Penjadwalan Distribusi Barang Menggunakan Mixed Integer Nama NIM Programming

(1)

PENJADWALAN DISTRIBUSI BARANG MENGGUNAKAN

MIXED INTEGER PROGRAMMING

LAISANOPACI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penjadwalan Distribusi

Barang Menggunakan

Mixed Integer Programming

adalah benar karya saya

dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun

kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip

dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah

disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir

skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, November 2014

Laisanopaci

(4)

ABSTRAK

LAISANOPACI

. Penjadwalan Distribusi Barang Menggunakan

Mixed Integer

Programming.

Dibimbing oleh

PRAPTO TRI SUPRIYO

dan

RUHIYAT.

Pendistribusian barang menggunakan satu kendaraan dan mempekerjakan

satu pengemudi merupakan masalah yang seringkali dihadapi oleh suatu

perusahaan atau badan usaha tertentu. Waktu istirahat dan jam kerja pengemudi,

serta

time window

yang ditetapkan oleh pelanggan akan memengaruhi durasi

pendistribusian. Oleh karena itu, penjadwalan distribusi perlu dilakukan agar

dapat meminimumkan durasi pendistribusian juga mendapatkan waktu istirahat

yang cukup bagi pengemudi. Permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai

mixed

integer programming

. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah memodelkan masalah

penjadwalan distribusi barang dengan mempertimbangkan waktu istirahat bagi

pengemudi dengan fungsi objektif meminimumkan durasi pendistribusian. Model

ini diimplementasikan untuk pendistribusian pakan ternak di Kota Payakumbuh

dengan mempertimbangkan waktu istirahat dan jam kerja yang ditetapkan oleh

pemerintah Indonesia. Penyelesaian masalah ini menggunakan bantuan

software

LINGO 11.0 sehingga diperoleh penjadwalan distribusi dengan durasi

pendistribusian yang minimum.

Kata kunci:

mixed integer programming

, penjadwalan distribusi,

time window

,

waktu istirahat

ABSTRACT

LAISANOPACI

. Scheduling of Goods Distribution Using Mixed Integer

Programming.

Supervised by

PRAPTO TRI SUPRIYO

and

RUHIYAT.

Scheduling of Goods Distribution using a vehicle and a driver is a problem

often faced by a particular company or business entity. Rest periods and working

hours of drivers, as well as the time window established by the customer would

affect the duration of distribution. Therefore, scheduling the distribution needs to

be done in order to minimize the duration of distribution and also to get adequate

rest periods for the driver. This problem can be modeled as a mixed integer

programming. The objective of this paper is to model the distribution of goods

scheduling problem by considering rest periods for the driver with the objective

function is to minimize the duration of distribution. This model is implemented to

distribution of animal feed in Payakumbuh by considering rest periods and

working hours established by Indonesian government. This problem is completed

by using LINGO 11.0 to obtain the distribution schedule with a minimum

duration of distribution.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

LAISANOPACI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

(7)

NIM : 054080041

Drs Prapto Tri Supriyo, MKom Pem�imbing I

Tanggal Lulus:

'2

6

NOV

2014

Disetujui oleh

Pembimbing II

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah

Subhanahu Wa T

a’ala

atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang

dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2012 ini ialah

penjadwalan, dengan judul Penjadwalan Distribusi Barang Menggunakan

Mixed

Integer Programming

. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak

sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini.

Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1.

keluarga tercinta: ayah, mama, ka Cila, Fajar, ade Lili sebagai pemberi

motivasi, sumber inspirasi, dan selalu memberikan semangat dan doa,

2.

Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen pembimbing I dan Ruhiyat, MSi

selaku dosen pembimbing II yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam

membimbing, memberi motivasi, semangat, dan doa,

3.

Drs Siswandi, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan ilmu,

saran, dan dukungan,

4.

distributor Nasa Poultry Shop yang telah membantu selama pengumpulan

data,

5.

semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang

telah diberikan,

6.

para staf Departemen Matematika,

7.

sahabat-sahabat yang selalu memberikan dukungan, motivasi: JONOF

(Nenek, Ade, Mela, dan Minah), tante Fenny, Gita,

8.

teman-teman Matematika 45 atas doa dan dukungan semangatnya serta selalu

menjadi bagian dari keluarga,

9.

semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan

khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, November 2014

(9)

DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan

1

Manfaat Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

Pemrograman Linear

2

Pemrograman Linear

Integer

3

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

4

Deskripsi Masalah

4

Formulasi Masalah

4

STUDI KASUS DAN PENYELESAIAN

7

SIMPULAN DAN SARAN

20

Simpulan

20

Saran

20

DAFTAR PUSTAKA

20

LAMPIRAN

21

(10)

DAFTAR TABEL

1 Indeks untuk lokasi distributor, pelanggan, dan semu

9

2

Time Window

10

3 Hasil penjadwalan distribusi pakan ternak

13

DAFTAR LAMPIRAN

1 Sintaks Model LINGO 11.0.

21

2 Hasil Komputasi untuk Masalah Distribusi Barang Menggunakan

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Peraturan mengenai jam kerja dan mengemudi bagi pengemudi truk telah

diterapkan oleh pemerintah dalam upaya meningkatkan keselamatan jalan dan

memperbaiki kinerja pengemudi truk. Pada Undang-Undang Nomor 22 Tahun

2009 tentang Lalu Lintas dan Angkutan Jalan khususnya pada Pasal 90 mengenai

waktu kerja pengemudi disebutkan bahwa:

1.

Setiap Perusahaan Angkutan Umum wajib mematuhi dan memberlakukan

ketentuan mengenai waktu kerja, waktu istirahat, dan pergantian Pengemudi

Kendaraan Bermotor Umum sesuai dengan ketentuan peraturan

perundang-undangan.

2.

Waktu kerja bagi Pengemudi Kendaraan Bermotor Umum sebagaimana

dimaksud pada ayat (1) paling lama 8 (delapan) jam sehari.

3.

Pengemudi Kendaraan Bermotor Umum setelah mengemudikan Kendaraan

selama 4 (empat) jam berturut-turut wajib beristirahat paling singkat setengah

jam.

4.

Dalam hal tertentu Pengemudi dapat dipekerjakan paling lama 12 (dua belas)

jam sehari termasuk waktu istirahat selama 1 (satu) jam.

Mengabaikan waktu istirahat dapat menyebabkan terjadinya hal-hal yang

tidak diinginkan, seperti misalnya buruknya kondisi pengemudi truk,

berkurangnya keselamatan jalan, dan rendahnya kepuasan pelanggan.

Pada karya ilmiah ini dibahas masalah penjadwalan distribusi barang oleh

sebuah distributor dengan meminimumkan durasi waktu pengiriman serta

memperhatikan waktu istirahat bagi pengemudi kendaraan. Model yang

digunakan dalam tulisan ini berasal dari artikel yang berjudul

The Minimum

Duration Truck Driver Scheduling Problem

yang ditulis oleh Goel (2012).

Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah memodelkan masalah penjadwalan

distribusi barang dalam bentuk

dengan

mempertimbangkan waktu istirahat.

Manfaat Penelitian

(12)

TINJAUAN PUSTAKA

Pemrograman Linear

Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu konsep dasar

yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear.

Definisi 1 (Fungsi Linear)

Suatu fungsi

f

dengan variabel

adalah suatu

fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta

,

dapat ditulis sebagai

f

=

(Winston 2004).

Sebagai contoh,

f

=

merupakan fungsi linear, sementara

f

=

bukan fungsi linear.

Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan Linear)

Untuk sembarang fungsi linear

f

dan sembarang bilangan

b

, pertidaksamaan

f

dan

f

adalah pertidaksamaan linear,

sedangkan suatu persamaan

f

merupakan persamaan linear

(Winston 2004).

Pemrograman linear (PL) adalah suatu masalah pengoptimuman yang

memenuhi hal-hal berikut:

1.

Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu

fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan

dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

2.

Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala.

Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.

3.

Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk

sembarang variabel

, pembatasan tanda menentukan

harus taknegatif

(

) atau tidak dibatasi tandanya (

unrestricted in sign

)

(Winston 2004).

Definisi 3 (Bentuk Standar Pemrograman Linear)

Misalkan diberikan suatu PL dengan

m

kendala dan

n

variabel

(dilambangkan dengan

). Bentuk standar dari PL tersebut adalah:

Maksimumkan/minimumkan

z

=

terhadap kendala

(13)

A =

[

] [

]

,

maka kendala ke-1 sampai dengan

kendala ke-

m

dapat ditulis sebagai sistem

persamaan

Ax = b

(Winston 2004).

Solusi Pemrograman Linear

Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya

adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimum

bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947 (Winston

2004), dan dalam perkembangannya merupakan metode yang paling umum

digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk

menyelesaikan PL berbentuk standar (Winston 2004).

Definisi 4 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel dari suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi

semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut (Winston 2004).

Definisi 5 (Solusi Optimum)

Untuk masalah pemaksimuman, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik

dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah

peminimuman, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel

dengan nilai fungsi objektif terkecil (Winston 2004).

Pemrograman Linear

Integer

Pemrograman linear

integer

(PLI) adalah suatu model pemrograman linear

dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (

integer

). Jika semua

variabel harus berupa

integer

, maka masalah tersebut dinamakan

pure integer

programming

. Jika hanya sebagian yang harus berupa

integer

, maka disebut

(14)

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

Deskripsi Masalah

Sebuah distributor akan mengirimkan barang menggunakan truk setiap

harinya. Distributor juga menentukan waktu distribusi barang setiap harinya, hal

ini yang akan menjadi waktu kerja pengemudi. Dalam pengiriman barang terdapat

keterbatasan, yakni:

1.

hanya ada satu truk dan satu pengemudi,

2.

pekerjaan dilakukan setiap harinya sampai satu periode sesuai jam kerja yang

ditentukan.

Pengemudi dapat mengambil waktu istirahat setelah menyelesaikan

pekerjaan atau di tempat parkir yang cocok saat perjalanan menuju lokasi

selanjutnya. Distributor ingin meminimumkan durasi pengiriman barang.

Formulasi Masalah

Parameter-parameter

I

: himpunan lokasi distributor dan pelanggan, dengan indeks

i

R

: himpunan waktu istirahat yang dilakukan pengemudi sesuai dengan

peraturan pemerintah, dengan indeks

.

C

: himpunan kendala yang ditentukan oleh peraturan dengan indeks

.

: himpunan kendala

c

yang mengharuskan bahwa pengemudi tidak

diperbolehkan mengemudi jika waktu yang terlewati semenjak waktu

istirahat terakhir dari tipe

mencapai batas, dengan

.

: himpunan kendala

c

yang mengharuskan bahwa pengemudi tidak

diperbolehkan mengemudi jika akumulasi waktu bekerja dan

mengemudi telah mencapai batas, dengan

.

: waktu tempuh dari lokasi ke-

i

menuju lokasi ke-

i

+ 1.

: durasi melakukan pekerjaan stasioner (bongkar muat barang) di lokasi

ke-

i.

: waktu horizon (jumlah waktu dalam satu periode yang telah

ditentukan).

: durasi minimum istirahat pengemudi sesuai dengan peraturan yang

berlaku.

: batas waktu pengemudi untuk bekerja dan mengemudi dalam satu

periode pada tipe

c,

dengan

atau

.

: waktu minimum memulai bongkar muat di lokasi

i

pada

time window

ke-

.

: waktu maksimum memulai bongkar muat di lokasi

i

pada

time window

ke-

.

(15)

Variabel-variabel

= waktu kedatangan barang di lokasi

i

.

= waktu memulai bongkar muat di lokasi

i

.

= waktu truk meninggalkan lokasi

i

.

,

1,

0,

i r

z

 





istirahat tipe dilakukan di lokasi ,

selainnya.

r

i

,

1,

0,

i

y

_

 





jika pengemudi memulai bongkar muat di lokasi pada

ke- ,

selainnya.

i

time window



1,

0,

c



 





jika bongkar muat diperhitungkan dalam periode bekerja,

selainnya.

Fungsi Objektif

Fungsi objektif dari kasus ini adalah meminimumkan waktu antara awal

pekerjaan di lokasi pertama dan akhir pekerjaan di lokasi terakhir sehingga

dimodelkan sebagai berikut:

Minimumkan

.

Kendala-kendala

1.

Pengemudi diperbolehkan istirahat terlebih dahulu untuk memulai pekerjaan

di setiap lokasi, dapat dimodelkan sebagai berikut:

∑

2.

Pengemudi membutuhkan waktu untuk menyelesaikan pekerjaan di setiap

lokasi.

.

3.

Waktu kedatangan ditentukan dari waktu akhir pekerjaan di lokasi

sebelumnya dan waktu tempuh yang diperlukan menuju lokasi selanjutnya.

.

4.

Pada setiap lokasi pekerjaan dimulai pada tepat satu

time window

yang

ditentukan.

∑

(16)

5.

Waktu memulai pekerjaan tidak boleh dilakukan sebelum awal

time window

yang telah ditentukan.

.

6.

Waktu memulai pekerjaan tidak boleh dilakukan setelah akhir

time window

,

.

7.

Waktu yang telah terlewati dari akhir masa istirahat terakhir tidak boleh

melebihi batas waktu yang ditentukan oleh peraturan.

∑ ∑

.

8.

Pembatasan jam kerja perhari di mana akumulasi waktu pengemudi bekerja

dan mengemudi tidak melebihi total waktu maksimum mengemudi dan

bekerja ditambah jumlah istirahat yang harus dilakukan pengemudi pada

time

horizon

yang ditentukan.

∑

∑ ∑

.

9.

Di lokasi

i

pengemudi hanya diperbolehkan mengambil satu tipe istirahat.

∑

10.

Variabel yang digunakan.



Pendistribusian dilakukan di dalam waktu horizon yang ditentukan.

[ ]

[

]

.



Variabel indikator yang menyatakan pengemudi memulai bongkar muat

pada suatu

time window

atau tidak.

(17)



Variabel indikator yang menyatakan suatu tipe istirahat dilakukan

atau

tidak.

{ }

| |

.

STUDI KASUS DAN PENYELESAIAN

Studi kasus pada penelitian ini dilakukan pada distributor pakan ternak yang

bernama Nasa Poultry Shop terletak di Payakumbuh, Sumatera Barat. Penelitian

ini bertujuan untuk menjadwalkan pendistribusian pakan ternak dengan

mempertimbangkan peraturan jam kerja dan waktu istirahat pengemudi yang

berlaku sehingga barang dapat dikirimkan dengan waktu pengiriman yang

minimum serta mempertimbangkan peraturan pemerintah mengenai jam kerja dan

waktu istirahat pengemudi. Pendistribusian ini dilakukan ke beberapa lokasi di

sekitar kota Payakumbuh.

Data yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah waktu perjalanan

antarlokasi dan waktu bekerja di setiap lokasi. Waktu pendistribusian dapat

dilakukan dari hari Senin sampai hari Sabtu. Adapun peraturan yang berlaku di

Indonesia tertera pada Undang

–

Undang Nomor 22 Tahun 2009 Pasal 90 mengenai

waktu kerja pengemudi.

Asumsi-asumsi yang diperlukan untuk memodelkan masalah ini, yaitu:

1.

Pengemudi dapat mengambil waktu istirahat sebelum dan sesudah bongkar

muat pada setiap lokasi.

2.

Pengemudi harus istirahat jika telah mencapai batas maksimum waktu bekerja.

3.

Waktu tempuh yang digunakan adalah tetap.

Pada deskripsi masalah di kendala 1 istirahat dilakukan sebelum bongkar

muat dan di kendala 9 di lokasi

i

hanya diperbolehkan mengambil satu tipe

istirahat sehingga untuk mengakomodasi peraturan yang berlaku di Indonesia

maka ada tambahan dua jenis lokasi semu, yaitu:

1.

Lokasi semu jenis 1 dibuat agar pengemudi dapat beristirahat setelah bongkar

muat di lokasi.

2.

Lokasi semu jenis 2 dibuat agar pengemudi dapat istirahat di tengah perjalanan

menuju lokasi berikutnya karena dalam peraturan maksimum mengemudi 4

jam sedangkan berdasarkan data ada waktu tempuh yang lebih dari 4 jam.

Parameter-parameter

I

: himpunan lokasi distributor, pelanggan, dan semu,

{ }

(lihat Tabel 1).

R

: himpunan waktu istirahat yang dilakukan pengemudi sesuai dengan

peraturan pemerintah, dengan indeks

{ a }

.

1.

Rest

adalah istirahat panjang yang dilakukan oleh pengemudi jika

telah mencapai batas maksimum mengemudi dan bekerja.

2.

Break

adalah istirahat sejenak yang dilakukan oleh pengemudi jika

waktu yang terlewati semenjak waktu istirahat terakhir.

C

: himpunan kendala yang ditentukan oleh peraturan dengan indeks

.

: himpunan kendala

c

(18)

istirahat terakhir dari tipe

mencapai batas, dengan

{ la a

}

{

a

}

.

: himpunan kendala

c

diperbolehkan mengemudi jika akumulasi waktu bekerja dan

mengemudi telah mencapai batas, dengan

{ a l }

{

}

.

: waktu tempuh dari lokasi ke-

i

menuju lokasi ke-

i

+ 1 (lihat Tabel 1).

: durasi melakukan pekerjaan stasioner (bongkar muat barang) di lokasi

ke-

i

(lihat Tabel 1).

: waktu horizon (jumlah waktu dalam satu periode yang telah ditentukan)

= 109 jam.

: durasi minimum istirahat pengemudi sesuai dengan peraturan yang

berlaku,

r

= {

rest, break

} maka:

1.

,

2.

a

.

: batas waktu maksimum pengemudi untuk bekerja dan mengemudi

dalam satu periode pada tipe

c,

dengan

atau

maka:

1.

waktu maksimum yang terlewati setelah istirahat

terakhir,

2.

waktu

maksimum

akumulasi

bekerja

dan

mengemudi dalam sehari.

: waktu minimum memulai bongkar muat di lokasi

i

pada

time window

ke-

(lihat Tabel 2).

: waktu maksimum memulai bongkar muat di lokasi

i

pada

time window

ke-

(lihat Tabel 2).

: jumlah

time window

yang ditentukan oleh lokasi

i

.

Data

Berikut adalah data-data yang digunakan untuk menyelesaikan masalah

pada karya ilmiah ini.

Distributor memulai pengiriman pada hari Senin pukul 08.00 WIB sampai

hari Jumat WIB pukul 21.00 WIB yang menunjukkan sebagai rencana untuk

waktu horizon

yang terdapat pada model ini. Waktu ke-0 adalah hari Senin

pukul 08.00 WIB sebagai awal waktu horizon sedangkan waktu ke-109 adalah

hari Jumat pukul 21.00 WIB sebagai akhir dari waktu horizon.

(19)

[image:19.595.104.515.108.537.2]

Tabel 1 Indeks untuk lokasi distributor, pelanggan, dan semu

Lokasi

(

i

)

Keterangan

Waktu tempuh

(jam)

(

)

Durasi kerja bongkar

muat (jam)

Time window

1

Distributor

3

0

Tidak dibatasi

14

Semu jenis 2

4

0

Tidak dibatasi

15

Pelanggan 6

0

0.75

Dibatasi

16

Semu jenis 1

3.5

0

Waktu kerja bongkar muat di setiap lokasi berbeda tergantung dengan

barang yang dipesan. Waktu kerja bongkar muat di lokasi semu sebesar 0 karena

di lokasi semu tidak ada bongkar muat tetapi digunakan untuk waktu istirahat

pengemudi. Bongkar muat dapat dikerjakan sesampainya di lokasi pelanggan atau

pengemudi dapat istirahat terlebih dahulu sesuai jadwal yang ditentukan. Setelah

melakukan bongkar muat di lokasi

i

, truk dapat meninggalkan lokasi menuju

lokasi berikutnya (

i

+1) atau istirahat terlebih dahulu.

Pada Undang-Undang Nomor 22 Tahun 2009 tentang Lalu Lintas dan

Angkutan Jalan khususnya pada Pasal 90 mengenai waktu kerja pengemudi yang

telah dijelaskan sebelumnya, dan didapat ada 2 jenis periode istirahat yaitu

rest

(20)

sehingga pengemudi dapat beristirahat panjang atau istirahat

sejenak

{ a }

. Peraturan lainnya yaitu pengemudi tidak

diperbolehkan mengemudi jika dalam sehari telah menghabiskan waktu

maksimum 11 jam untuk mengemudi dan bekerja dinotasikan sebagai

{ a l

}

sehingga pengemudi dapat beristirahat panjang

{ }

.

Setiap lokasi distributor dan pelanggan dibatasi oleh

time window

yang

sama untuk membatasi waktu memulai bongkar muat dan berlaku untuk setiap

harinya sedangkan lokasi semu tidak dibatasi oleh

time window

. Banyaknya

time

window

pada hari pertama adalah 4, sehingga pendistribusian yang dilakukan pada

hari berikutnya memiliki

time window

sebanyak banyaknya hari dikalikan 4.

Tabel 2

Time Window

Time window

1

Pukul 08.00 WIB

Pukul 12.00 WIB

2

Pukul 13.00 WIB

Pukul 15.00 WIB

3

Pukul 16.00 WIB

Pukul 18.00 WIB

4

Pukul 19.00 WIB

Pukul 21.00 WIB

Variabel-variabel

= waktu kedatangan barang di lokasi

i

.

= waktu memulai bongkar muat di lokasi

i

.

= waktu truk meninggalkan lokasi

i

.

,

1,

0,

i r

z

 





istirahat tipe dilakukan di lokasi ,

selainnya.

r

i

,

1,

0,

i

y

_

 





jika pengemudi memulai bongkar muat di lokasi pada

ke- ,

selainnya.

i

time window



1,

0,

c



 





jika bongkar muat diperhitungkan dalam periode bekerja,

selainnya.

Fungsi Objektif

Fungsi objektif dari kasus ini adalah meminimumkan waktu antara awal

pekerjaan di lokasi pertama dan akhir pekerjaan di lokasi terakhir sehingga

dimodelkan sebagai berikut:

Minimumkan

(21)

Kendala-kendala

1.

Pengemudi diperbolehkan istirahat terlebih dahulu untuk memulai pekerjaan

di setiap lokasi, dapat dimodelkan sebagai berikut:

∑

2.

Pengemudi membutuhkan waktu untuk menyelesaikan pekerjaan di setiap

lokasi.

.

3.

Waktu kedatangan ditentukan dari waktu akhir pekerjaan di lokasi

sebelumnya dan waktu tempuh yang diperlukan menuju lokasi selanjutnya.

.

4.

Pada setiap lokasi pekerjaan dimulai pada tepat satu

time window

yang

ditentukan.

∑

5.

Waktu memulai pekerjaan tidak boleh dilakukan sebelum awal

time window

.

6.

Waktu memulai pekerjaan tidak boleh dilakukan setelah akhir

time window

,

.

7.

Waktu yang telah terlewati dari akhir masa istirahat terakhir tidak boleh

melebihi batas waktu yang ditentukan oleh peraturan.

∑ ∑

.

(22)

bekerja ditambah jumlah istirahat yang harus dilakukan pengemudi pada

time

horizon

yang ditentukan.

∑

∑ ∑

.

9.

Di lokasi

i

pengemudi hanya diperbolehkan mengambil satu tipe istirahat.

∑

10.

Variabel yang digunakan.



Pendistribusian dilakukan di dalam waktu horizon yang ditentukan.

[ ]

.



Variabel indikator yang menyatakan pengemudi memulai bongkar muat

pada suatu

time window

atau tidak.

{ }

.



Variabel indikator yang menyatakan suatu tipe istirahat dilakukan

atau

tidak.

{ }

| |

.

Hasil

(23)

[image:23.595.110.511.98.801.2]

Tabel 3 Hasil penjadwalan distribusi pakan ternak

HARI

WAKTU

KETERANGAN

Senin

21.00-22.00 Bongkar muat di lokasi distributor

22.00-

Mengemudi menuju lokasi pelanggan 1

Selasa

-01.00

01.00-04.30

Istirahat sejenak (

break

) selama 3.5 jam di tengah

perjalanan menuju lokasi pelanggan 1

04.30-07.30 Mengemudi kembali menuju lokasi pelanggan 1

07.30-08.00

Istirahat sejenak (

break

) selama 30 menit di lokasi

pelanggan 1

08.00-08.30 Bongkar muat di lokasi pelanggan 1

08.30-09.30 Mengemudi menuju lokasi pelanggan 2

09.30-10.15 Bongkar muat di lokasi pelanggan 2

10.15-10.45 Istirahat sejenak (

break

) di lokasi pelanggan 2

13.15-16.30

Istirahat sejenak (

break

) selama 3.25 jam di tengah

19.00-

Istirahat panjang (

rest

) selama 13 jam di lokasi

pelanggan 3

Rabu

- 08.00

08.00-09.00 Bongkar muat di lokasi pelanggan 3

12.35-13.05

Istirahat sejenak (

break

pelanggan 4

14.05-14.30

Istirahat sejenak (

break

pelanggan 5

15.30-

Istirahat panjang (

rest

) selama 13 jam di lokasi

pelanggan 5

Kamis

- 04.30

08.30-09.00

Istirahat sejenak (

break

) selama 30 menit di tengah

13.45-14.15

Istirahat sejenak (

break

pelanggan 6

17.45 -

Istirahat panjang (

rest

) selama 13 jam di tengah

Jumat

- 06.45

(24)

[image:24.595.45.496.82.804.2]

Tabel 3 Hasil penjadwalan distribusi pakan ternak (

lanjutan

)

HARI

WAKTU

KETERANGAN

11.15-11.45

Istirahat sejenak (

break

pelanggan 7

12.45-13.15

Istirahat sejenak (

break

pelanggan 8

17.50-18.20

Istirahat sejenak (

break

pelanggan 9

(25)

Hari Senin

Hari Selasa

21.00

21.30

22.00

22.30

23.00

23.30

24.00

00.30

01.00

01.30

02.00

02.30

03.00

03.30

04.00

04.30

05.00

05.30

06.00

06.30

07.00

07.30

08.00

08.30

09.00

09.30

10.00

15

break

Tiba di lokasi

pelanggan 1

Lokasi

distributor

break

(26)

Hari Rabu

10.30

11.00

11.30

12.00

12.30

13.00

13.30

14.00

14.30

15.00

15.30

16.00

16.30

17.00

17.30

18.00

18.30

19.00

19.30

20.00

20.30

21.00

21.30

22.00

22.30

23.00

23.30

24.00

00.30

01.00

01.30

02.00

02.30

03.00

03.30

04.00

04.30

05.00

05.30

06.00

06.30

07.00

07.30

08.00

08.30

09.00

09.30

10.00

Tiba di lokasi

pelangggan 3

16

(27)

Hari Kamis

10.30

11.00

11.30

12.00

12.30

13.00

13.30

14.00

14.30

15.00

15.30

16.00

16.30

17.00

17.30

18.00

18.30

19.00

19.30

20.00

20.30

21.00

21.30

22.00

22.30

23.00

23.30

24.00

00.30

01.00

01.30

02.00

02.30

03.00

03.30

04.00

04.30

05.00

05.30

06.00

06.30

07.00

07.30

08.00

08.30

09.00

09.30

10.00

Tiba di lokasi

pelanggan 4

Tiba di lokasi

pelanggan 5

17

rest

(28)

Hari Jumat

10.30

11.00

11.30

12.00

12.30

13.00

13.30

14.00

14.30

15.00

15.30

16.00

16.30

17.00

17.30

18.00

18.30

19.00

19.30

20.00

20.30

21.00

21.30

22.00

22.30

23.00

23.30

24.00

00.30

01.00

01.30

02.00

02.30

03.00

03.30

04.00

04.30

05.00

05.30

06.00

06.30

07.00

07.30

08.00

08.30

09.00

09.30

10.00

Tiba di lokasi

pelanggan 6

Tiba di lokasi

pelanggan 7

18

break

rest

(29)

Ket: : bongkar muat

: mengemudi

[image:29.842.62.743.86.543.2]

: istirahat (

rest

atau

break

)

Gambar 1 Hasil penjadwalan distribusi pakan ternak

10.30

11.00

11.30

12.00

12.30

13.00

13.30

14.00

14.30

15.00

15.30

16.00

16.30

17.00

17.30

18.00

18.30

19.00

19.30

20.00

Tiba di lokasi

pelanggan 8

Tiba di lokasi

pelanggan 9

Tiba di lokasi

distributor

19

(30)

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Masalah penjadwalan distribusi barang dengan kendala:

1.

satu kendaraan (truk) dan satu pengemudi,

2.

pembatasan jam kerja, dan

3.

waktu istirahat pengemudi

dengan fungsi objektif meminimumkan waktu antara awal pekerjaan di lokasi

pertama dan akhir pekerjaan di lokasi terakhir dapat dimodelkan sebagai

Mixed

Integer Programming

. Selama proses pendistribusian diperlukan waktu istirahat

di mana istirahat dapat dilakukan sebelum atau setelah melakukan bongkar muat

atau di tengah perjalanan menuju lokasi berikutnya. Berdasarkan model pada

karya ilmiah ini distributor dapat meminimumkan durasi pendistribusian juga

mendapatkan waktu istirahat yang cukup bagi pengemudi.

Saran

Pada karya ilmiah selanjutnya disarankan untuk mempertimbangkan

menambah jumlah armada kendaraan yang akan digunakan untuk pendistribusian

barang.

DAFTAR PUSTAKA

Garfinkel RS, Nemhauser GL. 1972.

Integer Programming

. New York (US): John

Willey & Sons.

Goel A. 2012. The minimum duration truck driver scheduling problem.

EURO

Journal on Transportation and Logistics.

1(4):285-306.doi:10.1007/s13676-012-0014-9.

Winston WL. 2004.

Operations Research Applications and Algorithms.

Edisi

ke-4. New York (US): Duxbury.

(31)

Lampiran 1

Sintaks Model LINGO 11.0.

SETS

:

LOKASI/1..24/:XD,XM,XA,W;

ISTIRAHAT/1,2/:TR;

TW/1..20/;

DURASI(LOKASI,LOKASI):D;

BATAS(LOKASI,TW):TMIN,TMAX,Y;

KENDALA(LOKASI,ISTIRAHAT):Z;

ENDSETS

2

0

;

TR=13 0.5;

TC1=4;

TC2=11;

W=1 0 0.5 0 0.75 0 0 1 0 0.58 0 1 0 0 0.75 0 0 1 0 0.58 0 1 0 0;

TH=109;

TMIN=

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

(32)

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

0

5

8

11

24

29

32

35

48

53

56

59

72

77

80

83

96

101

104

107

;

TMAX=

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

4

7

10

13

28

31

34

37

52

55

58

61

76

79

82

85

100

103

106

109

;

ENDDATA

N=

@SIZE

(LOKASI);

T=

@SIZE

(TW);

!FO;

(33)

!KENDALA1;

@FOR

(LOKASI(I):XD(I)+

@SUM

(ISTIRAHAT(R):TR(R)*Z(I,R))<=XM(I));

!KENDALA2;

@FOR

(LOKASI(I):XM(I)+W(I)=XA(I));

!KENDALA3;

@FOR

(LOKASI(I)|I#LT#N:XA(I)+D(I,I+1)=XD(I+1));

!KENDALA4;

@FOR

(LOKASI(I):

@SUM

(TW(TAU):Y(I,TAU))=1);

!KENDALA5;

@FOR

(LOKASI(I):

@FOR

(TW(TAU):Y(I,TAU)*TMIN(I,TAU)<=XM(I)));

!KENDALA6;

@FOR

(LOKASI(I):

@FOR

(TW(TAU):XM(I)<=TH-Y(I,TAU)*(TH-TMAX(I,TAU))));

!KENDALA7;

@FOR

(LOKASI(I):

@FOR

(LOKASI(K)|K#GT#I#AND#D(

@IF

(K#EQ#1,1,K-1),K)#GT#0:XD(K)-XM(I)<=TC1+TH*

@IF

((K-I)#GT#1,

@SUM

(LOKASI(J)|J#GE#(I+1)#AND#J#LE#(K-1):

@SUM

(ISTIRAHAT(R):Z(J,R))),0)));

!KENDALA8;

@FOR

(LOKASI(I):

@FOR

(LOKASI(K)|K#GT#I#AND#W(K)#GT#0:

@SUM

(LOKASI(J)|

J#GE#I#AND#J#LE#(K-1):D(J,J+1))+

@SUM

(LOKASI(J)|J#GE#I#AND#J#LE#K:W(J))<=TC2+TH*

@SUM

(L

OKASI(J)|J#GE#(I+1)#AND#J#LE#K:

@SUM

(ISTIRAHAT(R)|R#LE#1:Z(J,R)))))

;

!KENDALA9;

@FOR

(LOKASI(I):

@SUM

(ISTIRAHAT(R):Z(I,R))<=1);

!KENDALA10;

@FOR

(LOKASI(I):XD(I)>=0);

@FOR

(LOKASI(I):XD(I)<=TH);

@FOR

(LOKASI(I):XM(I)>=0);

@FOR

(LOKASI(I):XM(I)<=TH);

@FOR

(LOKASI(I):XA(I)>=0);

@FOR

(LOKASI(I):XA(I)<=TH);

@FOR

(BATAS:

@BIN

(Y));

@FOR

(KENDALA:

@BIN

(Z));

(34)

Lampiran 2

Hasil Komputasi untuk Masalah Distribusi Barang Menggunakan

Global optimal solution found.

Objective value: 95.33000

Objective bound: 95.33000

Infeasibilities: 0.1421085E-13

Extended solver steps: 969

Total solver iterations: 41672

Variable Value Reduced Cost TC1 4.000000 0.000000 TC2 11.00000 0.000000 TH 109.0000 0.000000 N 24.00000 0.000000 T 20.00000 0.000000 XD( 1) 0.000000 0.000000 XD( 2) 17.00000 0.000000 XD( 3) 23.50000 0.000000 XD( 4) 24.50000 0.000000 XD( 5) 25.50000 0.000000 XD( 6) 26.25000 0.000000 XD( 7) 29.25000 0.000000 XD( 8) 35.00000 0.000000 XD( 9) 49.00000 0.000000 XD( 10) 52.00000 0.000000 XD( 11) 52.58000 0.000000 XD( 12) 54.08000 0.000000 XD( 13) 55.50000 0.000000 XD( 14) 72.50000 0.000000 XD( 15) 77.00000 0.000000 XD( 16) 77.75000 0.000000 XD( 17) 81.75000 0.000000 XD( 18) 98.25000 0.000000 XD( 19) 99.25000 0.000000 XD( 20) 100.7500 0.000000 XD( 21) 101.8300 0.000000 XD( 22) 104.8300 0.000000 XD( 23) 105.8300 0.000000

(35)

XA( 5) 26.25000 0.000000 XA( 6) 26.75000 0.000000 XA( 7) 32.50000 0.000000 XA( 8) 49.00000 0.000000 XA( 9) 49.00000 0.000000 XA( 10) 52.58000 0.000000 XA( 11) 53.08000 0.000000 XA( 12) 55.50000 0.000000 XA( 13) 68.50000 0.000000 XA( 14) 73.00000 0.000000 XA( 15) 77.75000 0.000000 XA( 16) 78.25000 0.000000 XA( 17) 94.75000 0.000000 XA( 18) 99.25000 0.000000 XA( 19) 99.75000 0.000000 XA( 20) 101.8300 0.000000 XA( 21) 101.8300 0.000000 XA( 22) 105.8300 0.000000 XA( 23) 106.3300 0.000000 XA( 24) 108.3300 0.000000 W( 1) 1.000000 0.000000 W( 2) 0.000000 0.000000 W( 3) 0.500000 0.000000 W( 4) 0.000000 0.000000 W( 5) 0.750000 0.000000 W( 6) 0.000000 0.000000 W( 7) 0.000000 0.000000 W( 8) 1.000000 0.000000 W( 9) 0.000000 0.000000 W( 10) 0.580000 0.000000 W( 11) 0.000000 0.000000 W( 12) 1.000000 0.000000 W( 13) 0.000000 0.000000 W( 14) 0.000000 0.000000 W( 15) 0.750000 0.000000 W( 16) 0.000000 0.000000 W( 17) 0.000000 0.000000 W( 18) 1.000000 0.000000 W( 19) 0.000000 0.000000 W( 20) 0.580000 0.000000 W( 21) 0.000000 0.000000 W( 22) 1.000000 0.000000 W( 23) 0.000000 0.000000 W( 24) 0.000000 0.000000 TR( 1) 13.00000 0.000000 TR( 2) 0.500000 0.000000 D( 1, 1) 0.000000 0.000000 D( 1, 2) 3.000000 0.000000 D( 1, 3) 0.000000 0.000000 D( 1, 4) 0.000000 0.000000 D( 1, 5) 0.000000 0.000000 D( 1, 6) 0.000000 0.000000 D( 1, 7) 0.000000 0.000000 D( 1, 8) 0.000000 0.000000 D( 1, 9) 0.000000 0.000000 D( 1, 10) 0.000000 0.000000 D( 1, 11) 0.000000 0.000000 D( 1, 12) 0.000000 0.000000 D( 1, 13) 0.000000 0.000000 D( 1, 14) 0.000000 0.000000 D( 1, 15) 0.000000 0.000000 D( 1, 16) 0.000000 0.000000 D( 1, 17) 0.000000 0.000000 D( 1, 18) 0.000000 0.000000 D( 1, 19) 0.000000 0.000000 D( 1, 20) 0.000000 0.000000 D( 1, 21) 0.000000 0.000000 D( 1, 22) 0.000000 0.000000 D( 1, 23) 0.000000 0.000000 D( 1, 24) 0.000000 0.000000 D( 2, 1) 0.000000 0.000000 D( 2, 2) 0.000000 0.000000 D( 2, 3) 3.000000 0.000000 D( 2, 4) 0.000000 0.000000

(36)

D( 5, 7) 0.000000 0.000000 D( 5, 8) 0.000000 0.000000 D( 5, 9) 0.000000 0.000000 D( 5, 10) 0.000000 0.000000 D( 5, 11) 0.000000 0.000000 D( 5, 12) 0.000000 0.000000 D( 5, 13) 0.000000 0.000000 D( 5, 14) 0.000000 0.000000 D( 5, 15) 0.000000 0.000000 D( 5, 16) 0.000000 0.000000 D( 5, 17) 0.000000 0.000000 D( 5, 18) 0.000000 0.000000 D( 5, 19) 0.000000 0.000000 D( 5, 20) 0.000000 0.000000 D( 5, 21) 0.000000 0.000000 D( 5, 22) 0.000000 0.000000 D( 5, 23) 0.000000 0.000000 D( 5, 24) 0.000000 0.000000 D( 6, 1) 0.000000 0.000000 D( 6, 2) 0.000000 0.000000 D( 6, 3) 0.000000 0.000000 D( 6, 4) 0.000000 0.000000 D( 6, 5) 0.000000 0.000000 D( 6, 6) 0.000000 0.000000 D( 6, 7) 2.500000 0.000000 D( 6, 8) 0.000000 0.000000 D( 6, 9) 0.000000 0.000000 D( 6, 10) 0.000000 0.000000 D( 6, 11) 0.000000 0.000000 D( 6, 12) 0.000000 0.000000 D( 6, 13) 0.000000 0.000000 D( 6, 14) 0.000000 0.000000 D( 6, 15) 0.000000 0.000000 D( 6, 16) 0.000000 0.000000 D( 6, 17) 0.000000 0.000000 D( 6, 18) 0.000000 0.000000 D( 6, 19) 0.000000 0.000000 D( 6, 20) 0.000000 0.000000 D( 6, 21) 0.000000 0.000000 D( 6, 22) 0.000000 0.000000 D( 6, 23) 0.000000 0.000000 D( 6, 24) 0.000000 0.000000 D( 7, 1) 0.000000 0.000000 D( 7, 2) 0.000000 0.000000 D( 7, 3) 0.000000 0.000000 D( 7, 4) 0.000000 0.000000 D( 7, 5) 0.000000 0.000000 D( 7, 6) 0.000000 0.000000 D( 7, 7) 0.000000 0.000000 D( 7, 8) 2.500000 0.000000 D( 7, 9) 0.000000 0.000000 D( 7, 10) 0.000000 0.000000 D( 7, 11) 0.000000 0.000000 D( 7, 12) 0.000000 0.000000 D( 7, 13) 0.000000 0.000000 D( 7, 14) 0.000000 0.000000 D( 7, 15) 0.000000 0.000000 D( 7, 16) 0.000000 0.000000 D( 7, 17) 0.000000 0.000000 D( 7, 18) 0.000000 0.000000 D( 7, 19) 0.000000 0.000000 D( 7, 20) 0.000000 0.000000 D( 7, 21) 0.000000 0.000000 D( 7, 22) 0.000000 0.000000 D( 7, 23) 0.000000 0.000000 D( 7, 24) 0.000000 0.000000 D( 8, 1) 0.000000 0.000000 D( 8, 2) 0.000000 0.000000 D( 8, 3) 0.000000 0.000000 D( 8, 4) 0.000000 0.000000 D( 8, 5) 0.000000 0.000000 D( 8, 6) 0.000000 0.000000 D( 8, 7) 0.000000 0.000000 D( 8, 8) 0.000000 0.000000

(37)

D( 11, 11) 0.000000 0.000000 D( 11, 12) 1.000000 0.000000 D( 11, 13) 0.000000 0.000000 D( 11, 14) 0.000000 0.000000 D( 11, 15) 0.000000 0.000000 D( 11, 16) 0.000000 0.000000 D( 11, 17) 0.000000 0.000000 D( 11, 18) 0.000000 0.000000 D( 11, 19) 0.000000 0.000000 D( 11, 20) 0.000000 0.000000 D( 11, 21) 0.000000 0.000000 D( 11, 22) 0.000000 0.000000 D( 11, 23) 0.000000 0.000000 D( 11, 24) 0.000000 0.000000 D( 12, 1) 0.000000 0.000000 D( 12, 2) 0.000000 0.000000 D( 12, 3) 0.000000 0.000000 D( 12, 4) 0.000000 0.000000 D( 12, 5) 0.000000 0.000000 D( 12, 6) 0.000000 0.000000 D( 12, 7) 0.000000 0.000000 D( 12, 8) 0.000000 0.000000 D( 12, 9) 0.000000 0.000000 D( 12, 10) 0.000000 0.000000 D( 12, 11) 0.000000 0.000000 D( 12, 12) 0.000000 0.000000 D( 12, 13) 0.000000 0.000000 D( 12, 14) 0.000000 0.000000 D( 12, 15) 0.000000 0.000000 D( 12, 16) 0.000000 0.000000 D( 12, 17) 0.000000 0.000000 D( 12, 18) 0.000000 0.000000 D( 12, 19) 0.000000 0.000000 D( 12, 20) 0.000000 0.000000 D( 12, 21) 0.000000 0.000000 D( 12, 22) 0.000000 0.000000 D( 12, 23) 0.000000 0.000000 D( 12, 24) 0.000000 0.000000 D( 13, 1) 0.000000 0.000000 D( 13, 2) 0.000000 0.000000 D( 13, 3) 0.000000 0.000000 D( 13, 4) 0.000000 0.000000 D( 13, 5) 0.000000 0.000000 D( 13, 6) 0.000000 0.000000 D( 13, 7) 0.000000 0.000000 D( 13, 8) 0.000000 0.000000 D( 13, 9) 0.000000 0.000000 D( 13, 10) 0.000000 0.000000 D( 13, 11) 0.000000 0.000000 D( 13, 12) 0.000000 0.000000 D( 13, 13) 0.000000 0.000000 D( 13, 14) 4.000000 0.000000 D( 13, 15) 0.000000 0.000000 D( 13, 16) 0.000000 0.000000 D( 13, 17) 0.000000 0.000000 D( 13, 18) 0.000000 0.000000 D( 13, 19) 0.000000 0.000000 D( 13, 20) 0.000000 0.000000 D( 13, 21) 0.000000 0.000000 D( 13, 22) 0.000000 0.000000 D( 13, 23) 0.000000 0.000000 D( 13, 24) 0.000000 0.000000 D( 14, 1) 0.000000 0.000000 D( 14, 2) 0.000000 0.000000 D( 14, 3) 0.000000 0.000000 D( 14, 4) 0.000000 0.000000 D( 14, 5) 0.000000 0.000000 D( 14, 6) 0.000000 0.000000 D( 14, 7) 0.000000 0.000000 D( 14, 8) 0.000000 0.000000 D( 14, 9) 0.000000 0.000000 D( 14, 10) 0.000000 0.000000 D( 14, 11) 0.000000 0.000000 D( 14, 12) 0.000000 0.000000

(38)

D( 17, 15) 0.000000 0.000000 D( 17, 16) 0.000000 0.000000 D( 17, 17) 0.000000 0.000000 D( 17, 18) 3.500000 0.000000 D( 17, 19) 0.000000 0.000000 D( 17, 20) 0.000000 0.000000 D( 17, 21) 0.000000 0.000000 D( 17, 22) 0.000000 0.000000 D( 17, 23) 0.000000 0.000000 D( 17, 24) 0.000000 0.000000 D( 18, 1) 0.000000 0.000000 D( 18, 2) 0.000000 0.000000 D( 18, 3) 0.000000 0.000000 D( 18, 4) 0.000000 0.000000 D( 18, 5) 0.000000 0.000000 D( 18, 6) 0.000000 0.000000 D( 18, 7) 0.000000 0.000000 D( 18, 8) 0.000000 0.000000 D( 18, 9) 0.000000 0.000000 D( 18, 10) 0.000000 0.000000 D( 18, 11) 0.000000 0.000000 D( 18, 12) 0.000000 0.000000 D( 18, 13) 0.000000 0.000000 D( 18, 14) 0.000000 0.000000 D( 18, 15) 0.000000 0.000000 D( 18, 16) 0.000000 0.000000 D( 18, 17) 0.000000 0.000000 D( 18, 18) 0.000000 0.000000 D( 18, 19) 0.000000 0.000000 D( 18, 20) 0.000000 0.000000 D( 18, 21) 0.000000 0.000000 D( 18, 22) 0.000000 0.000000 D( 18, 23) 0.000000 0.000000 D( 18, 24) 0.000000 0.000000 D( 19, 1) 0.000000 0.000000 D( 19, 2) 0.000000 0.000000 D( 19, 3) 0.000000 0.000000 D( 19, 4) 0.000000 0.000000 D( 19, 5) 0.000000 0.000000 D( 19, 6) 0.000000 0.000000 D( 19, 7) 0.000000 0.000000 D( 19, 8) 0.000000 0.000000 D( 19, 9) 0.000000 0.000000 D( 19, 10) 0.000000 0.000000 D( 19, 11) 0.000000 0.000000 D( 19, 12) 0.000000 0.000000 D( 19, 13) 0.000000 0.000000 D( 19, 14) 0.000000 0.000000 D( 19, 15) 0.000000 0.000000 D( 19, 16) 0.000000 0.000000 D( 19, 17) 0.000000 0.000000 D( 19, 18) 0.000000 0.000000 D( 19, 19) 0.000000 0.000000 D( 19, 20) 1.000000 0.000000 D( 19, 21) 0.000000 0.000000 D( 19, 22) 0.000000 0.000000 D( 19, 23) 0.000000 0.000000 D( 19, 24) 0.000000 0.000000 D( 20, 1) 0.000000 0.000000 D( 20, 2) 0.000000 0.000000 D( 20, 3) 0.000000 0.000000 D( 20, 4) 0.000000 0.000000 D( 20, 5) 0.000000 0.000000 D( 20, 6) 0.000000 0.000000 D( 20, 7) 0.000000 0.000000 D( 20, 8) 0.000000 0