Masalah Rank Matriks Dan Graph

(1)

TUGAS AKHIR II

MASALAH RANK MATRIKS DAN GRAPH

ABDUL FATHIR 020803041

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2008

(2)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ABDUL FATHIR 020803041

MEDAN 2008

(3)

PERSETUJUAN

Judul : MASALAH RANK MATRIKS DAN GRAPH

Kategori : SKRIPSI

Nama : ABDUL FATHIR

Nomor Induk Mahasiswa : 020803041

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan, Desember 2008

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Agus Salim Harahap, M.Si Dra, Mardiningsih, MSi

NIP. 131796149 NIP.131803344

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc NIP. 131796149

i

(4)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

ABDUL FATHIR 020803041

ii

(5)

PENGHARGAAN

Alhamdulillah, segala puji syukur kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan berbagai rahmat dan nikmat-Nya kepada seluruh makhluk hidup, sehingga saya dapat menyelesaikan skripsi ini dengan sebaik-baiknya.

Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus disele-saikan oleh seluruh mahasiswa/i Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Pada skripsi ini saya melakukan studi tentang ”Masalah Rank Matriks dan Graph”.

Dalam kesempatan ini, saya mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing I dan Ba-pak Drs. Agus Salim Harahap, M.Si selaku pembimbing II saya, karena mereka telah membimbing dan mengarahkan saya, kebaikan untuk meluangkan waktu, tenaga, pikiran dan bantuan motivasi buat saya sehingga skripsi saya ini dapat terselesaikan.

Saya juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Jurusan Dept. Matematika yang banyak membantu saya juga kepada para Pengajar Matematika di FMIPA USU yang banyak memberikan ilmu yang bermanfaat buat saya. Terakhir tak lupa teman-teman saya yang tidak bosan-bosan memberikan semangat pantang menyerah (Thank’s ya..). Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan yang jauh lebih baik dari Allah SWT.

Sebagai seorang mahasiswa saya menyadari bahwa masih banyak terdapat kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.

Medan, Desember 2008 Penulis,

Abdul Fathir

iii

(6)

ABSTRAK

Untuk menemukan matching maksimum pada graph tak berarah dapat diformu-lasikan sebagai masalah rank matriks. Matriks Tutte dipopulerkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph tak berarah, yang memiliki rank sama untuk bi-langan maksimum verteks penutup oleh matching. Matriks Tutte sendiri memi-liki entri-entri indeterminan.

iv

(7)

ABSTRACT

Finding the maximum size of a matching in an undirected graph and in a directed graph can be formulated as matrix rank problems. The Tutte matrix, introduced by Tutte as a representation of an undirected graph, has rank equal to the maximum number of vertices covered by a matching in the associated graph. The Tutte matrix have indeterminate entries.

v

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

BAB

1. PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang Masalah 1

1.2. Perumusan Masalah 3

1.3. Tujuan Penelitian 3

1.4. Manfaat Penelitian 3

1.5. Metode Penelitian 3

2. LANDASAN TEORI 4

2.1. Matriks 4

2.2. Vektor 5

2.3. Kombinasi Linier 6

2.4. Vektor-Vektor Bebas Linier 7

2.5. Dekomposisi Matriks 17

vi

(9)

2.6. Graph 22

3. HASIL DAN PEMBAHASAN 26

3.1. Formulasi Matriks 26

4. KESIMPULAN DAN SARAN 29

4.1. Saran 29

DAFTAR PUSTAKA 29

vii

(10)

DAFTAR GAMBAR

Gambar

2.1 Graph dengan 6 verteks dan 10 edge 23 2.2 Graph G1∪G2, Graph G1\G2, Graph G1∩G2 24

viii

(11)

ABSTRAK

iv

(12)

ABSTRACT

v

(13)

TUGAS AKHIR II

ABDUL FATHIR 020803041

MEDAN 2008

(14)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ABDUL FATHIR 020803041

DEPARTEMEN MATEMATIKA

MEDAN 2008

(15)

PERSETUJUAN

Judul : MASALAH RANK MATRIKS DAN GRAPH

Kategori : SKRIPSI

Nama : ABDUL FATHIR

Nomor Induk Mahasiswa : 020803041

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Agus Salim Harahap, M.Si Dra, Mardiningsih, MSi

NIP. 131796149 NIP.131803344

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc NIP. 131796149

i

(16)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

ABDUL FATHIR 020803041

ii

(17)

PENGHARGAAN

Alhamdulillah, segala puji syukur kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan berbagai rahmat dan nikmat-Nya kepada seluruh makhluk hidup, sehingga saya dapat menyelesaikan skripsi ini dengan sebaik-baiknya.

Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus disele-saikan oleh seluruh mahasiswa/i Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Pada skripsi ini saya melakukan studi tentang ”Masalah Rank Matriks dan Graph”.

Dalam kesempatan ini, saya mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing I dan Ba-pak Drs. Agus Salim Harahap, M.Si selaku pembimbing II saya, karena mereka telah membimbing dan mengarahkan saya, kebaikan untuk meluangkan waktu, tenaga, pikiran dan bantuan motivasi buat saya sehingga skripsi saya ini dapat terselesaikan.

Saya juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Jurusan Dept. Matematika yang banyak membantu saya juga kepada para Pengajar Matematika di FMIPA USU yang banyak memberikan ilmu yang bermanfaat buat saya. Terakhir tak lupa teman-teman saya yang tidak bosan-bosan memberikan semangat pantang menyerah (Thank’s ya..). Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan yang jauh lebih baik dari Allah SWT.

Sebagai seorang mahasiswa saya menyadari bahwa masih banyak terdapat kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.

Medan, Desember 2008 Penulis,

Abdul Fathir

iii

(18)

ABSTRAK

iv

(19)

ABSTRACT

v

(20)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

BAB

1. PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang Masalah 1

1.2. Perumusan Masalah 3

1.3. Tujuan Penelitian 3

1.4. Manfaat Penelitian 3

1.5. Metode Penelitian 3

2. LANDASAN TEORI 4

2.1. Matriks 4

2.2. Vektor 5

2.3. Kombinasi Linier 6

2.4. Vektor-Vektor Bebas Linier 7

2.5. Dekomposisi Matriks 17

vi

(21)

2.6. Graph 22

3. HASIL DAN PEMBAHASAN 26

3.1. Formulasi Matriks 26

4. KESIMPULAN DAN SARAN 29

4.1. Saran 29

DAFTAR PUSTAKA 29

vii

(22)

DAFTAR GAMBAR

Gambar

2.1 Graph dengan 6 verteks dan 10 edge 23 2.2 Graph G1∪G2, Graph G1\G2, Graph G1∩G2 24

viii

(23)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini, terkadang san-gatlah sulit untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang timbul dengan meng-gunakan konsep-konsep yang sudah ada. Untuk itu graph yang merupakan salah satu bagian ilmu matematika yang dapat digunakan untuk mencari solusi yang diharapkan.

MatriksTutte dikenalkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph den-gan edge yang tidak berarah. Besarnya verteks yang tertutup oleh match-ing maksimum pada graph tak berarah adalah sama dengan rank dari matriks Tutte. Gambaran mengenai matriks ada hubungannya terhadap struktur graph dan akan digambarkan dalam bab berikutnya, diperlukan aljabar linier untuk pengembangannya. Entri pada matriks Tutte adalah indeterminan (tak tentu) dan metode umum untuk mengevaluasi bentuk tak tentu tadi digambarkan dalam masalah rank matriks sedemikian sehingga evaluasi matriks memiliki rank sama sebagai korespondensi matriks tak tentu akan ditunjukkan dalam skripsi ini.

Misalnya untuk permasalahan graph maupun directed graph untuk menye-lesaikan aplikasinya terkadang sulit disemenye-lesaikan langsung melalui definisi atau diselesaikan dengan menggunakan matriks dan sifat-sifatnya. Karena graph atau digraph dapat disajikan sebagai matriks dan menurut Kerry Web untuk menen-tukan ukuran atau besarnya maksimum dari matching pada suatu graph tak berarah dapat diformulasikan sebagai masalah rank matriks. Sedangkan be-sarnya rank matriks bergantung pada entri-entri dari matriks tersebut, sehingga

(24)

2

dalam hal ini penulis tertarik untuk membahas sifat-sifat dari rank matriks atau rank dari submatriks, sehingga penulis tertarik membuat judul”Masalah Rank Matriks dan Graph”.

(25)

3

1.2 Perumusan Masalah

Mencari besarnya rank dari suatu matriks dan menuliskannya ke dalam graph.

1.3 Tujuan Penelitian

Mengkaji tentang besarnya rank suatu matriks, khususnya matriks dari suatu graph

1.4 Manfaat Penelitian

Selain untuk memperkaya literatur dalam bidang graph dan hasil penelitian ini juga dapat menambah wawasan terutama tentang perluasan matriks.

1.5 Metode Penelitian

Tulisan ini dibuat berdasarkan studi literatur dan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:

1. Memaparkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan rank matriks .

2. Memaparkan beberapa definisi dari graph

3. Mencari besarnya rank dari matriks

(26)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Matriks

Matriks adalah adalah suatu kumpulan elemen atau entri yang tersusun dalam suatu susunan persegi panjang atau bujur sangkar yang terdiri dari beberapa baris dan kolom, seperti bentuk



 

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n . . . . a_m1 a_m2 . . . amn



 

(2.1) atau disingkat dengan : (aij), i= 1,2,· · · , m j = 1,2,· · · , n (2.2) Matriks (2.1) disebut matriks tingkat m × n, atau disingkat matriks m × n, karena terdiri dari m baris dan n kolom. Setiap aij disebut entri(elemen) dari matriks itu, sedang indeksi dan j berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemenaij terdapat pada baris ke-i, kolom ke-j. Pasangan bilangan (m,n) disebut dimensi(ukuran atau bentuk) dari matriks itu.

Pada umumnya matriks disingkat dan dinyatakan dengan huruf besar, sedang entri-entri matriks dengan huruf kecil. Untuk membedakan matriks dit-ulis dengan: A1, A2,· · ·, An atau A, B,· · · , X, Y, Z.

Kejadian khusus dari persamaan (2.1)

1. Jika m = 1, matriks hanya terdiri dari satu baris yang disebut matriks baris atau vektor baris, misalnya:

A= (a11, a12,· · · , a1n)

(27)

5

2. Jika n = 1, matriks hanya terdiri dari satu kolom yang disebut dengan matriks kolom atau vektor kolom, misalnya:

   a11 a21 · · · am1   

3. Jika m = n matriks disebut kuadrat n ×n atau tingkat n. Dalam hal ini entri-entri aii, i = 1,2,· · · , n disebut entri-entri pada diagonal pokok. Jumlah entri-entri pada diagonal suatu matriks disebutTracedari matriks itu yang disingkat dengan Tr(A), jadi:

n

X

i=1

, aii=a11+a22+· · ·+ann

4. Setiap entri dari suatu matriks dapat dipandang sebagai matriks 1×1.

5. Jika entri-entri suatu matriks semuanya sama dengan nol, maka disebut matriks nol.

2.2 Vektor

Vektor dapatlah dipandang sebagai himpunan besaran-besaran dengan index yang jelas (untuk menunjukkan lokasinya dalam himpunan itu). Masing-masing besaran disebut elemen vektor tersebut. Misalnya, diberikan vektor ¯a. Elemen (pada lokasi) ke-i dari vektor ¯a dilambangkan oleh ai. Vektor ¯a dengan cacah elemen n buah ditulis lengkap sebagai deretan nilai ai, dengan i = 1,2, ..n, membentuk satu kolom seperti dibawah ini:

¯ a=    a1 a2 · · · an   

(28)

6

Vektor tersebut diatas ditulis ¯a = a1 , i ≡ 1,2, ..., n, dengan simbul ≡ dapat dibaca sebagai didefinisikan dengan. Jadi jika misalnya ai ∈ R, yaitu bahwa ai bernilai real, maka secara ringkas dapat ditulis pula ¯a ∈Rn_{. Dalam konteks ini} Rn _{adalah semesta angka real berdimensi} _n_{. Vektor ¯}_a _dengan _n _{= 1 tentulah} sama dengan besaran biasa. Jika n = 2, maka vektor tersebut ada dalam R2, ruang real berdimensi dua, dan oleh karena itu juga diwakili oleh sebuah titik dalam salib sumbu Kartesian tersebut. Hal yang sama berlaku untuk vektor dengan n = 3,4,· · ·

2.3 Kombinasi Linier

Jika ¯a = (a₁, a₂, a3) dinotasikan dengan ¯a =a₁¯i+a₂¯j+a₃k¯. Dalam hal ini kita sebut bahwa vektor ¯a dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari tiga vektor ¯i,¯j, dan ¯k. Secara umum, misalkan diketahui vektor ¯u₁,u¯₂,· · · ,u¯k dan vektor

¯

a disebut dengan kombinasi linier dari vektor - vektor ¯u₁,u¯₂,· · · ,u¯k jika ada bilangan s₁, s₂,· · · , sk sehingga berlaku

¯

a=s1u¯1+s2u¯2+· · ·+sku¯k.

Definisi ini berlaku untuk vektor di bidang maupun di ruang.

Contoh :

Diketahui vektor ¯u₁ = (2,−1,−3) dan ¯u₂ = (−1,5,−2). Jika mungkin, tuliskan vektor ¯b= (4,7,5) sebagai kombinasi linier dari vektor ¯u₁ dan ¯u2.

Jawab :

Untuk menuliskan vektor ¯b sebagai kombinasi linier dari vektor ¯u tersebut, kita cari x1 dan x2 sehingga

x1u¯1+x2u¯2 = ¯b atau x1

" ₂ −1

3

#

+x2

"₋₁

5 −2 # = "₄ 6 5 #

(29)

7

persamaan linier berikut

( ₂_x

1 − 1x2 = 4

−1x1 + 5x2 = 7 3x1 − 2x2 = 5 Matriks lengkap dari sistem persamaan linier ini adalah

" ₂ ₋_{1 4}

−1 5 7

3 −2 5

#

Dengan eliminasi Gauss, kita peroleh jawab sistem persamaan linier yaitux₁ = 3 dan x₂ = 2. Jadi vektor ¯b dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari vektor ¯u, yaitu ¯b= 3 ¯u₁+ 2 ¯u₂

2.4 Vektor-Vektor Bebas Linier

Diketahui vektor ¯u₁,u¯₂,· · ·,u¯k. Berhasil atau tidaknya suatu vektor ¯b ditulis sebagi kombinasi linier dari vektor ¯u berkaitan dengan konsistensi suatu sistem persamaan linier yang kolom dari matriks koefisiennya adalah vektor ¯u. Sekarang kita akan mencari syarat dari vektor ¯u1,u¯2,· · ·,u¯k sehingga penulisan ¯bsebagai kombinasi linier dari vektor ¯utersebut tunggal. Untuk itu kita misalkan ¯bdapat dituliskan sebagai

¯_b₌_s₁_u_¯₁₊_s₂_u_¯₂₊_{· · ·}₊_s_k_u_¯_k _dan ¯_b₌_t₁_u_¯₁₊_t₂_u_¯₂₊_{· · ·}₊_t_k_u_¯_k

atau

0 = (s1 −t1) ¯u1+· · ·+ (sk −tk) ¯uk

Jika penulisan kombinasi linier tersebut tunggal, ini berarti bahwa persamaan terakhir ini hanya dipenuhi oleh s₁ = t₁, s₂ = t₂,· · · , sk = tk. Kumpulan vek-tor yang bersifat seperti ini disebut kumpulan yang bebas linier yang secara resmi didefinisikan sebagai berikut: Kumpulan vektor {u¯₁, ,u¯₂,· · ·,u¯k} disebut kumpulan bebas linier jika persamaan

(30)

8

hanya dipenuhi oleh s1 = s2 = · · · =sk = 0 Sedangkan kumpulan vektor yang tidak bebas linier disebut kumpulan vektor yang bergantung linier.

2.4.1 Rank Matriks dan Matriks Nonsingular.

Rank dari sebuah matriks dapat didefinisikan dalam beberapa cara. Kita meng-gunakan definisi ini di mana dapat diuraikan ekuivalensi antara rank dengan baris atau kolom yang bebas linier. Rank matriks A adalah bilangan maksi-mum kolom-kolom bebas linier di A. Hal sama juga berlaku, yakni rank dari sebuah matriks adalah bilangan maksimum dari baris-baris bebas linier. Ma-triks A dikatakan mempunyai rank m jika ada suatu submatriks M(m × m) dari A sedemikian sehingga determinan dari M tidak berharga nol dan setiap determinan dari submatriks r×r (di mana r ≥ m+ 1) dari A berharga nol, misalnya

A =

2 −3 1 4

−1 0 −2 3

1 −1 1 −1

!

Dengan menghilangkan kolom ke-4 diperoleh submatriks A =

2 −3 1

−1 0 −2

1 −1 1

!

2 −3 1

−1 0 −2

1 −1 1

= 0

Tetapi jika kolom pertama dariA dihilangkan, maka diperoleh submatriks:

−3 1 4

0 −2 3

−1 1 −1

! −→

−3 1 4

0 −2 3

−1 1 −1

=−8 6= 0

Karena submatriks yang determinannya tidak nol ini berdimensi 3, maka rank dari A, ditulisr(A) = 3.

C=

2 0 0 0 3 0 0 0 4

!

; −→r(C) = 3

D =

1 3 3 1 4 3 1 3 4

!

; −→r(D) = 3

Matriks persegi yang determinannya tidak dengan nol dikatakan mempu-nyai rank atau matriks nonsingular. r(C) danr(D) mempunyai rank penuh atau

(31)

9

nonsingular.

Suatu matriks dikatakan singular jika nilai nilai determinannya sama den-gan nol. Jika suatu matriks bujur sangkar mempunyai determinan yang tidak nol, matriks tersebut disebut matriks nonsingular. Ketika suatu matriks sin-gular, maka berarti tidak semua baris atau tidak semua kolom matriks bebas antara satu dengan lainnya. Ketika matriks digunakan untuk merepresentasikan sekumpulan persamaan aljabar, kesin-gularan matriks berarti bahwa persamaan ini tidak bebas antara satu dengan lainnya.

Andaikan A = (aij) adalah sebuah matriks ukuran n ×m dengan baris R dan kolom C, jika X ⊆R lalu A[X;Y] menunjukkan submatriks A di mana menggunakan barisX dan kolom Y, komplemen dariX, R\X dinotasikan den-ganX danY =C\Y. Submatriks nonsingular A[X;Y] dikatakan maksimaljika untuk setiapx∈R dan y ∈Y submatriks terbesar A[X ∪x;Y ∪y] singular.

Pilihlah X ⊆R dan Y ⊆C sedemikian sehingga A[X;Y] adalah nonsin-gular. Sebagai contoh pilih X = Y = ∅. Ketika terdapat x ∈ X dan y ∈ Y sedemikian sehingga A[X ∪x;Y ∪ y] nonsingular , maka gantikan X dengan X∪ {x}dan Y dengan Y ∪ {y}.

Teorema 2.1 . Besar dari submatriks nonsingular maksimal A adalah sama dengan rankA

Bukti. Andaikan A[X;Y] menjadi submatriks nonsingular maksimal A. Jika X = R atau Y = C maka teorema jelas, jadi asumsikan X ⊂ R dan Y ⊂ C. Andaikan x∈ X y∈ Y, karena A[X ∪x;Y ∪y] adalah singular, baris x adalah ruang baris dari A[X;Y ∪y]. Ini benar untuk semua x ∈ X dan juga dengan mengambil perkalian yang cocok dari barisX, semua entri yang ada diA[X;Y∪y] dapat dieliminasi. Jika ˜A= ˜(aij) menunjukkan matriksAsetelah eliminasi Gauss

(32)

10

dari A[X;Y ∪y], lalu karena eliminasi Gauss tidak mempengaruhi rank, maka rank ˜A = rank A. Ada eksistensii ∈X dan j ∈ Y sedemikian sehingga(a˜ij) 6= 0, lalu

det ˜A[X ∪i;Y ∪j] = ±˜aij det A[X;Y]6= 0 ˜

A[X∪i;Y ∪j] adalah nonsingular, di mana ini adalah sebuah kontradiksi, sehingga (a˜ij) = 0 untuk setiapi∈X, j ∈Y¯ dan rank A = rank A[X;Y].

2.4.2 Submodular.

Submodular adalah himpunan dari semua himpunan bagian pada himpunan berhingga X (disebut dengan 2X). Fungsi f : 2X → A dikatakan submodu-lar jika memenuhi pertidaksamaan :

f(A) +f(B)≥f(A∩B) +f(A∪B)

di mana untuk setiap A, B,⊆ X

Teorema 2.2 . Rank pada himpunan kolom-kolom sebuah matriks adalah sub-modular.

Bukti. Andaikan M sebuah matriks dengan baris dan kolom masing-masing X dan Y dan A, B ⊆ Y. Andaikan Z sebuah himpunan maksimal dari kolom-kolom bebas linier diM[X;A∩B] dan berkisar dari Z ke ˜Z, di mana ˜Z adalah himpunan maksimal dari kolom-kolom bebas linier diM[X;A∪B]. Maka

rank (A∪B) = |Z˜|

= |Z˜∩A|+|Z˜∩B| − |Z˜∩(A∩B)|

= |Z˜∩A|+|Z˜∩B| − |Z˜|

- |Z˜∩A|+|Z˜∩B|- rank (A∩B)

(2.1)

˜

Z∩A dan ˜Z∩B adalah bebas linier, oleh karena itu

|Z˜∩A|+|Z˜∩B| ≤rankA+ rankB (2.2)

(33)

11

Himpunan semua matriks F ditunjukkan oleh MF. Fungsi f : MF → A

adalah submodular jika memenuhi pertidaksamaan:

f(A[X1;Y1]+f(A[X2;Y2])≥f(A[X1∩X2;Y1∪Y2])+f(A[X1∪X2;Y1∩Y2]) berlaku untuk setiap A ∈ M_F dan semua himpunan bagian baris-baris X₁, X₂ dari A dan semua himpunan bagian kolom-kolomY₁, Y₂ dari A.

Teorema 2.3 . Rank adalah submodular.

Bukti. Andaikan A = (aij) ∈ MF, di mana F adalah daerahnya. Andaikan X dan Y baris dan kolom dari A dan asumsikan X1, X2 ⊆ X dan Y1, Y2 ⊆ Y. Anggap

B =

I |A

di mana I adalah matriks identitas, dan X adalah indeks baris dan kolom I. Untuk setiapX′ ⊆X dan Y′⊆Y sehingga menjadikan persamaan :

rankA[X′;Y′] = rank B[X;Y′∪X′]

di dalam partikular

rank A[X1;Y1] = rank B[X;Y₁∪X1]−[ ¯X1] rank A[X2;Y2] = rank B[X;Y2∪X2]−[ ¯X2]

rank A[X₁∩X2;Y₁ ∪Y2] = rank B[X; (Y₁∪Y2)∪(X₁ ∪X₂)]− |X₁∪X₂|

rank A[X₁∪X2;Y₁ ∩Y2] = rank B[X; (Y₁∩Y2)∪(X₁ ∩X₂)]− |X₁∩X₂|

(2.3)

Dari teorema 2.2, ini berarti bahwa

rank B[X;Y1 ∪X1]+ rank B[X;Y2 ∪X2] ≥ rank B[X; (Y1 ∪X1)∪(Y2 ∪X2)] (2.4)

|X1|+|X2|=|X1∩X2|+|X1∪X2|dan (Y1∩Y2)∪(X1∪X2)⊆(Y1∪X1)∩(Y2∪X2)

(34)

12

Corollary 2.4 . JikaX adalah himpunan maksimal baris-baris bebas linier pada sebuah matriks A, dan Y adalah himpunan maksimal kolom-kolom bebas linier di A, maka A[X;Y] adalah nonsingular.

Bukti. AndaikanR menjadi himpunan untuk baris-baris diA danC himpunan kolom-kolomnya. Dengan submodular :

rankA[X;Y] + rankA≥rankA[X;C] + rankA[R;Y]

Karena X dan Y adalah himpunan bebas linier maksimal,

rankA[R;Y] = rankA[X;C] = rankA

Sehingga A[X;Y] memiliki rank yang penuh.

2.4.3 Matriks Simetris.

Matriks simetris adalah matriksA n×ndi mana matriksnya sama dengan trans-pose nya: A=AT_{. Matriks simetris miring(skew-symmetric) adalah negatif dari} transposenya: A=−AT_.

Jika A adalah matriks dengan baris dan kolom di V, dan X ⊆ V, ma-ka A[X;X] adalah submatriks principal dari A. Submatriks principal A[X;X] dinotasikan denganA[X].

Teorema 2.5 . JikaA adalah matriks skew-symmetric danX adalah himpunan maksimal baris-baris bebas linier A, maka A[X] adalah nonsingular.

Bukti. Dengan simetris, X juga adalah sebuah himpunan maksimal kolom-kolom bebas A. Teorema kemudian megikuti Corollary 2.4

Dengan catatan bahwa teorema 2.5 tidak dapat dijadikan pegangan pada saat A tidak simetris, hal ini ditunjukkan oleh baris pertama pada (0 1

0 2).

(35)

13

Corollary 2.6 . Submatriks nonsingular terbesar pada matriks simetris atau matriks skew-symmetric sama dengan rank dari matriks.

Bukti. Andaikan A sebuah matriks simetris atau skew-symmetric. Rank A adalah batas atas pada ukuran submatriks nonsingular. Dari teorema 2.5, ada sumatriks yang ukurannya sama untuk rank A.

Dua hal yang menjadi determinannya adalah detA[X]= detA[X]T _dan det (−A[X])= (−1)|X|_det _A_[_X_].

Corollary 2.7 . Matriks skew-symmetric memiliki rank genap.

Bukti. Jika A adalah skew-symmetric, maka A[X] = −A[X]T_{. Dari} perny-ataan di atas determinannya memenuhi bahwa submatriks principal nonsingular A harus memiliki ukuran lengkap. Hasilnya kemudian mengikuti aturan pada

corollary 2.6.

2.4.4 Nonsingular dari Jumlah Dua Matriks.

Andaikan A dan B matriks n×n, setiap kolom diA kecuali untuk satu adalah sama korespondensinya di kolom B. Andaikan C matriks n×n dengan kolom sama keA dan B, dan pada satu kolom terdapat perbedaan A dan B. Kolom korespondensi C adalah sama dengan jumlah kolom di A dan kolom di B. Se-bagai contoh, jika A= (v1 v2 a3 v4) dan B = (v1 v2 a3+b3 v4). Persamaan untuk

fungsi determinannya adalah

detA+ detB = detC

Indeks dari baris dan kolomAdanB adalahV ⊂Zdan untukX ={x1, ..., xk} ⊆ V dan Y ={y1, ..., yk} ⊆V, didefinisikan sign(X, Y) menjadi (−1)

k

i=1(xi+yi)

(36)

14

Teorema 2.8 . Jika A= (aij) dan B = (bij), di mana i, j ∈V, maka

det(A+B) = X

Y ⊆V

X

Y ⊆V

|Y|=|X|

sign(X, Y)detA[X;Y]detB[X;Y]

Bukti. UntukX ⊆V, definiisiCX _{= (}_Cij_{) ke}_V _×_V _{matriks, di mana}

cij =

aij,jikai∈X bij,jikai∈X

CX_[_X_;_V_{] =} _A_[_X_;_V_{] dan} _CX_{[ ¯}_X_;_V_{] =} _B_{[ ¯}_X_;_V_{]. Sedangkan penggunaan} deter-minan pada barisA+B sebagai berikut:

det (A+B) = P X⊆V

detCX ₍₂_.₅₎

UntukX, Y ⊆V, definisi DX,Y _{= (}_d

ij) menjadiV ×V matriks, di mana

dij =

( _a

ij, jikai∈X; danj ∈Y; bij, jikai∈X; danj ∈Y; 0, untuk yang lainnya.

MakaDX,Y_[_X_;_Y_{] =} _A_[_X_;_Y_{] dan}_DX,Y_[_X_;_Y_{] =}_B_[_X_;_Y_{]. semua entri-entri yang} lain dari DX,Y _{adalah nol, sehingga} _DX,Y _{adalah singular dan} _|_X_{| 6}₌_|_Y_|

penggunaan ulang dari determinan pada kolom CX _{diberikan sebagai} berikut :

detCX ₌ X

Y _⊆V

|X_|₌_|Y_|

detDX,Y

(2.6)

Pada saat|X|=|Y|, maka

det DX,Y =±detA[X;Y]detB[X;Y]

(2.7)

(37)

15

AndaikanX himpunan terbatas dan andaikan himpunan bagian X1, ..., Xk ⊆ X adalah disjoint dan tidak kosong. Jika X gabungan himpunan Xi, maka Π = X1, ..., Xk adalah partisi dariX. UntukX ={1, ...,2n}, andaikan P(2n) adalah himpunan partisiX yang saling berpasangan. Sebagai contoh,

P(4) ={{(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)}}

Untuk Π ={(i1, j1), ...(in, jn)} ∈ P(2n), definisi σΠ menurut permutasi :

σ_Π =

1 2 . . . 2n−1 2n i₁ j₁ . . . in jn

Tanda dari σΠ ditulis sign(Π). Permutasi i1 2 3 41 j1 i2 j2

dan 1 2 3 4 i2 j2 i1 j1

memiliki sign yang sama. Menukar perintah/aturan dalam matriks akan mempengaruhi fungsi sign oleh faktor -1: sign 1 2

i1 j1

= -sign 1 2 i1 j1

.

AndaikanA= (aij) matriks skew simetri 2n×2ndan andaikan Π∈ P(2n), definisi dari

a_Π= sign(Π)ai1j1. . . ainjn

Faktor -1 yang terjadi pada saat penukaran Π dalam pasangan (ik, jk) di cancel dengan -1 yang datang dari ajkik =−aikjk, sehingga aΠ terdefinisi dengan baik.

Pfaffian A didefinisikan sebagai :

pfA= X

Π∈ P(2n₎

a_Π Sebagai contoh, pf   

0 a₁₂ a₁₃ a₁₄

−a₁₂ 0 a₂₃ a₂₄

−a₁₃ −a₂₃ 0 a₃₄

−a₁₄ −a₂₄ −a₃₄ 0





=a12a34−a13a24+a14a23

JikaAadalahm×mdanmganjil, makaP(m) adalah kosong dan pfAidentitas 0. Menurut dua teorema hubungan Pfaffian A dengan determinan A akan di gambarkan sebagai berikut :

Teorema 2.9 (Cayley). Jika A adalah matriks skew-simetri, maka det A = (pf A)2

(38)

16

Teorema 2.10 . Jika A = (aij) adalah matriks skew-symmetric dengan baris dan kolom X, maka

n

X

i=2

(−1)1+ia1ipf A[X\(1∪i)]

(39)

17

2.5 Dekomposisi Matriks

Matriks dari M = (mij) dikatakan avoidable jika Baris atau kolomnya dapat dihilangkan tanpa merubah rank matriks M tersebut. Artinya baris avoidable merupakan kombinasi linier dengan baris lain diM.

Anggap baris dan kolom masing-masing X dan Y, di mana X dan Y adalah disjoint. Jika U ⊆X dan V ⊆Y, maka M\(U ∪V) merupakan matriks M dengan baris U dihilangkan dan kolom V dihilangkan adalah M\(U ∪V) = M[X\U;Y\V]. Jika y ∈ U ∪V dan y tidak avoidable, maka y unavoidable dan rank M\y = rank M −1. Ada dua kemungkinan berkenaan dengan him-punan avoidable M\y dibandingkan dengan himpunan di avoidable M: Baris atau kolom yang avoidable sebelumy dihilangkan akan masih avoidable setelah penghapusan y, dan oleh karena itu himpunan avoidable tidak berkurang, tetapi baris ataupun kolom yang unvoidable diM boleh menjadi avoidable di M\y.

Menurut dekomposisi matriksM dari Geelen : D(M) ={x∈X ∪Y : rankM\x= rankM}

A(M) ={x∈X ∪Y :D(M\x) =D(M)}

C(M) = (X ∪Y)\(D(M)∪A(M))

Baris-baris avoidable M dinotasikan dengan DR₍_M_{), dan} _DC₍_M_{) merupakan} kolom-kolom avoidable. Sama halnya dengan,

AR(M) =A(M)∩X AC(M) =A(M)∩X CR(M) =C(M)∩X CC(M) =C(M)∩Y

D, C dan A digunakan masing-masing untuk D(M), C(M) dan A(M). Rank

(40)

18

matriks

M =



 

0 0 1 1 0 0 −1 −1 0 0 2 3 1 5 0 −1



 

(3.1)

memiliki dekomposisi

Teorema 2.11 . Jika W adalah himpunan baris dan kolom dalam matriks M, maka

rankM ≤rank M\W +|W|

Lemma 2.12 . Jika x unavoidable di M, maka D(M) ⊆ D(M\x), lebih khususnya

(i) jika x∈A(M), maka D(M\x) =D(M)

(ii) jika x∈CR₍_M₎_{, maka D}R₍_M_{) =}_DR₍_M_\_x₎_{dan D}C₍_M₎_⊂_DC₍_M_\_x₎

(iii)∀x∈CR₍_M₎_{, terdapapat z}_∈_CC₍_M₎_{sedemikian sehingga z} _∈_DC₍_M_\_x₎_{dan x}_∈ DR₍_M_\_z₎

Bukti.(i) Ini adalah uraian dari definisiA.(ii) Andaikan x∈CR₍_M_{). Karena} _x unavoidable, penghilangan xtidak mengurangi himpunan avoidable. Lebih lan-jut, karenaxtidak diA, himpunan avoidable bertambah. Penghilangan baris un-avoidable tidak mempengaruhi baris un-avoidable, sehingga elemen baru un-avoidable menjadi sebuah kolom. (iii) Andaikan x ∈CR₍_M_{) dan} _z _∈ _DC₍_M_\_x₎_\_DC₍_M_). Jikax∈AC₍_M_{) maka}_x_{menjadi unavoidable di}_M_\_z_{, dan rank}_M_\{_{x, z}_}_{= rank} M −2. Ini kontradiksi, karena z ∈ D(M\x) menyatakan rank M\{x, z}=rank M\x=rank M −1, sehingga z ∈CC(M).

(41)

19

Teorema 2.13 (Geelen). Jika x∈A(M) maka D(M) =D(M\x)

C(M) =C(M\x), A(M\x=A(M\x)

Bukti. Lagi, himpunan avoidable tidaklah menukar definisi. Andaikan x ∈

A(M) dan andaikan y ∈ C(M). Oleh Lemma(iii) di atas terdapat z ∈ C(M) sedemikian sehingga z ∈ D(M\y) dan karena itu z ∈ D(M\(y ∪ x)). Oleh Lemma (i),z 6∈D(M\x) dan sehingga himpunan avoidable dariM\xtidak sama dengan himpunan avoidable dariM\{x, z}. Menggunakan (ii),y ∈C(M\x) dan sehingga pada saatx∈A(M), C(M)⊆M\x). Anggap keberadaanu∈A(M)\x sedemikian sehingga u 6∈ A(M\x). Oleh Lemma (i), u adalah unavoidable di M\x dan oleh karena itu u∈C(M\x) dan

rankM\{x, u}= rankM\x−1 = rankM −2

(3.2)

Oleh Lemma 3.2(iii),u ∈C(M\x) menunjukkan adanyav∈C(M\x) sedemikian sehingga v berada dalam himpunan avoidable M\{x, y}. Ini berarti

rankM\{x, v}= rank M\x−1 = rankM −2

(3.3)

rankM\{x, v, u}= rankM\{x, u}= rankM −2

(3.4)

Lebih lanjutnya, v∈C(M\x) berarti v6∈ D(M) dan karena D(M\u) =D(M), mengikutiv6∈D(M\u). Oleh karena itu

(42)

20

(3.5)

Dua dari x, u, v harus di kedua kolom dan baris, tetapi semua pilihan untuk pasangan yang berada pada baris dan kolom yang sama adalah kontradiksi. Sebagai contoh, anggap x dan v kedua-duanya baris. Dari persamaan (3.5), v adalah unavoidable diM\u, dan dari persamaan (3.4),v avoidable diM\{u, x}. Ini kontradiksi Lemma 3.2, dan oleh karena itu A(M)\x⊆A(M\x).

Dengan definisi, D(M) =D(M\x)∀x ∈ A(M), sehingga jika C(M)\x ⊆

C(M\x) dan A(M)\x =A(M\x).

Dengan adanya Teorema 3.3, dekomposisi dari matriks dapat dihubungkan kepa-da ranknya.

Teorema 2.14 (Geelen). Jika M adalah matriks dengan dekomposisi D,C,A, maka

rank M =|A|+|CR|+rank M[DR;DC ∪CC]

Bukti. Dari lemma 3.3, elemenA yang dihilangkan dari M, dekomposisi yang tertinggal adalah sama. Oleh sebab itu pada saat elemen dari A dihilangkan, rank berkurang.

rankM =|A|+ rankM[DR∪CR;DC ∪CC]

(3.6)

HimpunanC dan D untuk M[DR_∪_CR_;_DC _∪_CC_{] adalah sama sebagai} _C _dan D untukM, dan rank berkurang. Oleh Lemma 3.2(ii), penghilangan baris dari C tidak mempengaruhi baris bergantung linier, sehingga

rankM[DR∪CR;DC ∪CC] = |CR|+ rankM[DR;DC ∪CC]

(3.7)

(43)

21

Corollary 2.15 . Setiap baris dan kolom M[DR_;_DC _∪_CC_] _{adalah avoidable.}

Bukti. Anggap M[DR;DC ∪CC] mempunyai kolom y. Karena semua kolom dari A telah dihilangkan, y∈ C(M[DR;DC ∪CC]). Dari Lemma 3.2, ada baris di C(M[DR;DC ∪ CC]). Akan tetapi, oleh Teorema 3.3, semua baris pada M[DR;DC ∪CC] avoidable, sehingga M[DR;DC ∪CC] tidak memiliki kolom

unavoidable.

(44)

22

Satu metode untuk menemukan evaluasi yang optimal adalah dengan menggunakan evaluasi acak, di mana indeterminan dipilih dari himpunan terbe-sar. dimulai dengan evaluasi arbitrasi, dan menggantikan harga indeterminan. Jika evaluasi tidak optimal, maka penukaran yang bertambah atau meningkat adalah sebuah perbaikan. Sebagai contoh biparti graph G memiliki matching sempurna. Dari Corollary 2.14, biparti matriks Tutte untukGadalah nonsingu-lar, tetapi evaluasi pada (4.12) adalah nonsingular

T =



 

zea zeb zec 0 zf a 0 0 zf d zga 0 0 zgd 0 zhb zhc zhc



 ,

2.6 Graph

Suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri atas dua himpunan, yakni

1. Himpunan berhingga tak kosong V. Unsur dari V disebut verteks dari G.

2. HimpunanEyang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut dari unsur-unsur diV. Unsur dari E disebut edge dari G.

Graph G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E dinotasikan den-gan G(V, E). Andaikan vi dan vj adalah dua verteks pada G. Suatu edge

{vi, vj} atau juga dapat dinotasikan dengan vi − vj adalah suatu edge di G yang menghubungkan vi dan vj. Untuk selanjutnya akan dipergunakan notasi vi−vj. Dua buah verteksvi danvj dikatakanadjacentjikavi−vj adalah sebuah edge e di G dan verteks vi dan vj incedent dengan edge e. Degree dari suatu verteksvi adalah banyaknya edge yang incedent dengan verteks vi tersebut dan dinotasikan dengand(vi)

(45)

23

Sesuai dengan namanya, suatu graph biasanya direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks pada graph tersebut direpresentasikan sebagai suatu titik atau lingkaran kecil dan setiap edgevi−vj yang terdapat dalam graph itu direpresentasikan sebagai suatu garis atau kurva dari vi kevj. Representasi grafis graph pada Contoh 1 diperlihatkan pada gambar berikut ini.

t v1 t v₂ t v5 t v3 ❅ ❅ ❅ ❅ _t v₄

[image:45.612.210.421.212.327.2]

tv6 ❅ ❅ ❅ ❅ ✫✪ ✬✩

Gambar 2.1 : Graph dengan 6 verteks dan 10 edge

Andaikan G1(V₁, E₁) danG₂(V₂, E2) adalah suatu graph. Gabungan dari dua buah graph G₁ dan G₂ adalah gabungan dari himpunan verteks V₁ dan V2, dan juga gabungan himpunan edge di E₁ dan E2, dan dinotasikan dengan G₁∪G₂ = (V₁∪V₂, E₁∪E2). Irisan dari dua buah graphG₁ dan G₂ adalah irisan dari himpunan verteksV₁ danV2, dan juga irisan himpunan edge diE₁ dan E2, dan dinotasikan denganG₁∩G₂ = (V₁∩V₂, E₁∩E2). Selisih dari graph G₁ dan G₂ dinotasikan denganG₁−G₂ atauG₁\G₂ diperoleh dengan membuang semua verteks di V₁ ∩V₂ dan edge yang incedent dengan verteks tersebut. Berikut ini diberikan contoh dari gabungan, irisan, dan selisih dari dua buah graph.

Contoh 2 : Andaikan graph G1 adalah graph dengan himpunan verteks V1 =

{v1, v2, v3, v4, v5}dan himpunan edgeE1 ={v1−v2, v2−v3, v2−v4, v3−v5, v4−v5}, dan graph G2 adalah graph dengan himpunan verteks V2 = {v3, v4, v5, v6} dan himpunan edge E2 ={v3−v4, v3−v5, v4−v6, v5−v6}. Graph G1 ∪G2 adalah graph dengan himpunan verteks V1 ∪V2 = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} dan himpunan edgeE1∪E2 ={v1−v2, v2−v3, v2−v4, v3−v5, v4−v5, v3−v4, v4−v6, v5−v6}. Graph G1 ∩G2 adalah graph dengan himpunan verteksV1 ∩V2 = {v3, v4, v5,}

(46)

24

dan himpunan edge E1∩E2 = {v3 −v5}. Graph G1 \G2 adalah graph dengan himpunan verteks V1 \V2 = {v1, v2} dan himpunan edge E1 \E2 = {v1 −v2}. Berikut ini diberikan representasi dari graph pada Contoh 2.

t t t t t t t t t ❍ ❍ ❍ ❍

v1 _v₂

v₃ v₅

v4 G1 ✜✜ ✜✜ ✜✜ ❭ ❭ v4 v6 v₅ v₃ G2 t t t t t t ❍ ❍ ❍ ❍ ❅ ❅

v1 _v₂

v₃ v₅

v4

v6

G1∪G2

t t ❍ ❍ ❍ ❍

v1 _v₂

G₁\G₂ t t

tv4

v₅ v₃

[image:46.612.164.489.160.351.2]

G1∩G2

Gambar 2.2 : Graph G1∪G2, Graph G1 \G2, Graph G1∩G2

Andaikan u,v ∈ V. Suatu walk dari u ke v dinotasikan dengan uv-walk atau wuv (untuk selanjutnya dipakai notasi wuv) adalah barisan verteks-verteks, u=v0, v1, . . . , vj−1, vj =vdan edge yang berhubungan,u−v1, v1−v2, . . . , vn−1−v yang disusun secara berselang-seling yang diawali dengan verteksudan diakhiri dengan verteks v. Secara umum suatu walk dari verteks u ke v dinotasikan sebagai

u=v0−v1−v2− · · · −vj−1−vj =v

(47)

25

Perhatikan graph pada Gambar 2.1 . Berikut ini diperlihatkan contoh dari walk, trail, path, cycle dan juga loop.

1. Barisan v1 −v2 −v3 −v5 − v2 −v4 −v5 −v2 adalah walk wv1v2 dengan

panjang 7. Walk ini bukan suatu trail karena ada edge yang sama yaitu edge v5−v2.

2. Barisan v₁ −v₂ −v₅ −v₃ −v₂ −v₄ −v₆ adalah suatu v₁v6-trail dengan panjang 6. Trail ini bukan suatu path karena ada verteks yang berulang yaitu verteksv2.

3. Barisan v₁−v₂−v₅−v₄ adalah suatu path pv1v4 dengan panjang 3.

4. Barisan v₁−v₃−v₅−v₂−v₁ adalah suatu cycle dengan panjang 5.

5. Barisan v6−v6 adalah suatu loop.

Selanjutnya akan diberikan suatu teorema yang menjamin bahwa setiap walk mengandung suatu path.

Teorema 2.16 Andaikan G adalah sebuah graph. Setiap walk wuv di G men-gandung suatu pathpuv.

Bukti : Andaikan W adalah suatu walk wuv dalam bentuk

u=v0−v1− · · · −vi−vi+1· · · −vj−vj+1− · · · −vk−vk+1− · · · −vm =v

Jika walk W tidak ada menggunakan suatu verteks lebih dari sekali maka walk ini adalah suatu path.

(48)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Formulasi Matriks

Matriks adjency A = (aij) dan matriks insiden b= (bij) adalah dua cara untuk mempresentasikan graph G = (V, E) melalui sebuah matriks. Pada matriks adjency, baris dan kolom ditunjuk melalui verteks G, dengan aij= 1, verteks i saling adjacent ke verteks j, dan aij = 0 untuk yang lain. Matriks insiden memiliki baris di V dan indeks kolom di E dan terdefinisi oleh bij = 1 jika verteks i insiden dengan edge j dan bij = 0 untuk yang lain. Masalah teori graph dapat diformulasikan ke dalam batas-batas gambaran matriks dari graph. Entriijth _dari_Ak _{adalah angka banyaknya walk, dengan length}_k _{antara verteks} i dan verteks j. Himpunan edge di G berisi sebuah sirkuit jika dan hanya jika korespondensi kolomB independen atas F2.

3.1.1 Matriks Tutte.

Matching pada sebuah graph G = (V, E) adalah himpunan bagian M dari E sedemikian sehingga setiap v ∈V adalah insident dengan satu edge di M. Jika M adalah matching danv∈V insident pada sebuah edge diM, makav disebut M −cover. Sebuah verteks yang mana bukan M-cover disebut M −expose. Matching maksimum pada cover G adalah bilangan maksimum verteksnya, dan bilangan karena hilangnya verteks oleh matching maksimum disebut deficiency G, ditulis def(G). Besarnya cover verteks pada matching maksimum adalah

|V| −def(G).

(49)

27

baris-baris dan kolom-kolomnya diV , dan

tij =

±zij, jikaij ∈E; 0, untuk yang lainnya.

AndaikanG memiliki verteks ganjil, makaG tidak bisa memiliki matching sem-purna. Dari Corollary diketahui bahwa matriks skew-symmetric T adalah sin-gular pada saat n ganjil.

Teorema 3.1 (Tutte).Jika G=(V,E) adalah graph dengan matriks Tutte T, maka G memiliki matching sempurna jika dan hanya jika T adalah nonsingular.

Anggap saja A ⊆ E, subgraph G yang himpunan verteks dan himpunan edgenya berakhir diAdan ditulisG[A]. SubgraphG[E\A] ditulisG\Adan pada saat A={e}, kita tulisG\a untuk G\{a}.

Begitupun jika X ⊆ V, maka G[X] menunjukkan subgraph dengan him-punan vertex X dan himhim-punan edge semuae∈ E sedemikian sehingga e ada di X. Subgraph G[V\X] dapat ditunjukkan dengan G\X, dan pada saat X ={v}

kita tulisG\v untuk G{v}.

Corollary 3.2 . Jika T adalah matriks Tutte untuk graph G=(V,E), dan X ⊆

V, maka G[X] memiliki matching sempurna jika dan hanya jika T[X] adalah nonsingular.

Bukti. Ini mengikuti teorema 2.11

Corollary 3.3 . Jika T adalah matriks Tutte untuk graph G=(V,E), maka rank T=|V| −def(G)

(50)

28

AndaikanG= (V, E) adalah sebuah graph bipartisi dengan verteks partisi V = (V1, V2). Jika T matriks Tutte untuk Gdan A =T[V1;V2] maka

T =

0 A

−AT ₀

Sehingga

Corollary 3.4 . Jika G = (V, E) adalah biparti graph dengan biparti matriks Tutte T, maka rank T adalah bilangan edge dalam matching maksimum G.

Bukti. Rank dari biparti matriks Tutte adalah setengah dari rank matriks Tutte. Oleh Corollary 2.13, ini sama dengan setengah bilangan verteks penutup matching maksimum diG, yang mana sama dengan bilangan edge pada matching

maksimum.

(51)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

1. Matriks persegi yang determinannya tidak nol dikatakan mempunyai rank penuh atau matriks itu nonsingular

2. Besar dari submatriks nonsingular maksimalA adalah sama dengan rank A

3. Jika T adalah matriks Tutte untuk graph G=(V,E), danX ⊆V, maka G[X] memiliki matching sempurna jika dan hanya jika T[X] adalah nonsingular.

4.1 Saran

(52)

30

DAFTAR PUSTAKA

[1] J. A. Bondy and U. S. R. Murty.,1976, Graph Theory with Applications, MacMillan.

[2] S. Chaiken and D. J. Chaiken., 1978, J. Combinatorial Theory Ser. A. Jhon Wiley & Sons, Inc., New york.

[3] F. Barahona and W. R. Pulleyblank.,1987.,Exact arborescences, matchings and cycles. Discrete Appl. Math.,16(2):91-99.

[4] Fraleigh, John B., 1967, A First Course in Abstract Algebra. Addison -Wesley Publishing Company.

[5] Brualdi, R. A dan Ryser, H. J. 1991. Combinatorial Matrix Theory. Cam-bridge: Cambridge University Press.