MODEL FUNGSI TRANSFER MENGGUNAKAN KORELASI SILANG DAN PERAMALAN PADA VOLUME DAN NILAI IMPOR
PROVINSI LAMPUNG (Skripsi)
Oleh
Charissa Sudarisman
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
TRANSFER FUNCTION MODEL USING CROSS CORRELATION AND FORECASTING OF VOLUME AND VALUE OF IMPORT IN
LAMPUNG PROVINCE
By
CHARISSA SUDARISMAN
The purpose of this research is to determine the best transfer function model for forecasting of volume and value of import in Lampung Province. Transfer function model has assumption that the series data are stasionary and does not has feedback on cross correlation. To find the best transfer function model, first we check the stasionary data and white noise on the volume of import. Then the model parameters are estimated by cross correlation. And than we check autocorrelation residuals and cross correlation residuals to find diagnostic model. The best model is transfer function with numerator at lags 1 (s = 1) and noise model to follow moving average process orde 3 (MA(3)).
MODEL FUNGSI TRANSFER MENGGUNAKAN KORELASI SILANG DAN PERAMALAN PADA VOLUME DAN NILAI IMPOR
PROVINSI LAMPUNG
Oleh
Charissa Sudarisman
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 29 April 1993 sebagai putri kedua dari pasangan Bapak Sudarisman dan Ibu Klise Sunmadyanti Ningsih.
Penulis telah menyelesaikan pendidikan taman kanak-kanak di TK Fransiskus Tanjung Karang pada tahun 1999. Menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Al-Azhar I Bandar Lampung pada tahun 2005, pendidikan menengah pertama di SMP Negeri 4 Bandar Lampung pada tahun 2008, dan pendidikan menengah atas di SMA Al-Kautsar Bandar Lampung pada tahun 2011.
Pada tahun 2011, Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi Anggota Biro Dana dan Usaha Organisasi Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2012/2013 dan menjadi Anggota Bidang Eksternal Organisasi Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2013/2014.
PERSEMBAHAN
Satu persembahan kecil untuk kedua orang tua, Bapak Sudarisman dan Ibu Klise Sunmadyanti Ningsih
serta kakak dan adik,
MOTTO
Wahai manusia, sesungguhnya kamu bekerja keras dengan
sungguh-sungguh untuk menuju kepada Tuhanmu lalu kamu akan
menemui-Nya.
(QS Al Insyiqaq : 6)
Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan.
SANWACANA
Puji dan syukur terlimpah kepada Illahi Robbi, yang telah mencurahkan nikmat iman yang tak terkira harganya, nikmat sehat, dan kekuatan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Model Fungsi Transfer Menggunakan Korelasi Silang dan Peramalan pada Volume dan Nilai Impor Provinsi Lampung.”
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dan dukungan dari semua pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis ingin menyampaikan rasa hormat dan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku pembimbing I yang setia membimbing, memberikan arahan, ide, saran, kritik, dan dukungannya.
2. Ibu Widiarti, S.Si.,M.Si., selaku pembimbing II yang dengan sabar memberikan kesempatan bagi penulis untuk belajar lebih banyak selama proses pembuatan skripsi ini.
3. Bapak Warsono, Ph.D., selaku penguji, terima kasih atas kritik, saran, dan motivasinya.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bunda Lusiana yang telah membantu penulis dan memberikan doa.
7. Seluruh dosen, staf, serta karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
8. Ayah, Ibu, Eyang, Mba Ayu, Kak Medi, Saskia dan Yuman yang selalu memberikan semangat, doa dan kasih sayang.
9. Umi, Dhia, Udya, Gusti, Iril, Haidir, Joe, Mba Arista, Rika, Aras, Dina, Yuki, Alif dan Nunik yang selalu hadir memberikan keceriaan dalam suka duka penulis.
10. Semua rekan-rekan Jurusan Matematika FMIPA UNILA angkatan 2011. 11. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi.
Penulis mengharapkan kritik dan saran agar dapat lebih baik di masa mendatang dan semoga ini bermanfaat bagi penelitian dan pengembangan ilmu pengetahuan.
Bandar Lampung, Desember 2015 Penulis,
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR TABEL ... xv
I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakangdan Masalah ... 1
1.2. Batasan Masalah ... 3
1.3. Tujuan Penelitian ... 3
1.4. Manfaat Penelitian ... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Stasioner ... 5
2.2 Autokovarian dan Autokorelasi ... 6
2.2.1 Autokorelasi ... 7
2.2.2 Autokavarian ... 7
2.2.3 Koefisien Autokorelasi Parsial (PACF) ... 9
2.3 White Noise... 10
2.4 Model ARIMA ... 12
2.4.1 ProsesAutoregressive(AR) ... 12
2.4.2 ProsesMoving Average(MA)... 13
2.4.3 ProsesAutoregressive-Moving Average(ARMA(p,q)) 14 2.4.4 ProsesAutoregressive Intergrated Moving Average (ARIMA (p,d,q)) ... 14
2.5 Model Fungsi Transfer ... 15
2.5.1 Feedback... 17
2.5.2 Fungsi Korelasi Silang ... 18
2.5.3 Prewhitening... 19
2.6 ModelNoise... 20
2.8 Peramalan Model Fungsi Transfer ... 22
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 23
3.2 Data Penelitian... 23
3.3 Metode Penelitian... 24
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Fungsi Transfer ... 26
4.1.1 Prewhitening... 29
4.1.2 Fungsi Korelasi Silang MenggunakanPrewhitening... 30
4.1.3 ModelNoise... 32
4.2 Peramalan Model Fungsi Transfer Menggunakan Korelasi Silang pada Volume dan Nilai Impor Provinsi Lampung ... 34
4.2.1 Identifikasi dataTime Series... 34
4.2.2 Pendugaan Model untuk Volume Impor Provinsi Lampung ... 38
4.2.3 Identifikasi Model Fungsi Transfer Menggunakan Korelasi Silang danPrewhitening... 41
4.2.4 Pendugaan Model Fungsi Transfer ... 42
4.2.5 Diagnostik Model Fungsi Transfer ... 45
4.2.6 Peramalan Model Fungsi Transfer ... 47
V. KESIMPULAN……… 49
DAFTAR TABEL
Halaman 1. Tabel 4.1 PengujianDickey-Fullerpada Data Volume Impor Provinsi
Lampung ... 35 2. Tabel 4.2 PengujianDickey-Fullerpada Data Nilai Impor Provinsi
Lampung ... 36 3. Tabel 4.3 PengujianDickey-Fullerpada Data Nilai Impor Provinsi
Lampung setelahFirst Differencing... 36 4. Tabel 4.4 PengujianWhite Noisepada Volume Impor Provinsi
Lampung ... 38 5. Tabel 4.5 Output Pendugaan ModelAutoregressiveOrde 2 (AR(2)) . 40 6. Tabel 4.6 Output Pendugaan Model Fungsi Transfer (s= 1) ... 42 7. Tabel 4.7 Output Pendugaan Model Fungsi Transfer (s= 1) dan Model
Noise Moving AverageOrde 3 (MA(3)) ... 44 8. Tabel 4.8 Pengujian Autokorelasi Residual... 45 9. Tabel 4.9 Pengujian Korelasi Silang Residual... 46 10. Tabel 4.10 Peramalan Nilai Impor Provinsi Lampung Januari sampai
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1. Gambar 4.1Time SeriesPlot untuk Data Volume Impor Provinsi Lampung
Tahun 2007-2013 ... 34 2. Gambar 4.2Time SeriesPlot untuk Data Nilai Impor Provinsi Lampung
Tahun 2007-2013 ... 35 3. Gambar 4.3 Transformasi Box-Cox untuk Data Volume Impor Provinsi
Lampung ... 37 4. Gambar 4.4 Transformasi Box-Cox untuk Data Nilai Impor Provinsi
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Peramalan adalah suatu cara untuk memprediksi apa yang akan terjadi di masa yang
akan datang. Sebagian besar peramalan melibatkan penggunaan data time series.
Data time series umumnya dikumpulkan secara periodik berdasarkan urutan waktu
misalnya dalam jam, hari, minggu, bulan, kuartal dan tahun. Pada data time series
tidak hanya menggunakan satu variabel tetapi juga dapat menggunakan banyak
variabel. Salah satu model yang digunakan untuk peramalan data time series dengan
banyak variabel yaitu model multivariat. Model multivariat sendiri bisa dalam
bentuk analisis data bivariat (yaitu data dengan dua variabel) dan dalam bentuk data
multivariat (yaitu data dengan lebih dari dua variabel). Salah satu model multivariat
pada data bivariat adalah model fungsi transfer.
Model fungsi transfer merupakan salah satu model statistika yang menyatakan
bagaimana variabel dependen ( ) linier terhadap satu atau lebih variabel independen
( , , , ). Pada model fungsi transfer variabel input dan output merupakan data
time series. Identifikasi model merupakan langkah awal yang dilakukan dalam
2
menggunakan korelasi silang. Pada model fungsi transfer variabel input haruslah
terkendali. Tetapi pada beberapa kasus, variabel input biasanya tidak terkendali.
Untuk mengatasi masalah ini dilakukan prewhitening yaitu penghilangan seluruh
pola yang diketahui sehingga yang berpengaruh hanyalah galat acak.
Prewhitening dilakukan dengan membangun terlebih dahulu sebuah model
ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) terhadap variabel input.
Pendugaan model fungsi transfer dilakukan setelah identifikasi model. Pendugaan
model ini menghasilkan penduga bagi parameter yang akan diuji. Pengujian
kelayakan model dilakukan dengan menguji korelasi silang dan autokorelasi.
Setelah itu peramalan baru dapat dilakukan dan pada model fungsi transfer
peramalan nilai input digunakan untuk menghasilkan peramalan dari nilai output.
Peramalan merupakan masalah penting yang mencakup berbagai bidang termasuk
bisnis, pemerintah, ekonomi, ilmu lingkungan, kedokteran, ilmu sosial, politik,
dan keuangan. Alasan bahwa peramalan sangatlah penting yaitu prediksi kejadian
masa depan merupakan masukan penting bagi lembaga dalam perencanaan dan
proses pengambilan keputusan. Bidang ekonomi dan perdagangan luar negeri
merupakan salah satu bidang yang sering mengunakan peramalan dalam
pengambilan keputusan.
Perdagangan luar negeri terdiri dari ekspor dan impor barang-barang. Impor
merupakan proses memasukan barang atau komoditas dari negara lain ke dalam
3
yang meliputi seluruh area geografi Indonesia kecuali zona perdagangan bebas
dimana berlaku perdagangan luar negeri. Nilai impor dinyatakan dalam Dollar
Amerika (USD) dan mengacu pada nilai Cost Insurance and Freight (CIF).
Sedangkan volume impor dinyatakan dalam bentuk berat netto dalam satuan ton.
Berdasarkan uraian tersebut penulis tertarik untuk mengkaji model fungsi transfer
menggunakan korelasi silang dan menentukan prediksi kejadian masa depan pada
volume dan nilai impor di Provinsi Lampung.
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada model fungsi transfer
menggunakan korelasi silang dan aplikasi kejadian masa depan pada volume dan
nilai impor Provinsi Lampung tahun 2007-2013.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengkaji model fungsi transfer menggunakan model korelasi silang dan
prewhitening.
2. Menentukan tahapan-tahapan analisis time series pada model fungsi
transfer menggunakan korelasi silang.
3. Menetukan model fungsi transfer yang layak pada data volume dan nilai
4
4. Menggunakan model fungsi transfer untuk memprediksi kejadian masa
depan pada volume dan nilai impor Provinsi Lampung.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan bermanfaat sebagai bahan kajian di dalam mempelajari
peramalan menggunakan model fungsi transfer dan aplikasinya pada berbagai
bidang. Selain itu, hasil penelitian ini juga diharapkan dapat digunakan sebagai
masukan bagi pemerintahan di Provinsi Lampung dalam pengambilan keputusan
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Stasioner
Analisis ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) umumnya
mengasumsikan bahwa proses umum dari time series adalah stasioner. Tujuan
proses stasioner adalah rata-rata, varian dan autokorelasi dari time series nya
konstan terhadap waktu. Jika data time series tidak stasioner maka dapat
dilakukan modifikasi data menggunakan differencing dan transformasi untuk
menghasilkan data yang stasioner. Variabel dan adalah variabel independen
dan variabel dependen pada waktu t yang disebut stasioner jika masing-masing
variabel adalah proses stasioner univariat dan fungsi kovarian silang antara dan
, Cov ( , ) dalam selang waktu yang berbeda yaitu selang waktu t untuk
variabel input dan selang waktusuntuk variabel ouput (Wei, 2006).
Time seriesdikatakan stasioner rata-rata jika E( ) = = µ adalah konstan untuk
semuat. Jika data tidak stasioner terhadap waktu, dapat dilakukan modifikasi data
dengan differencing. merupakan original data time series setelah dilakukan
differencingyang didefinisikan dengan :
6
dimana adalah differencing. Penulisan lain untuk differencing disebut operator
backshiftyang didefinisikan dengan = jadi :
= (1 -B) = = - (2.2)
dengan = (1 -B). Jikadifferencingpertama tidak menghasilkantime seriesyang
stasioner maka dapat dilakukandifferencingkedua yaitu :
= = ( ) =(1 ) = (1–2B+ ) = - 2 +
(Montgomeryet al, 2008)
Transformasi data digunakan untuk menstabikan atau mendapatkan varian yang
konstan. Transformasi ini disebut transformasiBox-Coxyang didefinisikan oleh :
= (2.3)
Dengan adalah parameter transformasi Box-Cox dan adalah nilai time series
pada waktu ke-t. Jika nilai λ = 1 maka tidak ditransformasi atau telah stasioner.
Jika nilai λ = 0.5 (transformasi akar kuadrat), λ = 0 (log transformasi), λ = -0.5
(transformasi invers akar kuadrat) dan λ = 1 (transformasi invers) (Pankratz,
2002).
2.2 Autokovarian dan Autokorelasi
Fungsi autokovarian dan autokorelasi pada analisis time series dihasilkan dari
kovarian dan korelasi antara dan pada proses yang sama dan terpisah pada
7
2.2.1 Autokovarian
Kovarian antara dan nilai dari periode waktu disebut dengan autokovarian
di lagk. Autokovarian didefinisikan dengan :
= Cov( , ) = E[( )( )] (2.4)
Kumpulan dari nilai , = 1, 2, ... disebut dengan fungsi autokovarian. Jika
autokovarian dengan lag k = 0 maka = . Penduga fungsi autokovarian
didefinisikan oleh :
= = ( )( ) (2.5)
Dimana = penduga fungsi autokovarian
= nilai variabel y pada periode t
= nilai variabel y pada periode t+k
= nilai rata-rata variabel y
(Montgomeryet al, 2008)
2.2.2 Autokorelasi
Autokorelasi digunakan pada datatime seriesuntuk mengukur bagaimana nilai
saling berhubungan dengan nilai masa depan ( , , ) atau sama untuk nilai
masa lalu ( , , ). Bentuk autokorelasi pada time series dapat digunakan
8
Koefisien autokorelasi di lagkadalah :
= [( )( )]
[( ) ] [( ) ]=
( , )
( )
= (2.6)
Dengan = 0 dan kumpulan dari nilai ,k= 1, 2, ... disebut fungsi autokorelasi
(ACF).
Sampel autokorelasi yang merupakan penduga dari di definisikan dengan :
= ( )( )
( )
= (2.7)
Dimana = penduga dari
= nilai variabel y pada periode t
= nilai variabel y pada periode t+k
= nilai rata-rata variabel y
Tes signifikan untuk koefisien autokorelasi yaitu :
: = = ... = = 0
: ≠ 0, k = 1, 2, ..., K.
Dengan statistik uji :
t =( )
9
( )=(1 + 2 )
2.2.3 Koefisien Autokorelasi Parsial (PACF)
Autokorelasi parsial merupakan hubungan antara dan dengan
mengabaikan ketidakbebasan , , , . Autokorelasi parsial diperoleh
dari persamaan regresi yaitu :
= +
= + +
= + + ... + + (2.8)
Dengan : = parameter regresi ke-i, i = 1, 2, ..., k
= eror dengan rata-rata nol
(Wei, 2006)
Dari persamaan (2.8) dengan mengalikan kedua ruas dan dengan nilai harapan
nol, diperoleh :
= + + ... + (2.9)
dan
10
Untuk j = 1, 2, ..., k maka diperoleh persamaan Yule-Walker :
1
Dengan menggunakan aturan Cramer’s dengan k = 1, 2, ... diperoleh :
=
Dengan merupakan fungsi autokorelasi parsial (Box and Jenkins, 1976).
2.3White Noise
Proses stokastik adalah proses white noise jika E( ) = 0, Var( ) = dan Cov
11
Sehingga suatu proses disebutwhite noisedengan autokovarian :
= , = 0
0 , ≠ 0
Fungsi autokorelasi :
= 1 , = 0
0 , ≠ 0
Dan fungsi autokorelasi parsial :
= 1 , = 0
0 , ≠ 0
Statistik Q Box Pierce dikembangkan oleh Ljung Box dan digunakan untuk
mengetahui apakah autokorelasi residualnya berbeda nyata dari nol. Untuk
mengetahui apakah suatu deret memenuhi proses white noise maka dilakukan uji
dengan hipotesis :
: = = ... = = 0
:∃ ≠ 0, k = 1, 2, ..., K
Statistik uji : ∗= T(T + 2)∑ ( )
dengan T = banyaknya pengamatan
l = lag waktu
m = banyaknya lag yang diuji
( ) = koefisien autokorelasi pada periode-k
12
2.4 Model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)
Persamaan univariat model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)
menyatakan bagaimana sebuah nilai pada time series adalah linier terhadap nilai
masa lalu. Peramalan dapat dihasilkan dari model ARIMA yang layak untuk data
time series.
2.4.1 ProsesAutoregressive(AR)
Proses Autoregressive dikembangkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1976.
Proses ini mengasumsikan bahwa time series mempunyai rata-rata konstan dan
varian konstan untuk semua waktu, kondisi ini disebut stasioner. Model
Autoregressiveadalah model terbaik untuk peramalan dengan waktu yang pendek
(short-term forcasting). Sedangkan untuk peramalan dengan waktu yang cukup
panjang (long-term forcasting) menggunakan proses autoregressive tidak begitu
baik (Dickey, 1996).
Model Autoregressive dengan orde p dinotasikan dengan AR(p) yang
didefinisikan dengan :
= + + + …+ + (2.13)
Dimana = (1 - )µ
µ = parameter rata-rata
13
= nilaitime seriespada periode waktu sebelumnya.
=white noise
Persamaan (2.13) dapat ditulis dengan operatorbackshift( = ) yaitu :
(1 - + + + ) = +
=Ф ( )
Ф ( ) = + (2.14)
(Montgomeryet al, 2008)
2.4.2 ProsesMoving Average(MA)
Pada proses moving average (MA) nilai dari time series saling berhubungan
dengan eror dari periode waktu sebelumnya. Berbeda dengan proses
autoregressive, dimana nilai time series saling berhubungan dengan nilai time
seriesyang ada dari periode waktu sebelumnya (Dickey, 1996).
Model Moving Average dengan orde q dinotasikan dengan MA(q) yang
didefinisikan dengan :
= µ + - - - ... - (2.15)
Dimana µ = parameter konstan
= parametermoving averageordeq(MA(q))
14
= eror untuk periode waktu t.
Persamaan (2.15) dapat ditulis dengan operatorbackshift( = ) :
= µ + (1 - - - ... - )
= µ + (1–∑ )
= µ + Θ(B) (2.16)
Dimana Θ(B) = (1–∑ )
2.4.3 ProsesAutoregressive-Moving Average(ARMA(p,q))
Proses autoregressive-moving average(ARMA(p,q)) didefinisikan oleh :
= + + + …+ + - - ...
-= + ∑ + − ∑
=Ф ( ) =Θ(B)
Atau
Ф ( ) = + Θ(B) (2.17)
2.4.4 ProsesAutoregressive Integrated Moving Average(ARIMA(p,d,q))
Time series dikatakan proses autoregressive integrated moving average
(ARIMA(p,d,q)) jika time series nya tidak stasioner. Untuk mendapatkan time
15
(1 - B) atau differencing dengan order (d) yaitu = ( 1 − ) . Dan akan
menghasilkanautoregressive-moving average (ARMA(p,q)).
Sehingga proses ARIMA(p,d,q) dapat didefinisikan dengan :
Ф ( ) ( 1 − ) = + Θ(B) (2.18)
(Montgomeryet al, 2008)
2.5 Model Fungsi Transfer
Model fungsi transfer merupakan salah satu model statistika yang menyatakan
bagaimana variabel dependen ( ) linier terhadap satu atau lebih variabel
independen ( , , , …). Model ini menggunakan nilai yang diramalkan (variabel
independen) menghasilkan peramalan untuk variabel dependen. Model fungsi
transfer sederhana mengasumsikan bahwa sebuah hubungan linier antara variabel
independen dan variabel dependen, yaitu peramalan variabel independen pada t+1
menjelaskan prilaku variabel dependen pada t+1. Sedangkan model fungsi transfer
umum dikembangkan dari model transfer sederhana untuk menambahkan nilai
variabel independen sebelumnya pada model. Contohnya, model fungsi transfer
umum bisa menggunakan peramalan variabel independen di t+1 untuk
menjelaskan prilaku variabel independen di t+2. Model fungsi transfer umum
melibatkan waktu lag yang disebutdelay(Dickey, 1996).
Peramalan variabel independen dibutuhkan untuk peramalan variabel dependen,
dengan demikian sangatlah penting jika variabel X independen terhadap variabel
16
dimana dibutuhkannya peramalan X untuk peramalan Y dan peramalan Y untuk
peramalan X (Brocklebank and Dickey, 2003).
Model fungsi transfer didefinisikan dengan :
= (B) + (2.19)
Dimana = variabel dependen
= variabel independen
(B) =fungsi transfer ( (B) =∑ )
= modelnoise
Tujuan pemodelan fungsi transfer adalah untuk identifikasi dan pendugaan (B)
dannoise menggunakan informasi yang tersedia dari variabel dan . Tetapi
terdapat kendala karena variabel dan mempunyai angka yang terbatas
sedangkan fungsi transfer (B) mempunyai koefisien yang tidak terbatas.
Sehingga fungsi transfer (B)didefinisikan oleh :
(B) =∑ = ( )
( )
= …
…
Sehingga model fungsi transfer ditulis dengan :
= ( )
17
Dimana b adalah sebuah delay. Delay merupakan waktu yang berlalu sebelum
implus dari variabel independen yang menghasilkan efek terhadap variabel
dependen.
Penduga dari parameter ( ) dan ( ) adalah :
− − − …− = − , = + 1, …, +
0 , > +
Dengan = dan = 0 untukj < b(Montgomeryet al, 2008).
Dari model fungsi transfer untuk dan diasumsikan independen. Modelnoise
dapat ditulis dengan model ARIMA (p,d,q). Sehingga model fungsi transfer
dapat ditulis kembali dengan :
= ( )
pada hubungan variabel independen dan dependen. Dengan kata lain, tidak adanya
feedback antara variabel dependen untuk variabel independen. Salah satu tes
untuk pengujian exogeneity adalah Grenger Causality. Ketika dua time series
saling berhubungan, maka perlu diketahui bahwa X adalah exogenous pada Y
atauX haruslah independen terhadapY. Pengujian feedbackdapat juga diperoleh
18
yang signifikan pada lag negatif, artinya terdapat arah hubungan antaraexogenous
danendogenousatau adanyafeedback(Yaffee and McGee, 1999).
2.5.2 Fungsi Korelasi Silang
Fungsi kovarian silang untuktime seriesbivariat ( , ) didefinisikan dengan :
, ( , ) = Cov( , ) (2.22)
Diasumsi kan bahwa ( , ) adalah stasioner maka :
E( ) =μ , konstan untuk semuat
E( ) =μ , konstan untuk semuat
Cov( , ) = ( ), hanya padaj
Cov( , ) = ( ), hanya padaj
Cov( , ) = ( ), hanya padajdenganj= 0,± 1, ± 2, …
Fungsi korelasi silang didefinisikan oleh :
( ) = corr( , ) = ( )
( ) ( )
, untuk j= 0,± 1, ± 2, … (2.23)
Penduga kovarian silang didefinisikan oleh :
= ( ) = ∑ ( − ̅) ( − ) untukj= 0,1, 2, … (2.24)
19
Sampel korelasi silang diduga dengan :
( ) = ( ) = ( )
( ) ( )
, untuk j= 0,± 1, ± 2, …
( ) = ( ) (2.26)
Dimana ( 0) = ∑ ( − ̅) dan ( 0) = ∑ ( − )
(Montgomeryet al, 2008)
2.5.3Prewhitening
Filter prewhitening adalah sebuah invers transformasi antara variabel input dan
white noise. Jika terdapat autokorelasi pada variabel input maka dibutuhkan
prewhitening. Prewhitening juga digunakan untuk menghilangkan autokorelasi
pada saat fungsi korelasi silang. Dimana hubungan antaraprewhitenedoutput dan
prewhitnedinput adalah fungsi dinamis dari inputwhite noiseyang tidak memiliki
autokorelasi dalam fungsi korelasi silangnya (Yaffee and McGee, 1999).
Untuk model fungsi transfer, diberikan mengikuti model ARMA yaitu :
( ) ( 1 − ) = (B)
= (B)
= ( ) (B) (2.28)
Dimana adalah white noise dengan varian . Pada persamaan (2.28) notasi
20
white noise yang disebut prewhitening. Dengan menggunakan filterprewhitening
untuk model fungsi transfer maka diperoleh :
( ) (B) = ( ) (B) (B) + ( ) (B)
= = *
= (B) + * (2.29)
Penduga korelasi silang untuk ialah :
= ( ) (2.30)
Dengan = korelasi silang antaraprewhitening dan
j = lag waktu
= standar deviasi dariprewhitening
= standar deviasi dariprewhitening
(Montgomeryet al, 2008)
2.6 ModelNoise
Berdasarkan persamaan (2.23) model noise ditulis mengikuti model ARIMA
21
Penduga korelasi silang menggunakanprewhiteninguntuk modelnoiseadalah :
∗ ∗( ) =
( ) ∑ ( ) ( )
∑ ( ) (2.31)
(Box and Jenkins, 1976)
2.7 Diagnostik Model Fungsi Transfer
Dalam model fungsi transfer diperlukan pengujian kelayakan model sebelum
model digunakan untuk peramalan. Pengujian kelayakan model fungsi transfer
dilakukan pada residual dari model white noisedan residual dariprewhited
output.
1. Pengujian korelasi silang.
Kelayakan model diperoleh jika sampel fungsi korelasi silang ( )
antara tidak menunjukan bentuk. Test yang digunakan adalah :
= m(m + 2)∑ − ( )
Dimana mengikuti distribusi chi-square dengan (K + 1) – M derajat
kebebasan, dimana m = n + +1.
2. Pengujian autokorelasi.
Kelayakan model diperoleh jika residual pada ACF dan PACF tidak
menunjukan bentuk. Test yang digunakan adalah :
= m(m + 2)∑ ( − ) ( )
Dimana mengikuti distribusi chi-square dengan (K – p - q) derajat
22
2.8 Peramalan Model Fungsi Transfer
Minimum peramalan MSE (Mean Squared Error) pada model fungsi transfer
didefinisikan dengan :
=∑ * +∑ (2.32)
Dengan eror peramalannya adalah :
( ) = − ( )
=∑ * +∑ (2.33)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2015/2016, yang
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data volume
dan nilai impor di Provinsi Lampung tahun 2007-2013. Sumber data diperoleh
dari Badan Pusat Statistika Provinsi Lampung. Data volume dan nilai impor
dikumpulkan secara periodik berdasarkan bulan, yaitu dari bulan Januari sampai
bulan Desember. Pada penelitian ini, volume impor sebagai variabel independen
dan nilai impor sebagai variabel dependen. Sehingga terdapat 84 pengamatan
2
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengkaji model fungsi transfer menggunakan korelasi silang.
2. Menggunakan model fungsi transfer untuk memprediksi kejadian masa
depan pada volume dan nilai impor Provinsi Lampung.
a. Identifikasi datatime series.
i. Plottime seriesdan pengujian stasioner.
Pengujian stasioner terhadap mean menggunakandifference
dilakukan jika akar-akar unit nya lebih dari (taraf nyata).
Sedangkan pengujian stasioner terhadap varian menggunakan
transformasi dilakukan jika nilai lamda (λ)≠1.
ii. Pengujian autokorelasi untuk variabel independen.
Jika uji hipotesiswhite noiseditolak (p-value < 0.05) maka
mengindikasikan bahwa datatime seriestidakwhite noiseatau
terdapat autokorelasi.
b. Pendugaan model untuk variabel input.
c. Identifikasi model fungsi transfer menggunakan korelasi silang dan
prewhitening.
i. Pengujianfeedbackpada model fungsi transfer.
ii. Menentukan adanyadelay.
iii. Menentukan parameter numerator dan parameter denominator
25
d. Pendugaan model fungsi transfer.
e. Diagnostik model fungsi transfer.
f. Prediksi kejadian masa depan atau peramalan berdasarkan model
V. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan beberapa
hal sebagai berikut :
1. Tahapan membangun model fungsi transfer dengan menggunakan korelasi
silang dilakukan dengan tiga tahap strategi yaitu identifikasi model,
pendugaan model dan diagnostik atau kelayakan model. Model fungsi
transfer dapat digunakan untuk peramalan jika model tersebut telah layak
atau memadai.
2. Model fungsi transfer menggunakan korelasi silang perlu dilakukan
prewhitening jika terdapat autokorelasi atau white noise pada variabel
independen, agar memperoleh korelasi silang yang tidak memiliki
autokorelasi.
3. Model fungsi transfer menggunakan korelasi silang yang diperoleh dari data
volume dan nilai impor Provinsi Lampung yaitu :
= 0.65374 - 0.65762 + (1 - 0.42341 + 0.02164
✁0
4. Hasil peramalan dengan model fungsi transfer menggunakan korelasi
silang pada data nilai impor Provinsi Lampung tahun 2014 mengalami
peningkatan pada bulan Januari dan November dibandingkan dengan nilai
impor Provinsi Lampung pada tahun 2013 dan dibulan lainnya mengalami
penurunan. Sedangkan peramalan nilai impor Provinsi Lampung tahun
2015 mengalami peningkatan pada setiap bulannya, dibandingkan hasil
DAFTAR PUSTAKA
Box, G.E. dan Jenkins, G.M. 1976.Time Series Analysis Forecasting and
Control. Holden Day, Inc., California.
BPS, 2014. Lampung Dalam Angka 2014. Badan Pusat Statistik Provinsi
Lampung, Lampung.
Brocklebank, J.C. dan Dickey, D.A. 2003.SAS for Forecasting Time Series. SAS
Institute, Inc., USA.
Dickey, A. 1996.Forecasting Examples for Business and Economics using the
SAS. SAS Institute, Inc., USA.
Kirchgassner, G. dan Wolters, J. 2007.Introduction to Modern Time Series
Analysis. Pearson Education, Inc., Berlin.
Montgomery, D.C., Jennings, C.L. dan Kulahci, M. 2008.Introduction to Time
Series Analysis and Forecasting.John Wiley and Sons, Inc., New Jersey.
Pankratz, A. 2002.Forecasting with Dynamic Regression Models. John Wiley and
Sons, Inc., Canada.
Wei, W.S. 2006.Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods.
Yafee, R.A. dan McGee, M. 1999.Introduction to Time Series Analysis and
Forecasting with Applications with SAS and SPSS. Academic Press, Inc.
