Slide Presentasi Makalah Bilangan Terhub

BILANGAN TERHUBUNG PELANGI

GRAF BERLIAN

M.A. Shulhany, A.N.M. Salman

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Bandung

E-mail :

ahmad.shulhany@yahoo.com

,

Bilangan Terhubung Pelangi

 Konsep bilangan terhubung pelangi pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand, dkk pada tahun 2005.

 Konsep bilangan terhubung pelangi termotivasi oleh kelemahan keamanan dalam pengiriman kode rahasia antar lembaga, terlebih pada peristiwa 11 september 2001.

 Misalkan G=(V,E) adalah suatu graf terhubung tak-trivial. Fungsi c :

E(G) → {1, 2,..., k} untuk suatu k є N dikatakan pewarnaan-k pelangi

pada G, jika untuk setiap pasang titik u dan v di V terdapat suatu lintasan dengan u dan v sebagai titik ujung yang setiap sisinya memperoleh warna berbeda. Lintasan tersebut dinamakan lintasan pelangi.

 Bilangan terhubung pelangi graf G adalah bilangan bulat positif terkecil

 c dikatakan pewarnaan-k pelangi kuat, jika untuk setiap titik u dan v di

V terdapat lintasan pelangi dengan panjangnya sama dengan jarak u

dan v,yang dinamakan sebagai lintasan pelangi kuat.

 Bilangan bulat positif terkecil k sehingga G mempunyai suatu pewarnaan-k pelangi kuat didefinisikan sebagai bilangan terhubung pelangi kuat yang dinotasikan dengan src(G).

 Diameter graf dinotasikan dengan diam(G), merupakan maksimum dari himpunan jarak dua titik pada G.

 Orde graf G didefinisikan sebagai banyak titik pada G.

 Ukuran dari G didefinisikan sebagai banyak sisi pada G

 Melalui definisi, maka diam(G) ≤ rc(G) ≤ src(G) ≤ m.(1)

Graf berlian

Graf berlian berorde 2n adalah graf yang diperoleh dari graf tangga segitiga berorde 2n-1dan ditambahkan satu titik dan beberapa sisi tertentu.

Dapatdenganjelasterlihatbahwa diameter graf berlian adalah

diam(Brn) = , untuk � = � � � =

Teorema 2.1

Misalkan bilangan bulat n ≥4, maka bilangan terhubung pelangi untuk graf berlian berorde 2n adalah

Bukti:

Berdasarkan (1), cukup diperlihatkan rc(Br_n) diam(Br_n). Untuk itu akan dibagi pembuktian ke dalam dua kasus.

Kasus1_{. n = 4 atau n = 5}

Definisikanpewarnaanc: E(G) → {1, 2, 3} sebagaiberikut:

c(u_iu_i+1) = i, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

c(u_iv_i) = c(u_iv_i+1) = 3, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

c(v_iv_i+1) = ((i +1) mod 2) +1, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap

x

dan

y

di

V

(

Br

_n

) dengan

d

(

x

,

y

)

2, terdapat lintasan

x

-

y

yang

merupakanlintasanpelangi.

Subkasus1.1.

Jika

x

=

v

dan

y

=

u

i

,

maka

terdapatlintasanpelangi

v

,

v

_i

,

u

_i

.

Subkasus1.2.

Misalkan

x

=

u

i

dan

y

=

u

j

dengan

i

<

j

.



Subkasus1.2.1

Jika

d

(

x

,

y

)

=

,

makaterdapatlintasanpelangi

u

_i

,

u

_i+1

,

u

_j

.



Subkasus1.2.2

Jika

d

(

x

,

y

)

=

3,

Subkasus 1.3.

Misalkan

x

=

v

i

dan

y

=

v

j

,

dengan

i<j.



Subkasus

1.3.1.

Jika

j

–

i

3,

maka

terdapatlintasanpelangi

v

_i

,

v

,

v

_j

.



Subkasus

1.3.2

.

Jika

j

–

i

=

2,

maka

Subkasus1.4.

Misalkan

x

=

v

i

dan

y

=

u

j

.



Subkasus

1.4.1.

Jika

|

j

–

i

|

=

1,

maka

terdapatlintasanpelangi

v

_i

,

v

_j

,

u

_j

.



Subkasus

1.4.2.

Jika

i

–

j

>

1,

maka

terdapatlintasanpelangi

v

_i

,

v

,

u

_j+1

,

u

_j

.



Subkasus

1.4.3

.

Jika

j

–

i

>

1,

maka

Kasus2_{. n 6}

Definisikanpewarnaanc: E(G) → {1, 2, 3, 4} sebagaiberikut:

c(u_iu_i+1) = 1, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

c(v_iv_i+1) = c(u_iv_i+1) = i mod 2 + 3, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

c(u_iv_i) = ((i+1) mod 2) + 3, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

Selanjutnya, akan ditunjukkanbahwa untuksetiapxdan y di V(Br_n) dengand(x,y) 2, terdapat lintasan x-y yang merupakan lintasan pelangi.

Subkasus2.1._{Jikax = v dany = u}

i, maka terdapatlintasanpelangiv,vi,ui. Subkasus2.2._{Misalkanx = u}

i,y = uj,dengani< j.

 Subkasus 2.2.1. Jikaidanjmemilikivaritas yang sama,

makaterdapatlintasanpelangiu_i,v_i,v,v_j+1,u_j.

 Subkasus 2.2.2. Jikaidanjmemilikivaritas yang berbeda,

makaterdapatlintasanpelangiu_i,v_i,v,v_j,u_j. Subkasus2.3._{Misalkanx = v}

i,y = vj, dengani<j.

 Subkasus 2.3.1. _{Jikaidanjmemilikivaritas yang sama,} makaterdapatlintasanpelangiv_i,v,v_j-1,v_j.

Subkasus 2.4. _{Misalkan x = v}

i dan y = uj.

 Subkasus 2.4.1. Jika i dan j memiliki varitas yang sama, maka

terdapat lintasan pelangi v_i,v,v_j+1,v_j.

 Subkasus 2.4.2. Jika i dan j memiliki varitas yang berbeda, maka

terdapat lintasan pelangi v_i,v,v_j,u_j.

Dari (1) dan definisi pewarnaan di atas, diperolehrc(Br_n) = 4 untukn

Teorema 2.2

Misalkan bilangan bulat n 4, maka bilangan terhubung pelangi kuat pada graf berlian berorde 2n adalah

src(��_�) = _� , untuk � = atau � = ;

+ , untuk � .

Bukti :

Kasus 1_{. n = 4 atau n = 5}

PewarnaanpadagrafBr_nsepertiyang didefinisikanpadaTeorema2.1 Kasus

1 merupakan pewarnaan-3 pelangikuat,

karenasetiapduatitikdariBr_nmemilikilintasanpelangikuat. Karenaitu,

Kasus 2_.�

Misalkant= � + . Karenadiam(Br₆) = 4, src(Br₆) 4. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa src(Br_n) untuk n 7. Andaikan src(Br_n) -1,

maka terdapat c* suatupewarnaan-(t-1) pelangi kuat

Akan ditunjukkan bahwa src(Br_n) t.

Definisikanpewarnaanc:E(G) → {1, 2, ...,t} sebagaiberikut:

c(vv_i) = � + , untuki ∈ {1, 2, ..., n};

c(u_iu_i+1) = ((i+1) mod 4) +1, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

c(v_iv_i+1) = ((i+1) mod 2) + 3, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

c(u_iv_i) = ((i+1) mod 2) + 1, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

Subkasus2.1. _{Jikax = v dany = u}

i, maka terdapatlintasanpelangi kuat v,

v_i, u_i.

Subkasus2.2. _{Misalkanx = u}

idany = uj.

 Subkasus 2.2.1. _{Jika j} – _{I=2,makaterdapatlintasanpelangikuat u}

i, ui+1,

u_j.

 Subkasus 2.2.2. _{Jika j} – _{I=3,makaterdapatlintasanpelangikuat u} i,

u_i+1,u_i+2, u_j.

 Subkasus 2.2.3. _{Jika j} – _{i 4,makaterdapatlintasanpelangikuat u} i, vi,

Subkasus2.3. _{Misalkanx = v}

i, y = vj, dan i <j.

 Subkasus 2.3.1. _{Jika j} – _{i= 2,makaterdapatlintasanpelangi kuat v} i,

v_i+1,v_j.

 Subkasus 2.3.2. _{Jika j} – _{i> 2,makaterdapatlintasanpelangi kuat v} j, vj -1,vi.

Subkasus2.4._{Misalkanx = v}

idany = uj.

 Subkasus 2.4.1. _{Jika j} – _{i = 2, makaterdapatlintasanpelangi} kuatv_i,v_i+1,u_i.

 Subkasus 2.4.2. _{Jika i}– _{j = 2, makaterdapatlintasanpelangi kuat v} i,vi -1,ui.

 Subkasus 2.4.3._{Jika |j} – _{i| > 3, maka terdapatlintasanpelangi kuat v} i,

v,v_j+1,u_j.

Jadi, pewarnaandi atasmerupakansuatupewarnaanpelangikuat. Karenaitu,src(Br_n) = t untukn 5.

KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

[1] Y. Caro, A. Lev, Y. Roditty, Z. Tuza, R. Yuster. 2008.On rainbow connection.Electronic Journal of Combinatoircs.Vol 15(1): R57.

[2] L.S. Chandran, A. Das, D. Rajendraprasad, N.M. Varma. 2010.Rainbow connection number and connected dominating sets. Electronic Notes in Discrete Mathematics.Vol 38: 239-244. [3] G. Chartrand, G.L. Johns, K.A. McKeon, P. Zhang. 2008. Rainbow connection in graphs. Math.

Bohemica.Vol133(2): 85-98.

[4] J. Dong, X. Li. 2011. Upper bounds involving parameter σ₂ for the rainbow connection. ArXiv:1101.3119v1.Tersedia pada http://arxiv.org/abs/1101.3119v1.

[5] M. Krivelevich, R. Yuster. 2009. The rainbow connection of a graph is (at most) reciprocal to its minimum degree. Journal of Graph Theory.Vol 63(3): 185-191.

[6] X. Li, Y. Shi 2010.Rainbow connection in 3-connected graphs. Graphs and Combinatorics. Vol 29(5): 1471-1475.

[7] O. Schnetz.Evaluation of period of a family of triangle and box ladder graphs. ArXiv : 1210.5376. Tersedia pada http://arxiv.org/pdf/1210.5376.

[8] I. Schiermeyer. 2009.Rainbow connection in graphs with minimum degree three.Combinatorial Algorithms:Lecture Notes in Computer Science.Vol 5874: 435-437.

[9] I. Schiermeyer. 2011. Bounds for the rainbow connection number of graphs. Graph Theory. Vol 31: 387-395.