ABSTRAK
ANALISIS PERBANDINGAN KECEPATAN KONVERGENSI METODE ITERATIVE DALAM PENYELESAIAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Oleh
Atma Tunggal Dewi
Metode iterative merupakan suatu metode penyelesaian suatu persamaan matematika dimana pada metode ini digunakan iterasi dengan nilai awal (0)
x
sebagai tebakan awal untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear yang memiliki matriks koefisien jarang (spare). Terdapat tiga metode iterative yaitu metode Jacobi, metode Gauss-Seidel dan metode SOR (Succesive Over
Relaxation). Penelitian ini bertujuan untuk mencari solusi dari suatu sistem
persamaan linear, menganalisis kecepatan konvergensinya serta menganalisis nilai faktor skalar
yang digunakan. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa suatu sistem persamaan linear akan menghasilkan iterasi yang konvergen jika sistem persamaan linear tersebut memiliki matriks koefisien yang dominan diagonal karena matriks dominan diagonal akan menghasilkan nilai radius spectral kurang dari satu
Tj 1
.Untuk mencari faktor skalar pada SPL dengan matriks koefisien jarang sebarang yaitu menggunakan metode coba-coba dimana 02, sedangkan pada SPL dengan matriks koefisien tridiagonal nilai faktor skalar diperoleh dengan
2Soluai yang dihasilkan pada iterasi menggunakan metode SOR lebih baik dari pada menggunakan metode Jacobi dan Gauss-Seidel. Namun pada sistem persamaan yang sangat besar, metode Gauss-Seidel lebih efisien dari pada
V. SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan bahwa metode iterative menghasilkan iterasi yang konvergen jika sistem persamaan linearnya memiliki matriks koefisien yang dominant diagonal
dimana dihasilkan nilai radius spectral kurang dari satu
Tj 1
sedangkan pada SPL dengan matriks koefisien yang tak dominant diagonal
menghasilkan radius spectral yang lebih dari satu
Tj 1
yangmenghasilkan iterasi yang divergen . Iterasi menggunakan metode SOR menghasilkan solusi yang lebih baik dari pada menggunakan metode Gauss-Seidel maupun metode Jacobi. Karena pada metode SOR digunakan nilai
faktor skalar
yang berfungsi sebagai pereduksi error (galat), sedangkanmetode Jacobi menghasilkan iterasi yang lebih panjang dari pada
menggunakan Gauss-Seidel hal ini disebabkan karena pada metode Jacobi
menggunakan nilai yang berulang (menggunakan nilai x(jk1) pada iterasi (k)
i
x
dengan nilai i j ) pada setiap iterasinya hal ini yang menyebabkan
iterasinya menjadi lebih panjang. Untuk matriks yang berukuran besar (n5
128
nilai radius spectral nol yang berarti akan menghasilkan nilai 1 pada SPL dengan matriks koefisien tridiagonal, hal ini menunjukkan bahwa iterasi pada metode SOR sama dengan iterasi pada metode Gauss-Seidel namun hal ini dapat disiasati dengan mengguakan nilai yang diperoleh dengan metode coba-coba untuk menghasilkan iterasi yang lebih cepat. Namun solusi yang diperoleh tidak jauh dengan solusi yang diperoleh menggunakan metode Gauss-Seidel. Untuk itu, SPL dengan ukuran variable yang sangat besar lebih efisien diselesaikan menggunakan metode Gauss-Seidel.
Untuk sistem persamaan linear yang memiliki solusi banyak, misalnya terdapat salah satu baris atau kolom yang sama pada matriks koefisiennya, maka pada penyelesaian menggunakan metode iterative ini, hanya dapat ditemukan salah satu solusinya. Solusi yang diperoleh sesuai dengan nilai
awal
x(0) yang dimasukkan.5.2 Saran
Pada penelitian ini masih sebatas pada pencarian solusi SPL dan membandingkan kecepatannya. Untuk itu diharapkan pada penelitian selajutnya, dapat diharapkan penelitian ini berlanjut pada pemeriksaan kebenaran solusi yang diperoleh atau pencarian solusi SPL menggunakan metode yang lebih mudah dan efisien. Selain itu, penelitian lebih lanjut
diharapkan dapat mencari metode untuk menghasilkan nilai skalar
yangI. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Metode numerik merupakan teknik dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diinformasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritmatic). Berbagai permasalan dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi dapat digambarkan dalam bentuk persamaan matematik .
Suatu permasalahan linier dapat disajikan dengan menggunakan matriks yang dinyatakan dengan
b
Ax
Untuk dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan tepat satu penyelesaian, beberapa teorema menyebutkan bahwa matriks A harus dapat diinversikan yang didasarkan pada konsep determinan. Namun pada
kenyataannya, untuk sistem persamaan linear yang berukuran besar mencari determinan matriks sama sulitnya dengan mencari solusi sistem persamaan tersebut.
2
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dibagi dalam dua jenis yaitu metode langsung (direct) dan metode iterative. Metode langsung adalah metode yang dengan tidak adanya pembulatan atau lain-lainya, akan memberikan solusi yang tepat dalam jumlah operasi yang aritmatik elementer yang terbatas jumlahnya. Namun dalam prakteknya karena komputer bekerja dengan bahasa yang panjang maka metode langsung tidak menghasilkan penyelesaian yang tepat. Metode dasar yang digunakan dalam metode langsung adalah eliminasi Gauss.
Metode iterative yaitu metode yang dimulai dengan pendekatan permulaan dengan menggunakan algoritma yang sesuai dan dapat membawa ke pendekatan-pendekatan yang lebih baik. Bahkan jika proses itu konvergen hanya dapat diberharapkan mencapai suatu penyelesaian yang mendekati saja. Metode iterasi bervariasi dalam kecepatan konvergensi dan algoritma yang dipilih. Dalam metode iterative, iterasi yang digunakan ada yang bersifat sederhana yaitu nilai-nilai yang diperoleh pada nilai sebelumnya tidak langsung digunakan pada iterasi selanjutnya. Pada proses iterasi seperti ini, dituntut untuk mencari nilai
x1,x2,xn
baru kemudian digunakanuntuk iterasi selanjutnya. Ada pula metode iterative yang langsung menggunakan nilai xiyang diperoleh untuk iterasi selanjutnya. Contoh
3
Matriks yang berkaitan dengan sistem persamaan linier juga bervariasi dan digolongkan kedalam matriks padat (dense) dan matriks jarang (sparse). Matriks padat memiliki sedikit sekali unsur nol dan ordo matriks itu
cenderung lebih kecil mungkn berordo 100 atau lebih kecil. Biasanya lebih efisien untuk menanganinya dengan metode langsung. Matriks jarang memiliki ordo yang lebih besar dari pada matriks padat dan sangat ideal menyelesaikan matriks jenis ini dengan metode iterative. Matriks jarang biasanya muncul dari usaha-usaha untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode selisih terhingga.
Dalam penelitian ini akan digunakan metode iterative yaitu metode Jacobi, metode Gauss-Seide, serta metode SOR (Successive Over-Relaxation) yang kemudian masing-masing dibandingan percepatan konvergensinya.
1.2 Batasan Masalah
4
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
a. Menentukan solusi persamaan linier sistem persamaan linear yang memiliki matriks koefisien jarang dengan menggunakan metode Jacobi, metode Gauss-Siedel dan metode SOR (Susseccive Over-Relaxation). b. Membandingkan percepatan konvergensi ketiga metode yang digunakan. c. Menentukan faktor skala pada metode SOR yang ideal untuk sistem
persamaan yang sangat besar.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah :
a. Menambah pengetahuan tentang aplikasi persamaan linear dalam kehidupan dan berbagai cabang ilmu.
