan.pdf. (M.Abdul Mukhyi). Diakses 28 Maret 2011
