Pengurangan Peubah dalam Analisis Korelasi Kanonik.

(1)

PENGURANGAN PEUBAH DALAM ANALISIS KORELASI

KANONIK

FANNY NOVIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengurangan Peubah

dalam Analisis Korelasi Kanonik adalah benar karya saya dengan arahan dari

komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan

tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang

diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks

dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2015

Fanny Novika

(4)

ABSTRAK

FANNY NOVIKA. Pengurangan Peubah dalam Analisis Korelasi Kanonik.

Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR.

Analisis korelasi kanonik merupakan analisis peubah ganda yang digunakan

untuk memperoleh tingkat keeratan hubungan linear antara dua kelompok peubah.

Banyaknya peubah dalam suatu kelompok peubah sering menyulitkan dalam

merepresentasikan hasilnya. Pengurangan peubah yang digunakan menjadi hal

yang penting untuk dilakukan. Pengurangan peubah dapat dilakukan antara lain

dengan analisis korelasi kanonik itu sendiri, analisis komponen utama, dan analisis

Procrustes. Peubah yang dikurangi dengan ketiga analisis tersebut dibatasi dengan

kriteria penurunan korelasi kanonik sebelum dan sesudah pengurangan peubah.

Peubah yang menurunkan korelasi kanonik dengan selisih yang besar tidak

dihilangkan. Pada karya tulis ini, pengurangan peubah dilakukan pada data jenis

ikan di Laut Barents (Anonim 1997). Analisis Procrustes paling banyak mengurangi

peubah, yang kedua yaitu dengan analisis komponen utama dan yang terakhir yaitu

dengan analisis korelasi kanonik.

Kata kunci: analisis komponen utama, analisis korelasi kanonik, analisis Procrustes,

pengurangan peubah

ABSTRACT

FANNY NOVIKA. Variable Reduction in Canonical Correlation Analysis.

Supervised by SISWADI and TONI BAKHTIAR.

Canonical correlation analysis is multivariate analysis used to obtain a linear

relationship between two sets of variables. A large number of variables in a set of

variables is often difficult to represent the results. Reduction of the used variables

becomes important to be done. Variables reduction can be done for example by

using the canonical correlation analysis, principal component analysis, and

Procrustes analysis. Variables reduced by these three analyses restricted by the

criteria of canonical correlation decrease before and after the reduction of variables.

Variables that decrease the canonical correlation by a large difference are not

removed. In this paper, variable reduction is performed on the data type of fish in

the Barents Sea (Anonymous 1997). Procrustes analysis at most reduces the

variables, the second is the principal component analysis and the last is the

canonical correlation analysis.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENGURANGAN PEUBAH DALAM ANALISIS KORELASI

KANONIK

FANNY NOVIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

(7)

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala

karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulis telah menerima

bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada

Prof Dr Ir Siswadi, MSc dan Dr Toni Bakhtiar, MSc sebagai dosen pembimbing I

dan dosen pembimbing II atas segala ide cemerlang mengembangkan karya ilmiah

ini dan memberikan solusi ketika menghadapi masalah pada penulisan karya ilmiah

ini, serta kepada sebagai dosen penguji Ir N.K. Kutha Ardana, MSc. Selain itu,

penulis juga mengucapkan terimakasih kepada Ibu, Ayah, keluarga dan

teman-teman Matematika 48 yang selalu memberi semangat, doa dan motivasi.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi

penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Agustus 2015

(9)

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL

x

DAFTAR GAMBAR

x

DAFTAR LAMPIRAN

x

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

2

Vektor Kombinasi Linear

2

Matriks Koragam

2

Analisis Korelasi Ganda

3

Analisis Korelasi Kanonik

3

Analisis Komponen Utama

5

Standardisasi Komponen Utama

6

Dekomposisi Nilai Singular

7

Analisis Procrustes

8

METODE

9

Sumber Data

9

Proses Analisis Data

10

HASIL DAN PEMBAHASAN

11

Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi Kanonik

12

Pengurangan Peubah dengan Analisis Komponen Utama

15

Pengurangan Peubah dengan Analisis Procrustes

17

Eksplorasi Peubah Berdasarkan Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi

Kanonik, Analisis Komponen Utama dan Analisis Procrustes

19

SIMPULAN

20

DAFTAR PUSTAKA

21

LAMPIRAN

22

(10)

DAFTAR TABEL

1

Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi

Kanonik Secara Langsung

12

2

Koefisien Peubah dari Peubah Kanonik Pertama

13

3

Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi

Kanonik Melalui Peubah Kanonik

14

4

Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis

Komponen Utama

16

5

Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis

Procrustes

18

6

Nilai Korelasi Kanonik pada Pengurangan Peubah

20

DAFTAR GAMBAR

1

Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu Peubah

dengan Analisis Korelasi Kanonik Secara Langsung

13

2

dengan Analisis Korelasi Kanonik Melalui Peubah Kanonik

15

3

dengan Analisis Komponen Utama

17

4

dengan Analisis Procrustes

18

5

dengan Semua Analisis

19

DAFTAR LAMPIRAN

1

Data Lingkungan Laut Barents

22

2

Data Jenis Ikan di Laut Barents

24

3

Komponen Utama yang Berkorelasi Terbesar Setiap Pengurangan Satu

Peubah yang Bersesuaian dengan Nilai Eigen Terkecil

35

4

Nilai Eigen Terkecil dari Komponen Utama yang Berkorelasi Terbesar

dengan Peubah Yang dikurangi

42

5

Nilai Mutlak dari Peubah Kanonik

43

6

Ukuran Procrustes

47

7

Nilai Korelasi Kanonik Pertama dengan Analisis Korelasi Kanonik

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Ilmu pengetahuan mudah berkembang pesat dengan cepat. Hal ini dapat

ditunjukkan dengan banyaknya ilmu-ilmu baru yang diadaptasi dari hasil

penelusuran ilmu-ilmu dasar. Para peneliti semakin giat memperdalam ilmu demi

memperkaya ranah ilmu pengetahuan.

Semakin berkembangnya ilmu pengetahuan maka masalah yang dapat

diselesaikan akan semakin kompleks. Dalam hal analisis peubah ganda, masalah

yang hanya melibatkan dua peubah bisa dikembangkan dengan masalah yang

melibatkan tiga peubah atau lebih. Penggabungan dari beberapa masalah sederhana

juga merupakan salah satu masalah kompleks yang dapat diselesaikan dari

perkembangan suatu ilmu pengetahuan.

Perkembangan ilmu pengetahuan dalam kasus analisis peubah ganda

diantaranya dikembangkan oleh Hotelling pada tahun 1936 tentang analisis korelasi

kanonik. Analisis korelasi kanonik adalah analisis peubah ganda yang sering

digunakan untuk menguji hubungan secara linear antara dua kelompok peubah

(Rencher dan Christensen 2012).

Salah satu masalah kompleks lainnya yang seringkali terjadi adalah analisis

peubah ganda yang memunyai peubah yang sangat banyak sehingga sulit untuk

merepresentasikan hasil penelitian. Kesulitan lainnya adalah hasil penelitian sulit

untuk disimpulkan secara global. Selain itu, dengan banyaknya peubah

memperbesar kemungkinan tidak akuratnya koefisien dari penduga parameter.

Terjadi juga kondisi saat data yang diperlukan dalam satu peubah memerlukan

biaya yang besar. Permasalahan ini dapat diatasi dengan mengurangi peubah antara

lain dengan menggunakan analisis korelasi kanonik dengan menghilangkan satu per

satu peubah secara langsung dan dengan peubah kanonik. Analisis lainnya dapat

dilakukan dengan analisis komponen utama dan analisis Procrustes.

Dalam analisis korelasi kanonik, beberapa peubah dalam dua kelompok

peubah dapat digunakan untuk mempelajari korelasi antara dua kelompok peubah

(Timm 2002). Oleh karena itu, peubah yang dihilangkan adalah yang memberikan

pengurangan nilai korelasi kanonik paling sedikit atau yang memunyai koefisien

peubah dalam peubah kanonik paling dekat dengan nol.

Analisis komponen utama merupakan analisis peubah ganda yang digunakan

untuk mengurangi dimensi data yang berukuran sangat besar dengan

mempertahankan sebanyak mungkin informasi yang terkandung pada data asalnya.

Analisis komponen utama mentransformasi peubah-peubah asli yang masih saling

berkorelasi satu dengan yang lain menjadi satu himpunan peubah baru yang tidak

berkorelasi lagi. Peubah-peubah baru tersebut disebut dengan komponen utama.

Peubah yang dihilangkan adalah peubah yang mempunyai korelasi paling besar

dengan komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil.

(12)

2

Perhitungan dengan jarak Euclid dan transformasi dengan cara translasi-rotasi dan

dilasi adalah langkah yang efektif dalam analisis Procrustes (Bakhtiar dan Siswadi

2015). Pengurangan peubah dalam analisis Procrustes dilakukan dengan

membandingkan jarak antara matriks awal yang ingin dihilangkan peubahnya

dengan matriks itu sendiri setelah pengurangan peubah satu per satu.

Tujuan Penelitian

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk mengurangi peubah dalam analisis

korelasi kanonik, analisis komponen utama dan analisis Procrustes lalu

membandingkan korelasi kanonik dua kelompok peubah sebelum dan sesudah

pengurangan peubah.

TINJAUAN PUSTAKA

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Untuk setiap matriks segi A, skalar

�

dan suatu vektor

x

≠

dari persamaan

Ax

= �

x

maka

�

disebut sebagai nilai eigen dan x sebagai vektor eigen matriks A.

Untuk mencari nilai

�

buat persamaan karakteristik

|

A

− �

I

| =

. Akar

persamaan dari

�

merupakan nilai eigen dan

x merupakan vektor eigen yang

bersesuaian dengan

�

Vektor Kombinasi Linear

Misalkan

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

, … ,

v

_�

adalah vektor-vektor dalam suatu himpunan vektor

�.

Jumlah vektor-vektor berbentuk

�

v

₁

+ �

v

₂

+ �

v

₃

+ + �

_�

v

_�

di mana

� , � , � , … , �

�

adalah skalar-skalar disebut suatu kombinasi linear dari

v

1

,

v

2

,

v

3

, … ,

v

�

Matriks Koragam

Misalkan

y adalah vektor peubah berukuran

×

, x adalah vektor peubah

berukuran

×

,

� y

adalah nilai harapan dari

y dan

� x

adalah nilai harapan

dari x. Maka matriks koragam dari y dan x ialah

cov

[y,

x

] = � = �[

y

− �[

y

]

x

− �[

x

]

�

]

(Johnson dan Wichern 2007).

(13)

3

Analisis Korelasi Ganda

Misalkan ingin didapatkan korelasi antara variabel

Y

dan

X

=

, , … ,

. Definisikan matriks

S =

(

�

S

)

dan

R

= (

�

R

)

di

mana

�

=

,

, … ,

merupakan koragam contoh dari

Y

dengan

X

dan

S

merupakan matriks koragam contoh dari

X

,

analog dengan

�

=

,

, … ,

merupakan korelasi contoh dari Y dengan

X

dan

R

adalah

matriks korelasi contoh dari

X

.

Kuadrat korelasi ganda dapat dihitung

menggunakan partisi dari matriks koragam atau partisi dari matriks korelasi sebagai

berikut

� =

s�� S− s�

�

=

�

R

−

.

Korelasi ganda

�

dapat didefinisikan dengan maksimum korelasi antara

Y

dan kombinasi linear X (Rencher dan Christensen 2012).

Analisis Korelasi Kanonik

Analisis korelasi kanonik merupakan perluasan dari analisis korelasi ganda,

yaitu dengan melibatkan dua kelompok peubah. Misalkan

Y

=

, , … ,

dan

X

=

, , … ,

dengan

��

buah data, matriks koragam dapat didefinisikan

�

= (�

�

� )

,

di mana

�

adalah matriks koragam dari

Y

berukuran

� × �

,

�

adalah matriks

koragam dari

X

berukuran

�×�

, dan

�

adalah matriks koragam dari

, , … ,

,

, , … ,

berukuran

�×�

.

Suatu kombinasi linear

=

a

�

Y

dan

=

b

�

X

koragamnya ialah

= �[ − �[ ]

− �[ ]

�

]

�= �[

�

� − �[

�

�]

�

� − �[

�

�]

�

]

��= ��[

�

� −

�

�[ �]

�

� −

�

�[ �]

�

]

��= �

�

�[ � − �[ �]

� − �[ �]

�

]

b

��

�=

a

�

b

.��

Jadi, korelasinya ialah

cor

,

=

cov

,

√

var

�√

var

=

a

�

b

√

a

�

a

�√

b

�

b

�.

Korelasi kanonik merupakan maksimum korelasi antara kombinasi linear

dan kombinasi linear

�

. Maksimum korelasi dapat ditentukan dengan mencari

vektor koefisien a dan b agar

cor

,

bernilai sebesar mungkin.

Misalkan

.

Korelasi

kanonik

pertama

merupakan

maksimum cor

,

= � ,

dengan pasangan peubah kanonik pertama adalah

=

a

�

Y

dan

=

b

�

X

dan

korelasi

kanonik

ke-

k

merupakan

maksimum cor

,

= �

dengan pasangan peubah kanonik ke- adalah

=

a

�

Y

dan

=

b

�

X

yang tidak berkorelasi dengan peubah kanonik sebelumnya

(14)

4

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Untuk mendapatkan korelasi yang maksimum nilai

a

�

b

maksimum

dengan kendala

a

�

a

=

dan

b

�

b

=

dengan maksimisasi Lagrange,

didapatlah persamaan Lagrange

�

a

,

b

, �, � =

a

�

b

− �

a

�

a

−

− �

b

�

b

−

.

Turunkan persamaan (2.1) terhadap a dan agar maksimum, hasil turunan persamaan

(2.1) adalah nol, maka didapatlah

�

b

− ��

a

=

dan turunkan persamaan

(2.1) terhadap

b, maka didapatlah

�

a

− ��

b

=

. Eliminasi salah satu

persamaan

�

b

− ��

a

=

��

b

= ��

a

=

_�

�

−

�

b

.

Substitusi persamaan (2.2) ke

�

a

− ��

b

=

sehingga

�

� �

−

�

b

− ��

=

� � �

−

�

b

= ��

��

−

� �

−

�

b

=

��

−

� �

−

�

b

= ��

��

−

� �

−

�

b

− �� =

�

−

� �

−

� − ��

I

= .��

Jika kita mengeliminasi

�

a

− ��

b

=

�

a

= ��

b

� �

−

�

a

=

b

.

Substitusi persamaan (2.4) ke

�

b

− ��

a

=

sehingga

�

� �

−

�

a

− ��

a

=

� � �

−

�

a

= ��

a

��

−

� �

−

�

a

=

a

�

−

� �

−

�

a

= ��

a

�

−

� �

−

�

a

− ��

a

=

(

�

−

� �

−

� − ��

I a

=

.

Berdasarkan persamaan (2.3) dan (2.5), maka

��

adalah kuadrat korelasi

� , = , , … ,

dengan

= min�{ , }

adalah nilai eigen dari

�

−

� �

−

�

dan

a

merupakan vektor yang bersesuaian dengan nilai eigennya, dan

b merupakan

vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

�

dari matriks

�

−

� �

−

�

,

akar kuadrat dari nilai eigen

� , �

_,

… , �

disebut korelasi kanonik.

(15)

5

(2.6)

contoh dari

, , … ,

_,

, , … ,

berukuran

�×�

dan

adalah korelasi

kanonik yang diperoleh dari matriks koragam contoh. Dengan tahapan yang sama,

korelasi kanonik dengan matriks koragam contoh dapat dihitung dari persamaan

karakteristik

|�

−

� �

−

� −

I

| =

. Vektor koefisien

a dan b dapat dihitung

dengan persamaan vektor eigen

�

−

� �

−

�

a

=

a

dan

�

−

� �

−

�

b

=

b

.

Analisis Komponen Utama

Ide utama dari analisis komponen utama adalah untuk mengurangi dimensi

kelompok data yang memiliki peubah dengan jumlah banyak dengan

mempertahankan sebanyak mungkin informasi yang diperoleh dari data, caranya

adalah dengan memaksimumkan ragam. Misalkan terdapat peubah dengan

adalah bilangan yang cukup besar. Analisis komponen utama dapat merancang

alternatif peubah sebanyak komponen utama yang dapat mewakili variasi data

dengan adalah bilangan yang jauh lebih kecil dari (Jolliffe 2002).

Misalkan

X

=

, , … ,

�

merupakan vektor peubah acak berdimensi

dengan matriks koragam

�

. Dasar dari analisis komponen utama ialah mencari

fungsi linear

�

X

yang memiliki ragam maksimum, di mana

�

adalah vektor

dengan konstanta

� , � , … , �

sehingga

�

X

= �

+ �

+ + �

= ∑

�

=

.

Kemudian, cari fungsi linear

�

X

yang tidak berkorelasi dengan

�

X

yang

memiliki ragam terbesar, dan seterusnya hingga fungsi linear ke-

�

X

yang

memaksimumkan ragam. Peubah ke- dari

�

X

adalah komponen utama ke- .

Untuk membentuk komponen utama pertama, maksimumkan ragam dari

�

X

, dengan

Var

�

X

)

dapat ditentukan dengan ragam

�

X

ialah

Var

[�

�

X

] =

�

[(

�

X

− �

[

�

X

])

�

X

− �[�

�

X

]

�

]

=

�

[(

�

X

− �

�

[

X

])

�

X

− �

�

�[

X

]

�

]

=

�

[(

X

− �

[

X

])

X

− �[

X

]

�

]

��

=

�

� �

�

��

=

�

�� ,��

dengan

�

adalah ragam X. Kendala yang digunakan adalah

�

� =

yang berarti

jumlah kuadrat dari setiap unsur

�

adalah satu agar

�

��

_�

memunyai solusi

maksimum dalam persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange pada kasus ini adalah

ℒ � , � = �

�

�� − � �

�

� −

,

di mana

�

adalah pengali Lagrange. Turunkan persamaan (2.6) terhadap

�

. Agar

maksimum, hasil turunan persamaan (2.6) haruslah nol, menjadi

�� − �� =

atau

� − �

I

)

� =

,

di mana

I adalah matriks identitas berukuran

×

. Dengan demikian,

�

adalah

nilai eigen dari

�

dan

�

adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan

�

. Untuk

menentukan nilai eigen yang memberikan

�

X

yang memberikan ragam

maksimum, nilai yang harus dimaksimumkan ialah

(16)

6

(2.7)

(2.8)

jadi

�

haruslah sebesar mungkin, dengan

�

adalah vektor yang bersesuaian

dengan nilai eigen

�

.

Komponen utama kedua ialah

�

X

,

maksimumkan

�

��

dengan kendala

tak adanya korelasi dengan

�

X

, secara matematis

cov

[�

�

X

,

�

X

]

=

. Nilai dari

cov

[�

�

X

,

�

X]

ialah

cov

[�

�

X

,

�

X]

=

�

�� =� �

�

�� =� �

�

λ � = �λ �

�

� =� λ �

�

dengan demikian, kendala tak adanya korelasi untuk

�λ >

ialah

�

� =

atau

�

� =

. Fungsi Lagrange untuk komponen utama kedua adalah maksimumkan

ℒ � , � , �, � = �

�

�� − � �

�

� −

− ��

�

,

di mana

�, �

adalah pengali Lagrange. Turunkan persamaan (2.7) terhadap

�

dan

agar persamaan (2.7) maksimum, turunannya harus bernilai nol, didapatlah

�� − �� − �� =

.

kalikan persamaan (2.8) dengan

�

didapatlah

�

�� − ��

�

�� − ��

�

�� =

.

Karena

�

�� =

maka

� =

. Hasilnya,

�� − �� =

ekivalen dengan

� − �

I

� =

, jadi

�

adalah nilai eigen lainnya dari

�

dan

�

adalah vektor

eigen yang bersesuaian dengan

�

.

Untuk menentukan nilai eigen yang memaksimumkan

� = �

�

��

, nilai

�

harus sebesar mungkin. Asumsikan

�

tidak memiliki nilai eigen kembar sehingga

� ≠ �

. Jika demikian, seperti halnya pada komponen utama pertama,

�

adalah

nilai eigen kedua terbesar setelah

�

yang besesuaian degan vektor eigen

�

.

Metode yang sama untuk mencari komponen utama ketiga, keempat dan

seterusnya hingga ke- . Vektor

� , � , … , �

adalah vektor eigen dari

� , � , … , �

yang merupakan nilai eigen terbesar ketiga, nilai eigen terbesar keempat, dan

seterusnya sampai nilai eigen terkecil.

Bila

�

tidak dapat ditentukan nilainya secara langsung,

�

dapat diduga

dengan

S =

�−

X

�

X

di mana

X

= [

� �

…

⋱

…

_�

]

adalah matriks data contoh yang telah terkoreksi dengan nilai tengahnya.

Standardisasi Komponen Utama

Misalkan

X

∗

merupakan matriks data contoh berukuran

� ×

dengan

�

objek dan peubah, maka

X

=�

X

∗

−

� �

X

∗

, di mana

1 merupakan vektor kolom

berukuran

� ×

dengan setiap unsurnya bernilai satu.

(17)

7

Z

=

[

� � � �

]

= [

��

…

� �

��

⋱

…

�

]

=

[

∗

− ̅

∗

√

∗

− ̅

∗

√

∗

− ̅

∗

√

∗

− ̅

∗

√

��

…

∗

− ̅

∗

√

…

∗

− ̅

∗

√

�∗

− ̅

∗

√

�∗

− ̅

∗

√

��

⋱

…

�∗

− ̅

∗

√

]

dengan

̅

∗

sebagai rataan dari kolom ke- ,

√

sebagai simpangan baku kolom

dan matriks Z menyatakan matriks dengan setiap unsurnya terstandardisasi.

Vektor rata-rata dari matriks yang terstandardisasi ialah

̅ =

_� � �

=

� �

=

.

Matriks koragam dari data terstandardisasi ialah

= � −

− �

� �

− �

�

=

�−

− ̅

�

− ̅

�

�=

_�−

(Johnson dan Wichern 2007).

Dekomposisi Nilai Singular

Setiap matriks yang berdimensi

� ×

dapat dinyatakan sebagai bentuk

dekomposisi nilai singular sebagai berikut:

�

= �

�

U

� �

T

(Jolliffe 2002), di mana

dan

�

masing-masing dengan kolom ortonormal,

��

merupakan pangkat matriks dengan

min{�, }

.

T

= �

T

� = �

, dengan

�

merupakan matriks identitas

berpangkat

.

� = �iag�(√λ , √λ , … , √λ )

dengan

λ

λ >

dan

√λ �, = , , …

merupakan nilai singular dari

matriks .

Matriks

��

adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri atas vektor eigen

yang berpadanan dengan nilai eigen taknol

i

dari matriks

T

. Matriks

adalah

matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang berpadanan dengan

nilai eigen taknol dari matriks

T

dengan

=

, , … ,

= (

_√λ

,

_√λ

, … ,

� √λ�

).

(18)

8

dengan nilai eigen nol, maka bentuk dekomposisi nilai singular lengkap dari

matriks

�

_�

ialah

�

= �

�

U

�∗

L

∗

�

∗T

.

Matriks

∗

, �

∗

,

dan

�

∗

dapat dinyatakan dalam bentuk

U

∗

= [ ��

+

��…��

�

�]

�L

∗

= [

�

× −

�− × �− × −

]

�

∗

= [��

+

��…�� ]

di mana

merupakan matriks nol dengan dimensi yang telah disesuaikan.

Analisis Procrustes

Andaikan

Y

= [

� �

…

⋱

…

_�

]

adalah susunan dari

�

titik dalam

ruang Euclid berdimensi yang dapat dituliskan dalam matriks berukuran

� ×

=

(

Y

�

Y

�

Y

�

Y

��

)

di mana

Y

�

adalah vektor baris

Y

�

=

…

,

untuk

= , , … , �

dan matriks

X berukuran

� ×

adalah susunan dari n titik

dalam ruang Euclid berdimensi . Matriks Y akan dipasangkan dengan matriks X

dalam setiap baris. Diasumsikam bahwa X dan Y berdimensi sama sehingga

=

.

Jika

>

maka

−

kolom nol ditambahkan pada matriks Y sehingga kedua

matriks berada pada dimensi yang sama. Untuk mengukur perbedaan antara dua

atau lebih, maka didefinisikan jarak Procrustes

�

X

,

Y

= ∑ ∑(

−

)

=

�

=

= tr

X

−

Y

�

X

−

Y

,

di mana

tr

adalah teras matriks (Bakhtiar dan Siswadi 2011).

Secara geometris, ukuran Procrustes dapat dilakukan dengan cara melakukan

translasi, merotasi dan mendilasi matriks Y sehingga jumlah kuadrat jarak

�

X

,

Y

antara titik-titik matriks Y dengan titik-titik matriks X yang bersesuaian menjadi

minimum.

Translasi dalam analisis Procrustes adalah pergeseran semua unsur matriks

dengan jarak yang tetap dan arah yang sama dengan mengacu pada pusatnya.

Minimalisasi jarak antara X dan Y setelah translasi dengan menempatkan pusatnya

pada tempat asalnya. Jadi, matriks X dan Y setelah translasi yang optimal adalah

X

_�

=

X

−

C

dan

Y

_�

=

Y

−

C

, di mana

C

=

� � ��

X

dan

C

=

� � ��

Y

(19)

9

Rotasi adalah proses memindahkan setiap unsur matriks dengan sudut rotasi

yang tetap tanpa mengubah jarak titik dengan titik pusat. Rotasi

Y

_�

pada

X

_�

dilakukan dengan cara mengalikan

Y

_�

dengan matriks rotasi

Q. Jarak minimun

setelah rotasi didapat dengan memilih

Q

=

VU

�

, di mana

UΣ

�

adalah

dekomposisi nilai singular lengkap dari

�_�

Y

_�

. Jelas bahwa

Q adalah matriks

ortogonal, yaitu

Q

�

Q

=

QQ

�

=

I

.

Dilasi adalah meregangkan atau memampatkan suatu titik dari titik pusat

dengan mengalikan faktor penskala yang tetap. Dilasi

Y

_�

Q

pada

X

_�

dengan cara

mengalikan

Y

_�

Q

dengan skalar di mana

=

tr ��Y�Q�

tr _��Y�

yang meminimumkan

jarak antara

X

_�

dan

Y

_�

Q

setelah dilasi.

Transformasi dengan cara translasi-rotasi-dilasi memberikan kemungkinan

jarak terkecil, di mana jarak tersebut didefinisikan dengan

X

_�

,

Y

_�

Q

= tr

X

_�

−

Y

_�

Q

�

X

�

−

Y

�

Q

.

Ukuran Procrustes tersebut didefinisikan dengan

X

,

Y

= tr

X

_��

−

tr

��

Y

�

Q

tr�

��

Y

�

dengan X dan Y adalah matriks berukuran

� ×

(Bakhtiar dan Siswadi 2011).

Untuk mendapatkan ukuran Procrustes yang simetris, lakukan normalisasi

setelah ditranslasi. Urutan transformasinya menjadi

translasi-normalisasi-rotasi-dilasi. Ukuran Procrustes setelah transformasi ialah

X

,

Y

=

Y

,

X

= − (∑ �

=

) ,

di mana adalah pangkat dan

�

ialah nilai singular dari matriks

X

̅

�

�_�

Y

̅

_�

atau

Y

̅

�_�

X

̅

_�

dengan

X

̅

�

=

X

��an��

Y

̅

�

=

Y

�

di mana

≔ ‖

X

_�

‖

�

=

√tr�

�_�

X

_�

�

≔ ‖

Y

_�

‖

�

=

√tr�

�_�

Y

_�

�

dan

�

adalah nilai singular dari matriks

X

̅

�

�_�

Y

̅

_�

atau

Y

̅

�_�

X

̅

_�

(Bakhtiar dan Siswadi

2015).

METODE

Sumber Data

(20)

10

teritorial Laut Barents. Terdapat 30 jenis ikan yang setiap jenisnya mewakili satu

peubah. Data ini adalah data yang diunduh dari internet.

Proses Analisis Data

Pengurangan peubah dilakukan dengan tiga jenis analisis, yaitu analisis

korelasi kanonik, analisis komponen utama, dan analisis Procrustes. Proses analisis

data pada setiap metode adalah sebagai berikut:

Analisis korelasi kanonik

Terdapat dua cara mengurangi peubah dengan analisis korelasi kanonik.

Cara pertama ialah dengan mencari korelasi kanonik dari dua kelompok

peubah, dengan data kelompok kedua dikurangi satu peubah. Lakukan berulang kali

hingga semua peubah pernah dikurangi. Peubah yang dihilangkan ialah peubah

yang memberikan pengurangan korelasi kanonik pertama yang paling sedikit.

Setelah mengetahui peubah yang dihilangkan, tentukan korelasi kanonik dari

kelompok peubah yang baru. Ulangi langkah ini sampai nilai korelasi kanonik

berkurang cukup banyak dari korelasi kanonik semula.

Cara kedua ialah dari dua kelompok data dicari korelasi kanonik dan peubah

kanoniknya. Peubah kanonik yang dicari adalah kombinasi linear dari konstanta

dengan peubah pada kelompok yang ingin dikurangi peubahnya, dalam hal ini

adalah data kelompok dua dengan 30 peubah. Kombinasi linear tersebut didapat

dengan cara mencari vektor eigen yang bersesuaian dari nilai eigen terbesar dari

invers dari matriks koragam data kelompok dua dikalikan matriks koragam data

kelompok dua dengan kelompok satu dikalikan dengan matriks koragam data

kelompok satu dikalikan matriks koragam data kelompok satu dengan kelompok

dua. Nilai eigen dari matriks tersebut merupakan korelasi kanonik antar dua

kelompok peubah. Peubah dengan koefisien peubah dalam peubah kanonik yang

memunyai nilai paling dekat dengan nol adalah peubah yang dihilangkan. Setelah

menentukan peubah yang dihilangkan, tentukan kembali korelasi kanonik antara

kelompok satu dan kelompok dua dengan 29 peubah. Tentukan juga kombinasi

linearnya dan hilangkan peubah dengan koefisien peubah dalam peubah kanonik

paling dekat dengan nol. Ulangi tahap ini hingga korelasi kanonik berkurang cukup

banyak.

Analisis komponen utama

Terdapat matriks data dua kelompok. Kelompok pertama berdimensi

×

.

Kelompok kedua berdimensi

×

. Kedua kelompok data ini distandardisasi

agar tidak terdapat peubah yang mendominasi. Kedua kelompok data yang sudah

terstandardisasi ini dicari korelasinya dengan analisis korelasi kanonik. Terdapat

empat korelasi kanonik. Korelasi pertama merupakan korelasi terbesar pertama,

korelasi kedua merupakan korelasi terbesar kedua, korelasi ketiga merupakan

korelasi terbesar ketiga dan korelasi keempat merupakan korelasi terbesar keempat.

(21)

11

antara peubah asal ke- dengan komponen utama ke- . Peubah yang mempunyai

korelasi terbesar adalah peubah yang dihilangkan.

Setelah menghilangkan satu peubah, tentukan kembali korelasi kanonik dari

data kelompok pertama dan kelompok kedua. Jika selisih korelasi kanonik sebelum

dan sesudah pengurangan peubah tidak besar, lakukan pengurangan peubah

kembali dengan mencari komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen

terkecil dan tentukan kembali korelasinya. Proses analisis ini terus berlanjut hingga

nilai korelasi kanonik dari kedua kelompok peubah turun cukup jauh dari korelasi

kanonik dengan peubah lengkap .

Analisis Procrustes

Langkah pertama adalah menentukan korelasi kanonik data lengkap. Setelah

itu lakukan pengurangan peubah.

Pengurangan peubah diawali dengan melakukan konfigurasi matriks baru dari

data kelompok dua dengan salah satu setiap unsur kolomnya diubah menjadi nol.

Misalkan matriks pertama adalah matriks dengan unsur setiap kolom pertama nol

dan kolom lainnya merupakan data dari kelompok dua, matriks kedua adalah

matriks dengan semua unsur kolom kedua nol dan kolom lainnya tetap, seterusnya

sampai 30 peubah dengan 30 matriks baru. Setiap matriks baru ditentukan ukuran

Procrustesnya. Ukuran Procrustes menyatakan selisih jarak antara dua matriks.

Semakin kecil ukuran Procrustes, semakin kecil pula jaraknya. Peubah yang

dihilangkan ialah peubah yang memiliki ukuran Procrustes terkecil antara matriks

yang terkonfigurasi dari kolom setiap unsur peubahnya nol dengan matriks data asal.

Ukuran Procrustes yang kecil ini menyatakan peubah yang telah dibuat nol tidak

banyak berpengaruh terhadap jarak antar matriks konfigurasi dan matriks asal.

Setelah melakukan pengurangan peubah hitung kembali korelasi kanoniknya.

Jika korelasi tidak turun secara drastis, lakukan kembali pengurangan peubah

dengan cara yang sama. Matriks yang digunakan adalah matriks dengan 29 peubah.

Konfigurasi kembali matriks baru dan hitung ukuran Procrustesnya. Tahap ini

berlanjut hingga korelasi kanonik setelah peubah yang dihilangkan mengalami

banyak penurunan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

(22)

12

Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi Kanonik

Pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik secara langsung yaitu

dengan menghilangkan satu peubah, kemudian dicari korelasi kanoniknya.

Bandingkan korelasi kanonik dari semua peubah yang dihilangkan. Hilangkan

peubah yang memunyai korelasi yang berkurang paling sedikit. Nilai korelasi

kanonik dari metode ini terdapat pada Lampiran 7.

Nilai korelasi kanonik dari pengurangan peubah dengan analisis korelasi

kanonik secara langsung dan peubah yang dihilangkan terdapat pada Tabel 1.

Peubah pertama yang dihilangkan ialah

Hippoglossoides platessoides.

Korelasi

kanonik pertama setelah berkurangnya peubah ini ialah 0.9510 dan seterusnya.

Setelah menghilangkan 6 peubah, nilai korelasi kanoniknya kurang dari 0.9.

Agar penurunan terlihat lebih jelas, dapat dilihat grafik pada Gambar 1.

Korelasi kanonik turun sangat cepat, setelah berkurangnya tujuh peubah, nilai

korelasi kanonik pertama mempunyai selisih yang besar dari korelasi kanonik awal.

Metode ini kurang baik untuk mengurangi peubah dari data Laut Barents.

Tabel 1 Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis

Korelasi Kanonik Secara Langsung

Peubah yang

Dihilangkan

Korelasi

Kanonik

Pertama

Korelasi

Kanonik

Kedua

Korelasi

Kanonik

Ketiga

Korelasi

Kanonik

Keempat

0.9570

0.9024

0.8788

0.6633

Hi_pl (x4)

0.9510

0.9006

0.8774

0.6528

Ga_mo (x18)

0.9431

0.8978

0.8682

0.6415

An_mi (x3)

0.9298

0.8977

0.8682

0.6204

Me_ae (x6)

0.9210

0.8682

0.8639

0.6174

Se_me (x16)

0.9124

0.8640

0.8505

0.6093

Ra_ra(x7)

0.9006

0.8607

0.8358

0.5723

Ly_va (x27)

0.8855

0.8482

0.8109

0.5692

Re_hi (x1)

0.8676

0.8130

0.7884

0.5636

(23)

13

Untuk mengurangi peubah dengan analisis korelasi kanonik melalui peubah

kanonik, langkah awal yang dapat dilakukan ialah mencari korelasi kanonik dan

peubah kanonik yang bersesuaian. Korelasi kanonik yang menjadi acuan utama

adalah korelasi kanonik terbesar yaitu korelasi kanonik pertama. Nilai mutlak dari

peubah kanonik terlampir pada Lampiran 5.

Tabel 2 Koefisien Peubah dari Peubah Kanonik Pertama

Peubah

Re_hi

An_de

An_mi

Hi_pl

An_lu

Me_ae

Koefisien Peubah

Kanonik Pertama

0.0440

-0.0192

0.3425

0.0040

0.0625

0.0017

Peubah

Ra_ra

Mi_Po

Ar_at

No_rk

Lu_la

Ma_vi

Koefisien Peubah

Kanonik Pertama

0.0689

-2.9800

0.0142

-0.0056

0.1138

0.0033

Peubah

Bo_sa

Cy_lu

Cl_ha

Se_me

Le_de

Ga_mo

Koefisien Peubah

Kanonik Pertama

-0.0007

0.3908

0.0182

0.0014

-0.0187

0.0014

Peubah

Le_ma

Se_ma

Tr_es

Ly_pa

Ly_eu

Ly_re

Koefisien Peubah

Kanonik Pertama

0.0013

0.0445

0.0019

0.2093

-0.2237

0.0398

Gambar 1 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu

(24)

14

Peubah

Ly_se

Ly_es

Ly_va

Be_gl

Ca_re

Tr_sp

Koefisien Peubah

Kanonik Pertama

0.1784

0.5226

0.0392

-0.5218

0.1701

0.0054

Pada Tabel 2 dapat terlihat bahwa nilai mutlak dari koefisien dari peubah

kanonik yang minimum adalah

Boreogadus saida.

Jadi, calon peubah yang akan

dihilangkan adalah

Boreogadus saida.

Korelasi Kanonik setelah pengurangan satu

peubah tersebut adalah korelasi kanonik pertama 0.9569 korelasi kanonik kedua

0.9023 korelasi kanonik ketiga 0.8625, dan korelasi kanonik keempat 0.6610. Tidak

ada perbedaan yang besar antara korelasi kanonik sebelum pengurangan peubah

Korelasi Kanonik Melalui Peubah Kanonik

Peubah yang

Dihilangkan

Korelasi

Kanonik

Pertama

Korelasi

Kanonik Kedua

Korelasi

Kanonik

Ketiga

Korelasi

Kanonik

Keempat

0.9570

0.9024

0.8788

0.6633

Bo_sa (x13)

0.9569

0.9023

0.8625

0.6610

Tr_sp (x30)

0.9569

0.9019

0.8613

0.6586

Ga_mo (x18)

0.9503

0.8999

0.8543

0.6401

Mi_Po (x8)

0.9502

0.8999

0.8541

0.6324

Se_me (x16)

0.9444

0.8992

0.8330

0.6146

Ly_eu (x23)

0.9406

0.8967

0.8016

0.6146

Le_de (x17)

0.9406

0.8900

0.7934

0.5991

Ly_re (x24)

0.9406

0.8893

0.7934

0.5952

Me_ae (x6)

0.9344

0.8477

0.7909

0.5858

Cl_ha (x15)

0.9344

0.8452

0.7621

0.5852

Le_ma (x19)

0.9338

0.8449

0.7619

0.5814

Ar_at (x9)

0.9334

0.8449

0.7306

0.5760

Hi_pl (x4)

0.9117

0.8443

0.7093

0.5709

Ma_vi (x12)

0.8959

0.8436

0.6745

0.5564

An_de (x2)

0.8951

0.8431

0.5557

0.6745

Ly_va (x27)

0.8909

0.8005

0.6348

0.5502

Se_ma (x20)

0.8893

0.7511

0.5874

0.4570

Ly_pa (x22)

0.8892

0.7510

0.5775

0.4546

No_rk (x10)

0.8830

0.7446

0.4962

0.4511

Ca_re (x29)

0.8817

0.7237

0.4902

0.4433

Re_hi (x1)

0.8504

0.6937

0.4493

0.3195

(25)

15

dan korelasi kanonik setelah pengurangan peubah. Maka peubah

Boreogadus saida

dihilangkan.

Hal yang sama dilakukan untuk mengurangi peubah kedua. Data lengkap nilai

mutlak koefisien peubah kanonik terdapat pada Lampiran 5. Korelasi kanonik pada

pengurangan peubah dapat dilihat pada Tabel 3.

Baris pertama pada Tabel 3 adalah korelasi kanonik dengan peubah lengkap.

Baris kedua adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah

Boreogadus

saida

. Baris ketiga adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah

Boreogadus saida

dan

Triglops pingelii

. Baris keempat adalah korelasi kanonik

setelah mengurangi tiga peubah, yaitu

Boreogadus saida, Triglops pingelii

dan

Gadus morhua

. Seterusnya juga berlaku hingga baris ke-23 adalah korelasi kanonik

setelah mereduksi 22 peubah. Nilai mutlak dari peubah kanonik terdapat pada

Lampiran 5.

Agar lebih terlihat penurunan korelasi kanonik, maka disajikan dalam bentuk

grafik pada Gambar 2. Nilai korelasi pada korelasi kanonik pertama selalu turun,

namun tidak terlalu besar. Penurunan paling besar terjadi setelah mengurangi

peubah

Reinhardtius hippoglossoides

. Maka, pengurangan peubah dianggap cukup

hingga

Careproctus reinhardti

. Korelasi yang diamati adalah korelasi kanonik

pertama yang merupakan korelasi kanonik terbesar. Sebanyak 20 peubah dapat

dihilangkan dengan menggunakan peubah kanonik. Selisih korelasi kanonik

pertama setelah pengurangan 20 peubah dengan korelasi kanonik 1 data awal adalah

0.0753.

Pengurangan Peubah dengan Analisis Komponen Utama

Langkah awal mengurangi peubah dengan analisis komponen utama adalah

melakukan standardisasi terhadap matriks data dengan cara mengurangi data asal

dengan rata-rata dan membaginya dengan standar deviasi pada tiap kolom, lalu

dicari komponen utamanya. Komponen utama yang digunakan adalah yang

bersesuaian dengan nilai eigen terkecil. Komponen utama didapat dari vektor eigen

(26)

16

matriks koragam data kelompok dua yang telah distandardisasi. Komponen utama

dan nilai eigen yang bersesuaian terlampir pada Lampiran 3 dan Lampiran 4.

Untuk memilih peubah yang akan dihilangkan adalah dengan mencari

korelasi tiap peubah dengan komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen

terkecil. Peubah dengan korelasi terbesar dengan komponen utama yang

bersesuaian dengan nilai eigen terkecil adalah peubah yang akan dihilangkan.

Penurunan korelasi kanonik dapat terlihat pada Gambar 3. Setelah

berkurangnya peubah

Lycodes esmarkii

, terjadi penurunan yang cukup besar pada

korelasi kanonik pertama. Korelasi kanonik awal adalah sebesar 0.9570. Setelah

berkurang 23 peubah, korelasi kanonik pertama bernilai 0.8602. Terjadi penurunan

korelasi sebesar 0.0968. Penurunan korelasi ini cukup banyak dibandingkan dengan

menurunkan 22 peubah. Setelah peubah ke-22 dihilangkan, korelasi kanonik

pertama adalah sebesar 0.8889. Penurunan korelasi kanonik pertama adalah

sebanyak 0.0680. Berdasarkan hasil data, maka cukup memuaskan jika mengurangi

22 peubah.

Komponen Utama

Peubah yang

Dihilangkan

Korelasi

Kanonik

Pertama

Korelasi

Kanonik Kedua

Korelasi

Kanonik Ketiga

Korelasi Kanonik

Keempat

0.9570

0.9024

0.8788

0.6633

Tr_sp (x30)

0.9569

0.9022

0.8697

0.6629

Le_ma (x19)

0.9569

0.9022

0.8627

0.6585

Lu_la (x11)

0.9559

0.9004

0.8581

0.6573

Ga_mo (x18)

0.9484

0.8974

0.8471

0.6344

Se_ma (x20)

0.9426

0.8725

0.8369

0.6341

Le_de (x17)

0.9425

0.8657

0.8323

0.6206

Mi_Po (x8)

0.9424

0.8657

0.8323

0.6143

Ly_eu (x23)

0.9413

0.8652

0.8323

0.6142

Ly_re (x24)

0.9398

0.8648

0.8218

0.6142

Ra_ra(x7)

0.9387

0.8611

0.8210

0.5865

Ca_re (x29)

0.9365

0.8605

0.8018

0.5860

No_rk (x10)

0.9365

0.8592

0.8014

0.5780

Bo_sa (x13)

0.9362

0.8587

0.8014

0.5780

Ly_eu (x23)

0.9362

0.8587

0.8014

0.5768

Ly_va (x27)

0.9314

0.8493

0.8014

0.5735

Cl_ha (x15)

0.9307

0.8492

0.7838

0.5731

Se_me (x16)

0.9126

0.8437

0.7427

0.4551

Ar_at (x9)

0.9121

0.8437

0.6778

0.4550

An_de (x2)

0.9091

0.8436

0.6673

0.4524

Me_ae (x6)

0.9030

0.7657

0.6188

0.4459

Ma_vi (x12)

0.8931

0.7558

0.6102

0.4451

Tr_es (x21)

0.8889

0.7472

0.4457

0.3887

Ly_es (x26)

0.8602

0.7447

0.4156

0.3655

(27)

17

Tabel 4 menunjukkan nilai korelasi kanonik pertama, korelasi kanonik

kedua, korelasi kanonik ketiga dan korelasi kanonik keempat pengurangan peubah

dengan analisis komponen utama. Secara umum, keempat korelasi mengalami

penurunan setelah berkurangnya peubah satu per satu. Baris pertama adalah nilai

korelasi kanonik dengan peubah lengkap. Baris kedua adalah nilai korelasi kanonik

setelah berkurangnya satu peubah, baris ketiga adalah nilai korelasi setelah

berkurangnya dua peubah, dan seterusnya.

Pengurangan Peubah dengan Analisis Procrustes

Nilai korelasi kanonik pada setiap pengurangan peubah dan peubah-peubah

yang dihilangkan dapat diamati pada Tabel 5. Ukuran Procrustes terlampir pada

Lampiran 6.

Baris pertama adalah korelasi kanonik dengan peubah lengkap. Baris kedua

adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah

Lycodes esmarkii

. Baris

ketiga adalah korelasi kanonik setelah mengurangi peubah

Lycodes esmarkii

dan

Lycodes seminudus

. Baris keempat adalah korelasi kanonik setelah mengurangi tiga

peubah. yaitu

Lycodes esmarkii

,

Lycodes seminudus

dan

Benthosema glaciale

.

Seterusnya juga berlaku hingga baris ke-26 adalah korelasi kanonik setelah

mengurangi 25 peubah.

(28)

18

Agar lebih terlihat penurunan korelasi kanonik pertama, maka disajikan

dalam bentuk grafik pada Gambar 4. Penurunan korelasi paling besar terjadi saat

mengurangi

Hippoglossoides platessoides

dalam data sehingga

Hippoglossoides

platessoides

tidak dihilangkan hanya sampai

Mallotus villosus

. Selisih korelasi

kanonik pertama setelah mengurangi

Mallotus villosus

peubah adalah 0.0618.

Procrustes

Peubah yang

Dihilangkan

Korelasi

Kanonik

Pertama

Korelasi

Kanonik

Kedua

Korelasi

Kanonik

Ketiga

Korelasi

Kanonik

Keempat

0.9570

0.9024

0.8788

0.6633

Ly_es (x26)

0.9564

0.9021

0.8729

0.6512

Ly_se (x25)

0.9564

0.9009

0.8617

0.6486

Be_gl (x28)

0.9552

0.8995

0.8594

0.6454

An_lu (x5)

0.9552

0.8993

0.8189

0.5784

Ly_eu (x23)

0.9546

0.8986

0.8186

0.5780

Cy_lu (x14)

0.9515

0.8906

0.8185

0.5638

Ly_re (x24)

0.9513

0.8905

0.8123

0.5547

Ly_pa (x22)

0.9503

0.8898

0.8095

0.5543

An_mi (x3)

0.9439

0.8873

0.8091

0.5501

Lu_la (x11)

0.9429

0.8856

0.8088

0.5501

Ca_re (x29)

0.9389

0.8842

0.8064

0.5489

An_de (x2)

0.9388

0.8814

0.7993

0.5485

Ra_ra(x7)

0.9363

0.8768

0.7959

0.5080

No_rk (x10)

0.9363

0.8756

0.7957

0.4997

(29)

19

Peubah yang

Dihilangkan

Korelasi

Kanonik

Pertama

Korelasi

Kanonik

Kedua

Korelasi

Kanonik

Ketiga

Korelasi

Kanonik

Keempat

Re_hi (x1)

0.9319

0.8591

0.7504

0.4920

Ly_va (x27)

0.9190

0.8490

0.7504

0.4866

Re_hi (x1)

0.9319

0.8591

0.7504

0.4920

Le_de (x17)

0.9184

0.8457

0.7407

0.4850

Se_ma (x20)

0.9136

0.8023

0.6611

0.1855

Cl_ha (x15)

0.9132

0.7815

0.6464

0.1653

Ar_at (x9)

0.9059

0.7601

0.6463

0.1364

Tr_sp (x30)

0.9035

0.7586

0.6420

0.1357

Le_ma (x19)

0.9024

0.7407

0.6420

0.1354

Mi_Po (x8)

0.9024

0.7407

0.6381

0.1346

Ma_vi (x12)

0.8952

0.7403

0.6364

0.1218

Hi_pl (x4)

0.8319

0.6852

0.6142

0.0546

Eksplorasi Peubah Berdasarkan Pengurangan Peubah dengan Analisis

Korelasi Kanonik, Analisis Komponen Utama dan Analisis Procrustes

Gambar 5 menunjukkan penurunan korelasi kanonik pertama dengan semua

metode. Terlihat analisis yang paling banyak mengurangi peubah adalah dengan

analisis Procrustes yang mengurangi 24 peubah. Analisis komponen utama

mengurangi 22 peubah dan peubah kanonik mengurangi paling sedikit yaitu 20

peubah melalui peubah kanonik dan 8 peubah dengan cara langsung. Penurunan

(30)

20

korelasi kanonik paling sedikit adalah dengan analisis Procrustes dan yang paling

banyak adalah dengan analisis korelasi kanonik secara langsung.

Saat mengurangi satu peubah sampai 14 peubah, nilai korelasi kanonik

pertama pengurangan peubah dengan metode analisis korelasi kanonik melalui

peubah kanonik, analisis komponen utama dan analisis Procrustes tidak mengalami

banyak penurunan yaitu masih bernilai 0.93, tapi dengan analisis korelasi kanonik

secara langsung telah banyak menurunkan nilai korelasi kanonik pertama yang

hanya mengurangi 8 peubah, yaitu bernilai 0.86. Penurunan paling sedikit dengan

menggunakan analisis Procrustes sedangkan dengan analisis korelasi kanonik dan

analisis komponen utama tidak berbeda jauh. Saat mengurangi 15 peubah,

pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik mengalami banyak

penurunan, nilai korelasi kanoniknya sekitar 0.93, sedangkan dengan analisis

Procrustes dan analisis komponen utama hanya berkurang sedikit, nilai korelasi

kanoniknya sekitar 0.91. Saat mengurangi 16 peubah sampai 22 peubah, nilai

korelasi kanonik dari pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik sudah

tidak terlalu besar, yaitu bernilai sekitar 0.89, sedangkan dengan analisis komponen

utama dan analisis Procrustes masih bernilai sekitar 0.91. Pengurangan peubah

sebanyak 23 peubah dan 24 peubah dengan analisis korelasi kanonik sudah tidak

lebih dari 0.90, akan tetapi penurunannya tidak banyak. Namun dengan analisis

Procrustes masih di atas 0.90. Pengurangan peubah pada data Laut Barents

(Anonim 1997) paling baik dilakukan dengan analisis Procrustes seperti yang

disajikan pada Tabel 6.

SIMPULAN

Metode yang paling baik digunakan untuk pengurangan peubah pada data

Laut Barents (Anonim 1997) ialah dengan analisis Procrustes karena metode ini

Tabel 6 Nilai Korelasi Kanonik pada Pengurangan Peubah

Banyaknya

Peubah yang

dihilangkan

Nilai Korelasi

Kanonik

Setelah

Pengurangan

Peubah dengan

Analisis

Korelasi

Kanonik

Secara

Langsung

Nilai Korelasi

Kanonik

Setelah

Pengurangan

Peubah dengan

Analisis

Korelasi

Kanonik

Melalui

Peubah

Kanonik

Nilai Korelasi

Kanonik

Setelah

Pengurangan

Peubah dengan

Analisis

Komponen

Utama

Nilai Korelasi

Kanonik

Setelah

Pengurangan

Peubah dengan

Analisis

Procrustes

10

0.8187

0.9406

0.9503

17

-

0.8951

0.9314

22

-

0.8816

0.903

0.9059

25

-

0.8602

0.9023

(31)

21

paling banyak mengurangi peubah dan penurunan nilai korelasi kanonik pertama

juga yang paling sedikit. Yang kedua ialah dengan analisis komponen utama karena

peubah yang dihilangkan cukup banyak, namun nilai korelasi kanonik pertama

tidak lebih besar dari korelasi kanonik setelah pengurangan peubah dengan analisis

Procrustes. Analisis korelasi kanonik dengan pengurangan langsung peubah satu

per satu memberikan paling sedikit pengurangan peubah dan penurunan nilai

korelasi kanonik pertama cukup besar. Analisis korelasi kanonik melalui peubah

kanonik juga tidak banyak mengurangi peubah dibandingkan dengan analisis

komponen utama dan analisis Procrustes.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 1997. Multivariate Analysis of Ecological Data - Greenacre and

Primicerio

Barents

Fish

Data

Set.

[internet].

Tersedia

pada:

http://www.multivariatestatistics.org/data.html.

Bakhtiar T, Siswadi. 2011. Orthogonal Procrustes Analysis: Its Transformation

Arrangement and Minimal Distances.

IJAMAS

20:16-24.

Bakhtiar T, Siswadi. 2015. On the Symmetrical Property of Procrustes Measure of

Distance.

IJPAM.

99(3):315-324. doi:10.12732/ijpam.v99i3.7.

Hotelling H. 1936. Relations Between Two Sets of Variates.

Biometrika

. 28.

321-377.

Johnson RA, Wichern DW. 2007.

Applied Multivariate Statistical Analysis.

6

th

Ed.

New York: Pearson Education.

Jolliffe IT. 2002.

Principal Component Analysis.

2

nd

Ed. New York:

Springer-Verlag.

Leon SJ. 2001.

Aljabar Linear dan Aplikasinya

. Ed ke-5. Bondan A. penerjemah;

Hardani HW. editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:

Linear Algebra with

Applications

.

5

th

Ed.

Rencher AC, Christensen WF. 2012.

Methods of Multivariate Analysis

. 3

rd

Ed. New

York: John Wiley and Sons.

(32)

22

Lampiran 1 Data Lingkungan Laut Barents

Nomor Identitas

Wilayah

Garis Lintang

(y1)

Garis Bujur

(y2)

Kedalaman

(y3)

Suhu

(y4)

356

71.10

22.43

349

3.95

357

71.32

23.68

382

3.75

358

71.60

24.90

294

3.45

359

71.27

25.88

304

3.65

363

71.52

28.12

384

3.35

364

71.48

29.10

344

3.65

365

71.10

29.92

347

3.55

366

71.03

30.87

300

3.85

367

71.32

31.20

260

2.95

368

71.30

32.15

256

3.35

369

71.22

33.15

254

2.55

370

71.58

32.37

297

2.65

371

71.68

31.25

332

2.85

372

71.72

30.77

358

1.95

373

72.02

31.67

320

1.65

375

72.25

32.93

285

1.25

376

72.45

34.32

285

0.15

377

72.72

35.60

234

0.65

378

72.83

34.58

228

0.55

379

72.90

33.33

227

0.35

380

72.62

32.05

268

0.95

381

72.35

30.78

295

2.85

382

72.08

29.43

290

3.05

383

71.82

28.17

308

3.25

384

71.55

27.00

350

3.35

385

71.93

26.07

280

3.35

386

72.22

27.25

234

3.15

387

72.48

28.55

305

2.85

388

72.75

29.53

296

1.65

389

73.02

31.23

286

2.35

390

73.28

32.55

277

1.85

391

73.62

34.13

294

0.95

392

73.67

35.18

255

1.25

393

73.87

34.22

305

0.55

394

73.93

33.02

297

0.75

395

73.67

31.78

348

2.15

396

73.38

30.18

350

2.45

397

73.17

28.88

334

2.45

398

72.92

27.60

300

2.45

399

72.60

26.33

290

2.95

400

72.28

25.17

273

3.35

401

72.65

24.10

335

3.35

402

73.02

25.43

438

1.85

403

73.25

26.80

440

2.15

404

73.53

28.07

382

2.15

405

73.80

29.42

358

1.85

406

74.12

30.83

315

0.65

(33)

23

Nomor Identitas

Wilayah

Garis Lintang

(y1)

Garis Bujur

(y2)

Kedalaman

(y3)

Suhu

(y4)

409

74.33

32.15

225

0.35

410

74.75

31.25

300

1.35

411

75.08

31.43

347

0.55

412

75.40

31.85

306

0.75

413

75.72

32.10

311

1.15

414

75.93

33.42

272

0.35

415

75.73

32.55

306

0.55

416

75.47

30.50

375

1.05

417

75.82

30.77

327

0.95

418

75.62

29.10

317

0.95

419

75.62

28.05

256

0.35

420

75.18

27.63

278

0.55

428

75.22

29.05

342

0.85

429

75.12

30.33

380

1.25

430

74.80

30.00

384

1.05

431

74.48

29.78

373

1.15

432

74.17

29.48

372

1.65

439

74.18

28.28

394

1.85

440

74.53

28.50

395

1.35

441

74.85

28.77

362

0.85

442

74.92

27.35

324

1.05

443

74.62

26.17

332

1.15

444

74.58

27.23

379

1.05

445

74.25

27.00

408

1.45

446

73.90

26.97

415

1.55

447

73.60

25.67

439

1.85

448

73.32

24.28

398

2.05

449

73.03

23.02

399

1.85

450

73.02

21.92

434

2.05

451

73.08

20.95

455

1.65

453

74.27

23.98

370

1.45

454

73.95

22.15

474

1.55

455

73.67

20.63

486

1.65

456

73.70

19.65

362

1.65

457

73.75

18.55

263

1.55

458

74.07

17.30

209

1.85

459

74.33

16.87

215

2.35

460

73.12

18.52

420

2.05

461

73.12

19.70

432

1.85

462

70.83

21.32

167

4.45

(34)

24

Lampiran 2 Data Jenis Ikan di Laut Barents

Nomor Identitas

̅

∗_Wilayah _{Re_hi (x1)} _{An_de (x2)} _{An_mi (x3)} _{Hi_pl (x4)} _{An_lu (x5)} _{Me_ae (x6)} _{Ra_ra (x7)} _{Mi_po (x8)} _{Ar_at (x9) No_rk (x10)}

356 0 0 0 31 0 108 0 325 0 0

357 0 0 0 4 0 110 0 349 0 1

358 0 0 0 27 0 788 0 6 0 0

359 0 0 1 13 0 295 0 2 0 0

363 0 0 0 23 0 13 2 240 0 0

364 1 0 0 20 0 97 0 0 0 0

365 0 0 0 21 0 220 0 3 0 1

366 0 0 0 35 0 373 0 5 0 0

367 0 2 1 74 0 118 0 0 0 0

368 0 3 0 39 0 336 1 0 0 0

369 3 1 0 29 0 36 9 0 0 0

370 1 4 4 70 1 9 4 0 0 0

371 1 0 4 57 0 40 2 0 0 0

372 5 0 1 50 0 23 6 0 0 0

373 7 6 1 98 0 2 5 0 0 0

375 1 1 1 92 0 0 9 0 5 0

376 2 2 0 288 0 0 4 0 3 0

377 0 0 0 61 0 0 3 0 0 0

378 0 0 0 51 0 2 0 0 10 0

379 0 0 3 61 1 0 0 0 20 0

380 1 0 2 152 0 4 6 0 10 0

381 1 5 0 100 0 127 5 2 0 0

382 0 0 0 48 0 243 4 0 0 0

383 0 0 0 16 0 122 0 0 0 0

(35)

25

Nomor Identitas

Wilayah Re_hi (x1) An_de (x2) An_mi (x3) Hi_pl (x4) An_lu (x5) Me_ae (x6) Ra_ra (x7) Mi_po (x8) Ar_at (x9) No_rk (x10)

384 0 0 0 13 0 231 0 7 0 0

385 0 2 0 46 0 119 0 4 2 0

386 0 0 0 34 0 1179 0 1 0 0

387 1 0 2 47 0 112 4 8 0 0

388 2 0 2 133 0