PENENTUAN RUTE TERPENDEK PENDISTRIBUSIAN MINUMAN RINGAN DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA HEURISTIK PADA PT. INDOMARCO PRISMATAMA TANJUNG MORAWA.

(1)

Oleh: Wahyuni NIM 4122230009 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

(2)

(3)

iii

PENENTUAN RUTE TERPENDEK PENDISTRIBUSIAN MINUMAN RINGAN DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA HEURISTK PADA

PT. INDOMARCO PRISMATAMA TANJUNG MORAWA

Oleh Wahyuni (4122230009)

ABSTRAK

Travelling Salesman Problem (TSP) merupakan permasalahan pedagang keliling dalam mencari lintasan terpendek dari semua kota yang dikunjunginya, dengan syarat kota tersebut hanya boleh dikunjungi satu kali. Ada beberapa algoritma yang bisa menyelesaikan TSP ini, yaitu Algoritma Brute Force, Branch and Bound, Greedy, dan Heuristik. Algoritma Heuristik merupakan salah satu algoritma alternatif yang dapat digunakan sebab prosesnya cepat dalam memberikan hasil yang diinginkan dari permasalahan Travelling Salesman Problem (TSP). Pada PT.Indomarco Prismatama penyusunan rute pendistribusiannya masih belum tetap sehingga dapat berubah sewaktu - waktu dan dapat menjadi masalah yang bisa berdampak pada ketidaktepatan waktu pendistribusian. Tulisan ini bertujuan untuk menentukan rute terpendek pendistribusian minuman ringan (softdrink) dengan menggunakan algoritma Heuristik dengan variabel jarak dan waktu. Panjang jarak yang biasa dilalui oleh salesman yaitu 72 km dan dari pengolahan data yang diperoleh di PT. Indomarco Prismatama dengan menggunakan algoritma heuristik didapat rute terpendeknya yaitu 68,3 km. Penghematan jarak yang didapat adalah 5,13 % dari rute yang biasa dilalui oleh salesman. Waktu tempuh minimal yang diperoleh salesman dari rute yang biasa dilaluinya adalah 184 menit dan dari pengolahan data dengan menggunakan Algoritma Heuristik diperoleh 158 menit, penghematan waktu tempuh yang didapat dengan Algoritma Heuristik adalah sebesar 14,1%.

(4)

iv

KATA PENGANTAR

Pertama sekali penulis mengucapkan puji dan Syukur Alhamdulillah ke

hadirat Allah Subhanawata’ala Tuhan yang Maha Esa atas Rahmat, Hidayah dan

Inayah-Nya sehingga skripsi yang berjudul ”Penentuan Rute Terpendek Pendistribusian Minuman Ringan Dengan Menggunakan Algoritma Heuristik Pada PT. Indomarco Prismatama Tanjung Morawa” dapat diselesaikan dengan segala keterbatasannya. Selanjutnya salawat dan salam disampaikan ke hadirat Nabi Muhammad SAW, sebagai Rasul pilihan dengan harapan semoga kita mendapat syafaat-Nya di hari kemudian.

Penulis menyadari skripsi ini tidak akan terwujud tanpa bantuan dari berbagai pihak disebabkan berbagai kelemahan yang penulis miliki, oleh sebab itu pada kesempatan ini penulis tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M. Pd, selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M. Pd, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

2. Bapak Dr. Edy Surya, M. Si, selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M. Si, selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak Dr. Pardomuan, M. Si, selaku Ketua Prodi Studi Matematika serta Bapak dan Ibu dosen dan juga beberapa pegawai FMIPA Universitas Negeri Medan.

3. Bapak Dr. E. Elvis Napitupulu, M. Si, selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Bapak Dr. Mulyono, M.Si, selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang selalu memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini.

(5)

v

6. Bapak Pandu Winoto selaku Supervisor PT. Indomarco Prismatama Tanjung Morawa yang telah memberi izin kepada penulis untuk melakukan penelitian di perusahaan yang bersangkutan.

7. Ucapan Terimakasih yang teristimewa penulis ucapkan Secara khusus kepada Kedua orang tua saya Ayahanda Mahruzar dan Ibunda Jamilah yang tak pernah henti memberikan doa, semangat, kasih sayang dan selalu mendukung penulis dalam segala hal. Untuk saudara-saudara saya Indriyani, Muhammad Irawan, Adamsyah dan Riski Akbar terimakasih atas doa, dukungan dan semangat yang diberikan.

8. Teruntuk abangda terkasih Palma Juanta, S.Si, M.Pd penulis ucapkan terimakasih atas dukungan, doa dan semangat yang senantiasa diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

9. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada bang Hari yang telah meluangkan waktunya dan membantu penulis dalam mengerjakan program Matlab.

10.Akhirnya terimakasih Saya ucapkan kepada teman - teman Matematika Nondik A 2012, untuk mbak Yayuk,Ramlah, Rahma, Nur Intan, Isna, Dewi, Nanda, Nadia yang sudah banyak membantu penulis, Heni, Essa, Wulan, Ade, Hawa, silva, Intan, ira, ester, Imanuel, Bruce, rizba, Licardo, Robin, Tanyel, Chandra, Solihadi, Firdaus, Penny, nina, Delvi, Sriwati, Mika, Yanti, Ridho, Mona, Julius, yang selama perkuliahan telah banyak memberikan semangat, dukungan, hiburan dan kebersamaan.

Penulis juga menyadari bahwa skripsi ini masih perlu disempurnakan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih.

Medan, November 2016

(6)

vi

1.1. Latar Belakang Masalah 1

1.2. Rumusan Masalah. 3

2.2.3. Bertetangga (Adjacent) 7

2.2.4. Bersisian (Incident) 7

2.2.5. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) 7

2.2.6. Lintasan 7

2.2.7. Trail 8

2.2.8. Sirkuit(Cycle) 8

2.3. Jenis - Jenis Graf 9

2.3.1. Graf Sederhana (Simple Graph) 9 2.3.2. Graf Tak Sederhana ( Unsimple Graph) 9

2.3.3. Graf Berhingga 10

(7)

vii

2.3.5. Graf Berarah 11

2.3.6. Graf Tak Berarah (Undirected Graph) 11

2.3.7. Graf Berbobot 12

2.3.8. Graf Terhubung (Connected Graph) 13 2.4. Beberapa Graf Sederhana Khusus 13

2.4.1. Graf Lengkap 13

2.4.2. Graf Lingkaran 13

2.4.3. Graf Teratur 14

2.5. Lintasan Terpendek (Shortest Path) 14

2.6. Lintasan dan Sirkuit Euler 16

2.7. Lintasan dan Sirkuit Hamilton 16

2.8. Pohon (Tree) 17

2.9. Pohon Merentang (Spanning Tree) 18 2.10. Pohon Merentang Minimum ( Minimum Spanning Tree) 18

2.11. Algoritma Kruskal 20

2.12. Travelling Salesman Problem 24

2.13. Algoritma Heuristik 25

2.14. Program MATLAB 30

2.14.1. Window-window pada MATLAB 31 2.14.2. Kelengkapan pada Sistem MATLAB 32

2.14.3. Meminta Bantuan MATLAB 33

BAB III METODOLOGI PENELITIAN 34

3.1. Tempat dan Waktu Penelitian 34

3.2. Subjek dan Objek Penelitian 34

3.3. Prosedur 34

3.3.1. Teknik Pengumpulan Data 34

3.3.2. Teknik Pengolahan Data 34

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 36

4.1. Pengumpulan Data 36

4.2. Menentukan nilai optimal jarak tempuh dengan menggunakan

Algoritma Heuristik 39

4.2.1. Menentukan Minimum Spanning Tree 39 4.2.2. Menentukan Minimum Spanning Tree Dengan

(8)

viii

4.2.3. Menentukan Simpul Berderajat Ganjil dan

Menjadikannya Berderajat Genap 48 4.2.4. Menggambarkan Sirkuit Euler 50 4.2.5. Memeriksa setiap simpul yang dikunjungi lebih dari

satu kali dan memperbaiki solusi dari Travelling

Salesman Problem 50

4.2.6. Menggambarkan Sirkuit Hamilton yang merupakan

Solusi dari Travelling Salesman Problem 54 4.2.7. Menganalisis jarak yang biasa ditempuh salesman

dengan hasil data yang diolah dengan menggunakan

4.3. Menentukan Nilai Optimal waktu tempuh dengan menggunakan

4.3.1. Menentukan Minimum Spanning Tree 57 4.3.2. Menentukan Minimum Spanning Tree Dengan

Bantuan Software Matlab 66

4.3.3. Menentukan Simpul Berderajat Ganjil dan

Menjadikannya Berderajat Genap 67 4.3.4. Menggambarkan Sirkuit Euler 68 4.3.5. Memeriksa setiap simpul yang dikunjungi lebih dari

satu kali dan memperbaiki solusi dari Travelling

Salesman Problem 68

4.3.6. Menggambarkan Sirkuit Hamilton yang merupakan

Solusi dari Travelling Salesman Problem 72 4.3.7. Menganalisis waktu yang biasa ditempuh salesman

dengan hasil data yang diolah dengan menggunakan

4.4. Diskusi Hasil Penelitian 74

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 75

5.1. Kesimpulan 75

5.2. Saran 75

(9)

ix Gambar 2.14 Graf yang Memiliki Lintasan dan Sirkuit Euler 16 Gambar 2.15 Graf yang Memiliki Lintasan dan Sirkuit Hamilton 17

Gambar 2.16 Pohon 18

Gambar 2.17 Graf G dan Tiga Pohon Merentang H dari Graf G 18

Gambar 2.18 Graf 20

Gambar 2.19 Proses Algoritma Kruskal 21 Gambar 2.20 Proses Algoritma Kruskal 22 Gambar 2.21 Proses Algoritma Kruskal. 22 Gambar 2.22 Proses Algoritma Kruskal 23 Gambar 2.23 Proses Algoritma Kruskal 23 Gambar 2.24 Graf Lengkap dari Permasalahan yang Dicantumkan

pada Tabel 26

Gambar 2.25 Proses Algoritma Kruskal 27 Gambar 2.26 Hasil Proses Algoritma Kruskal 27 Gambar 2.27 Pohon merentang Minimum Spanning Tree 28 Gambar 2.28 Pencarian Simpul Derajat Ganjil 28 Gambar 2.29 Pasangan Simpul dengan Bobot Minimum 29 Gambar 2.30 Jaringan C yang merupakan Sirkuit Euler 29 Gambar 2.31 Pemeriksaan Graf yang Lebih Dikunjungi Satu Kali 30

Gambar 2.32 Sirkuit Hamilton 30

Gambar 4.1 Ilustrasi 17 Jalur Distribusi 38 Gambar 4.2 Graf dari Tahap 1 Proses Pencarian Minimum

Spanning Tree. 39

Gambar 4.3 Graf dari Tahap 2 Proses Pencarian Minimum

(10)

x

Spanning Tree 40

Spanning Tree 41

Spanning Tree 42

Spanning Tree 43

Spanning Tree 44

Spanning Tree 45

Spanning Tree 46

Spanning Tree 47

Gambar 4.18 Hasil pencarian Minimum Spanning Tree dengan

Software Matlab 48

Gambar 4.19 Graf Hasil Menjadikan Simpul Berderajat Ganjil

Menjadi Genap 50

Gambar 4.20 Graf dari Pemilihan Jalur G - Q

Gambar 4.21 Graf dari Pemilihan Jalur M - O 52 Gambar 4.22 Graf dari Pemilihan Jalur D - I 53

Gambar 4.23 Sirkuit hamilton 54

Spanning Tree 57

Spanning Tree 58

(11)

xi

Spanning Tree 59

Spanning Tree 60

Spanning Tree 61

Spanning Tree 62

Spanning Tree 63

Spanning Tree 64

Spanning Tree 65

Gambar 4.40 Hasil pencarian Minimum Spanning Tree dengan

Software Matlab 66

Gambar 4.41 Graf dari Hasil Menjadikan Simpul Berderajat Ganjil

Menjadi Genap 68 Gambar 5.1 Kedatangan Truk Pengangkut barang ke toko indomaret 90 Gambar 5.2 Proses Pemindahan barang dari dalam truk ke dalam

toko indomaret 90

(12)

xii

Tabel 2.3 Table Data Bobot Graf Dengan 8 Simpul 26 Tabel 4.1 Daftar Toko dan Alamat- alamat toko 36 Tabel 4.2 Jarak Tempuh Antar Outlet (dalam satuan kilometer (km) ) 37 Tabel 4.3 Daftar Jalur Yang Dapat Membentuk Sikel (Cycle) 47 Tabel 4.4 Bobot Graf Dari Simpul -Simpul Berderajat Ganjil

Dalam Satuan (km) 49

Tabel 4.5 Waktu Tempuh Antar Outlet (dalam satuan menit) 56 Tabel 4.6 Daftar Jalur Yang Dapat Membentuk Sikel (Cycle) 65 Tabel 4.7 Bobot Graf Dari Simpul -Simpul Berderajat

Ganjil Dalam Satuan Menit 67

Tabel 1.1 Daftar Toko Dan Alamat Toko 77 Tabel 1.2 Jarak Tempuh Antar Outlet (dalam satuan kilometer (km) ) 78 Tabel 1.3 Waktu Tempuh Antar Outlet (dalam satuan menit ) 79

Tabel 2.1 Urutan Bobot Jarak Tempuh 80

(13)

xiii

Lampiran 4. Urutan Bobot Jarak Tempuh 80 Lampiran 5. Urutan Bobot Waktu Tempuh 81 Lampiran 6. Source Code Algoritma Kruskal Untuk Jarak Tempuh 82 Lampiran 7. Source Code Algoritma Kruskal Untuk Waktu 85 Lampiran 8. Langkah-Langkah Menentukan Spanning Tree

(14)

1

dari tempat lain. Distribusi memegang peranan penting dalam kehidupan sehari-hari. Dengan adanya distribusi yang baik, dapat menjamin ketersediaan produk yang dibutuhkan oleh masyarakat. Oleh karena itu, distribusi merupakan salah satu hal yang perlu diperhatikan (Ferdinan, 2008).

PT. Indomarco Prismatama adalah sebuah perusahaan jasa pelayanan yang bergerak dibidang ritel/ toko eceran seperti Indomaret. Indomaret merupakan jaringan minimarket yang menyediakan kebutuhan pokok dan kebutuhan sehari - hari dengan luas penjualan kurang dari 200�2_{. PT. Indomarco Prismatama} bertanggung jawab dalam persediaan barang di Indomaret. Adapun Jenis produk yang didistribusikan ke setiap gerai Indomaret adalah food product seperti makanan dan minuman, misalnya mie instan, snack, air mineral, soft drink, nonfood product, General Merchandise dan fresh product.

Pendistribusian di PT. Indomarco Prismatama Tanjung Morawa dilakukan dengan cara memenuhi permintaan pada setiap lokasi outlet tanpa mempertimbangkan jarak tempuh untuk mencapai lokasi tersebut, sehingga waktu distribusi dapat melebihi waktu yang tersedia dan terdapat outlet yang tidak terlayani atau keterlambatan pengiriman produk. PT. Indomarco Prismatama belum memiliki penyusunan rute yang tetap, sehingga dapat berubah – ubah sewaktu – waktu yang berdampak pada ketidaktepatan waktu pendistribusian produk.

(15)

Penyusunan rute yang baik dapat mempersingkat jarak tempuh dan waktu pengiriman produk dan akhirnya berdampak pada penghematan biaya distribusi bagi perusahaan. Rute pendistribusian harus dapat mencapai tingkat utilitas penggunaan alat angkut yang efisien serta mampu melakukan pemenuhan terhadap permintaan secar efektif. Untuk mengatasi permasalahan distribusi yang dihadapi oleh perusahaan tersebut, diperlukan suatu metode yang dapat menentukan rute terpendek sehingga pendistribusian barang lebih efisien.

Rute pendistribusian produk dari distributor ke beberapa konsumen secara abstrak dapat digambarkan dengan suatu graf, tempat pendistribusian oleh distributor disebut sebagai simpul (vertex), sedangkan jalan yang menghubungkan antara keduanya disebut sebagai jalur (edge). Dalam matematika, permasalahan pendistribusian khususnya dalam menetukan rute terpendek termasuk kedalam permasalahan Traveling Salesman Problem (Aulia, 2006).

Travelling Salesman Problem (TSP) adalah masalah untuk mengoptimasi dan menemukan rute yang paling terpendek. Travelling Salesman Problem merupakan masalah untuk menentukan urutan dari sejumlah kota yang harus dilalui oleh salesman. Setiap kota hanya boleh dilalui satu kali dan harus berakhir pada kota keberangkatan dimana salesman tersebut memulai perjalanannya, dengan jarak antara setiap kota satu dengan kota lainnya sudah diketahui. Salesman tersebut harus meminimalkan jarak yang harus ditempuh dalam perjalanannya tersebut. Banyak permasalahan yang dapat direpresentasikan dalam bentuk Travelling Salesman Problem. Persoalan ini sendiri menggunakan representasi graf untuk memodelkan persoalan yang diwakili sehingga lebih memudahkan penyelesaiannya. Diantaranya permasalahan yang dapat direpresentasikan dengan TSP ialah masalah transportasi, efisiensi pengiriman surat atau barang, perancangan pemasangan pipa saluran, proses pembuatan PCB (Printed Circuit Board) dan lain - lain (Rachman, 2012).

(16)

Heuristic dan lain - lain (Irfan, 2006). Dalam algoritma Brute Force, hal yang

dilakukan adalah mengenumerasi setiap kemungkinan rute yang akan ditempuh. Setelah itu, akan dibandingkan seluruh kemungkinan rute yang telah dienumerasi tersebut , rute mana yang memiliki lintasan / bobot yang paling minimum. Namun membutuhkan waktu yang lama untuk mendapatkan panjang lintasan paling minimum jika n bernilai sangat besar, algoritma Brute Force hanya dapat dilakukan dengan jumlah kota atau simpul yang tidak banyak. Seperti Algoritma

Brute Force yang mengenumerasi satu per satu kemungkinan jalur yang akan

ditempuh, Algoritma Branch and bound ternyata tidak memiliki kompleksitas waktu yang lebih baik dimana algoritma ini juga membutuhkan waktu yang sangat lama untuk mendapatkan panjang lintasan paling minimum jika kota atau simpul bernilai sangat besar. Sedangkan pada greedy heuristik, pemilihan lintasan akan dimulai pada lintasan yang memilki nilai paling minimum, algoritma ini akan memilih kota selanjutnya yang belum dikunjungi yang mempunyai bobot paling minimum/kota terdekat sampai semua kota tersebut dikunjungi dan kemudian kembali ke kota awal, tetapi hasil yang didapat bisa sangat jauh dari hasil optimal, semakin banyak kota yang dikunjungi semakin besar pula perbedaan yang dicapai.

Dari seluruh algoritma yang telah disebutkan diatas untuk menyelesaikan persoalan TSP, masih ada sebuah algoritma lagi yang perlu ditinjau yaitu Algoritma Heuristik. Algoritma Heuristik adalah salah satu algoritma yang bisa diterapkan dalam menangani permasalahan Traveling Salesman Problem. Algoritma Heuristik ini mencari nilai minimum bobot dengan menggunakan spanning tree sehingga menghasilkan irisan dari graf yang memiliki nilai optimal. Proses selanjutnya adalah membentuk sirkuit euler yang menjadi aproksimasi dari solusi Travelling Salesman Problem. Setelah itu, proses dilanjutkan dengan perbaikan simpul yang dilalui lebih dari satu kali sehingga menghasilkan solusi paling optimal (Ferdinan, 2008).

(17)

khususnya minuman ringan. Yang mana tujuannya adalah mengetahui rute yang paling optimal yang harus dipilih oleh perusahaan, terkait jarak tempuh pengiriman produk minuman ringan. Dengan demikian, penulis merumuskan judul yakni "Penentuan Rute Terpendek Pendistribusian Minuman Ringan Dengan Menggunakan Algoritma Heuristik Pada PT. Indomarco Prismatama Tanjung Morawa."

1.2. Rumusan Masalah

Bagaimana rute terpendek pendistribusian minuman ringan dengan menggunakan Algoritma Heuristik pada PT. Indomarco Prismatama Tanjung Morawa?

1.3. Batasan Masalah

Untuk tetap menjaga kedalaman pembahasan materi, penulisan ini dibatasi pada:

1.Data yang dianalisa adalah pendistribusian minuman ringan di wilayah Medan khususnya Kecamatan Medan Timur.

2.Perhitungan dilakukan untuk menentukan rute dengan jarak tempuh yang terpendek dari rute yang telah ada.

3.Rute yang dianalisis adalah rute yang biasanya dilalui oleh salesman pada wilayah Kecamatan Medan Timur.

4.Objek penelitian hanya pada rute satu salesman yang disalurkan ke gerai – gerai indomaret yang ada di wilayah Medan

5.Kunjungan hanya satu kali dari titik awal ke titik pendistribusian (outlet).

1.4. Tujuan Penelitian

(18)

1.5. Manfaat Penelitian

(19)

(20)

75

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Dari hasil pengolahan data diperoleh rute usulan dengan jarak terpendek yaitu 68,3km, dimana sebelumnya rute yang biasa dilalui salesman dalam mendistribusikan minuman ringan dari PT. Indomarco Prismatama ke toko - toko indomaret yang ada di wilayah kecamatan medan timur berjarak 72km. Penghematan jarak yang di dapat dengan menggunakan Algoritma Heuristik adalah 5,13 % yaitu 3,7km.

2. Dari hasil pengolahan data diperoleh waktu tempuh minimal pendistribusian minuman ringan yaitu 158 menit, dimana sebelumnya waktu tempuh minimal salesman dengan rute yang biasa dilalui adalah 184 menit. Penghematan waktu tempuh yang didapat dengan Algoritma Heuristik adalah 14,1 % yaitu 26 menit.

3. Jarak yang terpendek dan Waktu tempuh yang minimal akan berdampak pada biaya minimum dalam suatu pendistribusian produk. 5.2. Saran

1. Penulis menyarankan kepada PT. Indomarco Prismatama agar dapat mempertimbangkan penggunaan Algoritma Heuristik dan memperbaiki rute pendistribusiannya sesuai dengan hasil tulisan ini, guna untuk meningkatkan efisiensi pendistribusian dan penghematan biaya pendistribusian.

(21)

DAFTAR PUSTAKA

Aulia, R. A. 2006. Travelling Salesman Problem. Institut Teknologi Bandung . Ferdinan, F. 2008. Penyelesaian Travelling Salesman Problem dengan Algoritma

Heuristik. Institut Teknologi Bandung.

Garnier, R..2002. Discrete Mathematics for new technology. Institute of physics publishing Bristol and Philadelphia: London.

Grimaldi, R..2004. Discrete and Combinatorial Mathematics. Pearson Addison Wesley,Comp : New York.

Grossman, P.2002. Discrete Mathematics for Computing. Martin Press: New York.

Irfan Mohammad, F.2006. Perbandingan penggunaan Algoritma Genetika

dengan menggunakan Algoritma Konvensional pada Travelling Salesman Problem. Institut Teknologi Bandung.

Johnsohnbaugh, R. 1998. Discrete Mathematics Sixth Edition. Pearson Education, Inc : United States of America.

Lipschutz Seymour, L. M. L.2002. Discrete Mathematics. Mc Graw Hill: Singapura.

Liu, C.1995. Dasar- Dasar Matematika Diskret. Gramedi: Jakarta.

Paramita, R.2006. Perbandingan Algoritma - algoritma Pencarian Minimum

Pohon Merentang dari Suatu Graf : Institut Teknologi Bandung.

Rachman, T. 2012. Metode Transportasi. Universitas Esa Unggul: Jakarta. Rinaldi, M. 2011. Matematika Diskri., Informatika Bandung: Bandung.

Rosen, K. H. 2007. Discrete Mathematics and its Application. Me Grow-hill/ China Machine Press: China.

Siang, J. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada lmu Komputer. Penerbit ANDI: Yogyakarta.

Taha, H. 1987. Riset Operasi. Binarupa Aksara: Jakarta.