Analisa Keandalan Terhadap Penurunan Pada Pondasi Jalur

ANALISA KEANDALAN TERHADAP PENURUNAN PADA PONDASI JALUR

A nwa r Ha ra ha p

Jurusa n Te knik Sip il USU

Abstrak: Perencanaan secara tradisional dari pondasi jalur (strip footing) untuk tanah berpasir diperoleh pertama sekali dari hasil percobaan pada sejumlah lokasi yang terbatas untuk memperoleh besar modulus elastis (contoh Cone Penetration / CPT ). Kemudian dari perencanaan diperoleh lebar pondasi

B

. Pada tanah yang nyata, tanah mungkin dapat ataupun tidak mewakili modulus elastis pada pondasi pada ruang yang bervariasi (spatial variability). Pada tulisan ini akan dibuat suatu perhitungan dengan metode Monte Carlo pada suatu massa tanah di ruang yang bervariasi. Hasil penurunan pondasi dibandingkan untuk penurunan yang dismulasikan dengan hasil aktual dengan menggunakan metode elemen hingga.

Kata kunci : Penurunan Pondasi, Pondasi Jalur, Keandalan, Ruang yang Bervarisi.

PENDAHULUAN

Pada tulisan ini akan disajikan, keandalan dari suatu pondasi dengan modulus elastis efektif pada ruang yang acak. Modulus efektif dapat menjadi modulus elastis lapangan pada penurunan konsolidasi.

Pada modulus elastis lapangan dimana

adalah posisi ruang. Poison rasio diasumsikan

konstan

~

)

(

x

E

_s

~

x

υ

=0.35. Suatu analisa dua dimensi dibuat di sini pada pondasi jalur dengan asumsi panjang ke luar bidang datar tak terhingga diabaikan, walaupun penurunan dari pondasi yang sebenarnya umumnya bergantung pada masing-masing dimensi pondasi yang direncanakan. Suatu pembagian (mesh) elemen hingga menunjukkan pondasi yang terletak pada tanah dengan modulus elastis lapangan acak, dimana daerah yang terang adalah dengan nilai yang

lebih rendah, seperti ditunjukkan pada gambar 1:

~

[image:1.595.77.268.583.656.2]

)

(

x

E

_s

Gambar 1. Pembagian elemen hingga yang terdeformasi dengan contoh modulus elasis lapangan

2. Metodologi Perencanaan Penurunan

Metode perencanaan adalah berdasarkan pada teori Janbu, dengan formula untuk penurunan pada

pondasi jalur

* 1 0. .

s E qB

μ

μ

δ

= (1)

Dimana

q

adalah tegangan vertikal (KN/m2)

B

adalah lebar pondasi.

* s

E

adalah beberapa pengukuran yang ekivalen dari modulus elastis tanah

0

μ

adalah faktor pengaruh untuk

kedalaman

D

dibawah permukaan tanah

1

μ

adalah faktor pengaruh untuk pondasi

dengan lebar

B

dan kedalaman lapisan tanah

H

Kasus utama dianggap bahwa pondasi terletak pada

permukaan lapisan tanah (

μ

0=1) dengan

kedalaman

H

=6m. Beban pondasi diasumsikan sebesar

P

= 1250 KN per meter panjang.

Dengan memasukkan harga maka persamaan 1

dapat dituliskan sebagai berikut :

P

* 1 0. .

s E

P

μ

μ

δ

= (2)

Karena tujuan dari penulisan sebagai perbandingan dengan penurunan pondasi pada teori Janbu, dengan analisa elemen hingga yang linier. Dengan menggunakan Modulus Elastis ruang yang konstan

=30 MPa untuk variasi rasio . Jadi di sini dapat dilihat , suatu garis lurus yang mendekati yang diperkirakan sebesar :

* s

E

H

/

B

) ln(

1

B H b a+

=

μ (3) dimana untuk kasus dengan anggapan Poison rasio =0.35, Garis yang cocok dan terbaik

mempunyai

a

=

0

.

4294

dan =0.5071, seperti

ditunjukkan pada gambar2. Persamaan penurunan dapat dituliskan sebagai berikut :

* 0[ ln( )].

s E

P B H b a+ =

μ

[image:2.595.66.265.87.254.2]

δ

(4)

Gambar 2. Pengaruh rasio H/B pada faktor pengaruh penurunan

1 μ

Kasus dimana diperkirakan dengan contoh tanah pada beberapa tempat untuk pondasi. Misalkan

* s

E

H

H

E

E

H

₂

+

E

H

E

n n

s

...

2 1

1

^

+

=

(5)

dimana

i

H

adalah tebal tanah dari ke i lapisan dan

H

adalah total tebal dari seluruh lapisan.

Pada tulisan ini lapisan dianggap tunggal, walaupun ruang yang bervariasi mungkin nampak pada lapisan., jadi itu diasumsikan bahwa n sampel akan diambil pada ruang yang sama diatas kedalaman

H

sepanjang garis vertikal di pusat dari pondasi. Pada kasus ini modulus elastis dapat ditulis menjadi rata-rata aritmetika sebagai berikut :

∑

₌

= n i

i E n E

1

^ ₁

(6)

Pengukuran kesalahan tidak dilakukan karena tujuan di sini adalah untuk meperkirakan penurunan pada kondisi yang bervariasi dengan pengamatan secara aktual (nyata) dari modulus elastis tanah pada beberapa titik.

Menggunakan elastis modulus yang diperkirakan, prediksi penurunan pondasi menurut metode Janbu menjadi :

] . ln

[ _^

0

s pred

E P B H b

a ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

μ

δ

(7)

Jika maksimum penurunan yang diijinkan adalah 40 mm untuk perencanaan , maka

m

maks pred

=

δ

=

0

.

04

δ

, persamaan 7 dapat

diselesaikan untuk memperoleh lebar pondasi

B

yang diperlukan sebagai berikut :

)} (

1 exp{

0 ^

a P

E b H

B= − s maks −

μ

δ

₍₈₎

Karena modulus elastis lapangan adalah acak

(random), dengan harga perkiraan acak maka ini berarti nilai

~

)

(

x

E

_s

s

E

^

B

acak.

Pekerjaan sekarang adalah untuk menaksir distribusi dari harga penurunan yang aktual pada tiap pondasi yang direncanakan. Jika persamaan prediksi akurat, maka diharapkan kira-kira 50% dari penurunan pondasi lapangan lebih dari

δ

_makssementara sisa yang 50% akan lebih kecil dari penurunan lapangan. Dengan catatan bahwa ini adalah masalah probabilitas, misalkan pada lapangan acak

telah dibuat sampel pada n titik untuk memperoleh

disain estimasi . Dengan memberikan harga estimasi ini, diperoleh

~

)

(

x

E

_s

s

E

^

B

dengan persamaan 8. Akan tetapi karena lapangan yang sebenarnya adalah ruang

yang bervariasi, mungkin dapat mewakili elastis modulus tanah yang sebenarnya jadi dibuat suatu probabilitas untuk memperoleh perkiraan penurunan yang sebenarnya.

s

E

^

3. Perkiraan probabilitas dari penurunan yang bervariasi.

Penurunan yang bervariasi akan diperkirakan dengan simulasi Monte Carlo. Detail dari model elemen hingga dan simulasi untuk lapangan yang acak dapat dibuat dengan membagi beberapa elemen.

Model elemen hingga adalah 60 elemen lebar dan 40 elemen dalam, dengan ukuran nominal elemen

y

x

=

Δ

Δ

=0.15 m, memberikan luas daerah tanah

9 m lebar dan 6 m dalam. Simulasi Monte Carlo mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :

1. Tentukan daerah acak dari modulus elastis rata-rata lokal menggunakan metode Local Average Subdivision (Sub pembagian lokal rata-rata) (Fenton.dan Vanmarcke)

2. Sampel acak pada lapangan secara virtual pada 4 elemen langsung di bawah pusat pondasi (pada kedalaman 0, H/3, 2H/3 dan H). Kemudian hitung

modulus elastis yang diestimasi , sebagai harga rata-rata aritmetika.

s

E

^

3. Hitung harga lebar pondasi yang diperlukan

B

dengan persamaan 8.

4. Atur masing-masing jumlah elemen

η

_Bterletak dibawah pondasi pada model elemen hingga dan lebar elemen,

Δ

x

seperti =

B

=

η

_B

Δ

x

. Catatan bahwa model elemen hingga mengasumsikan bahwa pondasi adalah jumlah bilangan bulat dari

elemen lebar. Karena

B

dihitung dengan

x

Δ

y

Δ

diperlukan. Harga nilai dari dikekang dan terletak antara (3/4)0.15 dan (4/3)0.15 untuk menghindari aspek rasio elemen yang berlebihan ( ditahan dengan jepit pada 0.15 m terhadap H = 6 m). Dengan catatan juga daerah acak digenerate lagi terhadap elemen-elemen yang diatur, jadi sedikit akurasi akan hilang terhadap statistik rata-rata lokal. Pada akhirnya harga sebenarnya dari

x

Δ

B

yang digunakan dikekang jadi pondasi kurang dari 4 elemen lebar atau kurang dari 48 elemen lebar keseluruhan.

5. Gunakan rumusan elemen hingga untuk

menghitung penurunan simulasi

δ

_sim.yang akan memberikan penurunan aktual pada modulus elastis lapangan yang bervariasi.

6. Ulangi langkah (1)

η

_sim sebanyak 100 kali untuk

memberikan 100 realisasi dari

δ

_sim.

Rangkaian realisasi dari

δ

_sim dapat dibuat analisa secara statistik untuk menentukan keadaan fungsi

densitas probabilitas (dikondisikan pada

E

s).

^

Modulus elastis lapangan diasumsikan menjadi distribusi secara log-normal dengan parameter.

) 1

ln( 2

2

ln +V

σ ES = ,

2 ln

2 1

σ

S

E

(9)

ln ln(μES) E μ ES = −

dimana

S

E

V

=

σ

/

μ

, adalah koefisien variasi.

Karena adalah distribusi secara log-normal

logaritmanya adalah distribusi normal, dan

dapat diperoleh daerah acak (random) Gauss melalui transformasi sebagai berikut :

)

(

~

x

E

_s

) (

~

x E_s

)}

(

exp{

~ ln

ln

G

x

E

(

)

E_S

~

x

s

=

μ

ES

+

σ

(10)

dimana

(

)

adalah rata-rata nol.

~

x

G

Persamaan Gauss yang diasumsikan mempunyai suatu korelasi Markov dengan fungsi korelasi sebagai

berikut : ( ) exp{− 2 } lnE

θ

τ

τ

ρ

= (11)

dimana

τ

adalah jarak antara 2 titik pada lapangan dan

θ

_lnEadalah skala fluktuasi didefinisikan sebagai

jarak pemisahan melewati 2 titik . Daerah

acak telah diasumsikan adalah isotropis pada tulisan awal.

)

~

x

(

E

_S

Simulasi dibentuk dengan modulus elastis statistik lapangan yang bervariasi. Modulus elastis ditetapkan pada 30 MPa, sementara koefisien variasi,

V

bervarisi dari 0.1 ke 1.0 dan skala fluktuasi,

E ln

θ

bervarisi dari 0.1 sampai 15.

4. Prediksi dari rata-rata dan varians penurunan

Secara hipotetis bahwa hubungan teori Janbu adalah cukup akurat, itu dapat digunakan untuk memprediksi penurunan yang aktual yang

disimulasikan (

δ

_sim) dengan menggunakan

persamaan 4.

* 0[ ln( )].

s

E P B H b a+

=μ δ

yang memprediksi

δ

_simuntuk tiap realisasi jika harga

dapat ditemukan.

* S

E

Satu kesulitan adalah bahwa harga

B

pada persamaan (4) juga diturunkan dari sampel modulus elastis lapangan yang acak. Ini berarti bahwa

δ

adalah fungsi baik dan , juga bahwa

adalah rata-rata geometrik lokal di atas persegi

ukuran acak

* S

E

E

s ^

* S

E

B

x

H

. Jika persamaan (8) disubstitusi ke dalam persamaan (4), maka

δ

dapat dinyatakan sebagai berikut :

max * ^

δ

δ

S S E E

= (12)

Karena adalah rata-rata geometrik , di atas

daerah acak dari ukuran pondasi

* S

E

B

x

H

dari lapangan acak yang terdistribusi secara log-normal dengan parameter.

S

E S B

E

E_[ln * _]=

μ

_ln

(13a)

2 ln *

)

,

(

]

[ln

S

E

S

B

B

H

E

Var

=

γ

σ

(13b)

dimana

γ

(

B

,

H

)

adalah fungsi varians (Van-Marcke, 1984) yang memberikan pengurangan pada varians terhadap rata-rata aritmetik lokal . Fungsi varians didefinisikan sebagai koefisien korelasi rata-rata setiap pasang titik di lapangan.

2

0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2

) (

) , ( )

, (

B H

dx dx dy dy y y x x H

B

B B H H

∫ ∫ ∫ ∫

− −

= ρ

γ

dimana, untuk fungsi korelasi isotropis dengan

anggapan ini,

ρ

(x,y)=

ρ

( x2 +y2)=

ρ

(

τ

) lihat persamaan (11)

Fungsi varians .

ditentukan secara numerik dengan menggunakan qudrature Gauss. Parameter distribusi yang tak terkondisi dari

ln

E

*diperoleh dengan mengambil ekspektasi dari persamaan (13) terhadap

S

B

:

S

S E

E

l

ln ln *

μ

μ

=

(14a) (14b)

2 ln 2

lnES'

[

(

,

)]

E_S

H

B

E

γ

σ

dimana pendekatan orde pertama dari

)] , ( [ B H

E

γ

adalah :

(

,

)

)]

,

(

[

B

H

H

E

γ

≅

γ

μ

_B (15)

Walaupun pendekatan orde kedua terhadap

)] , (

[ B H

Eγ diperlukan tetapi secara eksak tidak

dengan orde pertama. Jumlah acak (random) nampak pa berbeda jauh

da bagain kanan

dari persamaan (12) adalah

E

s, yang mempunyai

^

rata-rata dari n pengamatan adalah :

∑

₌

=

n

i i

s

E

n

E

1

^

1

dimana

E

_iadalah modulus elastis yang diamati. Itu kan

adalah

diasumsi bahwa contoh modulus elastis sampel didekati dengan ukuran elemen hingga yang sama (sebagai contoh pengukuran konus CPTdengan diameter konus 0.15). Dua bagian yang pertama dari

^ S

E

S S

E E

μ

μ

^

=

(16a)

2

1 1 2 2

) 1

(

S

S E

n

i n

j ij E

n

ρ

σ

σ

∑∑

= =

=

(

,

)

2 (16b)

S

E

H

x

σ

γ

Δ

≅

dimana

ρ

_ijadalah koe mpel

.

Jika kita dapat mengasumsikan bahwa adalah fisien korelasi antara sa

ke i dan j

^ S

E

g-akhir pendekatan secara terdistribusi lo normal dengan parameter diberikan pada persamaan (9)

kemudian

δ

pada persamaan (12) juga akan

terdistribus cara log-normal dengan parameter :

)

ln(

max '

ln

ln

μ

^

μ

δ

μ

δ

=

−

E

+

(17a)

i se

(17b)

ovarians dapat dituliskan sebagai berikut :

(18)

dimana

lnE_S S

) ln , [ln

2 *

^ '

ln 2 ln

2 ln

2 ^

S S S

E S

E − − Cov E E

=

σ

σ

σ

δ

suku k

=

)

ln

,

[ln

E

_S

E

_S

Cov

*

^

' ave S E S

E

σ

ρ

σ

_ln

.

ln

^

ave

ρ

adalah korelasi rata-rata antara setiap

titik pa ain yang didefinisikan dan domain

aka

da dom

E

_S

at

^

yang didefinisikan

E

*. Ini dapat diny n dengan bentuk integral dan diselesaikan secara numerik, tetapi pendekatan yang sederhana disarankan dengan mengamati bahwa ada beberapa jarak rata-rata antara sampel dan blok tanah di bawah pondasi

ave

S

τ

sedemikian sehingga

ρ

_ave

=

ρ

(

τ

_ave

)

. Untuk

s dengan H= 6 m, har didapat

dengan coba-coba (trial dan error) sebesar :

B ave

kasu ga yang terbaik

μ

τ

=

0

.

1

(19) Akhirnya dua hasil di atas bergantung pada lebar pondasi rata-rata

μ

_B. Ini dapat diperoleh dengan pendekatan berikut rtama gunakan logaritma dari persamaan 8 diperoleh :

. Pe

)} (

1 { ln ln

0 ^

~

a P

E b

H

B= − maks S −

μ

δ

₍₂₀₎

dengan 2 keadaan :

)} (

1 { ln

0 ^

~

ln a

P E b

H maks S

B = − −

μ

δ

μ

(21a)

S E B

P

b

^

2 2

. 0 max 2

ln

(

μ

)

σ

δ

σ

=

(21b)

dan karena B adalah non negatif, dapat diasumsikan pendekatan secara distribusi log-norrnal.menjadi

}

1

exp{

μ

σ

2

μ

≅

+

d

2

ln

lnB B B

Dengan hasil ini parameter ari penurunan yang terdistribusi secara log-normal dapat diestimasi dengan persamaan 17 yang memberikan modulus elastis lapangan

E

μ

,

σ

_E dan

ln *

S

E

θ

. Perbandingan penurunan yang diprediksi dan

ata-rata log-penurunan, seperti yang diprediksi pada

ambar 3. Perbandingan rata-rata penurunan 5

yang disimulasi.

R

gambar dengan persamaan 17a ditunjukkan pada gambar 3 dengan rata-rata sampel diperoleh dari hasi simulasi minimum (V= 0.1) dan maksimum (V=1.0). Untuk V kecil, hasilnya sangat baik. Untuk V yang lebih besar, maksimum kesalahan relatif kira-kira 7%, terjadi pada skala fluktuasi yang lebih kecil.

G

[image:4.595.70.525.89.776.2]

DAFTAR PUSTAKA Varians log-penurunan, seperti yang diprediksi pada

a

ambar 4. Perbandingan varians penurunan

ada gambar 5 probabilitas hasi yang diprediksi ksi pada

a

ambar 4. Perbandingan varians penurunan

ada gambar 5 probabilitas hasi yang diprediksi

ASCE (1994). Settlement Analysis, Technical Engineering and Design Guides, adapted from the US Army Corps of Engineers, No. 9. persamaan 17b ditunjukkan pada gambar 4dengan

sampel varians diperoleh dari hasil simulasi untuk tiga koefisien variasi yang berbeda,

V

.Secara keseluruhan varians yang diprediksi deng n yang disimulasi cukup baik.

persamaan 17b ditunjukkan pada gambar 4dengan sampel varians diperoleh dari hasil simulasi untuk tiga koefisien variasi yang berbeda,

V

.Secara keseluruhan varians yang diprediksi deng n yang

disimulasi cukup baik. Fenton, G.A. and Griffiths, D.V. (2002). _{“Probabilistic Foundation Settlement on} Spatially Random Soil,” ASCE J. Geotech. Geoenv. Eng., 128(5), 381–390.

Fenton, G.A. and Vanmarcke, E.H. (1990). “Simulation of Random Fields via Local Average Subdivision,” ASCE J. Engrg. Mech., 116(8), 1733–1749.

_{Fenton, G.A, Zhou Haiying , Jaksa B. Mark,}

Griffiths D. V. (2003). “Reliability analysis of a strip footing ”. Applications of Statistics and Probability in Civil Engineering, Millpress, Rotterdam.

Vanmarcke, E.H. (1984). Random Fields: Analysis and Synthesis, The MIT Press Cambridge, Massachusetts.

G G

yang diprediksi dan yang disimulas yang diprediksi dan yang disimulas

P P

dengan yang disimulasi menunjukkan bahwa penrunan yang berlebihan dengan beberapa dari

maks

dengan yang disimulasi menunjukkan bahwa penrunan yang berlebihan dengan beberapa dari

maks

δ

di atas semua harga

V

dan *

lnES

θ

.

ambar 5. Perbandingan probabilitas penurunan

KESIMPULAN

il pada gambar 5 menunjukkan bahwa p

G

yang diprediksi dan yang disimulas

Dari has

rediksi penurunan berdasarkan Janbu yang diberikan pada persamaan 1 mempunyai keandalan ketika digunakan dalam perencanaan.. Pada gambar 4 menunjukkan hasil yang baik kecuali pada varians maksimum yang terjadi pada kira-kira _ln

≅

1

S

E

θ

.

Jadi jika skala tidak diketahui akan kons a menggunakan _ln

≅

1

ervatif jik

S

E

[image:5.595.68.521.163.578.2]