Judul : PENGAMBILAN KEPUTUSAN MENGGUNAKAN METODE BAYES PADA EKSPEKTASI FUNGSI UTILITAS
Kategori : SKRIPSI
Nama : SELVIRA LESTARI SIREGAR
Nomor Induk Mahasiswa : 090803070
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, Oktober 2013
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Pasukat Sembiring, M.Si. Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si.
NIP. 195311131985031002 NIP. 195003121980031001
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua.
PERNYATAAN
PENGAMBILAN KEPUTUSAN MENGGUNAKAN METODE BAYES PADA EKSPEKTASI FUNGSI UTILITAS
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2013
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Pengambilan Keputusan Menggunakan Metode Bayes Pada Ekspektasi Fungsi Utilitas.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Drs. Pasukat Sembiring, M.Si sebagai Dosen Pembimbing yang telah banyak memberikan arahan, nasehat, motivasi, dan kepercayaan yang diberikan kepada penulis dalam mengerjakan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Dr. Syahril
Efendi, M.IT dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.IT sebagai Dosen Pembanding yang banyak memberikan saran dan masukan dalam penyelesaian skripsi ini. Terimakasih
kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Sc selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika, Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan serta Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Dosen dan Staff Administrasi Matematika FMIPA. Teristimewa kedua orang tua saya Bapak M. Ideal Siregar dan Ibu Rasni serta seluruh keluarga atas doa, nasehat, bimbingan, dukungan moril dan materil, yang menjadi sumber motivasi bagi penulis untuk tetap semangat dalam perkuliahan dan penulisan skripsi ini. Dan juga teman-teman seperjuangan di Matematika 2009. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah SWT.
Medan, Oktober 2013 Penulis
ABSTRAK
Bayesian Method and Utility Function are two method that use “pay-off” concept in making decision but with diffirent comprehension concept of “pay-off”. Bayesian Method use “pay-off” concept based to expectation, while Utility Function replace “pay-off” concept with expected utility which describe someone’s preference on every
DAFTAR ISI
Bab 2 Landasan Teori 7
2.1 Definisi Dasar 7
2.2 Aksioma, Lemma, dan Teorema 8
2.3 Konsep Peluang 13
2.3.1 Peluang Kejadian 13
2.3.2 Peluang Bersyarat (Conditional Probability) 14
2.4 Teori Partisi dan Teorema Bayes 15
2.4.1 Teori Partisi 15
2.4.2 Teorema Bayes 16
2.5 Perbaikan Nilai Probabilitas dengan Adanya Informasi Tambahan 18
2.5.1 Probabilitas Prior 19
2.5.2 Probabilitas Posterior 19
2.6 Probabilitas Obyektif dan Probabilitas Subyektif 19
2.7 Nilai Harapan (Expected Value) 21
2.8 Preferensi dan Utilitas 22
2.9 Fungsi Utilitas 24
2.10Teori Keputusan 26
2.10.1 Struktur Persoalan Keputusan 27
2.10.2 Pohon Keputusan (Decision Tree) 28
2.11Pengertian Risiko 29
Bab 3 Pembahasan 32
3.1 Pengenalan Pengambilan Keputusan 32
3.4 Pengambilan Keputusan dengan Metode Bayes 36 3.5 Pengambilan Keputusan dengan Fungsi Utilitas 36 3.6 Penggunaan Metode Bayes, Utilitas, dan Fungsi Utilitas Berdasarkan
Probabilitas Bayes 38
3.6.1 Pengambilan Keputusan Menggunakan Metode Bayes 40 3.6.2 Pengambilan Keputusan Menggunakan Fungsi Utilitas 46 3.6.3 Pengambilan Keputusan Menggunakan Fungsi Utilitas
Berdasarkan Probabilitas Bayes 48
Bab 4 Kesimpulan dan Saran 51
4.1 Kesimpulan 51
4.2 Saran 51
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Tabel Keputusan 27
Tabel 3.1 Matriks Pay-Off Dalam Pengambilan Keputusan 35
Tabel 3.2 Data Transaksi Bermasalah 39
Tabel 3.3 Matriks Alternatif Kerugian 40
Tabel 3.4 Perolehan Total Probabilitas Bayes 42
Halaman
Gambar 2.1. Himpunan = ( ) 10
Gambar 2.2. Himpunan 11
Gambar 2.3. Partisi Bayes 15
Gambar 2.4. Contoh Kurva Utilitas 25
Gambar 2.5. Contoh penggunaan simbol pada pohon keputusan 28
ABSTRAK
Bayesian Method and Utility Function are two method that use “pay-off” concept in making decision but with diffirent comprehension concept of “pay-off”. Bayesian Method use “pay-off” concept based to expectation, while Utility Function replace “pay-off” concept with expected utility which describe someone’s preference on every
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Manusia dilahirkan ke dunia dengan tujuan menjalankan kehidupannya sesuai dengan kodratnya yakni tumbuh dan berkembang. Untuk tumbuh dan berkembang, berarti setiap insan harus dapat survive (mempertahankan kehidupannya) dari berbagai ancaman yang datang dari dirinya maupun dari luar. Misalnya sejak bayi sampai tua renta, seseorang diwajibkan mengatasi berbagai tantangan kehidupan agar survive. Pada masa bayi dan anak-anak proses pertahanan kehidupan masih dibantu orang tua masing-masing. Tetapi ketika masuk dunia dewasa banyak tantangan kehidupan yang harus diputuskan sendiri. Mulai memutuskan hal-hal sederhana yang rutin (bangun tidur, mandi, memilih pakaian, dan lain-lain) sampai hal-hal yang kompleks (memilih pekerjaan dan pasangan hidup) adalah untaian pengambilan keputusan yang harus dijalani oleh setiap orang. Hal tersebut berkaitan langsung dengan tujuan menjaga
kelangsungan hidupnya. Berarti bila seorang gagal memilih keputusan dapat mengganggu kelancaran hidupnya.
Pengambilan keputusan ialah pemilihan satu di antara sekian banyak alternatif yang tersedia. Hal ini tidak selalu menjadi hal yang mudah untuk dilakukan karena sebelum pelaksanaannya, perlu banyak pertimbangan, pembandingan, bahkan studi untuk dapat dijadikan sebagai referensi untuk menentukan pilihan pada alternatif terbaik yang akan diambil. Sehingga dari alternatif pilihan yang diambil tersebut maka akan didapat suatu keputusan yang tujuannya sebaik mungkin.
Karena pada umumnya keputusan dibuat untuk memecahkan suatu permasalahan, sehingga hampir setiap kali keputusan yang diambil tersebut mengandung nilai-nilai risiko didalamnya. Risiko dalam pengambilan keputusan ini terjadi karena adanya nilai probabilitas kegagalan yang walaupun belum diketahui secara pasti, tapi ada kemungkinan hal tersebut dialami. Risiko yang dimaksud terjadi apabila hasil pengambilan keputusan yang telah dilakukan sebelumnya (walaupun belum diketahui dengan pasti) tetapi diketahui nilai kemungkinannya (probabilitasnya).
Sudah pasti bukan hal yang mudah ketika berhadapan pada suatu persoalan dengan risiko yang besar, terlebih bila keputusan yang akan diambil bukanlah hanya berdampak bagi diri sendiri, tetapi juga pada orang lain. Sehingga harus diusahakan agar keputusan yang diambil menghasilkan sukses, atau paling tidak lebih sering sukses daripada gagal.
Metode pengambilan keputusan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah metode Bayes dan fungsi utilitas. Metode Bayes merupakan salah satu metode pengambil keputusan yang banyak dipakai. Dalam mengambil keputusan dengan Bayes,
dibutuhkan informasi-informasi dalam bentuk nilai probabilitas untuk setiap alternatif
yang ada pada persoalan yang sedang dihadapi dan nantinya akan menghasilkan nilai
harapan sebagai dasar pengambilan keputusan.
3
harapan utilitas (expected utility). Utilitas merupakan suatu alternatif di dalam mengekspresikan pay off yang mencerminkan sikap seseorang dalam menentukan pilihan.
Teori utilitas menawarkan metode rasional untuk menyatakan risiko. Rasionalitas dalam konteks teori utilitas memiliki arti keputusan yang logis dan sejalan dengan keadaan risiko. Fungsi utilitas ini dapat digunakan sebagai basis dalam mempertimbangkan risiko keputusan (Handerson, 2004).
Sehingga berdasarkan pemaparan di atas, penulis memilih judul
“Pengambilan Keputusan Menggunakan Metode Bayes pada Ekspektasi Fungsi
Utilitas”.
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Tinjauan Pustaka
Beberapa permasalahan dalam pengambilan keputusan bersifat ketidakpastian dan risiko yang tidak dapat dihilangkan, tetapi dapat dikurangi dengan memberikan nilai kemungkinan dalam bentuk peluang. Dalam hal ini Teorema Bayes yang digunakan sebagai alat untuk mengukur peluang dari setiap keputusan yang kita ambil (Hasan, 2002).
Setiap kasus pengambilan keputusan memerlukan informasi untuk menentukan peluang prior suatu peristiwa akan terjadi. Dalam pengambilan keputusan dengan Teorema Bayes setiap informasi mempunyai nilai tersendiri untuk menentukan peluang prior sebagai informasi baru. Peluang yang telah diperbaharui (direvisi) ini disebut peluang posterior. Pada suatu kejadian dimana pada suatu percobaan yang menghasilkan dua kemungkinan peristiwa yang terjadi, yakni peristiwa A dan peristiwa B dengan syarat kedua peristiwa tersebut dependent satu sama lain, maka terjadinya peristiwa A akan berpengaruh terhadap peluang terjadinya peristiwa B. Misalkan A1, A2,..., An adalah kelompok kejadian yang mutually exclusive (dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan) dan exhaustive (lengkap) merupakan kombinasi dari dua kejadian keseluruhannya yang merupakan peluang prior. Dimana B merupakan informasi tambahan yang berpengaruh terhadap kejadian A, maka peluang Ai terjadi dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu dituliskan
P(Ai|B). Peluang posterior P(Ai|B) menunjukkan besarnya peluang terjadinya suatu peristiwa Aksebagai akibat dari adanya informasi hasil percobaan B. Nilai peluangnya adalah:
( | ) = ( | ) ( )
( | ) ( )
Dimana:
P(Ai|B) = Peluang Ai terjadi dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu
P(B|Ai) = Peluang B terjadi dengan syarat kejadian Aitelah terjadi terlebih dahulu
5
(Spiegel, Murray R, 2004) nilai harapan atau nilai rata-rata merupakan nilai ringkasan untuk mewakili sekelompok nilai. Jika x adalah variable acak, maka nilai harapan sama dengan jumlah hasil kali setiap variable dengan probabilitasnya.
( ) = ( )
(Supranto, 1998) menyatakan utilitas adalah angka yang mengekspresikan konsekuensi, untuk suatu hasil yang dibuat peringkatnya berdasarkan preferensi, maka dapat dibuat nilai utilitas yang menjelaskan preferensi tersebut. Utilitas terbesar untuk yang paling disukai dan utilitas terkecil untuk yang tidak disukai. Fungsi utilitas secara matematis dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial, secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk berikut
( ) = 1 ( )
1 ( )
Dimana:
U(x) = Fungsi utilitas untuk nilai x
= batas bawah fungsi utilitas = batas atas fungsi utilitas
e = 2,7182 (nilai eksponensial) k = parameter
Keputusan adalah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada. Pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang diperlukan guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan yang terbaik (Mangkusuboto, 1999).
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk membuat keputusan terbaik menggunakan metode
1.5 Kontribusi Penelitian
Kontribusi penelitian yang diharapkan adalah:
1. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu probabilitas bersyarat terutama dalam penggunaan teorema bayes, dan fungsi utilitas dalam pembuatan keputusan
2. Membantu para pengambil keputusan (decision maker) pada lembaga pemerintah, swasta dan lainnya.
1.6 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan referensi yang berkaitan dengan penelitian berupa buku, tulisan maupun jurnal.
2. Melakukan studi literature dengan membahas teori-teori yang berkaitan dengan Teorema Bayes, analisa keputusan dan fungsi utilitas serta teori-teori yang lainnya yang mendukung penelitian ini.
3. Melakukan analisa probabilitas dengan menggunakan metode Bayes. 4. Menghitung nilai ekspektasi dengan menggunakan probabilitas Bayes. 5. Menghitung nilai fungsi utilitas.
6. Menghitung ekspektasi utilitas menggunakan probabilitas yang diperoleh dari teorema Bayes.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Definisi Dasar
Himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel (sample space) dinyatakan dengan lambang T dan setiap hasil dalam ruang sampel disebut titik sampel (sample point). Kejadian atau peristiwa (event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh:
Dua buah uang logam setimbang dilemparkan ke atas, maka yang dimaksud dengan: Percobaan : Pelemparan dua buah uang logam
Ruang sampel :{ , }, { , }, { , }, { , } Titik sampel : G (gambar) dan A (angka)
Peristiwa yang mungkin adalah: AA (angka dengan angka), AG (angka dengan gambar), GG (gambar dengan gambar), dan GA (gambar dengan angka).
Kejadian majemuk adalah dua kejadian atau lebih yang terjadi secara bersamaan. Kejadian majemuk ada dua, yaitu (Adler Haymans, 1991):
1. Gabungan, yang disimbolkan dengan
Untuk kejadian A dan B, gabungan dari ruang hasil kejadian A dengan ruang hasil kejadian B adalah ruang hasil yang unsur-unsurnya terdiri dari semua unsur ruang hasil kejadian A saja, atau B saja, atau semua unsur di ruang hasil kejadian A dan
Contoh:
Misalkan A
a b c, ,
dan B
c d e, ,
;maka = { , , , , }2. Irisan, yang disimbolkan dengan
Untuk kejadian A dan B, irisan ruang hasil kejadian A dengan ruang hasil kejadian B adalah ruang hasil yang unsur-unsurnya terdiri dari unsur-unsur yang dimiliki oleh ruang kejadian A dan juga dimiliki oleh kejadian B. Kejadian ini dituliskan dengan
.
Contoh:
Misalkan A
k l m n, , ,
dan B
m n o p, , ,
; maka = { , }Dalam percobaan tertentu tidak jarang didefenisikan dua kejadian A dan B yang tidak mungkin terjadi sekaligus. Kedua kejadian A dan B seperti itu dikatakan saling meniadakan atau saling terpisah (mutually exclusive), dirumuskan sebagai:
Kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah yakni, bila A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.
Contoh:
MisalkanA
x y z, ,
dan B
p q, ; maka = .2.2. Aksioma, Lemma, dan Teorema
Aksioma 1
Untuk setiap kejadian A, P(A) ≥ 0. Aksioma ini menyatakan bahwa peluang dari
setiap kejadian adalah non-negatif.
Aksioma 2
9
Aksioma 3
Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas , A1, A2, A3, ...
1 maka peluang dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-masing peluangnya.
Lemma 1 ( ) = 0
Bukti: Andaikan kejadian A1,A2, A3, ... sedemikian hinggaA = untuk i = 1,2,3, ...
Karena = , maka kejadian Ai adalah saling asing, untuk i = 1,2,3, ...
Bukti: Andaikan kejadianAdan saling asing dan = 1 = ( )
( ) = ( )
= ( ) + ( )
1 = ( ) + ( )
Lemma 3
Untuk setiap kejadian ,0 ( ) 1
Bukti: Dari aksioma 1 diperoleh ( ) 0. Jika ( ) 1 maka dari teorema 3,
( ) 0 yang mana ini berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan
probabilitas setiap kejadian harus non-negatif, maka ( ) 1 sehingga
0 ( ) 1.
Dari gambar, kejadian B adalah gabungan dari kejadian A dan , sehingga ( ) = ( ) + ( ). Dari aksioma 1, ( ) 0, maka ( ) ( ).
Teorema 1
Untuk kejadian yang saling asing yaitu A1, A2, A3, ...
Bukti: Andaikan kejadian tak terbatas A1, A2, A3, ... dimana A1, A2, A3, ..., Anadalah kejadian yang diberikan A = untuk i > . Maka untuk kejadian tak terbatas ini
Melalui aksioma 3 dapat diperoleh:
11
mempunyaiP(ei), maka untuk kejadian AS
Teorema 4
JikaB1,B2,B3, ... Bnadalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan ( ) > 0 untuk
i = 1,2,3 ...nuntuk kejadian A dari S,maka dapat ditulis:
( ) = ( | )( ) + ( | )( ) + + ( | )( )
( ) = ( | ) ( )
Bukti:
, , , adalah mutually exclusive (saling bebas), dimana 0 dimana
0 sehingga diperoleh , , adalah himpunan dari kejadian yang
mutually exclusive. Sekarang diperoleh = diberikan
= ( ) ( ) ( ), untuk itu ( ) = ( ) +
( ) + + ( ) Tetapi ( ) = ( | ) ( )
13
2.3 Konsep Peluang
2.3.1 Peluang Kejadian
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Peluang adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. Menurut Sudjana (1992), peluang merupakan suatu peristiwa yang terjadi dibandingkan banyaknya peristiwa. Misalnya bahwa suatu peristiwa (A) dapat terjadi sebanyak n(A) cara dari sebanyak n(S) kemungkinan cara yang sama, maka peluang kejadian A sukses adalah:
( ) = ( ) ( )
Peluang dari kejadian A gagal adalah:
( ) = 1 ( )
( )= 1 ( )
Atau
( ) = 1 ( )
Jumlah dari peluang untuk mendapatkan sukses dan peluang untuk gagal adalah selalu sama dengan 1 atau dapat ditulis sebagai berikut.
( ) + ( ) = ( ) + ( ) = 1
Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu di
antara nol dan satu. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai 0≤ P(A) ≤ 1, dimana P(A)
2.3.2 Peluang Bersyarat (Conditional Probability)
1. Bila A dan Bmutually exclusive (kejadian yang saling meniadakan), maka:
( ) = ( ) + ( )
2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka:
( ) = ( ) + ( ) ( )
2. Bila ada kejadian yaitu, , , , , , yang mutually exclusive dan
membentuk kejadian A, maka:
( ) = ( )
( ) = ( ) = 1
3. Bila A dan Bindependent(bebas), maka:
( ) = ( ) ( )
4. Bila A dan Bdependent(tidak bebas), maka:
( ) = ( ) ( | ), dimana ( ) 0, ( ) 0
Peluang bersyarat adalah peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian
B telah terjadi. Notasi dituliskan dalam bentuk ( | )dan dibaca peluang A dengan syarat B.
( | ) = ( )
( )
Yang menyatakan bahwa:
P(A|B) = Peluang peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dahulu P(A∩B) = Peluang peristiwa A dan peristiwa B terjadi bersamaan
15
2.3 Teori Partisi dan Teorema Bayes
Antara Teorema Bayes dengan teori partisi terdapat hubungan yang sangat erat, hal ini disebabkan untuk membuktikan Teorema Bayes, kita tidak akan terlepas dari penggunaan teori partisi. Dengan kata lain, teori partisi adalah konsep dasar bagi Teorema Bayes.
2.3.1 Teori Partisi
AndaikanSmenyatakan ruang sampel dari beberapa percobaan dankadalah kejadian
, , dan S sedemikian hingga , , saling asing dan
dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S. Jika k kejadian , , membentuk sebuah partisi dari S dan jika B adalah kejadian lain dalamS, maka kejadian akan membentuk partisi atau bagian untuk B, seperti gambar
dibawah ini.
Dari gambar 2.3 dapat dituliskan,
1 2
( ) ( ) ... ( k)
B BA BA BA (2.1)
1 2
Maka dapat ditulis kembali persamaan (2.2) sebagai berikut :
1
Sehingga dapat dituliskan bahwa untuk kejadian , , yang membentuk partisi
dari ruang sampel S dan P A( )i 0, untuk i = 1,2, ..., k, maka untuk kejadian B dan
Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung peluang atau probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
Antara Teorema Bayes dengan teori peluang terdapat hubungan yang sangat erat, karena untuk membuktikan Teorema Bayes tidak terlepas dari penggunaan teori
peluang, dengan kata lain teori peluang adalah konsep dasar dalam Teorema Bayes.
17
syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas. Teorema Bayes ini bermanfaat untuk mengubah atau memutakhirkan (meng-update) probabilitas yang dihitung dengan tersedianya data dan informasi tambahan.
Syarat-syarat Teorema Bayes bisa digunakan untuk menentukan pengambilan keputusan, yaitu:
a. Berada dalam kondisi ketidakpastian (adanya alternatif tindakan) b. Peluang prior diketahui dan peluang posterior dapat ditentukan c. Peluangnya mempunyai nilai antara nol dan satu
Sesuai dengan probabilitas subyektif, bila seseorang mengamati kejadian B
dan mempunyai keyakinan bahwa ada kemungkinan B akan muncul, maka probabilitas B disebut probabilitas prior. Setelah ada informasi tambahan bahwa misalnya kejadian A telah muncul, mungkin akan terjadi perubahan terhadap perkiraan semula mengenai kemungkinan B akan muncul. Probabilitas untuk B sekarang adalah probabilitas bersyarat akibat A dan disebut sebagai probabilitas posterior. Teorema Bayes merupakan mekanisme untuk memperbaharui probabilitas dari prior menjadi probabilitas posterior.
Teorema Bayes dapat diperoleh dari konsep teori peluang bahwa rumus
Teorema Bayes adalah sebagai berikut:
Andaikan S menyatakan ruang sampel dari beberapa percobaan dan k adalah kejadian
Ai,...,Ak dalam S sedemikian hingga Ai,...,Ak saling asing dan = . Sehingga
dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S. Jika k kejadian Ai,...,Ak membentuk sebuah partisi dari S dan jika B adalah kejadian lain dalam S, maka kejadian akan membentuk partisi atau bagian untuk B.
( | ) = ( | ) ( )
Yang menyatakan bahwa:
P(Ai| B) = Peluang peristiwa A akan terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dulu
P(Ai) = Peluang peristiwa A
P(B | Ai) = Peluang peristiwa B akan terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dulu
P(B) = Peluang peristiwa B
Bukti:
2.4 Perbaikan Nilai Probabilitas dengan Adanya Informasi Tambahan
Pada umumnya dalam menghadapi suatu persoalan, pengambil keputusan telah mempunyai informasi awal. Bila informasi awal dirasakan telah memadai, maka keputusan dapat langsung dibuat. Namun bila informasi awal dirasakan belum cukup, maka diperlukan suatu usaha untuk mendapatkan informasi tambahan. Selanjutnya
19
membuat informasi tambahan ini bersama dengan informasi awal, untuk mendapatkan informasi yang lebih baik dalam pengambilan keputusan.
2.4.1 Probabilitas Prior
Probabilitas prior atau sering juga disebut sebagai probabilitas awal merupakan informasi awal yang menyatakan nilai probabilitas suatu kejadian.
Contoh : Anda ingin membeli 100 unit suku cadang sepeda motor. Lalu sebelum transaksi dilaksanakan, penjual mengatakan kepada Anda bahwa perusahaan mereka mentolerir 2,5% hasil produksi yang cacat dari semua barang hasil produksi mereka per bulannya. 2,5% atau 0,025 ini adalah nilai probabilitas awal yang anda ketahui tentang kondisi suku cadang yang hendak Anda beli tersebut. 0,025 inilah yang disebut sebagai probabilitas prior.
2.4.2 Probabilitas Posterior
Probabilitas posterior sering juga disebut probabilitas tambahan untuk mendukung probabilitas prior. Untuk lebih jelasnya, kembali pada contoh di atas, jika sekiranya dilakukan pemeriksaan kembali atas hasil produksi suku cadang pada bulan tersebut, lalu hasilnya didapat bahwa probabilitas suku cadang yang cacat ternyata tidaklah lagi
0,05 melainkan 0,10 atau 10 %. 0,10 atau 10% inilah yang disebut probabilitas posterior sebagai pengganti probabilitas prior yang diketahui sebelumnya.
2.5 Probabilitas Obyektif dan Probabilitas Subyektif
Pada umumnya probabilitas selalu dikaitkan dengan distribusi frekuensi yang menunjukkan seberapa seringnya (how frequently) suatu kejadian terjadi. Probabilitas sering diperkirakan dengan limit dari frekuensi relatif.
kali (n = 1000) kemudian gambar burung (B) muncul 499 kali, maka ( ) = probabilitas untuk memperoleh gambar burung sebesar 499/1000 = 0,499 atau 0,5. Kemudian dikatakan, secara limit ( ) = 0,5 walaupun bisa terjadi dalam 100 kali
lemparan, gambar burung mungkin muncul 90 kali.
Di dalam jangka panjang, jika lemparan sampai ribuan kali, angka rasio atau perbandingan antara munculnya ( ) dengan banyak lemparan ( ), limitnya
mendekati 0,5. Itulah sebabnya ( ) = 0,5. Analisis frekuensi relatif inilah yang pada dasarnya mendasari nilai kemungkinan pada lemparan mata uang, dan disebut sebagai probabilitas obyektif. Untuk memperoleh probabilitas obyektif dibutuhkan situasi dimana percobaan yang berulang-ulang dapat dilakukan atau sudah ada
pengalaman sebelumnya.
Selain konsep probabilitas seperti di atas, kenyataan yang sering dihadapi adalah hal yang berbeda. Sering persoalan yang dihadapi adalah situasi yang belum pernah terjadi sebelumnya, misalnya : Apakah barang hasil produksi perusahaan akan dapat diterima oleh pasar, apakah seseorang yang meminjam uang akan mengembalikan uang yang dipinjamnya tepat pada waktu yang ditentukan dan lain sebagainya.
Untuk menghadapi persoalan semacam ini, dibutuhkan konsep probabilitas yang lain, yang dapat menerangkan ketidakpastian tanpa harus menggunakan berbagai data atau percobaan sebelum dapat dinyatakan nilai probabilitasnya. Probabilitas yang demikian adalah probabilitas subyektif.
Probabilitas subyektif mencerminkan tingkat keyakinan (confident level) seseorang terhadap suatu kejadian yang tak pasti dan ini didasarkan pada pengalaman dan informasi yang dia miliki pada saat itu. Oleh karena itu, pernyataan probabilitas semacam ini akan menghasilkan probabilitas subyektif. Selain itu, nilai probabilitas
21
Perbedaaan utama antara pandangan subyektif dan obyektif adalah pada pernyataan probabilitasnya (probability statement). Pandangan obyektif menyatakan probabilitas
sebagai state of thing, yaitu ciri atau karakteristik suatu benda atau proses, sama halnya dengan berat, volume, cepat, lambat dan sebagainya. Sebaliknya pandangan subyektif menyatakan probabilitas sebagai state of mind atau suatu tingkat pengetahuan yang dimiliki oleh seseorang berkenaan dengan suatu keadaan.
2.6 Nilai Harapan (Expected Value)
Jika pilihan secara langsung tidak dapat dilakukan, maka cara yang sering digunakan adalah dengan memakai konsep nilai ekspektasi sebagai dasar pengambilan keputusan.
Nilai harapan atau nilai rata-rata merupakan nilai ringkasan untuk mewakili suatu kelompok nilai. Bila adalah variabel acak, maka nilai harapan sama dengan
jumlah hasil kali setiap variabel dengan probabilitasnya, dinyatakan dalam rumus berikut.
( ) = ( )
Dalam teori pengambilan keputusan, nilai harapan payoff (expected payoff) merupakan salah satu kriteria dasar pengambilan keputusan. Untuk hal-hal yang
menguntungkan seperti laba, hasil penjualan, penerimaan dan lain sebagainya dapat dipilih suatu alternatif dengan nilai harapan terbesar (maximum expected payoff), sebaliknya untuk hal-hal yang tidak menguntungkan seperti rugi, pengeluaran, hutang dan lain sebagainya dapat dipilih alternatif dengan nilai harapan terkecil (minimum expected payoff).
2.7 Preferensi dan Utilitas
guna pembuat keputusan dalam suatu masalah yang dihadapi. Utility dapat juga dikatakan preferensi pembuat keputusan terhadap suatu nilai dengan mempertimbangkan faktor resiko. Untuk suatu himpunan hasil (set of outcomes) yang sudah dibuat peringkatnya berdasarkan preferensi.
Preferensi dapat dikatakan sebagai ketertarikan seseorang pada sesuatu. Di dalam konsep pengambilan keputusan, nilai preferensi ini akan diukur dengan tujuan diperoleh sebuah keputusan yang seolah-olah bersifat obyektif.
Dapat ditentukan nilai utilitas yang menjelaskan preferensi tersebut. Utilitas terbesar untuk hasil yang paling disukai, dan utilitas terkecil untuk yang tidak disukai. Pada umumnya setiap orang mempunyai preferensi tersendiri dalam menghadapi resiko. Preferensi ini dapat dituangkan terhadap sebuah kurva yang disebut kurva utilitas. Kemudian Pembuat keputusan berdasarkan pada ekspektasi utility dari alternatif-alternatif yang ada dan memilih berdasarkan ekspektasi utility yang tertinggi ataupun terendah sesuai tujuan keputusan
Berikut dijabarkan beberapa asumsi untuk menentukan nilai utilitas yang mempunyai kesamaan bahwa nilai utilitas yang diperoleh hanya mengenai individu tunggal (hanya berlaku untuk perorangan) dan berperilaku taat azas (consistently) yang sesuai dengan seleranya. Dalam kata lain, kapanpun dan dimanapun, jika menghadapi persolan yang
sama, keputusan yang aakan diambilnya akan sama.
Asumsi-asumsi tersebut adalah : 1. Peringkat Preferensi
23
2. Transitivitas Preferensi
Asumsi kedua ialah apabila H1lebih disukai dari H2dan H2lebih disukai daripada H3, maka jelas bahwa H1 lebih disukai dari H3. Sifat yang demikian disebut transitivitas dan mencerminkan sifat taat azas dari seorang individu. Contohnya: seseorang lebih menyukai buah durian daripada pepaya, dan Ia lebih menyukai pepaya daripada pisang. Sehingga sifat taat azasnya adalah bahwa Ia lebih menyukai durian daripada pisang.
3. Asumsi Kontinuitas
Asumsi kontinuitas menyatakan, ada beberapa permainan yang memiliki hasil terbaik dan terburuk sebagai hasilnya, namun ada kalanya bahwa seseorang menganggap sama preferensinya dengan hasil yang sedang (cukup) atau hasil diantara dua keadaan hasil yang sangat ekstrim tersebut.
4. Asumsi Substitutabilitas
Asumsi substitutabilitas menyatakan, memungkinkan untuk memperbaiki/merevisi suatu permainan dengan penggantian (substituting) suatu hasil dengan hasil lainnya, asalkan ada kesamaan. Dalam kata lain, seseorang bersedia untuk menukar hasil yang diperolehnya pada sebuah permainan dengan hasil yang ditawarkan pada permainan lain dimana Ia merasa tidak berbeda antara keduanya.
5. Asumsi Peningkatan Preferensi
2.8 Fungsi Utilitas
Sebelum dipakai dalam pengambilan keputusan, tentunya perlu diketahui bagaimana pengungkapan fungsi utilitas tersebut. Proses penjajagan ini juga harus dibuat sedemikian rupa agar nantinya dapat dipakai untuk mengungkapkan nilai preferensi dan tetap taat azas sehingga asumsi-asumsi utilitas pun dapat dipenuhinya.
Yang pertama sekali dilakukan dalam penjajagan fungsi utilitas adalah penentuan batasaan nilai. Penjajagan ini dilakukan setelah keseluruhan model yang mencakup ketidakpastian, probabilitas atau nilai kemungkinan dan kriteria penilaiannya adalah tunggal, sehingga hanya terdapat satu besaran yang digunakan.
Syarat utama agar sebuah fungsi utilitas dapat ditentukan adalah bahwa nilai maksimum dan nilai minimum dari persoalan yang sedang dihadapi tercakup dalam fungsi tersebut. Oleh karena itu, pengambil keputusan harus mampu untuk menentukan nilai maksimum dan minimum pada persoalan yang dihadapinya.
Selanjutnya, yang harus dilakukan adalah menggambarkan semua kumpulan titik-titik nilai ekivalen tetap dari sebanyak mungkin situasi dan membentuknya dalam sebuah kurva fungsi utilitas.
25
( ) = 1 ( )
( ) =
Kemudian nilai ekspektasi utilitas dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
= ×
Dimana: EU = Ekpektasi utilitas NU = Nilai utilitas Pr = Probabilitas
2.9 Teori Keputusan
Teori keputusan adalah suatu area studi yang berhubungan dengan para ahli yang tertarik dengan analisis keputusan yang akan memberikan informasi pada pengambilan keputusan. Teori keputusan dalam matematika dan statistika adalah berhubungan dengan mengidentifikasi ketidakpastian dan masalah lain yang relevan yang memberikan keputusan dan menghasilkan keputusan yang tepat dan optimal.
2.9.2 Pohon Keputusan (Decision Tree)
Pohon keputusan adalah diagram pilihan keputusan dan peluang kejadian yang menyertai keputusan, serta hasil dari hubungan antara pilihan dengan kejadian. Tujuan penggunaan pohon keputusan adalah untuk memudahkan penggambaran situasi keputusan secara sistematik. Pengambilan keputusan adalah saat dimana sepenuhnya dapat dikendalikan dalam mengambil tindakan, sedangkan saat kejadian tidak pasti adalah saat dimana sesuatu diluar kontrol tentang apa yang akan terjadi atau diluar kendali.
(Raiffa, 1968) mengatakan bahwa tahap pertama dalam analisis keputusan adalah pembuatan pohon keputusan dengan mempelajari kemungkinan-kemungkinan alternatif keputusan untuk mencapai tujuan pemecahan masalah yang dihadapi. Dengan membuat diagram arus keputusan yang mempunyai beberapa cabang dan tiap cabang mungkin mempunyai beberapa ranting. Dalam membuat keputusan, pada suatu tahap pembuat keputusan memilih pilihan yang diinginkan, tetapi pada tahap lain pembuat keputusan menghadapi pilihan yang berada di luar kekuasaan dan ditentukan oleh kesempatan yang muncul kemudian.
Pohon keputusan biasanya digunakan notasi/simbol, seperti sebagai berikut : Tanda empat persegi sebagai simbol keputusan.
Tanda lingkaran sebagai simbol kejadian tak pasti.
Pilihan Kejadian Hasil
29
Tahapan dalam penggambaran diagram pohon keputusan : 1. Tentukan terlebih dahulu kumpulan alternatif tindakan awal.
2. Tentukan kejadian tak pasti yang melingkupi alternatif tindakan awal. 3. Tentukan adanya alternatif tindakan lanjutan.
4. Tentukan kejadian tak pasti yang melingkupi alternatif tindakan lanjutan.
2.10 Pengertian Risiko
Risiko adalah ketidakpastian tentang kejadian di masa depan. Beberapa definisi tentang risiko, sebagai berikut :
1. Risk is the change of loss, risiko diartikan sebagai kemungkinan akan terjadinya kerugian,
2.Risk is the possibility of loss, risiko adalah kemungkinan kerugian, 3.Risk is Uncertainty, risiko adalah ketidakpastian,
4.Risk is the dispersion of actual from expected result, risiko merupakan penyebaran hasil actual dari hasil yang diharapkan,
5.Risk is the probability of any outcome different from the one expected, risiko adalah probabilitas atas sesuatu outcome berbeda dengan outcome yang diharapkan.
Dari beberapa definisi diatas, maka risiko dihubungkan dengan kemungkinan
Menurut (Darmawi,1992) Hazard terdiri dari beberapa tipe, yaitu :
1.Physical Hazard, suatu kondisi yang bersumber pada karakteristik secara fisik dari obyek yang dapat memperbesar terjadinya kerugian.
2. Moral Hazard, suatu kondisi yang bersumber dari orang yang berkaitan dengan sikap mental, pandangan hidup dan kebiasaan yang dapat memperbesar kemungkinan terjadinya peril.
3.Morale Hazard, suatu kondisi dari orang yang merasa sudah memperoleh jaminan dan menimbulkan kecerobohan sehingga memungkinkan timbulnya peril.
4. Legal Hazard, suatu kondisi pengabaian atas peraturan atau perundangundangan yang bertujuan melindungi masyarakat sehinga memperbesar terjadinya peril.
Kejadian sesungguhnya terkadang menyimpang dari perkiraan. Artinya ada kemungkinan penyimpangan yang menguntungkan maupun merugikan. Jika kedua kemungkinan itu ada, maka dikatakan risiko itu bersifat spekulatif. Sebaliknya, lawan dari risiko spekulatif adalah risiko murni, yaitu hanya ada kemungkinan kerugian dan tidak mempunyai kemungkinan keuntungan. Manajer risiko utamanya menangani risiko murni dan tidak menangani risiko spekulatif kecuali jika adanya risiko spekulatif memaksanya untuk menghadapi risiko murni tersebut.Menentukan sumber risiko adalah penting karena mempengaruhi cara penanganannya. Sumber risiko dapat diklasifikasikan sebagai risiko sosial, risiko fisik,dan risiko ekonomi.
Menurut (Darmawi,1992) biaya-biaya yang ditimbulkan karena menanggung risiko atau ketidak-pastian dapat dibagi sebagai berikut:
1. Biaya-biaya dari kerugian yang tidak diharapkan. 2. Biaya-biaya dari ketidakpastian itu sendiri.
31
menjelaskan jenis-jenis kerugian yang dihadapi oleh sesuatu perusahaan. Perusahaan yang sifat operasinya kompleks, berdiversifikasi dan dinamis, maka diperlukan metode yang lebih sistematis untuk mengeksplorasi semua segi.
Metode yang dianjurkan adalah;
1. Questioner analisis risiko (risk analysis questionnaire). 2. Metode laporan Keuangan (financial statement method). 3. Metode peta-aliran (flow-chart).
4. Inspeksi langsung pada objek.
5. Interaksi yang terencana dengan bagian-bagian perusahaan. 6. Catatan statistik dari kerugian masa lalu.
PEMBAHASAN
3.1 Pengenalan Pengambilan Keputusan
Tujuan analisis keputusan (deicision analysis) adalah mengidentifikasi apa yang harus dikerjakan untuk mencapai tujuan dan mengevaluasi alternatif yang tersedia pada keputusan tersebut.
Ada empat kategori keputusan, yaitu:
1. Keputusan dalam keadaan kepastian (certainty)
Jika suatu keputusan memiliki informasi yang lengkap maka keputusan dikatakan dalam ada kepastian. Hasil dari setiap tindakan (action) dapat diramalkan secara tepat. Contohnya sesorang mengetahui jalan mana yang akan dilalui ketika mau pergi sekolah, berapa biaya yang harus dibayar untuk membeli barang, dan lain sebagainya. 2. Keputusan dalam keadaan ada resiko (risk)
Pada pengambilan keputusan yang tidak dapat diketahui dengan pasti, tetapi diketahui nilai kemungkinannya (probabilitas) , maka keputusan tersebut dikatakan dalam keadaan ada resiko. Contohnya diketahui 5 dari 100 barang produksi mengalami kerusakan, dengan demikian terdapat 5% kemungkinan terdapat barang yang rusak dan 95% kemungkinan terdapat barang yang bagus.
3. Keputusan dalam keadaan ketidakpastian (uncertainty)
33
4. Keputusan dalam keadaan ada konflik (conflict)
Situasi konflik terjadi apabila terdapat dua pengambilan keputusan atau lebih saling bertentangan dalam situasi kompetitif. Contoh, si A dan si B adalah pedagang di pasar, A menurunkan harga dagangannya sehingga harga dagangan A lebih murah daripada harga dagangan pedagang B, akibatnya lebih banyak pelanggan membeli dagangan A dan ia memperoleh keuntungan lebih besar dari si B.
3.2 Kriteria Pengambilan Keputusan dalam Ketidakpastian
Pada pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian, si pengambil keputusan mengetahui unsur mana yang akan terjadi, akan tetapi belum diketahui besar peluang kejadian itu akan terjadi. Terdapat tiga kriteria pada pengambilan keputusan dalam ketidakpastian sebagai berikut:
1. Kriteria maximax
Kriteria maksimax adalah suatu kriteria optimis. Seseorang yang menggunakan kriteria ini akan memilih alternatif dengan memaksimalkan hasil. Pengambil keputusan memilih kemungkinan hasil yang maksimum.
2. Kriteria maximin
Kriteria maximin yaitu suatu kriteria pesimis. Seseorang yang menggunakan kriteria ini akan memilih alternatif dengan meminimumkan hasil. Pengambil keputusan memilih kemungkinan hasil yang minimum.
3. Kriteria dominan
3.3 kriteria Pengambilan Keputusan dalam Keadaan ada Resiko
Suatu keputusan dikatakan dalam keadaan ada risiko (decesion under risk) apabila probabilitas hasil keputusan diketahui. Informasi tentang nilai probabilitas ini sangat penting, sebab informasi ini yang digunakan dalam pengukuran besarnya risiko.
Pengambilan keputusan dalam keadaan ada resiko terjadi apabila terdapat hal-hal sebagai berikut:
1. Ada alternatif yang fisibel (bisa dilakukan).
2. Pengambil keputusan mengetahui peluang setiap tindakan. 3. Terdapat risiko yang hasilnya tidak diketahui.
4. Teknik pemecahan masalahnya mengunakan konsep probabilitas.
3.3.1 Kriteria Nilai Harapan (expected value)
Kriteria nilai harapan merupakan suatu pengambilan keputusan yang diterapkan untuk kejadian ada resiko dengan menggunakan nilai ekspektasi sebagai dasar pemilihan. Pembuat keputusan dapat memilih berdasarkan hasil nilai ekspektasi yang dapat dituliskan dalam bentuk rumus berikut:
= ( )
Dimana: = expected value (nilai harapan)
= tindakan alternatif
3.4 Pengambilan Keputusan dengan Metode Bayes
Teorema bayes dikemukakan oleh Thomas Bayes pada tahun 1763. Teorema bayes disempurnakan oleh Laplace. Teorema bayes menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya A dengan syarat peristiwa B telah terjadi.
Metode bayes bisa digunakan pada nilai ekspektasi (expected value) sehingga menjadi salah satu metode yang banyak digunakan pada pengambilan keputusan resiko. Langkah-langkah untuk pemecahan menggunakan metode Bayes adalah sebagai berikut :
1. Menggunakan probabilitas awal (prior probability) untuk menghitung nilai probabilitas Bayes dengan adanya informasi tambahan.
2. Memilih tindakan dengan memasukkan nilai probabilitas Bayes pada nilai harapan (expected value).
Metode bayes mempunyai kelebihan antara lain: 1. Mudah untuk dipahami.
2. Hanya memerlukan pengkodean yang sederhana. 3. Cepat dalam perhitungan.
3.5 Pengambilan Keputusan Dengan Fungsi Utilitas
Setiap orang memiliki sikap dan pertimbangan yang berbeda dalam menghadapi keputusan yang sama, hal ini disebabkan oleh probabilitas subjektif yang menjadi acuan pengukuran ketidakpastian.
37
1. Setiap hasil dibuat peringkatnya. Hal ini dilakukan untuk menunjukkan urutan preferensi (berupa indeks).
Pemberian tanda indeks ini dimulai dari indeks terbesar untuk peringkat hasil terbesar, lalu menurun terus sampai peringkat terkecil untuk hasil terkecil.
Atau diilustrasikan seperti berikut:
2. Tentukan hasil utilitas yang terbaik dan terburuk secara sebarang, contohnya terbaik 100 terburuk 0 atau terbaik 1 terburuk 0, bisa berapa saja. Sementara untuk hasil antara ditentukan oleh pengambil keputusan.
( )
. .
. . Utilitas untuk hasil antara harus dicari
. .
( )
( )
3. Konversi kemungkinan-kemungkinan hasil keputusan ke dalam nilai utilitas. 4. Kalkulasi fungsi dari nilai-nilai utilitas yang ada dari tiap alternatif.
5. Tentukan ekspektasi utilitas dengan rumus sebagai berikut:
= ×
Dimana: = ekspektasi utilitas
3.6 Penggunaan Metode Bayes, Utilitas, dan Fungsi Utilitas Berdasarkan Probabilitas Bayes
Berikut ini akan dijelaskan bagaimana metode bayes dan fungsi utilitas digunakan dalam pengambilan keputusan.
Pada contoh kasus (Muslich, 2007), suatu perusahaan memiliki data besarnya probabilitas awal (prior probability) dari suatu kejadian gagalnya sistem komputer sebagai berikut.
P(Ө 1) = 0,25 yaitu probabilitas terjadinya kegagalan sistem koputer.
P(Ө 2) = 0,75 yaitu probabilitas tidak terjadinya kegagalan sistem komputer.
Kemudian berdasarkan event kegagalan sistem komputer ini diketahui besarnya probabilitas kondisional, yaitu terjadinya event kesalahan transaksi dengan kondisi terjadinya kegagalan sistem komputer adalah
P(Xǀ Ө 1) = 0,80 yaitu probabilitas terjadinya kesalahan transaksi karena terjadinya kegagalan sistem komputer.
39
Perusahaan tersebut mempunyai data selama 200 hari yang diperlihatkan pada tabel berikut
Tabel 3.2 Data kesalahan transaksi
Jumlah
Sumber: Muslich, Muhammad, “Manajemen Risiko Operasional-Teori dan Praktek”,
Sinar Grafika Offset, PT. Bumi Aksara, Jakarta, 2007
Manajemen perusahaan dapat mengambil kebijakan dalam menentukan batasan jumlah transaksi yang harus dilakukan olehDivisi Treasurysebagai berikut A1 = Meminta Divisi Treasury untuk meningkatkan jumlah transaksi dalam jumlah besar perhari
A2 = meminta Divisi Treasury untuk meningkatkan jumlah transaksi dalam jumlah sedang perhari
Sedangkan data matriks kerugian karena kegagalan sistem komputer jika terjadi kesalahan transaksi diberikan dalam tabel dibawah ini.
Tabel 3.3 Matriks alternatif kerugian
Kegagalan sistem komputer
Kebijakan
A1 A2 A3
Ө 1 200.000 175.000 150.000
Ө 2 50.000 75.000 100.000
Sumber: Muslich, Muhammad, “Manajemen RisikoOperasional-Teori dan Praktek”, Sinar Grafika Offset,
PT. Bumi Aksara, Jakarta, 2007
Pertanyaan adalah: alternatif mana yang harus dipilih oleh Divisi Treasury untuk meminimumkan kerugian akibat kegagalan sistem komputer tersebut?
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, digunakan metode sebagai berikut :
3.6.1 Pengambilan Keputusan Menggunakan Metode Bayes
Telah diketahui bahwa peluang prior pada kasus adalah sebagai berikut. P(Ө 1) = 0,25 yaitu probailitas terjadinya kegagalan sistem komputer. P(Ө 2) = 0,75 yaitu probilitas tidak terjadinya kegagalan sistem komputer.
Dan peluang bersyarat kejadian diketahui sebagai berikut
P(Xǀ Ө 1) = 0,80 yaitu probabilitas terjadinya kesalahan transaksi karena terjadinya kegagalan sistem komputer.
P(Xǀ Ө 2) = 0,20 yaitu probabilitas terjadinya kesalahan transaksi karena tidak terjadinya kegagalan sistem komputer.
Dengan kondisi ini besarnya probabilitas terjadinya kegagalan sistem komputer karena terjadinya kesalahan transaksi dapat dijelaskan dengan menggunakan teorema
41
( | ) = ( | ) ( )
( | ) ( ) + ( | ) ( )
= (0,80)(0,25)
(0,80)(0,25) + (0,20)(0,75)= 0,572
( | ) = 1 ( | )
= 1 0,572 = 0,428
Untuk menghitung total probabilitas bayes pada 200 hari kerja, terlebih dahulu menghitung probabilitas bayes dengan kondisi tertentu, maka dari tabel 3.2 diperoleh Andaikan P(m) adalah peluang kesalahan transaksi berdasarkan persen, maka untuk menghitung besarnya probabilitas bayes pada tiap kesalahan transaksi adalah
( | ) = ( | ) ( )
( | ) = probabilitas kegagalan sistem komputer karena kesalahan transaksi
( | ) = probabilitas tidak terjadi kegagalan sistem komputer karena
kesalahan transaksi
( ) = probabilitas kesalahan transaksi
Selanjutnya apabila P(n) adalah peluang kesalahan transaksi berdasarkan jumlah hari, maka besar probabilitas kegagalan sistem komputer terjadi berdasarkan jumlah hari bisa dihitung dengan
( | ) = ( | ) ( )
( | ) = ( | ) ( )
( | ) = probabilitas kegagalan sistem komputer karena kesalahan transaksi
berdasarkan jumlah hari
( | ) = probabilitas tidak terjadinya kegagalan sistem komputer karena kesalahan
transaksi berdasarkan jumlah hari
( | ) = probabilitas kegagalan sistem komputer karena kesalahan transaksi dari
persen
( | ) = probabilitas tidak terjadi kegagalan sistem komputer karena kesalahan
transaksi dari persen
( ) = probabilitas kesalahan transaksi berdasarkan jumlah hari
Hasil perhitungan total probabilitas bayes diperlihatkan pada tabel berikut
Tabel 3.4 Perolehan Total Probabilitas Bayes
Transaksi jumlah
10% 10 0,05 0,1 0,572 0,428 0,0572 0,0428 0,00286 0,00214
20% 20 0,1 0,2 0,572 0,428 0,1144 0,0856 0,01144 0,00856
30% 30 0,15 0,3 0,572 0,428 0,1716 0,1284 0,02574 0,01926
40% 44 0,22 0,4 0,572 0,428 0,2288 0,1712 0,05034 0,03766
50% 40 0,2 0,5 0,572 0,428 0,286 0,214 0,0572 0,0428
60% 30 0,15 0,6 0,572 0,428 0,3432 0,2568 0,05148 0,03852
70% 16 0,08 0,7 0,572 0,428 0,4004 0,2996 0,03203 0,02397
80% 4 0,02 0,8 0,572 0,428 0,4576 0,3424 0,00915 0,00685
90% 2 0,01 0,9 0,572 0,428 0,5148 0,3852 0,00515 0,00385
100% 0 0 1 0,572 0,428 0,572 0,428 0 0
43
Selanjutnya ditentukan nilai ekspektasi dari tiap alternatif yang ada dengan menggunakan probabilitas ( | ) dan ( | ).
Tabel 3.5 Nilai Ekspektasi tiap jumlah kesalahan transaksi untuk A1
Untuk mencari nilai ekspektasi A1pada jumlah kesalahan transaksi 0% adalah sebagai berikut :
E(A1) = (200.000)(0)+(50.0000)(0) = 0
Mencari nilai ekspektasi A1 pada jumlah kesalahan transaksi 10% adalah sebagai berikut :
E(A1) = (200.000)(0,00286)+(50.0000)(0,00214) = 679 Dan seterusnya hingga kesalahan transaksi 100%.
Untuk menghitung keseluruhan ekspektasi adalah dengan menjumlahkan tiap ekspektasi dari 0% + 10% + . . . + 100%
Kesalahan
Transaksi ( | ) ( | ) A E(A )
Ө Ө
0% 0 0 200000 50000 0
10% 0,00286 0,00214 200000 50000 679
20% 0,01144 0,00856 200000 50000 2716 30% 0,02574 0,01926 200000 50000 6111 40% 0,050336 0,037664 200000 50000 11950,4
50% 0,0572 0,0428 200000 50000 13580
60% 0,05148 0,03852 200000 50000 12222 70% 0,032032 0,023968 200000 50000 7604,8 80% 0,009152 0,006848 200000 50000 2172,8 90% 0,005148 0,003852 200000 50000 1222,2
100% 0 0 200000 50000 0
Tabel 3.6 Nilai Ekspektasi tiap jumlah kesalahan transaksi untuk A2 Kesalahan
Transaksi ( | ) ( | ) A₂ E(A₂)
Ө ₁ Ө ₂
0% 0 0 175000 75000 0
10% 0,00286 0,00214 175000 75000 661
20% 0,01144 0,00856 175000 75000 2644 30% 0,02574 0,01926 175000 75000 5949 40% 0,050336 0,037664 175000 75000 11633,6
50% 0,0572 0,0428 175000 75000 13220
60% 0,05148 0,03852 175000 75000 11898 70% 0,032032 0,023968 175000 75000 7403,2 80% 0,009152 0,006848 175000 75000 2115,2 90% 0,005148 0,003852 175000 75000 1189,8
100% 0 0 175000 75000 0
56713,8
Untuk mencari nilai ekspektasi A2pada jumlah kesalahan transaksi 0% adalah sebagai berikut :
E(A2) = (175.000)(0)+(75.0000)(0) = 0
Mencari nilai ekspektasi A2pada jumlah kesalahan transaksi 10% adalah sebagai berikut :
E(A2) = (175.000)(0,00286)+(75.0000)(0,00214) = 661 Dan seterusnya hingga kesalahan transaksi 100%.
45
Tabel 3.7 Nilai Ekspektasi tiap jumlah kesalahan kransaksi untuk A3 Kesalahan
Transaksi ( | ) ( | ) A E(A )
Ө Ө
0% 0 0 150000 100000 0
10% 0,00286 0,00214 150000 100000 643 20% 0,01144 0,00856 150000 100000 2572 30% 0,02574 0,01926 150000 100000 5787 40% 0,050336 0,037664 150000 100000 11316,8
50% 0,0572 0,0428 150000 100000 12860
60% 0,05148 0,03852 150000 100000 11574 70% 0,032032 0,023968 150000 100000 7201,6 80% 0,009152 0,006848 150000 100000 2057,6 90% 0,005148 0,003852 150000 100000 1157,4
100% 0 0 150000 100000 0
55169,4
Untuk mencari nilai ekspektasi A3pada jumlah kesalahan transaksi 0% adalah sebagai berikut :
E(A3) = (150.000)(0)+(100.0000)(0) = 0
Mencari nilai ekspektasi A3 pada jumlah kesalahan transaksi 10% adalah sebagai berikut :
E(A3) = (150.000)(0,00286)+(100.0000)(0,00214) = 643 Dan seterusnya hingga kesalahan transaksi 100%.
Untuk menghitung keseluruhan ekspektasi adalah dengan menjumlahkan tiap ekspektasi dari 0% + 10% + . . . + 100%
Dari tabel nilai ekspektasi tiap jumlah kesalahan transaksi untuk A1,A2, dan A3
3.6.2 Pengambilan Keputusan Menggunakan Fungsi Utilitas
Penggunaan fungsi utilitas sebagai pengambilan keputusan, terlebih dahulu dihitung nilai utilitas untuk tiap harga dengan fungsi utilitas.
( ) = 1 ( )
Ө 1 200.000 175.000 150.000
Ө 2 50.000 75.000 100.000
Dalam hal ini diambil = 200.000, karena pada kasus yang diberikan adalah angka
kerugian, oleh karena itu dipakai 200.000 sebagai utilitas terburuk, dan sebaliknya = 50.000 sebagai utilitas terbaik.
(50.000) =1 2,7182
, (200.000 50.000)
1 2,7182 , (200.000 50.000)= 1,000
47
= ×
( ) = (0)(0,25) + (1)(0,75) = 0,75
( ) = (0,166)(0,25) + (0,833)(0,75) = 0,666
3.6.3. Pengambilan Keputusan Menggunakan Fungsi Utilitas Berdasarkan Probabilitas Bayes
Untuk memperoleh hasil yang lebih akurat dimanfaatkan ekspektasi utilitas yang dihitung menggunakan probabilitas bayes. Dapat diperlihatkan dalam perhitungan sebagai berikut.
Tabel 3.8 ekspektasi utilitas pada probabilitas bayes A1
Kesalahan
Transaksi ( | ) ( | ) U(A ) EU(A )
200000 50000
0% 0 0 0 1 0
10% 0,00286 0,00214 0 1 0,00214
20% 0,01144 0,00856 0 1 0,00856
30% 0,02574 0,01926 0 1 0,01926
40% 0,050336 0,037664 0 1 0,037664
50% 0,0572 0,0428 0 1 0,0428
60% 0,05148 0,03852 0 1 0,03852
70% 0,032032 0,023968 0 1 0,023968
80% 0,009152 0,006848 0 1 0,006848
90% 0,005148 0,003852 0 1 0,003852
100% 0 0 0 1 0
0,183612
Untuk mencari nilai ekspektasi A1 pada jumlah kesalahan transaksi 0% adalah sebagai berikut :
E(A1) = (0)(0)+(1)(0) = 0
Mencari nilai ekspektasi A1 pada jumlah kesalahan transaksi 10% adalah sebagai berikut :
E(A1) = (0)(0,00286)+(1)(0,00214) = 0,00214
49
Untuk menghitung keseluruhan ekspektasi adalah dengan menjumlahkan tiap ekspektasi dari 0% + 10% + . . . + 100%
Tabel 3.9 ekspektasi utilitas pada probabilitas bayes A2
Transaksi ( | ) ( | ) U(A )
EU(A )
bermasalah 175000 75000
0% 0 0 0,166 0,833 0
10% 0,00286 0,00214 0,166 0,833 0,00226 20% 0,01144 0,00856 0,166 0,833 0,00903 30% 0,02574 0,01926 0,166 0,833 0,02032 40% 0,05034 0,03766 0,166 0,833 0,03973 50% 0,0572 0,0428 0,166 0,833 0,04515 60% 0,05148 0,03852 0,166 0,833 0,04063 70% 0,03203 0,02397 0,166 0,833 0,02528 80% 0,00915 0,00685 0,166 0,833 0,00722 90% 0,00515 0,00385 0,166 0,833 0,00406
100% 0 0 0,166 0,833 0
0,19368
Untuk mencari nilai ekspektasi A2pada jumlah kesalahan transaksi 0% adalah sebagai berikut :
E(A2) = (0,166)(0)+(0,833)(0) = 0
Mencari nilai ekspektasi A2 pada jumlah kesalahan transaksi 10% adalah sebagai berikut :
E(A2) = (0,166)(0,00286)+(0,833)(0,00214) = 0,002257
Dan seterusnya hingga kesalahan transaksi 100%.
Tabel 3.10 ekspektasi utilitas pada probabilitas bayes A3 Kesalahan
Transaksi ( | ) ( | ) U(A ) EU(A )
150000 100000
0% 0 0 0,333 0,666 0
10% 0,00286 0,00214 0,333 0,666 0,00238 20% 0,01144 0,00856 0,333 0,666 0,00951 30% 0,02574 0,01926 0,333 0,666 0,0214 40% 0,05034 0,03766 0,333 0,666 0,04185 50% 0,0572 0,0428 0,333 0,666 0,04755 60% 0,05148 0,03852 0,333 0,666 0,0428 70% 0,03203 0,02397 0,333 0,666 0,02663 80% 0,00915 0,00685 0,333 0,666 0,00761
90% 0,00515 0,00385 0,333 0,666 0,00428
100% 0 0 0,333 0,666 0
0,204
Untuk mencari nilai ekspektasi A3 pada jumlah kesalahan transaksi bermasalah 0% adalah sebagai berikut :
E(A3) = (0,333)(0)+(0,666)(0) = 0
Mencari nilai ekspektasi A3 pada jumlah kesalahan transaksi 10% adalah sebagai berikut :
E(A3) = (0,333)(0,00286)+(0,666)(0,00214) = 0,002378 Dan seterusnya hingga kesalahan transaksi 100%.
Untuk menghitung keseluruhan ekspektasi adalah dengan menjumlahkan tiap ekspektasi dari 0% + 10% + . . . + 100%
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
1. Teorema Bayes memberikan alternatif berdasarkan nilai probabilitas dan fungsi utilitas memberikan alternatif berdasarkan nilai peferensi terhadap keadaan subyektif.
2. Keputusan yang diambil berdasarkan teorema bayes berbeda dengan keputusan yang diambil dengan fungsi utilitas, namun pengambilan keputusan tidak berbeda jika menggunakan fungsi utilitas berdasarkan pada probabilitas bayes.
4.2 Saran
Perhitungan dalam pengambilan keputusan dengan tujuan meminimumkan kerugian
Bunn, Derek W. 1984. Applied Decision Analysis. San Fransisco: McGraw Hill Book Company.
Darmawi, Herman. 1992.Manajemen Asuransi. Jakarta: Bumi Aksara
Henderson, V. and Hobson, D. 2004. Utility indifference pricing-An overview. in: R. Carmona (Ed.)Indifference pricing(Princeton, NJ: Princeton university press).
Hasan, M. Iqbal. 2002. Pokok-pokok Materi Teori Pengambilan Keputusan. Indonesia, Jakarta: Ghalia.
Kasim, Azhar. 1995.Teori Pembuatan Keputusan. Jakarta: FEUI.
Mangkusubroto, Kuntoro, dan Trisnadi, Listiarini. 1987. Analisa Keputusan Pendekatan Sistem dalam Manajemen Usaha dan Proyek. Bandung: Ganeca Exact
Manurung, Adler Haymans. 1991. Pengambilan Keputusan Pendekatan Kualitatif. Jakarta: T. Rineka Cipta
Muslich, M. 2007. Manajemen Risiko Operasional, Teori & Praktek. Jakarta: Bumi Aksara
Raiffa, Howard. 1968.Decision Analysis. Cambridge: MIT Press
Sofyan, Iban. 2005.Manajemen Risiko. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Sudjana. 1992.Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.
Supranto, Johannes. 1998.Teknik Pengambilan Keputusan. Jakarta: Rineka Cipta
