PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
LOGISTIK DENGAN PEMBERIAN
DELAY
Oleh
TANYEL SINAGA NIM: 4123230030
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
LOGISTIK DENGAN PEMBERIAN
DELAY
Tanyel Sinaga NIM: 4123230030
ABSTRAK
Skripsi ini membahas perilaku solusi persamaan diferensial logistik dengan waktu delay. Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah penelitian deskriptif dan kepustakaan. Dengan mengamati hasil simulasi numerik dari solusi persamaan diferensial logistik dengan delay dan persamaan logistik tanpa delay. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa fungsi dan interval delay yang diberikan berpengaruh terhadap perilaku solusi persamaan logistik. Panjang interval delay yang relatif besar menyebabkan solusinya tidak memiliki titik kesetimbangan. Namun untuk interval delay yang relatif kecil tetap menuju titik kesetimbangan y= 1dengan cara berfluktuasi.
Kata kunci: logistik, Kesetimbangan, Populasi,Delay, dan Interval.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
kasih dan karunia-Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul ”Perilaku Solusi Persamaan Diferensial Logistik Dengan
PemberianDelay”.
Dalam skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak, oleh
karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd selaku Rektor Universitas Negeri Medan yang
telah memberikan ijin dan kesempatan untuk menyelesaikan studi Strata 1 di
Universitas Negeri Medan.
2. Dr. Asrin Lubis, M.Pd selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Penge-tahuan Alam.
3. Dr. Edy Surya, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika dan Drs. Yasifati Hia,
M.Si selaku Sekretaris Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan.
4. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Prodi Jurusan Matematika.
5. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
6. Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
7. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si, Said Iskandar, S.Si, M.Si Susiana, S.Si., M.Si,
Arnah Ritonga, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah membimbing serta
memberikan masukan dalam pembuatan skripsi.
8. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang tidak bosan-bosannya
membimbing saya, mengingat saya dan terus mengajari saya agar menjadi
manusia yang lebih baik lagi dan mencirikan sikap serta sifat layaknya manusia
yang berintelektual dan berintegritas.
9. Orang tua tercinta, yaitu Ayahanda Ramli Sinaga dan Ibunda (Alm)Tiurma
Rajagukguk, yang telah memberikan support dan semangat serta doa yang
10. Kakak dan adik kandung saya.
11. Teman-teman seperjuangan Matematika Nondik-12
Penulis berharap semoga Tuhan membalas kebaikan dari semua pihak yang
telah banyak membantu dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Namun mengingat penulis masih dalam tahap belajar, penulis menyadari bahwa
isi yang disajikan dalam skripsi ini masih memiliki kekurangan dan
ketidaksem-purnaan. Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
diharapkan. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Akhir kata,
penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Agustus 2016
Penulis,
Tanyel Sinaga
NIM 4123230030
DAFTAR ISI
4.1 Pengaruh Jenis Fungsi dan PanjangDelay Terhadap Solusi Persamaan . . . 13
4.1.1 Pengaruh Jenis Fungsi Delay Terhadap Solusi Persamaan . . . 13
4.1.2 Pengaruh Interval Delay Terhadap Solusi Persamaan Logistik . . . 18
4.2 Pengaruh Jenis Fungsi dan Panjang Delay Terhadap Kesetimbangan . . . 27
4.2.1 Pengaruh Jenis Fungsi Delay Terhadap Kesetim-bangan . . . 28
Bab 5 Penutup . . . 33
5.1 Kesimpulan . . . 33
5.2 Saran . . . 33
5.3 Lampiran . . . 34
DAFTAR PUSTAKA . . . 53
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Solusi persamaan (2.1) untuk nilai awaly0 = 0,1dan
y0 = 1,9. . . 5 Gambar 4.1 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1,9 dengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 2 . . . 14 Gambar 4.2 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0,5 dengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 2 . . . 14 Gambar 4.3 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1,5 + 0,2t
dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 2 . . 15 Gambar 4.4 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0,4 + 0,2t
dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 2 . . 16 Gambar 4.5 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = −t + 1,8 dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 2 . . 17 Gambar 4.6 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delayδ(t) = −0,4t+ 0,1 dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 2 . . 18 Gambar 4.7 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delayδ(t) = 1.5 +tdengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 0,5. . . 19 Gambar 4.8 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delayδ(t) = 1.5 +tdengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 1 . . . 20 Gambar 4.9 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + (t)
dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 1,5 20 Gambar 4.10 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delayδ(t) = 1.5 +tdengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 2 . . . 21 Gambar 4.11 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delayδ(t) = 1.5−tdengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 0,5. . . 22 Gambar 4.12 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
Gambar 4.13 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1,4 + 0,2t
dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 1 . . 23 Gambar 4.14 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 1,5 24 Gambar 4.15 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 3 . . 24 Gambar 4.16 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 5 . . 25 Gambar 4.17 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 − 0.2t dengan nilai parameterα= 1dan waktu delayτ = 0,5 26 Gambar 4.18 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0,4 dengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 0,5. . . 26 Gambar 4.19 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0,4 dengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 1,5. . . 27 Gambar 4.20 Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0,4 dengan nilai parameterα = 1dan waktu delayτ = 3 . . . 28
DAFTAR TABEL
DAFTAR LAMBANG
LAMBANG Keterangan Pemakaian pertama kali pada halaman
dP
dt Persamaan Logistik 1
k Faktor Pertumbuhan 1
P Populasi Sekarang 1
K Kapasitas 1
y0 Nilai awal 5
t Waktu 2
τ Interval Delay 2
Bab 1
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang Masalah
Dalam perkembangan zaman saat ini yang terus maju, diperlukan suatu
analisis yang dapat diterima secara ilmiah terhadap setiap fenomena yang terjadi
dalam kehidupan manusia. Dari fenomena yang ada dapat dianalisis dengan
menggunakan berbagai macam sudut pandang, salah satunya peristiwa yang ada
dapat dipandang dalam bentuk model matematika. Contoh aplikasi matematika
yang dapat diterapkan dalam kehidupan nyata adalah pemodelan dengan persamaan
diferensial khususnya model populasi kontinu. Terdapat beberapa macam model
pertumbuhan populasi yang kontinu diantarnya model populasi eksponensial dan
model populasi logistik. Kontinu dalam hal ini berarti populasi bergantung waktu
tanpa putus. Dari waktu ke waktu bentuk tiap model dimodifikasi sehingga dapat
menggambarkan dengan lebih teliti keadaan sebenarnya. Murray (2011)
Persamaan Diferensial logistik pertama kali diperkenalkan oleh Pierre
Francois Verhulst pada tahun 1838. Pierre Francois Verhulst (1804-1849) adalah
seorang guru besar Matematika di Universitas Libre de Bruxelles dan di Ecole
Royale Militaire (juga terletak di Brussels) pada tahun 1835. Model populasi
logistik adalah model pertumbuhan yang memperhitungkan faktor logistik berupa
ketersediaan makanan dan ruang hidup. Model ini mengasumsikan bahwa pada
waktu tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium).
Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian sama sehingga laju pertumbuhannya0.
Bentuk umum persamaan diferensial logistik adalah
dP
dt =kP(1− P
K) (1.1)
Dimana P merepresentasikan populasi pada saat sekarang, k merupakan faktor
pertumbuhan danK sebagai kapasitas dari lingkungan untuk menampung spesies
yang ada.
perpin-2
dahan dari satu titik ke titik lain yang menjadi tujuannya. Delay penting dalam
pemodelan masalah nyata sebab keputusan biasanya dibuat berdasarkan informasi
pada keadaan sebelumnya. Haberman (1998), menyatakan bahwa delay penting
untuk dipertimbangkan dalam memodelkan pertumbuhan populasi karena laju
pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah populasi pada waktu
sekarang t tetapi juga bergantung pada jumlah populasi pada waktu sebelumnya
atau pada waktu(t−τ).
Model pertumbuhan logistik dengan pemberian delay sebelumnya pernah
dibahas oleh Henny. M. Timuneno,dkk dari UNDIP Semarang. Berdasarkan
pembahasan Henny. M. Timuneno,dkk model pertumbuhan logistik dengan delay
dapat disimpulkan bahwa penundaan dalam pertumbuhan populasi yang mengikuti
model pertumbuhan logistik menyebabkan terjadinya osilasi sehingga
mempen-garuhi kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Model pertumbuhan logisitik
dengandelaysetimbang pada jumlah populasi nol dan pada jumlah populasi yang
sama dengan daya tampungnya. Timuneno (2007)
Jadi disini penulis tertarik untuk menganalisa persamaan diferensial logistik,
ketika diberikan delay dalam persamaan diferensial logistik dan diperbantukan
dengan penggunaan program MATLAB. Di dalam skripsi ini peneliti merencanakan
untuk meneliti perilaku persamaan diferensial Logitik dan solusinya. Berdasarkan
permasalahan di atas penulis mengambil judul skripsi ini dengan ”Perilaku Solusi
Persamaan Diferensial Logistik Dengan PemberianDelay”.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,
permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana perilaku persamaan Logistik dengandelay?
2. Apakah keadaan kesetimbangan persamaan Logistik tanpa delay, sama
dengan keadaan kesetimbangan persamaan Logistik dengandelay?
1.3
Batasan Masalah
1. Penelitian ini difokuskan pada perilaku solusi persamaan Logistik dengan
3
2. Fungsi delay yang diteliti dibatasi pada fungsi konstan dan fungsi linear
positif.
3. Perilaku solusi akan diselidiki dari hasil simulasi numerik.
1.4
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Meneliti perilaku solusi persamaan logistik dengandelay.
2. Meneliti perilaku solusi pada saattmenuju tak hingga.
1.5
Manfaat Penelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat
sebagai berikut :
1. Bagi peneliti: merupakan media belajar dalam meneliti perilaku solusi
sistem persamaan Logistik dengan delay dan memberikan sumbangan
pemikiran berdasarkan disiplin ilmu yang diperoleh dibangku kuliah.
2. Bagi pembaca : memberikan informasi tentang perilaku solusi sistem
Bab 5
Penutup
5.1
Kesimpulan
Penelitian yang telah dilakukan memberikan kontribusi dalam memahami pengaruh
delay yang diberikan terhadap solusi persamaan diferensial logistik. Kontribusi
utama dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Solusi persamaan logistik dengandelaybergantung pada panjang interval
delaydan fungsidelayyang diberikan.
2. Panjang interval delay yang relatif kecil berpengaruh pada solusi yakni
pada titik kesetimbangany = 1didekati secara berfluktuasi.
3. Panjang intervaldelayyang relatif besar menyebabkan solusi tidak menuju
pada titik kesetimbangan y = 1, namun berfluktuasi dengan tingkat
fluktuasi hampir sama.
5.2
Saran
Berikut ini beberapa masalah terbuka pada skripsi ini yang masih bisa
dikem-bangkan untuk penelitian selanjutnya.
• Menganalisis secara matematika perilaku solusi persamaan logistik dengan
delay dilihat dari panjang interval yang diberikan, misalnya hubungan
antara panjang interval delay dengan amplitudo solusinya atau frekuensi
solusinya.
• Menganalisis secara matematika perilaku solusi persamaan logistik dengan
delay dilihat dari jenis fungsi delay yang diberikan, misalnya hubungan
antara jenisdelaydengan amplitudo solusinya atau frekuensi solusinya.
• Menentukan panjang periode fluktuasi solusi.
• Mencari batas panjang interval untuk menentukan, apakah solusinya
menuju kesetimbangany = 1atau tidak.
34
5.3
Lampiran
• Code program matlab Gambar 4.1
clc
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
35
clc
close all
clear all
dl=2;%logistik menuju stabil, delay berfluktuasi dan menuju nol
alpa=1;
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.3
clc
close all
36
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.4
37
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.5
38
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.6
39
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.7
40
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)] g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)] ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.8
41
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.9
clc
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
42
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.10
clc
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
43
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.12
44
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’); %plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.13
45
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.14
clc
46
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.2
clc
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
47
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.15
clc
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
48
end
• Code program matlab Gambar 4.16
clc
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.17
clc
close all
49
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.18
50
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.19
51
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2; f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’); plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.20
clc
line([0 0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
52
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’); plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1]) pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
DAFTAR PUSTAKA
Forde, J. E., (2005): Delay Differential Equation Models in Mathematical Biology,
Journal of Applied Mathematics,2005(586454).
Haberman, R., (1998): Mathematical Models Mechanical Vibration Population
Dynamics, Vol. 2, Slam Texas, New York.
Murray, J., (2011): Mathematical Biology: I. An Introduction,, Vol. 17 of3, Inter-disciplinary Applied Mathematics, Springer.
Ruan, S., (2006): Delay Diferential Equation In Single Species Dynamics, Delay
Dierential Equations and Applications,4, 7–12.
Sangadji (2008): Metode Numerik, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Teschl, G., (2011): Ordinary Diferential Equations and Dynamical Systems, Vol. xxx, American Mathematical Society Providence Rhode Island.
Timuneno, H. M., (2007): Model Pertumbuhan Logistik Dengan Waktu Tunda, 1, FMIPA Undip, Semarang.
Tveito, A., W. R., (1998): Introduction to Partial Diferential Equation: A
Compu-tational Approach, Vol. 45, Springer-Verlag, New York.
William, E. Boyce., R. C. D., (2008): Elementary Differential Equations
and Boundary Value Problems, 9, Department of Mathematical Sciences
Rensselaer Polytechnic Institute, New York.