Bahan matematika pecahan

BAB II

BILANGAN PECAHAN A. Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a

b, dengan a dan b adalah anggota bilangan bulat ( a dan b ∈ B dan b ≠0 ). a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Contoh: Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3 orang anaknya. Berapa bagian yang didapatkan oleh setiap anaknya ?

Jawab: Masing-masing anaknya memperoleh 2

3 bagian.

B. Pecahan Senilai (eqivalen)

Pecahan senilai adalah pecahan – pecahan yang memiliki nilai yang sama. Suatu pecahan mempunyai nilai tetap/sama/senilai jika pembilang dan penyebutnya dikali atau dibagi bilangan yang sama ( bukan nol ), sehingga a

b= a ×m b ×m=

a ÷ n b ÷ n

Contoh:

Berikut ini adalah contoh pecahan – pecahan senilai atau pecahan yang memiliki nilai yang sama.

2 5=

4 10=

6 15=

8 20

2 5=

2×2 5×2=

2×3 5×3=

2×4 5×4

8÷4 20÷4=

6÷3 15÷3=

4÷2 10÷2=

C. Mengurutkan pecahan

Bilangan pecahan dapat diurutkan dengan mudah apabila penyebutnya sama. Apabila penyebutnya sudah sama, maka tinggal melihat pembilangnya dan mengurutkkan dari yang terkecil atau terbesar.

Contoh:

Urutkan bilangan pecahan 2 5,

4 5,

1 5,

3

5 dari yang terbesar dan dari yang terkecil ! Jawab:

Urutan dari yang terbesar adalah 4₅,3

5, 2 5,

1 5

Urutan dari yang terkecil adalah 1 5,

2 5,

3 5,

4 5

D. Menyederhanakan Pecahan

Pecahan a

b dapat disederhanakan menjadi bentuk yang paling sederhana dengan membagi

pembilang dan penyebut dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari a dan b.

Contoh:

Sederhanakanlah pecahan 45 54 ! Jawab:

Pertama, tentukanlah FPB dari 45 dan 54!

Jadi FPB dari 45 dan 54 adalah 3×3=9

Setelah mendapatkan FPB dari 45 dan 54, kemudian sederhanakan pecahan tersebut dengan membagi pembilang dan penyebutdengan 9, sehingga 45÷9

54÷9= 5 6 Jadi bentuk yang paling sederhana dari pecahan ₅₄45 adalah 5₆

D. Membandingkan Dua Pecahan

Dalam membandingkan atau menentukan hubungan antara kedua pecahan di gunakan tanda ‘<’ atau ‘kurang dari’, ‘>’ atau ‘lebih dari’.

Untuk membandingkan dua pecahan atau lebih dapat dilakukan dengan cara membandingkan pembilangnya, dengan syarat penyebut kedua pecahan tersebut harus sama.

Contoh: 1 8<

2 8,

5 4>

3 4>

2 4

Contoh diatas merupakan perbandingan pecahan dengan penyebut yang sama. Tetapi apabila penyebutnya tidak sama, maka langkah yang yang harus dilakukan adalah menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.

Contoh:

Bandingkanlah pecahan 1₃dan1

2 !

Untuk membandingkan kedua pecahan tersebut, maka penyebutnya disamakan dengan 6. 1

3= 1×2 3×2=

2 6 1

2= 1×3 2×3=

3 6 Maka, 2

6< 3

6 sehingga 1 3<

1 2

E. Pecahan Desimal

Latihan 1

1. Isilah titik-titik berikut ini untuk menyatakan pecahan-pecahan yang sama nilainya.

4 5=

8

…= …

30

2. Tentukanlah empat pecahan yang senilai dengan pecahan berikut!

a.

₅2

b.

24₃₆

3. Sederhanakanlah pecahan – pecahan berikut !

a.

32₄₀

b.

₆₅52

c.

240₇₅₀

4. Gunakan lambang < atau > untuk menyatakan hubungan masing-masing pecahan berikut ini!

a.

1₄dan1

5

b.

3₇dan3

5

c.

4₅dan3

4

d.

5₈dan 7

12

E. Bentuk – Bentuk Bilangan Pecahan

a. Berdasarkan nilai/ besarnya

 Pecahan murni, yaitu pecahan yang besar pembilangnya kurang dari atau lebih kecil

dari penyebutnya ( a

b, a<b¿

Contoh: 1₃,5

7, 3 4



Pecahan tidak murni, yaitu pecahan yang besar pembilangnya sama atau lebih besar

dari penyebutnya (a b, a ≥ b)

Contoh: 5 3,

7 4,

6 5

b. Berdasarkan cara penulisannya

 Pecahan biasa, merupakan bentuk umum dari pecahan yang di nyatakan dengan a

b  Pecahan campuran, yaitu pecahan yang dapat ditulis dalam bentuk ab

c .

Contoh: 12 3,3

1 5

Contoh: ₁₀1 =0,1, 2

100=0,02

 Pecahan persen merupakan pecahan perseratus atau pecahan yang penyebutnya 100. Persen dilambangkan dengan %.

Contoh: 5 100=5,

23 100=23

 Pecahan permil merupakan pecahan yang penyebutnya 1000. Permil dilambangkan dengan ‰.

Contoh: ₁₀₀₀4 =4‰ , 124

1000=124‰

F. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Lain

1. Mengubah pecahan tidak murni menjadi pecahan campuran dan sebaliknya

Pecahan tidak murni dapat diubah menjadi pecahan campuran dengan membagi bilangan penyebut dengan pembilang dan mempunyai sisa.

Contoh: 8 3=2

2 3

Sedangkan untuk mengubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak murni, bilangan bulat dikalikan dengan penyebut dan ditambah dengan pembilangnya. Hasilnya dibagi dengan penyebut.

Contoh: 25₆=2×6+5

6 =

17 6

2. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal dan sebaliknya

Ada 2 cara untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal yaitu membagi pecahan biasa tersebut dengan pembagian bersusun dan juga bisa dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan tertentu sehingga penyebutnya menjadi 10,100,1.000,...

Contoh: ₅2=… Cara I. 0,4

5 2,0

2 0

0

Cara II. 2

5= 2×2 5×2=

4 10=0,4

Jadi bentuk desimal dari ₅2 adalah 0,4

Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa Contoh: 0,15= 15

100= 15 :5 100: 5=

3 20 7,2=7+0,2=7+ 2

10=7 2 10=

3. Mengubah pecahan biasa menjadi persen dan sebaliknya

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi persen, maka penyebutnya diubah menjadi 100.

Contoh: 3₅=3×20

5×20= 60 100=60 7

20= 7×5 20×5=

35 100=35

Mengubah pecahan persen menjadi pecahan biasa Contoh: 9= 9

100 15= 15

100= 15 :5 100 :5=

3 20

4. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan permil dan sebaliknya

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan permil yaittu dengan mengubah penyebutnya menjadi 1.000.

Contoh: 3 4=

3×250 4×250=

750

1000=750‰

Sedangkan untuk mengubah permil menjadi pecahan biasa dengan menulis bentuk

a

1000 kemudian disederhanakan. Contoh: 1175‰=1175

1000=1 175 1000=1

175 :25 1000 :25=1

7 40=

47 40

Latihan II

1. Ubahlah pecahan-pecahan berikut sebagai pecahan campuran! a. 9

5 b. 126₁₂

2. Ubahlah pecahan – pecahan berikut menjadi pecahan biasa! a. 43

5 b. 3 5

12

3. Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai bilangan pecahan campuran!

a. 5,15 b. 8, 24

4. Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai bilangan pecahan desimal! a. 3₅

50

125 5. Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai bilangan pecahan desimal! a. 513

25 b. 8

6. Nyatakan bentuk berikut sebagai pecahan! a. 85%

b. 331 3 % 7. Nyatakan bentuk berikut sebagai persen!

a. 3₅ b. 3₄

8. Nyatakan bentuk berikut kebentuk permil!

a. 15₂₅ b. ₂₀₀111

9. Nyatakan bentuk berikut sebagai pecahan! a. 125%

b. 1121 2

10. Harga sebuah buku di Toko Buku Suci adalah Rp.28.000. Toko tersebut member diskon 25%.Hituglah berapa rupiah diskon yang diberikan dan berapa uang yang harus dibayarkan jika seseorang membeli buku tersebut?

G. Menentukan pecahan yang terletak diantara dua pecahan

Untuk mementukan pecahan yang terletak diantara dua pecahan terlebih dahulu harus disamakan penyebutnya.

Contoh: Tentukan pecahan yang nilainya terletak antara 1₃dan1

5

Jawab : Penyebutnya disamakan dengan 15 karena KPK dari 3 dan 5 adalah 15. 1

3= 1×5 3×5=

5 15

1 5=

1×5 5×3=

3 15

Jadi, pecahan yang terletak diantara 1₃dan1

5 adalah 4 15

H. Menuliskan bilangan pecahan pada garis bilangan

Urutan menempatkan bilangan pecahan pada garis bilangan pada dasarnya sama dengan menempatkan bilangan bulat pada garis bilangan, yaitu semakin ke kanan bilanagan – bilangan tersebut makin besar nilainya, sebaliknya makin ke kiri makin kecil nilainya.

Contoh:

Letakkan pecahan 2

3 pada garis bilangan ! Jawab: 2

3 terletak diantara bilangan bulat 0 dan 1

Penyebutnya=3 jadi pada jarak 0 sampai 1 dibagi menjadi 3 bagian

01 3

2 31

1. Tentukan pecahan yang nilainya terletak di antara pecahan 1₅dan1

2 ! 2. Letakkan pecahan 12,5 pada garis bilangan !

3. Urutkan bilangan pecahan 1 3,

6 mulai dari yang terkecil !

J. Operasi hitung pada bilangan pecahan

1. Penjumlahan dan Pengurangan bilangan pecahan

Jika penyebutnya sama, dapat langsung dijumlah atau dikurangkan pembilang –

pembilangnya sedemikian sehingga a_b±c b=

a ±c b

Jika penyebutnya tidak sama, harus disamakan dulu menjadi KPK dari penyebut-

penyebutnya atau dengan rumus a

b± c d=

ad ± bc bd

Contoh: Hitunglah ! a. 1₅+3

2. Perkalian dan pembagian bilangan pecahan Perkalian antara bilangan bulat a dan pecahan b

c dinyatakan dengan a × b c=

ab c

dan perkalian atara dua pecahan a_bdan c

d dengan b,d ≠ 0 dinyatakan dengan

Perkalian antara dua pecahan desimal dengan m dan n angka dibelakang koma menghasilkan bilangan desimal dengan ( m + n ) angka dibelakang koma. Contoh:

4,8 1angka di belakangkoma 2,75×2angka dibelakang koma 240 336 96+¿ 13,2001+2=3angka dibelakang koma

Jadi4,8×2,75=13,200

Pembagian merupakan kebalikan dari perkalian. Membagi suatu bilangan bulat atau

pecahan dengan pecahan a_b sama artinya dengan mengalikan bilangan tersebut

dengan kebalikan dari a_b , yaitu b_a c:a

Sedangkan untuk pembagian bilangan desimal, pemnagi haru sdijadikan bilangan bulat, kemudian dilakukan pembagian bersusun biasa.

o 2

K. Pembulatan dan bentuk baku pada pecahan

1. Pembulatan pada pecahan desimal dilakukan dengan aturan – aturan

o Angka 5 keatas dibulatkan ke atas

o Angka ke empat ke bawah dibulatkan ke bawah

Contoh:

a. Bulatkan sampai dua tempat desimal!

 2,379=2,38 ( 9 dibulatkan ke atas, sehingga 7 menjadi 8)

 0,1342=0,13 ( 4 dibulatkan ke bawah, sehingga 3 tetap 3)

 12,8281=12,83 ( 8 dibulatkan ke atas, sehingga 2 menjadi 3) b. Bulatkan sampai satu tempat desimal!

 3,756=3,8

 253,146=253,1

 0,26703=0,3

2. Untuk menuliskan bilangan – bilangan yang sangat besar atau sangat kecil dengan lebih mudah, maka digunakan cara penulisan yang disebut bentuk baku.Bentuk baku untuk bilangan besar dinyatakan dengan a ×10n dan bentuk baku untuk bilangan kecil dinyatakan dengan a ×10−n

Contoh:

1. Selesaikanlah soal – soal berikut!

a. 4₅+ 7

2. Nyatakan pecahan desimal berikut dalam bentuk baku!

3. Bulatkan sampai dua tempat desimal soal-soal berikut! a. 1,2436

b. 15,0097 c. 3,1257